DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ
|
|
|
- Otakar Dvořák
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ P. Hora, O. Červená Ústav termomechaniky AV ČR Příspěvek vznikl na základě podpory grantu cíleného vývoje a výzkumu AV ČR č. IBS Ultrazvukové metody vyšetřování mechanických vlastností kompozitních materiálů používaných v letectví (řešitel Ing. M. Landa, CSc.) a záměru ÚT AV ČR AVZ VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25
2 nekonečná tlustá deska volné okrajové podmínky kubická anizotropie orientace (1) Úvod VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 1
3 Úvod nekonečná tlustá deska volné okrajové podmínky kubická anizotropie orientace (1) metoda parciálních vln získání disperzních vztahů vyčíslení disperzních vztahů pro měď porovnání s výsledky Mindlinovy teorie oddělených módů VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 1
4 Metoda parciálních vln Ke studiu šíření napěťových vln v izotropních deskách se používají dvě analytické metody: 1. metoda založená na potenciálech s následnou separací proměnných, 2. metoda parciálních vln, u které se řešení skládá z jednoduchých vln exponenciálního typu, které putují mezi okraji desky. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 2
5 Metoda parciálních vln Ke studiu šíření napěťových vln v izotropních deskách se používají dvě analytické metody: 1. metoda založená na potenciálech s následnou separací proměnných, 2. metoda parciálních vln, u které se řešení skládá z jednoduchých vln exponenciálního typu, které putují mezi okraji desky. Výhody metody parciálních vln: vede k řešení rychleji přináší lepší náhled do fyzikální povahy vlnového šíření VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 2
6 SH 1 (1) l z 1 l(2) z Parciální vlny v nekonečné izotropní desce VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 3
7 SH SV 1 l (3) z 1 l (4) z 1 (1) l z 1 l(2) z Parciální vlny v nekonečné izotropní desce VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 3
8 SH SV P 1 l (3) z 1 l (4) z 1 (1) l z 1 l(2) z 1 l(5) z l z (6) Parciální vlny v nekonečné izotropní desce VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 3
9 z Ústav termomechaniky AV ČR Anizotropní deska pouze metoda parciálních vln Z y X Y d d x VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 4
10 z Ústav termomechaniky AV ČR Anizotropní deska pouze metoda parciálních vln Předpokládané řešení u = u exp [i (k x x + k y y + k z z ωt)], kde Z y X d Y d u = ˆxα x + ŷα y + ẑα z x VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 4
11 z Ústav termomechaniky AV ČR Anizotropní deska pouze metoda parciálních vln Předpokládané řešení u = u exp [i (k x x + k y y + k z z ωt)], kde Christoffelova rovnice kde ( kiicij k Jj ρω 2 δ ij ) uj =, k x k z k y k ii = k y k z k x k z k y k x Z y X Y u = ˆxα x + ŷα y + ẑα z d d x VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 4
12 Princip metody spočívá ve vazbě parciálních vln na ostatní vlny přes odrazy na okrajích desky. Každá parciální vlna musí mít stejnou hodnotu k x (k x = k = ω/v, kde v je fázová rychlost vlny v desce). VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 5
13 Princip metody spočívá ve vazbě parciálních vln na ostatní vlny přes odrazy na okrajích desky. Každá parciální vlna musí mít stejnou hodnotu k x (k x = k = ω/v, kde v je fázová rychlost vlny v desce). Řešení přejde na tvar u j = α j exp [ik(x + l z z)], kde j = x, y, z a l z = k z /k x Substituce tohoto vztahu do Christoffelovy rovnice Soustava tří homogenních lineárních rovnic pro α x, α y a α z Koeficienty soustavy jsou funkcemi ρ, c IJ a ω/k = v. Netriviální řešení determinant soustavy je roven nule Polynom šestého řádu pro l z šest kořenů l (n) z, n = 1,... 6 Řešení odpovídá šesti dopadajícím a odraženým vlnám. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 5
