Karel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. února, letní semestr 2010/2011
|
|
- Zdenka Novotná
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MI-MPI, Přednáška č. 3 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. února, letní semestr 2010/2011
2 Množiny s jednou binární operací Neprázdná množina M s binární operací (resp. + při aditivním zápisu). (M, ) resp. (M, +) grupoid pologrupa monoid grupa Abelovská grupa asociativita neutrální prvek inverzní prvky komutativita
3 Množiny s dvěma binárními operacemi Pro většinu operací s čísly potřebujeme jak sčítat tak násobit. K aditivní grupě (M, +) přidáme ještě operaci násobení. (M, +, ) okruh / ring obor integrity / integral domain těleso / field
4 Definice okruhu Definice (Okruh / Ring) Bud te M neprázdná množina a + a binární operace. Řekneme, že R = (M, +, ) je okruh, pokud platí: (M, +) je Abelovská grupa, (M, ) je grupoid, platí (levý a pravý) distributivní zákon: ( a, b, c M) (a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca). Dodržujeme standardní konvenci, že násobení má vyšší prioritu než sčítání.
5 Názvosloví Bud R = (M, +, ) okruh. Je-li asociativní, je R asociativní okruh, Je-li komutativní, je R komutativní okruh, (M, +) se nazývá aditivní grupa okruhu R, (M, ) se nazývá multiplikativní grupoid okruhu R, neutrální prvek grupy (M, +) se nazývá nulový prvek a značí se 0, inverzní prvek k a M pak značíme a, v okruhu můžeme definovat odečítání předpisem a b := a + ( b).
6 Příklady (N, +, ) není okruh, neb (N, +) není grupa, (Z, +, ) je okruh, triviální okruh je ({0}, +, ) (platí-li 0 0 = 0), množina (R n,n, +, ) čtvercových reálných matic se sčítáním po složkách a maticovým násobením je okruh, nulový prvek je nulová matice, množina všech polynomů (s komplexními / reálnými / celočíselnými koeficienty) je okruh, nulový prvek je nulový polynom p(x) = 0.
7 Základní vlastnosti okruhu V libovolném okruhu (M, +, ) platí levý i pravý distributivní zákon pro odečítání, tj. vskutku: c(b a) = cb ca. ca + c(b a) = c(a + b a) = cb c(b a) = cb ca. že násobení nulovým prvkem dává opět nulový prvek, tj. ( a M)(a 0 = 0 0 a = 0). vskutku: a 0 = a(a a) = aa aa = 0.
8 Obor integrity Definice (dělitelé nuly) Bud R = (M, +, ) okruh. Libovolné nenulové prvky a, b M takové, že a b = 0, se nazývají dělitelé nuly. Definice (obor integrity / integral domain) Asociativní a komutativní okruh bez dělitelů nuly se nazývá obor integrity.
9 Příklady oborů integrity (Z, +, ) je obor integrity, každý číselný okruh (M, +, ), kde M C a + a jsou klasické, je obor integrity, okruh (R n,n, +, ) není oborem integrity pro n 2, nebot např. ( ) ( ) ( ) =
10 Definice tělesa Definice (těleso / field) Okruh T = (M, +, ) se nazývá těleso, jestliže (M \ {0}, ) je grupa. Tuto grupu nazýváme multiplikativní grupou tělesa T.
11 Definice tělesa Definice (těleso / field) Okruh T = (M, +, ) se nazývá těleso, jestliže (M \ {0}, ) je grupa. Tuto grupu nazýváme multiplikativní grupou tělesa T. Proč musíme vyjmout nulový prvek? Protože k nule neexistuje inverzní prvek, tj. nelze dělit nulou: 0 1 =?!. Všemi jinými prvky tělesa dělit umíme! dělení = násobení inverzním prvkem a b := a b 1 pro b 0.
12 Příklady těles Okruh celých čísel (Z, +, ) není těleso, neb v (Z \ {0}, ) chybí inverzní prvky. Okruh racionálních čísel (Q, +, ) je těleso. Dokonce nejmenší číselné těleso (s obvyklými aritmetickými operacemi). Nejmenší těleso je tzv. triviální těleso ({0, 1}, +, ) s operacemi danými násl. tabulkami: a První tabulka odpovídá bitové operaci XOR a druhá AND, nebo také sčítání a násobení modulo 2.
13 Některé vlastnosti V každém tělese máme definované všechny obvyklé aritmetické operace: sčítání, odčítání, násobení, dělení a všechny z nich odvozené, jako mocnění, odmocňování, logaritmování,... Triviální těleso nám tyto všechny operace definuje nad jedním bitem. Později si ukážeme, jak je rozšířit nad libovolný počet bitů.
14 Některé vlastnosti V každém tělese máme definované všechny obvyklé aritmetické operace: sčítání, odčítání, násobení, dělení a všechny z nich odvozené, jako mocnění, odmocňování, logaritmování,... Triviální těleso nám tyto všechny operace definuje nad jedním bitem. Později si ukážeme, jak je rozšířit nad libovolný počet bitů. Věta Každé těleso je obor integrity. Důkaz. Jelikož je multiplikativní grupa tělesa (M \ {0}, ) uzavřená vůči násobení, platí pro všechna nenulová a, b, že jejich součin a b M \ {0} je opět nenulový.
15 Homomorfismus a izomorfismus Definice Zobrazení h z okruhu (resp. tělesa) R 1 do okruhu (resp. tělesa) R 2 je homomorfismus, jestliže je h homomorfismem příslušných aditivních a multiplikativních grupoidů (resp. grup). Je-li navíc h bijekce (prosté a na ), jedná se o izomorfismus. Izomorfní tělesa jsou v podstatě totožná.
16 Konečná tělesa / finite fields Těleso, které má konečný počet prvků, se nazývá konečné. Základní příklad konečného tělesa je množina (zbytkových tříd modulo p) Z p = {0, 1,..., p 1} s operacemi modulo prvočíslo p (viz minulá přednáška). Např. pro p = 5 dostáváme těleso s násl. operacemi a
17 Aditivní grupa (Z p, +) Řád aditivní grupy (Z p, +) je prvočíslo p. (Rozmyslet!) Každý nenulový prvek je generátor a má tedy řád p (to platí pro všechny grupy s prvočíselným řádem). (Z p, +) je grupou i pro p, které není prvočíslo.
18 Multiplikativní grupa (Z p \ {0}, ) Multiplikativní grupu (Z p \ {0}, ) značíme Z p. Řád grupy Z p je p 1 a to není nikdy prvočíslo! Počet generátorů závisí na p 1, jak uvidíme dále. Z p je grupou pouze pro prvočíselné p, jinak obsahuje dělitele nuly.
19 Příklad: p = 13 Existuje generátor? Zkusme dvojku... (mod 13)
20 Příklad: p = 13 Existuje generátor? Zkusme dvojku... (mod 13) podgrupy: {1, 3, 4, 9, 10, 12},
21 Příklad: p = 13 Existuje generátor? Zkusme dvojku... (mod 13) podgrupy: {1, 3, 4, 9, 10, 12}, {1, 5, 8, 12},
22 Příklad: p = 13 Existuje generátor? Zkusme dvojku... (mod 13) podgrupy: {1, 3, 4, 9, 10, 12}, {1, 5, 8, 12}, {1, 3, 9}
23 Příklad: p = 13 Existuje generátor? Zkusme dvojku... (mod 13) podgrupy: {1, 3, 4, 9, 10, 12}, {1, 5, 8, 12}, {1, 3, 9} {1, 12}
24 Příklad: p = 13 Existuje generátor? Zkusme dvojku... (mod 13) podgrupy: {1, 3, 4, 9, 10, 12}, {1, 5, 8, 12}, {1, 3, 9} {1, 12} generátory: 2, 6, 11, 7
25 Vlastnosti Z p Věta Pro každé prvočíslo p platí: Z p je cyklická (tj. existuje v ní generátor), je-li a generátor, pak a k je také generátor, právě když gcd(k, p 1) = 1 (tj. k a p 1 jsou nesoudělná) důkaz na cvičení, počet generátorů je roven počtu čísel nesoudělných s p 1, tedy ϕ(p 1), kde ϕ je Eulerova funkce, necht k < p dělí p 1, pak v Z p existuje podgrupa řádu k a obsahuje právě ty prvky, pro které a k = 1. Tato věta platí pro libovolnou konečnou cyklickou grupu i neprvočíselného řádu.
