Kapitola 5.: Analýza rozptylu jednoduchého třídění

Transkript

1 Kaptola 5.: alýza ozptylu jedoduchého tříděí Cíl kaptoly Po postudováí této kaptoly budete umět - hodott vlv aktou o 3 úovích a vaabltu hodot sledovaé áhodé velčy - sestojt tabulku aalýzy ozptylu - detkovat dvojce áhodých výběů, kteé se výzamě lší středí hodotou - povést test shody ozptylů - zázot ozložeí dat v daých 3 áhodých výběech gacky pomocí kategozovaých kabcových dagamů Časová zátěž Na postudováí této kaptoly a splěí úkolů s í spojeých budete potřebovat as 9 hod studa. 5.. Motvace Zajímáme se o poblém, zda lze učtým aktoem (tj. omálí áhodou velčou ) vysvětlt vaabltu pozoovaých hodot áhodé velčy X, kteá je tevalového č poměového typu. Např. zkoumáme, zda metoda výuky učtého předmětu (akto ) ovlvňuje počet bodů dosažeých studety v závěečém testu (áhodá velča X). Předpokládáme, že akto má 3 úoví a -té úov odpovídá výsledků X, K, X, kteé tvoří áhodý výbě z ozložeí N(µ, σ ), =,..., a jedotlvé áhodé výběy jsou stochastcky ezávslé, tedy X j = µ + ε j, kde ε j jsou stochastcky ezávslé áhodé velčy s ozložeím N(0, σ ), =,,, j =,,. Výsledky lze zapsat do tabulky akto úoveň úoveň úoveň výsledky X, K, X X, K, X X, K, X Na hladě výzamost α testujeme ulovou hypotézu, kteá tvdí, že všechy středí hodoty jsou stejé pot alteatví hypotéze, kteá tvdí, že aspoň jeda dvojce středích hodot se lší. Jedá se tedy o zobecěí dvouvýběového t-testu a a pví pohled se zdá, že stačí utvořt dvojc áhodých výběů a a každou dvojc aplkovat dvouvýběový t-test. Teto postup však elze použít, eboť ezaučuje splěí podmíky, že pavděpodobost chyby. duhu je ejvýše α. Poto ve 30. letech 0. století vytvořl R.. Fshe metodu NOV (aalýza ozptylu, v popsaé stuac kokétě aalýza ozptylu jedoduchého tříděí), kteá uvedeou podmíku splňuje. Pokud a hladě výzamost α zamíteme ulovou hypotézu, zajímá ás, kteé dvojce středích hodot se od sebe lší. K řešeí tohoto poblému slouží metody mohoásobého poováváí, apř. cheého ebo Tukeyova metoda.

2 5.. Ozačeí V aalýze ozptylu jedoduchého tříděí se používá ásledující ozačeí. = = X =. X j j= celkový ozsah všech výběů součet hodot v -tém výběu M. = X. výběový půmě v -tém výběu X.. = X součet hodot všech výběů = j= j M.. = X.. celkový půmě všech výběů 5.3. Testováí hypotézy o shodě středích hodot Náhodé velčy X j se řídí modelem M0: X j = µ + α + ε j po =,,, j =,,, přčemž ε j jsou stochastcky ezávslé áhodé velčy s ozložeím N(0, σ ), µ je společá část středí hodoty závsle poměé velčy, α je eekt aktou a úov. Paamety µ, α ezáme. Požadujeme, aby platla tzv. epaametzačí ovce: = α = 0. Zavedeme součty čtveců ( Xj M ) T = j= =.. celkový součet čtveců (chaaktezuje vaabltu jedotlvých pozoováí kolem celkového půměu), má počet stupňů volost T =, = ( M M.. ) =. skupový součet čtveců (chaaktezuje vaabltu mez jedotlvým áhodým výběy), má počet stupňů volost =, ( Xj M ) = j= =. ezduálí součet čtveců (chaaktezuje vaabltu uvtř jedotlvých výběů), má počet stupňů volost = -. Lze dokázat, že T = +. čítaec ( M. M.. ) představuje bodový odhad eektu α. Kdyby ezáleželo a aktou, platla by hypotéza α = = α = 0 a dostal bychom model M: X j = µ + ε j. Rozdíl mez modely M0 a M ověřujeme pomocí testové statstky / F =, kteá se řídí ozložeím F(-,-), je-l model M spávý. Hypotézu o evý- / zamost aktou tedy zamíteme a hladě výzamost α, když platí: F F -α (-,-). Výsledky výpočtů zapsujeme do tabulky aalýzy ozptylu jedoduchého tříděí.

