Ilja Černý. Obsah. O díle, o autorovi, poděkování 1 Literatura 2. Stran 93, obrázků 35

Transkript

1 Kontinua Ilja Černý Obsah O díle, o autorovi, poděkování Literatura 2 0. Úvodní poznámky 3. Topologické limity 9 2. Souvislé prostory 2 3. Lokálně souvislé prostory Kontinua Lokálně souvislá kontinua Ireducibilní a nerozložitelná kontinua Pojem křivky Rozvětvování kontinuí Racionální a regulární křivky Dodatky 73 Sazba systémem AMS-TEX, obrázky Mathematica 5.2 Stran 93, obrázků 35 Autor uděluje souhlas k volnému šíření této elektronické knihy v nezměněném tvaru prostřednictvím elektronických médií Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Praha 202

2 Odíle Kontinua vzniklakoncempadesátýchletjakoučebnípomůckaktopologickémuseminářinamff UK.Byltointernítextrozmnoženýtzv.ormigem )vněkolikadesítkáchexemplářů.byljsemajsemdosud velmi vděčný profesoru Eduardu Čechovi, tehdejšímu řediteli Matematického ústavu MFF UK a jednomu znejvětšíchčeskýchmatematiků,žemitext Kontinuí uvedenýmzpůsobemumožnilnejenzveřejnit,ale dokonce mi za toto skriptum dal odměnu 000 korun(což bylo tehdy např. měsíční stipendium vědeckých aspirantů). Skriptum je věnováno(podle mého názoru velmi zajímavé) části obecné topologie, o jejíž vznik a rozvoj se zasloužili především polští matematici světového jména S. Janiszewski, W. Sierpiński, K. Kuratowski, B. Knaster a další, ale také ruští matematici P. S. Uryson nebo P. S. Aleksandrov. Podstatnými výsledky však přispěli i matematici ze západních zemí, např. K. Menger nebo G. T. Whyburn ar.l.moore. )Skriptumobsahujeřaduzávažnýchobecnýchtvrzení(např.různécharakteristikyoblouku) a značné množství příkladů kontinuí, resp. křivek s vlastnostmi na první slyšení neuvěřitelnými: Existují např. rovinná kontinua K(neprázdné kompaktní souvislé množiny), která nelze rozložit na dvě kontinua K, K 2 různáod K;začátkemdvacátýchletsestrojilB.Knasterdokoncerovinnoukřivku(kontinuum dimenze ), jejíž každé subkontinuum má uvedenou vlastnost. Oblouk má dva krajní body; lze sibezobrovskédávkyfantaziepředstavitkřivku,kterámávjistémsmyslu skorosamé krajníbody? Vzhledem k tomu, že některé věty, resp. vlastnosti konkrétních(komplikovaných) množin vyžadují ke svému odůvodnění desítky stran textu, nebylo možné všechna tvrzení uvedená v tomto skriptu dokázat; čtenář je pak informován, kde může příslušný důkaz najít. Protože jsem se v tomto obnoveném vydání snažil zachovat obsah původního skripta, nepřidával jsem žádná tvrzení ani příklady publikované později. Text jsem však upravil, aby odpovídal nynějšímu pravopisu a aby nebyl tak stručný jako originál. Počítačovéprogramymidovolilyúhlednějšísazbuazejménailustracitextuobrázky.Přidaljsem Dodatky, které obsahují některé další informace o křivkách a několik(jak se mi zdálo) zajímavých příkladů(např. konstrukci rovinného oblouku, který má předem danou dvojrozměrnou Lebesgueovu míru). V Praze dne Oautorovi I. Černý Autor absolvoval studium matematické analýzy na Přírodovědecké fakultě Karlovy univerzity v Praze.Poukončenístudiavroce952sestalvědeckýmaspirantemnaMFFUK,vroce957získaltitul CSc.,doroku964bylodbornýmasistentem,pakdocentem.Vroce966získaltitulRNDr.,vroce988 titul DrSc. a v roce 989 byl jmenován profesorem pro obor matematická analýza. Do roku 995 pracoval namffuk,poodchodudodůchodupůsobilještěpětletnatechnickéuniverzitěvliberci.jehooborem je matematická analýza v reálném i v komplexním oboru, obecná topologie patří k jeho nejoblíbenějším matematickým disciplínám. Poděkování Rád bych touto cestou srdečně poděkoval panu docentu RNDr. Pavlu Pyrihovi z katedry matematické analýzy na MFF UK, že se ujal publikace tohoto skripta na internetu. V Praze dne I. Černý )Promladšíčtenáře:Ormigbylnázevrozmnožovacítechniky(zdnešníhohlediskabeznadějněprimitivní),kdyse psacím strojem naklepal text na křídový papír podložený zvláštním druhem kopírovacího papíru, na němž vznikl zrcadlový obraz textu. Zrcadlově okopírovaný text se pak upevnil na otočný válec a kopíroval se(otáčením válce klikou) na obyčejný papír zvlhčený(denaturovaným) lihem. Pořídit se dalo kolem sta kopií textu; měly fialovou barvu(která se dala z rukou a z látek jen velmi obtížně smýt), nebyly příliš kvalitní, ale byly kupodivu značně trvanlivé. Ještě po více než padesáti letech jsou dva exempláře, které se mi podařilo uchovat, dobře čitelné. )Omlouvámsezaneúplnost,aletatočásttopologiebylazejménavedvacátýchletechminuléhostoletítakatraktivní, že ji svými příspěvky obohacovaly desítky dalších matematiků.

3 Literatura []Kuratowski,K.:TopologieI,Monografiematematyczne,Warszawa Wroc law948 [ 2] Kuratowski, K.: Topologie II, Monografie matematyczne, PTM, Warszawa 952 [3]Menger,K.:Kurventheorie,Teubner,Berlin Leipzig932 [4]Uryson,P.S.:OKantorovychmnogoobrazijach Trudypotopologiiidrugimoblastjam matematiki, tom I II, Gostechizdat, Moskva Leningrad, 95 [5]Whyburn,G.T.:AnalyticTopology,NewYork942 [6]Aleksandrov,P.S.:Úvoddoobecnétheoriemnožinafunkcí,NČSAV,Praha,954 [7]Jarník,V.:DiferenciálnípočetII,NČSAV,Praha,956 [8]Čech,E.:Bodovémnožiny,Academia,Praha,974 [9]Engelking,R.:Topologiaogólna,PWN,Warszawa,976 Poznámka.Vdobě,kdybylapéčíMatematickéhoústavuMFFUKvydánapůvodní Kontinua, nebylykdispoziciknihyuvedenésub[8]a[9],obsahujícířadupartiíužitečnýchvupravenémtextu. 2

