V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:"

Transkript

1 Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst let let let let let let let let let Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty a sestavte korelační matici. Z výsledných korelačních koeficientů se pokuste verbálně charakterizovat tabulkou popsaný jev. Řešení 1 Data pro tuto úlohu máme zadána tabulkou četnosti. Chceme zkoumat vztahu mezi počtem ženichů a počtem nevěst s tím, že na jev hledíme z hlediska věkové skupiny. Zajímá nás tedy, zda se dá říci, že lidé často uzavírají sňatek v rámci stejné věkové skupiny. Poznámka - Samozřejmě mnohem zajímavější a ve výsledku lépe vypovídající by bylo zkoumání trendu závislosti věku ženicha a věku nevěsty. To s těmito daty ale udělat nemůžeme. Na to bychom potřebovali primární data o věku ženicha a nevěsty v každém uzavřeném manželství. Nicméně na tomto příkladu si ukážeme, že i z ne zcela kvalitních dat lze statistickými metodami získat poměrně kvalitní odpověď. Řešení 1 a ruční výpočet Označme počty ženichů a počty nevěst postupně pro jednotlivé věkové třídy. Zde je počet ženichů a je počet nevěst i-té věkové třídy. 11, , , , 50 46, 26 39, 25 26, 27 29, 22 27, 12 Sestavíme nyní bodový graf ukazující vztah počtu ženichů a počtu nevěst v jednotlivých věkových třídách. Na vodorovnou osu vynášíme počet ženichů, na svislou osu počet nevěst. Jednotlivé body 1

2 grafu pak ukazují soubor příslušných dvojic ze stejné věkové třídy. Tento graf je jediným užitím MS Excel v rámci tohoto řešení. Zahájíme výpočet Pearsonova korelačního koeficientu. Nejprve vypočítáme aritmetické průměry jednotlivých znaků, neboli vypočteme aritmetický průměr počtu ženichů a aritmetický průměr počtu nevěst. Začneme se ženichy. 1 Pokračujeme nevěstami. & "11#166#191#88#46#39#26#29#27$ , "30#272#159#50#26#25#27#22#12$ ,22 9 Oba průměry mají stejnou hodnotu. Sňatek v roce 1998 mohl uzavírat pouze muž se ženou, proto jsou počty ženichů a počty nevěst nutně stejné. Stejný je i počet věkových tříd. Průměr pak nemůže vyjít jinak, než stejně (kdyby nevyšel, bylo by zřejmé, že jsme někde ve výpočtu udělali chybu). Dále budeme počítat kovarianci počtu ženichů a počtu nevěst. 2

3 ' () = 1 " $" &$ = 1 9 +"11 69,22$"30 69,22$+"166 69,22$"272 69,22$ +"191 69,22$"159 69,22$+"88 69,22$"50 69,22$ +"46 69,22$"26 69,22$+"39 69,22$"25 69,22$ +"26 69,22$"27 69,22$+"29 69,22$"22 69,22$ +"27 69,22$"12 69,22$, = 1 9 +" 58,22$ " 39,22$+96,78 202,78+121,78 89,78+18,78 " 19,22$ +" 23,22$ " 43,22$+" 30,22$ " 44,22$+" 43,22$ " 42,22$+" 40,22$ " 47,22$ +" 42,22$ " 57,22$, = , , ,41 360, , , , , ,83,= ,56=4551,17 Pro výpočet Pearsonova korelačního koeficientu budeme potřebovat i rozptyl počtu ženichů a rozptyl počtu nevěst. Oba rozptyly můžeme počítat jako kovarianci těchto počtů sama se sebou. Začneme výpočtem rozptylu počtu ženichů. ' ( = 1 " $ = 1 " $" $ =' (( = = 1 9 +"11 69,22$"11 69,22$+"166 69,22$"166 69,22$ +"191 69,22$"191 69,22$+"88 69,22$"88 69,22$ +"46 69,22$"46 69,22$+"39 69,22$"39 69,22$ +"26 69,22$"26 69,22$+"29 69,22$"29 69,22$ +"27 69,22$"27 69,22$, = 1 9 +" 58,22$ " 58,22$+96,78 96,78+121,78 121,78+18,78 18,78 +" 23,22$ " 23,22$+" 30,22$ " 30,22$+" 43,22$ " 43,22$+" 40,22$ " 40,22$ +" 42,22$ " 42,22$, = , , ,37+352,69+539,17+913, , , ,53,= ,659,56=3851,06 Pokračujeme výpočtem rozptylu počtu nevěst. 3

4 ' ) = 1 " &$ = 1 " &$" &$ =' )) = = 1 9 +"30 69,22$"30 69,22$+"272 69,22$"272 69,22$ +"159 69,22$"159 69,22$+"50 69,22$"50 69,22$ +"26 69,22$"26 69,22$+"25 69,22$"25 69,22$ +"27 69,22$"27 69,22$+"22 69,22$"22 69,22$ +"12 69,22$"12 69,22$, = 1 9 +" 39,22$ " 39,22$+202,78 202,78+89,78 89,78+" 19,22$ " 19,22$+" 43,22$ " 43,22$+" 44,22$ " 44,22$+" 42,22$ " 42,22$ +" 47,22$ " 47,22$ +" 57,22$ " 57,22$, = , , ,,45+369, , , , , ,13,= ,56=6910,84 Získané mezivýsledky použijeme k výpočtu Pearsonova korelačního koeficientu. - (,) = ' () 4551,17 =.' ( ' /3851, ,84 = 4551,17 / ,59 =4551, ,88 =0,88 ) Všechny výpočty jsme průběžně zaokrouhlovali na dvě desetinná místa. Zbývá ještě vyjádřit slovně vztah počtu ženichů a počtu nevěst v jednotlivých věkových třídách. Hodnotit budeme podle tabulky (viz teorie). Korelační koeficient Úroveň závislosti - (,) = 1 Pevná záporná závislost 1<- (,) < 0,7 Značně vysoká záporná závislost 0,7<- (,) < 0,5 Vysoká záporná závislost 0,5<- (,) < 0,3 Střední záporná závislost 0,3<- (,) <0 Slabá záporná závislost - (,) =0 Neexistující závislost 0<- (,) <0,3 Slabá kladná závislost 0,3<- (,) <0,5 Střední kladná závislost 0,5<- (,) <0,7 Vysoká kladná závislost 0,7<- (,) <1 Značně vysoká kladná závislost - (,) =1 Pevná kladná závislost Můžeme konstatovat, že mezi počty ženichů a nevěst v jednotlivých věkových třídách značně vysoká kladná závislost. To nás nepřekvapuje. Viděli jsme tuto závislost již v tabulce třídního rozdělení v zadání. Počty ženichů a nevěst se v jednotlivých třídách řádově nelišily. Řešení 1 b naivní využití MS Excel V tomto řešení tého příkladu nebudeme užívat kalkulačku, ale k provedení výpočtů využijeme MS Excel. Nebudeme ale užívat žádné z jeho statistických funkcí, neboli ho budeme užívat jen velmi naivně (tak, jak to dělá naprostá většina uživatelů tohoto programu). Data si vložíme v MS Excel do tabulky 4

5 Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let let let let Z této tabulky vytvoříme bodový graf Tabulku doplníme O řádky směřující k výpočtu průměru obou zkoumaných znaků (počtu nevěst a počtu ženichů). Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let let let let Počet 9 9 Součet Průměr 69,22 69,22 5

6 Průměr (je nutně stejný pro oba zkoumané znaky, jak jsme konstatovali v minulém řešení) máme vypočítaný. Tabulku si nyní rozšíříme o sloupce týkající se výpočtu odchylek od průměrného věku v obou zkoumaných třídách. Jde o sloupce Zo pro ženichy a No pro nevěsty. Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No let ,22-58,22-39, let ,22 96,78 202, let ,22 121,78 89, let ,22 18,78-19, let ,22-23,22-43, let ,22-30,22-44, let ,22-43,22-42, let ,22-40,22-47, let ,22-42,22-57,22 Počet 9 9 Součet 0,00 0,00 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance Kontrolní součet odchylek je nulový. V této fázi výpočtu tedy nemáme chybu. Abychom mohli vypočítat korelační koeficient, potřebujeme nejprve vypočítat kovarianci a rozptyly obou zkoumaných znaků. Pro výpočet si tabulku rozšíříme o pomocné sloupce ZoNo, Zo2 a No2. Do sloupce ZoNo vložíme vzorce pro výpočet součinu sloupců Zo a No v odpovídajících řádícch. Do sloupce Zo2 vložíme vzorce pro výpočet druhé mocniny hodnoty ve sloupci Zo v odpovídajícím řádku. A podobně naplníme i sloupec No2. Vypočteme součty těchto sloupců. Dostaneme Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No ZoNo Zo2 No let ,22-58,22-39, , , , let ,22 96,78 202, , , , let ,22 121,78 89, , , , let ,22 18,78-19,22-360,95 352,60 369, let ,22-23,22-43, ,72 539, , let ,22-30,22-44, ,49 913, , let ,22-43,22-42, , , , let ,22-40,22-47, , , , let ,22-42,22-57, , , ,38 Počet 9 9 Součet 0,00 0, , , ,56 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance 4551,17 Pro výpočet kovariance teď stačí vydělit součet sloupce ZoNo počtem tříd. Totéž platí pro výpočet rozptylu hodnot obou zkoumaných znaků. 6

7 Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No ZoNo Zo2 No let ,22-58,22-39, , , , let ,22 96,78 202, , , , let ,22 121,78 89, , , , let ,22 18,78-19,22-360,95 352,60 369, let ,22-23,22-43, ,72 539, , let ,22-30,22-44, ,49 913, , let ,22-43,22-42, , , , let ,22-40,22-47, , , , let ,22-42,22-57, , , ,38 Počet 9 9 Součet 0,00 0, , , ,56 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance 4551,17 Korel.koef. 0,88 =CORREL(B2:B10;C2:C10) Pearson 0,88 =PEARSON(B2:B10;C2:C10) Rozptyl 3851, ,84 Nyní již máme k dispozici všechny potřebné mezivýsledky pro výpočet Pearsonova korelačního koeficientu. Nejprve si vypočítáme součin obou rozptylů. Ten poté odmocníme. A nakonec vydělíme dříve nalezenou kovarianci hodnotou této odmocniny. Tím je výpočet dokončen. Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No ZoNo Zo2 No let ,22-58,22-39, , , , let ,22 96,78 202, , , , let ,22 121,78 89, , , , let ,22 18,78-19,22-360,95 352,60 369, let ,22-23,22-43, ,72 539, , let ,22-30,22-44, ,49 913, , let ,22-43,22-42, , , , let ,22-40,22-47, , , , let ,22-42,22-57, , , ,38 Počet 9 9 Součet 0,00 0, , , ,56 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance 4551,17 Korel.koef. 0,88 =CORREL(B2:B10;C2:C10) Pearson 0,88 =PEARSON(B2:B10;C2:C10) Rozptyl 3851, ,84 Součin rozptylů ,53 Odmocnina součinu rozptylů 5158,88 Pearson 0,88 7

8 Řešení 1 c maximální využití MS Excel Data si vložíme do MS Excel tabulky Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let let let let Z této tabulky vytvoříme bodový graf Tabulku doplníme vzorcem pro výpočet korelačního koeficientu. Využijeme vestavěnou funkci CORREL nebo PEARSON. Obě tyto funkce mají stejný typ parametrů. Prvním je pole s hodnotami prvního znaku a druhým je pole s hodnotami druhého znaku jejichž závislost zkoumáme. Obě funkce dávají i stejné výsledky. Dostaneme. Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let

9 45-49 let let let Korel.koef. Pearson 0,88 =CORREL(B2:B10;C2:C10) 0,88 =PEARSON(B2:B10;C2:C10) Poznámka MS Excel umožňuje přímo v grafu velmi snadno zobrazit přímku trendu pouhou jednoduchou volbou vhodného rozložení grafu. To už ale trochu předbíháme. Jak najít tuto přímku a jaký je její význam je předmětem jednoho z pozdějších témat (viz 14 - Lineární regrese). 9

10 Příklad 2 V jedné poněkud tragické třídě měli studenti následující trojice známek z matematiky, fyziky a dějepisu.: 433, 423, 531, 322, 334, 441, 531, 434, 522, 331, 552, 531, 221, 432, 442. Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty a stanovte korelační matici. Z nalezených koeficientů se pokuste slovně charakterizovat vztah hodnocení v jednotlivých předmětech. Řešení 2a zcela ruční výpočet Označme jednotlivé známky postupně pro jednotlivé studenty. Zde je známka z matematiky, je známka z fyziky a 1 je známka z dějepisu i-tého studenta. 4, 3, 1 3 4, 2, 1 3 5, 3, 1 1 3, 2, 1 2 3, 3, 1 4 4, 4, 1 1 5, 3, 1 1 4, 3, 1 4 5, 2, , 2 3, , 5, 1 2 5, 3, 1 1 2, 2, 1 1 4, 3, 1 2 4, 4, 1 2 Dříve, než budeme hledat vztah hodnocení pomocí Pearsonových korelačních koeficientů, můžeme si sestavit grafy ukazující vztah hodnocení v jednotlivých dvojicích předmětů. Na vodorovnou osu vynášíme známku studenta z prvního uvedeného předmětu, na svislou osu známku z druhého předmětu. Jednotlivé body grafu pak ukazují soubor dvojic se zkoumaným hodnocením. Tyto grafy jsou jediným užitím MS Excel v rámci tohoto řešení. 10

11 Nyní Se již pustíme do výpočtu Pearsonových korelačních koeficientů. Nejprve vypočítáme aritmetické průměry jednotlivých znaků, neboli vypočteme aritmetické průměry známek z jednotlivých předmětů. Začneme známkami z matematiky "4#4#5#3#3#4#5#4#5#3#5#5#2#4#4$ Pokračujeme výpočtem průměrné známky z fyziky. & "3#2#3#2#3#4#3#3#2#3#5#3#2#3#4$ Nakonec vypočteme průměrnou známku z dějepisu "3#3#1#2#4#1#1#4#2#1#2#1#1#2#2$ Tyto krásné celé průměry pochopitelně nejsou ze života. Jde o školní příklad. Ale aspoň někdy si můžeme užít pohody. Dále budeme počítat kovarianci jednotlivých dvojic předmětů. Začneme výpočtem kovariance hodnocení z matematiky s hodnocením z fyziky. 11

12 ' () = 1 " $" &$ = "4 4$"3 3$+"4 4$"2 3$+"5 4$"3 3$+"3 4$"2 3$ +"3 4$"3 3$+"4 4$"4 3$+"5 4$"3 3$+"4 4$"3 3$ +"5 4$"2 3$+"3 4$"3 3$+"5 4$"5 3$+"5 4$"3 3$ +"2 4$"2 3$+"4 4$"3 3$+"4 4$"4 3$, = " 1$+1 0+" 1$ " 1$+" 1$ " 1$+" 1$ " 2$ " 1$ , = ,= = 4 15 Pokračujeme výpočtem kovariance hodnocení z matematiky s hodnocením z dějepisu. ' (3 = 1 " $"1 1 $ = "4 4$"3 2$+"4 4$"3 2$+"5 4$"1 2$+"3 4$"2 2$ +"3 4$"4 2$+"4 4$"1 2$+"5 4$"1 2$+"4 4$"4 2$ +"5 4$"2 2$+"3 4$"1 2$+"5 4$"2 2$+"5 4$"1 2$ +"2 4$"1 2$+"4 4$"2 2$+"4 4$"2 2$, = " 1$+" 1$ 0+" 1$ 2+0 " 1$+1 " 1$ " 1$ " 1$ " 1$+" 2$ , = ,= 1 15 " 2$ = 2 15 Nakonec vypočteme kovarianci hodnocení z fyziky s hodnocením z dějepisu. ' )3 = 1 " &$"1 1 $ = "3 3$"3 2$+"2 3$"3 2$+"3 3$"1 2$+"2 3$"2 2$ +"3 3$"4 2$+"4 3$"1 2$+"3 3$"1 2$+"3 3$"4 2$ +"2 3$"2 2$+"3 3$"1 2$+"5 3$"2 2$+"3 3$"1 2$ +"2 3$"1 2$+"3 3$"2 2$+"4 3$"2 2$, = " 1$ 1+0 " 1$+" 1$ " 1$+0 " 1$+0 2 +" 1$ 0+0 " 1$ " 1$ , = ,= 1 15 " 1$ = 1 15 Dále budeme potřebovat rozptyl jednotlivých předmětů. Ten můžeme počítat jako kovarianci předmětu sama se sebou. Začneme výpočtem rozptylu hodnocení z matematiky. 12

13 ' ( = 1 " $ = 1 " $" $ =' (( = = "4 4$"4 4$+"4 4$"4 4$+"5 4$"5 4$+"3 4$"3 4$ +"3 4$"3 4$+"4 4$"4 4$+"5 4$"5 4$+"4 4$"4 4$ +"5 4$"5 4$+"3 4$"3 4$+"5 4$"5 4$+"5 4$"5 4$ +"2 4$"2 4$+"4 4$"4 4$+"4 4$"4 4$, = " 1$ " 1$+" 1$ " 1$ " 1$ " 1$ " 2$ " 2$ , = ,= =12 15 Pokračujeme výpočtem rozptylu hodnocení z fyziky. ' ) = 1 " &$ = 1 " &$" &$ =' )) = = "3 3$"3 3$+"2 3$"2 3$+"3 3$"3 3$+"2 3$"2 3$ +"3 3$"3 3$+"4 3$"4 3$+"3 3$"3 3$+"3 3$"3 3$ +"2 3$"2 3$+"3 3$"3 3$+"5 3$"5 3$+"3 3$"3 3$ +"2 3$"2 3$+"3 3$"3 3$+"4 3$"4 3$, = " 1$ " 1$+0 0+" 1$ " 1$ " 1$ " 1$ " 1$ " 1$ , = ,= =10 15 Nakonec vypočteme rozptyl hodnocení z dějepisu. ' 3 = 1 "1 1 $ = 1 "1 1 $"1 1 $ =' 33 = = "3 2$"3 2$+"3 2$"3 2$+"1 2$"1 2$+"2 2$"2 2$ +"4 2$"4 2$+"1 2$"1 2$+"1 2$"1 2$+"4 2$"4 2$ +"2 2$"2 2$+"1 2$"1 2$+"2 2$"2 2$+"1 2$"1 2$ +"1 2$"1 2$+"2 2$"2 2$+"2 2$"2 2$, = " 1$ " 1$ " 1$ " 1$+" 1$ " 1$ " 1$ " 1$+0 0+" 1$ " 1$+" 1$ " 1$ , = ,= =16 15 Nyní získané mezivýsledky použijeme k výpočtu Pearsonových korelačních koeficientů. Nejprve vypočteme koeficient lineární závislosti hodnocení matematiky a hodnocení fyziky. - (,) = ' 4 4 () = 15.' ( ' ). 12 = 15 4 = = 2 30 = = = Pokračujeme výpočtem koeficientu lineární závislosti hodnocení matematiky a hodnocení dějepisu. 13

14 - ' * 2 * 2 ( *2 *1 * 3 * 3 (,3 /' ( ' Nakonec vypočteme koeficient lineární závislosti hodnocení fyzika a hodnocení dějepisu. * ),3 ' )3 * 1 15 * *1 * 10 * * ' ) ' Nalezené koeficienty sestavíme do korelační matice. Z teorie víme, že je symetrická s jedničkami na hlavní diagonále. - (,( - (,) - (,3 - (,( - (,) - (, * < 5- ),( - ),) - ), (,) - ),) - ), * 10 ; ; - 3,( - 3,) - 3,3 - (,3 - ),3-3, ; 7 * 3 12 * : Zbývá ještě vyjádřit slovně vztah hodnocení jednotlivých dvojic předmětů. Hodnotit budeme podle tabulky (viz teorie). Korelační koeficient Úroveň závislosti - (,) *1 Pevná záporná závislost *10- (,) 0*0,7 Značně vysoká záporná závislost *0,70- (,) 0*0,5 Vysoká záporná závislost *0,50- (,) 0*0,3 Střední záporná závislost *0,30- (,) 00 Slabá záporná závislost - (,) 0 Neexistující závislost 00- (,) 00,3 Slabá kladná závislost 0,30- (,) 00,5 Střední kladná závislost 0,50- (,) 00,7 Vysoká kladná závislost 0,70- (,) 01 Značně vysoká kladná závislost - (,) 1 Pevná kladná závislost Abychom mohli tabulku využít pro snadné porovnání, potřebujeme vyjádřit Pearsonovy korelační koeficienty v desetinném rozvoji. Dostaneme - 30 (,) 15 0,37, - (,3 * 3 12 *0,14, - ),3 * *0,08 Nyní již můžeme konstatovat, že mezi hodnocením z matematiky a hodnocením z fyziky v naší podivné třídě je střední kladná závislost. Mezi hodnocením z matematiky a hodnocením z dějepisu je slabá záporná závislost. Mezi hodnocením z fyziky a hodnocením z dějepisu je velmi slabá záporná závislost. Řešení 2b mírné využití MS Excel Budeme řešit stejnou úlohu, tentokrát nebudeme provádět vlastní výpočet ručně, ale prostřednictvím MS Excel. Nebudeme ale v tomto programu používat žádné speciální statistické funkce, neboli budeme ho používat způsobem, jakým byly užívány tabulkové kalkulátory v době svého vzniku (zhruba 80-tá léta 20-tého století). Stručně řečeno, MS Excel budeme používat naivně.

15 Přichystáme si tabulku se zadanými daty. StID M F D Přidáme řádky Součet, Počet a Průměr pro výpočet průměru za jednotlivé předměty. StID M F D Celkem Počet Průměr Z této tabulky můžeme vytvořit stejné grafy, které jsme již prezentovali v řešení 1a. Tyto grafy je zbytečné na tomto místě opakovat. Přidáme sloupce pro výpočet odchylek a naplníme je vzorcem pro výpočet odchylky (hodnota mínus průměr) pro každého studenta. 15

16 StID M F D Mo Fo Do Celkem Počet Průměr kovar Pro každého studenta vypočteme součiny odchylek pro každou dvojici předmětů a pro předmět sám se sebou pro rozptyl. Doplníme součtem a vydělením počtem studentů. Získáme kovariance dvojic předmětů a rozptyly předmětů. StID M F D Mo Fo Do MoFo MoDo FoDo Mo2 Fo2 Do Celkem Počet Průměr kovar 0,27-0,13-0,07 0,80 0,67 1,07 Šest hodnot v zeleném poli (jsou v tomto konkrétním případu v 19-tém řádku) použijeme pro výpočet Personových koeficientů. Vytvoříme si vzorce 16

17 Průměr kovar 0,27-0,13-0,07 0,80 0,67 1,07 MF 0,37 =H19/ODMOCNINA(K19*L19) MD -0,14 =I19/ODMOCNINA(K19*M19) FD -0,08 =J19/ODMOCNINA(L19*M19) Ve druhém sloupci máme výsledné koeficienty. Mohli bychom je sestavit do matice a můžeme pomocí nich slovně vyjádřit úroveň vztahu hodnocení v jednotlivých dvojicích předmětů. Opakovat to, co jsme konstatovali už dříve, by bylo zbytečné. Poznámka Vidíme, že i velmi naivní použití MS Excel (takhle to dělá většina jeho uživatelů) nám ušetřilo poměrně dost práce. Kvalitní užití MS Excel ale vypadá jinak. Měly by při něm být využity všechny jeho vhodné možnosti. Malá ukázka následuje jako další verze řešení téhož příkladu. Řešení 2c maximální využití MS Excel Stejně jako v řešení 2b si přichystáme tabulku se zadanými daty. StID M F D Přímo z této tabulky bychom mohli vytvořit bodové grafy znázorňující vzájemný vztah hodnocení ve všech dvojicích předmětů. Ty jsou zobrazeny v řešení 1a a nebudeme je tu opakovat. Přidáme tři řádky, do kterých vložíme uvedené vzorce. Dostaneme ihned výsledek, který je možné okamžitě interpretovat. MF 0,37 =CORREL(B2:B16;C2:C16) MD -0,14 =CORREL(B2:B16;D2:D16) FD -0,08 =CORREL(C2:C16;D2:D16) Poznámka Rozdíl v pracnosti proti oběma předchozím variantám je očividný. Vycházíme-li z kvalitní znalosti věci, je hledání řešení problémů vždy snazší. 17

18 Příklad 3 V roce 1991 (publikováno 1996) měla velká města v České republice následující hodnoty některých statistických ukazatelů: Plocha [km²] Obyvatel [tis.os.] Délka ulic [km] Domácnosti Praha Brno Ostrava Plzeň Olomouc Liberec Hradec Králové České Budějovice Ústí nad Labem Pardubice Havířov Zlín Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty a sestavte korelační matici. Z výsledných korelačních koeficientů se pokuste verbálně charakterizovat tabulkou popsaný jev. Řešení 3 Tato úloha je již poměrně komplexní v tom smyslu, že se máme zabývat hledáním závislostí čtyř znaků dvanácti velkých měst České republiky. Víme, že závislosti vyšetřujeme po dvojicích, budeme se tedy zabývat celkem šesti závislostmi. Příslušné vzorce známe z teorie a v předchozích příkladech jsme se s nimi dostatečně seznámili při ručních i naivních výpočtech pomocí MS Excel. Tuto úlohu už budeme řešit pouze s využitím statistických funkcí MS Excel. Tabulku ze zadání vložíme do MS Excel. Plocha Obyvatel Délka ulic Domácnosti Praha Brno Ostrava Plzeň Olomouc Liberec Hradec Králové České Budějovice Ústí nad Labem Pardubice Havířov Zlín Přímo z této tabulky vytvoříme jednotlivé bodové grafy (bude jich šest, tedy stejně jako závislostí). 18

19 19

20 Obyvatel - Domácnosti Počet domácností Domácnosti Počet obyvatel Délka ulic - Domácnosti Počet domácností Domácnosti Délka ulic 20

21 Nyní již využijeme funkci CORREL nebo PEARSON k získání hodnot Pearsonova korelačního koeficientu pro všechny kombinace zkoumaných znaků. Dostaneme Město Plocha Obyvatel Délka ulic Domácnosti Praha Brno Ostrava Plzeň Olomouc Liberec Hradec Králové České Budějovice Ústí nad Labem Pardubice Havířov Zlín Korelační koeficienty Plocha - Obyvatel Plocha - Délka ulic Plocha - Domácnosti Obyvatel - Délka ulic Obyvatel - Domácnosti Délka ulic - Domácnosti 0,9732 =CORREL(B2:B13;C2:C13) 0,9676 =CORREL(B2:B13;D2:D13) 0,9710 =CORREL(B2:B13;E2:E13) 0,9770 =CORREL(C2:C13;D2:D13) 0,9998 =CORREL(C2:C13;E2:E13) 0,9753 =CORREL(D2:D13;E2:E13) Pearsonovy korelační koeficienty máme vypočteny. Připomeňme si naši tabulku pro slovní hodnocení zjištěné závislosti. Korelační koeficient Úroveň závislosti - (,) = 1 Pevná záporná závislost 1<- (,) < 0,7 Značně vysoká záporná závislost 0,7<- (,) < 0,5 Vysoká záporná závislost 0,5<- (,) < 0,3 Střední záporná závislost 0,3<- (,) <0 Slabá záporná závislost - (,) =0 Neexistující závislost 0<- (,) <0,3 Slabá kladná závislost 0,3<- (,) <0,5 Střední kladná závislost 0,5<- (,) <0,7 Vysoká kladná závislost 0,7<- (,) <1 Značně vysoká kladná závislost - (,) =1 Pevná kladná závislost Vidíme, že pro všechny zkoumané dvojice znaků jde o značně vysokou kladnou závislost. V případě dvojice Počet obyvatel Počet domácností jde o závislost téměř pevnou. Poznámka K řešení jsme použili jen statistické funkce MS Excel. Jde o ukázku, jak se podobná statistická vyhodnocení dělají prakticky. Je důležité vždy vědět, co můžeme od které funkce očekávat a jak prakticky funguje. Bezduché použití nějaké funkce by vedlo k chybné interpretaci výsledku. 21

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Z tohoto setříděného souboru snadno sestavíme tabulku prostého rozdělení četností.

Z tohoto setříděného souboru snadno sestavíme tabulku prostého rozdělení četností. Příklad 1 Firma má pro své zaměstnance stanoveny tyto základní mzdy v Kč: 18600, 17650, 19200, 20400, 20800, 18600, 20400, 24200, 20400, 19200, 24200, 20400, 17650, 25800, 17650. Určete charakteristiky

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability 1. Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve třiceti vybraných rodinách byly získány tyto výsledky: 1, 1, 0, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2. Uspořádejte

Více

Výsledný graf ukazuje následující obrázek.

Výsledný graf ukazuje následující obrázek. Úvod do problematiky GRAFY - SPOJNICOVÝ GRAF A XY A. Spojnicový graf Spojnicový graf používáme především v případě, kdy chceme graficky znázornit trend některé veličiny ve zvoleném časovém intervalu. V

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole)

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Téma 2.4 Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Pomocí dotazu lze také vytvářet nová pole, která mají vazbu na již existující pole v databázi. Vznikne tedy nový sloupec, který se počítá podle vzorce.

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

Seminarni prace. 2 3 stranky staci, dat nema byt 3 a nema jich byt pul milionu. k te seminarce

Seminarni prace. 2 3 stranky staci, dat nema byt 3 a nema jich byt pul milionu. k te seminarce Seminarni prace Popisná statistika, data nesmí být časovou řadou Zkoumat můžeme třeba mzdy, obraty atd. (takže možná QA?) Formát pdf, poslat nejpozději den před zkouškou. Podrobnější informace jsou na

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Mirek Kubera žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení, volí

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Přípravný kurz - Matematika

Přípravný kurz - Matematika Přípravný kurz - Matematika Téma: Základy statistiky, kombinační úsudek v úlohách Klíčová slova: tabulky, grafy, diagramy Autor: Mlynářová 1 Základy statistiky Statistika je vědní obor, který se zabývá

Více

výška (cm) počet žáků

výška (cm) počet žáků Statistika 1) Ve školním roce 1997/119 bylo v Brně 3 základních škol, ve kterých bylo celkem 1 tříd. Tyto školy navštěvovalo 11 5 žáků. Určete a) kolik tříd průměrně měla jedna ZŠ, b) kolik žáků průměrně

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Statistika pro gymnázia

Statistika pro gymnázia Statistika pro gymnázia Pracovní verze učebního textu ZÁKLADNÍ POJMY Statistika zkoumá jevy (společenské, přírodní, technické) ve velkých statistických souborech. Prvky statistických souborů se nazývají

Více

Už známe datové typy pro representaci celých čísel i typy pro representaci

Už známe datové typy pro representaci celých čísel i typy pro representaci Dlouhá čísla Tomáš Holan, dlouha.txt, Verse: 19. února 2006. Už známe datové typy pro representaci celých čísel i typy pro representaci desetinných čísel. Co ale dělat, když nám žádný z dostupných datových

Více

Základy statistiky pro obor Kadeřník

Základy statistiky pro obor Kadeřník Variace 1 Základy statistiky pro obor Kadeřník Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Aritmetický průměr

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU

5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU Druhy poměrných čísel Aleš Drobník strana 1 5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU Poměrná čísla neboli poměrní ukazatelé : Získáme srovnáním (podílem) 2 veličin stejnorodých. Srovnávaná veličina (čitatel)

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0797 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT 2M3 Slovní

Více

BIUS 2 BIUS 3. Bohemius k.s.

BIUS 2 BIUS 3. Bohemius k.s. Máš chybu na pojistném? Jak ale zjistit vyměřovací základ, když zaokrouhlujeme na Kč nahoru, nebo třeba na stokoruny? Jak zjistit výši původní chyby? Bohemius k.s. BIUS 2 BIUS 3 www.bohemius.cz O PRODUKTU

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Evidence technických dat

Evidence technických dat 4 Evidence technických dat V té to ka pi to le: Evidence majetku Evidence zakázek Evidence technické dokumentace Kapitola 4 Evidence technických dat Povinnost evidovat různé druhy dat má každý podnikatelský

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úloha č. 1a Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úkoly měření: 1. Seznámení se s měřicími přístroji posuvné měřítko, mikrometr, laboratorní váhy. 2. Opakovaně (10x) změřte rozměry dvou zadaných

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce:

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce: STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ NERATOVICE Školní 664, 277 11 Neratovice, tel.: 315 682 314, IČO: 683 834 95, IZO: 110 450 639 Ředitelství školy: Spojovací 632, 277 11 Neratovice tel.:

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

Termistor. Teorie: Termistor je polovodičová součástka, jejíž odpor závisí na teplotě přibližně podle vzorce

Termistor. Teorie: Termistor je polovodičová součástka, jejíž odpor závisí na teplotě přibližně podle vzorce ermistor Pomůcky: Systém ISES, moduly: teploměr, ohmmetr, termistor, 2 spojovací vodiče, stojan s držáky, azbestová síťka, kádinka, voda, kahan, zápalky, soubor: termistor.imc. Úkoly: ) Proměřit závislost

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

StatSoft Jak vyzrát na datum

StatSoft Jak vyzrát na datum StatSoft Jak vyzrát na datum Tento článek se věnuje podrobně možnostem práce s proměnnými, které jsou ve formě datumu. A že jich není málo. Pokud potřebujete pracovat s datumem, pak se Vám bude tento článek

