1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál"

Žaneta Macháčková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Mateatia II. NEURČITÝ INTEGRÁL.. Priitiví fuce a eurčitý itegrál Defiice... Říáe, že fuce F( ) je v itervalu ( ab, ) priitiví fucí fuci f ( ), platí-li pro všecha ( ab, ) vztah F = f. Defiice... Možia všech priitivích fucí fuci f ( ) a itervalu ( ab, ) e azývá eurčitý itegrál této fuce. Píšee: f ( d ) = F ( ) + C... Záladí eurčité itegrály [.] 0d = C [.] d = + C + [3.] d = + C + [4.] d = l + C [5.] i d = co + C [6.] co d = i + C [7.] d = tg + C co [8.] d = cotg + C i [9.] pro > 0, pro 0 π pro ( + ), Z pro π, Z d = arci + C pro (, ) [0.] d = arctg + C + [.] e d = e + C [3.] f ( ) d = l f ( ) + C f [6.] f ( a + b) d = F( a + b) + C pro a 0 a

2 Věta... Mají-li fuce f ( ) a g( ) a itervalu ( ab, ) priitiví fuce, pa platí: ( f ± g) d= f( d ) ± g( d ) cf ( ) d = c f ( ) d, c = ot. f ( d ) = f + C.3. Itegrace etodou per parte Pro itegrováí oučiu dvou fucí f g obecě eplatí!!! f g( d ) = f( d ) g( d ) Avša ze vztahu pro derivováí oučiu dvou fucí ( u v) = u v+ u v dotaee u v = ( u v) u v a odtud itegrováí u v d = [ ( u v) u v ] d = u v u v d. Věta.3.. (Itegrováí per parte, čili po čátech) Mají-li fuce u ( ) a v ( ) v itervalu ( ab, ) pojitou derivaci, pa v ( ab, ) platí u v ( ) d= u ( ) v ( ) u ( ) v ( d ). Jedoduché typy itegrálů řešitelých etodou per parte. Je-li polyo tupě, pa u itegrálů typu: id, cod, Ped ( ), a d položíe v = P, taže v = P, dežto u itegrálů typu: položíe l d, arctgd, arci d, arcco d u = P, taže u = P d, de je polyo tupě 0 (tedy i otata).

3 .4. Itegrace ubtitucí Věta.4.. (Itegrováí ubtitučí etodou ϕ = u ) Nechť Fu ( ) je priitiví fuce e pojité fuci f( u ) a itervalu ( α, β ). Nechť á fuce u = ϕ derivaci ϕ a itervalu ( ab, ) a echť pro aždé ( ab, ) platí ϕ ( α, β). Poto je fuce F( ϕ ) priitiví fuce fuci f( ϕ) ϕ a itervalu ( ab, ). Tedy platí f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) du. Subtituce typu ϕ = u f ϕ( ) ϕ ( ) d. Máe vypočítat itegrál typu ( ) Jou-li plěy předpolady věty.4., položíe (provedee ubtituci) ϕ = u. Diferecováí této rovice dotaee ϕ d = du. Daý itegrál tedy převedee a tvar f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) du. Potup bude úpěšý, poud uíe vypočítat itegrál f ( u) du. Věta.4. (Itegrováí ubtitučí etodou = ϕ() t ) Nechť fuce = ϕ() t zobrazující iterval ( α, β ) a iterval ( ab), je rotoucí, popř. leající, a itervalu ( α, β ) a á ta pojitou derivaci ϕ () t 0a echť fuce t = ψ je iverzí fuce fuci = ϕ() t a itervalu ( ab, ). Je-li f pojitá fuce a itervalu ( ab, ) a je-li Gt () priitiví fuce fuci f( ϕ( t)) ϕ ( t) a itervalu ( α, β ), poto pro všecha ( ab, ) platí f ( d ) = f( ϕ()) t ϕ () t dt= Gt () + C= G( ψ) + C. Subtituce typu = ϕ() t d. Máe vypočítat itegrál typu f ( ) Jou-li plěy předpolady věty.4., položíe (provedee ubtituci) = ϕ() t. Diferecováí této rovice dotaee d = ϕ () t dt. Daý itegrál tedy převedee a tvar f ( d ) = f( ϕ ( t)) ϕ ( t) dt. Potup bude úpěšý, poud uíe vypočítat itegrál f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt.

4 .5. Itegrace racioálích fucí Defiice.5.. Polyoe P ( ) tupě azýváe fuci P = a a + a+ a0 a 0 Reálá číla Defiice.5.. a0, a,..., a Čílo α, pro teré platí Q ( α ) = 0, e azývá oře polyou Q a výraz α e azývá ořeový čiitel polyou Q.,. jou oeficiety polyou. Čílo azýváe tupě polyou P. Věta Polyoy.5.3. ůžee taé ezi ebou dělit. V toto případě vša obecě výlede ebude polyo, ale fuce, terou azýváe racioálí (racioálí loeá): Každý polyo Q = a a + a + a 0 tupě lze jedozačě zapat ve tvaru: r r ( ) ( )... ( ) u Q = a α αu ( + p+ q)... ( + pv+ qv) e vzájeě růzýi reálýi ořey α i, i =,,... u a vzájeě růzýi v vadraticýi polyoy + p + q, j =,,... v, teré eají reálé ořey. j j Je zřejé, že platí = r + r r + ( ). Defiice.5.3. u Racioálí fucí R() azvee fuci, terá je podíle dvou polyoů P ( ) a Q ( ) : ( ) R = Q, Q ( ) 0. v Defiice.5.4. Racioálí fuce eší ež tupeň polyou eryze loeá racioálí fuce. Věta.5.4. ( ) R = Q e azývá ryze loeá, je-li tupeň polyou P ( ) Q ( ), tj. <. Je-li, pa e fuce R() azývá Každou eryze loeou racioálí fuci ůžee vyjádřit jao oučet polyou a ryze ( ) loeé racioálí fuce, tj. ( ) P R = = P +, de Q <. Q

5 Defiice.5.5. Čátečýi (parciálíi) zloy azýváe racioálí fuce tvaru A ( α) ebo M + N ( + + ) p q, de A, M, N, p, q jou reálá číla,, jou přirozeá číla a polyo reálé ořey ( D= p 4q< 0). + p + q eá Pozáy. Parciálí zloy prvího typu odpovídají reálý ořeů jeovatele a parciálí zloy druhého typu odpovídají dvojicí opleě družeých ořeů.. Ryze loeou racioálí fuci R() lze vyjádřit ve tvaru R = R + R R, de R ( ), R ( ),... R ( ) jou parciálí zloy. Pro itegraci ryze loeé racioálí fuce tačí uět itegrovat tyto parciálí zloy. A. Rozlad pro reálé růzé ořey polyou Q Jetliže polyo Q ( ) á ( ) reálých růzých ořeů α, α,..., α (jedoduché ořey), pa lze ryze loeou racioálí fuci ( ) R = Q rozložit a P oučet parciálích zloů: A A A = R +..., Q α α α de A, A,..., A jou reálé otaty. V případě reálých jedoduchých ořeů polyo Q ( ) dotaee pouze itegrály parciálích zloů typu A d = A l α + C. α B. Rozlad pro reálé áobé ořey polyou Q ( ) Jetliže polyo Q ( ) á r-áobý ( r fuci ( ) R = Q rozložit a oučet parciálích zloů: P B B B = r + R r... Q r + +, α ( α) ( α) de B, B,..., B r jou reálé otaty. ) oře α, pa lze ryze loeou racioálí

6 V případě reálých áobých ořeů polyou Q ( ) dotaee itegrály parciálích zloů typu B d = B d = B l α C + α a α B B d = B ( ) α d = + C, pro. ( α) ( )( α) C. Rozlad pro opleě družeé ořey polyou Q Jetliže polyo Q ( ) loeou racioálí fuci á opleě družeé ořey (jedoduché), pa lze ryze P P M + N = = +..., Q ( + p+ q) Q + p+ q de M, N jou reálé otaty. Jetliže á polyo Q ( ) itegrály parciálích zloů typu K( + p) d = K l + p + q C + + p+ q a p + L d = L arctg + C + p+ q p p q q 4 4. ( ) R = Q rozložit a oučet parciálích zloů: opleě družeé ořey (jedoduché), dotaee D. Rozlad pro áobé opleě družeé ořey polyou Q Jetliže polyo racioálí fuci Q ( ) á -áobé opleě družeé ořey, pa lze ryze loeou ( ) R = Q rozložit a oučet parciálích zloů: P P M+ N M + N M + N Q ( ) ( + p + q) Q + p + q ( + p + q) ( + p + q) = = de M, N,..., M, N jou reálé otaty.,.6. Itegrace goioetricých fucí Itegrály typu i co d Itegrály typu R(i,co ) d Uiverzálí ubtituce tg = t, ( π, π )

Podobné dokumenty

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =