1 Úvod. 2 Fázové rozhraní. Čs. čas. fyz. 51 (2001) Vybrané modely vzniku a růstu krystalické fáze

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Úvod. 2 Fázové rozhraní. Čs. čas. fyz. 51 (2001) Vybrané modely vzniku a růstu krystalické fáze"

Transkript

1 Čs. čas. fyz. 51 (1) Vybraé modely vziku a růsu krysalické fáze ZDENĚK KOŽÍŠEK Fyzikálí úsav AV ČR, Cukrovarická 1, 16 Praha 6 1 Úvod Pěsováí krysalů z aveiy, rozoku ebo plyé fáze je časo v ceru pozorosi echologů, jejichž úkolem je připravi krysal o vhodých fyzikálě-chemických vlasosech. Řada krysalů vzikla v přírodě: mierály, led, kuchyňská sůl, diama ad. Vysoké ároky jsou des kladey a přípravu krysalů ejrůzějších maeriálů v růzých odvěvích: Ocel pro auomobilový průmysl, iegrovaé obvody založeé a polovodičových krysalech ad. Abychom mohli připravi kvalií krysaly zadaých vlasosí, musíme pochopi mechaismy jejich růsu. Růsové jedoky (aomy ebo molekuly) jsou rasporováy a růsové míso, jsou zabudováy do krysalické mřížky. Růsové jedoky mohou exisova v ějakém předběžém savu [1]: vyváří shluky v párách ebo aveiách, jsou disociováy, jsou fyzikálě vázáy s rozpoušědlem (solvaace), jsou chemicky vázáy a další složky. Růsový proces můžeme rozděli a ěkolik sádií, kerá závisí a morfologii rozhraí: osré rozhraí: dochází k okamžié změě mezi pevou lákou a kapaliou (j. jeda vrsva aomů paří pevé láce a ásledující vrsva aomů paří již kapaliě změy fyzikálích vlasosí se odehrávají a vzdáleosi jedé mřížkové kosay), difuzí rozhraí: posupý přechod od pevé láky ke kapaliě(a rozhraí fází exisují vrsvy, o kerých elze jasě říci, zda paří k pevé láce ebo ke kapaliě změy fyzikálích vlasosí se odehrávají a vzdáleosi ěkolika mřížkových kosa). Další možosí je, že se a povrchu pevé láky vyvoří adsorpčí film ebo vyšší kocerace rozpušěé láky. Krysaly jsou vořey aomy ebo molekulami, keré jsou uspořádáy do krysalové mřížky. akroskopický var ově vzikající pevé fáze může bý velmi rozmaiý od jedoduchého mohosěu (apř. NaCl) po dedriickou srukuru (sěhové vločky). Růs pevé fáze z maečé láky je urče přeosem hmoy, eergie a kieikou růsu. Tyo procesy spolu vzá- jemě souvisejí. Pěsováí krysalů je věováa celá řada moografií [-7]. Teoreické modely růsu krysalů umožňují lépe pochopi procesy ovlivňující proces přípravy ových maeriálů, což ám umožňuje korolu procesu krysalizace. Cílem éo práce je sezámi čeáře se základími kieickými modely růsu krysalů. udeme uvažova růs krysalů z aveiy, rozoku i z plyé fáze. Vzhledem k rozsahu publikace jsou uvedey pouze základí myšleky jedolivých modelů. Deailí odvozeí čeář ajde v origiálí lierauře. Fázové rozhraí rukura a var rozhraí hraje důležiou roli z hlediska kieiky růsu krysalů. Ve věšiě případů budeme uvažova osrá rozhraí. Kromě osrého rozhraí si můžeme předsavi při růsu z kapalé fáze difuzí rozhraí, kdy dochází k posupému přechodu od krysalické do kapalé fáze 8. V případě osrého fázového rozhraí rozlišujeme aomárě hladké (povrch bez výčělků, prohlubei a supňů) a aomárě hrubé rozhraí. V případě hladkého povrchu připadá a jedo růsové míso jeda vazba z krysalické fáze modelu, jsou uvažováy pouze ierakce ejbližších sousedů. V případě hrubého povrchu je ěcho vazeb více apř. a hraě supě jsou o dvě vazby, a zlomu dvou supňů jsou o ři vazby (zv. K- poloha v agličiě Kik sie ) a v případě prohlubeiy pě vazeb. Z eergeického hlediska je růs a hrubém povrchu výhodější. Na povrchu krysalu časo ajdeme růzé poruchy krysalové mříže ebo ečisoy, keré slouží jako akiví cera pro růs. V důsledku omezeého porozuměí srukuře kapali se eoreické modely srukury rozhraí zabývají věšiou sysémy pára-pevá láka. odely jsou obvykle založey a kvazichemickém přiblížeí:: celková vazebá eergie pevé láky je ejprve rovoměrě rozdělea mezi aomy a pak je ao aomisická vazebá eergie dělea poloviou poču ejbližších sousedů. Tak se ao eergie sává ezávislou a skuečé srukuře okolí daého aomu a elze započís změy vazebé eergie způsobeé poruchami a srukurou povrchu 9.

