s velmi malými čísly nevýhodou velký počet operací, proto je mnohdy postačující částečný výběr
|
|
- Leoš Vávra
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1. Úvod 1.1. druhy chyb: ch. matematického modelu rozdíl mezi idealizovaným a reálným problémem ch. numerické metody výsledkem nepřesné řešení ch. zaokrouhlovací vystupují současaně 1.. chyba absolutní ε = Δx = x x (x přibližná hodnota) chyba relativní δ = Δx x = x x x př.: předmět o délce 0 cm, měření 0, cm Δx = 0, 0 = 0, δ = 0,/0 = 0, platné cifry x x <= 5 10 e-k pokud platí k<=p a neplatí k<=p+1, pak číslo má p platných cifer pl. des. místa x- x <= k-1 Př.: x = - 45,847 x= -45,798 e = 1 ( x <= 50) -45, ,847 = <= e-k = - k=3 (počet pl. cifer) -k-1 = - k=1 (p. pl. des. míst) 1.4. systém F normalizovaných čísel pohyblivé řádové čárky zobrazení a práce s číslem ve tvaru x = ± m β e (m normalizovaná mantisa, β základ číselné soustavy) Př.: v dekadické soustavě je β = 10, takže systém F je shodný se semilogaritmickým tvarem 1.5. ε m = strojové epsilon, strojová přesnost, nejmenší kladné číslo dané soustavy ε m = β 1-p (p počet cifer, které stroj zobrazuje) 1.6. IEEE zobrazení reálných čísel v počítači jednoduchá přesnost čísla s rozsahem exponentu dvojnásobná -10 e < přetečení, podtečení číslo je větší, resp. menší, než které je počítač schopen zobrazit pro daný rozsah exponentu, dojde k přerušení běhu programu Př.: -5 <= e <= 5 k přetečení dojde u čísla většího jak korektnost úlohy funkce, kterou počítáme, je prostá a spojitá podmíněnost malá změna vstupních dat dobře podmíněné úlohy vyvolá malou změnu řešení př.: vypočet průsečíku kolmých přímek stabilita algoritmu stabilní algoritmus není citlivý na zaokrouhlovací chyby př.: nestabilní alg. řešení SLR eliminační metodou bez výběru hlavního prvku
2 . SLR.1. GEM 1. úprava matice na horní Δ (eliminace poddiagonálních prvků) = přímý chod. zpětné dosazování = zpětný chod lze použít pro nenulové hlavní prvky, tzn. pokud je SLR ryze diagonálně dominantní nebo pozitivně definitní.. Matice ryze diag. dominantní člen na hlavní diagonále v abs. hodnotě větší než součet zbylých členů pro každý řádek.3. Matice pozit. definitní platí-li D i > 0, pak je matice poz. definitní (Sylvestr. kritérium, D determinatnt, i řád matice).4. LU rozklad soustavu Ax=b převedu na LUx=b L dolní Δ matice U horní Δ matice výhoda můžu například měnit vektor b, aniž bych pokaždé znovu eliminoval matici A.5. výpočtová náročnost GEM přímý chod 1/3 n 3 zpětný chod ½ n operací.6. Choleského rozklad A=LL T, A musí být pozit. definitní náročnost 1/6 n 3 operací, zhruba poloviční oproti LU.7. Částečný výběr hlavního prvku v neeliminované části k-tého sloupce vyberu prvek s největší abs. hodnotou, prohodím rovnice zaručuje, že velikost multiplikátorů pro eliminaci matice bude vždy menší než 1, nedojde k počítání s velmi malými čísly.8. Úplný výběr hlavního prvku v neeliminované části matice A k-1 vyberu prvek s největší abs. hodnotou, prohodím rovnice a neznámé zaručuje, že velikost multiplikátorů pro eliminaci matice bude vždy menší než 1, nedojde k počítání s velmi malými čísly nevýhodou velký počet operací, proto je mnohdy postačující částečný výběr.9. LU rozklad s částečným výběrem hl. prvku = pivotováním používám L, U a P permutační matice, proces pivotování