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

CENY A NÁJEMNÉ RODINNÝCH DOMŮ. ZÁVISLOST CENY A NÁJEMNÉHO m 2 BYTU NA JEHO VELIKOSTI

CENY A NÁJEMNÉ RODINNÝCH DOMŮ. ZÁVISLOST CENY A NÁJEMNÉHO m 2 BYTU NA JEHO VELIKOSTI Regionální disparity v dostupnosti bydlení, jejich socioekonomické důsledky a návrhy opatření na snížení regionálních disparit WD - VÝZKUM PRO ŘEŠENÍ REGIONÁLNÍCH DISPARIT - BYDLENÍ CENY A NÁJEMNÉ RODINNÝCH

Více

Vytváření grafů v aplikaci Helios Red

Vytváření grafů v aplikaci Helios Red Vytváření grafů v aplikaci Helios Red Grafy jsou v Helios Red součástí generátoru sestav a jsou tedy dostupné ve všech modulech a výstupech, kde je k dispozici generátor sestav. Největší použití mají v

Více

Protokol č. 7. Jednotné objemové křivky. Je zadána výměra porostu, výška dřevin a počty stromů v jednotlivých tloušťkových stupních.

Protokol č. 7. Jednotné objemové křivky. Je zadána výměra porostu, výška dřevin a počty stromů v jednotlivých tloušťkových stupních. Protokol č. 7 Jednotné objemové křivky Zadání: Pro zadané dřeviny stanovte zásobu pomocí JOK tabulek. Součástí protokolu bude tabulka obsahující střední Weisseho tloušťku, Weisseho procento, číslo JOK,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

KOUPENÉ A PRODANÉ OPCE VERTIKÁLNÍ SPREADY

KOUPENÉ A PRODANÉ OPCE VERTIKÁLNÍ SPREADY KAPITOLA 3 KOUPENÉ A PRODANÉ OPCE VERTIKÁLNÍ SPREADY Vertikální spread je kombinace koupené a prodané put nebo call opce se stejným expiračním měsícem. Výraz spread se používá proto, že riziko je rozložené

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

MEZIROČNÍ POSUN VE ZNALOSTECH ŽÁKŮ 2005/06 2011/12

MEZIROČNÍ POSUN VE ZNALOSTECH ŽÁKŮ 2005/06 2011/12 MEZIROČNÍ POSUN VE ZNALOSTECH ŽÁKŮ /06 /12 Zhoršují se znalosti českých žáků? Testování Stonožka v 9. ročnících se v letošním roce neslo na vlně očekávání výsledků, které nám mají říct, jak si současní

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Výchozí stav Sebehodnocení práce s MS Excel studujícími oboru

Více

MS Excel druhy grafů

MS Excel druhy grafů MS Excel druhy grafů Nejčastější typy grafů: Spojnicový graf s časovou osou Sloupcový graf a pruhový graf Plošný graf Výsečový a prstencový graf (koláčový) Ostatní typy grafů: Burzovní graf XY bodový graf

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

PREZENTACE DAT: JEDNODUCHÉ GRAFY

PREZENTACE DAT: JEDNODUCHÉ GRAFY PREZENTACE DAT: JEDNODUCHÉ GRAFY V tabulce 8.1 uvádíme přehled některých ukazatelů fiktivní firmy Alfa Blatná. Tabulka 8.1 je prostá, je v ní navíc časové srovnání hodnot v roce 2011 a v roce 2012. a)

Více

Praha - bytové prostory

Praha - bytové prostory Praha - bytové prostory Praha 1 Praha 2 Garsonka 3 690 000 13 500 2 630 000 12 500 Byt 2+1 6 700 000 20 000 3 900 000 17 000 Byt 3+1 9 900 000 22 000 5 600 000 18 000 Byt 4+1 10 110 000 30 000 7 000 000

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

5.3 SHRNUTÍ LÁTKY NA POMĚRNÁ ČÍSLA, SOUVISLÝ PŘÍKLAD

5.3 SHRNUTÍ LÁTKY NA POMĚRNÁ ČÍSLA, SOUVISLÝ PŘÍKLAD Souvislý příklad na poměrná čísla Aleš Drobník strana 1 5.3 SHRNUTÍ LÁTKY NA POMĚRNÁ ČÍSLA, SOUVISLÝ PŘÍKLAD Poměrná čísla se hojně užívají v ekonomické praxi. Všechny druhy poměrných čísel si shrneme

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Prezentace dat. Slovní popis a tabulky prosté Aleš Drobník strana 1

Prezentace dat. Slovní popis a tabulky prosté Aleš Drobník strana 1 Prezentace dat. Slovní popis a tabulky prosté Aleš Drobník strana 1 8. PREZENTACE DAT Jakými prostředky sdělujeme informace, údaje, účetní a statistické charakteristiky? Používáme tyto prostředky sdělování

Více

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12 Obsah Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11 Typografická konvence použitá v knize 12 1 Vybraná témata z Excelu pro techniky 13 Vzorce a funkce pro techniky 14 Vytvoření jednoduchého vzorce

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více