14 Vztahy pro parciální vlny u j = 6 n=1 Okrajové podmínky C n α (n) j exp [ ] ik(x + l z (n) z), (j = x, y, z). T xz = T yz = T zz =, pro z = ±d. Substituce předpokládaného řešení do okrajových podmínek Soustava šesti homogenních lineárních rovnic Koeficienty soustavy C n jsou funkcemi ρ, c IJ, ω/k = v a kd. Netriviální řešení determinant soustavy je roven nule Disperzní vztah mezi ω a k VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 6
15 SH-módy Izotropní deska (Nπ) 2 = (2dω/v S ) 2 (2dk) 2, kde N =, 1, 2,... a v S je fázová rychlost příčných vln. Symetrické (dilatační) módy Antisymetrické (ohybové) módy V těchto rovnicích platí tan(dk is ) tan(dk il ) = 4k2 k il k is (k 2 is k2 ) 2 tan(dk is ) tan(dk il ) = (k2 is k2 ) 2 4k 2 k il k is (2dk is ) 2 = (2dω/v S ) 2 (2dk) 2, (2dk il ) 2 = (2dω/v L ) 2 (2dk) 2, kde v L je fázová objemová rychlost podélných vln. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 7
16 ω d /c2 [-] Disperzní křivky izotropní desky pro Poissonovo číslo,31 14 SH módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 8
17 ω d /c2 [-] Disperzní křivky izotropní desky pro Poissonovo číslo,31 14 SH módy ω d /c2 [-] 14 symetrické módy k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 8
18 ω d /c2 [-] Disperzní křivky izotropní desky pro Poissonovo číslo, SH módy ω d /c2 [-] symetrické módy antisymetrické módy k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 8
19 Mindlinova metoda oddělených módů zavedení speciálních okrajových podmínek: T xz =, u z = nebo T zz =, u x =. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 9
20 Mindlinova metoda oddělených módů zavedení speciálních okrajových podmínek: T xz =, u z = nebo T zz =, u x =. Tyto okrajové podmínky nelze realizovat v praxi. namazané tuhé poloprostory mikroskopický řetízek VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 9
21 Mindlinova metoda oddělených módů zavedení speciálních okrajových podmínek: T xz =, u z = nebo T zz =, u x =. Tyto okrajové podmínky nelze realizovat v praxi. namazané tuhé poloprostory Degenerace symetrických a antisymetrických módů do oddělených SV a P-módů mikroskopický řetízek (Nπ) 2 = (2dω/v S ) 2 (2dk) 2, (Mπ) 2 = (2dω/v L ) 2 (2dk) 2. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 9
22 ω d /c2 [-] Mindlinovy a disperzní křivky izotropní desky 14 oddělené SV módy ω d /c2 [-] oddělené P módy k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 1
23 ω d /c2 [-] Mindlinovy a disperzní křivky izotropní desky oddělené SV módy oddělené P módy ω d /c2 [-] oddělené SV módy oddělené P módy k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 1
24 ω d /c2 [-] Mindlinovy a disperzní křivky izotropní desky symetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy ω d /c2 [-] antisymetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 1
25 Ústav termomechaniky AV ČR Deska s kubickou anizotropií Pomalostní plochy a křivky VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 11
26 Ústav termomechaniky AV ČR Deska s kubickou anizotropií Pomalostní plochy a křivky VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 11
27 Ústav termomechaniky AV ČR Deska s kubickou anizotropií Pomalostní plochy a křivky VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 11
28 Ústav termomechaniky AV ČR Deska s kubickou anizotropií Pomalostní plochy a křivky VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 11
29 Ústav termomechaniky AV ČR Deska s kubickou anizotropií Pomalostní plochy a křivky kz /ω qsv SH qp θ kx /ω 1=v VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 11
30 Orientace (1) a směr šíření (1) analytické vyjádření VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 12
