M - Slovní úlohy pro učební obory

Transkript

1 M - Slovní úlohy pro učební obory Určeno jako studijní text pro žáky učebních oborů. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Slovní úlohy řešitelné rovnicí 1. Žáci 8. ročníku byli na třídenním výletu a ušli celkem 42 km. První den ušli dvakrát více než třetí den a druhý den o 4 km více než třetí den. Kolik kilometrů ušli každý den? První den 19 km, druhý den 13,5 km, třetí den 9,5 km. 2. Denní produkce mléka 630 litrů byla slita do 22 konví, z nichž některé byly po 25 litrech a jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví? 14 konví po 25 litrech, 8 konví po 35 litrech 3. Anička jela na jarní prázdniny k babičce. Za cestu zaplatila 38 Kč, což byly dvě třetiny jejích úspor. Babičce koupila dárek za 35,50 Kč a sestřence koupila knížku za 16,70 Kč. Kolik Kč jí zbylo na útratu, jestliže si ještě odložila peníze na zpáteční cestu? 42,80 Kč 4. Když byl cestující ve vlaku v polovině cesty, usnul. Po probuzení zjistil, že má jet ještě pětinu té cesty, kterou projel ve spánku. Jakou část cesty zaspal? Pět dvanáctin celé cesty 5. Jana a Eva četly stejnou knihu. Jana přečetla denně 14 stránek a dočetla knihu o den dříve než Eva, která přečetla denně 12 stránek. Kolik stran měla kniha? Z kovové tyče byly zhotoveny tři součástky. Na první byla spotřebována polovina tyče, na druhou dvě třetiny zbytku a třetí měla hmotnost 3 kg. Jakou hmotnost měla celá tyč? 18 kg 7. Otec chtěl původně rozdělit majetek svým dvěma synům v poměru 7:6. Pak ho však rozdělil v poměru 6:5 (ve stejném pořadí). Jeden ze dvou synů se rozzlobil, že měl původně dostat o 120 Kč víc. Kolik korun dostal každý syn? První syn dostal Kč, druhý syn dostal Kč. 8. Do třídy chodí 27 žáků. V určitý den chybělo 6 chlapců a 1 dívka a počet chlapců a dívek byl v tento den stejný. Kolik chlapců a kolik dívek má třída celkem, jsou-li všichni žáci přítomni? 11 dívek, 16 chlapců 9. Dvě stě krabic pracích prášků bylo v obchodě narovnáno ve třech policích. V první bylo o 13 krabic více než ve druhé, ve druhé o jednu pětinu více než ve třetí polici. Kolik krabic bylo ve které polici? První police 79 krabic, druhá police 66 krabic, třetí police 55 krabic. 10. V teplárně spotřebovali první den pětinu zásoby uhlí, druhý den spotřebovali třetinu zbytku. Třetí a čtvrtý den spotřebovali zbývajících tun uhlí. Jakou zásobu uhlí měla teplárna původně? tun z 12

3 11. Viktor ušetřil dvakrát víc korun než Hanka, Tomáš o sedm korun méně než Viktor, Dáša o 13 Kč více než Tomáš. Dohromady ušetřili 293 Kč. Kolik ušetřil každý? Hanka 42 Kč, Tomáš 77 Kč, Viktor 84 Kč, Dáša 90 Kč. 12. Číslo 138 napište jako součet čtyř po sobě jdoucích celých čísel. 33, 34, 35, Ivana si hrála s dvoumiskovými rovnoramennými vahami. Když položila na levou misku autíčko a na pravou míč a dvě kostky, nastala rovnováha. Další rovnováhu docílila, když na levou misku položila autíčko a jednu kostku a na pravou dva míče. Kolik kostek má právě takovou hmotnost jako autíčko? Orba skončí v plánovaném termínu, jestliže traktoristé zorají denně 150 ha pole. Díky dobré péči mechaniků pracovaly traktory bez poruchy a traktoristé zorali denně 200 hektarů pole a skončily orbu o dva dny dříve, než se plánovalo. Kolik hektarů pole zorali a za kolik dní? Za 6 dní ha pole. 15. Mezi tři soutěžící děti byly rozděleny body tak, že poslední získalo jednu šestinu všech bodů, předposlední získalo jednu třetinu všech bodů a první získalo 60 bodů. Kolik bodů se celkem rozdělilo a kolik dostalo druhé dítě? Celkem 120 bodů, druhé dítě 40 bodů. 16. Podnikatel měl dodat v lednu a v únoru stejné množství výrobků, v březnu pak dvojnásobné množství než v lednu. Kvůli provozním potížím však dodal v lednu o třetinu méně než měl, v únoru ještě o 60 kusů méně než v letnu a teprve v březnu dodal o 280 kusů víc než původně měl dodat za březen. Přesto chybělo ještě 12 kusů ke splnění celé dodávky. Jaké množství měl dodávat v jednotlivých měsících? Leden a únor po 360 kusech, březen 720 kusů. 17. Přátelé jeli na výlet. Nejprve 15 % celkové trasy jeli vlakem, pak jednu dvacetinu cesty šli pěšky, dalších 6 km jeli lanovkou, poté dvě pětiny cesty urazili pěšky a nakonec 14 km jeli vlakem. Kolik kilometrů ujeli vlakem a kolik kilometrů ušli pěšky? Vlakem 21,5 km, pěšky 22,5 km 18. Turista utratil každý den polovinu částky, kterou vlastní, a ještě 10 Kč. Za tři dny utratil všechny své peníze. Kolik peněz měl turista původně? 140 Kč 19. Prodavač prodal za tři dny celkem stíracích losů. Druhý den prodal o 90 losů méně než první den, třetí den prodal 1,5krát více losů než druhý den. Kolik losů prodal první den? 430 losů 20. Zahradník koupil 80 květináčů za Kč. Menší byly po 32 Kč, větší po 40 Kč. Kolik bylo kterých? 46 květináčů po 32 Kč, 34 květináčů po 40 Kč z 12

4 21. Ve městě jsou dvě školy, ve kterých je celkem žáků. V první škole je o 9 dívek více než chlapců, ve druhé škole je o 2 chlapce více než dívek. Kolik je v obou školách dohromady chlapců a kolik dívek? 575 chlapců, 582 dívek 22. Žák má ve stavebnici 15 volantů a 53 koleček. Ze všech volantů a koleček sestavuje tříkolky (1 volant a tři kolečka) a autíčka (1 volant a 4 kolečka). Kolik sestavil tříkolek a kolik autíček? 8 autíček, 7 tříkolek. 23. Slavného řeckého matematika Pythagora se ptali, kolik žáků navštěvuje jeho školu. Odpověděl: "Polovina žáků studuje matematiku, čtvrtina hudbu, semina mlčí a kromě toho jsou tam ještě tři ženy." Kolik žáků navštěvuje jeho školu? Dvěma sourozencům je dohromady šest let. Jeden je o pět roků mladší než druhý. Určete věk obou sourozenců. Staršímu je 5,5 roku, mladšímu je 0,5 roku. 25. Na rekreační zájezd jelo 35 účastníků. Bylo zaplaceno celkem Kč. Zaměstnanci platili 165 Kč, rodinní příslušníci 310 Kč. Vypočítejte, kolik bylo zaměstnanců a kolik bylo rodinných příslušníků. 16 zaměstnanců, 19 rodinných příslušníků. 26. Petr šel se svou sestrou Ivou na houby. Petr našel o 23 hub více než Iva. Cestou z lesa Iva poprosila Petra: "Dej mi tolik hub, abych jich měla alespoň o 5 více než ty." Petr jí vyhověl. Kolik hub jí nejméně musel dát? 14 hub 27. Písemná práce z matematiky dopadla takto: Polovina žáků vyřešila jen část úloh, všechny úlohy vyřešilo 8 žáků, čtvrtina žáků nevyřešila nic. Kolik žáků psalo písemnou práci? 32 žáků 28. Jedna čtvrtina délky pilíře je zaražena v zemi, dvě třetiny jeho délky jsou ve vodě a nad hladinu vyčnívá část dlouhá 1,20 m. Jak dlouhý je pilíř? 14,4 m 29. Dvě dílny jednoho závodu vyrobí denně 26 součástek. Aby společně vyrobily 350 součástek, pracovala první dílna 14 dní a druhá o den méně. Kolik součástek vyrobí každá dílna denně? První dílna 12 součástek, druhá dílna 14 součástek. 30. Denní produkce mléka 620 litrů byla slita do 22 konví, z nichž některé byly po 25 litrech a jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví? 15 konví po 25 litrech, 7 konví po 35 litrech z 12

5 31. Limonáda s kelímkem stála 5,80 Kč. Limonáda byla o 5 Kč dražší než kelímek. Kolik stál kelímek? 40 haléřů 32. Během dne navštívilo výstavu 130 návštěvníků, kteří zaplatili vstupné v celkové částce 630 Kč. Kolik z nich bylo dospělých a kolik bylo dětí, jestliže vstupné pro dospělé bylo 6 Kč a vstupné pro děti bylo 3 Kč. Dospělých 80, dětí ± Slovní úlohy o pohybu V 10 hodin, ve vzdálenosti 160 km od místa A 2. Je taková možnost, jak se ve dvou s jedním kolem dostat poměrně daleko, i když se nepoveze nikdo na rámu. První, označme ho A, vyjede na kole, na smluveném místě ho zanechá a pokračuje pěšky. B vyrazí pěšky, a když dojde ke kolu, nasedne na ně a jede až do cíle. Nejrychleji celou cestu vykonají tehdy, když místo uložení kola je smluveno tak, aby dorazili do cíle současně. A a B tedy tímto způsobem cestují do cíle vzdáleného 53 km. A jede na kole rychlostí 18 km/h, B rychlostí 15 km/h. Pěšky jde A rychlostí 6 km/h, B rychlostí 4 km/h. Jak dlouho jim bude cesta trvat? 6,83 hodin km/h 4. Cyklistovi Ondrovi trvá cesta na kole z Lomnice do Třeboně o polovinu déle než cyklistovi Martinovi. Vyjedou-li proti sobě, setkají se za 20 minut. Kolik minut trvá cyklistovi Ondrovi celá cesta? Vzdálenost mezi Lomnicí a Třeboní je 10 km. 50 minut V 11 hodin 36 minut V 11 hodin 20 minut, ve vzdálenosti 56 km od místa vyplutí. 4 z 12

6 7. Karel vyjel v 8 hodin na kole na výlet do místa vzdáleného 30 kilometrů. Jel rychlostí 20 km/h; po nějakém čase měl na kole poruchu, kterou se snažil 30 minut opravit. Když se mu to nepodařilo, vrátil se domů pěšky rychlostí 5 km/h a přišel přesně v 10 hodin 30 minut. Jakou vzdálenost šel pěšky? 8 km km 9. Z Prahy je pěkná vycházka po červené značce na hrad Okoř. Výchozím bodem je konečná autobusu městské hromadné dopravy na pražském letišti. Spolužačky Lenka, Tereza a Jana se smluvily, že si v sobotu odpoledne na hrad Okoř vyjdou. Aby nemusely čekat u letiště, dohodly se, že se sejdou až na hradě. Jana přijela na letiště jako první, Tereza 36 minut po ní, Lenka hodinu po Janě a každá se hned vydala po značce. Na Okoř dorazily všechny tři současně. Lenka šla rychlostí 6 km/h, Tereza rychlostí 5 km/h. Jakou rychlostí šla Jana? 4 km/h Nákladní auto přijelo o 160 sekund dříve. 11. V zimě trénují pražští lyžaři - běžci v parku letohrádku Hvězda na Bílé Hoře. A a B si domluvili trať a vyběhli. A běžel, jak se ukázalo, rychlostí 10 km/h, B rychlostí 16 km/h. Cíl byl v hlavní bráně parku, a když B vyběhl u letohrádku z lesa a zahnul na přímou alej vedoucí k hlavní bráně, zahlédl A probíhat cílem. Alej je přesně 800 m dlouhá. Kolik kilometrů dlouhá byla trať? 7,2 km V 9 hodin 15 minut ve vzdálenosti 90 km od Olomouce ,29 km/h 5 z 12

