V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:"

Transkript

1 Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst let let let let let let let let let Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty a sestavte korelační matici. Z výsledných korelačních koeficientů se pokuste verbálně charakterizovat tabulkou popsaný jev. Řešení 1 Data pro tuto úlohu máme zadána tabulkou četnosti. Chceme zkoumat vztahu mezi počtem ženichů a počtem nevěst s tím, že na jev hledíme z hlediska věkové skupiny. Zajímá nás tedy, zda se dá říci, že lidé často uzavírají sňatek v rámci stejné věkové skupiny. Poznámka - Samozřejmě mnohem zajímavější a ve výsledku lépe vypovídající by bylo zkoumání trendu závislosti věku ženicha a věku nevěsty. To s těmito daty ale udělat nemůžeme. Na to bychom potřebovali primární data o věku ženicha a nevěsty v každém uzavřeném manželství. Nicméně na tomto příkladu si ukážeme, že i z ne zcela kvalitních dat lze statistickými metodami získat poměrně kvalitní odpověď. Řešení 1 a ruční výpočet Označme počty ženichů a počty nevěst postupně pro jednotlivé věkové třídy. Zde je počet ženichů a je počet nevěst i-té věkové třídy. 11, , , , 50 46, 26 39, 25 26, 27 29, 22 27, 12 Sestavíme nyní bodový graf ukazující vztah počtu ženichů a počtu nevěst v jednotlivých věkových třídách. Na vodorovnou osu vynášíme počet ženichů, na svislou osu počet nevěst. Jednotlivé body 1

2 grafu pak ukazují soubor příslušných dvojic ze stejné věkové třídy. Tento graf je jediným užitím MS Excel v rámci tohoto řešení. Zahájíme výpočet Pearsonova korelačního koeficientu. Nejprve vypočítáme aritmetické průměry jednotlivých znaků, neboli vypočteme aritmetický průměr počtu ženichů a aritmetický průměr počtu nevěst. Začneme se ženichy. 1 Pokračujeme nevěstami. & "11#166#191#88#46#39#26#29#27$ , "30#272#159#50#26#25#27#22#12$ ,22 9 Oba průměry mají stejnou hodnotu. Sňatek v roce 1998 mohl uzavírat pouze muž se ženou, proto jsou počty ženichů a počty nevěst nutně stejné. Stejný je i počet věkových tříd. Průměr pak nemůže vyjít jinak, než stejně (kdyby nevyšel, bylo by zřejmé, že jsme někde ve výpočtu udělali chybu). Dále budeme počítat kovarianci počtu ženichů a počtu nevěst. 2

3 ' () = 1 " $" &$ = 1 9 +"11 69,22$"30 69,22$+"166 69,22$"272 69,22$ +"191 69,22$"159 69,22$+"88 69,22$"50 69,22$ +"46 69,22$"26 69,22$+"39 69,22$"25 69,22$ +"26 69,22$"27 69,22$+"29 69,22$"22 69,22$ +"27 69,22$"12 69,22$, = 1 9 +" 58,22$ " 39,22$+96,78 202,78+121,78 89,78+18,78 " 19,22$ +" 23,22$ " 43,22$+" 30,22$ " 44,22$+" 43,22$ " 42,22$+" 40,22$ " 47,22$ +" 42,22$ " 57,22$, = , , ,41 360, , , , , ,83,= ,56=4551,17 Pro výpočet Pearsonova korelačního koeficientu budeme potřebovat i rozptyl počtu ženichů a rozptyl počtu nevěst. Oba rozptyly můžeme počítat jako kovarianci těchto počtů sama se sebou. Začneme výpočtem rozptylu počtu ženichů. ' ( = 1 " $ = 1 " $" $ =' (( = = 1 9 +"11 69,22$"11 69,22$+"166 69,22$"166 69,22$ +"191 69,22$"191 69,22$+"88 69,22$"88 69,22$ +"46 69,22$"46 69,22$+"39 69,22$"39 69,22$ +"26 69,22$"26 69,22$+"29 69,22$"29 69,22$ +"27 69,22$"27 69,22$, = 1 9 +" 58,22$ " 58,22$+96,78 96,78+121,78 121,78+18,78 18,78 +" 23,22$ " 23,22$+" 30,22$ " 30,22$+" 43,22$ " 43,22$+" 40,22$ " 40,22$ +" 42,22$ " 42,22$, = , , ,37+352,69+539,17+913, , , ,53,= ,659,56=3851,06 Pokračujeme výpočtem rozptylu počtu nevěst. 3

4 ' ) = 1 " &$ = 1 " &$" &$ =' )) = = 1 9 +"30 69,22$"30 69,22$+"272 69,22$"272 69,22$ +"159 69,22$"159 69,22$+"50 69,22$"50 69,22$ +"26 69,22$"26 69,22$+"25 69,22$"25 69,22$ +"27 69,22$"27 69,22$+"22 69,22$"22 69,22$ +"12 69,22$"12 69,22$, = 1 9 +" 39,22$ " 39,22$+202,78 202,78+89,78 89,78+" 19,22$ " 19,22$+" 43,22$ " 43,22$+" 44,22$ " 44,22$+" 42,22$ " 42,22$ +" 47,22$ " 47,22$ +" 57,22$ " 57,22$, = , , ,,45+369, , , , , ,13,= ,56=6910,84 Získané mezivýsledky použijeme k výpočtu Pearsonova korelačního koeficientu. - (,) = ' () 4551,17 =.' ( ' /3851, ,84 = 4551,17 / ,59 =4551, ,88 =0,88 ) Všechny výpočty jsme průběžně zaokrouhlovali na dvě desetinná místa. Zbývá ještě vyjádřit slovně vztah počtu ženichů a počtu nevěst v jednotlivých věkových třídách. Hodnotit budeme podle tabulky (viz teorie). Korelační koeficient Úroveň závislosti - (,) = 1 Pevná záporná závislost 1<- (,) < 0,7 Značně vysoká záporná závislost 0,7<- (,) < 0,5 Vysoká záporná závislost 0,5<- (,) < 0,3 Střední záporná závislost 0,3<- (,) <0 Slabá záporná závislost - (,) =0 Neexistující závislost 0<- (,) <0,3 Slabá kladná závislost 0,3<- (,) <0,5 Střední kladná závislost 0,5<- (,) <0,7 Vysoká kladná závislost 0,7<- (,) <1 Značně vysoká kladná závislost - (,) =1 Pevná kladná závislost Můžeme konstatovat, že mezi počty ženichů a nevěst v jednotlivých věkových třídách značně vysoká kladná závislost. To nás nepřekvapuje. Viděli jsme tuto závislost již v tabulce třídního rozdělení v zadání. Počty ženichů a nevěst se v jednotlivých třídách řádově nelišily. Řešení 1 b naivní využití MS Excel V tomto řešení tého příkladu nebudeme užívat kalkulačku, ale k provedení výpočtů využijeme MS Excel. Nebudeme ale užívat žádné z jeho statistických funkcí, neboli ho budeme užívat jen velmi naivně (tak, jak to dělá naprostá většina uživatelů tohoto programu). Data si vložíme v MS Excel do tabulky 4

5 Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let let let let Z této tabulky vytvoříme bodový graf Tabulku doplníme O řádky směřující k výpočtu průměru obou zkoumaných znaků (počtu nevěst a počtu ženichů). Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let let let let Počet 9 9 Součet Průměr 69,22 69,22 5

6 Průměr (je nutně stejný pro oba zkoumané znaky, jak jsme konstatovali v minulém řešení) máme vypočítaný. Tabulku si nyní rozšíříme o sloupce týkající se výpočtu odchylek od průměrného věku v obou zkoumaných třídách. Jde o sloupce Zo pro ženichy a No pro nevěsty. Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No let ,22-58,22-39, let ,22 96,78 202, let ,22 121,78 89, let ,22 18,78-19, let ,22-23,22-43, let ,22-30,22-44, let ,22-43,22-42, let ,22-40,22-47, let ,22-42,22-57,22 Počet 9 9 Součet 0,00 0,00 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance Kontrolní součet odchylek je nulový. V této fázi výpočtu tedy nemáme chybu. Abychom mohli vypočítat korelační koeficient, potřebujeme nejprve vypočítat kovarianci a rozptyly obou zkoumaných znaků. Pro výpočet si tabulku rozšíříme o pomocné sloupce ZoNo, Zo2 a No2. Do sloupce ZoNo vložíme vzorce pro výpočet součinu sloupců Zo a No v odpovídajících řádícch. Do sloupce Zo2 vložíme vzorce pro výpočet druhé mocniny hodnoty ve sloupci Zo v odpovídajícím řádku. A podobně naplníme i sloupec No2. Vypočteme součty těchto sloupců. Dostaneme Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No ZoNo Zo2 No let ,22-58,22-39, , , , let ,22 96,78 202, , , , let ,22 121,78 89, , , , let ,22 18,78-19,22-360,95 352,60 369, let ,22-23,22-43, ,72 539, , let ,22-30,22-44, ,49 913, , let ,22-43,22-42, , , , let ,22-40,22-47, , , , let ,22-42,22-57, , , ,38 Počet 9 9 Součet 0,00 0, , , ,56 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance 4551,17 Pro výpočet kovariance teď stačí vydělit součet sloupce ZoNo počtem tříd. Totéž platí pro výpočet rozptylu hodnot obou zkoumaných znaků. 6

7 Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No ZoNo Zo2 No let ,22-58,22-39, , , , let ,22 96,78 202, , , , let ,22 121,78 89, , , , let ,22 18,78-19,22-360,95 352,60 369, let ,22-23,22-43, ,72 539, , let ,22-30,22-44, ,49 913, , let ,22-43,22-42, , , , let ,22-40,22-47, , , , let ,22-42,22-57, , , ,38 Počet 9 9 Součet 0,00 0, , , ,56 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance 4551,17 Korel.koef. 0,88 =CORREL(B2:B10;C2:C10) Pearson 0,88 =PEARSON(B2:B10;C2:C10) Rozptyl 3851, ,84 Nyní již máme k dispozici všechny potřebné mezivýsledky pro výpočet Pearsonova korelačního koeficientu. Nejprve si vypočítáme součin obou rozptylů. Ten poté odmocníme. A nakonec vydělíme dříve nalezenou kovarianci hodnotou této odmocniny. Tím je výpočet dokončen. Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No ZoNo Zo2 No let ,22-58,22-39, , , , let ,22 96,78 202, , , , let ,22 121,78 89, , , , let ,22 18,78-19,22-360,95 352,60 369, let ,22-23,22-43, ,72 539, , let ,22-30,22-44, ,49 913, , let ,22-43,22-42, , , , let ,22-40,22-47, , , , let ,22-42,22-57, , , ,38 Počet 9 9 Součet 0,00 0, , , ,56 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance 4551,17 Korel.koef. 0,88 =CORREL(B2:B10;C2:C10) Pearson 0,88 =PEARSON(B2:B10;C2:C10) Rozptyl 3851, ,84 Součin rozptylů ,53 Odmocnina součinu rozptylů 5158,88 Pearson 0,88 7

8 Řešení 1 c maximální využití MS Excel Data si vložíme do MS Excel tabulky Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let let let let Z této tabulky vytvoříme bodový graf Tabulku doplníme vzorcem pro výpočet korelačního koeficientu. Využijeme vestavěnou funkci CORREL nebo PEARSON. Obě tyto funkce mají stejný typ parametrů. Prvním je pole s hodnotami prvního znaku a druhým je pole s hodnotami druhého znaku jejichž závislost zkoumáme. Obě funkce dávají i stejné výsledky. Dostaneme. Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let

9 45-49 let let let Korel.koef. Pearson 0,88 =CORREL(B2:B10;C2:C10) 0,88 =PEARSON(B2:B10;C2:C10) Poznámka MS Excel umožňuje přímo v grafu velmi snadno zobrazit přímku trendu pouhou jednoduchou volbou vhodného rozložení grafu. To už ale trochu předbíháme. Jak najít tuto přímku a jaký je její význam je předmětem jednoho z pozdějších témat (viz 14 - Lineární regrese). 9

10 Příklad 2 V jedné poněkud tragické třídě měli studenti následující trojice známek z matematiky, fyziky a dějepisu.: 433, 423, 531, 322, 334, 441, 531, 434, 522, 331, 552, 531, 221, 432, 442. Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty a stanovte korelační matici. Z nalezených koeficientů se pokuste slovně charakterizovat vztah hodnocení v jednotlivých předmětech. Řešení 2a zcela ruční výpočet Označme jednotlivé známky postupně pro jednotlivé studenty. Zde je známka z matematiky, je známka z fyziky a 1 je známka z dějepisu i-tého studenta. 4, 3, 1 3 4, 2, 1 3 5, 3, 1 1 3, 2, 1 2 3, 3, 1 4 4, 4, 1 1 5, 3, 1 1 4, 3, 1 4 5, 2, , 2 3, , 5, 1 2 5, 3, 1 1 2, 2, 1 1 4, 3, 1 2 4, 4, 1 2 Dříve, než budeme hledat vztah hodnocení pomocí Pearsonových korelačních koeficientů, můžeme si sestavit grafy ukazující vztah hodnocení v jednotlivých dvojicích předmětů. Na vodorovnou osu vynášíme známku studenta z prvního uvedeného předmětu, na svislou osu známku z druhého předmětu. Jednotlivé body grafu pak ukazují soubor dvojic se zkoumaným hodnocením. Tyto grafy jsou jediným užitím MS Excel v rámci tohoto řešení. 10

11 Nyní Se již pustíme do výpočtu Pearsonových korelačních koeficientů. Nejprve vypočítáme aritmetické průměry jednotlivých znaků, neboli vypočteme aritmetické průměry známek z jednotlivých předmětů. Začneme známkami z matematiky "4#4#5#3#3#4#5#4#5#3#5#5#2#4#4$ Pokračujeme výpočtem průměrné známky z fyziky. & "3#2#3#2#3#4#3#3#2#3#5#3#2#3#4$ Nakonec vypočteme průměrnou známku z dějepisu "3#3#1#2#4#1#1#4#2#1#2#1#1#2#2$ Tyto krásné celé průměry pochopitelně nejsou ze života. Jde o školní příklad. Ale aspoň někdy si můžeme užít pohody. Dále budeme počítat kovarianci jednotlivých dvojic předmětů. Začneme výpočtem kovariance hodnocení z matematiky s hodnocením z fyziky. 11