31 Orientace (1) a směr šíření (1) analytické vyjádření Christoffelova rovnice c 11 + c 44 l z (n)2 ρv 2 (c 12 + c 44 ) l z (n) c 44 (1 + l z (n)2 ) ρv 2 (c 12 + c 44 ) l z (n) c 44 + c 11 l z (n)2 ρv 2 kde α x (n), α y (n) a α (n) z jsou složky polarizace n-té parciální vlny. α x (n) α y (n) α (n) z =, VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 12
32 Orientace (1) a směr šíření (1) analytické vyjádření Christoffelova rovnice c 11 + c 44 l z (n)2 ρv 2 (c 12 + c 44 ) l z (n) c 44 (1 + l z (n)2 ) ρv 2 (c 12 + c 44 ) l z (n) c 44 + c 11 l z (n)2 ρv 2 kde α x (n), α y (n) a α (n) z Determinant soustavy se rozdělí na a jsou složky polarizace n-té parciální vlny. c 44 (1 + l (n)2 z ) ρv 2 = α x (n) α y (n) α (n) z =, (c 11 + c 44 l (n)2 z ρv 2 )(c 44 + c 11 l (n)2 z ρv 2 ) (c 12 + c 44 ) 2 l (n)2 z =. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 12
33 SH-módy Dva kořeny l (n) z (n = 5, 6) Parciální vlny SH l (n)2 z = (ρv 2 /c 44 ) 1 l (5) z = [(ρv 2 /c 44 ) 1] 1 2 α (5) = 1 l (6) z = l (5) z α (6) = α (5) kde v = ω/k, jsou horizontálně polarizované. Okrajové podmínky l (5) z = Nπ/2kd pro N =, 1, 2,... Jedná se o čistě SH-módy stejně jako v izotropním případě. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 13
34 Symetrické a antisymetrické módy Čtyři kořeny l (n) z (n = 1, 2, 3, 4) kde l (n)2 z = B ± [B2 A] 1 2 2c 11 c 44, A = 4c 11 c 44 (c 11 ρv 2 )(c 44 ρv 2 ), B = (c 11 ρv 2 )c 11 + (c 44 ρv 2 )c 44 (c 12 + c 44 ) 2 Parciální vlny typu P a SV. Znaménko plus kvazipříčné vlny (n = 1, 2) Znaménko mínus kvazipodélné vlny (n = 3, 4) VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 14
35 SV P l (1) z = [ B + (B 2 A) 1 2 2c 11 c 44 ]1 2, α (1) = l (2) z = l (1) z, α (2) = l (3) z = [ B (B 2 A) 1 2 2c 11 c 44 ]1 2, α (3) = l (4) z = l (3) z, α (4) = α x (1) α y (1) α (1) z α x (1) α (1) z α x (3) α y (3) α (3) z = α x (3) α (3) z = (c 12 + c 44 )l (1) z c 11 + c 44 l (1)2 z ρv 2 (c 12 + c 44 )l (3) z c 11 + c 44 l (3)2 z ρv 2 VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 15
36 Z okrajových podmínek plyne nebo ( tan ( tan ( tan ( tan l z (1) l (3) z l z (1) l (3) z ) kd ) = kd ) kd ) = kd ( c 12 α x (1) + c 11 α z (1) l z (1) ( c 12 α x (3) + c 11 α z (3) l z (3) ( c 12 α x (3) + c 11 α z (3) l z (3) ( c 12 α x (1) + c 11 α z (1) l z (1) ) ( ) α x (3) l z (3) + α z (3) ) ( ) α x (1) l z (1) + α z (1) ) ( ) α x (1) l z (1) + α z (1) ) ( ). α x (3) l z (3) + α z (3) Tyto rovnice představují disperzní závislosti pro symetrické resp. antisymetrické módy. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 16
37 Disperzní křivky pro kubickou desku ω d [1 4 m/s] SH módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 17
38 Disperzní křivky pro kubickou desku ω d [1 4 m/s] symetrické, SH módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 17
39 Disperzní křivky pro kubickou desku ω d [1 4 m/s] antisymetrické, symetrické, SH módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 17
40 Mindlinovy křivky pro kubickou desku Z Mindlinových okrajových podmínek plyne nebo T xz =, u z = resp. T zz =, u x = ( sin ( sin l (1) z l (3) z ) ( kd cos ) ( kd cos l (1) z l (3) z ) kd ) kd ( = sin ( = sin 2l (1) z 2l (3) z ) kd ) kd = =. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 18
41 ω d [1 4 m/s] Mindlinovy a disperzní křivky pro kubickou desku ω d [1 4 m/s].5 oddělené SV módy.5 oddělené P módy k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 19
42 ω d [1 4 m/s] Mindlinovy a disperzní křivky pro kubickou desku oddělené SV módy oddělené P módy ω d [1 4 m/s] oddělené SV módy oddělené P módy k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 19
43 ω d [1 4 m/s] Mindlinovy a disperzní křivky pro kubickou desku symetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy ω d [1 4 m/s] antisymetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 19