3 Pb = z Ly = z Ux = y.10. Výpočet determinantu A = U (U horní Δ matice) nebo A = (-1) q U (q počet prohození při pivotování).11. Výpočet inverzní matice (A E)~...~(E A -1 ) Jordanova modifikace (za vektor neznámých dosadím jednotkovou matici E).1. Řídká matice - počet nenulových prvků << počet prvků - využití přímé metody ušetření eliminace nebo úprava na pásovou matici - iterační metody sníží počet koeficientů při výpočtu iterací.13. Pásová matice - nenulové koeficienty v pásu podél diagonály - počet operací přímý chod roste kvadraticky s šířkou pásu zpětný chod roste lineárně s šířkou pásu.14. Vektorová l p -norma x p = n i 1 x i p 1 p x 1 = n i 1 x i n x = x i.15. Přirozená maticová norma vyjadřuje změnu normy Ax - A = max x 0 x původní vektor, Ax nový vektor x - Ax A x je-li vztah splněn, pak jsou normy souhlasné.16. Maticové normy - A 1 = max j i 1 a ij A = max i j a ij - sloupcové součty řádkové součty.17. Podmíněnost matice 1 i 1 x = max i - κ A = M Ax = max min Ax m x x - špatně podmíněná změna vstupních dat vyvolá velkou změnu výsledku - špatně podmíněná soustava je ekvivalentní špatně podmíněné matici např. graf dvou téměř totožných přímek.19. Iterační metody - zvolení počáteční vektoru x 0, generování posloupnosti x 0, x 1, x, která se blíží k přesnému řešení x - konvergence: x k x 0.0. Stop kritéria: - x k 1 x k ε x k - testování zadané podmínky ε v každém iteračním kroku.1. Jacobiova metoda - konvergence matice A je ryze diagonálně dominantní.. Gauss-Seidlova metoda - konvergence - A je ryze diagonálně dominantní nebo pozitivně definitní - je-li A r.d.d., pak G.-S. konverguje rychleji - konverguje-li G.-S., pak nemusí konvergovat Jacobiova a naopak.3. SOR - ω relaxační parametr, urychluje konvergenci, vynásobení každé iterace tímto parametrem.4. Kdy je efektivnější iterační metoda oproti přímé? - matice obsahuje nulové prvky x i
4 3. Aproximace funkcí 3.1. Co je aproximace funkce? Její typy. - náhrada funkce - interpolace vstupní data zatížená chybou - aproximace MNČ 3.. Úloha lagrangeovské interpolace - hledáme polynom, který splňuje P n x i = y i 3.3. Lagrangeův tvar int. polynomu n - P n x = i=0 y i l i x - l i fundamentální polynom, polynom i-tého stupně procházející bodem [x i,y i ] 3.4. P 1 x = x x 1 = 3x P x = x 3.6. Newtonův int. polynom - P n x = P n 1 x + a 0 x x 0 x x 1 x x n 1 - přidáme-li další tabulkové hodnoty, nemusíme celý výpočet opakovat (rozdíl od Lagrange) 3.7. Hermit - interpolační polynom je tabulkovými hodnotami a jejich derivacemi - lze případně použít pro polynomy vyšších stupňů 3.8. y=kx-1 nebo y=-kx+1 (různ strmé paraboly - máme derivaci v bodě, který neznáme podmínky, 3 stupně - x=1 y=1 y =1 y = y =6 - P 3 = a 3 x a x 1 + a 1 x 1 + a 0, - P 3 = 3a 3 x 1 + a x a 1,, - P 3 = 6a 3 x 1 + a,,, - P 3 = 6a 3 - všude dosadím x, vyjde a 0 =1 a 1 =1 a =1 a 3 =1 - P 3 = x x 1 + x ??? Účelnost interpolace polynomů vyšších stupňů - mezi uzly vznikají velké chyby - nabízí se řešení místo strašení, a to interpolace po částech 3.1. Lineární int. splajn - sousední body spojené úsečkou Herm. kub. int. splajn - známy tabulkové hodnoty a jejich derivace - 1. derivace spojitá,. derivace spojitá není - na každé části int. polynom nejvýše 3. stupně Kub. int splajn - spojitá rovněž druhá derivace - okrajové podmínky konkrétní čísla nebo soustava rovnic pro všechny koeficienty 3.15.??? 3.16.??? 3.17.??? MNČ - prokládání dat křivkami, přibližné řešení nepřesných rovnic - bázová funkce navržená podle očekávaného průběhu - počet parametrů n m pozorování např.: - R n (t)=? n= φ 1 =t φ =t t 1 t 1 - R t = t t φ 1, φ t m t m 3.0. a=0
5 3.1. přesně podle vzroce, nic těžkého 3.. vznikne interpolační polynom 3.3. Přeurčená soustava rovnic - řešení obdélníkové matice A
6 4. Numerická derivace a integrace 4.1. Účel num. derivování - funkci známe jen v tabulkových bodech - funkce je na přímou derivaci příliš složitá 4.. příklad na použití centrální derivace 4.3. Chyby numerické derivace - 1. diskretizační E d = 1 f ξ -. zaokrouhlovací E r = ε 1 ε 0 - pro 0 E d 0 E r 4.4. aproximace MNČ, její derivace 4.5. Richardsonova extrapolace - základem metoda nižší přesnosti, z ní získáme metodu vyšší přesnosti - funkční závislost přesnosti na velikosti kroku h - F = a + b 4 + c 4.6. Účel num. integrování - funkci známe jen v tabulkových bodech - funkce je na přímou integraci příliš složitá - funkci nelze integrovat - kvadraturní formule Q(f) = I(φ) φ aproximace f(x) - řád kvadraturní formule jaký stupeň polynomu integruje formule přesně (co nejvyšší) 4.7. Odvození formulí - obdélníková obsah obdélníka - I = b a f a+b r = 1 - I = b a y n 0 + y y i + y n 1 - I = b a y n 1 + y + + y i + y n - lichoběžníková obsah lichoběžníka - I = 1 f a + f(b) b a r = 1 - I = b a y n 0 + y 1 + y + + y i + y n 1 + y n 4.8. Simpsonova formule - aproximace polynomem. stupně na intervalu x i 1, x i+1 - I = b a f a + 4f a+b + f(b) r = I = y y 1 + y + 4y 3 + y srovnání Q s (x k ) a I(x k ) např. na intervalu 0,1 - x 3 : Q s = 0, , = 0,5 I = x 3 dx = x pro x 4 rovnost nenastane Důkaz Q S f = Q 3 R f + 1 Q 3 T(f) - Q S f = b a 6 f a + 4f a+b - Q R f = b a f a+b Q R + Q T = f(b) Q T f = 1 b a f a+b 4 0 f a + f(b) b a + b a f a + f(b) 1 = 0,5 = b a 3 f(a) + f a+b b a f(a) + 4f a+b + f(b) Metoda polovičního kroku - zjištění chyby numerické integrace - integrál s krokem h a integrál s krokem h/, chybu dostaneme kombinací výsledků 4.1. Rombergova integrace - založeno na Richardsonově extrapolaci - řád T si pro i-tý řádek r=i+1 + f(b) =
7 4.13. Adaptivní integrace - máme funkci s oblastmi, kde se mění pomalu hrubší dělení intervalu, a oblasti, kde se mění rychle jemnější dělení intervalu funkční hodnota těžiště (aritmetický průměr hodnot ve vrcholech) vynásobený obsahem trojúhelníka 4.15.???
