Optimalizace provozních podmínek. Eva Jarošová

Transkript

1 Optimalizace provozních podmínek Eva Jarošová 1

2 Obsah 1. Experimenty pro optimalizaci provozních podmínek 2. EVOP klasický postup využití statistického softwaru 3. Centrální složený návrh model odezvové plochy určení stacionárního bodu postup v případě sedlového bodu 2

3 Experimenty pro optimalizaci provozních podmínek Předpoklad kvantitativní faktory EVOP Faktoriální návrh 2 N doplněný centrálním bodem Simplex Metoda nejrychlejšího spádu Faktoriální návrh 2 N nebo 2 N-k doplněný centrálním bodem Centrální kompozitní návrh Faktoriální návrh 2 N nebo 2 N-k, centrální bod, axiální body kulovitá experimentální oblast krychlová experimentální oblast Box-Behnken Vyvážené neúplné bloky, 3 úrovně faktorů, N větší než 2 3

4 EVOP Evolutionary operation, Box (1957) Postupná změna provozních podmínek Cíl optimalizace provozních podmínek při plném provozu Systematické provádění malých změn úrovně faktorů představujících provozní podmínky Faktoriální návrh 2 2 nebo 2 3 Místo bloků cykly 4

5 Postup Systematické střídání experimentálních bodů Postup v cyklech a fázích Faktor B (4) (2) (0) stávající provozní podmínky (1) (3) Faktor A 5

6 Vyhodnocení klasický postup Klasický postup (Box, 1957) po každém cyklu (počínaje druhým) odhad efektů A, B, AB odhad změny střední hodnoty (CIM) odhad experimentální chyby konstrukce konfidenčních intervalů rozhodnutí o dalším pokračování (nový cyklus nebo fáze) 6

7 Odhad efektů Efekt A y y y y 2 2 (2) (3) (1) (4) B 4 2 Efekt B Efekt AB y y y y 2 2 (2) (4) (1) (3) y y y y 2 2 (1) (2) (3) (4) A Změna střední hodnoty y y y y y (0) (1) (2) (3) (4) 5 y (0) 1 ( 4 ) 5 y y y y y (1) (2) (3) (4) (0) 7

8 Odhad experimentální chyby po každém cyklu R 1 R 1 ˆ 1 1 d k 2,326 k 2 R rozpětí z 5 hodnot (rozdílů nové hodnoty a dosavadního průměru v každém bodě) k počet cyklů zpřesnění pomocí průměru směrodatných odchylek z provedených cyklů 8

9 Konfidenční intervaly Konfidence přibližně 0,95 ˆ odhad efektu 2 k ˆ odhad CIM 1,789 k a) Obsahují-li všechny intervaly 0 nový cyklus b) Interval pro efekt A (B, AB) neobsahuje 0 nová fáze, výběr nového centrálního bodu c) Interval pro CIM neobsahuje 0 nacházíme se blízko optimálních podmínek 9

10 Nová fáze Předpoklad významný pouze hlavní efekt faktoru A 10

11 Alternativní vyhodnocení Jiný způsob odhadu změny střední hodnoty 1 y ( y y y y ) (0) (1) (2) (3) (4) 4 Odhad experimentální chyby pomocí průměru výběrových rozptylů v experimentálních bodech B 2 s 4 2 s 2 2 s 0 2 s 1 2 s 3 A 11

12 Vyhodnocení pomocí regresního modelu Normování proměnných úrovně -1, 0, 1 Odhad efektů pomocí parametrů regresního modelu Test nedostatku shody Odhad experimentální chyby pomocí průměru výběrových rozptylů (Pure Error, Mean Square) Testy hypotéz o nulových parametrech modelu 12

13 Odhad efektů A,B,AB pomocí regresního modelu Efekt A Efekt B 2b 2 Interakce AB 2b 12 Efekt centrálního bodu y x x x x ŷ b0 b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 2b 1 1 y0 ( y1 y2 y3 y4 ) 4 13

14 Výstup procedury pro regresní model po 2 cyklech Závěr: žádný efekt významný, další cyklus 14

15 Výstup procedury pro regresní model po 3 cyklech Závěr: žádný efekt významný, další cyklus 15

16 Výstup procedury pro regresní model po 4 cyklech Testová statistika využívá reziduální rozptyl Při použití čisté chyby t 11, , ,014 P-hodnota 0,0326 Závěr: efekt A významný, změna úrovně faktoru A, nová fáze 16

17 Rozklad součtu čtverců podle jednotlivých efektů 17

18 Centrální složený návrh Faktoriální návrh 2 N Centrální bod 2N axiálních bodů Ve vzdálenosti od centrálního bodu 4 2 N N ,

19 Kulovitá experimentální oblast Příklad pro N = 2 2 A B

20 Krychlová experimentální oblast A B

21 Vlastnosti Splňuje nutnou podmínku pro modelování plochou 2. stupně (min. 1+2N+N(N-1)/2 exp. bodů, min. 3 úrovně faktorů) Faktoriální část představuje návrh optimální z hlediska přesnosti odhadu parametrů modelu hlavních efektů nebo hlavních efektů a interakcí Centrální bod poskytuje informaci o nelinearitě plochy a umožňuje odhad čisté chyby Axiální body umožňují odhad koeficientů u kvadratických členů Rotační návrh (přesnost odhadu odezvy stejná ve všech bodech stejně vzdálených od centrálního bodu) 21

22 Postup Faktoriální experiment 2 N (1 replikace) Doplnění centrálního bodu (alespoň 2 replikace) Test nedostatku shody Doplnění 2N axiálních bodů Model odezvové plochy 2. stupně Určení stacionárního bodu Kanonická analýza (typ stacionárního bodu) Hřebenová analýza 22

23 Příklad lisování pelet z borovice Sledovaný znak hustota Faktory tlak (A) teplota (B) vlhkost (C) velikost frakce (D) 7 pelet v každém experimentálním bodě Y - průměr ze 7 hodnot 23

24 y 1.krok - faktoriální návrh 2 4 A B C D A B C D Response row z 1 z 2 z 3 z 4 x 1 x 2 x 3 x 4 y

25 Ukázka normování z (95;115) (159;115) (127;100) (95;85) (159;85) z 1 x 1 z x2 32 z x 3 z x4 2 z

26 Návrh 2 2 v kódovaných jednotkách x 2 (-1;1) (1;1) (0;0) x 1-1 (-1;-1) (1;-1) 26

27 Shrnutí výsledků analýzy rozptylu y x x... x x... x x Příspěvky jednotlivých faktorů (hlavní efekty + dvoufaktorové interakce) Factor DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F A B C D Závěr: Faktor D (velikost frakce) není důležitý (p-hodnota podstatně větší než 0,05) 27

28 Doplnění faktoriálního návrhu o centrální bod x 1 x 2 x 3 x Dvě nebo více replikací umožní odhad experimentální chyby (čistá chyba, pure error) test nedostatku shody pokud model y 0 1x1 2x x1 x x3 x4 vyhovuje, změna úrovní faktorů, jinak doplnění axiálními body (centrální složený návrh) 28

29 Doplnění axiálních bodů Pozn.: chybná realizace experimentu jediné měření v centrálním bodě zbytečně dále uvažován faktor D Dále postup pro všechny 4 faktory Axiální body v kódovaných jednotkách A B C D x 1 x 2 x 3 x

30 Shrnutí výsledků analýzy rozptylu y x x x x x x... x x x... x Příspěvky jednotlivých faktorů (hlavní efekty + dvoufaktorové interakce + kvadratické členy) Factor DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F A B C D Závěr: Faktor D (proměnná x 4 ) vyloučen z modelu 30

31 Odhady parametrů modelu Parameter DF Estimate Standard Error t Value Pr > t Intercept <.0001 A B <.0001 C A*B A*C B*C A*A B*B C*C

32 Maticové vyjádření rovnice modelu y x x x x x x x x x x x x ŷ b b x b x b x b x x b x x b x x b x b x b x b b1 b 2 b 3 b11 b12 / 2 b13 / 2 Bˆ b12 / 2 b22 b23 / 2 b 13 / 2 b23 / 2 b 33 yˆ T T b x b x Bx ˆ 0 32

33 Ukázka znázornění odezvové plochy 33

34 Bˆ Určení stacionárního bodu x s 1 ˆ B 1 b v kódovaných jednotkách z s v původních jednotkách Typ stacionárního bodu charakteristická čísla matice všechna kladná minimum všechna záporná maximum různá znaménka sedlový bod Bˆ 34

35 Hřebenová analýza - podstata x 2 vázaný extrém ˆ max y x x T 2 p p R R x T p ( x x x ) x 1 35

36 Hřebenová analýza - výsledky 36

37 Estimated Ridge of Maximum Response for Variable y Coded Estimated Standard Uncoded Factor Values Radius Response Error A B C

38 Předpověď pro optimální provozní podmínky Konfidenční interval pro předpověď yˆ t ( n p) ˆ 1 x ( X X) x T T 1 o 1 /2 o o (1,110; 1,548) yˆ o 1, vyrovnaná hodnota v nalezeném optimu ˆ 2 X T xo 2 rozptyl náhodné složky, obvykle E zanedbáme-li nepřesnost měření matice návrhu (odpovídá modelu plochy) ˆ SS / ( n p) řádkový vektor určený optimálními podmínkami, struktura odpovídá řádkům matice X 38

39 Literatura Box, G.E.P. (1957): Evolutionary Operation: A Method for Increasing Industrial Productivity, Applied Statistics, 6, Myers, R.H., Montgomery, D.C. (2002): Response Surface Methodology, Wiley Ryan, T.P. (2000): Statistical Methods for Quality Improvement, Wiley Jarošová, E. (2007): Navrhování experimentů a jejich analýza, ČSJ 39