44 Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 2
45 Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 2
46 Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 2
47 Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: v průsečících dvou SV módů, pro které jsou indexy módů N oba sudé nebo oba liché, VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 2
48 Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: v průsečících dvou SV módů, pro které jsou indexy módů N oba sudé nebo oba liché, v místech, kde se protínají P a SV módy, pokud jsou oba indexy M a N sudé nebo liché. Výjimka: antisymetrické módy neprochází průsečíky přímky M = se sudými indexy N módů SV. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 2
49 Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: v průsečících dvou SV módů, pro které jsou indexy módů N oba sudé nebo oba liché, v místech, kde se protínají P a SV módy, pokud jsou oba indexy M a N sudé nebo liché. Výjimka: antisymetrické módy neprochází průsečíky přímky M = se sudými indexy N módů SV. Dva módy se shodnou symetrií se oddělují: VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 2
50 Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: v průsečících dvou SV módů, pro které jsou indexy módů N oba sudé nebo oba liché, v místech, kde se protínají P a SV módy, pokud jsou oba indexy M a N sudé nebo liché. Výjimka: antisymetrické módy neprochází průsečíky přímky M = se sudými indexy N módů SV. Dva módy se shodnou symetrií se oddělují: v průsečíku dvou SV módů, jejichž indexy N jsou jeden sudý a druhý lichý, VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 2
51 Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: v průsečících dvou SV módů, pro které jsou indexy módů N oba sudé nebo oba liché, v místech, kde se protínají P a SV módy, pokud jsou oba indexy M a N sudé nebo liché. Výjimka: antisymetrické módy neprochází průsečíky přímky M = se sudými indexy N módů SV. Dva módy se shodnou symetrií se oddělují: v průsečíku dvou SV módů, jejichž indexy N jsou jeden sudý a druhý lichý, v průsečíku SV a P módů, jejichž indexy N a M nejsou oba sudé nebo oba liché. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 2
52 ω d [1 4 m/s] sudé SV módy sudé P módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 21
53 ω d [1 4 m/s] liché SV módy sudé SV módy liché P módy sudé P módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 21
54 ω d [1 4 m/s] antisymetrické liché SV módy sudé SV módy liché P módy sudé P módy Začátky antisymetrických módů: jako liché SV ( ) a sudé P (- -) módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 21
55 ω d [1 4 m/s] symetrické antisymetrické liché SV módy sudé SV módy liché P módy sudé P módy Křížení módů: v místech, kde se kříží dva sudé nebo dva liché oddělené módy. Výjimka: antisymetrické módy neprochází průsečíky přímky M = se sudými SV módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 21
56 ω d [1 4 m/s] symetrické liché SV módy sudé SV módy liché P módy sudé P módy Oddělování symetrických módů: v místech, kde se kříží jeden lichý a druhý sudý oddělený mód k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 21
57 ω d [1 4 m/s] Oddělování křivek antisymetrických módů antisymetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 22
58 ω d [1 4 m/s] Oddělování křivek antisymetrických módů antisymetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 22
59 ω d [1 4 m/s] Oddělování křivek antisymetrických módů antisymetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 22
60 ω d [1 4 m/s] Oddělování křivek antisymetrických módů antisymetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 22
61 Materiálové konstanty pro Cu použité ve výpočtech c 11 [GPa] 171 c 12 [GPa] 122 c 44 [GPa] 69,1 ρ [kg/m 3 ] 893 VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 23
62 Závěr Obecný princip získání disperzních vztahů pro nekonečnou tlustou anizotropní desku s volnými okrajovými podmínkami. Odvození analytických vztahů disperzních závislostí pro desku s kubickou anizotropií, orientací (1) a směrem šíření (1). Při odvození analytických disperzních vztahů byl použit symbolický toolbox Matlabu. Vyčíslení disperzních závislostí pro měděnou desku s výše uvedenou orientací a směrem šíření. K odvození disperzních závislostí bylo použito metody parciálních vln. Získané disperzní křivky byly porovnány s výsledky Mindlinovy teorie oddělených módů. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 24
63 Závěr Obecný princip získání disperzních vztahů pro nekonečnou tlustou anizotropní desku s volnými okrajovými podmínkami. Odvození analytických vztahů disperzních závislostí pro desku s kubickou anizotropií, orientací (1) a směrem šíření (1). Při odvození analytických disperzních vztahů byl použit symbolický toolbox Matlabu. Vyčíslení disperzních závislostí pro měděnou desku s výše uvedenou orientací a směrem šíření. K odvození disperzních závislostí bylo použito metody parciálních vln. Získané disperzní křivky byly porovnány s výsledky Mindlinovy teorie oddělených módů. Inverzní algoritmus pro stanovení elastických konstant Výpočet jednotlivých složek posuvů a napětí VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 24
64 OBSAH Úvod Metoda parciálních vln Parciální vlny v izotropní desce Parciální vlny - odvození Izotropní deska Disperzní křivky izotropní desky pro Poissonovo číslo,31 Mindlinova metoda oddělených módů Mindlinovy a disperzní křivky izotropní desky Deska s kubickou anizotropií Disperzní křivky pro kubickou desku Mindlinovy křivky pro kubickou desku Mindlinovy a disperzní křivky pro kubickou desku Pravidla (limity, křížení a oddělování křivek) Materiálové konstanty pro Cu použité ve výpočtech Závěr VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / listopadu 25 25
ÚSTAV TERMOMECHANIKY AV Č R, v.v.i.
VÝZKUMNÁ ZPRÁVA Z-8/8 ÚSTAV TERMOMECHANIKY AV Č R, v.v.i. ODVOZENÍ DISPERZNÍCH VZTAHŮ PRO ANIZOTROPNÍ TLUSTÉ DESKY V SYSTÉMU MAPLE OLGA ČERVENÁ, PETR HORA Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i. 8 Ústav termomechaniky
Kap. 3 Makromechanika kompozitních materiálů
Kap. Makromechanika kompozitních materiálů Informační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky FS ČVU v Praze. listopadu 7 Základní pojmy a vztahy Notace
SIMULACE ŠÍŘENÍ NAPĚŤOVÝCH VLN V KRYSTALECH MĚDI A NIKLU
SIMULACE ŠÍŘENÍ NAPĚŤOVÝCH VLN V KRYSTALECH MĚDI A NIKLU V. Pelikán, P. Hora, A. Machová Ústav termomechaniky AV ČR Příspěvek vznikl na základě podpory záměru ÚT AV ČR AV0Z20760514. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA
Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí
Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice
Vlny v plazmatu. Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy
Vlny v plazmatu Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy Jakákoli perturbace A( x,t může být reprezentována jako kombinace rovinných
MKP simulace integrovaného snímače
MKP simulace integrovaného snímače podélných a příčných vln Petr Hora Olga Červená Ústav termomechaniky AV ČR, v. v. i. Praha, CZ Inženýrská mechanika 2012 - Svratka Úvod nedestruktivní testování (NDT)
Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí
Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí r r Další předpoklad: nemagnetické prostředí B = µ 0 H izotropně. Veškerá anizotropie pochází od interakce elektrických
Kritéria porušení laminy
Kap. 4 Kritéria porušení laminy Inormační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky S ČVU v Praze.. 007-6.. 007 Úvod omové procesy vyvolané v jednosměrovém
Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.
Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Optika pro mikroskopii materiálů I
Optika pro mikroskopii materiálů I Jan.Machacek@vscht.cz Ústav skla a keramiky VŠCHT Praha +42-0- 22044-4151 Osnova přednášky Základní pojmy optiky Odraz a lom světla Interference, ohyb a rozlišení optických
Obecná vlnová rovnice pro intenzitu elektrického pole Vlnová rovnice mimo oblast zdrojů pro obecný časový průběh veličin Vlnová rovnice mimo oblast
Obecná vlnová rovnice pro intenzitu elektrického pole Vlnová rovnice mimo oblast zdrojů pro obecný časový průběh veličin Vlnová rovnice mimo oblast zdrojů pro harmonický časový průběh veličin Laplaceův
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Inverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
Světlo jako elektromagnetické záření
Světlo jako elektromagnetické záření Základní pojmy: Homogenní prostředí prostředí, jehož dané vlastnosti jsou ve všech místech v prostředí stejné. Izotropní prostředí prostředí, jehož dané vlastnosti
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
ANALÝZA VLASTNOSTÍ KÓNICKÉHO PIEZOELEKTRICKÉHO SNÍMAČE AKUSTICKÉ EMISE
ANALÝZA VLASTNOSTÍ KÓNICKÉHO PIEZOELEKTRICKÉHO SNÍMAČE AKUSTICKÉ EMISE O. Červená, P. Hora Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i. Příspěvek vznikl na základě podpory projektu GA ČR č. 101/06/1689 Analýza komponent
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P05 MECHANICKÉ VLNĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P05 MECHANICKÉ VLNĚNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH 1 Úvod...5
1.8. Mechanické vlnění
1.8. Mechanické vlnění 1. Umět vysvětlit princip vlnivého pohybu.. Umět srovnat a zároveň vysvětlit rozdíl mezi periodickým kmitavým pohybem jednoho bodu s periodickým vlnivým pohybem bodové řady. 3. Znát
Diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
7. Základní formulace lineární PP
p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
Měření a analýza mechanických vlastností materiálů a konstrukcí. 1. Určete moduly pružnosti E z ohybu tyče pro 4 různé materiály
FP 1 Měření a analýza mechanických vlastností materiálů a konstrukcí Úkoly : 1. Určete moduly pružnosti E z ohybu tyče pro 4 různé materiály 2. Určete moduly pružnosti vzorků nepřímo pomocí měření rychlosti
Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat
#(, #- #(!!$!#$%!! [2], studiu difraktivních. #!$$&$.( &$/#$$ oblasti holografie a difraktivní!# '!% #!!$#!'0!!*#!(#!! #!!! $ % *! $! (!
![#(, #- #(!!$!#$%!! [2], studiu difraktivních. #!$$&$.( &$/#$$ oblasti holografie a difraktivní!# '!% #!!$#!'0!!*#!(#!! #!!! $ % *! $! (!](/thumbs/103/158526342.jpg "#(, #- #(!!$!#$%!! [2], studiu difraktivních. #!$$&$.( &$/#$$ oblasti holografie a difraktivní!# '!% #!!$#!'0!!*#!(#!! #!!! $ % *! $! (!")
