Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze

Transkript

1

2 Z předchozích přednášek víme, že kapacitor a induktor jsou setrvačné obvodové prvky, které ukládají energii Dosud jsme se zabývali ustáleným stavem předpokládali jsme, že v minulosti byly všechny kapacitory a induktory nabity a v ustáleném stavu nedochází k toku energie do těchto prvků jak je to ale v případě harmonického ustáleného stavu (HS)? Víme, že v HS k toku energie z / do akumulačních prvků dochází (jalový výkon), ale při připojení zdroje nemusí mít obvodové veličiny (napětí / proud) správný fázový posun v HS okamžitě po připojení zdroje obvod může, ale nemusí být v ustáleném stavu (v závislosti na fázi připojeného zdroje) Po připojení / odpojení zdrojů nebo jiné změně v obvodu (změna odporu, ) je tedy potřeba vyrovnat energetické poměry v obvodu (nabít / vybít akumulační prvky) tento proces nazýváme přechodný děj važujme integrační RC článek, ke kterému připojíme v čase 0 stejnosměrný zdroj napětí; předpokládejme, že kapacitor byl bez náboje R Intuitivně lze obvod popsat: C u 2 (t) Na počátku byl kapacitor bez náboje jeho napětí bylo nulové. Celé napětí zdroje proto bylo na rezistoru R, obvodem tekl elektrický proud Za dobu t elektrický proud, tekoucí obvodem dodá kapacitoru elektrický náboj Náboji, uloženém v kapacitoru, je ale úměrné napětí obvodem poteče menší proud Za jednotku času tak do kapacitoru přiteče méně náboje a rychlost nabíjení se zpomalí nabíjení není lineární Odtud dojdeme k diferenciální rovnici A jejímu řešení u C (t) stálený stav t

3 vedený postup ale není universální a u složitějších obvodů by byl jen obtížně použitelný; jak tedy postupovat? Řešením jsou obvodové rovnice Nemůžeme samozřejmě použít obvodové rovnice pro odporové obvody (SS), ani HS (ty popisují pouze ustálený stav po odeznění přechodného děje), ale integrodiferenciální rovnice pro obecné časové průběhy, nebo Laplaceovu transformaci Obvodové rovnice v časové oblasti Připomeňme vztah mezi proudem a napětím na základních obvodových prvcích: Rezistor: Kapacitor: Induktor: K sestavení obvodových rovnic můžeme opět použít buď první (proudový) Kirchhoffův zákon (metoda uzlových napětí), nebo druhý (napěťový) metoda smyčkových proudů. Oproti ustálenému stavu se zde objevily nové členy u integrálů počáteční podmínky, které reprezentují energii, akumulovanou obvodovým prvkem v čase 0 Počáteční podmínky vypočítáme z ustáleného stavu v obvodu v čase t < 0

4 Příklad: V obvodu na obrázku v čase t = 0 sepne spínač S. Po ustálení obvodu (odeznění přechodného děje) spínač S opět rozepne. rčete počáteční podmínku pro oba děje a sestavte obvodové rovnice pro obecné časové průběhy. S R 1 R 2 C u 2 (t) 1. V čase t < 0, kdy byl spínač S (po dostatečně dlouhou dobu) rozpojený, se kapacitor vybil přes rezistory R 1 a R 2. Náboj v něm uložený byl proto 0, a tedy i napětí na něm. 2. Obvodové rovnice sestavíme po sepnutí spínače: Metoda uzlových napětí vede na jednu rovnici: Napětí v levém uzlu je známé, rovnice není potřeba (a ani jí nemůžeme sestavit neznámý proud zdrojem napětí) Všimněte si, že v tomto případě není v rovnici počáteční podmínka informace o historii obvodu Metoda smyčkových proudů jsou zde 2 smyčky; úplným popisem obvodu jsou v tomto případě 2 rovnice, ale pokud nás nezajímá proud, který teče rezistorem R 1, můžeme vést jedinou smyčku přes zdroj, rezistor R 2 a kapacitor C

5 Řešení obvodových rovnic: Nejprve se vrátíme k rovnici, sestavené metodou uzlových napětí: Diferenciální rovnici vyřešíme nejlépe metodou variace konstant: 1. Zdroj(e) (a případné počáteční podmínky) přesuneme na pravou stranu 2. Hledáme obecné řešení diferenciální rovnice s nulovou pravou stranou 3. (Obecně) n-tou derivaci napětí nahradíme n-tou mocninou proměnné λ (zde samozřejmě pouze 1. mocnina) 4. Obecným řešením je rovnice: Časová konstanta obvodu porovnejte její převrácenou hodnotu se zlomovou frekvencí kmitočtové charakteristiky integračního RC článku 5. Partikulární řešení ustálený stav obvodu, po odeznění přechodné složky (nabití / vybití kapacitorů a induktorů); v elektrických obvodech můžeme s výhodou použít některou z metod obvodové analýzy SS, HS dle charakteru zdroje

6 V našem obvodu se kapacitor nabije na napětí zdroje, partikulární řešení je tedy 6. Zbývá vypočítat integrační konstantu pokud položíme t = 0, bude rovnice 7. Tímto jsme dostali řešení přechodného děje Všimněte si, že pro výpočet integrační konstanty jsme využili počáteční podmínku, i když nebyla součástí původní rovnice je to ale známá hodnota řešení v čase 0 Co kdybychom k řešení použili metodu smyčkových proudů? Pro výpočet integrační konstanty potřebujeme počáteční podmínku proud v čase 0

7 Energetickou veličinou na kapacitoru je napětí (přímo úměrné uloženému náboji), nikoli elektrický proud Napětí je spojité, počáteční podmínka, vypočítaná z ustáleného stavu, platí před i po sepnutí spínače Elektrický proud na kapacitoru není spojitý, je potřeba ho odvodit z napětí Doporučený postup pro obvod s kapacitorem je použít metodu uzlových napětí, počáteční podmínku - napětí připomeňme musí být může být u L (0 ) u L (0 + ) a proto může být musí být i L (0 ) i L (0 + )

8 V uvedeném příkladu je možné počáteční podmínku pro proud odvodit z počáteční podmínky pro napětí: Význam časové konstanty obvodu: Pro RC článek jsme definovali časovou konstantu jako: Přechodný děj sice teoreticky odezní po nekonečně dlouhé době, prakticky ale: čas % ustáleného stavu t t t Přechodný děj obvykle považujeme za ukončený za dobu 3τ Časová konstanta je průsečíkem tečny k časovému průběhu v počátku s ustáleným stavem Časová konstanta je jedním z kritických faktorů, limitujících maximální pracovní frekvence sběrnic, zesilovačů (viz souvislost s frekvenční charakteristikou) a jiných obvodů (roznětek airbagů, měničů napětí, )

9 Partikulární řešení harmonický ustálený stav: Porovnejme nyní řešení přechodného děje v RC obvodu R = 850 Ω, C = 1 µf se a) Stejnosměrným buzením = 90 V b) Harmonickým buzením Časová konstanta obvodu Komplementární řešení SS HS nyní položíme t = 0

10 Maximální hodnota časového průběhu je zpočátku téměř dvojnásobná, nežli je pak ustálený stav Exponenciální průběh je reakcí obvodu na připojení zdroje; je charakteristickou vlastností daného obvodu, časový průběh napětí zdroje ovlivní pouze amplitudu, ne časovou konstantu obvodu Amplituda této exponenciely závisí na počátečním stavu obvodu (jak byl nabit kapacitor a jaké napětí je na zdroji v okamžiku připojení u harmonického zdroje to může být cokoli v intervalu harmonického zdroje je amplituda exponenciály ovlivněna počáteční fází napětí zdroje a frekvencí

11 Odpojení zdroje od kapacitoru Kapacitor je nabit, počáteční podmínka je nyní (většinou) nenulová předpokládejme ustálený stav v obvodu SS HS u c (t) t[s] x 10-3 SS u c (t) R C t[s] x 10-3 HS

12 Obecné řešení v RC obvodu Napětí, na které byl nabit kapacitor před připojením / odpojením zdroje stálený stav zde je to stejnosměrno, sinusovka, nebo 0 Napětí ustáleného stavu na kapacitoru v okamžiku připojení / odpojení dáno fázovým posunem zdroje a napětí v obvodu Složitější obvod s jedním kapacitorem V1 R2 2k R1 1k 1k R4 R3 5k 1u C1 A B Obvod z hlediska svorek kapacitoru nahradíme Théveninovým náhradním obvodem řešení je pak stejné, jako výše R C

13 Příklad: Obvod podle obrázku je napájen z obdélníkového zdroje o napětí 2V. Za platnou úroveň logické 1 budeme považovat napětí větší jak 75% maximálního napětí. Přípustná doba náběhu na platnou úroveň logické 1 nechť je max. 20 % doby trvání hodinového impulsu. Jaká může být nejvyšší hodinová frekvence datové linky? V1 100 R1 C1 4p