8 5. Řešení nelineárních rovnic 5.1. Bisekce - půlení intervalu, kontrola rozdílnosti znamének - předpoklad na intervalu pouze 1 kořen - konverguje vždy, ale pomalu - stop kritérium - ε 1 b k a k 5.. Newtonova metoda - aproximace přímkou tečnou, podmínka f x 0 f x 0 > 0 -.řádu, tzn., že konverguje kvadraticky (chyba e k+1 ~e k ) - stop kritérium např. f x k + 1 ε - + rychlá konvergence - - v každém kroku nutné znát 3 hodnoty a předpis pro 1. derivaci - - ne vždy konverguje 5.3. Metoda sečen - + náhrada za Newtonovu metodu, neznáme-li předpis pro 1. derivaci - + vyčíslování jen hodnot - - ne vždy konverguje, pomalejší konvergence, řád 1,6 - zaručení konvergence body x 0 a x 1 blízko x* - stop kritérium - x k+1 x k ε 5.4. Regula falsi - metoda sečen hlídající znaménka - interval zvolen, aby f(x 0 )f(x 1 )<0 (podobnost s ijekcí) - stop kritérium jako u metody sečen
9 5.5. Metoda inverzní kvadratické interpolace - použití 3 bodů k získání dalšího (aproximace parabolou) - řád 1,8 - y=x nemusí mít vždy kořen, proto se vezme její inverzní funkce x=y P (y) x k+1 x k- x* x k-1 x k f(y) 5.6. Prostá iterace - generování posloupnosti x i+1 = g x i - hledání průsečíků funkcí x a g(x) - podmínky konvergence g x < 1 g x ε a, b xε a, b - konvergence mění se v závislosti na hodnotách derivací g(x*) 5.7.??? 5.8. Určení x 0-1 nelin. rovnice rozdílnost znamének (bijekcí) - soustava nelin. rovnic aproximace na lineární 5.9. Newtonova metoda pro nelin. rovnice - tečná rovina Taylorův polynom 1. stupně - konvergence kvadratická, pouze pokud je počáteční aproximace dostatečně blízko hledanému kořenu - řád - stop kritérium funkční hodnota aproximace < ε Modifikace N. metody - Tlumená N. metoda - N. metoda s lokálně omezeným krokem - použití v případě, že počáteční aproximace je vzdálena od hledaného kořene Prostá iterace pro soustavu nelin. rovnic - x k+1 = g(x k ) x k vektor g(x k ) matice - podmínky konvergence g x ε Ω x Ω ; g x < 1 x ε Ω
10 6. Optimalizace 6.1. Zlatý řez - a, b u = a + ; v = b ; = 0,38 b a - konverguje pomalu - stop kritérium - u k v k ε a 0 u 0 v 0 a 0 h a 1 u 1 v 1 b Kvadratická interpolace - máme 3 body, proložíme jimi parabolu, nalezneme její minimum lepší aproximace - konverguje rychleji než zlatý řez - stop kritérium - x k+1 x k ε 6.3. Nelder-Meadova metoda (Simplexová metoda) - E expanze - R reflexe - CE vnější kontrakce - CI vnitřní kontrakce - I redukce - stop kritérium x i x B < ε 1 f x i f(x B ) < ε x i x B 6.4. Metoda největšího spádu - x k+1 = x k + λd k d k = grad f(x k ) - A řez A-A A x 0 d 0 posunutí o vektor λ d 0 x 1 λ
11 6.5. Cik-cak efekt 6.6. Newtonova metoda - hledání minima x* jako řešení soustavy nelineárních rovnic - pokud je x 0 blízko x*, konverguje kvadraticky 6.7. Spolehlivost metod - MNS spolehlivá (kromě cik-cak efekt) - Newton nemusí konvergovat - spojení MNS NM je efektivnější 6.8.???
Požadavky a podmínky zkoušky z Numerických metod I (2NU)
Požadavky a podmínky zkoušky z Numerických metod I (2NU) LS 2018/2019 Zkouška je písemná, trvá 90 min. Skládá se ze 3 praktických příkladů a 4 teoretických otázek. S sebou ke zkoušce: psací potřeby (čisté
VíceTypy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)
Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceNumerická matematika Písemky
Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceTeoretické otázky z numerických metod
Teoretické otázky z numerických metod Literatura: L. Čermák, R. Hlavička: Numerické metody, CERM, Brno, 8. 1. Úvod do problematiky numerických metod 1.1. Jaké druhy chyb vznikají pří řešení reálných problémů?