. Úvod!"!!!#$%!!!&'!!#$%!!!& # vlnovým!!*!!#$*$! #!!&!!!$%!# #!!$ % '!!&!&!!#$!!!$!!!$ s #!!!*! '! $ #, #- #!!$!#$%!! [], studiu difraktivních #!$$&$. &$/#$$ oblasti holografie a difraktivní!# '!% #!!$#!'0!!*#!#!!
Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
Matematika I: Pracovní listy do cvičení
Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Úvod do laserové techniky
Úvod do laserové techniky Světlo jako elektromagnetické záření II. část Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze jan.sulc@fjfi.cvut.cz 6. října 016 Kontakty Ing. Jan
Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
ÚVO O MOELOVÁNÍ V MECHNICE MECHNIK KOMPOZITNÍCH MTERIÁLŮ 2 Přednáška č. 7 Robert Zemčík 1 Zebry normální Zebry zdeformované 2 Zebry normální Zebry zdeformované 3 Zebry normální 4 Zebry zdeformované protažené?
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
5 Potenciály s δ funkcemi I
5 Potenciály s δ funkcemi 5. Jednoduchá δ jáma nebo bariéra Mějme potenciál ve tvaru jednoduché δ funkce V cδ, kde c je konstanta, jejíž velikost udává sílu potenciálu. Pokud je c
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška
1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební
Lineární stabilita a teorie II. řádu
Lineární stabilita a teorie II. řádu Sestavení podmínek rovnováhy na deformované konstrukci Konstrukce s a bez počáteční imperfekce Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi ANKC-C 1 Zatěžovacídráhy [Šejnoha,
Podpora rozvoje praktické výchovy ve fyzice a chemii
VLNOVÁ DÉLKA A FREKVENCE SVĚTLA 1) Vypočítejte frekvenci fialového světla, je-li jeho vlnová délka 390 nm. Rychlost světla ve vakuu je 3 10 8 m s 1. = 390 nm = 390 10 9 m c = 3 10 8 m s 1 f=? (Hz) Pro
MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
ELEKTROTECHNIKA 2 TEMATICKÉ OKRUHY
EEKTOTECHNK TEMTCKÉ OKHY. Harmonický ustálený stav imitance a výkon Harmonicky proměnné veličiny. Vyjádření fázorů jednotlivými tvary komplexních čísel. Symbolický počet a jeho využití při řešení harmonicky
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
Ukázka závěrečného testu
Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál
Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)
Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek
Výpočtové nadstavby pro CAD
Výpočtové nadstavby pro CAD 4. přednáška eplotní úlohy v MKP Michal Vaverka, Martin Vrbka Přenos tepla Př: Uvažujme pro jednoduchost spalovací motor chlazený vzduchem. Spalováním vzniká teplo, které se
I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Interpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
Laserové technologie v praxi I. Přednáška č.1. Fyzikální princip činnosti laserů. Hana Chmelíčková, SLO UP a FZÚ AVČR Olomouc, 2011
Laserové technologie v praxi I. Přednáška č. Fyzikální princip činnosti laserů Hana Chmelíčková, SLO UP a FZÚ AVČR Olomouc, 0 LASER kvantový generátor světla Fyzikální princip činnosti laserů LASER zkratka
Fabry Perotův interferometr
Fabry Perotův interferometr Princip Dvě zrcadla jsou sestavena tak aby tvořila tzv. Fabry Perotův interferometr, s jehož pomocí je vyšetřován svazek paprsků vycházejících z laseru. Při experimentu se pohybuje
KMS cvičení 6. Ondřej Marek
KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m
2. Vlnění. π T. t T. x λ. Machův vlnostroj
2. Vlnění 2.1 Vlnění zvláštní případ pohybu prostředí Vlnění je pohyb v soustavě velkého počtu částic navzájem vázaných, kdy částice kmitají kolem svých rovnovážných poloh. Druhy vlnění: vlnění příčné
Katedra geotechniky a podzemního stavitelství
Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Modelování zatížení tunelů (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního
Fyzika II. Marek Procházka Vlnová optika II
Fyzika II Marek Procházka Vlnová optika II Základní pojmy Reflexe (odraz) Refrakce (lom) jevy na rozhraní dvou prostředí o různém indexu lomu. Disperze (rozklad) prostorové oddělení složek vlnění s různou
Optimalizace vláknového kompozitu
Optimalizace vláknového kompozitu Bc. Jan Toman Vedoucí práce: doc. Ing. Tomáš Mareš, Ph.D. Abstrakt Optimalizace trubkového profilu z vláknového kompozitu při využití Timošenkovy hypotézy. Hledání optimálního
Zakončení viskózním tlumičem. Charakteristická impedance.
Kapitola 1 Odraz vln 1.1 Korektní zakončení struny Zakončení viskózním tlumičem. Charakteristická impedance. V mnoha praktických situacích požadujeme, aby prostředím postupovaly signály pouze jedním směrem,
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Numerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
Cvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (
Cvičení 11 1. Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( σxx τ xy τ xy σ yy ) (a) Najděte vyjádření tenzoru napětí v soustavě souřadnic pootočené v rovině xy o
9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
Laboratorní práce č.9 Úloha č. 8. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce světla Měření indexu lomu refraktometrem:
Truhlář Michal 3.. 005 Laboratorní práce č.9 Úloha č. 8 Závislost indexu lomu skla na vlnové délce světla Měření indexu lomu refraktometrem: T p 3, C 30% 97,9kPa Úkol: - Proveďte justaci hranolu a změřte
Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
III. MKP vlastní kmitání
Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel. 2 2435 4500 maca@fsv.cvut.cz III. MKP vlastní kmitání 1. Rovnice vlastního kmitání 2. Rayleighova Ritzova metoda 3. Jacobiho metoda 4. Metoda inverzních iterací
Úvod do laserové techniky
Úvod do laserové techniky Světlo jako elektromagnetické záření I. část Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze jan.sulc@fjfi.cvut.cz 5. října 2016 Kontakty Ing. Jan
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Příklady použití tenkých vrstev Jaromír Křepelka
Příklady použití tenkých vrstev Jaromír Křepelka Příklad 01 Spočtěte odrazivost prostého rozhraní dvou izotropních homogenních materiálů s indexy lomu n 0 = 1 a n 1 = 1,52 v závislosti na úhlu dopadu pro
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Rovinná harmonická elektromagnetická vlna
Rovinná harmonická elektromagnetická vlna ---- 1. příklad -------------------------------- 2 GHz prochází prostředím s parametry: r 5, r 1, 0.005 S / m. Amplituda intenzity magnetického pole je H m 0.25
P5: Optické metody I
P5: Optické metody I - V klasické optice jsou interferenční a difrakční jevy popisovány prostřednictvím ideálně koherentních, ideálně nekoherentních, později také částečně koherentních světelných svazků
1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,
KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Fyzika laserů. 7. března Katedra fyzikální elektroniky.
Fyzika laserů Poloklasický popis šíření elmg. záření v rezonančním prostředí. Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 7. března 2013 Program přednášek
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
Matematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
Hamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
SEISMICKÉ METODY SEISMIKA (SEISMIC SURVEYING, APPLIED SEISMOLOGY)
SEISMICKÉ METODY SEISMIKA (SEISMIC SURVEYING, APPLIED SEISMOLOGY) Sledují se uměle vyvolané seismické vlny. Po průchodu svrchními částmi zemského tělesa se tyto vlny vracejí k povrchu a nesou informaci
Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program
Význam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice
Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn Nejen velké,
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Obsah přednášky Lineární a nelineární úlohy Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..) Příklady nelineárních problémů Teorie kontaktu,
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............