26 Tělesa kterých řádů existují? Zatím jsme si ukázali pouze konstrukci konečných těles řádu p, kde p je prvočíslo. Existují tělesa libovolného řádu? Věta Existují pouze konečná tělesa řádu p n, kde p je prvočíslo a n je přirozené číslo. Prvočíslo p se nazývá charakteristika. Důsledek: neexistuje těleso s 6, 10, 12, 14,... prvky. Vezmeme-li p = 2 a n = 8, získáme těleso umožňující nám počítat v rámci jednoho bytu!
27 Problém diskrétního logaritmu Definice (problém diskrétního logaritmu v Z p ) Bud Z p grupa řádu p 1, α nějaký její generátor a β její prvek. Řešit problém diskrétního logaritmu znamená najít celé číslo 1 x p 1 takové, že α x β mod p Klasický logaritmus (o základu a) čísla b je řešení rovnice a x = b v tělese (R, +, ).
28 Výpočet diskrétního logaritmu? Není známý žádný rozumně rychlý algoritmus, řešící problém diskr. logaritmu, ale mocnit v Z p umíme rychle (viz dále). Rychlost známých algoritmů je zhruba úměrná p, což pro p délky 1024 bitů dává cca operací. Získáváme tedy jednosměrnou / one-way funkci, kterou lze použít pro asymetrickou šifru: najít β α x mod p je lehké, známe-li x, α a p, najít x, známe-li β, α a p je velmi obtížné Pro konstrukci RSA byla použita jednosměrná funkce násobení prvočísel : násobit prvočísla je lehké a rychlé, hledat prvočíselný rozklad výsledku je složité.
29 Diffie-Hellman Key Exchange Inicializace: Alice si najde veliké prvočíslo p a nějaký generátor α grupy Z p. Zveřejní p a α. (najít velké prvočíslo a generátor nejsou lehké úkoly!) Alice zvolí soukromý klíč a {2,..., p 2} spočte veřejný klíč A α a mod p Bob zvolí soukromý klíč b {2,..., p 2} spočte veřejný klíč B α b mod p výměna veřejných klíču A a B spočítá k AB B a mod p spočítá k AB A b mod p
30 Princip Diffie-Hellman Key Exchange stojí na následujících faktech: Mocnění v Z p je komutativní a tedy vypočtené k AB je pro Alici i Boba stejné: k AB (α b ) a α ab mod p k AB (α a ) b α ab mod p, mocnění není výpočetně náročné, inverzní operace k mocnění, tedy diskrétní logaritmus, je výpočetně velmi náročné.
31 Efektivní mocnění Úkol: umocněte x na 50, tj. x 50 =? Hrubá síla: 50-krát vynásobím x, při mocnění obrovskými čísly nepoužitelné. Chytřeji: pouze 8 kroků 1 nás. 1 x sqr. & 1 nás. x 3 sqr. x 6 sqr. x 12 sqr. & nás. x sqr. 0 x 50
32 Efektivní mocnění Úkol: umocněte x na 50, tj. x 50 =? Hrubá síla: 50-krát vynásobím x, při mocnění obrovskými čísly nepoužitelné. Chytřeji: pouze 8 kroků 1 nás. 1 x sqr. & 1 nás. x 3 sqr. x 6 sqr. x 12 sqr. & nás. x sqr. 0 x = , tj je zápis čísla 50 ve dvojkové soustavě a počet operací počet bitů ( 1, 5).
33 Square-and-multiply algorithm příklad Chci spočítat x krok 0: spočítám r = x 1 2 (tj. x) krok 1a: spočítám r = r 2 = x 10 2 (druhá mocnina = posunutí bitů doleva) krok 1b: spočítám r = r x = x 11 2 (nás. x = změna posl. bitu na 1) krok 2a: spočítám r = r 2 = x krok 2b: nedělám nic, třetí bit je nula krok 4a: spočítám r = r 2 = x krok 4b: nedělám nic, poslední pátý bit je nula.
34 Square-and-multiply algorithm v Z p Input: mocněnec x, exponent H = (h t h t 1 h 1 h 0 ) 2 a modul p Output: x H mod p Inicializace: r = x Algoritmus: 1. FOR i = t 1, t 2,..., 1, r r 2 mod p IF h i = r r x mod p 2 RETURN r (průměrný) počet operací: t-krát krok 1.1 a (průměrně) (0, 5 t)-krát krok 1.2
35 Hledání inverzního prvku v Z p EEA Věta Bud te r 0 a r 1 přirozená čísla. Potom existují celá čísla s a t taková, že gcd(r 0, r 1 ) = sr 0 + tr 1. Speciálně, jsou-li r 0 a r 1 nesoudělná, platí 1 = gcd(r 0, r 1 ) = sr 0 + tr 1. Čísla s, t a gcd(r 0, r 1 ) lze najít pomocí rozšířeného Euklidova algoritmu / extended Euclidean algorithm (EEA). Nastudovat si a pochopit EEA je Váš domácí úkol! (viz Internet). EEA má plynomiální složitost.
36 Hledání inverzního prvku v Z p Úkol: najděte inverzní prvek k prvku r v grupě Z p Řešení: pomocí EEA najdu s a t tak, že sp + tr = 1. To jistě lze, neb prvočíslo p a r < p jsou nesoudělná čísla. Platí, že t je inverzní k r: sp + tr tr 1 mod p.
37 Symetrické šifrování Při kódované výměně delšího textu, jsou asymetrické šifry (RSA, Diffie-Hellman a spol.) neefektivní. Proto se používá symetrické šifrování, kde se předpokládá, že Alice a Bob znají nějaký společný soukromý klíč, který nikdo jiný nezná a který šifrování výrazně usnadní. Asymetrické šifry se použijí pouze k výměně tohoto společného soukromého klíče. Nejpoužívanější metoda je bloková cifra (block cipher) zvaná Advanced Encryption Standard (AES). Zde se seznámíme s matematickým podhoubím této metody.
38 Bloková šifra AES Kódovaný text si rozdělíme na bloky o (např.) 8 bitech. Ty zašifrujeme pomocí klíče tak, že dešifrování lze snadno provést pouze se znalostí toho samého klíče. Toto šifrování v AES je založeno na tom, že operace s n = 8 bity lze chápat jako aritmetické operace v konečném tělese s 2 n prvky pro n = 8. Tělesa s 2 n prvky zveme binární tělesa a značíme GF(2 n ) (jako Galois Fields). Ukážeme si, jak v takovýchto tělesech zavést operace sčítání a násobení.
39 Kudy cesta nevede Uvažujme těleso GF(2 8 ). Každý prvek lze reprezentovat jako 8 bitů, tedy např , , atd. Sčítání: sčítání lze zavést po složkách modulo 2. Tj = (1 + 0 mod 2)(1 + 1 mod 2) (0 + 1 mod 2) =
40 Kudy cesta nevede Uvažujme těleso GF(2 8 ). Každý prvek lze reprezentovat jako 8 bitů, tedy např , , atd. Sčítání: sčítání lze zavést po složkách modulo 2. Tj = (1 + 0 mod 2)(1 + 1 mod 2) (0 + 1 mod 2) = Neutrální (nulový) prvek je a každý prvek je sám sobě inverzní: máme aditivní grupu. Násobení: násobení po složkách zavést nelze. V takovém případě by musel být jednotkový prvek roven a neexistovala by inverze např. k Násobení musíme definovat jinak!
41 Ireducibilní polynom Definice Bud P(x) polynom s celočíselnými koeficienty stupně alespoň 1. Řekneme, že P(x) je ireducibilní, jestliže pro každé dva polynomy A(x) a B(x) platí A(x) B(x) = P(x) (stupeň A(x) = 0 stupeň B(x) = 0). Ireducibilní polynomy jsou prvočísla mezi polynomy! Také jsou naprosto analogicky definovány a mají stejné vlastnosti. Příklad: x je ireducibilní, x 2 1 = (x + 1)(x 1) není. Poznámka: x je ireducibilní nad tělesem Q, ale není ireducibilní nad tělesem Z 2, kde se koeficienty počítají modulo 2! Nebot x = (x + 1)(x + 1) = x 2 + 2x + 1.