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
VíceNumerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceNumerická matematika Banka řešených příkladů
Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceDRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceMATLAB a numerické metody
MATLAB a numerické metod MATLAB je velmi vhodný nástroj pro numerické výpočt mnoho problémů je již vřešeno (knihovní funkce nebo Toolbo), jiné si můžeme naprogramovat sami. Budeme se zabývat některými
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceŘešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
VíceMETODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA
2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 1 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC - řešení nelineární rovnice f(x) = 0, - separace kořenů =
Více1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači
1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači 2. Reprezentace čísel v Pascalu celá čísla Typ Rozsah Formát shortint 128..127
Více0 0 a 2,n. JACOBIOVA ITERAČNÍ METODA. Ax = b (D + L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D 1 (L + U)x + D 1 b. (i) + T J
6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/ ITERAČNÍ METODY PRO ŘEŠENÍ SYSTÉMŮ LINEÁRNÍCH ROVNIC Budeme se zabývat řešením soustavy lineárních rovnic
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA NUMERICKÉ METODY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ doc RNDr Josef Dalík, CSc MATEMATIKA NUMERICKÉ METODY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε c Josef Dalík
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceNumerické řešení soustav lineárních rovnic
Numerické řešení soustav lineárních rovnic Mirko Navara http://cmpfelkcvutcz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 04a http://mathfeldcvutcz/nemecek/nummethtml
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojmy: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocniny neznámé x, tj. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 = 0, kde n je přirozené
VíceNelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Nelineární rovnice Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Ohraničení kořene Hledání kořene Soustava Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Hledáme bod x, ve kterém je splněno pro zadanou funkci
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceSoustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
VíceDRN: Kořeny funkce numericky
DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f
VíceNumerické řešení soustav lineárních rovnic
Numerické řešení soustav lineárních rovnic irko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky elektrotechnická fakulta ČVUT, Praha http://cmpfelkcvutcz/~navara 30 11 2016 Úloha: Hledáme řešení
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceNumerické metody I. Jaro Normy vektorů a matic 1. 2 Nelineární rovnice Metoda bisekce (půlení intervalu) Iterační metody...
Poznámky k přednášce 1 Numerické metody I Jaro 2010 Tomáš Řiháček Obsah 1 Normy vektorů a matic 1 2 Nelineární rovnice 3 2.1 Metoda bisekce (půlení intervalu).............................. 3 2.2 Iterační
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceNumerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
VíceHledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceLibovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.
A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceNumerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VícePříklady pro cvičení 22. dubna 2015
Úvod Předběžná verze (015) 1 1 Normy vektorů a matic, vlastnosti matic Příklad 1.1 Pro dané vektory x = ( 1; ; 1) T, y = (; 3; 1) T určete x =? x =? x 1 =? y =? y =? y 1 =? Příklad 1. Je dán vektor x =
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceSoustavy lineárních rovnic-numerické řešení
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22
VíceDoc. RNDr. Libor Čermák, CSc. RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Numerické metody. AKADEMICKÉ NAKLADATELSTVÍ CERM, s.r.o. Brno
UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Doc RNDr Libor Čermák, CSc RNDr Rudolf Hlavička, CSc Numerické metody AKADEMICKÉ NAKLADATELSTVÍ CERM, sro Brno c Libor
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ doc RNDr Josef Dalík, CSc MATEMATIKA IV NUMERICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε c Josef
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VícePrincip řešení soustavy rovnic
Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 1. Úvod do ANM doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM
OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic
VíceNUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.
NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceNewtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Vícemetoda Regula Falsi 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda Regula Falsi Michal Čihák 23. října 2012 Metoda Regula Falsi hybridní metoda je kombinací metody sečen a metody půlení intervalů předpokladem je (podobně
VíceNumerické metody lineární algebry
Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceMatematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY
Matematika 3 Sbírka příkladů z numerických metod RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 5 1.1 Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda......................
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceModerní numerické metody
Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 38 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 2 3 4 5 6 2 / 38 2 / 38 čárkou Definition 1 Bud základ β N pevně dané číslo β 2, x bud reálné číslo s
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceNumerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceNumerické metody lineární algebry
Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran
VíceCvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
VíceÚvod do problematiky numerických metod. Numerické metody. Ústav matematiky. 6. února 2006
Numerické metody Doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky Fakulta strojního inženýrství Vysoké učení technické v Brně 6. února 2006 Obsah Úvod do problematiky numerických
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
VíceAproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceInterpolace, aproximace
11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y
VíceAproximace a interpolace
Aproximace a interpolace Aproximace dat = náhrada nearitmetické veličiny (resp. složité funkce) pomocí aritmetických veličin. Nejčastěji jde o náhradu hodnot složité funkce g(x) nebo funkce zadané pouze
VíceNelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Více