3 Zdoj vaablty součet čtveců stupě volost podíl F skupy = - / ezduálí = - / - celkový T T = Testy shody ozptylů Před povedeím aalýzy ozptylu je zapotřebí ověřt předpoklad o shodě ozptylů v daých výběech Leveův test Položme Zj = Xj M.. Ozačíme ( Zj M Z), Z = ( M Z M Z) M Z = Zj, M Z = Zj, Z =. j= = j= = j= = Z ( ) Platí-l hypotéza o shodě ozptylů, pak statstka FZ = má asymptotcky ozložeí Z ( ) F(-,-). H 0 tedy zamítáme a asymptotcké hladě výzamost α, když F Z F -α (-,-). Často užívaou modkací Leveova testu je Bowův Fosytheův test. Modkace spočívá v tom, že místo výběového půměu -tého výběu se př výpočtu velčy Z používá medá -tého výběu. mulačí stude ukazují, že Bowův Fosytheův test lze použít př poušeí předpokladu omalty. ( ) Batlettův test Platí-l hypotéza o shodě ozptylů, pak statstka ( ) ( ) B = l* l má asymptotcky ozložeí χ (-), kde C = ( ) C = +, = ( Xj M. ) je výběový ozptyl -tého výbě- 3 = j= = u, * = = je vážeý půmě výběových ozptylů. H 0 zamítáme a asymptotcké hladě výzamost α, když B χ -α(-,-). Batlettův test lze použít, pokud ozsahy všech výběů jsou aspoň 7. Je velm ctlvý a poušeí předpokladu omalty Metody mohoásobého poováváí Zamíteme-l a hladě výzamost α hypotézu o shodě středích hodot, chceme zjstt, kteé dvojce středích hodot se lší a daé hladě výzamost α Tukeyova metoda Mají-l všechy výběy týž ozsah p (říkáme, že tříděí je vyvážeé), použjeme Tukeyovu metodu: ovost středích hodot µ k a µ l zamíteme a hladě výzamost α, když j

4 * M k. Ml. q α(, ), kde hodoty q -α (,-) jsou kvatly studetzovaého ozpětí a p ajdeme je ve statstckých tabulkách cheého metoda Nemají-l všechy výběy stejý ozsah, použjeme cheého metodu: ovost středích hodot µ k a µ l zamíteme a hladě výzamost α, když Mk Ml. * k l ( ) + F (, ). α. Metody mohoásobého poováváí mají obecě meší sílu ež NOV. Může poto astat stuace, kdy př zamítutí H 0 eajdeme metodam mohoásobého poováváí výzamý ozdíl u žádé dvojce středích hodot. K tomu dochází zvláště tehdy, když p- hodota po NOVU je je o málo žší ež zvoleá hlada výzamost. Pak slabší test patřící do skupy metod mohoásobého poováváí emusí odhalt žádý ozdíl Příklad U čtyř odůd bambo (ozačeých symboly, B, C, D) se zjšťovala celková hmotost bambo vyostlých vždy z jedoho tsu. Výsledky (v kg): odůda hmotost 0,9 0,8 0,6 0,9 B,3,0,3 C,3,5,6,,5 D,,,0 Na hladě výzamost 0,05 testujte hypotézu, že středí hodota hmotost tsu bambo ezávsí a odůdě. Zamítete-l ulovou hypotézu, zjstěte, kteé dvojce odůd se lší a hladě výzamost 0,05. Řešeí: Data považujeme za ealzace čtyř ezávslých áhodých výběů ze čtyř omálích ozložeí se stejým ozptylem. Testujeme hypotézu, že všechy čtyř středí hodoty jsou stejé. M. = 0,8, M. =,, M 3. =,4, M 4. =,, M.. =,4, = 0,3, = 0,86, T =,6, F = 9,97, F 0,95 (3,) = 3,59. Potože testová statstka se ealzuje v ktckém obou, H 0 zamítáme a hladě výzamost 0,05. Výsledky zapíšeme do tabulky NOV Zdoj vaablty oučet čtveců tupě volost podíl skupy = 0,86 = 3 /3 = 0,7 ezduálí = 0,3 = / = 0,077 - celkový T =,6 T = F = 9,97 Nyí pomocí cheého metody zjstíme, kteé dvojce odůd se lší a hladě výzamost 0,05.

