M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK

Transkript

1 M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Kuželosečky Kuželosečky Kuželosečky jsou rovinné křivky, které vzniknou průnikem rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází jejím vrcholem. Vzájemnou polohou roviny a plochy vzniknou: A. Kuželosečky středové (mají střed souměrnosti) B. Kuželosečka nestředová (nemá střed souměrnosti) 1 z 41

3 ± Kružnice Kružnice Kružnice k se středem S[0; 0] (v počátku souřadné soustavy) a poloměrem r > 0 je množina všech bodů roviny, které mají od středu S stejnou vzdálenost r. Rovnice kružnice se středem v počátku souřadné soustavy je určena rovnicí x + y = r Tuto rovnici lze odvodit na základě určení vzdálenosti dvou bodů - konkrétně středu S a libovolného bodu X ležícího na kružnici: Středový tvar rovnice kružnice Nechť je dána kružnice k se středem S[m; n] a poloměrem r > 0 a libovolný bod X[x; y], který leží na kružnici k. z 41

4 Obecný tvar rovnice kružnice Při odvozování obecného tvaru rovnice kružnice se vychází ze středového tvaru rovnice kružnice: Příklad 1: Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3; ]. Kružnice se středem S[0; 0] má rovnici x + y = r. Poloměr r zjistíme dosazením souřadnic bodu A ležícího 3 z 41

5 na kružnici do této rovnice: (-3) + = r r = 13 Daná kružnice má rovnici x + y = 13; její poloměr je r = Ö13. Příklad : Rozhodněte o vzájemné poloze bodů A[4; 3], B[1; 1], C[; 0] a kružnice dané rovnicí x + y = 4. Zjistíme, zda hodnota výrazu x + y pro souřadnice bodů A, B, C je buď rovna 4 (bod leží na kružnici), nebo je menší než 4 (bod vnitřní oblasti kružnice), nebo je větší než 4 (bod vnější oblasti kružnice). Pro souřadnice bodu A platí: = 5 Protože 5 > 4, je bod A bodem vnější oblasti kružnice. Pro souřadnice bodu B platí: = Protože < 4, je bod B bodem vnitřní oblasti kružnice. Pro souřadnice bodu C platí: + 0 = 4 Protože 4 = 4, je bod C tedy leží na kružnici. Příklad 3: Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice se středem S[1; -] a poloměrem r = 3. Dosadíme zadané hodnoty do rovnice (x - 1) + (y + ) = 9... dostali jsme rovnici kružnice ve středovém tvaru. Provedeme-li naznačené úpravy, dostaneme obecný tvar rovnice kružnice: x - x y + 4y + 4 = 9 x + y - x + 4y - 4 = 0 Příklad 4: Napište rovnici kružnice, která má střed S[-3; 5] a prochází bodem A[-7; 8]. Kružnice, která má střed v bodě S[-3; 5], má rovnici: (x + 3) + (y - 5) = r Poloměr r zjistíme dosazením souřadnic bodu A do této rovnice: (-7 + 3) + (8-5) = r r = 5 Daná kružnice má tedy rovnici (x + 3) + (y - 5) = 5. Příklad 5: Rovnice x + y + 8x -10y - 75 = 0 je rovnicí kružnice k. Upravte ji na středový tvar; zjistěte poloměr a souřadnice středu kružnice. 4 z 41