14 Příklad: Sběrnice s rychlostí 12 Mb/s pracuje s napětím 1.8 V. Impedance linky je 90 Ω. Maximální povolená kapacitní zátěž je 18 pf. Maximální přípustná doba přeběhu z nízké na vysokou úroveň a zpět je 10 ns (z 0,45 na 1,35 V). Vyhovuje linka této specifikaci? Maximální povolená kapacitní zátěž vysokorychlostní (240 MHz, 480 Mb/s) SB sběrnice je 14 pf. Může tato sběrnice pracovat s napěťovým buzením? NE, časová konstanta je příliš velká Může tato sběrnice pracovat s buzením zdrojem proudu ma? ANO, a pracuje proudový zdroj nabije kapacitu přes odpor rychleji

15 Obvod, ve kterém počítáme jinou obvodovou veličinu, nežli napětí na kapacitoru 15 V R1 1K R2 2K C 1M R3 1K u 2 (t) V obvodu na obrázku vypočítejte časový průběh napětí u 2 (t) po sepnutí a po rozepnutí spínače Řešení: Časový průběh napětí na rezistoru R 3 je dán protékajícím proudem i 2 (t) steným proudem, který protéká kapacitorem. Nejprve vypočítáme časový průběh napětí na kapacitoru. Sepnutí: i 1 (t) R1 1K u c (0) i 2 (t) R2 2K R3 1K i 2 (t) = 0 žádný úbytek napětí na rezistoru R 3,

16 Rozepnutí:

17 RC obvod s řízeným zdrojem 10 V R 1K 1. Théveninův teorém 10 V R 1K x i C 1M v v V obvodu na obrázku vypočítejte časový průběh napětí u x (t) po připojení zdroje napětí 10 V R 1K I k

18 2. Přímé řešení Počáteční podmínku je nutné s pomocí obvodových rovnic vypočítat 10 V R 1K u x (t) C 1M

19 OBVOD 1. ŘÁD S INDKTOREM Energetická počáteční podmínka proud tekoucí induktorem v čase t = 0. I kdybychom hledali napětí na induktoru, je vhodnější zvolit za počáteční podmínku proud je spojitý. obvodová rovnice metoda smyčkových proudů Metodou variace konstant hledáme řešení obvodové rovnice Vypočítáme ustálený stav v obvodu po odeznění přechodného děje Dosazením za t = 0 vypočítáme integrační konstantu K

20 I [A] Napětí na induktoru S Sepnutí spínače: R1 R2 i L (0) stálené stavy pro t < 0 a t > 0: Rovnice a její řešení: Časová konstanta: t = 0: Řešení pro proud: Řešení pro napětí: L u L (t) Energetická počáteční podmínka je proud nejprve spočítáme proud, pak teprve napětí

21 Rozepnutí spínače: stálené stavy pro t < 0 a t > 0: Rovnice a její řešení: Časová konstanta: Řešení pro proud: Řešení pro napětí: I [A] [V ] Proud je spojitá veličina napětí vzroste na takovou hodnotu, aby proud prošel skrz libovolně velký odpor (teoreticky i nekonečné napětí) jiskra / oblouk při prostém odpojení cívky od zdroje!!!

22 Napětí na induktoru ochrana proti přepětí S1 L1 1m 100 R1 Rezistor paralelně zapojený k cívce R 2 po celou dobu, kdy je obvod zapnut spotřebovává výkon = nechtěné ztráty; čím je tento odpor větší, tím jsou sice ztráty menší, ale současně roste velikost přepětí při odpojení zdroje; u velkých cívek velký ztrátový výkon na tomto rezistoru!!! S1 L1 1m 100 R1 Kondenzátor paralelně zapojený k cívce Účinné omezení přepětí, kondenzátor může kompenzovat účiník obvodu, akumulovaná energie se změní na teplo ve vinutí cívky (R 1 ) R2 C1 S1 L1 1m 100 R1 Rezistor paralelně zapojený k vypínači Takové řešení samozřejmě nemůže být použito pro bezpečné elektrické odpojení cívky od zdroje; dá se tedy použít pouze tam, kde proud tekoucí cívkou pouze omezujeme S1 Dioda paralelně zapojená k cívce Vhodná pouze pro stejnosměrné napájení např. ochrana vinutí relé; důležitý správný výběr diody (mezní proud), maximální proud případně omezit odporem R2 L1 1m 100 R1 D1