PLNOSTĚNNÉ ROTUJÍCÍ KOTOUČE. Autoři: M. Zajíček, V. Adámek

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PLNOSTĚNNÉ ROTUJÍCÍ KOTOUČE. Autoři: M. Zajíček, V. Adámek"

Transkript

1 .3 Řešené příklady Příklad 1: Vyšetřete a v měřítku zakreslete napjatost ve volně rotujícím kotouči konstantní tloušťky 5 mm, který je na obr. 1. Na nebezpečném poloměru proveďte výpočet bezpečnosti z lediska Guestovy ypotézy pevnosti. Dálestanovtevelikostizměnpoloměrů r(r 1 ), r(r ) azměnšířky b(r 1 ), b(r )kotouče,je-lidáno: ρ= = kgm 3, E= MPa, ν=0.3, Re= =80MPa, n=3000min 1, r 1 =15mm, r =450mm. r 1 r ω Obr.1 Řešení: V prvním kroku stanovíme nejprve integrační konstanty, které se vyskytují ve vztazíc pro radiální a obvodové napětí. Jejic odnoty určíme pomocí okrajovýc podmínek, které jsouprokotoučnaobr.1dányrovnicemi σ r (r 1 )=0 a σ r (r )=0. (1) Po dosazení obecnéo řešení přecázejí v soustavu dvou algebraickýc rovnic D 1 D r 1 (3+ν)D ω r 1=0 a D 1 D r (3+ν)D ω r =0 () proneznámé D 1 a D.Povyřešení()jsouintegračníkonstantydányvetvaru ( ) D 1 =(3+ν)D ω r 1 + r a D =(3+ν)D ω r1r. (3) Dosazením numerickýc odnot nejprve vypočteme D ω = ω 8 = π n = π = Pam (4) a posléze dosazením do(3) určíme i číselné odnoty integračníc konstant D 1 =(3+0.3) ( ). = Pa, (5) D =(3+0.3) = N. (6) Funkce popisující průbě radiálnío a obvodovéo napětí potom mají tvar σ r (r)=d 1 D r (3+ν)D ωr = r r, (7) σ t (r)=d 1 + D r (1+3ν)D ωr = r r. (8) 1

2 r [mm] 00 σ o σ r σ t p p r t σ r, σ t, σ o [MPa] Obr. Grafytěctofunkcíjsoupro r r 1,r naobr.,kdejezobrazenotakéosovénapětí, kteréjevcelémkotoučinulové,tj. σ o =0 pro r r 1,r. (9) Dálevypočtemevelikostiradiálníoaobvodovéonapětínakrajnícpoloměrec r 1 a r.vzledemktomu,ževztay(7)a(8)jsouzatíženycyboudanouzaokroulováním,jevodnévztaypronapětínapoloměrec r 1 a r upravitnejprvesymbolickya teprve poté vyčíslit. Dosazením(3) do obecnéo tvaru(7) pro radiální napětí na vnitřním a vnějším poloměru kotouče vycázejí v obou případec napětí nulová, což je plně v souladu s okrajovými podmínkami(1). Dále po provedení algebraickýc úprav, viz vztay(3) a(8), a dosazení numerickýc odnot dostáváme pro obvodová napětí σ t (r 1 )=D 1 + D [ (1+3ν)D r1 ω r1=d ω (1 ν)r 1 +(3+ν)r] = = [ 6 (1 0.3) (3+0.3)0.45 ]. = Pa, (10) σ t (r )=D 1 + D [ (1+3ν)D r ω r=d ω (3+ν)r 1 +(1 ν)r] = = [ 6 (3+0.3) (1 0.3)0.45 ]. = Pa. (11) Z obr. je evidentní, že nebezpečný stav napjatosti vzniká v kotouči na vnitřním poloměru. Dříve, než vypočteme bezpečnost, stanovme velikost redukovanéo napětí na nebezpečnémpoloměrudleguestovyypotézypevnosti.redukovanénapětípro r=r 1 je potom rovno σ red = σ max σ min = σ t σ r = σ t σ o = =18.64MPa. (1) Vzledemktomu,že σ r = σ o =0,jednásevtomtopřípaděfaktickyojednoosýstav napjatosti. Bezpečnost vůči mezi kluzu materiálu je potom k= Re σ red = =.18. (13)

3 Změny sledovanýc poloměrů jsou po dosazení numerickýc odnot r(r 1 )= r 1 E (σ t νσ r )= r 1σ t E = = m= mm,(14) r(r )= r E (σ t νσ r )= r σ t = = m= mm. (15) E Obdobně vypočítáme změny šířky kotouče na sledovanýc poloměrec pomocí vztaů b(r 1 )= ν b E (σ t+ σ r )= ν bσ t E b(r )= ν b E (σ t+ σ r )= ν bσ t E = = m, (16) = = m. (17) Poznámka: V případec, jako je tento, kde je vnitřní poloměr kotouče výrazně menší než vnější poloměr, je možné provést přibližný výpočet stavu napjatosti jako u kotouče s velmi malýmotvorem.potompro r 1 0vycázípodle(3)integračníkonstanta D 0,což znamená,žeyperbolickéčleny D r vevztazícproradiálníaobvodovénapětíjsou rovněžblízkénule.přigrafickémznázorněníprůběůnapětítoznamená,žekřivky σ r (r) a σ t (r)praktickysplynousparabolami p r (r)=d 1 (3+ν)D ω r a p t (r)=d 1 (1+3ν)D ω r, (18) kroměblízkéookolímísta r=r 1,vizobr..Přisplněníokrajovýcpodmínek(1)lze vyjádřitintegračníkonstantu D 1 (vizvzta(3))jako D 1 =lim (3+ν)D ( ) ω r 1 + r =(3+ν)Dω r. (19) r1 0 Rovniceudávajícíprůběy σ r (r)aσ t (r)vkotoučisnekonečněmalýmotvorempakspřilédnutímkobecnémutvaruřešení,vizvztay(7)a(8)nebo(18),majítvar σ r (r)=d 1 (3+ν)D ω r = D ω (3+ν)(r r ), (0) σ t (r)=d 1 (1+3ν)D ω r = D ω [ (3+ν)r (1+3ν)r ]. (1) Poznamenejme, že ke stejným závislostem dospějeme také u plnéo kotouče bez otvoru. Dosazením číselnýc odnot obdržíme funkční závislosti pro σ r (r)=p r (r)=d ω (3+ν)(r r ). = r, () σ t (r)=p t (r)=d ω [ (3+ν)r (1+3ν)r ]. = r, (3) kteréjsouzobrazenynaobr..jevidět,žeprůběynapětíseodpřesnéořešeníliší skutečněmálo.vyjímkoujeblízkéokolípoloměru r 1. V rámci tooto přibližnéo výpočtu ještě zbývá stanovit odnoty radiálnío a obvodovéonapětívbodě r=r 1 0.Hodnotyjenutnoodvoditzevztaůprokotouč,kde r 1 0.Potomradiálnínapětímusívyovovatokrajovépodmínce(1)aobvodovénapětí lze stanovit pomocí vztau(10), tj. σ r (r 1 )=0 a σ t (r 1 )=lim D [ ] ω (1 ν)r 1 +(3+ν)r =(3+ν)Dω r. (4) r1 0 3

4 Jevidět,ževelikost σ t (r 1 )jedvakrátvětší,než-lijevelikost D 1 vevztau(19).podosazení numerickýcodnotdo(4) zjistíme,že σ t (r 1 )=(3+ν)D ω r =(3+0.3) = Pa, (5) tj.žeseoprotiskutečnévelikostiobvodovéonapětínapoloměru r 1 odlišujevelmimálo, viz vzta(10). Příklad : Odvoďte funkci popisující obrys profilu rotujícío kotouče stálé pevnosti zatíženéo na vnějšímpoloměru Rradiálnímnapětím σ L odlopatek.uveďtepodmínky,kteréjenutné respektovat při konstrukci takovéo kotouče. Vypočtěte bezpečnost dle ypotézy Guestovy a HMH, stanovte velikost změny vnějšío poloměru kotouče r(r) a nakreslete obrys profilukotoučepřidanétloušťcekotoučevoserotace B=0cm,je-lidáno: ρ= kgm 3, E= MPa, ν=0.3, Re=80MPa, n=3000min 1, σ L =10MPa, R=60cm. Řešení: Abycom byli scopni splnit podmínku stálé pevnosti kotouče, musí být dán obrys profilu takovým předpisem b = b(r), aby se odnoty radiálnío a obvodovéo napětí v každém boděkotoučerovnaly.toznamená,žetutopodmínkujenutnésplnitinapoloměru R,kde působítaovénapětí σ L odlopatekvyovujícíokrajovépodmínce Sournně lze tedy podmínku stálé pevnosti vyjádřit předpisem σ r (R)=σ L. (1) σ r (r)=σ t (r)=σ L pro r 0,R. () Z výše uvedenéo lze již v tomto kroku výpočtu stanovit bezpečnost, protože známe stav napjatosti v každém bodě kotouče- osové napětí je nulové. Vypočtěme nejprve velikost redukovanéo napětí, které je v libovolném bodě kotouče podle ypotézy Guestovy rovno HMH 1 rovno σ red = σ red = σ max σ min = σ t σ o = σ r σ o = σ L =10MPa, (3) σ r+ σ t+ σ o (σ r σ t + σ t σ o + σ o σ r )=σ L =10MPa. (4) Bezpečnost je v tomto případě podle obou ypotéz stejná a vůči mezi kluzu materiálu má velikost k= Re = 80 σ red 10 =. 3. (5) 1 HypotézaHMHjevliteratuřeznámátakéjakovonMisesovaypotéza. 4

5 Stejně jako v případě bezpečnosti je možné v této fázi výpočtu stanovit i změnu poloměru r(r), protože stav napjatosti v kotouči je již znám. Použitím obecnéo Hookeova zákona snadno zjistíme, že deformace r lineárně roste v závislosti na poloměru r a nabývá největší odnoty na vnějším poloměru r(r)= R E (σ t νσ r )= Rσ L (1 ν)=0.6 (1 0.3) = m. (6) E Při odvození vztau popisujícío obrys profilu rotujícío kotouče vyjdeme z rovnice rovnováy v radiálním směru v obecném bodě kotouče, kterou lze psát ve tvaru σ r σ t + r dσ r dr + r b σ db r dr + ω r =0. (7) Dosadíme-li do této rovnice podmínku(), pak po úpravě obdržíme lineární diferenciální rovnici 1. řádu db dr + ω br=0. (8) σ L Po separaci proměnnýc určíme jednoducým postupem integrál diferenciální rovnice(8), jeož tvar je ln b ln C= ω σ L r. (9) Po úpravě tak dostáváme obecný vzta popisující obrys profilu rotujícío kotouče stálé pevnosti ( ω ) ( b(r)=cexp r = Cexp 4 D ) ω r. (10) σ L σ L Hodnota integrační konstanty C vyplývá z okrajové podmínky, která je s přilédnutím ke známé tloušťce kotouče v ose rotace dána vztaem b(0)=b. (11) b [mm] r [mm] Obr.1 5

6 Dosazením této podmínky do rovnice(10) získáme odnotu integrační konstanty C = B, takže platí ( ω ) b(r)=bexp r = Bexp ( π n ) r =0.e 0.35 π r pro r 0,R. (1) σ L σ L Obrys profilu kotouče je znázorněn na obr. 1. Je zřejmé, že při vyššíc úlovýc ryclostec vycází tloušťka kotouče na ose rotace mnoonásobně větší než tloušťka na obvodu. Proto se z konstrukčíc důvodů, např. u vícestupňovýc turbín, volí tloušťka na ose rotace menší, a připouští se tak vyšší odnota obvodovéo napětí. S oledem na řešení, které je prezentováno v tomto příkladě, je při konstrukci kotouče stálé pevnosti nezbytné respektovat následující skutečnosti: Kotouč musí být na vnějším poloměru zatížen tak, aby byla splněna podmínka(1). V kotouči nemoou být otvory, neboť na okrajíc otvorů by nemola být splněna podmínka stálé pevnosti(). To platí i pro případ nalisovanéo spoje, neboť ve stykové ploše nelze podmínku stále pevnosti nikdy splnit. Příklad 3: Vyšetřete a v měřítku zakreslete napjatost u nalisovanéo spojení rotujícío kotouče konstantní tloušťky, který je zatížený na vnějšímokrajiopoloměru r taovýmnapětím σ,arotujícío řídelepřispolečnýcotáčkác n,jakjezřejmézobr.1.vypočtěte bezpečnost tooto spojení za provozu, jestliže je za rotacevestykovéplošekotoučeařídelepožadovántlak p ω.dále vypočtěte montážní přesa za klidu. I pro tento případ vyšetřete a v měřítku zakreslete stav napjatosti a vypočtěte bezpečnost za klidu. Pro výpočet bezpečnosti použijte Guestovu ypotézupevnosti.dáno: ρ = kgm 3, ρ k = kgm 3, E = MPa, E k = MPa, ν =0.3, ν k =0.9, Re =80MPa, Re k =50MPa, n=5500min 1, σ=50mpa, p ω =5MPa, r 1 =45mm, r =5mm. σ ω Obr.1 r 1 r Řešení: Abymolpřirotacivestykovéplošeřídele akotouče k vzniknoutnenulovýtlak p ω,musíbýtobětělesaspojenascelkovýmpřesaemzarotace r 1ω asdílčímipřesay řídele r 1ωakotouče r k 1ω,proněžplatívzájemnárelace r 1ω = r 1ω+ r k 1ω= r 1ω + r k 1ω, (1) vizobr..zápornéznaménkoupřesau r 1ωvyjadřujeskutečnost,žeuřídeledocází vestykovéplošekestlačení atedy r 1ω <0. Kladnýpřírůstekzměnypoloměrubylobecnědefinovánvesměrukladnéopřírůstkupoloměru. 6

7 r ω r 1ω p ω r 1ω ω = 0 r 1ω k r 1ω k p ω σ r(r ) v r 1ω r(r ) 1 kσ r 1ω r r 1 p n r 1 ω = 0 r 1 r 1 k k p n Obr. Velikostcelkovéopřesauzarotacelzestanovittaképomocípřesauzaklidu r 1. Nejprveuvažujmeřídelakotouč,kteréjsouvyrobenysdílčímipřesay r1a r 1vůči k jmenovitémupoloměru r 1 zaklidu,jakjepatrnénaobr..dálepředpokládejme,ženecáme rotovat řídel úlovou ryclostí ω, přičemž na něj v místě spojení polížíme jako narotujícíkotoučbezotvoru.hřídelzvětšísvůjrozměrnapoloměru r 1 + r1 ood- notu r1ω. v Obdobně necáme rotovat i kotouč, který je na vnitřním poloměru nezatížený anavnějšímpoloměrupůsobítaovénapětí σ.kotoučpakzvětšísvůjrozměrnapoloměru r 1 r1oodnotu r k 1ω, kσ která odpovídá zvětšení od vlivu působení setrvačnýc sil a napětí σ. Celkový přesa za rotace potom můžeme vyjádřit rovnicí r 1ω = r 1 + r v 1ω r kσ 1ω= r 1 + r k 1+ r v 1ω r kσ 1ω. () Změny jednotlivýc poloměrů na řídeli a na kotouči jsou s oledem na předpoklad malýc deformací velmi malé při porovnání s příslušnými poloměry, což můžeme formálně zapsat jako r r. Dopustíme se tak zanedbatelné cyby, jestliže výpočty změn všec poloměrůbudemevztaovatkejmenovitýmodnotámpoloměrů r 1 a r. Soledemnarovnice(1)a()seukazujejakovodnérozdělitřešeníceléúloydodvou lavníc částí. V první z nic vyšetříme stav napjatosti, bezpečnost a velikost celkovéo přesau za rotace. Ve drué potom postupně určíme velikost přesau za klidu, velikost nalisovacío tlaku, stav napjatosti po montáži a příslušnou bezpečnost. Část 1: Nejprve stanovíme integrační konstanty, které se vyskytují ve vztazíc pro radiální a obvodové napětí. Okrajové podmínky jsou pro řídel na levé části obr. dány rovnicemi σ r(0)=σ t(0) a σ r(r 1 )= p ω. (3) První z těcto podmínek vyjadřuje, že v ose rotace nelze rozlišit mezi radiálním a obvodovýmnapětím.podosazenído(3) 1 dostáváme [ ] [ ] lim D1 D r 0 r (3+ν )Dωr =lim D r 0 1+ D r (1+3ν )Dωr. (4) 7

8 Tuto rovnici lze splnit pouze pro případ Po dosazení do drué z okrajovýc podmínek(3), tj. D =0. (5) D 1 D r 1 (3+ν )D ωr 1= p ω, (6) aspřilédnutímk(5),vycázíintegračníkonstanta D 1vetvaru D 1=(3+ν )D ωr 1 p ω. (7) Pro případ rotujícío kotouče z levé části obr. jsou okrajové podmínky σ k r(r 1 )= p ω a σ k r(r )=σ. (8) Rozepsáním těcto podmínek za použití obecnéo předpisu pro rozložení radiálnío napětí v rotujícím kotouči získáme soustavu rovnic D k 1 Dk r 1 (3+ν k )D k ωr 1= p ω a D k 1 Dk r jejímž řešením obdržíme integrační konstanty (3+ν k )D k ωr = σ, (9) D k 1=(3+ν k )D k ω ( r 1 + r ) + p ω r 1+ σr r r 1 a D k =(3+ν k )D k ωr 1r + (p ω+ σ)r 1r r r 1. (10) Předvyčíslenímintegračníckonstantjevýodnéznátvelikostikonstant D ωa D k ω.ty pro řešenou úlou nabývají odnot Dω= ω = π n = π = Pam, 8 60 (11) Dω= k kω = π kn = π = Pam (1) Nenulová integrační konstanta(7) je pro řídel rovna D 1=(3+0.3) = Pa (13) a numerické odnoty integračníc konstant(10) jsou pro kotouč D k 1=(3+0.9) ( ) = Pa, (14) D k =(3+0.9) ( ) =67989N. (15) 8

9 r [mm] σ σ σ o r t σ r σ t σ r, σ t, σ o [MPa] Obr.3 Funkce určující průbě radiálnío a obvodovéo napětí mají v řídeli po dosazení tvar σ r(r)=d 1 (3+ν )D ωr = r, (16) σ t(r)=d 1 (1+3ν )D ωr = r, (17) apodobněmajíprokotoučpodosazenítvar σ k r(r)=d k 1 Dk r (3+ν k)d k ωr = r r, (18) σ k t(r)=d k 1+ Dk r (1+3ν k)d k ωr = r r. (19) Výsledné průběy lavníc napětí působícíc v nalisovaném spojení řídele a kotouče za rotacejsoupotom,viz(16)až(19), { σ σ r (r)= r (r) pro r 0,r 1, σr(r) k pro r r 1,r, přičemž osové napětí je apriori nulové, { σ σ t (r)= t (r) pro r 0,r 1 ), σt(r) k pro r (r 1,r, (0) σ o =0 pro r 0,r. (1) Tyto funkce jsou graficky znázorněny na obr. 3. Funkce radiálnío napětí splňuje okrajové podmínky(3) a(8), a proto na ose rotace a napoloměrec r 1 a r platí: σ r (0)=σr(0)=D 1. = Pa, σ r (r 1 )=σr(r 1 )=σr(r k 1 )= p ω = Pa, σ r (r )=σ k r(r )=σ= Pa. () 9

10 Ve stejnýc místec stanovíme také velikosti obvodovéo napětí. S pomocí vztaů(7),(9) a(16)až(0)můžemepsát 3 σ t (0)=σt(0)=D 1. = Pa, (3) σ t (r 1 0)=σt(r 1 )=D1 (1+3ν )Dωr 1=D ω(1 ν )r1 p ω = = (1 0.3) = Pa, (4) σ t (r 1 +0)=σ k t(r 1 )=D k 1+ Dk r 1 (1+3ν k )D k ωr 1=D k ω [ ] (1 νk )r1+(3+ν k )r + + p ω(r 1+ r )+σr r r 1 = [ (1 0.9) (3+0.9)0.5 ] ( ) = Pa, (5) σ t (r )=σt(r k )=D1+ k Dk [ ] (1+3ν r k )Dωr k =D ω k (3+νk )r1+(1 ν k )r + + p ωr1+ σ(r1+ r) = [ 6 (3+0.9) (1 0.9)0.5 ] + r r ( ). = Pa. (6) Jakjezřejmézprůběůlavnícnapětínaobr.3,jenejvícenamáánkotoučnapoloměru r=r 1.Zdejetakénejmenšíbezpečnost,přestožeje Re k > Re.PodleGuestovyypotézy pevnosti je tedy v kotouči odnota největšío redukovanéo napětí rovna σ red = σ max σ min = σ k t σ k r=40.6 ( 5)=65.6MPa. (7) Bezpečnost vůči mezi kluzu materiálu kotouče je v tomto případě rovna k= Re k σ red = =1.96. (8) To je zároveň výsledná bezpečnost nalisovanéo spojení kotouče na řídel za rotace. Nynímůžemepřistoupitkvýpočtuzměnpoloměrů r 1ω, r k 1ωakvýpočtucelkovéo přesauzarotace r 1ω.Spřilédnutímkevztaům(),(4)a(5)lzepsát r1ω= r 1 ( ) σ E t ν σr = r k 1ω= r 1 E k ( σ k t ν k σ k r Celkový přesa za rotace má potom velikost [ ( )] = m, (9) ) = [ ( )] = m. (30) r 1ω = r 1ω + r k 1ω= = m. (31) 3 Zápis f(a+0),resp. f(a 0),vyjadřujelimitufunkce f(x)vbodě azprava,resp.zleva,nebo-li lim f(x),resp. lim f(x). x a+ x a 10

11 Část:Provýpočetmontážníopřesauzaklidu r 1 atomuodpovídajícíostavunapjatostivřídeliakotoučimusímenejprve,vesoděsrovnicí(),vypočítatvelikosti r1ω v a r kσ 1ω. Přivýpočtu r1ω v vyjdeme z řešení rotujícío kotouče bez otvoru s nezatíženým vnějšímokrajemnapoloměru r 1.Přistanoveníintegračníckonstant D1 v a D v aplikujeme okrajové podmínky σr v (0)=σt v (0) a σr v (r 1 )=0. (3) Po dosazení do první z nic dostáváme vzta [ ] lim D1 v Dv (3+ν r 0 r )Dωr který lze splnit pouze pro případ =lim r 0 [ D v 1 + Dv r (1+3ν )D ωr ], (33) D v =0. (34) Po dosazení do drué z podmínek(3) dostáváme s přilédnutím k(34) rovnici jejímž řešením je integrační konstanta D v 1 (3+ν )D ωr 1=0, (35) D v 1 =(3+ν )D ωr 1. (36) Přivýpočtuzměnypoloměru r v 1ω nám postačuje znalost stavu napjatosti pouze na poloměru r 1.Radiálnínapětísplňujepodmínku(3) ajetedynulovéstejnějakonapětíosové. Zbývá určit velikost obvodovéo napětí, pro které platí: σ v t (r 1 )=D1 v (1+3ν )Dωr 1=D ω(1 ν )r1= (1 0.3) =. = Pa. (37) Potom můžeme psát r1ω= v r 1 ( σ v t E ) ν σr v r 1 σ v = t = E = m. (38) Přivýpočtu r1ωuvažujeme kσ rotující kotouč s nezatíženým vnitřním okrajem na poloměru r 1 asezatíženýmvnějšímokrajem,kdenapoloměru r působítaovénapětí σ. Integračníkonstanty D1 kσ a D kσ určíme pomocí okrajovýc podmínek σ kσ r (r 1 )=0 a σ kσ r (r )=σ. (39) Po dosazení na levýc stranác získáme soustavu dvou algebraickýc rovnic D1 kσ Dkσ r1 (3+ν k )D k ωr 1=0 a D kσ 11 1 Dkσ r (3+ν k )D k ωr = σ, (40)

12 jejímž řešením obdržíme integrační konstanty určené vztay ( D1 kσ =(3+ν k )Dω k r 1 + r) σr + r r1 a D kσ =(3+ν k )Dωr k 1r + σr 1r. (41) r r1 Provýpočetzměnypoloměrukotouče r kσ 1ωnám opět postačuje znalost stavu napjatosti pouzenapoloměru r 1.Radiálnínapětísplňujepodmínku(39) 1,osovépovažujemezanulové a pro obvodové napětí můžeme psát σ kσ t (r 1 )=D kσ 1 + Dkσ r1 (1+3ν k )D k ωr 1=D k ω [ ] (1 νk )r1+(3+ν k )r + + σr r r 1 = [ (1 0.9) (3+0.9)0.5 ] = Pa. (4) Změnapoloměru r kσ 1ω kotouče s předepsanými okrajovými podmínkami(39) je rovna r1ω= kσ r 1 ( σ kσ t E k ) ν k σr kσ r 1 σ kσ = t = E k Hodnotacelkovéopřesauzaklidu r 1 jepotompodle()rovna = m. (43) r 1 = r 1ω + r kσ 1ω r v 1ω= = m. (44) Numerické odnoty byly do rovnice(44) dosazeny ze vztaů(31),(38) a(43). Soledemnapravoučástobr.jezřejmé,žeprovyšetřenístavunapjatostivřídeli akotoučizaklidu,tj.pro ω=0,jerozodujícínalezenízávislosti p n a r 1.Výpočetje možné provést obdobně jako v případě dvouplášťové otevřené nádoby při působení pouze nalisovacíotlaku p n zaklidu.nejprvestanovímeintegračníkonstanty,kterésevyskytují ve vztazíc pro lavní napětí. Funkci, popisující obecně velikost radiálnío napětí při nulové rotaci, můžeme zapsat ve tvaru D 0,1 1 D0,1 pro r 0,r σ r,n (r)= r 1, (45) D 1, 1 D1, pro r r r 1,r, a obdobně můžeme psát i funkci, která popisuje průbě obvodovéo napětí, ve tvaru D 0,1 1 + D0,1 pro r 0,r σ t,n (r)= r 1 ), (46) D 1, 1 + D1, pro r (r r 1,r. Proosovénapětípředpokládámestáleplatnostvztau(1).Integračníkonstanty D 0,1 1 a D 0,1 pro řídel určíme z okrajovýc podmínek σ r,n (0)=σ t,n (0) a σ r,n (r 1 )= p n. (47) 1

13 Podosazenído(47) 1 ze(45)a(46)obdržímevzta [ ] [ lim D 0,1 1 D0,1 =lim D 0,1 r 0 r 0 který lze splnit pouze pro případ r 1 + D0,1 r Podosazenídookrajovépodmínky(47) snadnozjistíme,že ], (48) D 0,1 =0. (49) D 0,1 1 = p n. (50) Analogickystanovímeiintegračníkonstanty D 1, 1 a D 1,.Vtomtopřípaděvycázíme z okrajovýc podmínek σ r,n (r 1 )= p n a σ r,n (r )=0, (51) které platí pro kotouč bez rotace, viz pravá část obr.. Řešením soustavy rovnic D 1, 1 D1, r1 = p n a D 1, 1 D1, r =0 (5) vyplývajícíc z(51) a(45) obdržíme ledané integrační konstanty ve tvaru D 1, 1 = p nr 1 r r 1 a D 1, = p nr1r. (53) r r1 Změnupoloměru r 1 řídeleazměnupoloměru r k 1kotouče,kteréjsounutnépro výpočet r 1,jakjepatrnézrovnice(),můžemespřilédnutímkevztaům(45),(46), kamdosadímeze(49),(50)a(53),vyjádřitjako r1 = r 1 (σ t (r 1 0) ν σ r (r 1 ))( 1)= r 1p n (1 ν ), (54) E E r1= k r 1 (σ t (r 1 +0) ν k σ r (r 1 ))= r 1p n E k E k r r1 Vsouladusrovnicí()pakprocelkovýpřesazaklidupišme ( r 1 + r + ν k ). (55) r 1 = r1 + r 1= k 0.045p ( ) n (1 0.3)+0.045p n = p n. Porovnáním(44) a(56) obdržíme velikost nalisovací tlaku p n = který vznikne ve spoji řídele a kotouče po montáži. = (56) = Pa, (57) 13

14 r [mm] σ r,n σ o 50 5 σ r,n = σ t,n σ r, σ t, σ o [MPa] Obr.4 Nyní jsme scopni numericky vyšetřit stav napjatosti ve spojení řídele a kotouče. Integrační konstanty(53) nabývají odnot D 1, 1 = = Pa=10.03MPa, (58) D 1, = = N=0.5075MN. (59) Funkce popisující průbě radiálnío a obvodovéo napětí, viz vztay(45) a(46), mají po dosazení odnot dle(57) až(59) tvar pro r 0,r 1, σ r,n (r)= (60) pro r r r 1,r, pro r 0,r 1 ), σ t,n (r)= (61) + pro r (r r 1,r. Průběy těcto lavníc napětí, včetně napětí osovéo, jsou potom vidět na obr. 4. Hodnotyradiálníoaobvodovéonapětínapoloměrec r={0,r 1,r }můžemestanovitnásledujícím způsobem: σ t,n σ r,n (0)=σ r,n (r 1 )=D 0,1 1 = p n = 40.61MPa, σ r,n (r )=D 1, 1 D1, r =0, σ t,n (0)=σ t,n (r 1 0)=D 0,1 1 = p n = 40.61MPa, σ t,n (r 1 +0)=D 1, 1 + D1, r1 =D 1, 1 + p n = =60.67MPa, σ t,n (r )=D 1, 1 + D1, r =D 1, 1 = 10.03=0.06MPa. (6) 14

15 Při výpočtu bezpečnosti po montáži zjišťujeme, že stejně jako za rotace je kotouč nejvíce namáánnapoloměru r=r 1.Jevšakzřejmé,žeoprotipřípaduzarotacedošlokvýraznému nárůstu odnot redukovanéo napětí a to jak v kotouči, tak i v řídeli. Proto vypočítáme minimální bezpečnost dle Guestovy ypotézy pevnosti v obou tělesec. Redukované napětí je potom pro řídel rovno aprokotouč σ red = σ max σ min = σ o σ r,n = p n =40.61MPa (63) σ red = σ max σ min = σ t,n σ r,n =60.67 ( 40.61)=501.8MPa. (64) Následně určíme bezpečnost podle Guestovy ypotézy pevnosti vůči mezi kluzu materiálu řídele, resp. kotouče, jako k= Re σ red = =1.16, resp. k= Re k σ red = =1.04. (65) S přilédnutím k vypočteným odnotám bezpečnosti za rotace a po montáži, viz(8) a(65), můžeme tedy konstatovat, že nejmenší bezpečnost je v kotouči po montáži a její velikostje k=1.04. Příklad 4: Je dán rotující kotouč proměnné tloušťky, se dvěma stupni (obr.1),zatíženýnavnitřnímokrajiopoloměru r 1 tlakem p 1 anavnějšímokrajiopoloměru r 3 taovýmnapětím σ 3.Poloměr,naněmždocázíkezměnětloušťky kotoučeje r.vyšetřeteavměřítkuzakresletenapjatost, je-lidáno: ρ= kgm 3, ν=0.3, n=3000min 1, p 1 =15MPa, σ 3 =0MPa, r 1 =40mm, r =70mm, r 3 =110mm, b I =60mm, b II =30mm. σ 3 p 1 b II b I r 1 r ω Obr.1 Řešení: Při vyšetření napjatosti v kotouči se dvěma stupni postupujeme tak, že kotouč rozdělíme myšlenýmválcovýmřezem(napoloměru r )nadva-označmejenapř. Ia II.Vkaždém stupni pak předpokládáme platnost obecnéo řešení jako u rotujícío kotouče konstantní tloušťky, tj. pro radiální a obvodové napětí píšeme σ i r= D i 1 Di r (3+ν)D ωr a σ i t= D i 1+ Di r (1+3ν)D ωr pro i=i,ii (1) aosovénapětívšudevtělesezanedbáváme.kurčeníčtyřintegračníckonstant D I 1až D II, jež se vyskytují v(1), je třeba formulovat čtyři okrajové podmínky, které jsou pro řešenou úlou následující: σ I r(r 1 )= p 1 a ε I t(r )=ε II t(r ) a N I r(r )=N II r(r ) a σ II r(r 3 )=σ 3. () 15 r 3