6 Pomocí "doplnění na čtverec" upravíme rovnici: x + 8x y - 10y = 0 (x + 8x + 16) (y - 10y + 5) = 0 (x + 4) + (y - 5) = 116 Kružnice k má středovou rovnici (x + 4) + (y - 5) = 116, poloměr r = Ö9; její střed S má souřadnice [-4; 5]. Příklad 6: Upravte rovnici x + y - x + 4y + 7 = 0 na středový tvar rovnice kružnice. x + y - x + 4y + 7 = 0 (x - x + 1) (y + 4y + 4) = 0 (x - 1) + (y + ) = - Množina bodů vyhovujících této rovnici je prázdná. Rovnice x + y - x + 4y + 7 = 0 není tedy rovnicí kružnice. Příklad 7: Napište rovnici kružnice k, která prochází body A[5; 1], B[0; 6], C[4; -]. Nejprve zjistíme, zda body A, B, C neleží v jedné přímce. Směrový vektor přímky AB je B - A = (-5; 5), směrový vektor přímky BC je C - B = (4; -8). Vektory B - A, C - B jsou různoběžné; jsou tedy různoběžné i přímky AB a BC. Body A, B, C tedy neleží v jedné přímce; určují kružnici opsanou trojúhelníku ABC. Daná kružnice k má rovnici x + y + ax + by + c = 0 Bod A[5; 1] leží na kružnici k; proto jeho souřadnice této rovnici vyhovují: a + b + c = 0 Obdobně z toho, že bod B[0; 6] leží na kružnici k, dostaneme: a + 6.b + c = 0 A obdobně pro bod C[4; -] ležící na kružnici k platí: a - b + c = 0 Řešením soustavy tří rovnic o třech neznámých a, b, c 5a + b + c = -6 6b + c = -36 4a - b + c = dostaneme a = 0, b = -, c = -4. Rovnice kružnice v obecném tvaru je x + y - y - 4 = 0 Upravíme-li tuto rovnici na středový tvar, dostaneme (x + 0) + (y - 1) = 5 Ze středového tvaru zjistíme, že poloměr kružnice je r = 5 a souřadnice středu S jsou [0; 1]. 5 z 41

7 ± Kružnice - procvičovací příklady z 41

8 Ne ± Vzájemná poloha přímky a kružnice Vzájemná poloha přímky a kružnice Vzájemná poloha bodu a kružnice a) Bod je vnitřním bodem kružnice (leží uvnitř kružnice k a jeho vzdálenost od středu kružnice je menší než poloměr) 7 z 41

9 Všechny vnitřní body kružnice tvoří vnitřní oblast kružnice a platí pro ně vztah: b) Bod je vnějším bodem kružnice (leží vně kružnice k a jeho vzdálenost od středu kružnice je větší než poloměr) Všechny vnější body kružnice tvoří vnější oblast kružnice a platí pro ně vztah: 8 z 41

10 c) Bod je bodem kružnice (leží na kružnici k a jeho vzdálenost od středu kružnice je rovna poloměru) Všechny body ležící na kružnici tvoří kružnici k a platí pro ně vztah: Vzájemná poloha přímky a kružnice 9 z 41

11 Vzájemná poloha přímky a kružnice se početně určí tak, že do rovnice kružnice se dosadí rovnice přímky. Vznikne tak kvadratická rovnice o jedné neznámé. a) p je vnější přímkou kružnice k - kružnice a přímka nemají žádný společný bod - kvadratická rovnice nemá řešení b) p je tečnou ke kružnici k - kružnice a přímka mají právě jeden společný bod - kvadratická rovnice má právě jedno řešení c) p je sečna ke kružnici k - kružnice a přímka mají společné body A, B, jejichž vzdálenost určuje tzv. tětivu - kvadratická rovnice má dvě řešení Příklad 1: Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 4x - 3y - 0 = 0 a kružnice dané rovnicí x + y = 5. Vzájemnou polohu přímky a kružnice zjistíme řešením soustavy rovnic: 10 z 41

12 4x - 3y - 0 = 0 x + y = Z první rovnice vyjádříme např. y: y = (4/3)x - (0/3) Dosadíme do druhé rovnice: x æ 4 0 ö + ç x - è 3 3 ø = 5 Dostaneme kvadratickou rovnici 5x - 3x + 35 = 0 Ta má diskriminant D = (-3) = 34 Protože D > 0, má kvadratická rovnice dva reálné různé kořeny: x 1 = 5, x = 7/5. Dosazením za x 1 do rovnice přímky dostaneme y 1 = 0, dosazením za x do rovnice přímky dostaneme y = -4/5. Přímka je sečnou kružnice k. Průsečíky P, Q přímky s kružnicí mají souřadnice [5; 0], [7/5; -4/5]. Příklad : Stanovte číslo c tak, aby přímka p: x + y + c = 0 byla tečnou kružnice o rovnici x + y = 4. Z rovnice přímky dostaneme x = -y - c. Dosadíme do rovnice kružnice: (-y - c) + y = 4 5y + 4cy + c - 4 = 0 Aby přímka byla tečnou kružnice, musí být diskriminant D kvadratické rovnice roven nule. D = 16c (c - 4) D = c - 0. (c - 4) = 0 c = 0 c 1 = Ö5 nebo c = -Ö5 Přímka je tedy tečnou dané kružnice, je-li buď c 1 = Ö5 nebo c = -Ö5. Příklad 3: Zjistěte vzájemnou polohu kružnice o rovnici (x - ) + (y - 3) = 1 a přímky p: x = 4 + t, y = 1 + t. Dosadíme za x, y z rovnice přímky do rovnice kružnice: (4 + t - ) + (1 + t - 3) = 1 (t + ) + (t - ) = 1 5t + 4t + 7 = 0 Diskriminant kvadratické rovnice D = -14 je záporný, rovnice tedy nemá řešení v oboru reálných čísel. Přímka p je tedy vnější přímkou dané kružnice. Příklad 4: Napište rovnici tečny kružnice o rovnici (x - ) + (y - 1) = 5 v jejím bodě T[6; ]. 11 z 41