2 Nejjedodušší aalyický model výpoču přechodu hrubuí je založe a předpokladu, že rozhraí je vořeo jedoduchými vrsvami mezi poloekoečým krysalem a vakuovou fází 1. uro, Cabrera a Frak došli k závěru, že ermálí hrubuí asává ad bodem áí rozhraí pára-krysal a je v reálých sysémech evýzamé. Jackso 11 odhadl eplou hrubuí T R a základě aproximace sředího pole. Jako kriérium hrubosi odvodil Jackso fakor: zsl zk T, (1) l je laeí eplo a molekulu, k ozačuje olzmaovu kosau, T je eploa áí, z je poče ejbližších sousedů v roviě rozhraí a z ozačuje objemové koordiačí číslo. Pro hodoy < je přibližě polovia adsorpčích mís obsazea aomy, ale pro > jsou obsazea všecha (ebo žádá), j. pro máme hrubá rozhraí a > odpovídá hladkému rozhraí 8. Hodoa = odpovídá eploě hrubuí sysému T R. Jacksoův fakor věšiou dobře popisuje rovováhu aveia-krysal, ale špaě předpovídá povrchovou hrubos sysému pára-krysal. V omo případě je vhodé zahrou povrchové relaxačí efeky, což dává dobrý souhlas s experimeem i v omo případě. Abychom rozuměli aomárí srukuře krysalového povrchu, je vhodé pozorova povrchovou kofiguraci. Nedávý rozvoj růzých mikroskopických meod (zejméa T z aglického caig Tuelig icroscopy ) umožil pozorova srukuru povrchu a aomárí úrovi. Pro úplé pochopeí fázového přechodu hrubuí je aproximace sředího pole edosaečá a musíme použí speciálí meody: variačí meodu [17], reormalizačí eorii grup 18, 19 ebo oe Carlo výpočy kofigurace povrchu, 1,. 3 Růs a hrubém povrchu V éo čási budeme předpokláda, že růs asává a hrubém povrchu, přičemž všechy ásledující procesy: 1. aomy jsou rasporováy a povrch krysalu,. aomy jsou a povrchu zabudováy do krysalové mřížky, 3. uvolěé laeí eplo je odvedeo z povrchu krysalu jsou dosaečě rychlé. Pozameejme, že ejpomalejší proces určuje rychlos růsu krysalů. 3.1 Růs z aveiy Obr. 1. chemaická závislos eergie v kofiguračím prosoru. Krysal odpovídá sabilí fázi, kapalia measabilí fázi a mezi imi je akivačí eergie difuze přes rozhraí fází Ed. Předpokládejme, že máme podchlazeou kapaliu při eploě T T (eploa áí). Rovovážým savem sysému v rovováze je krysalická fáze, eboť Gibbsova volá eergie krysalu G (T, p) je ižší ež kapaliy G L(T, p). Kapalia může bý po dlouhou dobu podchlazea, ež dojde k fázovému přechodu. Po určié době dojde k vyvořeí zárodků ové fáze v kapaliě a jejich ásledému růsu do makroskopických rozměrů. Řídící silou růsu krysalů je rozdíl Gibbsových eergií v obou fázích: T, p G T, p G T p G () L, kerá je rove ule při eploě áí T. G můžeme při ízkých podchlazeích T = T T aproximova vzahem: G T G T L, p T T T T P G T P T L T (3) L ozačuje laeí eplo. chemaické zázorěí siuace kolem rozhraí vidíme a obrázku 1. Eergie E d ozačuje akivačí eergii difuze aomů přes fázové rozhraí, je rozdíl chemických poeciálů v obou fázích. Předpokládejme, že fázové rozhraí je hrubé a všecha mísa a povrchu jsou zároveň růsová mísa (j. ekoečě rychlá povrchová difuze). olekuly kapalé fáze arážejí a fázové rozhraí frekvecí ( k T / h frekvece eploích oscilací), přičemž krysalizací jedé molekuly se zvýší fázové rozhraí o molekulovou výšku a. Pro růsovou rychlos dosaeme: E d a exp 1. (4) kt kt Rovice (4) se azývají Wilsoovou-Frekelovou formulí pro růs z avei 7.

3 3. Růs z plyé fáze Předpokládejme, že plyá fáze se chová jako ideálí ply. Poče aomů dopadajících a jedoku povrchu za jedoku času lze urči z kieické eorie plyů: p f, (5) mk T m je hmoos aomu a p ozačuje lak plyu. Při daé eploě T se čás aomů odrhe od povrchu krysalu (vypařováí). Desorpce je ezávislá a adsorpci aomů, ale je eploě závislá. Při rovovážém laku p (T) jsou oba procesy v rovováze, j. desorpčí ok z krysalu je rove depozičímu oku f = f(p ). Předpokládáme-li krysalovou mřížku o mřížkové kosaě a (j. a jede aom připadá specifický objem = a 3 ), dosaeme pro růsovou rychlos: 3 Ω p p a f f (6) 3 mk T Lieárí růsový záko (6) se azývá Herzův-Kudsův vzah 7. Vzah pro růsovou rychlos plaí pouze pro ideálí siuaci hrubého povrchu s rychlým rasporem hmoy v plyé fázi. 3.3 Růs z rozoku Techicky je obížé vypěsova krysal z maeriálu, kerý má vysokou eplou áí. Rozpoušěím ve vhodém rozpoušědle může krysalizace asa při ižších eploách. Např. NaCl aje při 8 o C a růs z aveiy probíhá při eploách blízkých éo eploě. Je-li rozpušě v horké vodě, dosaeme vypařováím přesyceý rozok a k růsu krysalů dochází i při pokojové eploě. Pravděpodobos, že alezeme aom rozpušěé láky v určiém krysalizačím bodě s jedokovým objemem a 3, je a 3 c, c je kocerace rozoku. Teo aom osciluje kolem své průměré polohy s frekvecí a pokouší se krysalizova. Avšak aom rozpušěé láky je chemicky vázá s rozpoušědlem. Ozačíme-li akivačí eergii desolvaačího procesu E des, je rychlos krysalizace: E (7) K 3 des c a ca exp kt Opačý proces održeí molekul z povrchu krysalu (áí) je urče eploou a odpovídá rychlosi krysalizace při rovovážé koceraci c. Rychlos krysalizace je pak: 4 Edis K c K c a exp c - c kt (8) 3.4 Kieický O model Pro modelováí rozhraí krysal-ply se časo používá kieický O (z agličiy: olid-o-olid) model (zjedodušeá verze kieického Isigova modelu používaá pro výpočy povrchového hrubuí a růsové kieiky meodou oe Carlo) 1. Zachyceí a održeí aomů z povrchu krysalu asává sochasicky a rozhraí. Krysal se uvažuje jako soubor ieragujících sloupců kolmých k povrchu. Aomové vrsvy rovoběžé s rozhraím jsou ozačey počem vrsev, keré je oddělují od ějaké základí roviy. loupce jsou charakerizováy měící se celočíselou výškou (poče vrsev). Zaímco aomy kodezují ahodile a povrchu, pravděpodobos vypařováí povrchových aomů závisí a morfologii rozhraí. íso a povrchu krysalu, dojde s určiou pravděpodobosí k vypařováí, resp. ke kodezaci, je zvoleo meodou oe Carlo (geeráor áhodých čísel určí míso, dojde k elemeárímu procesu ). Kodezačí rychlos k + je dáa vějšími podmíkami, žo rychlos vypařováí klesá s rosoucím počem vazeb s ejbližšími sousedy. Předpokládá se, že rychlos vypařováí aomu z povrchu krysalu s p ejbližšími sousedy v roviě rovoběžé s rozhraím a s eergií ierakce ejbližších sousedů je dáa vzahem: k p pφ exp, (9) kt je rychlos vypařováí izolovaého adsorbovaého aomu (j. pro p = ). Na základě ěcho předpokladů dosaeme kieické rovice pro rychlos změy relaivího poču mís, keré jsou obsazey aomy v -é vrsvě 1: dc d k k C 1 C,C C 1 (1) k (, ) je efekiví rychlos vypařováí povrchových aomů v -é vrsvě, j. sředí rychlos vypařováí všech možých morfologií rozhraí. Prví a druhý čle a pravé sraě rovice (1) reprezeuje rychlosi adsorpce a vypařováí z -é vrsvy. Výrazy v hraaých závorkách předsavují relaiví poče mís, keré jsou dosažielé pro adsorpci a vypařováí. Efekiví rychlos vypařováí k (, ) závisí a relaivím poču aomů v -é vrsvě a O kieické modely se v podsaě liší v růzých aproximacích éo fukce. V pricipu lze zahrou do ěcho fukcí i povrchovou difuzi. Rychlos růsu můžeme vyjádři ve varu: P 1 P k k, (11) P C C1.

4 4 Růs a hladkém povrchu V éo čási se budeme věova zákoům povrchové kieiky a hladkých rozhraích. U rozhraí s ižší aomovou hrubosí je vzdáleos mezi mísy, jež poskyují vyšší ierakčí (vazebou) eergii, velká vzhledem k molekulárím rozměrům. Do kieických modelů musí bý zahrua difuze. Difuze k růsovým mísům může asa buď a adsorbovaých savech a povrchu (povrchová difuze), ebo přímo skrz povrchovou vrsvu maečé fáze (objemová difuze) ebo současě povrchovou i objemovou difuzí. 4.1 pirálový růs Věšia krysalů obsahuje dislokace, keré jsou zdrojem supňů a povrchu krysalu. Pod pojmem supeň si můžeme předsavi další mooaomárí vrsvu aomů, kerá ezaplňuje celý povrch. Na povrchu ak můžeme ají růzé zlomy supě, keré slouží jako preferečí mísa pro růs. Zdrojem supňů jsou dislokace (šroubovié i hraové) ebo dvoudimezioálí ukleace. V případě šrouboviých dislokací se a povrchu vyváří růsové spirály. Na základě ěcho úvah avrhli uro, Cabera a Frak (dále CF) 1 model spiráloviého růsu. Později byly spirály a povrchu skuečě pozorováy. Normálovou rychlos krysalu v v případě spirálového růsu lze vyjádři ve varu 3 v h, (1) h je výška supě a je frekvece roující spirály v radiáech. Obecě je fukcí eploy a přesyceí. Dosaečě daleko od sředu spirály lze sysém supňů považova za sadu paralelích přímých ekvidisaích supňů. odel spiráloviého růsu je v dobrém souladu s experimeem pro ízká přesyceí. K spirálovému růsu dochází a povrchu edokoalých krysalů při ízkém přesyceí. Vazebá eergie supňů klesá s rosoucí eploou a sává se ulovou při eploě hrubuí. Vliv šrouboviých dislokací a kieiku růsu je zaedbaelý při eploách vyšších, ež je eploa hrubuí. Naopak pro věší hodoy přesyceí (vysoká podchlazeí) asává a povrchu ukleace, což musíme zahrou do modelu spiráloviého růsu. Aalyické zpracováí je v omo případě obížé. 4. Nukleace K ukleaci může docháze v objemu maečé fáze díky flukuacím homogeí ukleace. Omezíme se zde a příklad heerogeí ukleace, kerá asává a površích, ečisoách a poruchách mříže. Heerogeí ukleace může avíc asa mechaismem dvoudimezioálí (D) ebo řídimezioálí (3D) ukleace. V případě D Obr.. Práce pořebá k vyvořeí zárodku G v jedokách kt v závislosi a velikosi zárodku. ozačuje kriický rozměr zárodku pro přesyceí 1 ( ). ukleace je výška zárodku a ím i výška ukládaé vrsvy (supě) rova mřížkové vzdáleosi rovi. Ierakci sysému subsrá-zárodek můžeme charakerizova veličiou, (13) K K, a K ozačují specifické povrchové eergie a rozhraích krysal-maečá fáze, subsrá-maečá fáze a krysal-subsrá. Dá se ukáza, že pro asává 3D ebo D ukleace ezávisle a přesyceí. Jeli, asává 3D ukleace pro a pro věší hodoy přesyceí ( ) asává D ukleace, přičemž kriická hodoa přesyceí je dáa vzahem3: K s, (14) s je plocha obsazeá růsovou jedokou. Důležiou roli při vyvářeí zárodků hraje eergie pořebá k vyvořeí zárodků. V jedoduchém modelu kapilárí aproximace ji lze vyjádři vzahem (15) G W Ws je povrchová eergie a ozačuje poče aomů (molekul) v zárodku. Předpokládáme-li izoropí zárodečý krysal, můžeme W vyjádři vzahem: W ( ), (16) = K a 1 je geomerický fakor. Na obr. je schemaicky zázorěa práce k vyvořeí zárodku v závislosi a poču molekul při růzých přesyceích.. e vzrůsajícím přesyceím se kriický rozměr a eergeická bariéra ukleace sižuje. Eergie pořebá k vyvořeí zárodku G abývá exremálí hodoy pro kriický rozměr. Při podkriické velikosi klasrů ově vzikající fáze (j. ) dochází k flukuacím v sysému a klasry se mohou samovolě rozpada. Teprve adkri-

5 ické klasry ( ) mohou samovolě růs azýváme je zárodky ové fáze. Kieickou rovici určující vzik a růs zárodků za předpokladu, že domiaím procesem je zachyceí jedolivých molekul a povrchu klasru (j. zaedbáváme koalesceci), lze apsa ve varu: J df d J ( ) J ( ), (17) 1 ( 1 1 ) k F ( ) k F ( ) (18) ozačuje ok, j. poče zárodků vyvořeých a jedoce povrchu za jedoku času. F () ozačuje poče zárodků o velikosi a jedoce povrchu v čase. Kieika procesu vziku ové fáze je určea frekvečími fakory k (poče molekul zachyceých za jedoku času). Za předpokladu J () = pro všecha dosaeme rovovážé rozděleí zárodků : G F Aexp, (19) kt předexpoeciálí fakor A je úměrý poču růsových ceer N a povrchu 14. Rovovážé rozděleí (19) je fyzikálě erealizovaelé, eboť dochází k fázovému přechodu. acioárí přiblížeí vychází z podmíky J 1 J kos J (). J je sacioárí ukleačí rychlos. Nukleačí rychlos ( = J ) vyjadřuje poče zárodků vzikajících a jedoce plochy za jedoku času. Pro sacioárí ukleačí rychlos lze odvodi vzah: z J z F k 1 G - kt, (1) () ozačuje Zeldovichův fakor. Rovici (1) lze odvodi za předpokladu kosaího poču moomerů (resp. růsových ceer) a povrchu. V obecém případě jsou růsová cera a povrchu vyčerpáa v důsledku vziku zárodků. V om případě je ukleačí rychlos esacioárí a abývá exremálí hodoy v závislosi a čase 14. Horí odhad ohoo exrému ám dává sacioárí ukleačí rychlos J. Časový vývoj rozdělovací fukce zárodků je komplikovaější (deaily čeář ajde v 15, 16 ). Poče aomů zachyceých a jedoce povrchu v ejjedodušším případě růsu z plyé fáze lze vyjádři vzahem p Ed k exp m k T kt (3) Obr. 3. chemaická závislos celkového poču zárodků Zl pro velikosi l = l1 = l a čase. N ozačuje poče krysalických ceer a jedoce povrchu. ozačuje povrch zárodku a E d je akivačí eergie pro difuzi molekul přes fázové rozhraí. Frekvečí fakor k - je obvykle urče z pricipu lokálí rovováhy k F k F (4) 1 1 Při ukleaci obvykle měříme celkový poče zárodků Z a jedoce povrchu, keré jsou věší ež deekovaelá velikos l. Tuo závislos určíme ze vzahu: Z ( ) F ( ) (5) Typická závislos celkového poču zárodků a čase je zázorěa a obr. 3. Posu časových závislosí Z l () pro l = l 1 a l (l l 1 ) je dá rychlosí růsu zárodků. 4.3 Povrchová difuze V éo čási se budeme věova zákoům povrchové kieiky a hladkých rozhraích. U rozhraí s ižší aomovou hrubosí je vzdáleos mezi mísy, jež poskyují vyšší ierakčí (vazebou) eergii, velká vzhledem k molekulárím rozměrům. Domiaím procesem růsu krysalů je v omo případě povrchová difuze. Difuze k růsovým mísům může asa buď a adsorbovaých savech a povrchu (povrchová difuze), ebo přímo skrz povrchovou vrsvu maečé fáze (objemová difuze) ebo současě povrchovou i objemovou difuzí. uro, Cabrera a Frak 1 sysemaicky sudovali pohyb supňů při povrchové difuzi adsorbovaých aomů při relaivě ízké eploě, kdy je krysal hladký. (Pozameejme, že zdálivý pohyb supě je způsobe adsorpcí aomů a růsovém mísě a hraě supě).