5 ovávaé odůdy Rozdíly Mk. Ml. Pavá staa vzoce, B 0,4 0,4, C 0,67 0,36, D 0,3 0,4 B, C 0, 0,40 B, D 0, 0,44 C, D 0,3 0,40 Na hladě výzamost 0,05 se lší odůdy a C. Řešeí pomocí systému TTITIC: Otevřeme ový datový soubo o dvou poměých a 5 případech. Pví poměou azveme HMOTNOT, duhou ID. Do poměé HMOTNOT zapíšeme zjštěé hmotost, do poměé ID, kteá slouží k ozlšeí odůd, zapíšeme 4 kát jedčku, 3 kát dvojku, 5 kát tojku a 3 kát čtyřku. Pomocí NP-gau a -W testu ověříme omaltu dat v daých čtyřech skupách. Gay D Gay Nomálí pavděpodobostí gay zaškteme -W test, Poměé HMOTNOT, OK, Kategozovaý Kategoe X, zaškteme Zaputo, Změt poměou ID, OK. Dostaeme ga Očekávaá omálí hodota Nomálí p-ga HMOTNOT (pklad66 v*5c),4,,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 -, -,4 0,4 0,6 0,8,0,,4,6,8 ID: 0,4 0,6 0,8,0,,4,6,8,4,,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 ID: -, HMOTNOT: W-W = 0,874; p = 0,6 -,4 ID: HMOTNOT: 0,4 0,6 W-W 0,8 =,0 0,75;, p = 0-,0000,4,6,8 0,4 0,6 0,8,0,,4,6,8 ID: 3 HMOTNOT: W-W = 0,9053; p = 0,4399 ID: 4 HMOTNOT: W-W = ; ID: p = ID: 4 Očekávaá omálí hodota ID: Vdíme, že ve všech čtyřech případech jsou odchylky teček od přímky jeom malé a data tedy lze považovat za ealzace áhodých výběů z omálích ozložeí. Nyí budeme a hladě výzamost 0,05 testovat hypotézu o shodě ozptylů: tatstka Základí statstky a tabulky Rozklad & jedoakt. NOV OK, Poměé Závslé poměé HMOTNOT, Gupovací poměá ID OK.

6 Na záložce NOV & testy vybeeme Leveeovy testy. Ve výstupu dostaeme tabulku Leveeův test homogety ozpylů (pklad66) Ozač. eekty jsou výz. a hlad. p <,05000 Č V PČ Č V PČ F p Poměá eekt eekt eekt chyba chyba chyba HMOTNOT 0, ,006 0, ,005939, ,4007 Testová statstka Leveova testu se ealzuje hodotou,04769, počet stupňů volost čtatele je 3, jmeovatele, odpovídající p-hodota je 0,4007, tedy a hladě výzamost 0,05 ezamítáme hypotézu o shodě ozptylů. Dále budeme a hladě výzamost 0,05 testovat hypotézu o shodě středích hodot. Na záložce NOV & testy vybeeme alýza ozptylu. Ve výstupu dostaeme tabulku alýza ozptylu (pklad66) Ozač. eekty jsou výz. a hlad. p <,05000 Č V PČ Č V PČ F p Poměá eekt eekt eekt chyba chyba chyba HMOTNOT 0, ,7000 0, ,0773 9, ,00805 Testová statstka F se ealzuje hodotou 9,97333, počet stupňů volost čtatele je 3, jmeovatele, odpovídající p-hodota je 0,00805, tedy a hladě výzamost 0,05 zamítáme hypotézu o shodě středích hodot. Vytvoříme ještě tabulku s hodotam výběových půměů a výběových směodatých odchylek tak, že a záložce Popsé statstky zvolíme Výpočet: Tabulka statstk.

7 Rozkladová tabulka popsých statstk (pklad66) N=5 (V sezamu záv. pom. ejsou ChD) ID HMOTNOT půmě HMOTNOT N HMOTNOT m.odch. 0, ,44, ,7305 3, , , ,00000 Vš.skup., ,8337 Rověž sestojíme kabcové dagamy tak, že a záložce Popsé statstky zvolíme Kategoz. kabcový ga. Vybeeme typ Půmě/mOdch/.96mOdch.,0 Kategoz. kabcový ga: HMOTNOT,8,6,4 HMOTNOT,,0 0,8 0,6 0,4 3 4 ID Půmě Půmě±mOdch Půmě±,96*mOdch Vdíme, že ejžší půměou hmotost má odůda, ejžší vaabltu hmotost vykazuje odůda D. bychom zjstl, kteé dvojce odůd se lší a hladě výzamost 0,05, a záložce Post-hoc vybeeme cheéův test. ID {} {} 3 {3} 4 {4} cheeho test; pomě.:hmotnot (pklad66) Ozač. ozdíly jsou výzamé a hlad. p <,05000 {} {} {3} {4} M=,80000 M=,000 M=,4000 M=,000 0, , , , , , , , , , , ,63499 V tabulce jsou uvedey p-hodoty po testováí hypotéz o shodě dvojc středích hodot. Pouze jedá z těchto p-hodot je meší ebo ova 0,05, tedy a hladě výzamost 0,05 se lší odůdy a C Výzam předpokladů v aalýze ozptylu a) Nezávslost jedotlvých áhodých výběů velm důležtý předpoklad, musí být splě, jak dostaeme esmyslé výsledky. b) Nomalta NOV eí přílš ctlvá a poušeí omalty, zvlášť pokud mají všechy výběy ozsah ad 0 (důsledek cetálí lmtí věty). Př výazějším poušeí omalty se dopoučuje Kuskalův Wallsův test.

8 c) hoda ozptylů míé poušeí evadí, př větším se dopoučuje Kuskalův Wallsův test. Test shody ozptylů má smysl povádět až po ověřeí předpokladu omalty. hutí alýza ozptylu jedoduchého tříděí slouží k hodoceí vlvu aktou o 3 úovích a vaabltu hodot sledovaé áhodé velčy s omálím ozložeím. Test hypotézy o shodě středích hodot odvodl R.. Fshe. Výpočty spojeé s testováím této hypotézy se zapsují do tabulky NOV. Dojde-l a daé hladě výzamost α k zamítutí ulové hypotézy, použjeme ěkteou z metod mohoásobého poováváí (apř. cheého ebo Tukeyovu metodu), abychom detkoval dvojce áhodých výběů, kteé přspěly k zamítutí ulové hypotézy. NOV předpokládá shodu ozptylů. Hypotézu o shodě ozptylů můžeme testovat pomocí Batlettova testu, Leveova testu ebo Bowova Fosytheova testu. Vlastost ozložeí dat v daých 3 áhodých výběech gacky zázoňujeme pomocí kategozovaých kabcových dagamů typu půmě směodatá odchylka,96 směodatá odchylka. Kotolí otázky. Jaký poblém řeší aalýza ozptylu jedoduchého tříděí?. Jak je deová celkový, skupový a ezduálí součet čtveců a co tyto součty čtveců chaaktezují? 3. Popšte způsob testováí hypotézy o shodě středích hodot. 4. Jak se testuje hypotéza o shodě ozptylů? 5. Kteé metody mohoásobého poováí se používají v aalýze ozptylu jedoduchého tříděí? 6. Pojedejte o výzamu předpokladů v aalýze ozptylu jedoduchého tříděí. utokoekčí test. Z ásledujících tří možostí vybete tu spávou: alýza ozptylu jedoduchého tříděí slouží k vyhodoceí dat, kteá vzkla: a) př páovém uspořádáí pokusu b) př blokovém uspořádáí pokusu c) př mohovýběovém uspořádáí pokusu.. Kteá z ásledujících tvzeí jsou pavdvá? alýza ozptylu jedoduchého tříděí vyžaduje, aby a) jedotlvé áhodé výběy byly stochastcky ezávslé b) jedotlvé áhodé výběy pocházely z bomckého ozložeí c) jedotlvé áhodé výběy měly stejý ozptyl. 3. Kteá z ásledujících tvzeí jsou pavdvá? a) Celkový součet čtveců chaaktezuje vaabltu jedotlvých pozoováí kolem celkového půměu. b) kupový součet čtveců chaaktezuje vaabltu jedotlvých pozoováí kolem skupových půměů. c) Rezduálí součet čtveců chaaktezuje vaabltu skupových půměů kolem celkového půměu.

9 4. Nulovou hypotézu o shodě středích hodot zamítáme a hladě výzamost α, když testové ktéum F se ealzuje v ktckém obou W 0,F, a) = ( α ( )) b) W= ( 0,F α (, ) ) c) = ( F (, ), ) W α 5. Pokud zamíteme hypotézu o shodě středích hodot a všechy výběy mají stejý ozsah, pak po zjštěí, kteé dvojce středích hodot se lší a zvoleé hladě výzamost, použjeme a) Tukeyovu metodu mohoásobého poováváí b) Batlettův test c) Leveův test pávé odpověd: c) a), c) 3a) 4c) 5a) Příklady. Jsou zámy měsíčí tžby (v tsících Kč) tří podavačů za dobu půl oku.. podavač: podavač: podavač: Na hladě výzamost 0,05 testujte hypotézu, že středí hodoty tžeb všech tří podavačů jsou stejé. Pokud zamíteme ulovou hypotézu, zjstěte, tžby kteých dvou podavačů se lší a hladě výzamost 0,05. Výsledek: M. = 0,7, M. =, M 3. = 6,83, M.. = 3, = 7,7, = 4,3, T = 70, F = 38,58, F 0,975 (,05) = 3,683, H 0 tedy zamítáme a hladě výzamost 0,05. Výsledky zapíšeme do tabulky NOV Zdoj vaablty oučet čtveců tupě volost podíl skupy = 4,3 = / = 7,7 ezduálí = 7,7 = 5 / =,84 - celkový T = 70 T = F = 38,58 Nyí pomocí Tukeyovy metody zjstíme, kteé dvojce podavačů se lší a hladě výzamost 0,05. ovávaí podavač Rozdíly M k. M l. Pavá staa vzoce,,83,03, 3 6,67*,03, 3 4,83*,03 *,84,84 Pavá staa: q α (, ) = q 0, 95 (3,5) = 4,83 =, 03, kde * = =, 84 p 6 6 Na hladě výzamost 0,05 se lší tžby podavačů, 3 a, 3.

10 . Je dáo pět ezávslých áhodých výběů o ozsazích 5, 7, 6, 8, 5, přčemž -tý výbě pochází z ozložeí N(µ,σ ), =,..., 5. Byl vypočte celkový součet čtveců T = 5 a ezduálí součet čtveců = 3. Na hladě výzamost 0,05 testujte hypotézu o shodě středích hodot. Výsledek: = = 3, = 5, = T = 5 3 = ( ) 4 F= = = 6,F0, 95 (4,6) =,975 ( ) 3 6 Potože F F 0,95 (4,6), H 0 zamítáme a hladě výzamost 0, Je dáa eúplá tabulka NOV. Místo otazíků doplňte chybějící čísla. Výsledek: zdoj vaablty součet čtveců stupě volost podíl F skupy??? ezduálí 6,033?? - celkový 7, zdoj vaablty součet čtveců stupě volost podíl F skupy,68 0,634,304 ezduálí 6, ,486 - celkový 7, tudet byl vyučová předmětu za využtí pět pedagogckých metod: tadčí způsob, pogamová výuka, audotechka, audovzuálí techka a vzuálí techka. Z každé skupy byl vybá áhodý vzoek studetů a všch byl podobe témuž písemému testu. Na hladě výzamost 0,05 testujte hypotézu, že zalost všech studetů jsou stejé a ezávsí a použté pedagogcké metodě. V případě zamítutí ulové hypotézy zjstěte, kteé výběy se lší a hladě výzamost 0,05. metoda počet bodů tadčí 76, 48,3 85, 63 9,6 87, pogamová 85, 74,3 76,5 80,3 67,4 67,9 7, 60,4 audo 67,3 60, 55,4 7,3 40 audovzuálí 75,8 8,6 90, ,8 57,6 vzuálí 50,5 70, 88,8 67, 77,7 73,9 Výsledek: Všech pět áhodých výběů má ozložeí blízké omálímu ozložeí. Leveův test shody ozptylů má testové ktéum 0,89, počet stupňů volost je 4 a 6, odpovídající p-hodota je 0,548, tedy a hladě výzamost 0,05 hypotézu o shodě ozptylů ezamítáme. alýza ozptylu má testové ktéum,636, počet stupňů volost je 4 a 6, odpovídající p-hodota je 0,983, tedy a hladě výzamost 0,05 hypotézu o shodě středích hodot ezamítáme. Zameá to, že a hladě výzamost 0,05 se epokázaly odlšost ve zalostech studetů. 5. Pa Novák může cestovat z místa bydlště do místa pacovště třem ůzým způsoby: tamvají (způsob ), autobusem (způsob B) a metem s ásledým přestupem a tamvaj

11 (způsob C). Máme k dspozc jeho aměřeé časy cestováí do páce v době aí špčky (včetě čekáí a příslušý spoj) v mutách. způsob doba čekáí B C Po všechy tř způsoby dopavy vypočtěte půměé časy cestováí. Na hladě výzamost 0,05 testujte hypotézu, že doba cestováí do páce ezávsí a způsobu dopavy. V případě zamítutí ulové hypotézy zjstěte, kteé způsoby dopavy do páce se od sebe lší a hladě výzamost 0,05. Výsledek: Půměé časy cestováí po tř způsoby dopavy jsou 37 m, 30 m, 36 m. Všechy tř áhodé výběy mají ozložeí blízké omálímu ozložeí. Leveův test shody ozptylů má testové ktéum 0,054, počet stupňů volost je a 5, odpovídající p-hodota je 0,9007, tedy a hladě výzamost 0,05 hypotézu o shodě ozptylů ezamítáme. alýza ozptylu má testové ktéum 6,75, počet stupňů volost je a 5, odpovídající p-hodota je 0,0083, tedy a hladě výzamost 0,05 hypotézu o shodě středích hodot zamítáme. cheého metoda mohoásobého poováváí pokázala a hladě výzamost 0,05 ozdíl mez způsoby a B a mez způsoby B a C.