Výpočet vnitřních sil I

Transkript

1 Stvení sttik, 1.ročník klářského studi ýpočet vnitřních sil I přímý nosník, ztížení odové nitřní síly - zákldní pojmy ýpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, ŠB - Technická univerzit Ostrv

2 nitřní síly Prut v rovině 3 volnosti Podepření - 3 vzy oderány 3 volnosti, stticky určitá úloh nější ztížení rekce musí ýt v rovnováze 3 podmínky rovnováhy, z nich 3 neznámé rekce nější ztížení rekce se nzývjí vnější síly Uvnitř nosníku půsoením vnějších sil vznikjí vnitřní síly Oecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme n tři složky: v ose prutu - normálová síl [kn] kolmo n osu prutu - posouvjící síl [kn] ohyový moment [knm] 2

3 ýpočet nosníku v osové úloze Půsoí-li ztížení pouze v ose nosníku = ve směru normály průřezu, vzniká vnitřní síl normálová síl F F 2 Průřez prutu y z 1 l 2 d h x Os prutu Sttické schém: sttický model nosné konstrukce P 1 P 2 R 1 2 x l R z 3

4 Nosná konstrukce spojitý nosník s klouy ost přes železniční trť z r.1980, Ostrv Svinov, délk 130 m, hmotnost t foto: doc. Ing. rtin Krejs, Ph.D. Některé oecné zákldní pojmy stvení sttiky 4

5 Příkldy jednoduchých vze tuhého prutu v rovině nější vzy odeírjí ojektu stupně volnosti. n násoná vz ruší ojektu n stupňů volnosti. Název vzy Násonost vzy Oznčení vzy rekce Kyvný prut 1 Posuvná klouová podpor 1 neo Pevný klouová podpor 2 R x neo R x Posuvné vetknutí 2 Dokonlé vetknutí 3 R x 5

6 Podepření, vnější vnitřní vzy R z Kyvná stojk, most přes železniční trť z r.1980, Ostrv Svinov foto: doc. Ing. rtin Krejs, Ph.D. Některé oecné zákldní pojmy stvení sttiky 6

7 Podepření, vnější vzy R x R x Pevná podpor, most přes řeku Odru z r.1964, Polnecká spojk, Ostrv Zářeh, foto: doc. Ing. rtin Krejs, Ph.D. Některé oecné zákldní pojmy stvení sttiky 7

8 Podepření, vnější vnitřní vzy Posuvná podpor, most přes železniční trť z r.1980, Ostrv Svinov, foto: doc. Ing. rtin Krejs, Ph.D. Některé oecné zákldní pojmy stvení sttiky 8

9 Podepření, vnější vnitřní vzy ložený klou, most přes železniční trť z r.1980, Ostrv Svinov, Fot doc. Ing. rtin Krejs, Ph.D. Některé oecné zákldní pojmy stvení sttiky 9

10 Podepření, vnější vnitřní vzy R x yhlídková lávk chrkteru konzoly Cntilever skywlk, Grnd Cnyon, USA, foto: Některé oecné zákldní pojmy stvení sttiky 10

11 Normálová síl N [kn] Normálová síl N v liovolném průřezu x nosníku je rovn lgerickému součtu všech vnějších sil půsoících v ose nosníku zlev neo zprv od x. nější síly N N os nosníku Kldná normálová síl vyvozuje v průřezu x th půsoí ven z průřezu. opčném přípdě je normálová síl záporná vyvozuje tlk. R x R x N N - th tlk N N F F 11

12 Příkld N síly R x =18kN F 1 =12 F 2 =16 F 3 =10 F 1 =18 F 2 =12 F 3 =16 Zdání: sestrojit průěh normálových sil N R x =10kN Průěh normálových sil po celé délce se znázorňuje grficky formou digrmu (grfu). kldné normálové síly N se vynášejí nhoru, záporné normálové síly N se vynášejí dolů Řešení příkldu 4.2 Or / str

13 ýpočet nosníku v příčné úloze Ztížení síly kolmo n osu prutu momentové ztížení. příčné úloze dv druhy vnitřních sil: posouvjící síl ohyový moment. P R x =0 l/2 l/2 R z 13

14 Posouvjící síl [kn] Posouvjící síl v liovolném průřezu x nosníku je rovn lgerickému součtu všech vnějších sil půsoících kolmo k ose nosníku zlev neo zprv od x. nější síly os nosníku Kldná posouvjící síl počítán zlev směřuje nhoru. opčném přípdě je záporná. F - Kldná posouvjící síl počítán zprv směřuje dolů. opčném přípdě je záporná. R R 14