4 0. Úvodní poznámky Předpokládám znalost běžných základních pojmů z teorie metrických prostorů, jako je pojem uzávěru, otevřené množiny, souvislého prostoru apod. Většinu z nich včetně jejich základních vlastností lze nalézt např. v VI. kapitole Jarníkova Diferenciálního počtu II, mnohem více je obsaženo v Aleksandrovově Úvodudoobecnétheoriemnožinafunkcí([6]).Zatímconatytodefiniceavětynebuduodkazovat,budou v textu obsaženy odkazy na některá tvrzení z teorie dimenze, potřebná v posledních kapitolách; lze je nalézt např. v Kuratowského monografiích Topologie I a II. Jako věty jsouoznačenapodstatnějšítvrzenívč.tvrzenídůležitýchprodalšítext, poznámky obsahují zřejmá nebo snadno dokazatelná tvrzení, důsledky a ilustrující příklady. Označeníaterminologie.UžívámstejnézákladnítermínyjakoV.Jarníkv[7],ažnato,žespolu skrátkýmnázvem separabilníprostor častoříkám prostorsespočetnoubází,protožemnohdyse potřebujebáze,nikolihustáčást. )Spočetnámnožinajepřitommnožina,kteroulzeprostězobrazitdo množiny N všech přirozených čísel; mezi spočetné množiny patří tedy všechny konečné množiny. Je-li V výrokováfunkcedefinovanánamnožině X,říkáme,že V(x)platíprotéměřvšechna x X,platí-lipro každé x X S,kde Sjenějakáspočetnámnožina;říkáme,že V(x)platíproskorovšechna(zkratka: pros.v.) x X,platí-liprovšechna x X K,kde K jenějakákonečnámnožina.je-linapř.ze souvislostizřejmé,že X= N,říkámezpravidlajen pros.v.n.množinuvšechcelýchčísel,racionálních čísela(konečných)reálnýchčíselznačímepořadě Z, QaR.Symbol:=znamená,ževýrazpřednímje výrazem za ním definován. V dekadických, triadických, dyadických(obecně v p-adických) zlomcích píši zásadnětečky,nikoličárky. 2 ) Písmeno P(bez dalšího určení) značí neprázdný metrický prostor s metrikou ρ(v němž právě pracujemenebohodlámepracovat).je-lip P,A B P,znamenáρ(p,A)(resp.ρ(A,B))vzdálenostbodu p od množiny A(resp. vzdálenost množin A, B). Kromě běžných znaků pro množinové operace užívám znakyintm, H(M)aderMprovnitřek,hraniciaderivacimnožiny M. U(x,ε):= {x P; ρ(x,x) < ε} (kde ε >0)jekruhovéepsilonovéokolíbodu x Pv P, U(M,ε):= x M U(x,ε)jekruhovéokolíopoloměru εmnožiny M P. U(x)(resp. U(M))znamená(obecné)okolíbodu x(resp.množiny M),tj. jakoukoli otevřenou množinu obsahující bod x(resp. množinu M). Je-li Q P podprostor prostoru P, odlišímeokolívp odokolívqtím,žeprookolívp zachovámesymbol U,zatímcookolívQbudeme značit U Q.Je U Q (x,ε)=u(x,ε) Qprokaždé x QaU Q (M,ε)=U(M,ε) Qprokaždoumnožinu M Q.Je-li GmnožinaotevřenávP,je G QmnožinaotevřenávQ;obráceně:prokaždoumnožinu H otevřenouvqexistujemnožina GotevřenávPtak,že H= G Q.Je-limnožinaotevřenáiuzavřená, říkáme, že je obojetná. Množina M Pjehustá(v P),je-li M G prokaždouneprázdnouotevřenoumnožinu G P. Množina M P jeřídká(v P),je-livnitřekjejíhouzávěruprázdný.Uzavřenámnožinajetedyřídká, právěkdyžnemážádnévnitřníbody.otevřenámnožina N P jehustávp,právěkdyžjejejídoplněk P NřídkývP. ŘetězemmnožinbudemerozumětkaždoukonečnouposloupnostM 0,M,...,M s,kdem i M i pro i=,2,...,s;říkáme,žetentořetězspojujebody a,b(v P),je-li a M 0, b M s a M i P pro i=0,,...,s. Znak{a,...,a n }(kden N)znamenákonečnoumnožinusloženouzbodůa,...,a n.podobnějako Whyburnvknize[5],Kuratowskivmonografiích[],[2]aUrysonv[4]většinounerozlišuji(pokudse týká označení) bod p od jednobodové množiny{p} a v obou případech píši zpravidla jen p; k nedorozumění nemůže dojít, protože aktuální význam písmene je vždy patrný ze souvislosti. Symbol X... X n (kde n N)znamenákartézskýsoučinmnožin X,...,X n ;je-li X i = X pro i=,...,n,značímtentokartézskýsoučin X n.symbol A(podrobněji A )budeznačitmnožinu všech(konečných)reálnýchčíselsobvyklýmiaritmetickýmioperacemiauspořádáním; A n jearitmetický )Budemepracovatjenvmetrickýchprostorech,vnichžjeexistencehustéspočetnéčástiekvivalentnísexistencí spočetné báze. 2 )PočítačovéprogramyjakojeMathematica,Mapleapod.knámpřicházejízeZápaduadokudnebudemetaksilní, abychom na světovém fóru vytlačili jejich tečky a prosadili naše čárky, měli bychom se přizpůsobit a ušetřit si řadu potíží. V naší dávnější historii jsme ostatně tečky psali do doby, kdy nám nějaká geniální normalizační komise naordinovala čárky. 3

5 n-rozměrnýprostor. 3 ) R n je n-rozměrnýeukleidovskýprostor,tj.prostor A n skartézskounormou ametrikou:je-li a=(a,...,a n ) A n, b=(b,...,b n ) A n,je () a := a a2 n, ρ(a,b):= a b = (b a ) (b n a n ) 2 ; místo R sezpravidlapíšejen R. Slovo úsečka budeznamenat uzavřenouúsečku,nebude-livýslovněřečenoněcojiného;jsou-li a,bjejíkrajníbody,budemejiznačit a; b ;(a;b)jepříslušnáotevřenáúsečka, a;b),(a;b příslušné úsečky polouzavřené. LomenoučarouvR n budemerozumětkaždoumnožinutvaru p (2) L:= a 0 ;a ;...;a p := a k ; a k, kde p Nakdebody a=a 0,a,...,a p = bležívr n asplňujípodmínku a k a k pro k=,...,p; budemeříkat,želomenáčára(2)spojujebody a,b.budemeříkat,želomenáčára(2)jeprostá,platí-li implikace (3) 0 < k < p a k ; a k a k ; a k+ =a k a 0 < i < j < p a i ; a i a j ; a j+ =. Snadno nahlédneme, že prostota lomené čáry(2) je ekvivalentní s existencí prosté po částech lineární funkce ϕ: α,β na L. *** I když předpokládáme, že čtenář Cantorovo diskontinuum a jeho vlastnosti zná, zopakujeme příslušnou konstrukci, abychom v dalším mohli užívat označení, která při této příležitosti zavedeme. Aritmetická definicecantorovadiskontinuajevelmijednoduchá:jetomnožinavšechčísel (4) x=2 n= k= i n 3 n, kde i n {0,}prokaždé n N. Jinými slovy: Cantorovo diskontinuum se skládá právě ze všech čísel z intervalu 0,, která mají triadický rozvoj0.i i 2...i n...,kde i n prokaždé n.ještějinak:cantorovodiskontinuumjerovno 0, M, kde M jemnožinavšechčísel,vjejichžtriadickémzlomkumusíbýt aspoňnajednommístěcifra. Připomeňme, že triadicky racionální čísla z intervalu(0, ) lze napsat dvojím způsobem, protože (5 ) 0.i i 2...i n =0.i i 2...(i n )222..., je-li i n {,2}. Čísla (5 2 ) 0= , 3 = = , 2 3 = = ,= tedy patří do Cantorova diskontinua stejně jako čísla (5 3 ) = 4 a = 3 4. PopišmenyníCantorovodiskontinuum geometricky :Interval := 0, rozdělmenatřistejně dlouhé intervaly a označme (6) (0):= 0, 3, J:=( 3,2 3 ), ():= 2 3,. Z nerovností (7) 0.0i 2...i k = 3, 0.2i 2...i k = 2 3 ihned plyne, že první cifra(za triadickou tečkou) čísel z intervalu J musí být, takže Cantorovo diskontinuum neobsahuje žádný bod z tohoto intervalu. Je tedy obsaženo v množině (0) (). 3 )Aritmetickýprostorpovažujememlčkyzaprostorlineárnísobvykloudefinicísoučtudvoubodů(vektorů)asoučinu bodu(vektoru) a čísla. 4

6 Každýzintervalů (i )rozdělmeopětnatřistejnědlouhéintervaly,prvníresp.třetíuzavřený intervaloznačme (i,0)resp. (i,),zatímco J(i )jeprostředníotevřenýinterval.jetedy (8) (0,0):= 0, 9, J(0):=( 9,2 9 ), (0,):= 2 9, 3, (,0):= 2 3,7 9, J():=(7 9,8 9 ), (,):= 8 9, ; snadnozjistíme,žezatímcopřitriadickémzápisučíselzintervalů (i,i 2 )nepotřebujemecifruna prvních dvou místech, cifra musí být na druhém triadickém místě čísel z intervalů J(0), J(). V n-tém kroku budeme mít uzavřené intervaly (9) (i,i 2,...,i n )= 0.(2i )(2i 2 )...(2i n ),0.(2i )(2i 2 )...(2i n )+3 n, kde(i,i 2,...,i n ) {0,} n,aotevřenéintervaly (0) J, J(i ), J(i,i 2 ),..., J(i,i 2,...,i n ); intervalyuvedenévřádcích(9)a(0)jsoudisjunktníajejichsjednocenímje 0,.Vdalšímkroku rozdělíme každý z intervalů(9) na tři stejně dlouhé intervaly; první a třetí jsou () (i,i 2,...,i n,0)= 0.(2i )(2i 2 )...(2i n ),0.(2i )(2i 2 )...(2i n )+3 n, (i,i 2,...,i n,)= 0.(2i )(2i 2 )...(2i n )+2 3 n,0.(2i )(2i 2 )...(2i n )+3 n, druhý je roven (2) J(i,i,...,i n )=(0.(2i )(2i 2 )...(2i n )+3 n,0.(2i )(2i 2 )...(2i n )+2 3 n ). Zatímco každý bod z prvního(resp. z druhého) intervalu v() lze napsat jako triadický zlomek, jehož (n+)-nícifraje0(resp.2),bodyzintervalu(2)musímít(n+)-nícifrurovnou. Jezřejmé,žeprokaždouposloupnost{i n } n=,kde i n {0,}prokaždé n,jebod(4)jedinýmbodem průniku (3) (i,...,i n ), n= takže Cantorovo diskontinuum lze napsat ve tvaru (4) = n, kde n := n= (i,...,i n) {0,} n (i,...,i n ). Čtenář, který zná definici a základní vlastnosti(jednorozměrné) Lebesgueovy míry µ, ihned vidí, že pro µ( n ),tj.prosoučetdélekvšechintervalů,jejichžsjednocenímje n,platírelace (5) µ( n )= ( 2 3 )n 0 pro n, znížplyne,že (6) µ( )=0. Cantorovo diskontinuum je přitom nespočetná množina, protože oborem hodnot funkce f, jejíž hodnotouvbodě(4)ječíslo (7) f(x):= jezřejměcelýinterval 0,.Ukažme,žefunkce fje(v )neklesající,tj.že(prokaždoudvojicibodů x,x z )platíimplikace n= i n 2 n, (8) f(x ) > f(x ) x > x. 5

7 Nechť (9) x =2 n= i n 3 n, x =2 n= kdekaždézčísel i n, i n jerovnobuď0nebo.zpředpokladu,že (20) f(x ) f(x )= n= i n 3 n, i n i n 3 n >0, zřejměplyne,žeprovhodné N Nje i n = i n pro n=,...,n ai N i N =.Podle(20)pakje (2) x x = 3 N ( + což jsme měli dokázat. Intervaly m= i ) m i m 3 m ( 3 N m= ) 3 m = 3 N 2 >0, (22) (,0), J, J(i ),..., J(i,...,i n ),..., (,+ ) se nazývají styčné k. Krajní body všech omezených styčných intervalů patří do Cantorova diskontinua anazývajísebody.druhu.protožejichjejenspočetněmnohoaprotože jenespočetnámnožina, obsahuje nespočetně mnoho bodů, které krajními body žádného omezeného styčného intervalu nejsou; tojsoutzv.body2.druhucantorovadiskontinua. 4 ) Styčné intervaly jsou nejen disjunktní, ale žádné dva(různé) z nich nemají ani krajní bod společný; z toho snadno plyne, že Cantorovo diskontinuum nemá žádné izolované body. Protože sjednocení všech intervalů(8) je(otevřená) množina hustá v R, je Cantorovo diskontinuum množina řídká(a uzavřená). Poznamenejmeještě,žerovnost µ( )=0lzedokázatitakto:Protože µ(j)= 3,protožeprokaždé n Nmákaždýinterval J(i,...,i n )délku3 n aprotožetěchtointervalůje2 n,jejejichcelkovádélka rovna (23) 3 n=0 ( 2 ) n=; 3 míra Cantorova diskontinua je rovna rozdílu míry(délky) intervalu 0, a součtu(23) měr všech intervalů J,tedyrovna0. Ještěněkolikslovkfunkci f:protožekrajníbodyintervalu Jlzenapsatbezužitícifryvetvaru (24) 3 = a 2 3 = , je (25) f( 3 )= n=2 2 n= 2 = f(2 3 ). Obecně:Krajnímibodystyčnéhointervalu J(i,...,i n )jsoubodytvaru (26) a:=0.(2i )...(2i n ) a b:=0.(2i )...(2i n ) ; protože k=n+ 2 k= 2 n, jezřejmě f(a)=f(b).vkrajníchbodechkaždéhoomezenéhostyčnéhointervalunabývátedyfunkce f stejné hodnoty; rozšíříme-li její definiční obor na celý interval 0, tím, že ji v každém omezeném styčném 4 )Pronásbude(zatím)výhodnějšípočítatbody0amezibody2.druhu;literaturanenívtomtoohledujednotná. Čtenářsnadnodokáže,žemezibody2.druhupatřínapř. 4 a

8 intervalu položíme rovnu hodnotě v krajních bodech tohoto intervalu, bude f neklesající v 0,. Protože oboremhodnot(původníirozšířené)funkce fjeinterval 0,,jetatofunkcespojitáv 0,. 5 ) Rozšířenáfunkce f: 0, na 0, senazývácantorovastupňovitáfunkce;schémajejíhografu jevyobrazenonaobr.. 6 )Funkce fv 0, neklesá;jepozoruhodnátím,žerostejenvbodechcantorova diskontinua: V levých(resp. pravých) krajních bodech omezených styčných intervalů zleva(resp. zprava), vbodě0zprava,vbodězlevaavostatníchbodech2.druhuzlevaizprava.ikdyžje µ( )=0,funkce fceléhosvéhopřírůstku f() f(0)=naintervalu 0, nabýváprávějennacantorovědiskontinuu Obr.. Schéma Cantorovy stupňovité funkce Délkagrafufunkce F : a,b Rsedefinujejakosupremumdélekaproximujícíchlomenýchčar: Každémudělení D:a=x 0 < x <...,x n = bodpovídálomenáčára,kterájesjednocenímúseček 5 )Kdybynebylaspojitávbodě x,bylobybuď f(x) f(x ) >0,nebo f(x+) f(x) >0;funkce f byvprvním případě nenabývala žádné hodnoty z intervalu(f(x ), f(x)), ve druhém případě žádné hodnoty z intervalu(f(x), f(x+)). 6 )Celýgrafnelzezpochopitelnýchdůvodůnakreslit; střídají sevněm(podobnějakosevr střídají racionální a iracionální čísla) stále kratší vodorovné úsečky s místy, kde f velmi rychle roste. 7

9 skrajnímibody(x k,f(x k )a(x k,f(x k )), k=,...,n.číslo (27) L(D):= n (xk x k ) 2 +(F(x k ) F(x k )) 2 k= jesoučtemdélekvšechtěchtoúsečekadélka L F grafufunkce F jedefinovánajakosupremumčísel (27), kde D probíhá množinu všech dělení intervalu a, b. Je-li F neklesající funkce, jsou její přírůstky nezápornáčíslaavdůsledkutohoje (28) L(D) n ((x k x k )+(F(x k ) F(x k )))=(b a)+(f(b) F(a)) k= prokaždé D,takžeiL F (b a)+(f(b) F(a)).ProCantorovufunkci fdostávámetedyodhad L f 2. Dělení (29) D n :0=x n,0 < x n, <... < x n,2 n+2= nechťseskládázbodů0aakrajníchbodůstyčnýchintervalů J,J(i ),...,J(i,...,i n ), (30) I n,k := x k,x k, k=,...,2 n+2, nechťjsouintervalydělení D n.lomenáčárapříslušnákdělení D n jesloženaz2 n+ šikmýchúseček (odpovídajícíchintervalům I n,k slichým k)az2 n+ vodorovnýchúseček(odpovídajícíchintervalům I n,k sesudým k).délkašikméúsečkyje (3) (x n,2k+ x n,2k ) 2 +(F(x n,2k+ ) F(x n,2k )) 2 F(x n,2k+ ) F(x n,2k )=2 n, aprotožetěchtoúsečekje2 n+,jesoučetdélekvšechšikmýchúseček.protožesoučetdélekvšech vodorovných úseček je roven (32) 3 (+(2 3 ) +( 2 3 )2 +...( 2 3 )n+ = ( 2 3 )n+, jedélkalomenéčáryvětšíneborovna+( (2/3) n+ ),cožjevýraz,kterýmápro n limitu2. Graf funkce f má tedy maximální možnou délku(rovnou 2). 8

10 . Topologické limity Definice..Je-li A n P pros.v.n,definujemeli A n jakomnožinuvšechbodů x P,jejichž každéokolí U(x)máneprázdnýprůnikseskorovšemi A n,als A n jakomnožinuvšechbodů x P, jejichžkaždéokolí U(x)máneprázdnýprůniksnekonečněmnoha A n ;prvníztěchtomnožinsenazývá topologickýlimesinferior,druhájetopologickýlimessuperiorposloupnosti {A n }.Je-liLi A n =Ls A n, značíme tuto množinu Lim A n, nazývámeji topologickálimita posloupnosti {A n } aříkáme,že posloupnost {A n }kní(topologicky)konverguje.(říkáme,žeposloupnostmnožin A n P(topologicky) konverguje nebo je(topologicky) konvergentní(v prostoru P), existuje-li její topologická limita.) Příklad.. Je-li () A 2n := ( 2n,0);( 2n,), A 2n:= ( + 2n,0);( + 2n,) prokaždé n N,je (2) Ls A n = (,0);(,) (,0);(,),Li A n =, Lim A 2n = (,0);(,),Lim A 2n = (,0);(,). A 2 n A 2 n Obr.2.Kpříkladu. Poznámka..Li A n,ls A n,lim A n jsoutopologicképojmy ). Poznámka.2.Vždyje Li A n Ls A n. Je-li {A nk }posloupnostvybranáz{a n },je Li A n Li A nk Ls A nk Ls A n.konverguje-litedy {A n }ka,konvergujekakaždájejívybranáposloupnost {A nk }. Poznámka.3.Je-li x n P (pros.v.n),jels x n množinavšechhromadnýchbodůposloupnosti {x n }.Posloupnost {x n }mátopologickoulimituprávětehdy,je-libuďkonvergentnívobvyklémsmyslu (načežlim x n =limx n ),nebonemá-ližádnýhromadnýbod(načežlim x n = ). RovnostLi x n = platíprávěvtěchtodvousituacích:)posloupnost {x n }nemážádnýhromadný bod(tj.ls x n = ),2)posloupnost {x n }máaspoňdvarůznéhromadnébody. Poznámka.4.Nechť A n provšechna n N.Ktomu,abybylo x Ls A n,jenutnéastačí, abyexistovalybody x n A n tak,že xjehromadnýmbodemposloupnosti {x n }(tj.abyexistovalybody x nk A nk (n < n 2 <...)tak,že x nk x);ktomu,aby x Li A n,jenutnéastačí,abyexistovaly body x n A n tak,že x n x. Věta..Li A n als A n jsouuzavřenémnožiny. Důkaz.Je-li A:=Li A n, x A,existujekekaždémuokolí U(x)bod y A U(x).Množina U(x) jepakiokolímbodu y A=Li A n,takže A n U(x) proskorovšechna n,tj. x A. )tj.invariantyhomeomorfníchzobrazení 9

11 PodobněproLs A n. Poznámka.5.Je-li A n B n,jeli A n Li B n,ls A n Ls B n. Poznámka.6.Li A n =Li A n,ls A n =Ls A n. Poznámka.7.Li A n Li B n Li(A n B n ) Ls(A n B n )=Ls A n Ls B n.důsledek:existují-li Lim A n alim B n,existujeilim(a n B n )=Lim A n Lim B n. Příklad.2.Jsou-li a bdvabodyzp apoložíme-li A 2n = B 2n = {a}, A 2n = B 2n = {b}, jeli A n Li B n =,kdežtoli(a n B n )={a,b};rovnostli A n Li B n =Li(A n B n )tedyobecně neplatí. Poznámka.8.Je-li A... A n...,jelim A n = n= A n.je-li A... A n...,je Lim A n = n= A n. Poznámka.9.Je-li A n M,kde M P jeuzavřenámnožina,jetéžls A n M(avdůsledku tohoili A n M). Věta.2.Nechť Pjekompaktní,nechť A n Pprovšechna n Nanechť U(A)jelibovolnéokolí množiny A:=Lim A n ;pakje A n U(A)pros.v.n. Důkaz. Kdybytomutaknebylo,existovalybybody x nk A nk U(A).Kdybychomvybrali konvergentníposloupnost x nkj slimitou x,byloby x P U(A)azároveň x Ls A n = A,cožje(podle poznámky.4) nemožné. Poznámka.0.Je-li P kompaktníprostoraje-li A n P,diam A n r >0provšechna n,je diamls A n r. 2 ) Důkaz. Vkaždém A n existujídvabody x n a x n tak,že ρ(x n,x n ) r /n.vybereme-li posloupnosti {x n k }a{x n k }konvergujícíkx resp.kx,je x x Ls A n a ρ(x,x ) r. Věta.3.Je-li P prostorsespočetnoubází,lzezkaždéposloupnostimnožin A n P vybratposloupnost(topologicky)konvergentní. 3 ) Důkaz.Buď U,U 2,...,U n,...báze P.Položme A n := A napředpokládejme,žeprojisté k jsousestrojenymnožiny A k n, n N.Jsoudvěmožnosti: )Existuje-liposloupnost {A k n i } i= vybranáz{ak n } n=,pronižje U k Ls A k n i = prokaždé i, položíme A k+ i := A k n i ; 2)jestližetakováposloupnostneexistuje,položíme A k+ i := A k i prokaždé i. Posloupnost {A k+ i } i= jevoboupřípadechvybránazposloupnosti {Ak i } i=. Dokažme,že diagonální posloupnost {A n n } n= konverguje:jestliže x Li An n,existuje U ktak,že x U k aprovhodnouvybranouposloupnost {A ni n i }je U k A ni n i = pro i=,2,...protože {A ni n i }je (ažsnadnakonečněmnohoprvníchčlenů)vybránaz{a k n} n=,nastalpři k-témkrokupřípad),takže U k Ls A k+ n = provšechna n.protoževšak {A n n }jevybrána(ažsnadnakonečněmnohoprvních členů)z{a k+ n },jetéž U k Ls A n n=,takže x Ls A n n. Dokázalijsmeimplikaci x Li A n n x Ls A n n,tj.inkluzils A n n Li A n n;lim A n ntedyskutečně existuje. Příklad.3.Snadnosemůžestát,žezdanéposloupnosti {A n }nelzevybratžádnoutopologicky konvergentníposloupnostsneprázdnoulimitou;stačí,abylim A n =.Dvajednoduchépříklady: P= R (takže Pjeúplný,aleneomezenýprostor)aA n := {n},nebo P=(0,)(takže Pjeneúplný,aleomezený prostor)aa n :=( n,,). Anidodatečnýpředpoklad,že Pjeúplnýprostoražemnožina n= A njeomezená,všaknestačí 4 ) ktomu,abyzposloupnostimnožin A n P bylomožnévybratposloupnostsneprázdnoulimitou:jeli P např.hilbertůvprostorvšechnekonečnýchposloupností {a n }reálnýchčísel,proněžje n= a2 n konvergentní řada, v němž je norma definována rovností ( /2, (3) {a n } := an) 2 2 )diam(m)jeprůměrmnožiny M.diam( ):=0,proneprázdnou Mjediam(M):=sup{ρ(x,y); x,y M}. 3 )Limitatétovybranéposloupnostimůžeovšembýtprázdná. 4 )narozdílodkompaktnostiprostoru P vizpoznámku.2 n= 0

12 aje-li e n posloupnost,jejíž n-týčlenje,zatímcoostatníčlenyjsounulové,je e m e n = 2prokaždé dvaindexy m n,takžeposloupnost {e n }nemážádnýhromadnýbod.zposloupnostijednobodových množin A n := {e n }nelzevybratžádnou(topologicky)konvergentníposloupnostsneprázdnoulimitou, protoželim A n =. Poznámka..VprostorusespočetnoubázíjeLs A n = Lim A nk,kdevpravosesjednocujepřes všechny(topologicky)konvergentníposloupnosti {A nk }vybranéz{a n }. Důkaz. Pravástranajepodlepoznámky.2obsaženavlevé.Je-li x Ls A n,existujípodle poznámky.4body x nk A nk tak,že x nk x.zposloupnosti {A nk }lze(podlevěty.3)vybrat konvergentníposloupnost {A nkj };znamená-li Ajejílimitu,je x A. Poznámka.2.Je-li P kompaktníprostorajsou-li A n P neprázdnémnožiny,jelim A n, pokud limita vlevo existuje. Důkaz. Je-li A:=Lim A n, x n A n,jekaždýhromadnýbod xposloupnosti {x n }obsaženva, a vzhledem ke kompaktnosti prostoru alespoň jeden hromadný bod existuje.

13 2. Souvislé prostory Definice2..Říkáme,žemnožiny A P, B Pjsouoddělené,je-li A B= =A B. Poznámka2..Je-lijednazmnožin A,Bprázdná,jsoumnožiny A,Boddělené.Každýprostormá protorozkladnadvěoddělenémnožiny;rozkladytvaru P= P ap= Psenazývajítriviální. Definice 2.2. Říkáme, že prostor P je souvislý, má-li jen triviální rozklad na dvě oddělené množiny. Říkáme, že prostor P je nesouvislý, není-li souvislý. Nesouvislý je tedy takový prostor, který má aspoň jeden netriviální rozklad na dvě oddělené části. Poznámka2.2.Je-li P= A B,jsoumnožiny A,Boddělené,právěkdyžjsoudisjunktníabuďobě otevřené,nebooběuzavřené. ) Věta2..Jsou-limnožiny M P, N P buďoběuzavřené,nebooběotevřené,jsoumnožiny A:= M N, B:= N Moddělené. Důkaz. Abychomukázali,že A B=,pišme A B= M (P N) N (P M) M P N N (P M). Je-limnožiny M,Nuzavřené,je M= Mavýrazza jeroven M P N N (P M)=.Jsou-li množiny M,Notevřené,jemnožina P Nuzavřenáavýrazza jerovenm (P N) N (P M)=. Podobněsedokážerovnost A B=. *** Předpokládám,žečtenářznázákladnívětyosouvislýchprostorech(viznapř.[6]nebo[7])auvedu proto jen některá tvrzení, která se v běžných učebnicích obvykle nevyskytují. Věta2.2.Nechť Cjesouvislápodmnožinasouvisléhoprostoru P.Je-li P C= A B,kde A, B jsouoddělenémnožiny,jsoumnožiny A C, B Csouvislé.Je-li Cnavícuzavřená,jsouimnožiny A C, B Cuzavřené. Důkaz. Protožepřípad C= jetriviální,předpokládejme,že C,adokažmetvrzenívěty např.promnožinu A C;promnožinu B Cjedůkazzcelaanalogický.Nejdřívesouvislost:Nechť A C= D E, kde D, Ejsouoddělenémnožiny.Protože Cjesouvislá,jeobsaženabuďvD,nebovE;bezújmyna obecnostilzepředpokládat,že C D.Pakje D ae A,aprotožemnožiny A, Bjsouoddělené, platítotéžomnožinách E, B,atedyiomnožinách E, B D.Protože P= A B C= B D E, protožeprostor Pjesouvislýaprotože B D,je E=. A Cjetedysouvislámnožina. Předpokládejme nyní navíc, že množina C je uzavřená. Potom je C A=C A=C A=(C A) (A B C)=[(C A) (C A)] [(C A) B]=C A, cožukazuje,že C Ajeuzavřenámnožina. Věta2.3.Nechť P = M N anechťmnožiny M, N jsoubuďoběuzavřené,nebooběotevřené. Jsou-lioběmnožiny M Na M Nsouvislé,jsousouvisléimnožiny Ma N. Důkaz. Vevětě2.2položme A=M N, B= N Ma C= M N.Množiny A, Bjsoupak podlevěty2.oddělené,takžemnožiny A C= M, B C= Njsoupodlevěty2.2souvislé. *** Definice 2.3. Oblastí prostoru P se nazývá každá jeho souvislá otevřená podmnožina. Příklady.VRjsouoblastmijenotevřenéintervalyaprázdnámnožina.OblastmivR 2 jsounapř. otevřený kruh a otevřený(dvojrozměrný) interval,(otevřená) polorovina,(otevřený) pás(mezi dvěma rovnoběžkami),(otevřený)úhel,(otevřené)mezikruží,množina R 2 Z,atd.VR 3 jsouoblastminapř. )Je-li P = A Bamnožinyvpravojsoudisjunktní,jsouoběotevřené(uzavřené),právěkdyžjsouoběuzavřené (otevřené). Prostor P je tedy nesouvislý, právě když má netriviální rozklad na dvě obojetné množiny. 2

14 (otevřená)koule,krychle,poloprostorneboanuloid(torus),alenapř.imnožinar 3 A,kdeAjesjednocení všech přímek rovnoběžných s osou z a protínajících rovinu xy v bodech s celočíselnými souřadnicemi. Definice 2.4. Komponentou prostoru P nazýváme každou maximální souvislou podmnožinu prostoru P(tj.souvisloumnožinu M P,pronižplatí:Je-li M N Paje-li Nsouvislá,je N= M). Poznámka 2.3. Snadno nahlédneme, že platí tato tvrzení:. Pojem komponenty je(stejně jako pojem oblasti) topologický. 2. Dvě různé komponenty prostoru P jsou disjunktní a prostor P je sjednocením všech svých komponent. 3.Každásouvislámnožina A Pječástíněkterékomponentyprostoru P. 4. Komponenty prostoru P jsou vždy uzavřené množiny(neboť je-li M souvislá, je i M souvislá). 5. Komponenty obecně nejsou otevřené.(příklad. Komponentami prostoru Q všech racionálních čísel jsou právě všechny jeho jednobodové části; žádná z nich však v něm není otevřená.) 6.Je-li Gnapř.otevřenápodmnožinaprostoru R n,jsouvšechnyjejíkomponentytakéotevřené v G,tedyivR n.(důkaz.je-li Hkomponentouotevřenémnožiny G R n aje-li x H,existuje ε >0 tak,že U(x,ε) G.Protožetotookolíjesouvislé,jesouvisláimnožina H U(x,ε) G;protože Hje maximálnísouvisláčástmnožiny G,je U(x,ε) H.) Označení.Prokaždé x Poznačímekomp x Pkomponentuprostoru Pobsahujícíbod x. *** Definice2.5.Je-li ε >0,nazýváme ε-řetězemvp každoukonečnouposloupnostbodů a i P, 0 i n, n N,pronižje ρ(a i,a i ) < εpro i=,...,n;je-li p=a 0, a n = q,říkáme,žetentořetěz body p,q(v P)spojuje.Říkáme,žeprostor Pje ε-sřetězený,jestližeprokaždédvabody p P, q P existuje ε-řetězspojující p, qvp.prostorsenazývásřetězený,je-li ε-sřetězenýprokaždé ε >0. Příklad 2.. Množina všech celých čísel je ε-sřetězená pro každé ε >. Množina Q všech racionálních číseljesřetězená.množina {n 2 ; n N}není ε-sřetězenáprožádné ε >0. Věta 2.4. Souvislý prostor je sřetězený. Kompaktní sřetězený prostor je souvislý. Důkaz..Snadnonahlédneme,žeje-li p P, ε >0,jemnožinavšechbodů x P,kterélze spojitsbodem p Pnějakým ε-řetězembodůzp,obojetná;je-liprostor Psouvislý,jetedyrovna P. 2.Je-li P kompaktníanesouvislý,je P = A B,kde A, Bjsoukompaktníneprázdnémnožiny. Potomvšakje ε:= ρ(a,b) >0aprostor Pzřejměnení ε-sřetězený. Věta2.5.Nechť Pjekompaktníprostor,nechť A n Pjsou ε n -sřetězenémnožinyanechť ε n 0. Existuje-liLim A n,jetosouvislámnožina.obecněji:je-lili A n,jels A n souvislámnožina. Důkaz..Předpokládejme,žemnožina A:=Lim A n nenísouvislá;protožeje(podlevěty.)kompaktní,existujíneprázdné,disjunktníakompaktnímnožiny M,Ntak,že A=M N.Pakje r:= ρ(m,n) >0amnožina U:= U(M, 3 r) U(N, 3r)jeokolímmnožiny A;zvěty.2vyplývá,žepro skorovšechna nje A n U.Zpodmínky A=Lim A n dáleplyne,žeproskorovšechna nje A n U(M, 3 r) A n U(N, 3 r). Vopačnémpřípaděbytotižexistovalavybranáposloupnost {A nk },jejížvšechnyčlenybybylydisjunktní např.su(m, 3 r),atotéžbypakplatiloipromnožinu A=Lim A n k.ztohobyvšakplynulo,že M= spor.protoževzdálenostmnožin U(M, 3 r), U(N, 3 r)je 3 r,musíproskorovšechna nbýtiε n 3 r, takže není splněn jeden z předpokladů věty. 2. Podle poznámky. je Ls A n = Lim A nk, kdevpravosesjednocujepřesvšechnykonvergentníposloupnostivybranéz{a n }.Každýsčítanecjepodle toho,cojsmejiždokázali,souvislý,aprotožekaždýobsahujeneprázdnoumnožinuli A n (vizpoznámku.2), je i celé sjednocení vpravo souvislé. *** Definice 2.6. Říkáme, že prostor P jenesouvislýmezimnožinami A P, B P, je-li P = M N,kde M, N jsouoddělenémnožiny,přičemž A M, B N.Vopačnémpřípaděříkáme,že 3

15 prostor P jesouvislýmezi A,B.Říkáme,žemnožina D Proztíná Pmezimnožinami A,B,je-lipodprostor P Dnesouvislýmezi A,B.Říkáme,že D Proztíná P,existují-lineprázdnémnožiny A P, B Ptak,žeprostor Pjemezimnožinami A,Bsouvislýajehopodprostor P Dnesouvislý. Příklad 2.2. Souvislý prostor P je souvislý mezi kterýmikoli svými body p, q. Jednotková kružnice D roztínárovinur 2,protožejiroztínánapř.mezipočátkem pakterýmkolibodem q,pronějžje ρ(p,q) >. Podprostor R 2 Djemezitakovýmidvěmabodynesouvislý. Věta2.6.Roztíná-li D P prostor P mezimnožinami A,B,existujeuzavřenámnožina D D, kterátéžroztíná Pmezi A,B. Důkaz. Je Položíme-li P D=M N, kde M N= =M N, A M, B N. M = {x P; ρ(x,m) < ρ(x,n)}, N = {x P; ρ(x,m) > ρ(x,n)}, D = P (M N ), jem M,N NamnožinyM,N jsoudisjunktníaotevřené 2 ),takžemnožinad Djeuzavřená. Poznámka2.4.Roztíná-liuzavřenámnožina Dprostor Paje-limnožina QhustávP,existujíbody p Q, q Qtak,že Droztíná Pmezi paq. Důkaz. Podlepředpokladuexistujíneprázdnémnožiny A,B,mezinimižjepodprostor P D nesouvislý,takže P D=M N,kde M N = M N =, A M, B N.Množiny M,N jsou neprázdnéaotevřené;protožemnožina QjehustávP,existujíbody p Q M, q Q N,aDzřejmě roztíná Pmezi p,q. *** Věta2.7.Nechť Pjesouvislýprostorsespočetnoubázíanechť a P, b P.Nechť Sjedisjunktní systémsouvislýchuzavřenýchpodmnožinprostorup,znichžkaždároztínápmezibody a,b.je-li C S, buď () P C= M(C) N(C), kdemnožiny M(C)aN(C)jsouoddělené, a M(C), b N(C). 3 )Položíme-lipak A(C):= C M(C), platí tato tvrzení: I.Je-li C S, D S, C D,je M(C) M(D)abuď A(C) M(D) IntA(D), nebo A(D) M(C) IntA(C). II.Množinám C Slzepřiřaditindexyležícímivintervalu(0,)tak,abyprokaždoudvojici x,y užitých indexů platila implikace (2) x < y A(C x ) M(C y ) IntA(C y ) A(C y ). Píšeme-lipakkrátce A x = A(C x ), M x = M(C x ), N x = N(C x ),platíprotéměřvšechnyindexy y tyto identity: (3) IntA y = x<y IntA x = x<ya x = M y, (4) A y = x<ya x = M y =IntA y, (5) A y = IntA z = z. z>y z>ya III.Protéměřvšechna C Splatí: 2 )Otevřenostplynezespojitostifunkcí ρ(x,m)aρ(x,n). 3 )Takovýchrozkladůmnožiny P Cnadvěoddělenémnožinymůžebýtvíce;vyberemelibovolně,alepevnějednu dvojici.vzhledemktomu,žemnožina Cjeuzavřená,jsoumnožiny M(C),N(C)otevřené(votevřenémnožině P C,tedy ivp). 4

16 a)inta(c)=m(c), H(A(C))=C; b) C= H(M(C))=H(N(C)); c)existujerostoucíposloupnostmnožin D n Saklesajícíposloupnostmnožin E n Stak,že (6) C= M(D n ) N(E n )= A(D n ) P A(E n ); n= d)množiny M(C)aN(C)jsousouvislé. Důkaz. I.Je-li C S, D S, C D,jebuď D M(C),nebo D N(C),neboť Djesouvislá podmnožinasjednocení M(C) N(C)oddělenýchmnožin M(C), N(C).Ukažmenejdříve,že n= (7) D M(C) A(D) M(C). Zinkluze D M(C)azrovností (8) P= C M(C) N(C)=D M(D) N(D) plyne, že (9) P=(C M(C) M(D)) (N(C) N(D)). Protože C P D= M(D) N(D),jebuď C M(D),nebo C N(D);kdybyvšakbylo C M(D), byloby P=(M(C) M(D)) (N(C) N(D)),cožnenímožné,protožeprostor Pjesouvislýamnožiny M(C) M(D), N(C) N(D)jsouneprázdnéaoddělené. Jetedy C N(D);ztétoinkluze,zpremisyimplikace(7)azidentit(8)plyne,že (0) P= C D M(C) N(D) (M(D) N(C))=(M(C) N(D)) (M(D) N(C)), kdemnožiny M(C) N(D), M(D) N(C)jsouoddělené,přičemž a M(C) N(D),takžetatomnožina neníprázdná.zesouvislostiprostoru P plyne,že M(D) N(C) =,tedy M(D) P N(C) = M(C) C;protože C N(D) C M(D)=,jedokonce M(D) M(C).Protože D M(C),je A(D)=D M(D) M(C),cožjezávěrimplikace(7). Protožemnožina M(C) A(C)jeotevřená,ječástíIntA(C);dokázalijsmetedyimplikaci ( ) D M(C) A(D) M(C) IntA(C). Podobně se dokáže implikace ( ) C M(D) A(C) M(D) IntA(D). Protožepremisajednéztěchtoimplikacíplatí,platíipříslušnýzávěr.Rovnost M(C)=M(D)by spolus( )vedlakinkluzi A(D) M(D),spolus( )kinkluzi A(C) M(C),tedyvoboupřípadech kesporu.tímječástivěty2.7dokázána. II.Zvolmepevněnějakouspočetnoubázi Bprostoru Pasestavmejejíprvkydoposloupnosti {U n } tak,abyprokaždé U Bbylo U= U n pronekonečněmnohoindexů n.prokaždoumnožinu C Stvoří pakindexy n,proněžje U n M(C),jistourostoucíposloupnost {n k };číslo (2) x:= 2 n k k= lzenapsatijakodyadickýzlomektvaru0.α α 2...α n...,kde α n jerovno,nebo0podletoho,zdalije U n M(C),nebone.Protožeprožádné C Sneníani M(C)=,ani M(C)=P,existuje U Btak, že U M(C),aU Btak,že U M(C);ztohoplyne,ževdyadickémzlomkujenekonečněmnoho ciferrovnýchanekonečněmnohociferrovných0.jetedy x (0,)acifryzlomku0.α α 2...α n... jsoujehohodnotou xurčenyjednoznačně.dálejepatrné,žeposloupnosti {n k }, {n k }odpovídajícídvěma různýmmnožinám C S, D Sjsourůzné,protože C D M(C) M(D)a U nk = M(C) M(D)= k= k= U n k ; 5

17 vdůsledkutohoječíslo(2)různéodčísla (2 ) x = 2 n k k= Je-li C S,je-li M(C)= k= U n k aplatí-li(2),budememnožinu C značit C x ;označeníje korektní, protože podle toho, co jsme řekli, index x za uvedených podmínek množinu C jednoznačně identifikuje.položmeještě M x = M(C x ), A x = A(C x )an x = N(C x ). Jsou-li x,ydvarůznéindexy,jepodlečástiibuď A x M y IntA y,nebo A y M x IntA x. Zinkluze A x M y plyne,že M x M y M x.každé U n obsaženévm x jeobsaženoivm y,posloupnost {n k }příslušnákc x jevybránazposloupnosti {n k }příslušnékc y;protože M x jepravoučástímnožiny M y,existuje U n M y tak,že U n M x,atakovýindex njerovennekonečněmnohaindexům n k,ale nenírovenžádnémuzindexů n k.ztohozřejměplyne,že x < y.zinkluzí A y M x IntA x byse obdobně odvodila nerovnost y < x. Je-litedy x < y,je A x M y IntA y ;protožeinkluzeinta y A y jezřejmá,jetímimplikace(2) dokázána. Užívejmezavedenáoznačeníamějmenapaměti,žemnožiny M x,n x jsoudisjunktníaotevřené, zatímcomnožiny A x jsouuzavřené.protože. (3) jetéž (4) (5) x < y IntA x A x M y IntA y A y, y < z IntA y A y M z IntA z A z, IntA x x<ya x M y IntA y A y, x<y IntA y A y M z IntA z z. z>y z>y z>ya Je-liIntA y x<y IntA x,zvolmevtétomnožiněbod wapaknajděmečíslo n(y) Ntak,že w U n(y) IntA y ;protože x < y w / IntA x,platíimplikace x < y U n(y) IntA x. Ukažme,žepřiřazeníčísla n(y)indexu yjeprosté.je-li n(y )číslopřiřazenépopsanýmzpůsobem indexu y y,prokterýjeinta y x<y IntA x,jebuď y > y,nebo y < y.vprvnímpřípaděje U n(y) IntA y,zatímco U n(y ) IntA y,vedruhémpřípaděje U n(y ) IntA y,zatímco U n(y) IntA y ; voboupřípadechjeproto U n(y) U n(y ),tedyin(y) n(y ). Získali jsme tedy prosté zobrazení indexů y, pro něž neplatí rovnost (6) IntA y = x<y IntA x, do množiny N; takových indexů je tedy jen spočetně mnoho. Jinými slovy: Rovnost(6) platí pro téměř každýindex y.vzhledemkinkluzím(4)jezřejmé,žezníplynourovnosti (6 ) IntA y = M y = x<ya x ; tím je dokázáno(3). Podle(4)je x<y A x A y ;protože A y jeuzavřenámnožina,jedokonce x<y A x A y.neplatí-li tedy(pro některé y) rovnost (7) A x = A y, x<y existuje n(y) Ntak,že U n(y) A y =U n(y) x<ya x ; 6

18 tímspíšepakje U n(y) A x = provšechna x < y. Podobně jako nahoře dokážeme, že přiřazení čísel n(y) indexům y, pro něž neplatí(7), je prosté: Je-li y yindex,prokterýneplatírovnostanalogická(7),jebuď y > y,načež U n(y ) A y = U n(y) A y, neboje y < y,načež U n(y) A y = U n(y ) A y.zestejnýchdůvodůjakonahořeztohoplyne,že rovnost(7) platí pro téměř všechny indexy y. Protožepodle(4)a(7)je platí(4)taképrotéměřkaždýindex y. x<ya x M y IntA y = A y = x<y Předpokládejme nyní, že pro některý index y neplatí rovnost (8) A y = z>ya z ; A x, protože výraz vlevo je podle(5) obsažen v průniku vpravo, znamená to, že existuje bod w tohoto průniku, kterýneležíva y.protože A y jeuzavřenámnožina,existuje n(y) Ntak,že U n(y) jedisjunktnísa y ; toto U n(y) všakprotínákaždouzmnožin A z,kde z > y. Přiřazeníčísel n(y)indexům y,proněžneplatí(8),jeopětprosté:je-li y yindex,pronějž neplatírovnostanalogická(8),jebuď y > y,načež U n(y) A y =U n(y ) A y,neboje y < y,načež U n(y) A y = U n(y ) A y. Podobnějakonahořeztohoplyne,žerovnost(8)platíprotéměřvšechnyindexy y.z(5)a(8) jeihnedpatrné,žei(5)platíprotéměřkaždýindex y.tímjedokončendůkazčástiiivěty2.7. III a).podle(3)je IntA(C) = M(C)protéměřvšechna C S; vdůsledkutohoplatí totéž orovnostech H(A(C))=A(C) IntA(C)=(C M(C)) M(C)=C. IIIb).Podle(4)je M(C)=A(C)protéměřkaždé C S;ztohoplyne,že H(M(C))=M(C) M(C)=A(C) M(C)=C.Protožekaždámnožinamátoužhranicijakojejídoplněkaprotože N(C)= P A(C),jeiH(N(C))=Cprotéměřkaždé C. IIIc).Podle(3) (5)jenejen (9) C y = H(A y )=A y IntA y = z>y M z A x = M z (P N x )= x<y z>y x<y z>y M z x<yn x protéměřkaždýindex y,aletaké (20) C y = A z IntA x = z>y x<y z>y A z (P P A x )= x<y z>y A z x<yp A x. Vmnožině Y všechindexůtvoříindexy y,knimžneexistujerostoucíposloupnostindexů x n tak,že x n y,spočetnoumnožinu,protože)kekaždémutakovému yexistujeinterval(a,y)disjunktnísy, 2) intervaly přiřazené různým indexům jsou disjunktní a 3) každý systém disjunktních jednorozměrných intervalů je spočetný. Zcela analogicky se zjistí, že indexy y, k nimž neexistuje klesající posloupnost indexů z n tak,že z n y,tvoříjenspočetnoumnožinu. Protéměřkaždýindex yexistujetedyrostoucíposloupnostindexů x n tak,že x n y,aklesající posloupnostindexůz n tak,že z n y.vzhledemk(3)jsoupakoběposloupnosti{m zn }, {N xn }klesající, takže (2) ztohoaze(7)a(8)plyne,že M z = M zn, z>y k= N x = N xn ; x<y k= (22) C y = M zn N xn = A zn P A xn. k= k= 7

19 Položíme-li tedy (23) D n := C zn, E n := C xn, dostaneme tvrzení III c). AbychomdokázalitvrzeníIIId),zvolmeindex ytak,abyplatilatvrzeníiiia) c),adokažmenapř. souvislostmnožiny M y ;souvislostmnožiny N y sedokážezcelaanalogicky. 4 ) Předpokládejme,že M y = M M,kde M,M jsouoddělenémnožiny,anechťnapř. a M. Pakjsouoddělenéimnožiny M N y,m,takžesjednocení M N y C y jepodlevěty2.2souvislé; podobnějeim N y C y souvislámnožina.protože a b M N y C y aprotožekaždázmnožin E n roztíná P mezi aab,je E n (M N y C y ).Protože E n = C xn,kde x n < y,je E n M y, takže E n (C y N y )= ;vdůsledkutohoje E n M.Protožemnožina E n M y = M M je souvislá,protožemnožiny M,M jsouoddělenéaprotože E n M,je E n M,tedy E n M =. Protože P C y = M (M N y ),kdemnožinyvpravojsouoddělené,jemnožina M C y souvislá; protožejedisjunktníse n (atedyobsaženávesjednoceníoddělenýchmnožin M(E n ),N(E n ))aprotože podle(22)je C y N(E n ),je M C y N(E n ),atímspíšeje M N(E n ).Protože z n > y,je M M y A y M(D n )(prokaždé n),takže M n= M(D n) N(E n )=C y (podle(6)).protože C y M =,je M = ;tímjesouvislostmnožiny M y dokázána. Spolustímjedokázánaicelávěta2.7. Věta 2.8. Nechť S je disjunktní systém souvislých uzavřených podmnožin souvislého separabilního prostoru P.Pakprotéměřkaždouzmnožin C Sjemnožina P Csjednocenímdvoudisjunktních oblastí M,N,jejichžspolečnouhranicíje C. Důkaz. Nechťmnožinavšechčlenůposloupnosti {p n }jehustávp.prokaždé C Sje P C= M N,kde M,Njsouneprázdnéotevřenédisjunktnímnožiny;existujítedyindexy i,jtak,že p i M, p j N; Cpakroztíná P mezibody p i,p j.prokaždoudvojiciindexů i,jnechť S i,j znamená systémvšechmnožin C S,kteréroztínají Pmezibody p i,p j ;systém Sjepakzřejměsjednocenívšech systémů S i,j. PodlečástíIIId)aIIIb)věty2.7mátéměřkaždázmnožin C S i,j oběvlastnostiuvedenévtvrzení věty;protožepodsystémůs i,j jejenspočetněmnoho,majíuvedenédvěvlastnostitéměřvšechnymnožiny C S. Označení.Je-li Pseparabilnísouvislýprostoraje-li a P, b P,označíme S(a,b)množinuvšech bodů x P,kteréroztínají P mezi a,b. 5 ) Zřejmýmdůsledkemvět2.7a2.8jetototvrzení: Věta2.9.Nechť a,bjsoudvarůznébodyseparabilníhosouvisléhoprostoru P;pakplatítatodvě tvrzení:.bodům p S(a,b)lzepřiřaditindexyz(0,)tak,žeprokaždétřiindexy x < y < zroztínábod p y prostor Pmezibody p x a p z. 2.Definujeme-li S jakomnožinuvšechbodů p P,kteréneroztínají P,aS 2 jakomnožinuvšech bodů p P,proněžje P psjednocenímdvoudisjunktníchoblastí M(p),N(p),jejichžspolečnouhranicí je p,je P (S S 2 )spočetnámnožina. Věta2.0.(Lennes.)Je-li Psouvislýseparabilníprostoraplatí-liprodvabody a bzprovnost (24) P= S(a,b) a b, existuje prosté spojité zobrazení f prostoru P na interval 0,. Důkaz.Přiřaďmekaždémubodu p S(a,b)indexpodlečástiIIvěty2.7,označme α,βinfimum a supremum množiny všech těchto indexů a užívejme tamější označení. Dokažme(sporem),žežádnýindex xnenírovenani α,ani β:předpokládejme,že x=α;pakje M(p α ) p α = A(p α ) M(p y ) provšechna y α, 4 )Vpůvodnímrozkladu P C= M Nnenížádnýpodstatnýrozdílmezimnožinamivpravo. 5 )Množiny S(a,b), S(a,b) a bjsouzřejměinvariantnívůčihomeomorfnímzobrazením. 8

20 tj.provšechna p y S(a,b) p α.protožeprožádnýindex ynení p y / M(p y ),plyneztoho,žeprožádný index ynení p y M(p α ),tj.že M(p α ) S(a,b)=.Podle(24)jetedymnožina M(p α )částídvoubodové množiny {a, b}, což není možné, protože je neprázdná a otevřená(a prostor P je souvislý). Podobněsedokáže,žežádnýindex xneníroven β. Definujeme-lifunkci g: P α,β podmínkami g(a):= α, g(p x ):= x prokaždýindex x, g(b):= β, jezřejmé,žefunkce gjeprostá.ktomu,abychomdokázali,žejespojitá,stačíukázat,ževzoryintervalů α,γ)a(γ,β jsouprokaždé γ (α,β)množinyotevřenévp.tovšakplynezidentit g ( α,γ))=m(p γ ), g ((γ,β )=P A(p γ )=N(p γ ). Protožezobrazení gjespojitéaprotožeprostor Pjesouvislý,je g(p)souvisláčástintervalu α,β obsahujícíbody α,β,takže g(p)= α,β.složíme-lizobrazení gsfunkcí h(x):=(x α)/(β α),získáme prostéspojitézobrazení f:= h gprostoru Pnainterval 0,. Definice 2.7. Obloukem nazveme každou množinu homeomorfní s intervalem 0,. Poznámka2.5.Jsou-li f,gdvěhomeomorfnízobrazeníintervalu 0, natýžoblouk L,je g f homeomorfní zobrazení intervalu 0, na sebe, tedy spojitá ryze monotónní funkce. Z toho je patrné, že {f(0),f()}={g(0),g()};obrazmnožiny {0,}krajníchbodůintervalu 0, nezávisítedynavolbě homeomorfního zobrazení intervalu 0, na L. Je proto korektní tato definice: Definice2.8aoznačení.Krajnímibodyoblouku Lnazvemebody f(0),f(),kde f je(jakékoli) homeomorfnízobrazeníintervalu 0, na L.Obloukskrajnímibody a,bbudemeznačit ab. 6 ) Věta2..Ktomu,abykompaktníasouvislýprostor P bylobloukem ab,jenutnéastačí,aby platila rovnost (25) P= S(a,b) a b. 7 ) Důkaz. Je-li P = a,b,rovnost(25)zřejměplatí;protožemnožinavpravojeinvariantem homeomorfních zobrazení, platí rovnost i pro každý oblouk ab. Obrácené tvrzení plyne ihned z věty 2.0 a z toho, že spojité prosté zobrazení kompaktního prostoru je homeomorfní. Následující příklad ukazuje, že ve větě 2. nelze vynechat předpoklad kompaktnosti. Příklad2.3.Nechť Pjegraffunkcesin(/x),0<x,kněmužjepřidánbod a=(0,0).množina Pjepaksouvislá,aleneníobloukem,aklademe-li b=(,sin),je P= S(a,b) a b. Tento příklad zároveň ukazuje, že zobrazení f ve větě 2.0 nemusí být homeomorfní. 6 )Totooznačeníoblouksamozřejměneidentifikuje;jejenzkratkouslovníhospojení obloukskrajnímibody a,b. Jistějepatrné, žeoblouky ijehokrajníbodyjsouinvariantyhomeomorfníchzobrazení. Vliteratuřese krajníbody nazývajíspíše koncovýmibody (end-points);tatoterminologiesenámnehodí,protožeuintervaluatzv.orientovaného oblouku potřebujeme mluvit o jeho počátečním a koncovém bodě(což ovšem nejsou topologické pojmy). 7 )Obloukyjsoutedymezisouvislýmikompaktnímiprostory P charakterizoványtím,ževnichexistujítakovédva body a,b,žekaždýjinýbodzp roztíná P mezinimi. 9

21 3. Lokálně souvislé prostory Definice3..Říkáme,žeprostor P jelokálněsouvislývbodě p P,je-li p Int(komp p U(p)) prokaždéokolí U(p)bodu p.prostor Psenazýválokálněsouvislý,je-lilokálněsouvislývkaždémbodě p P. Poznámka 3.. Pojem lokální souvislosti v bodě a lokální souvislosti je zřejmě topologický. Ekvivalentníformulacedefinice3.:Prostor P jelokálněsouvislývbodě p P,právěkdyžplatí některá z těchto podmínek:.prokaždéokolí U(p)existujeokolí U (p) komp p U(p). 2.Kekaždému ε >0existuje δ >0asouvislámnožina M U(p,ε)tak,že U(p,δ) M. 3.Existujílibovolněmalé )souvislépodmnožinyprostoru P,kteréobsahujíbod puvnitř. 4.Existujílibovolněmalésouvisléuzavřenépodmnožinyprostoru P,kteréobsahují puvnitř. 2 ) Poznámka 3.2. Jak ukazuje následující příklad, neplatí toto tvrzení: Je-li prostor P lokálně souvislý vbodě p P,existujílibovolněmalásouvisláokolíbodu p. Příklad3..Nechť P R 2 seskládázúsečkyspojujícíbody(0,0)a(,0)azúsečekspojujícíchbod (2 n,0)sbody(2 (n+),2 (n+k) ),kde k=,2,3,..., n=0,,2,... Prostor P je pak lokálně souvislý v bodě(0, 0), ale každé souvislé okolí tohoto bodu obsahuje celou úsečku 0, osyx Obr.3.Kpříkladu3. Poznámka 3.3. Lokální souvislost prostoru P v bodě p je lokální vlastnost, tj. závisí jen na libovolně malých okolích bodu p. Odtud ihned plyne, že otevřená podmnožina lokálně souvislého prostoru je lokálně souvislá. Věta3..Komponentylokálněsouvisléhoprostoru Pjsouotevřené 3 )množiny;jsoutotedyoblasti prostoru P. Důkaz.Je-li p K,kde Kjekomponentaprostoru P,je Pokolímbodu p,aexistujetedyokolí V(p) komp p P= K. )tj.slibovolněmalýmprůměrem 2 )Jsoutonapř.množinytvarukomp p U(p). 3 )tedyobojetné,sr.spozn.2.3,část4 20

22 Poznámka 3.4. Platí toto tvrzení: Je-li P lokálně souvislý prostor, existují ke každému bodu p P libovolněmalásouvisláokolí U(p). 4 ) Jsou to např. množiny komp p U(p,/n), n=,2,..., otevřené podle věty 3.. Věta3.2..Je-li P= A Bajsou-limnožiny A,Blokálněsouvislévbodě p A B,jeiprostor P lokálně souvislý v bodě p. 2.Je-li P= A B,kdemnožiny A,Bjsouuzavřenéalokálněsouvislé,jeiprostor Plokálněsouvislý. Důkaz..Je-li U okolíbodu p P,jsoumnožiny U = U A, U 2 = U Bokolímibodu pvmnožinách A,B.Protožemnožiny A,Bjsoulokálněsouvislévbodě p,existujíokolí V a V 2 bodu pvaabtak,že V i komp p U i pro i=,2.kokolím V i existujímnožiny W i otevřenévp tak,že V = W A, V 2 = W 2 B.Množina W:= W W 2 jepakokolímbodu pvp,přičemž W= W W 2 = W W 2 (A B) V V 2 komp p U komp p U 2 komp p U. 2.Je-li p P,jebuď p A Baprostor Pjelokálněsouvislývbodě ppodlečástitétověty,nebo má pkladnouvzdálenostodjednézmnožin A, B.Je-linapř. ρ(p,b) >0,jeprostor Plokálněsouvislý vbodě pproto,ževbodě pjelokálněsouvislámnožina A;množina Bnemánatutookolnostžádnývliv. Poznámka 3.5. Následující příklad ukazuje, že ve druhé části věty 3 nelze vynechat předpoklad, že množiny A, B jsou uzavřené. Příklad3.2. Anechťjeúsečkaspojující(v R 2 )body(0, ),(0,)aBnechťjegraffunkcesin(/x), 0 < x ;prostor P= A BnenílokálněsouvislývžádnémbodězA,ačkoli AiBjsoulokálněsouvislé podmnožiny prostoru P.(Viz obr. 3.2.) Věta3.3.(Whyburn.)Je-li Psouvislýlokálněsouvislýprostor,jemnožina S(a,b) a bprokaždé dvabody a P, b Pkompaktní. Důkaz..Ukažme,žemnožina S= S(a,b) a bjeuzavřená:zvolmelibovolnýbod p P S anechť K:=komp a (P p).protože P pjelokálněsouvislýprostor,je KobojetnávP p,tedytaké lokálněsouvislá.kdybybylo b K,byloby P p=k (P p K),kdeoběmnožinyvpravojsou obojetnéadisjunktní,tedyoddělené;zpodmínek a K, b P p Kbyplynulo,žebod proztíná P mezibody a,b,cožjespor.jetedy b K. Protožemnožina Kjelokálněsouvisláaprotože p K,existujekekaždému x Ksouvisléokolí U(x) K 5 )tak,žeuzávěrvp tohotookolísplňujepodmínku U(x) P p.snadnonahlédneme,že množinavšech x K,proněžexistujeřetěz U(x 0 ),U(x ),...,U(x s )takovýchtookolíspojujícíbody a,x, jeobojetnávk,tedy(vzhledemksouvislostimnožiny K)rovná K. Protože b K,existujetakovýřetěz U(a)=U(x 0 ),U(x ),...,U(x s )=U(b)speciálněiprobod b. s () A:= U(x i ) i=0 jepaksouvisláuzavřenámnožinaobsaženávp paobsahujícíobabody a,b.protože ρ(p,a) >0, existujeokolí U(p)disjunktnísA.Žádnýbod x U(p)neroztíná P mezibody a,b,takženeležívs. Okolí U(p)jedisjunktnísS,tedyobsaženévP S.Protožebod p P Sbyllibovolný,jemnožina P Sotevřená,množina Suzavřená. 2. Kompaktnost množiny S bude dokázána, dokážeme-li implikaci (2) N S, S dern= Njekonečná. Nemá-livšakmnožina N Sv S(tedyanivP,neboť Sjeuzavřenámnožina)žádnýhromadnýbod, existujekekaždémux PsouvisléokolíU(x)tak,žemnožinaU(x) Njekonečná.Podobnějakov.části důkazuexistujeřetěz U(x 0 ),...,U(x s )takovýchtookolí,kterýspojujebody a,b.protožemnožina s (3) B:= U(x i ) 4 )Srov.spoznámkou3.2! 5 )Protožemnožina KjeotevřenávP p,tedyivp,jsouokolívkzároveňokolímivp. i=0 2

23 obsahujebody a,bajesouvislá,obsahujemnožinu S(a,b),tedyiS,atímspíšetedyje N B.Protože každázmnožin U(x i ) Njekonečná,platítotéžomnožině B N= N.Tímjeimplikace(2),atedy kompaktnost množiny S dokázána. Věta 3.4. Je-li P souvislý a lokálně souvislý prostor a je-li (4) P= S(a,b) a b, je Pobloukab. Důkaz. Platí-li(4),jeprostor Ppodlevěty3.3kompaktní(tedyseparabilní);protožejepodle předpokladu i souvislý, je to podle věty 2. oblouk. 22