6 Předpokládejme, že růsové jedoky jsou adsorbováy a hladkém povrchu, vykoávají ahodilou cesu a buď se vráí zpě do maečé fáze, ebo dosáhou povrchového supě, vykoají ovou ahodilou cesu podél supě, až čás aomů dosáhe mísa, jsou aomy ejsilěji vázáy celkem řemi vazbami v modelu ejbližších sousedů. Too míso budeme ozačova jako K-míso ebo K-poloha ( v agličiě: kik sie ). Předpokládejme, že adsorpčí míso a povrchu krysalu voří čvercová mříž s mřížkovou kosaou a. Z maečé okolí fáze dopadá f aomů a jedoku povrchu za jedoku času. Na mřížkové míso (x, y) s aomárí plochou a dopade v časovém iervalu celkem fa aomů, keré oscilují s frekvecí kolem průměrých adsorbčích mís. Čás aomů se odrhe od povrchu s pravděpodobosí exp(-e a d /k T), akže doba živoa aomu a povrchu je: 1 E ad exp (6) kt E ad ozačuje rozdíl eergií aomu ve volém savu a a povrchu (vázaý sav). Ozačíme-li husou adsorbovaých aomů c(x, y), je c(x, y, ) a pravděpodobos obsazeí mřížkového mísa (x, y,) adsorbovaým aomem. Poče adsorbovaých aomů, keré se vypaří v časovém iervalu, je c( x, y, ) a /. Na druhé sraě se aom pohybuje během svého živoa z jedoho adsorpčího mísa a druhé, k čemuž musí překoáva akivačí eergii E s d a pravděpodobos přeskoku a sousedí míso je dáa vzahem: E sd exp (7) kt Difuzí rovici zahrující příspěvek depozičího oku a desorpce můžeme apsa ve varu: D D c x, y, c c f, (8) E s d a a exp (9) kt ozačuje povrchovou difuziviu. ředí difuzí dráha a povrchu je x D (3) Při povrchové difuzi čás aomů dosáhe supě a pak krysalizuje při dosažeí K-polohy. Kieika zabudováí adsorbovaých aomů do supňů je velmi rychlá, eboť supě jsou hrubé 7. Pro rychlos pohybu supě lze odvodi vzah: f f a x v (31) f = c / je rovovážý depozičí ok. Doposud jsme uvažovali jedoduchý izolovaý supeň a hladkém povrchu. Ve skuečosi je a povrchu řada supňů, přičemž difuzí pole kolem supňů se mohou ovlivňova. Zdrojem supňů jsou šroubovié a hraové dislokace ebo D ukleace. Preferovaé vyvářeí zárodků a hraových dislokacích asae pouze při vyšších přesyceích 1. Nerose-li krysal za kvazi-rovovážých podmíek, bude se makroskopický růsový var odchylova od rovovážého varu. Krysal má edeci růs akovým způsobem, aby var rozhraí sledoval eploí a koceračí pole. To vede k omu, že orieace jedolivých čásí rozhraí fází se emusí shodova a za určiých podmíek o vede k vyvářeí prohlubí a výčělků a povrchu, čímž se síží povrchová eergie a voří se preferečí mísa pro růsový supeň (ukleaci). Dalším možým mechaismem pro eusálé vořeí supňů je povrchová rekosrukce. Povrchové vrsvy mohou voři ovou krysalickou srukuru, odlišou od objemové srukury. Tyo supersrukury mají obvykle ižší aomovou husou ež objemové srukury a ěkeré aomy se mohou vrái do maečé fáze. Avšak eergeicky je pravděpodobější, že přebyečé aomy vyvoří mechaismem povrchové difuze výčělky a prohlubě, keré mohou bý původem růsových supňů. 5 Objemová difuze odely objemové difuze předpokládají, že aomy jsou zabudováy do K-poloh a povrchu krysalu difuzí z objemu maečé fáze. Objemová difuze hraje důležiou roli zejméa při růsu krysalů z rozoku. uro, Cabrera a Frak 1 avrhli model objemové difuze (dále CF model) založeý a řísložkovém difuzím poli: kolem K-poloh, kolem supňů a rovié difuzí pole v koceračí hraičí vrsvě šířky C, keré je rovoběžé s povrchem krysalu 3. Traspor aomů z maečé fáze k růsovým mísům a povrchu (K-polohy) asává pouze objemovou difuzí, eí dovoleá adsorpce aomů a povrchu ásledovaá povrchovou a hraovou difuzí k růsovým mísům. uro, Cabrera a Frak dosali mezi objemovým přesyceím ve vzdáleos C od povrchu a přesyceím ve vzdáleos y od K-polohy: y K a 1 x p C x Ka x l y y 1 (3) y je sředí vzdáleos mezi K-polohami, x je sředí vzdáleos mezi supi, a je mřížková kosaa a K je kieický koeficie. Za předpokladu, že původem supňů jsou růsové spirály, lze odvodi pro rychlos růsu mechaismem objemové difuze vzah 1:

7 Dv c a kt y v, (33) y je volá eergie aomu a supi, D V je koeficie pro objemovou difuzi a c je rovovážá objemová kocerace v rozoku. Pro ízká přesyceí je x C a. Pro vysoká přesyceí je x C a dosaeme. Exrapolací lieárího zákoa pro ízká přesyceí dosaeme ( = ) =. CF modely objemové a povrchové difuze dávají sejé kvaliaiví výsledky. Přechod mezi lieárí a parabolickou oblasí závisí v modelu objemové difuze a C. Cherov 3 předpokládal, že vzdáleos dvou sousedích K-poloh je ak malá, že lze supeň považova za lieárí spojiou oblas, se mohou zabudova růsové jedoky. Koceračí profil je závislý a vzdáleosi od povrchu krysalu a od povrchu supě. Aalyickým řešeím difuzí rovice dosal vzah pro růsovou rychlos, kerý pro malá přesyceí dává parabolickou závislos rychlosi růsu a přesyceí a lieárí závislos pro vysoká přesyceí, ale ( = ). 6 Závěr Cílem éo práce je sezámi čeáře se základími kieickými modely růsu krysalů z maečé fáze (aveia, rozok, pára). Z kieického hlediska hraje rozhodující roli při růsu krysalů ejpomalejší proces. Jsou-li kieiky dvou či více procesů srovaelé, musíme započís yo procesy (apř. objemová a povrchová difuze, ap.). Velice důležiou roli při růsu krysalů hraje eploí pole kolem rozhraí fází, odvod epla, případé prouděí. Difuzí pole vyvolává esabiliy v rosoucím rozhraí, což vede k růzým růsovým varům krysalů rovié ebo zakřiveé rozhraí, dedriický růs, lamelárí srukura. Vzhledem k rozsahu publikace ejsou zde yo modely uváděy. [] Cherov A.A.: Crysallizaio Processes, i oder Crysallography III, priger, erli (1984). [3] Ohara., Reid R. C.: odelig Crysal Growh Raes from oluio Preice-Hall, Ic., Eglewood Cliffs, N.J. (1973). [4] Harma, P. (ed.): Crysal Growh: a iroducio, Norh-Hollad, Amserdam (1973). [5] Kurz W., Fischer D.: Fudameals of olidificaio, Tras. Tech. Publ., Aedermasdorf, wizerlad (1989). [6] Hurle D.T.J. (ed.): Hadbook of crysal growh, Vol. 1, ad 3, Norh-Hollad, Amserdam (1993). [7] aio Y.: aisical Physics of Crysal Growh, World cieific Publishig Co. Pe. Ld., Lodo (1996). [8] rice J. C.: The Growh of Crysals from Liquids, Norh-Hollad Publishig Compay (1973). [9] Che Je-hig, ia Nai-e, Roseberger F.: J. Chem. Phys. 84 (1986) 365. [1] uro W. K., Cabrera N., Frak F. C.: Phil. Tras. Royal oc., Lodo 43 (1951), 99. [11] Jackso K.A.: echaism of growh i Liquid meals ad solidificaio, Am. soc. eals, Cleavlad, Ohio (1958), 174. [1] Gilmer G.H.: J. Crys. Growh 4 (11977), 3. [13] Kaischew R., oyaov., Kashchiev D.: J. Crys. Growh 5 (1981), 3. [14] Kožíšek Z., Demo P., Nesládek.: J. Chem. Phys. 18 (1998), [15] Kumomi H., hi F. G.: Phys. Rev. Leers 8 (1999), 717. [16] Kožíšek Z., Demo P., ao K.:J. Crys. Growh 9 (), 198. [17] aio Y.: Z. Phys. 3 (1978), 75. [18] Koserliz J..: J. Phys. C 7 (1974), 146. [19] Nozières P.: hape ad growh of crysals, v olids far from equilibrium, ed. C. Godrèche, Cambridge (1991). [] ider K. (ed.): oe Carlo ehods i aisical Physics, priger, erli (+979). [1] Heerma D. W. (ed).: Compuer simulaio mehods i heoreical physics, priger, erli (1986). [] aio Z., üller-kurmbhaar H.: Phys. Rev. 3 (1981), 38. Poděkováí Tao práce byla podpořea projekem č. 11//18 Graové ageury Akademie věd České republiky. Lieraura [1] Roseberger F., uafschiev. (ed.): Ierfacial Aspecs of Phase Trasformaios, D. Reidel Publishig Compay (l98), 315.

VÝKONOVÉ DIODY 5000 A 0,1 A I FAV 50 V U RRM V

VÝKONOVÉ DIODY 5000 A 0,1 A I FAV 50 V U RRM V VÝKONOVÉ DIODY Výkoové polovodičové diody se v aplikacích používají k zabezpečeí průchodu proudu jedím směrem, ejčasěji k usměrňováí sřídavého proudu.,1 A I AV 5 A 5 V RRM 1 V Věkerých aplikacích je požadová

Více

Teplota. 3 kt. Boltzmanova konstanta k = J K -1. definice teploty. tlaky v obou částech se vyrovnají

Teplota. 3 kt. Boltzmanova konstanta k = J K -1. definice teploty. tlaky v obou částech se vyrovnají Teploa laky obou čásech se yroají 1 m1 1 m rooáe budou sředí kieické eergie obou druhů molekul sejé: 1 1 m m 1 1 ěžší molekuly se pohybují pomaleji ež lehčí sejé musí edy bý i objemoé kocerace: 1 když

Více

Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti

Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Odezva a obecou periodickou budící fukci Iva Períková Kaedra mechaiky, pružosi a pevosi Obsah Fourierovy řady Odezva a polyharmoickou fukci Odezva a obecou periodickou fukci Odezva a jedokový skok Příklad

Více

23. Mechanické vlnění

23. Mechanické vlnění 3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze

Více

1.6. Srovnání empirických a teoretických parametrů (4.-5.předn.)

1.6. Srovnání empirických a teoretických parametrů (4.-5.předn.) .6. rováí empirických a eoreických paramerů (4.-5.před.) Cíle: - pravděpodobosí zkoumáí výběrového saisického souboru: kvaifikace eoreických paramerů, srováí eoreických a empirických paramerů (Probable

Více

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt OBEKTOVÁ ALGEBRA Zdeěk Pezlar Úsav Iformaiky, Provozě-ekoomická fakula MZLU, Bro, ČR Absrak V objekovém modelu da defiujeme objekové schéma (řídu) jako čveřici skládající se ze jméa řídy, aribuů, domé

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Úloha V.E... Vypař se!