7 V 10 hodin 36 minut Rychlost auta je 56 km/h, vzdálenost měst je 280 km Rychlosti letadel jsou 360 km/h, 300 km/h, vzdálenost místa setkání od letiště je 120 km. 17. Turisté Karel a Ondra vyrazili současně na pochod z Krumlova do Kaplice po stejné trase. Karel šel průměrnou rychlostí 6 km/h, Ondra průměrnou rychlostí 4 km/h. Ondra došel do Kaplice o hodinu a půl později než Karel. Kolik kilometrů dlouhou trasu zvolili? 18 km km/h km/h minut 21. Karel vyjel v 8 hodin na kole na výlet do místa vzdáleného 30 kilometrů. Jel rychlostí 20 km/h; po nějakém čase měl na kole poruchu, kterou se snažil 30 minut opravit. Když se mu to nepodařilo, vrátil se domů pěšky rychlostí 5 km/h a přišel přesně v 10 hodin 30 minut. Jakou vzdálenost šel pěšky? 8 km z 12

8 V 9 hodin 3 minuty ve vzdálenosti 21,6 km od Jihlavy m 24. Cesta na kole z Haklových Dvorů do Dehtář trvá cyklistovi Láďovi 28 minut, lepšímu cyklistovi Honzovi trvá cesta z Dehtář do Haklových Dvorů 21 minut. Jestliže vyjedou současně proti sobě, kolik minut trvá, než se potkají? 12 minut Kamarádi Lukáš a Jára vyšli současně ze Srubce na vycházku do Ledenic. Jára šel rychlostí 5,5 km/h, Lukáš šel rychleji, totiž rychlostí 6,5 km/h, a když dorazil do Ledenic, nechtělo se mu na Járu čekat, a vydal se stejnou cestou zpátky. Potkal unaveného Járu 1 h 20 minut po tom, co vyrazili ze Srubce. Kolik kilometrů dlouhá je cesta ze Srubce do Ledenic po trase, kterou si vybrali? 8 km km m ± Slovní úlohy o společné práci Slovní úlohy o společné práci Jedná se o úlohy typu, kdy víme, že jeden pracovník vykoná práci za nějaký čas, jiný pracovník za jiný čas. Úkolem pak bývá spočítat, za jak dlouho bude práce hotova, pokud pracují současně. Některé úlohy z této kapitoly mohou být pak komplikovány tím, že jeden pracovník se podílí na zadaném úkolu déle než druhý. Úlohy tohoto typu budeme řešit opět tabulkou. V řádcích tabulky budou jednotliví pracovníci (obvykle dva, ale mohou klidně být tři i více) a v poslední řádce pak údaj "společně". První sloupeček tabulky bude tvořit čas, za který vykoná práci sám jeden konkrétní pracovník, ve druhém sloupečku pak bude díl práce vykonaný za časovou jednotku (může jí být jedna hodina, jeden den, apod.). Třetí sloupeček, v případě, že jednotliví pracovníci nebudou pracovat stejně dlouhou dobu, bude "doba práce". Pokud pracují všichni stejně dlouho, pak tento sloupeček vynecháváme. Poslední sloupeček pak vyjadřuje díl vykonaný za dobu práce. Z posledního sloupečku pak sestavujeme rovnici. Součástí řešení úlohy musí být zkouška. 7 z 12

9 Příklad 1: Prvním přívodem se naplní nádrž za 5 hodin, druhým za 27 hodin. Za kolik hodin se nádrž naplní oběma přívody současně? Řešení: Doba práce [h] Díl za jednu hodinu Díl za dobu práce 1. přívod 5 1/5 x/5 2. přívod 27 1/27 x/27 Současně x 1/x 1 x + x 5 27 = 1 27x + 5x = x = 135 x = 135/32 h x = 4,2 h (po zaokrouhlení) = 4 h 13 min Zkouška: L = = + = = = P = 1 L = P Oběma přívody se nádrž naplní za 4 hodiny 13 minut. Příklad 2: Jedna kotelna vytápí dvě různé budovy. Kdyby se vytápěla pouze první budova, vystačí zásoba paliva na 24 dní. Bude-li se vytápět pouze druhá budova, vystačí zásoba paliva na 16 dní. Na jak dlouho vystačí zásoba paliva, když se budou vytápět obě budovy, ale vytápění druhé budovy začne o 4 dny později? Řešení: Doba topení [d] Díl spálený za 1 den Skutečná doba topení [d] Díl spálený za dobu topení 1. budova 24 1/24 x x/24 2. budova 16 1/16 x - 4 (x - 4)/16 Společně x 1 x 4 + x = 1 16x + 24x - 96 = x = 480 x = 12 dní Zkouška: L = + = = 1 8 z 12