12 ' () = 1 " $" &$ = "4 4$"3 3$+"4 4$"2 3$+"5 4$"3 3$+"3 4$"2 3$ +"3 4$"3 3$+"4 4$"4 3$+"5 4$"3 3$+"4 4$"3 3$ +"5 4$"2 3$+"3 4$"3 3$+"5 4$"5 3$+"5 4$"3 3$ +"2 4$"2 3$+"4 4$"3 3$+"4 4$"4 3$, = " 1$+1 0+" 1$ " 1$+" 1$ " 1$+" 1$ " 2$ " 1$ , = ,= = 4 15 Pokračujeme výpočtem kovariance hodnocení z matematiky s hodnocením z dějepisu. ' (3 = 1 " $"1 1 $ = "4 4$"3 2$+"4 4$"3 2$+"5 4$"1 2$+"3 4$"2 2$ +"3 4$"4 2$+"4 4$"1 2$+"5 4$"1 2$+"4 4$"4 2$ +"5 4$"2 2$+"3 4$"1 2$+"5 4$"2 2$+"5 4$"1 2$ +"2 4$"1 2$+"4 4$"2 2$+"4 4$"2 2$, = " 1$+" 1$ 0+" 1$ 2+0 " 1$+1 " 1$ " 1$ " 1$ " 1$+" 2$ , = ,= 1 15 " 2$ = 2 15 Nakonec vypočteme kovarianci hodnocení z fyziky s hodnocením z dějepisu. ' )3 = 1 " &$"1 1 $ = "3 3$"3 2$+"2 3$"3 2$+"3 3$"1 2$+"2 3$"2 2$ +"3 3$"4 2$+"4 3$"1 2$+"3 3$"1 2$+"3 3$"4 2$ +"2 3$"2 2$+"3 3$"1 2$+"5 3$"2 2$+"3 3$"1 2$ +"2 3$"1 2$+"3 3$"2 2$+"4 3$"2 2$, = " 1$ 1+0 " 1$+" 1$ " 1$+0 " 1$+0 2 +" 1$ 0+0 " 1$ " 1$ , = ,= 1 15 " 1$ = 1 15 Dále budeme potřebovat rozptyl jednotlivých předmětů. Ten můžeme počítat jako kovarianci předmětu sama se sebou. Začneme výpočtem rozptylu hodnocení z matematiky. 12

13 ' ( = 1 " $ = 1 " $" $ =' (( = = "4 4$"4 4$+"4 4$"4 4$+"5 4$"5 4$+"3 4$"3 4$ +"3 4$"3 4$+"4 4$"4 4$+"5 4$"5 4$+"4 4$"4 4$ +"5 4$"5 4$+"3 4$"3 4$+"5 4$"5 4$+"5 4$"5 4$ +"2 4$"2 4$+"4 4$"4 4$+"4 4$"4 4$, = " 1$ " 1$+" 1$ " 1$ " 1$ " 1$ " 2$ " 2$ , = ,= =12 15 Pokračujeme výpočtem rozptylu hodnocení z fyziky. ' ) = 1 " &$ = 1 " &$" &$ =' )) = = "3 3$"3 3$+"2 3$"2 3$+"3 3$"3 3$+"2 3$"2 3$ +"3 3$"3 3$+"4 3$"4 3$+"3 3$"3 3$+"3 3$"3 3$ +"2 3$"2 3$+"3 3$"3 3$+"5 3$"5 3$+"3 3$"3 3$ +"2 3$"2 3$+"3 3$"3 3$+"4 3$"4 3$, = " 1$ " 1$+0 0+" 1$ " 1$ " 1$ " 1$ " 1$ " 1$ , = ,= =10 15 Nakonec vypočteme rozptyl hodnocení z dějepisu. ' 3 = 1 "1 1 $ = 1 "1 1 $"1 1 $ =' 33 = = "3 2$"3 2$+"3 2$"3 2$+"1 2$"1 2$+"2 2$"2 2$ +"4 2$"4 2$+"1 2$"1 2$+"1 2$"1 2$+"4 2$"4 2$ +"2 2$"2 2$+"1 2$"1 2$+"2 2$"2 2$+"1 2$"1 2$ +"1 2$"1 2$+"2 2$"2 2$+"2 2$"2 2$, = " 1$ " 1$ " 1$ " 1$+" 1$ " 1$ " 1$ " 1$+0 0+" 1$ " 1$+" 1$ " 1$ , = ,= =16 15 Nyní získané mezivýsledky použijeme k výpočtu Pearsonových korelačních koeficientů. Nejprve vypočteme koeficient lineární závislosti hodnocení matematiky a hodnocení fyziky. - (,) = ' 4 4 () = 15.' ( ' ). 12 = 15 4 = = 2 30 = = = Pokračujeme výpočtem koeficientu lineární závislosti hodnocení matematiky a hodnocení dějepisu. 13

14 - ' * 2 * 2 ( *2 *1 * 3 * 3 (,3 /' ( ' Nakonec vypočteme koeficient lineární závislosti hodnocení fyzika a hodnocení dějepisu. * ),3 ' )3 * 1 15 * *1 * 10 * * ' ) ' Nalezené koeficienty sestavíme do korelační matice. Z teorie víme, že je symetrická s jedničkami na hlavní diagonále. - (,( - (,) - (,3 - (,( - (,) - (, * < 5- ),( - ),) - ), (,) - ),) - ), * 10 ; ; - 3,( - 3,) - 3,3 - (,3 - ),3-3, ; 7 * 3 12 * : Zbývá ještě vyjádřit slovně vztah hodnocení jednotlivých dvojic předmětů. Hodnotit budeme podle tabulky (viz teorie). Korelační koeficient Úroveň závislosti - (,) *1 Pevná záporná závislost *10- (,) 0*0,7 Značně vysoká záporná závislost *0,70- (,) 0*0,5 Vysoká záporná závislost *0,50- (,) 0*0,3 Střední záporná závislost *0,30- (,) 00 Slabá záporná závislost - (,) 0 Neexistující závislost 00- (,) 00,3 Slabá kladná závislost 0,30- (,) 00,5 Střední kladná závislost 0,50- (,) 00,7 Vysoká kladná závislost 0,70- (,) 01 Značně vysoká kladná závislost - (,) 1 Pevná kladná závislost Abychom mohli tabulku využít pro snadné porovnání, potřebujeme vyjádřit Pearsonovy korelační koeficienty v desetinném rozvoji. Dostaneme - 30 (,) 15 0,37, - (,3 * 3 12 *0,14, - ),3 * *0,08 Nyní již můžeme konstatovat, že mezi hodnocením z matematiky a hodnocením z fyziky v naší podivné třídě je střední kladná závislost. Mezi hodnocením z matematiky a hodnocením z dějepisu je slabá záporná závislost. Mezi hodnocením z fyziky a hodnocením z dějepisu je velmi slabá záporná závislost. Řešení 2b mírné využití MS Excel Budeme řešit stejnou úlohu, tentokrát nebudeme provádět vlastní výpočet ručně, ale prostřednictvím MS Excel. Nebudeme ale v tomto programu používat žádné speciální statistické funkce, neboli budeme ho používat způsobem, jakým byly užívány tabulkové kalkulátory v době svého vzniku (zhruba 80-tá léta 20-tého století). Stručně řečeno, MS Excel budeme používat naivně.

15 Přichystáme si tabulku se zadanými daty. StID M F D Přidáme řádky Součet, Počet a Průměr pro výpočet průměru za jednotlivé předměty. StID M F D Celkem Počet Průměr Z této tabulky můžeme vytvořit stejné grafy, které jsme již prezentovali v řešení 1a. Tyto grafy je zbytečné na tomto místě opakovat. Přidáme sloupce pro výpočet odchylek a naplníme je vzorcem pro výpočet odchylky (hodnota mínus průměr) pro každého studenta. 15

16 StID M F D Mo Fo Do Celkem Počet Průměr kovar Pro každého studenta vypočteme součiny odchylek pro každou dvojici předmětů a pro předmět sám se sebou pro rozptyl. Doplníme součtem a vydělením počtem studentů. Získáme kovariance dvojic předmětů a rozptyly předmětů. StID M F D Mo Fo Do MoFo MoDo FoDo Mo2 Fo2 Do Celkem Počet Průměr kovar 0,27-0,13-0,07 0,80 0,67 1,07 Šest hodnot v zeleném poli (jsou v tomto konkrétním případu v 19-tém řádku) použijeme pro výpočet Personových koeficientů. Vytvoříme si vzorce 16

17 Průměr kovar 0,27-0,13-0,07 0,80 0,67 1,07 MF 0,37 =H19/ODMOCNINA(K19*L19) MD -0,14 =I19/ODMOCNINA(K19*M19) FD -0,08 =J19/ODMOCNINA(L19*M19) Ve druhém sloupci máme výsledné koeficienty. Mohli bychom je sestavit do matice a můžeme pomocí nich slovně vyjádřit úroveň vztahu hodnocení v jednotlivých dvojicích předmětů. Opakovat to, co jsme konstatovali už dříve, by bylo zbytečné. Poznámka Vidíme, že i velmi naivní použití MS Excel (takhle to dělá většina jeho uživatelů) nám ušetřilo poměrně dost práce. Kvalitní užití MS Excel ale vypadá jinak. Měly by při něm být využity všechny jeho vhodné možnosti. Malá ukázka následuje jako další verze řešení téhož příkladu. Řešení 2c maximální využití MS Excel Stejně jako v řešení 2b si přichystáme tabulku se zadanými daty. StID M F D Přímo z této tabulky bychom mohli vytvořit bodové grafy znázorňující vzájemný vztah hodnocení ve všech dvojicích předmětů. Ty jsou zobrazeny v řešení 1a a nebudeme je tu opakovat. Přidáme tři řádky, do kterých vložíme uvedené vzorce. Dostaneme ihned výsledek, který je možné okamžitě interpretovat. MF 0,37 =CORREL(B2:B16;C2:C16) MD -0,14 =CORREL(B2:B16;D2:D16) FD -0,08 =CORREL(C2:C16;D2:D16) Poznámka Rozdíl v pracnosti proti oběma předchozím variantám je očividný. Vycházíme-li z kvalitní znalosti věci, je hledání řešení problémů vždy snazší. 17

18 Příklad 3 V roce 1991 (publikováno 1996) měla velká města v České republice následující hodnoty některých statistických ukazatelů: Plocha [km²] Obyvatel [tis.os.] Délka ulic [km] Domácnosti Praha Brno Ostrava Plzeň Olomouc Liberec Hradec Králové České Budějovice Ústí nad Labem Pardubice Havířov Zlín Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty a sestavte korelační matici. Z výsledných korelačních koeficientů se pokuste verbálně charakterizovat tabulkou popsaný jev. Řešení 3 Tato úloha je již poměrně komplexní v tom smyslu, že se máme zabývat hledáním závislostí čtyř znaků dvanácti velkých měst České republiky. Víme, že závislosti vyšetřujeme po dvojicích, budeme se tedy zabývat celkem šesti závislostmi. Příslušné vzorce známe z teorie a v předchozích příkladech jsme se s nimi dostatečně seznámili při ručních i naivních výpočtech pomocí MS Excel. Tuto úlohu už budeme řešit pouze s využitím statistických funkcí MS Excel. Tabulku ze zadání vložíme do MS Excel. Plocha Obyvatel Délka ulic Domácnosti Praha Brno Ostrava Plzeň Olomouc Liberec Hradec Králové České Budějovice Ústí nad Labem Pardubice Havířov Zlín Přímo z této tabulky vytvoříme jednotlivé bodové grafy (bude jich šest, tedy stejně jako závislostí). 18

19 19

20 Obyvatel - Domácnosti Počet domácností Domácnosti Počet obyvatel Délka ulic - Domácnosti Počet domácností Domácnosti Délka ulic 20

21 Nyní již využijeme funkci CORREL nebo PEARSON k získání hodnot Pearsonova korelačního koeficientu pro všechny kombinace zkoumaných znaků. Dostaneme Město Plocha Obyvatel Délka ulic Domácnosti Praha Brno Ostrava Plzeň Olomouc Liberec Hradec Králové České Budějovice Ústí nad Labem Pardubice Havířov Zlín Korelační koeficienty Plocha - Obyvatel Plocha - Délka ulic Plocha - Domácnosti Obyvatel - Délka ulic Obyvatel - Domácnosti Délka ulic - Domácnosti 0,9732 =CORREL(B2:B13;C2:C13) 0,9676 =CORREL(B2:B13;D2:D13) 0,9710 =CORREL(B2:B13;E2:E13) 0,9770 =CORREL(C2:C13;D2:D13) 0,9998 =CORREL(C2:C13;E2:E13) 0,9753 =CORREL(D2:D13;E2:E13) Pearsonovy korelační koeficienty máme vypočteny. Připomeňme si naši tabulku pro slovní hodnocení zjištěné závislosti. Korelační koeficient Úroveň závislosti - (,) = 1 Pevná záporná závislost 1<- (,) < 0,7 Značně vysoká záporná závislost 0,7<- (,) < 0,5 Vysoká záporná závislost 0,5<- (,) < 0,3 Střední záporná závislost 0,3<- (,) <0 Slabá záporná závislost - (,) =0 Neexistující závislost 0<- (,) <0,3 Slabá kladná závislost 0,3<- (,) <0,5 Střední kladná závislost 0,5<- (,) <0,7 Vysoká kladná závislost 0,7<- (,) <1 Značně vysoká kladná závislost - (,) =1 Pevná kladná závislost Vidíme, že pro všechny zkoumané dvojice znaků jde o značně vysokou kladnou závislost. V případě dvojice Počet obyvatel Počet domácností jde o závislost téměř pevnou. Poznámka K řešení jsme použili jen statistické funkce MS Excel. Jde o ukázku, jak se podobná statistická vyhodnocení dělají prakticky. Je důležité vždy vědět, co můžeme od které funkce očekávat a jak prakticky funguje. Bezduché použití nějaké funkce by vedlo k chybné interpretaci výsledku. 21

Popisná statistika. Komentované řešení pomocí MS Excel

Popisná statistika. Komentované řešení pomocí MS Excel Popisná statistika Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Máme k dispozici data o počtech bodů z 1. a 2. zápočtového testu z Matematiky I v zimním semestru 2015/2016 a to za všech 762 studentů,

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

6 Ordinální informace o kritériích

6 Ordinální informace o kritériích 6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní

Více

Kontrola: Sečteme-li sloupec,,četnost výskytu musí nám vyjít hodnota rozsahu souboru (našich 20 žáků)

Kontrola: Sečteme-li sloupec,,četnost výskytu musí nám vyjít hodnota rozsahu souboru (našich 20 žáků) Základní výpočty pro MPPZ Teorie Aritmetický průměr = součet hodnot znaku zjištěných u všech jednotek souboru, dělený počtem všech jednotek souboru Modus = hodnota souboru s nejvyšší četností Medián =

Více

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel Korelace Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A2:B84 (viz. obrázek) Prvotní představu o tvaru a síle závislosti docházky a počtu bodů nám poskytne

Více

Pearsonův korelační koeficient

Pearsonův korelační koeficient I I.I Pearsonův korelační koeficient Úvod Předpokládejme, že náhodně vybereme n objektů (nebo osob) ze zkoumané populace. Často se stává, že na každém z objektů měříme ne pouze jednu, ale několik kvantitativních

Více

Z tohoto setříděného souboru snadno sestavíme tabulku prostého rozdělení četností.