15 Příkld síly F 1 =10kN F 2 =40kN F 3 =2kN s podpormi c d e kldné posouvjící síly se vynášejí nhoru, 4 =34 R z =18 záporné posouvjící síly se vynášejí dolů 15

16 Příkld síly F 1 =10kN F 2 =40kN F 3 =2kN c d e =34 4 R z =18 F 1 =10kN F 2 =40kN F 3 =2kN c d e =34 4 R z =18 s podpormi ez podpor, jen síly kldné posouvjící síly se vynášejí nhoru, záporné posouvjící síly se vynášejí dolů 16

17 Ohyový moment [knm] Ohyový moment v liovolném průřezu x nosníku je roven lgerickému součtu všech sttických momentů od všech vnějších sil zlev neo zprv od x. Kldný ohyový moment počítný zlev otáčí po směru chodu hodinových ručiček. opčném přípdě je záporný. Kldný ohyový moment počítný zprv otáčí proti směru chodu hodinových ručiček. opčném přípdě je záporný. Kldným ohyovým momentem jsou dolní vlákn tžen horní tlčen (nosník je prohýán směrem dolů). U záporného ohyového momentu je to nopk. R R tlk th th tlk F os nosníku F R R - 17

18 Ohyový moment verzus sttický moment Ohyový moment [knm] v liovolném průřezu x nosníku je roven lger. součtu všech sttických momentů od všech vnějších sil zlev neo zprv od x. á tendenci nosník deformovt ohýt. Jedná se o vnitřní sílu. os nosníku Sttický moment s [knm] v liovolném odě nosníku je roven lger. součtu všech sttických momentů od všech vnějších sil (z oou strn). á tendenci nosníkem otáčet. Jedná se o vnější účinek. s os nosníku 18

19 Příkld ohyové momenty F 1 =10kN F 2 =40kN F 3 =2kN s podpormi c d e ohyové momenty se vynášejí vždy n strnu 4 =34 tžených vláken (důležité), R z =18 u nosníku nhoru záporné, dolů kldné hodnoty 19

20 Příkld ohyové momenty F 1 =10kN F 2 =40kN F 3 =2kN c d e =34 R z =18 F 1 =10kN F 2 =40kN F 3 =2kN c d e =34 R z =18 s podpormi ez podpor, jen síly ohyové momenty se vynášejí vždy n strnu tžených vláken (důležité), u nosníku nhoru záporné, dolů kldné hodnoty 20

21 Směr půsoení vnitřních sil Kldné směry vnitřních sil: N N Záporné směry vnitřních sil: - N N Kldné směry vnějších sil: ezi vnější síly ptří ztížení rekce. Při jejich výpočtu využíváme znménkovou konvenci pro vnější síly. 21

22 Podmínk rovnováhy elementu Jeden ze zákldních principů stvení mechniky: Rx N x 1 x 2 N F Je-li nosná stvení konstrukce v rovnováze, musí ýt v rovnováze kždá její část. je-li prut v rovnováze, musí ýt v rovnováze kždý jeho od. kždou dílčí část těles, které je v rovnováze, můžeme pomyslně osmosttnit i tto osmosttněn část musí ýt v rovnováze. 22

23 Schwedlerovy vzthy - Diferenciální podmínk rovnováhy elementu v osové úloze N n x 1 x 2 x NdN x z dx ýslednice všech sil půsoících n element musí ýt nulová: F ix = 0: -N (NdN) n.dx = 0 dn dx n 23

24 Schwedlerovy vzthy Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze ýslednice všech sil půsoících n element musí ýt nulové: x x 1 dq = q.dx F iz = 0: q - (d) q.dx = 0 d x 2 x m i,x2 = 0: z d - (d).dx q.dx.dx/2 m.dx = 0 dx d m dx d q dx Člen q.dx.dx/2 můžeme znedt (extrémně mlý) pro m=0: d dx 24

25 Závěry ze Schwedlerových vzthů extrémní hodnoty vnitřních sil Schwedlerovy vzthy Johnn Wilhelm Schwedler ( ) význmný německý inženýr dn d d 1. n 2. q 3. dx dx dx 3. zth odvozen pro m=0: Závěry: Extrém funkce f(x): x df dx 0 d dx q Extrém posouvjících sil je v průřezu, kde q=0 d dx q 0 pro m=0: d dx Extrém ohyových momentů je v průřezu, kde =0 neo mění znménko d dx 0 integrce Derivčně integrční schém -q derivce 25

26 Shrnutí - určení extrémních hodnot vnitřních sil Extrém může vzniknout: ) v podporových odech ) v půsoištích osmělých sil (znménko se mění skokem) c) pod spojitým ztížením v místě, kde je =0 0º n - d dx 0 Extrém v průřezu, kde =0 neo mění znménko n = neezpečný (kritický) průřez 1º n - 1º 2º mx mx 26

27 Souvislost mezi spojitým příčným ztížením průěhy vnitřních sil 2 d d d Závěry: q 2 q dx dx dx 1. řád funkce (x) (x) typ čáry v digrmech 2. míst extrému u (x) (x) integrce -q derivce Souvislost mezi spojitým příčným ztížením průěhy vnitřních sil Or / str

28 příkld 1 normálové síly R x = 60,62kN P z = 35 kn P = 70 kn 60 c P x = 60,62 kn 2 4 hodnoty kreslit nd osu zlev: N c = - R x N c = - R x P x = 23,33kN 6 R z = 11,67kN zprv: R x c N c = 0 N c = - P x N - 60,62 P x Nc = 0-60,62 = Nc Znčení vnitřní síly v přípdě, že v jednom odě má 2 hodnoty- tdy od c (pltí oecně pro všechny síly): první index znčí místo, ve kterém je síl určen (od c), druhý index, zd se jedná o hodnotu vlevo neo vprvo od odu (c)( tdy N c =-60,6kN, tedy hodnot těsně vlevo od odu c (směrem k odu 28)

29 příkld 1 posouvjící síly P z = 35 kn P = 70 kn hodnoty kreslit nd osu R x = 60,62kN c 60 P x = 60,62 kn zlev: = 23,33kN 2 4 R z = 11,67kN 6 P z = 35 kn zprv: c R z odě c půsoí osmělé ztížení, proto počítt 2 hodnoty síly c c silový skok 29

30 příkld 1 posouvjící síly P z = 35 kn P = 70 kn hodnoty kreslit nd osu R x = 60,62kN c 60 P x = 60,62 kn = 23,33kN 2 4 R z = 11,67kN 6 zlev: c P z = 35 kn = c = c = - P z 23,33 Dopst stupně polynomů!!! 23,33 = c R z zprv: = c = - R z c = - R z P z - 11,67 = c - 11,67 odě c půsoí osmělé ztížení, proto počítt 2 hodnoty síly c c silový skok 30

31 příkld 1 posouvjící síly všechny rovnice zlev i zprv-porovnání R x = 60,62kN c P x = 60,62 kn = 23,33kN P z = 35 kn c P z = 35 kn P = 70 kn 60 R z = 11,67kN R z ýsledky výpočtů zlev i zprv jsou shodné, volíme vždy vrintu jednodušší. Není tře uvádět všechny rovnice. Zde jsou pouze pro názornost. zlev: =( c ) = c = c = P z =( c ) = P z 23,33 23,33 = c - 11,67 = c v odě c počítt 2 hodnoty síly silový skok - 11,67 zprv: c =( c )= - R z c = - R z c = - R z P z =( c )= - R z 31 P z

32 příkld 1 ohyové momenty R x P P = 70 kn z = 35 kn 60 c P x = 60,62 kn l c = 2 l c = 4 6 oh.momenty vynášet n strnu tžených vláken (dole znménko) R z zlev: - 11,67 c 23,33 zprv: P z = 35 kn R z Dopst stupně polynomů!!! 32

33 příkld 1 ohyové momenty R x P P = 70 kn z = 35 kn 60 c c - 11,67 P x = 60,62 kn l c = 2 l c = ,33 oh.momenty vynášet n strnu tžených vláken (dole znménko) R z zlev: = 0 x =. x c =. l c x =. x - P z. (x - l c ) =. l - P z. l c = 0 Dopst stupně polynomů!!! P z = 35 kn 46,67 (. l c = R z. l c ) R z zprv: = 0 x = R z. x c = R z. l c x = R z. x - P z. (x - l c ) = R z. l - P z. l c = 0 33

34 příkld 1 schém vnitřních sil v odě d P z = 35 kn P = 70 kn R x d c P x = 60,6 kn R z R x P z d L N d Rx 60,6kN N d d P x Rz L d R z L d R z 23,33kN 1 23,33kNm R x d N d P z P x R z P N d P P d R x z 60,6kN P z 23,33kN d L d R z 5 P 1 z 23,33kNm 34

35 příkld 1 schém vnitřních sil v odě c vlevo od síly výpočet zlev P z = 35 kn P = 70 kn R x c P x = 60,6 kn l c = 2 l c = 4 6 R z R x 23,33 = c c - 11,67 N c c P z L N c R L c R L c R z z x 60,6kN 23,33kN 2 46,67kNm P x c R z odě c není osmělé momentové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ), proto vnitřní moment v odě c c nemusí mít znčeni dvěm indexy. 35

36 příkld 1 schém vnitřních sil v odě c vlevo od síly výpočet zprv P z = 35 kn P = 70 kn R x c P x = 60,6 kn l c = 2 l c = 4 6 R z 23,33 = c P N c P x 60,6kN R x c c - 11,67 P z N c c P x P c L c R R z R z z P z 23,33kN 4 46,67kNm odě c není osmělé momentové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ), proto vnitřní moment v odě c c nemusí mít znčeni dvěm indexy. 36

37 příkld 1 schém vnitřních sil v odě c vprvo od síly výpočet zlev R x c P z = 35 kn P = 70 kn P x = 60,6 kn l c = 2 l c = 4 6 R z R x c =-11,67 N c c P z c - 11,67 N L c L c R R z L c R z x P z P x 0 11,67kN 2 46,67kNm P x c Rz odě c není osmělé momentové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ), proto vnitřní moment v odě c c nemusí mít znčeni dvěm indexy. 37

38 příkld 1 schém vnitřních sil v odě c vprvo od síly výpočet zprv P z = 35 kn P = 70 kn R x c P x = 60,6 kn l c = 2 l c = 4 6 R z R x c =-11,67 P z c c N c - 11,67 P N c 0 P c R P c R z z 11,67kN 4 46,67kNm P x c R z odě c není osmělé momentové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ), proto vnitřní moment v odě c c nemusí mít znčeni dvěm indexy. 38

39 příkld 2 =31,82kNm R x = 6,36kN zdání 5 =6,36kN x L x = 31,82kNm 45 R x = 6,36kN P z =6,36 45 P = 9kN N řešení = 6,36kN 5 x P P = 9kN P x =6,36 Zkontrolujte stupně polynomů!!! 39

40 příkld 2 =31,82kNm R x = 6,36kN zdání 5 x = 31,82kNm 45 R x = 6,36kN P z =6,36 45 P = 9kN x L řešení = 6,36kN 5 x P P = 9kN P x =6,36 =6,36kN N -6,36 6,36 0 (x)p = - P z. x L -31,82 (x)l =. x P - 1 Zkontrolujte stupně polynomů!!! 40

41 příkld 3 zlev: - úsek c = 0 x = - Rz. x c = - Rz. 6 c = - Rz. 6 - úsek c x = - Rz. x = - Rz. l = 0 x L (zlev) = 0,333kN N = 3kNm = 0 c x P (zprv) R z =0,333kN zprv: - úsek c = 0 x = Rz. x c = Rz. 3 c = Rz. 3 - úsek c x = Rz. x - = Rz. l - = x 1 c =1 c =-2-0,333 Zkontrolovt polynomy 1 -.x L = R z.x P v odě c počítt 2 hodnoty momentu momentový skok 41

42 příkld 3 schém vnitřních sil v odě c výpočet zlev = 3kNm c 1 c = R z c =1 1 c N c =0 c R z L N c 0 L c R z L c R z 3,33kN 6 2kNm N c =0 c c R z L N c L c 0 L c R z R z 3,33kN 6 1kNm odě c není osmělé silové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ni N), proto vnitřní síly c i N c v odě c nemusí mít znčeni dvěm indexy. U momentu nutno počítt 2 hodnoty. 42

43 příkld 3 schém vnitřních sil v odě c výpočet zprv = 3kNm c 1 c = R z c =1 1 c c N c =0 R z P N c P c 0 P c R R z z 3,33kN 3 2kNm c c N c =0 R z P N c 0 P c R P c R z z 3,33kN 3 1kNm odě c není osmělé silové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ni N), proto vnitřní síly c i N c v odě c nemusí mít znčeni dvěm indexy. U momentu nutno počítt 2 hodnoty. 43

44 Příkld 5 P = 10 kn =4,33 4 R z =12,99 2 c 30 Znménková konvence pro vnější síly N 6 8,66-5,00 Znménková konvence pro vnitřní síly 4,33-17,32 N N 44

45 Okruhy prolémů k ústní části zkoušky 1. ýpočet vnitřních sil přímého nosníku 2. Diferenciální podmínky rovnováhy elementu přímého nosníku, Schwedlerovy vzthy, využití 3. Určení extrémních hodnot vnitřních sil 4. Znčení vnitřních sil v místě půsoiště odového ztížení 45