42 Ireducibilní polynom jako modul Zavedeme počítání modulo polynom takto: A(x) mod P(x) = zbytek po dělení A(x) polynomem P(x). Výsledek je tedy polynom stupně ostře menšího než je stupeň modulu P(x). Příklad: pro A(x) = x 3 a P(x) = x máme A(x) = x(x 2 + 1) + ( x) a tedy x 3 x mod x Je-li je P(x) ireducibilní (s ohledem na těleso, ze kterého bereme koeficienty), tvoří zbytky po dělění P(x) grupu (pokud opět vyjmeme nulový polynom)
43 Těleso GF(2 4 ) Prvky GF(2 4 ) reprezentujeme jako polynomy stupně nanejvýš 3 s koeficienty h i z tělesa Z 2 : h 3 x 3 + h 2 x 2 + h 1 x + h 0 (h 3 h 2 h 1 h 0 ) 2. Sčítání po složkách modulo 2: (x 3 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = x 3 + x 2.
44 Těleso GF(2 4 ) násobení Násobení modulo zvolený ireducibilní polynom, např. x 4 + x + 1. Příklad: násobení A(x) B(x) pro A(x) = x 3 + x a B(x) = x 2 + x 1. krok vynásobím A(x) B(x) klasicky a koeficienty výsledku přepočtu modulo 2: A(x) B(x) = x 5 +2x 4 +x 3 +x 2 +x = {koef. mod 2} = x 5 +x 3 +x 2 +x 2. krok najdu zbytek po dělení P(x). Jelikož x 5 = x(x 4 +x+1)+(x 2 +x), platí x 5 x 2 +x mod x 4 +x+1 z čehož dostáváme x 5 +x 3 +x 2 +x (x 2 +x)+(x 3 +x 2 +x) x 3 mod x 4 +x +1. Neboli jsme spočítali, že = 1000.
45 AES v tělese GF(2 8 ) Dle specifikace AES se násobení počítá modulo x 8 + x 4 + x 3 + x + 1. K reprezentaci prvků se tedy používá 8 (= stupeň polynomu výše) bitů.
46 Bonusové přednáškové body Spočítejte mod 113. Najděte inverzi k x 7 + x 6 + x 4 + x při počítání v GF(2 8 ) s modulem x 8 + x 4 + x 3 + x + 1. Řešení i s výpočtem (či podrobným popisem toho jak jste se k výsledku dostali), mi pošlete na karel.klouda@fit.cvut.cz Oceňuji kvalitu řešení, ale i rychlost bod(y) dostane pouze prvních cca 10 řešitelů. Aktuální stav řešení problému najdete na
47 Literatura J. Mareš, Algebra, skriptum FJFI více o okruzích, oborech integrity a tělesech Ch. Paar a J. Pelzl, Understanding Cryptography vše o Diffie-Hellmanovi a AES a mnohé o konečných tělesech R. Montowani, P. Raghavan, Randomized algorithms pravděpodobnostní algoritmy řešící některé dnes zmíněné problémy
MPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky
MPI - 5. přednáška vytvořeno: 3. října 2016, 10:06 Doteď jsem se zabývali strukturami, které vzniknou přidáním jedné binární operace k neprázdné množině. Jako grupu jsme definovali takovou strukturu, kde
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
VíceMPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n.
MPI - 7. přednáška vytvořeno: 31. října 2016, 10:18 Co bude v dnešní přednášce Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. Rovnice a b
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceObsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie
Obsah Počítání modulo n a jeho časová složitost 3. a 4. přednáška z kryptografie 1 Počítání modulo n - dokončení Umocňování v Zn 2 Časová složitost výpočtů modulo n Asymptotická notace Základní aritmetické
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceEliptické křivky a RSA
Přehled Katedra informatiky FEI VŠB TU Ostrava 11. února 2005 Přehled Část I: Matematický základ Část II: RSA Část III: Eliptické křivky Matematický základ 1 Základní pojmy a algoritmy Základní pojmy Složitost
VíceDosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
VíceČínská věta o zbytcích RSA
Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MAG pondělí 10. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 11:20 Obsah
VíceModulární aritmetika, Malá Fermatova věta.
Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 4. přednáška 11MAG pondělí 10. listopadu 2014 verze: 2014-11-03
VíceRSA. Matematické algoritmy (11MA) Miroslav Vlček, Jan Přikryl. Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní. čtvrtek 21.
Čínská věta o zbytcích Šifrování Závěr Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MA) Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 4. přednáška 11MA čtvrtek 21. října 2010 verze:
VíceStřípky z LA Letem světem algebry
Střípky z LA Letem světem algebry Jaroslav Horáček Pojem Algebra Laicky řečeno algebra je struktura na nějaké množině, společně s nějakými operacemi, které splňují určité vlastnosti. Případy algebry lineární
VíceRSA. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl. Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní. verze: :01
Čínská věta o zbytcích Mocnění Eulerova funkce Šifrování Závěr Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MAG) Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 4. přednáška 11MAG ponděĺı
VíceMatematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup
Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
VíceMatematika pro informatiku 2
Matematika pro informatiku 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 21. února 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceAsymetrické šifry. Pavla Henzlová 28.3.2011. FJFI ČVUT v Praze. Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.
Asymetrické šifry Pavla Henzlová FJFI ČVUT v Praze 28.3.2011 Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.2011 1 / 16 Obsah 1 Asymetrická kryptografie 2 Diskrétní logaritmus 3 Baby step -
VíceÚvod. Karel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 18. dubna, letní semestr 2010/2011
MI-MPI, Přednáška č. 11 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 18. dubna, letní semestr 2010/2011 RSA potřiapadesáté šifrování Co potřebuje k zašifrování zprávy x: číslo n, které
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceŠifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2
VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 1 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 2 Osnova
VíceAsymetrická kryptografie a elektronický podpis. Ing. Dominik Breitenbacher Mgr. Radim Janča
Asymetrická kryptografie a elektronický podpis Ing. Dominik Breitenbacher ibreiten@fit.vutbr.cz Mgr. Radim Janča ijanca@fit.vutbr.cz Obsah cvičení Asymetrická, symetrická a hybridní kryptografie Kryptoanalýza
VíceNechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace
Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceAlgebraická teorie diskrétního lineárního řízení vznikla jako speciální obor teorie
OKRUHY POLYNOMŮ PRO DISKRÉTNÍ LINEÁRNÍ ŘÍZENÍ 0. Úvod Algebraická teorie diskrétního lineárního řízení vznikla jako speciální obor teorie řízení začátkem sedmdesátých let dvacátého století. V této době
VíceŠifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2
Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 1 Osnova šifrová ochrana využívající výpočetní techniku např. Feistelova šifra; symetrické a asymetrické šifry;
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 10 Dělení se zbytkem O čem budeme hovořit: Binární operace dělení se zbytkem v N Struktury zbytkových tříd podle modulu Seznámíme
VíceMatematika IV - 5. přednáška Polynomy
S Matematika IV - 5. přednáška Polynomy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 17. 3. 2008 s Obsah přednášky O Dělitelnost a nerozložitelnost Kořeny a rozklady polynomů Polynomy více proměnných
VíceElGamal, Diffie-Hellman
Asymetrické šifrování 22. dubna 2010 Prezentace do předmětu UKRY Osnova 1 Diskrétní logaritmus 2 ElGamal 3 Diffie-Hellman Osnova 1 Diskrétní logaritmus 2 ElGamal 3 Diffie-Hellman Osnova 1 Diskrétní logaritmus
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VícePočet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná. Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti, vybranými partiemi algebry, šifrování a kódování.
Název předmětu: Matematika pro informatiky Zkratka předmětu: MIE Počet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná Forma zkoušky: kombinovaná (písemná a ústní část) Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti,
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceHlubší věty o počítání modulo
Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: A7B01MCS 31. října 2011: Hlubší věty o počítání modulo 1/18 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Více8. RSA, kryptografie s veřejným klíčem. doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc.
Bezpečnost 8. RSA, kryptografie s veřejným klíčem doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů
VíceMatematika IV - 5. přednáška Polynomy
Matematika IV - 5. přednáška Polynomy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 17. 3. 2008 Obsah přednášky O Dělitelnost a nerozložitelnost Kořeny a rozklady polynomů Polynomy více proměnných
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VíceDiskrétní logaritmus
13. a 14. přednáška z kryptografie Alena Gollová 1/38 Obsah 1 Protokoly Diffieho-Hellmanův a ElGamalův Diffieho-Hellmanův a ElGamalův protokol Bezpečnost obou protokolů 2 Baby step-giant step algoritmus
VícePokročilá kryptologie
Pokročilá kryptologie RSA doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů Informatika pro
VíceModulární aritmetika, Malá Fermatova věta.
Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 4. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:42 Obsah 1 Dělitelnost 1 1.1 Největší společný dělitel................................
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceDiffieho-Hellmanův protokol ustanovení klíče
Diffieho-Hellmanův protokol ustanovení klíče Andrew Kozlík KA MFF UK Diffieho-Hellmanův protokol ustanovení klíče (1976) Před zahájením protokolu se ustanoví veřejně známé parametry: Konečná grupa (G,
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
S Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 s Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy s Doporučene zdroje Martin Panák,
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VíceHlubší věty o počítání modulo
Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 1/17 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceOkruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20
Okruh Z m Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20 Minule: 1 Slepování prvků Z modulo m: množina Z m. 2 Operace na Z m : m (sčítání), m (násobení). 3 Speciální prvky: [0] m a [1] m. 4 Vlastnosti
Více1. Základní příklady a poznatky o monoidech a grupách
Předmět: Algebra I Semestr: Zimní 2015/2016 Přednášel: J. Žemlička Verze z: 6. ledna 2017 Díky za pomoc s řešeními příkladů: Martin Šerý, Štěpán Hojdar, Petr Houška, Péťa Pelikánová. (A určitě další, ale
VíceZápadočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE KONEČNÉ GRUPY MALÝCH ŘÁDŮ Ivana Čechová Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc. Plzeň 2012 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
Více3. Aritmetika nad F p a F 2
3. Aritmetika nad F p a F 2 m Dr.-Ing. Martin Novotný Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Martin Novotný, 2011 MI-BHW Bezpečnost a technické
VícePrincip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceAlgebra II pro distanční studium
Algebra II pro distanční studium (1) Předmluva................... 3 I. Struktury s jednou binární operací........ 5 1. Základní vlastnosti grup.......... 5 2. Podgrupy................ 22 3. Grupy permutací.............
Vícepříklad Steganografie Matematické základy šifrování šifrování pomocí křížů Hebrejské šifry
příklad Steganografie Matematické základy šifrování modulární aritmetika modulární inverze prvočísla faktorizace diskrétní logaritmus eliptické křivky generátory náhodných čísel šifrování pomocí křížů
VíceLineární algebra : Úvod a opakování
Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1 0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceKryptografie založená na problému diskrétního logaritmu
Kryptografie založená na problému diskrétního logaritmu Andrew Kozlík KA MFF UK Diffieho-Hellmanův protokol ustanovení klíče (1976) Před zahájením protokolu se ustanoví veřejně známé parametry: Konečná
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
Více18. První rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii
VícePolynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí
Polynomy Vlasnosti reálných čísel: 1 (komutativitaoperace+)provšechnačísla a, b Rplatí, a+b=b+a 2 (asociativitaoperace+)provšechnačísla a, b, c Rplatí a+(b+c)=(a+b)+c, 3 (existencenulovéhoprvku)provšechnačísla
VíceMnožinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
VíceTrocha teorie Ošklivé lemátko První generace Druhá generace Třetí generace Čtvrtá generace O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA
O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA Prezentace pro přednášku v rámci ŠKOMAM 2014. Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6 Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6 protože Dělitelnost na množině celých
VíceJihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı
Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceZápadočeská univerzita v Plzni
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY ALGEBRAICKÉ STRUKTURY S JEDNOU BINÁRNÍ OPERACÍ A JEJICH ZOBRAZENÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Marie Černá Přírodovědná studia, Matematická studia
VícePokročilá kryptologie
Pokročilá kryptologie Kryptografie eliptických křivkek doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Více(1) Dokažte, že biprodukt je součin (a tím pádem i součet). Splňují-li homomorfismy. A B je izomorfismus stejně jako A B i+j
1. cvičení (1) Necht A je komutativní grupa. Dokažte, že End(A) společně s operacemi sčítání a skládání zobrazení je okruh. (2) Dokažte přímo z definice, že na každé komutativní grupě existuje právě jedna
VíceMatematika pro informatiku 1
Matematika pro informatiku 1 Alena Šolcová katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií ČVUT Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Přednášející Ing. Karel Klouda, Ph.
VíceVysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy
Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceKomutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics
Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních
Více