Z tohoto setříděného souboru snadno sestavíme tabulku prostého rozdělení četností. Příklad 1 Firma má pro své zaměstnance stanoveny tyto základní mzdy v Kč: 18600, 17650, 19200, 20400, 20800, 18600, 20400, 24200, 20400, 19200, 24200, 20400, 17650, 25800, 17650. Určete charakteristiky

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Učební materiály (využívány průběžně): Poznámky Umí provádět operace

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Výsledný graf ukazuje následující obrázek.

Výsledný graf ukazuje následující obrázek. Úvod do problematiky GRAFY - SPOJNICOVÝ GRAF A XY A. Spojnicový graf Spojnicový graf používáme především v případě, kdy chceme graficky znázornit trend některé veličiny ve zvoleném časovém intervalu. V

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 3 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme základní statistiky, typy proměnných a začali analýzu kvalitativních dat Tyhle termíny by měly být známé: Histogram, krabicový graf

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6 1. Příklad Byly sledovány rodinné stavy nevěst a ženichů při uzavírání sňatků a byla vytvořena následující tabulka četností. Stav Svobodný Rozvedený Vdovec Svobodná 37 10 6 Rozvedená 8 12 8 Vdova 5 8 6

Více

Popisná statistika. Komentované řešení pomocí programu R. Ústav matematiky Fakulta chemicko inženýrská Vysoká škola chemicko-technologická v Praze

Popisná statistika. Komentované řešení pomocí programu R. Ústav matematiky Fakulta chemicko inženýrská Vysoká škola chemicko-technologická v Praze Komentované řešení pomocí programu R Ústav matematiky Fakulta chemicko inženýrská Vysoká škola chemicko-technologická v Praze Načtení vstupních dat Máme k dispozici data o počtech bodů z 1. a 2. zápočtového

Více

František Hudek. květen 2012

František Hudek. květen 2012 VY_32_INOVACE_FH06 Jméno autora výukového materiálu Datum (období), ve kterém byl VM vytvořen Ročník, pro který je VM určen Vzdělávací oblast, obor, okruh, téma Anotace František Hudek květen 2012 8. ročník

Více

Obecné, centrální a normované momenty

Obecné, centrální a normované momenty Obecné, centrální a normované momenty Obsah kapitoly 4. Elementární statistické zpracování - parametrizace vhodnými empirickými parametry Studijní cíle Naučit se počítat centrální a normované momenty pomocí

Více

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde: Bodová předpověď: Intervalová předpověď:

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde:  Bodová předpověď: Intervalová předpověď: Predikce Text o predikci pro upřesnění pro ty, které zajímá, kde se v EViews všechna ta čísla berou. Ruční výpočty u průběžného testu nebudou potřeba. Co bude v závěrečném testu, to nevím. Ale přečíst

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

LOKET 3 3 5 ÚSTÍ NAD LABEM ČESKÉ BUDĚJOVICE PRAHA MĚLNÍK 4 5 TELČ 8 PARDUBICE HRADEC KRÁLOVÉ 6 BRNO SVITAVY 6 7 8 OLOMOUC 9 9 10 OSTRAVA LOKET 3 3 5 ÚSTÍ NAD LABEM ČESKÉ BUDĚJOVICE PRAHA MĚLNÍK 4 5 TELČ

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI SEMESTRÁLNÍ PRÁCE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI SEMESTRÁLNÍ PRÁCE TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekonomická fakulta Studentská 2 461 17 Liberec 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE STATISTICKÝ ROZBOR DAT Z DOTAZNÍKOVÝCH ŠETŘENÍ Gabriela Dlasková, Veronika Bukovinská Sára Kroupová, Dagmar

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole)

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Téma 2.4 Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Pomocí dotazu lze také vytvářet nová pole, která mají vazbu na již existující pole v databázi. Vznikne tedy nový sloupec, který se počítá podle vzorce.

Více

Časové řady - Cvičení

Časové řady - Cvičení Časové řady - Cvičení Příklad 2: Zobrazte měsíční časovou řadu míry nezaměstnanosti v obci Rybitví za roky 2005-2010. Příslušná data naleznete v souboru cas_rada.xlsx. Řešení: 1. Pro transformaci dat do

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Výrobní produkce divizí Ice Cream Po lo ha plane t Rozložený výse ový 3D graf Bublinový graf Histogram t s tn e ídy

Výrobní produkce divizí Ice Cream Po lo ha plane t Rozložený výse ový 3D graf Bublinový graf Histogram t s tn e ídy Výrobní produkce divizí Ice Cream Polo ha planet Rozložený výsečový 3D graf Bublinový graf Ice Cream 1 15% Ice Cream 2 12% Ice Cream 3 18% Ice Cream 4 20% Statistika 40 30 20 Ice Cream 6 19% Ice Cream

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

StatSoft Jak vyzrát na datum

StatSoft Jak vyzrát na datum StatSoft Jak vyzrát na datum Tento článek se věnuje podrobně možnostem práce s proměnnými, které jsou ve formě datumu. A že jich není málo. Pokud potřebujete pracovat s datumem, pak se Vám bude tento článek

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

práce s Microsoft Accessem

práce s Microsoft Accessem Manuál práce s Microsoft Accessem pro cvičení z Humánní geografie 1 Zadání cvičení...2 2 Podkladová data...3 3 Microsoft Access...5 3.1 Založení nové databáze...6 3.2 Import tabelárních dat ve formátu

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]

Více

10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda

10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda @112 10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda Jedna z metod, která se používá při řešení soustavy lineárních rovnic, se nazývá substituční. Nejlépe si metodu ukážeme na příkladech. Příklad:

Více

Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot.

Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Průměr Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Co je to průměr # Průměrem se rozumí klasický aritmetický průměr sledovaných hodnot. Můžeme si pro

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (procentem) řeší aplikační úlohy

Více

Měření zrychlení volného pádu

Měření zrychlení volného pádu Měření zrychlení volného pádu Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=10 Pro tento experiment si nejprve musíme vyrobit hřeben se dvěma zuby, které budou mít stejnou šířku (např. 1 cm) a budou umístěny

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Karnaughovy mapy. Pravdivostní tabulka pro tři vstupní proměnné by mohla vypadat například takto:

Karnaughovy mapy. Pravdivostní tabulka pro tři vstupní proměnné by mohla vypadat například takto: Karnaughovy mapy Metoda je použitelná již pro dvě vstupní proměnné, své opodstatnění ale nachází až s větším počtem vstupů, kdy návrh takového výrazu přestává být triviální. Prvním krokem k sestavení logického

Více

7 Ortogonální a ortonormální vektory

7 Ortogonální a ortonormální vektory 7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

UKAZATELÉ VARIABILITY

UKAZATELÉ VARIABILITY UKAZATELÉ VARIABILITY VÝZNAM Porovnejte známky dvou studentek ze stejného předmětu: Studentka A: Studentka B: Oba soubory mají stejný rozsah hodnoty, ale liší se známky studentky A jsou vyrovnanější, jsou

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Výpočet nového stavu je závislý na bezprostředně předcházejícím stavu (může jich být i více, zde se však omezíme na jeden).

Výpočet nového stavu je závislý na bezprostředně předcházejícím stavu (může jich být i více, zde se však omezíme na jeden). Počáteční úloha Při simulace vývoje systému v čase používáme jednoduché zásady: Spojitý čas nahradíme posloupností časových okamžiků t 0, t 1, t 2, t 3,, t i,. Interval mezi následujícími časovými okamžiky

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability 1. Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve třiceti vybraných rodinách byly získány tyto výsledky: 1, 1, 0, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2. Uspořádejte

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

František Hudek. srpen 2012

František Hudek. srpen 2012 VY_32_INOVACE_FH17 Jméno autora výukového materiálu Datum (období), ve kterém byl VM vytvořen Ročník, pro který je VM určen Vzdělávací oblast, obor, okruh, téma Anotace František Hudek srpen 2012 8. ročník

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Řešíme slovní úlohy Růžena Blažková Pedagogická fakulta MU

Řešíme slovní úlohy Růžena Blažková Pedagogická fakulta MU Řešíme slovní úlohy Růžena Blažková Pedagogická fakulta MU blazkova@ped.muni.cz V úvodu si položme několik otázek: - Proč řešíme slovní úlohy? - Je řešení slovních úloh žáky oblíbené? - Jaká tématika slovních

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Tvar dat a nástroj přeskupování

Tvar dat a nástroj přeskupování StatSoft Tvar dat a nástroj přeskupování Chtěli jste někdy použít data v jistém tvaru a STATISTICA Vám to nedovolila? Jistě se najde někdo, kdo se v této situaci již ocitl. Není ale potřeba propadat panice,

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Příklad Vypočítejte určité integrály: a) +)d b) 5sin) d c) d d) d e) d f) g) d d h) tgd i) d j) d k) arctg) d l) d m) sin d n) ) d o) p) q) r) s) d d ) d d d t) +d u) d v) d ŘEŠENÉ

Více

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

4. Vzorce v Excelu Tipy pro práci s Wordem Kontingenční tabulky v Excelu

4. Vzorce v Excelu Tipy pro práci s Wordem Kontingenční tabulky v Excelu 4. Vzorce v Excelu Tipy pro práci s Wordem Kontingenční tabulky v Excelu Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek, M. Cvanová Zdroje dat Excelu Import dat

Více

František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009. Abstrakt

František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009. Abstrakt Automatický výpočet chyby nepřímého měření František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009 Abstrakt Pro správné vyhodnocení naměřených dat je třeba také vypočítat chybu měření. Pokud je neznámá

Více

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů.

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů. Neparametricke testy (motto: Hypotézy jsou lešením, které se staví před budovu a pak se strhává, je-li budova postavena. Jsou nutné pro vědeckou práci, avšak skutečný vědec nepokládá hypotézy za předmětnou

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více