10 P = 1 L = P Při vytápění obou budov vystačí zásoba paliva na 12 dní. ± Slovní úlohy o společné práci - procvičovací příklady 1. Honza vykope studnu za 36 dní, Martin za 45 dní. Kolik dní bude hloubení studny trvat, budou-li pracovat oba spolužáci současně a jejich výkon se nezmění? 20 dní hodin 15 minut 3. Naplněná skládka paliva stačí elektrárně ve Chvaleticích na 80 dní provozu. Pravidelný provoz železniční vlečky naplní prázdnou skládku za 60 dní, a to v případě, že elektrárna nepracuje, tedy není žádný odběr uhlí. Provoz lodního překladiště naplní skládku za stejných podmínek za 40 dní. Kolik dní trvá, než se při provozu elektrárny naplní skládka při současném využití vlečky i přístaviště? 33 dní Do nádrže vedou dvě potrubí. Potrubím A se naplní za 35 dní, potrubím B za 50 dní. Jeden den bylo otevřeno jen potrubí A, a pak otevřeli i potrubí B. Za kolik dní byla nádrž naplněna? 21 dní dní 6. Polárníkovi A samotnému by stačily zásoby na 40 týdnů, polárník B by je sám snědl za 56 týdnů a smečce psů vystačí na 10 týdnů. Kolik týdnů s nimi vydrží oba polárníci i se psy? 7 týdnů hodin 9 z 12

11 8. Honza by otrhal sám jablka ze stromu za 9 hodin. Hodinu pracoval sám a pak se k němu připojil Radek. Za dalších 5 hodin společné práce byli hotovi. Kolik hodin by trvala práce samotnému Radkovi? 15 hodin minut 10. Na úklid třídy po vyučování má dorazit dvojčlenná služba - Jára a Ondra. Kdyby uklízel jen Jára, trvala by mu práce o 4 minuty déle než oběma současně, a samotnému Ondrovi dokonce o 25 minut déle. Kolik minut bude trvat úklid oběma dohromady? 10 minut Vodárna zásobuje chladicí věž elektrárny. Odběr vody je stálý. Bez doplňování vody by se nádrž vodárny vyprázdnila za 70 hodin. Vedou do ní dva přívody. Jedním by se nádrž při stálém odběru naplnila za 55 hodin, druhým za 66 hodin. Kolik hodin trvá, než se nádrž vodárny naplní oběma přívody současně při stálém odběru vody? 21 hodin Vypracovat úkol trvá Lukášovi 85 minut, zatímco Láďovi jen 70 minut. Za kolik minut budou oba spolužáci s prací hotovi, budou-li pracovat oba současně a o práci se společně podělí? 38,4 minuty Úprava školního hřiště trvá třídě 8.B 85 hodin, zatímco třídě 8.A jen 70 hodin. Za kolik hodin budou s prací hotovy, budou-li pracovat obě třídy současně a po 16 hodinách se k nim přidá ještě třída 9.A, která sama by upravila celé hřiště za 110 hodin? 32,6 hodin Jára by sám dokončil počítačový program za 28 hodin, Lukáš je o trochu rychlejší, a proto by sám byl hotov za 21 hodin. Kolik hodin by jim práce trvala, kdyby pracovali oba současně? 12 hodin Ve Strážovských vrších vede krásná hřebenovka od chaty Homolky nad Trenčianskými Teplicemi na vrcholek Rokoše nad Prievidzou. Petr jde z Homolky na Rokoš 6 hodin. Ivan jde z Rokoše na Homolku 7 hodin. Petr vyšel v 8 hodin ráno, Ivan v 9 hodin. V kolik hodin se potkali? 11 hodin 42 minut 2619 ± Slovní úlohy o směsích Slovní úlohy o směsích Slovní úlohy o směsích budeme řešit výhodně též tabulkou. Příklad 1: 1,5 kg roztoku NaCl 20% máme zředit vodou na roztok 10%. Kolik vody bude potřeba a kolik zředěného roztoku získáme? 10 z 12

12 Řešení: Množství [kg] Počet procent [%] Množství čisté látky [kg] NaCl 1,5 20 0,2. 1,5 = 0,3 Voda x 0 0 Směs 1,5 + x 10 0,1. (1,5 + x) 0,3 + 0 = 0,1. (1,5 + x) 0,3 = 0,15 + 0,1x 0,15 = 0,1x x = 1,5 kg Zkouška: L = 0,3 + 0 = 0,3 P = 0,1. (1,5 + 1,5) = 0,1. 3 = 0,3 L = P 1,5 kg + 1,5 kg = 3 kg Budeme potřebovat 1,5 kg vody a získáme 3 kg roztoku. Příklad 2: Smísíme 1 litr 10% octa a 3 litry 2% octa. Jak silný ocet vznikne? Řešení: Množství [l] Koncentrace [%] Objem octa [l] První ocet ,1. 1 = 0,1 Druhý ocet 3 2 0,02. 3 = 0,06 Směs = 4 x 4. x : 100 = 0,04x 0,1 + 0,06 = 0,04x 0,16 = 0,04x 16 = 4x x = 4 Zkouška: L = 0,1 + 0,06 = 0,16 P = 0,04. 4 = 0,16 L = P Vznikne tedy směs 4% octa. Příklad 3: Smícháme 1 litr vody o teplotě 10 C a 3 litry vody o teplotě 2 C. Jaká bude výsledná teplota vody? Řešení: Množství [l] Teplota [ C] Teplo přijaté/odevzdané 1. voda (10 - t) 2. voda (t - 2) Směs = 4 x V posledním sloupci si takovýto jednoduchý vzorec můžeme dovolit vzhledem k tomu, že hustota, ani měrná tepelná kapacita se nemění - vykrátí se tedy. Jedná se vlastně o zjednodušenou kalorimetrickou rovnici. Veličiny 11 z 12

13 uvedené v posledním sloupečku nepředstavují tedy skutečné teplo v joulích - chybí vynásobení hodnotou měrné tepelné kapacity a místo objemu v litrech bychom museli uvažovat hmotnost v kilogramech. 1. (10 - t) = 3. (t - 2) 10 - t = 3t - 6-4t = -16 t = 4 Zkouška: L = 1. (10-4) = 1. 6 = 6 P = 3. (4-2) = 3. 2 = 6 L = P Výsledná teplota vody tedy bude 4 C. ± Slovní úlohy o směsích - procvičovací příklady 1. Jak teplá je směs 5 l vody 10 C a 4 l vody teplé 25 C? 16,67 C 2. Kolik litrů vody 15 C teplé je třeba přilít do 20 l 65 C teplé vody, abychom dostali vodu 35 C teplou? 30 l 3. Kolik litrů destilované vody se musí přidat do 0,4 l 12% roztoku glukózy, aby vznikl 3% roztok? 1,2 l 4. V chladiči auta máme nemrznoucí směs 15 % fridexu a 85 % vody. Na zimu je třeba mít 40% směs (40 % fridexu a 60 % vody). Obsah chladiče je 11,5 litru. Kolik litrů musíme vypustit staré směsi a přilít 90% fridexu? 3,83 l 5. Smetana obsahuje 12 % tuku, plnotučné mléko 3,5 %, polotučné 2 %. Kolik procent tuku obsahuje směs jednoho litru polotučného mléka a čtvrt litru smetany? 4 % 6. Jak silný roztok peroxidu vodíku vznikne smísením 0,2 l 30% peroxidu, 0,5 litru 2% peroxidu a 0,25 l vody? 7,37 % z 12

14 Obsah Slovní úlohy řešitelné rovnicí 1 Slovní úlohy o pohybu 4 Slovní úlohy o společné práci 7 Slovní úlohy o společné práci - procvičovací příklady 9 Slovní úlohy o směsích 10 Slovní úlohy o směsích - procvičovací příklady :47:57 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (