Jednokapalinové přiblížení (MHD-magnetohydrodynamika)

Transkript

1 Jenokapalinové přiblížení (HD-magnetohyroynamika) Zákon zachování hmoty zákony zachování počtu elektronů a iontů násobeny hmotnostmi a sečteny n e + iv = ( nu ) ni + iv( nu i i) = e e iv ( u ) (1) t ρ + ρ = ρ = mn e e + n i i mnu + nu u = mn + n u u i e e e i i i e e i i ρ ρ, i Jestliže vynásobíme obě rovnice nábojem (q e, q i ) a sečteme, ostane zákon zachování náboje (rovnice pro hustotu náboje ρ c a hustotu prouu j ) ρ c + iv j = () HD 1

2 Zákon zachování hybnosti pro elektrony a ionty můžeme zapsat ke operátor je efinován a b= ab i j ( mnu ) + iv( mnu u ) = qn ( + u ) p mnn ( u u ) α α α α α α α α α α α α α αβ α β β Po sečtení ostáváme ρ u + iv ρ u u = ρ + j p (3) ( ) ( ) c ρ = qn + qn j= qnu + qnu p= p + p ke c e e i i e e e i i i e i (výměna hybnosti mezi elektrony a ionty A ei = mn e en ei ( u u e i ) A = nn ( u u) ie i i ie i e se vyruší) k získání rovnice pro j lze sečíst pohybové rovnice vynásobené ( qα / mα), ale uzavřít systém rovnic bue obtížné bez použití přepoklau m e << i. a HD

3 Vyjěme tey z přepoklau zanebatelné hmotnosti elektronu a požaujme, aby rozíl zrychlení elektronů a iontů byl nulový. Zatímco rozíl zrychlení působeného gravitací je nulový, u ostatních sil je zrychlení iontů zanebatelné proti elektronům a tey chceme, aby jejich celková síla, působící na elektrony, byla nulová = p + qn + u mnn u u ( ) ( ) e e e e e e ei e i Dále využijeme kvazineutrality pro pomalé pohyby a vyjáříme elektrické pole i i me ei = u n pe j j (4) eρz + eρz + e ne Prou poél magnetického pole ominují elektrony e ei ue m ν en e ene j = eneue = σ = e men ei men el. voivost ei j a poslení člen rovnice (4) lze tey upravit o tvaru σ HD 3

4 pro uzavření rovnic vyjáříme pe α p, ke α = 1 pro Z >> 1 1 a α = pro Z = 1, Te = Ti často je Hallův prou j << u, pro nízké teploty zanebáme tlak v rovnici pro prou j = σ + u Ohmův zákon pak lze vyjářit prou ( ) Ieální HD ( ν σ ) ρ + iv = ( ρ u ) u ρ = p+ j t rot = µ j = rot ( u ) = u t = + u HD 4

5 Zamrzání magnetického pole o plazmatu δ δ δ plazma se pohybuje pole prounic, element prounice je δ l = x x a rychlost u v boě x δ δ je u = u+ ( δl δ ) δ u, pak časová erivace elementu prounice l u u ( l ) u t = =. Upravíme rovnici pro časovou erivaci s využitím známé vektorové ientity ivu ( ) = + u ( u ) Poku tuto rovnici zkombinujeme s rovnicí kontinuity, ostaneme + ( u ) = = u ρ ρ t ρ ρ Změny vektorů δl δ a / ρ jsou ány stejnou rovnicí, tuíž magnetické siločáry sleují pohyb plazmatu, jsou o plazmatu jakoby vmraženy. S = Pro povrch S pohybující se spolu s plazmatem platí t (Alfvénův teorém) S HD 5

6 Hyromagnetická rovnováha u Vyjeme z rovnic r = p+ j rot = µ j t rovnováha u u = p = j t ( ) ( ) ( ) ( ) a b c = a c b a b c p = j ( j ) pro složku splněno vžy, j otu nelze určit ( ) j = σ p j = ( rot ) ( ) ( ) p = µ j = µ j = µ = µ p 1 1 p+ = ( ) µ µ často = 1 p + = const. µ iamagnetický efekt /µ = magnetický tlak HD 6

7 β = p ΣnkT α = µ µ α termokinetický tlak/magnetický tlak (parametr β zařízení uává poměr maximálního termo- kinetického tlaku k maximálnímu magnetickému tlaku) Neieální HD ifúze plazmatu o magnet. pole j ( + = = σ ) + u bueme přepokláat u rot = µ j 1 ( ) 1 = = µσ µσ t je oba průniku plazmatu o pole t = L µσ HD 7

8 Je o obu isipace - přeměna energie pole v teplo j 1 1 W = = j = rot = σ σ µ L ke bylo použito µ µ L otu energie isipovaná Prouění a zároveň průnik 1 ( = + u ) µσ 1 Wτ = µσ = σ µ µ L L první člen je ifúze, ruh člen je zamrzání (pole se pohybuje spolu s prouěním) agnetické Reynolsovo číslo R 1 u člen zamrzání = = L = σmul člen ifúze 1 1 σ m L HD 8

9 Nestability hnané graientem tlaku 1. Rayleigh-Taylorova nestabilita rozhraní kapalin, poku p ρ < isperzní vztah vln ω = ( ρ ) kg ρ 1 ρ + ρ 1 pro ρ < ρ 1 vlny na povrchu kapaliny pro ρ > ρ1 ω1 = iγ amplitua roste nestabilita. Nestabilita plazmatu rženého magnetickým polem (Kruskal-Schwartzschilova) lehčí kapalina, plazma těžší kapalina HD 9

10 Drift iontů v = m g i qi rift elektronů lze zanebat, V ůsleku pohybu iontů se na zvlněném povrchu vytváří náboj, ten inukuje elektrické pole, a to působí rift iontů a elektronů, který zvětšuje vlny Ovození z kapalinového moelu (lze též z HD): ionty pohybové rovnice v1 mi + v v = qi + v ( ) ( ) neobsahuje g (je v rychlosti v ) HD 1

11 1 =, y, ( ) k = k y (,,) i k m = q + ( ω ) ( ) yv v1 i i 1 v1 q ω << = Ω = 1 y c v1x mi pro ( ) i kv v 1y ω kv = i Ω v 1x je rift (pro ionty i elny), v 1y polarizační rift (pro elny zanebatelný) rovnice kontinuity pro ionty n1 + v n1+ n1iv v + v1 n + niv v1 = iω n + ikv n + v n + ikv n = 1 1 1x 1y rovnice kontinuity pro elektrony iω n1+ v1x n =, ke jsme přepokláali Z=1 a kvazineutralitu n i1 = n e1 po osazení získáme isperzní vztah 1 1 g n ω = kv ± k v + 4 n čili ostatečně louhé vlny narůstají, poku graient hustoty je proti tíhovému zrychlení c 1y HD 11