16 Rovnice() 1,resp.() 4,vyjadřujerovnováumeziradiálnímnapětímvkotoučiavnějším zatíženímnapříslušnémpoloměru r 1,resp. r 3.Podmínka() vyjadřujedefactospojitost kotoučenapoloměru r.platítotiž ε i t(r )= r i (r )/r aodtudpřejdepodmínka ε I t(r )= ε II t(r )natvar r I (r )= r II (r ).Podmínku() lzeužitímobecnéohookeovazákona psáttakévetvaru σ I t(r ) νσ I r(r )=σ II t(r ) νσ II r(r ). (3) Podmínka() 3 potomvyjadřujerovnostradiálnícsilkotoučevmístěnekonečněblízkém válcovémuřezuopoloměru r.porozepsáníaúpravěpakmáme b I σ I r(r )=b II σ II r(r ). (4) Dosaďmenyníobecnéřešení(1)dookrajovýcpodmínek(),resp.(3)a(4).Porozepsání lze uvedené okrajové podmínky vyjádřit rovnicemi (1 ν)d1+ I (1+ν) D I r (1 ν)d II D I 1 1 r 1 D I =(3+ν)D ω r 1 p 1, 1 (1+ν) b I D1 I b I D I r b II D II Dosazením číselnýc odnot nejprve vypočteme D ω = ω 8 = π n = π r 1 + b II r D II =0, D II =(b I b II )(3+ν)D ω r, D1 II 1 D II r3 =(3+ν)D ω r3+ σ 3. (5) = Pam. (6) Poté dosadíme do rovnic(5) číselné odnoty za všecny známé parametry. Takto vzniklou soustavučtyřlineárnícalgebraickýcrovnicproneznámé D1až I D II je výodné zapsat v maticové formě D1 I D I D1 II = (7) D II Řešení soustavy(7) provedeme např. pomocí Gaussovy eliminace. Hodnoty neznámýc integračníc konstant jsou po vyčíslení rovny D1 I D1 II. = Pa, D I. =5890.7N,. = Pa, D II. = N. (8) Poté, co byly nalezeny otnoty integračníc konstant, lze sestavit rovnice průběu radiálnío a obvodovéo napětí rotujícío kotouče proměnné tloušťky se dvěma stupni, viz 16

17 σ o σ r σ t r [mm] σ r σ t σ r, σ t, σ o [MPa] Obr. rovnice(1).tytorovnicesvyužitím(6),(8)a(8)majítvar σ r (r)= σ t (r)= r r pro r r 1,r ), r r pro r (r,r 3, r pro r r r 1,r ), r pro r (r r,r 3 a jsou graficky znázorněny na obr.. V případě skutečnéo kotouče musí být průbě radiálníoaobvodovéonapětíspojitýprovšecna r r 1,r 3,protožeiobrysprofilukotouče jespojitý.podmínkaspojitostinapětíjevšakporušenavblízkémokolípoloměru r,kde nastává nálá změna tloušťky kotouče a kde tedy musíme respektovat Saint-Venantův princip lokálnosti. Poznámka: U kotoučů proměnnéo profilu, kde obrys osovéo řezu není možné výjádřit jednoducou funkcí, se dá vyšetřit napjatost přibližně tzv. metodou malýc rozdílů. Základem metody je řešení pro kotouč konstantní tloušťky. Skutečný profil tělesa se narazuje vodně odstupňovaným kotoučem. V místec nálé změny tloušťky profilu se volí ustší dělení na stupně, přičemž pro každý stupeň je volena střední tloušťka z danéo intervalu poloměru. Úlou pak řešíme při dodržení silovýc a deformačníc podmínek na poloměrec,vnicžsejednotlivédílčíkotoučestýkají,vizokrajovépodmínky() a() 3.Pro kotouč rozdělený na n stupňů je pak třeba formulovat celkem n okrajovýc podmínek, které vedou na řešení soustavy n lineárníc algebraickýc rovnic pro neznámé integrační konstanty D i 1až D i,kde i=1,,...,n.tímtopostupenjsmescopnivyšetřitpřibližný průbě radiálnío a obvodovéo napětí v kotouči proměnnéo profilu. (9) (10) 17

TLUSTOSTĚNNÉ ROTAČNĚ SYMETRICKÉ VÁLCOVÉ NÁDOBY. Autoři: M. Zajíček, V. Adámek

TLUSTOSTĚNNÉ ROTAČNĚ SYMETRICKÉ VÁLCOVÉ NÁDOBY. Autoři: M. Zajíček, V. Adámek 1.3 Řešené příklady Příklad 1: Vyšetřete a v měřítku zakreslete napjatost v silnostěnné otevřené válcové nádobě zatížené vnitřním a vnějším přetlakem, viz obr. 1. Na nebezpečném poloměru, z hlediska pevnosti

Více

Rotačně symetrická deska

Rotačně symetrická deska Rotačně symetrická deska je tenkostěnné těleso, jeož střednicová ploca je v nedeformovaném stavu rovinná, kruová nebo mezikruová. Zatížení působí kolmo ke střednicové rovině, takže při deformaci se střednicová

Více

Geometricky válcová momentová skořepina

Geometricky válcová momentová skořepina Geometricky válcová momentová skořepina Dalším typem tenkostěnnéo rotačně souměrnéo tělesa je geometricky válcová momentová skořepina. Typický souřadnicový systém je opět systém s osami z, r, a t. Geometricky

Více

K618 FD ČVUT v Praze (pracovní verze). Tento materiál má pouze pracovní charakter a bude v průběhu semestru

K618 FD ČVUT v Praze (pracovní verze). Tento materiál má pouze pracovní charakter a bude v průběhu semestru Poznámky k semináři z předmětu Pružnost pevnost na K68 D ČVUT v Praze (pracovní verze). Tento materiál má pouze pracovní carakter a bude v průběu semestru postupně doplňován. Autor: Jan Vyčicl E mail:

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

TAH-TLAK. Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek R A F=0 R A = F=1500N. (1) 0.59

TAH-TLAK. Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek R A F=0 R A = F=1500N. (1) 0.59 Autoři:. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek 1.3 Řešené příklady Příklad 1: U prutu čtvercového průřezu o straně h vyrobeného zedvoumateriálů,kterýjezatížensilou azměnou teploty T (viz obr. 1) vyšetřete a

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

Kapitola 9. Numerické derivování

Kapitola 9. Numerické derivování Kapitola 9 Numerické derivování Definice: Existuje-li pro danou funkci f : R! R vlastní (tj konečná) limita říkáme, že funkce f(x) má v bodě a derivaci Příslušnou limitu značíme f 0 (a) f(a + ) f(a) lim!0

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Diferencovatelné funkce

Diferencovatelné funkce Přednáška 5 Diferencovatelné funkce Jak jsme se zmínili v minulé přednášce, je lavní myšlenkou diferenciálnío počtu naradit danou funkci y = f) v okolí bodu a polynomem V této přednášce se budeme podrobně

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

2.1 Shrnutí základních poznatků

2.1 Shrnutí základních poznatků .1 Shnutí základních poznatků S plnostěnnými otujícími kotouči se setkáváme hlavně u paních a spalovacích tubín a tubokompesoů. Matematický model otujících kotoučů můžeme s úspěchem využít např. i při

Více

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov 3.2 Základy pevnosti materiálu Ing. Pavel Bělov 23.5.2018 Normálové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit je kolmé na rovinu řezu v případě že je

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

BETONOVÉ KONSTRUKCE B03C +B03K. Betonové konstrukce - B03C +B03K

BETONOVÉ KONSTRUKCE B03C +B03K. Betonové konstrukce - B03C +B03K BETONOVÉ KONSTRUKCE B03C +B03K Betonové konstrukce - B03C +B03K SKOŘEPINOVÉ KONSTRUKCE Skořepiny Konstrukční prvky plošnéo carakteru dva převládající rozměry konstrukčnío prvku (

Více

Rotující kotouče Drahomír Rychecký Drahomír Rychecký Rotující kotouče

Rotující kotouče Drahomír Rychecký Drahomír Rychecký Rotující kotouče Nabídka Kotouče bez otvoru Obecná úloha zde Volný kotouč zde Kotouč zatížený tahovým napětím na vnějším poloměru zde Kotouče s otvorem Obecná úloha zde Volný kotouč zde Kotouč zatížený tahovým napětím

Více

ARST - Architektura a statika SKOŘEPINOVÉ KONSTRUKCE. ARST - Architektura a statika. ARST - Architektura a statika

ARST - Architektura a statika SKOŘEPINOVÉ KONSTRUKCE. ARST - Architektura a statika. ARST - Architektura a statika SKOŘEPINOVÉ KONSTRUKCE 133 1 Skořepiny Konstrukční prvky plošnéo carakteru dva převládající rozměry konstrukčnío prvku (

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

8. Okrajový problém pro LODR2

8. Okrajový problém pro LODR2 8. Okrajový problém pro LODR2 A. Základní poznatky o soustavách ODR1 V kapitole 6 jsme zavedli pojem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která je pro n = 2 tvaru A 2 (x)y + A 1 (x)y + A 0 (x)y

Více

Měření momentu setrvačnosti

Měření momentu setrvačnosti Měření momentu setrvačnosti Úkol : 1. Zjistěte pro dané těleso moment setrvačnosti, prochází-li osa těžištěm. 2. Zjistěte moment setrvačnosti daného tělesa k dané ose metodou torzních kmitů. Pomůcky :

Více

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5) Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

Namáhání v tahu a ohybu Příklad č. 2

Namáhání v tahu a ohybu Příklad č. 2 Číslo projektu CZ.1.07/ 1.1.36/ 02.0066 Autor Pavel Florík Předmět Mechanika Téma Složená namáhání normálová : Tah (tlak) a ohyb 2 Metodický pokyn výkladový text s ukázkami Namáhání v tahu a ohybu Příklad

Více

Přednáška 4: Derivace

Přednáška 4: Derivace 4 / / 7, :5 Přednáška 4: Derivace Pojem derivace ormuloval v 7. století Isaac Newton při výpočtec poybu planet sluneční soustavy. Potřeboval spočítat úlovou ryclost planet. Její směr je dán tečnou ke dráze

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Přednáška 03 Diferenciální rovnice ohybu prutu Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Schwedlerovy věty Rovnováha na segmentech prutu Clebschova metoda integrace Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro 7 Gaussova věta Zadání Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro následující nabitá tělesa:. rovnoměrně nabitou kouli s objemovou hustotou nábojeρ,

Více

7. CVIČENÍ. Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

7. CVIČENÍ. Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Mohrova kružnice pro rovinnou napjatost Kritéria pevnosti (pro rovinnou napjatost) Příklady MOHROVA KRUŽNICE PRO ROVINNOU NAPJATOST Rovinná, neboli dvojosá

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

Výpočet vodorovné únosnosti osamělé piloty

Výpočet vodorovné únosnosti osamělé piloty Inženýrský manuál č. 16 Aktualizace: 07/2018 Výpočet vodorovné únosnosti osamělé piloty Program: Soubor: Pilota Demo_manual_16.gpi Cílem tooto inženýrskéo manuálu je vysvětlit použití programu GEO 5 PILOTA

Více

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

Cvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (

Cvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( Cvičení 11 1. Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( σxx τ xy τ xy σ yy ) (a) Najděte vyjádření tenzoru napětí v soustavě souřadnic pootočené v rovině xy o

Více

Prostorové konstrukce. neznámé parametry: u, v w. (prvky se středostranovými uzly)

Prostorové konstrukce. neznámé parametry: u, v w. (prvky se středostranovými uzly) Konečné prvk pro řešení 3D úloh Prostorové konstrukce neznámé parametr: u, v w volba různého počtu uzlů a neznámých v uzlech možnost zakřivených hran prvků (prvk se středostranovými uzl) Opakování: Geometrické

Více

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Nespojitá vlákna. Technická univerzita v Liberci kompozitní materiály 5. MI Doc. Ing. Karel Daďourek 2008

Nespojitá vlákna. Technická univerzita v Liberci kompozitní materiály 5. MI Doc. Ing. Karel Daďourek 2008 Nespojitá vlákna Technická univerzita v Liberci kompozitní materiály 5. MI Doc. Ing. Karel Daďourek 2008 Vliv nespojitých vláken Zabývejme se nyní uspořádanými nespojitými vlákny ( 1D systém) s tahovým

Více

EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2. Jan Krystek

EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2. Jan Krystek EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 4. přednáška Jan Krystek 15. března 2018 ODPOROVÁ TENZOMETRIE Elektrická odporová tenzometrie je nepřímá metoda. Poměrné prodloužení je určováno na základě poměrné změny elektrického

Více

Nelineární problémy a MKP

Nelineární problémy a MKP Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Příloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty

Příloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty Příloha č. 1 Při hodnocení expozice nízkofrekvenčnímu elektromagnetickému poli (0 Hz 10 MHz) je určující veličinou modifikovaná proudová hustota J mod indukovaná v tělesné tkáni. Jak je uvedeno v nařízení

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,

Více

Kˇriv e pruty Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Kˇ riv e pruty

Kˇriv e pruty Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Kˇ riv e pruty Obsah Dimenzování křivého tenkého prutu zde Deformace v daném místě prutu zde Castiglianova věta zde Dimenzování křivého tenkého prutu Mějme obecný křivý prut z homogeního izotropního materiálu. Obrázek:

Více

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy

Více

Základy teorie plasticity

Základy teorie plasticity Kapitola 1 Základy teorie plasticity 1.1 Úvod V předešlých kapitolách jsme se zabývali případy, kdy se zatížené těleso po odlehčení vrátí do své původní(nezatížené) polohy nezmění své původní rozměry ani

Více

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme

Více

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá:

Více

Aproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy

Aproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení

Více

PRINCIP IZOSTÁZE TEORIE

PRINCIP IZOSTÁZE TEORIE GEOOGIE PRINIP IZOTÁZE TEORIE Princip izostáze spočívá v předpokladu, že existuje určitá ladina, na které je odnota všesměrnéo tlaku konstantní na celé Zemi. Tato ladina se nacází na ranici pevné litosféry

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.9 Plasticita a creep

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.9 Plasticita a creep Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.9 Plasticita a creep Vliv teploty na chování materiálu 1. Teplotní roztažnost L = L α T ( x) dl 2. Závislost modulu pružnosti na teplotě: Modul pružnosti při

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt SIMULAČNÍ MODEL KLIKOVÉ HŘÍDELE KOGENERAČNÍ JEDNOTKY E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze Abstrakt Crankshaft is a part of commonly produced heat engines. It is used for converting

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA I

PRUŽNOST A PLASTICITA I Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice

Více

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost. Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Příklad zemní tlak v klidu

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost. Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Příklad zemní tlak v klidu Přednáška 08 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův ákon Příklad emní tlak v klidu Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Cech Technical University in

Více

Koncept tryskového odstředivého hydromotoru

Koncept tryskového odstředivého hydromotoru 1 Koncept tryskového odstředivého hydromotoru Ing. Ladislav Kopecký, květen 2017 Obr. 1 Návrh hydromotoru provedeme pro konkrétní typ čerpadla a to Čerpadlo SIGMA 32-CVX-100-6- 6-LC-000-9 komplet s motorem

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

6 ZKOUŠENÍ STAVEBNÍ OCELI

6 ZKOUŠENÍ STAVEBNÍ OCELI 6 ZKOUŠENÍ TAVEBNÍ OCELI 6.1 URČENÍ DRUHU BETONÁŘKÉ VÝZTUŽE DLE POVRCHOVÝCH ÚPRAV 6.1.1 Podstata zkoušky Různé typy betonářské výztuže se liší nejen povrchovou úpravou, ale i různými pevnostmi a charakteristickými

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Nespojitá vlákna. Nanokompozity

Nespojitá vlákna. Nanokompozity Nespojitá vlákna Nanokompozity Pro 5. ročník nanomateriály Fakulta mechatroniky Katedra materiálu Strojní fakulty Technická univerzita v Liberci Doc. Ing. Karel Daďourek, 2010 Vliv nespojitých vláken Uspořádaná

Více

9.7. Vybrané aplikace

9.7. Vybrané aplikace Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž

Více

a) [0,4 b] r < R, b) [0,4 b] r R c) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty.

a) [0,4 b] r < R, b) [0,4 b] r R c) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty. Příklady: 24. Gaussův zákon elektrostatiky 1. Na obrázku je řez dlouhou tenkostěnnou kovovou trubkou o poloměru R, která nese na povrchu náboj s plošnou hustotou σ. Vyjádřete velikost intenzity E jako

Více

Náhodné chyby přímých měření

Náhodné chyby přímých měření Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.

Více

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky

Více

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost Přednáška 8 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Objemový modul pružnosti Oedometrický modul pružnosti Hlavní napětí, hlavní deformace

Více

SMA2 Přednáška 09 Desky

SMA2 Přednáška 09 Desky SMA Přednáška 09 Desk Měrné moment na deskách Diferenciální rovnice tenké izotropní desk Metod řešení diferenciální rovnice desk Přibližné řešení obdélníkových desek Příklad Copright (c) 01 Vít Šmilauer

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

Lineární stabilita a teorie II. řádu

Lineární stabilita a teorie II. řádu Lineární stabilita a teorie II. řádu Sestavení podmínek rovnováhy na deformované konstrukci Konstrukce s a bez počáteční imperfekce Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi ANKC-C 1 Zatěžovacídráhy [Šejnoha,

Více

V následujícím obvodě určete metodou postupného zjednodušování hodnoty zadaných proudů, napětí a výkonů. Zadáno: U Z = 30 V R 6 = 30 Ω R 3 = 40 Ω R 3

V následujícím obvodě určete metodou postupného zjednodušování hodnoty zadaných proudů, napětí a výkonů. Zadáno: U Z = 30 V R 6 = 30 Ω R 3 = 40 Ω R 3 . STEJNOSMĚNÉ OBVODY Příklad.: V následujícím obvodě určete metodou postupného zjednodušování hodnoty zadaných proudů, napětí a výkonů. Z 5 5 4 4 6 Schéma. Z = 0 V = 0 Ω = 40 Ω = 40 Ω 4 = 60 Ω 5 = 90 Ω

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti. Úvod do MKP Napěťová analýza modelu s vrubem

VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti. Úvod do MKP Napěťová analýza modelu s vrubem VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti Úvod do MKP Autor: Michal Šofer Verze 0 Ostrava 2011 Zadání: Proveďte napěťovou analýzu součásti s kruhovým vrubem v místě

Více

Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník

Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky

Více

Numerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací. Michal Seifert

Numerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací. Michal Seifert Numerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací Michal Seifert Úkoly diplomové práce Popsat matematické modely proudící tekutiny Popis numerických metod založených na metodě konečných objemů Porovnání

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více