Úloha V.E... Vypař se! Úloha V.E... Vypař se! 8 bodů; průměr 4,86; řešilo 28 sudenů Určee, jak závisí rychlos vypařování vody na povrchu, kerý ao kapalina zaujímá. Experimen proveďe alespoň pro pě různých vhodných nádob. Zamyslee

Více

ENERGIE MEZI ZÁŘENZ VZORKEM

ENERGIE MEZI ZÁŘENZ VZORKEM METODY BEZ VÝMĚNY V ENERGIE MEZI ZÁŘENZ ENÍM M A VZORKEM SPEKTROMETRIE VYUŽÍVAJÍCÍ ROZPTYL Meoda založeá a měřeí idexu lomu láek (). Prochází-li paprsek moochromaického zářeí rozhraím raspareích prosředí,

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

Evakuace osob v objektech zdravotnických zařízení

Evakuace osob v objektech zdravotnických zařízení Evakuace osob v objekech zdravoických zařízeí Ig. Libor Folwarczy, Ph.D., Ig. Jiří Pokorý, Ph.D. Hasičský záchraý sbor Moravskoslezského kraje, Výškovická 40, 700 0 Osrava-Zábřeh E-mail: libor.folwarczy@hzsmsk.cz,

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Geometrické modelování. Diferenciáln

Geometrické modelování. Diferenciáln Geomerické modelováí Difereciál lí geomerie křivekk Křivky v očía ačové grafice Geomerická ierreace Každý krok algorimu má svůj geomerický výzam Flexibilia korola ad růběhem křivky, možos iuiiví ediace

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýzy časových řad Obsah Úvod... Teoreické základy pro aalýzu časových řad.... Základí pojmy..... Druhy časových řad..... Grafická aalýza.....3 Popisé charakerisiky... 4. Základí úpravy časových

Více

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Ivesičí čios Exisují růzá pojeí ivesičí čiosi: Z pohledu ekoomické eorie Podikové pojeí ivesic Klasifikace ivesic v podiku 1) Hmoé (věcé, fyzické, kapiálové) ivesice 2) Nehmoé (emaeriálí) ivesice 3) Fiačí

Více

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN DIMNZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PRFN 1 Kulkova 10/4231, 615 00 Bro el.: 541 583 208, 297, fa.: 549 254 556 e-mail: kompozi@prefa.cz hp://www.prefa-kompozi.cz DIMNZOVÁNÍ PROFILŮ Maeriálová srukura, základí

Více

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5 Fakula srojího ižeýrsví VUT v Brě Úsav kosruováí KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody Předáška 5 Čelí soukolí se šikmými zuby hp://www.audiforum.l/ Moderaio is bes, ad o avoid all exremes. PLUTARCHOS Čelí soukolí

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

n(- ) = n p FEKT VUT v Brně ESO / L3 / J.Boušek 1 FEKT VUT v Brně ESO / L3 / J.Boušek x p x 0 N A E = 0

n(- ) = n p FEKT VUT v Brně ESO / L3 / J.Boušek 1 FEKT VUT v Brně ESO / L3 / J.Boušek x p x 0 N A E = 0 M FK BRĚ J.Boušek / lekroické součásky / 3 řechod v rovovážém savu K ; K J J J J J,drif J,dif µ d d J J,drif J,dif µ - d d o dosazeí (µk/ : iseiův vzah d d k d µ d d d µ - závislos a relaiví změě kocerace

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016 Přijímací zkouška a avazující magiserské sudium 2016 Sudijí program: Sudijí obor: Maemaika Fiačí a pojisá maemaika Variaa A Řešeí příkladů pečlivě odůvoděe. Věuje pozoros ověřeí předpokladů použiých maemaických

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_17_Klopné obvody RS, JK, D, T. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_17_Klopné obvody RS, JK, D, T. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing. Číslo projeku CZ..7/.5./34.58 Číslo maeriálu VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_7_Klopé obvody RS, JK, D, T. Název školy Auor Temaická oblas Ročík Sředí odborá škola a Sředí odboré učilišě, Dubo Ig. Miroslav Krýdl

Více

6 Algoritmy ořezávání a testování polohy

6 Algoritmy ořezávání a testování polohy 6 lgorim ořezáváí a esováí poloh Sudijí íl Teo blok je věová problemaie vzájemé poloh grafikýh primiiv, zejméa poloze bodu vzhledem k mohoúhelíku včeě jedolivýh speifikýh varia jako jsou čřúhelík, jehož

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Nechť je áhodá proměá, kerá má diribučí fukci Fx, ϑ. Předpokládejme, že záme var diribučí fukce víme jaké má rozděleí a ezáme

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Modelování jednostupňové extrakce. Grygar Vojtěch

Modelování jednostupňové extrakce. Grygar Vojtěch Modelováí jedostupňové extrakce Grygar Vojtěch Soutěží práce 009 UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 009 OBSAH ÚVOD...3 1 MODELOVÁNÍ PRACÍCH PROCESŮ...4 1.1 TERMODYNAMIKA PRACÍHO PROCESU...4 1.

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýz časových řad Doc.Ig. Jaa Hačlová, CSc. Kaedra maemaických meod v ekoomice Ig. Lubor Tvrdý Kaedra regioálí ekoomik Ekoomická fakula, VŠB-TU Osrava Osrava, 003 - - Úvod do aalýz časových řad

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu

Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu 4. eziárodí koferece Řízeí a odelováí fiačích rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekooická fakula, kaedra Fiací.-. září 8 Meody odhadu popávky a abídky v podíkách erovovážého odelu Pavla Vodová Absrak Cíle ohoo

Více

Světlo v izotropním látkovém prostředí a na rozhraní izotropní bezztrátové dielektrikum je charakterizováno skalární permitivitou ε = εε.

Světlo v izotropním látkovém prostředí a na rozhraní izotropní bezztrátové dielektrikum je charakterizováno skalární permitivitou ε = εε. Učebí ex k předášce UFY2 Feselovy vzoce a jevy a ozhaí dvou posředí I Svělo v zoopím lákovém posředí a a ozhaí zoopí bezzáové delekkum je chaakezováo skaláí pemvou ε εε a pemeablou μ μμ (kde μ po emagecké

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Časová zátěž Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 8 hodin studia.

Časová zátěž Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 8 hodin studia. Kapiola 0.: Úvod do aalýzy časových řad Cíl kapioly Po prosudováí éo kapioly budee umě - očisi časovou řadu od důsledků kaledářích variací - graficky zázori okamžikovou i iervalovou časovou řadu - vypočía

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Geometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí:

Geometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí: Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Byla vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým ejsou potřeba zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy: 3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION PARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM PRODUCT LIFE TESTS

ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION PARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM PRODUCT LIFE TESTS ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION ARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM RODUCT LIFE TESTS J.Tůa * Suary: The paper deals wih a saisial ehod for he evaluaio of life es resuls. I is supposed ha oly soe of he es

Více

Modelování vlivu parametrického buzení na kmitání vetknutého nosníku

Modelování vlivu parametrického buzení na kmitání vetknutého nosníku . ročík echické koferece ARaP, 4. a 5.. 4, Praha Modelováí vlivu paramerického buzeí a kmiáí vekuého osíku Jiří TŮMA, Per Ferfecki, Pavel ŠURÁNE, Miroslav MAHDA VŠB - Techická uiverzia Osrava ARaP 4 Osova

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

3. POJIŠTĚNÍ OSOB (ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ)

3. POJIŠTĚNÍ OSOB (ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ) 3. POJIŠTĚÍ OSOB (ŽIVOTÍ POJIŠTĚÍ) 3.. EMOELOVÝ PŘÍSTUP 3... ekremeí řád vymíráí populace Úmrosí abulky a) Smr je áhodým jevem, kerý se pojišťuje pro účely ŽP sačí pracova s průměrými hodoami záko velkých

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha V.E... sladíme 8 bodů; průměr 4,65; řešilo 23 sudenů Změře závislos eploy uhnuí vodného rozoku sacharózy na koncenraci za amosférického laku. Pikoš v zimě sladil chodník. eorie Pro vyjádření koncenrace

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Matematika 2 (BMA2 + KMA2)

Matematika 2 (BMA2 + KMA2) FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Maemaika BMA KMA Auoři eu: Prof RNDr Fraišek Melkes, CSc Mgr Mari Řeáč FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Isiu maemaik a deskripiví geomerie DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Maemaika IV Jaroslav Vlček Jiří Vrbický Osrava Předmluva Skripum "Difereciálí rovice" keré vziklo

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

10 Lineární elasticita

10 Lineární elasticita 1 Lineární elasicia Polymerní láky se deformují lineárně elasicky pouze v oblasi malých deformací a velmi pomalých deformací. Hranice mezi lineárním a nelineárním průběhem deformace (mez lineariy) závisí

Více

Časové řady elementární charakteristiky

Časové řady elementární charakteristiky Časové řad elemeárí charakerisik Elemeárí charakerisik vývoje časové řad Příklad: Časová řada ročích produkcí elekrické eergie v Jihomoravském kraji bazický Výroba elekři.. empo růsu empo přírůsku idex

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim KAPITOLA 4: 4 Úvod Derivace fkce [MA-8:P4] Moivačí příklady: okamžiá ryclos, směrice ečy Defiice: Řekeme, že fkce f má v bodě derivaci [ derivaci zleva derivaci zprava ] rov čísl a, jesliže exisje [ x

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Rozklad přírodních surovin minerálními kyselinami

Rozklad přírodních surovin minerálními kyselinami Laboratoř aorgaické techologie Rozklad přírodích surovi mierálími kyseliami Rozpouštěí přírodích materiálů v důsledku probíhající chemické reakce patří mezi základí techologické operace řady průmyslových

Více

9 Viskoelastické modely

9 Viskoelastické modely 9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU

ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU A.Mikš, J.Novák, P. Novák katedra fyziky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze Abstrakt Práce se zabývá aalýzou vlivu velikosti umerické

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský socálí fod Praha & EU: Ivesujee do vaší budoucos Ekooka podku aedra ekooky, aažersví a huaích věd Fakula elekroechcká ČVUT v Praze Ig. učerková Blaka, 20 Úrokový poče, základy fačí aeaky (BI-EP)

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Analýza stavebního spoření, jako metody zhodnocení volných prostředků

Analýza stavebního spoření, jako metody zhodnocení volných prostředků Medelova zemědělsk{ a lesick{ uiverzia v Brě Provozě ekoomick{ fakula Úsav saisik a operačího výzkumu Aalýza savebího spořeí, jako meod zhodoceí volých prosředků Bakal{řsk{ pr{ce Vedoucí pr{ce Ig. V{clav

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

Předmět: SM 01 ROVINNÉ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE

Předmět: SM 01 ROVINNÉ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE Přdmět: SM 0 ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE doc. Ig. Michl POLÁK, CSc. Fkult stvbí, ČVUT v Prz ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE: KOSTRUKCE JE VYTVOŘEA Z PŘÍMÝCH PRUTŮ, PRUTY JSOU AVZÁJEM POSPOJOVÁY V BODECH STYČÍCÍCH,

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více