13 Tečna p kružnice je kolmá k poloměru ST, kde S[; -1], T[6; ]. Vektor T - S = (4; 3) je tedy její normálový vektor. Směrový vektor přímky p je vektor (3; -4). Tečna p je dána bodem T[6; ] a směrovým vektorem (3; -4); její parametrické vyjádření je p: x = 6 + 3t, y = - 4t. Vyloučením parametru t dostaneme obecný tvar rovnice přímky: 4x + 3y - 30 = 0. Příklad 5: Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na přímce p: x - 3y - = 0 a která se dotýká přímky q: 4x - 3y + 17 = 0 v bodě T[-; 3]. Střed S kružnice k leží na přímce p a na přímce t, která prochází bodem T a je kolmá k přímce q. Normálový vektor u přímky q má souřadnice (4; -3), normálový vektor přímky t má tedy souřadnice (3; 4). Konstantu c v rovnici přímky t: 3x + 4y + c = 0 zjistíme dosazením souřadnic bodu T, který leží na přímce t, do této rovnice. Přímka t má rovnici 3x + 4y - 6 = 0 Souřadnice středu S dostaneme řešením soustavy dvou rovnic: x - 3y - = 0 3x + 4y - 6 = Řešením této soustavy dvou rovnic o dvou neznámých dostaneme x =, y = 0. Střed S kružnice má souřadnice [; 0]. Zbývá ještě určit poloměr r kružnice. r = ST ST = (- - ) + ( 3-0) = 5 Kružnice má rovnici (x - ) + y = 5, střed je S[; 0], poloměr je r = 5. ± Vzájemná poloha přímky a kružnice - procvičovací příklady Sečna 1 z 41

14 Tečna , Sečna 13 z 41

15 Přímka kružnici neprotíná ± Mocniny a odmocniny Obor přirozených čísel: Def.: Mocninou a b nazýváme přirozené číslo, které je součinem b činitelů rovných číslu a. Zapisujeme: a b = a. a. a..... a b-krát Pro čísla a, b, r, s platí: a r. a s = a r+s (a.b) r = a r. b r (a:b) r = a r : b r (a r ) s = a rs a r : a s = a r-s Obor celých čísel: Pro čísla a, n platí: a -n = 1/a n Obor racionálních čísel: Sčítat a odčítat můžeme pouze stejné mocniny, tj. musí mít stejný základ i stejný exponent. Př.: x + 3x... sečíst lze 3x 4 - x 3... odečíst nelze Násobit můžeme mocniny se stejným základem. Př.: a 4. a 5 = a 9... obecně a r. a s = a r+s Násobit můžeme také mocniny se stejným exponentem a různým základem. Př.: = obecně a n. b n = (ab) n Pozn.: Analogická pravidla jako pro násobení platí i pro dělení. Obor reálných čísel: Odmocnina z nezáporného reálného čísla je definována opět jako nezáporné číslo. Druhou odmocninou nezáporného reálného čísla a nazýváme to nezáporné reálné x, pro které platí x = a Symbolicky zapisujeme Öa. Index odmocniny u druhé odmocniny vynecháváme. Pro odmocniny platí obdobná pravidla jako pro mocniny. 14 z 41

16 Sudé odmocniny lze počítat pouze z nezáporných čísel. Pokud se nám tedy ve výpočtu vyskytují sudé mocniny, musíme opět provádět podmínky řešitelnosti. Sčítání a odčítání odmocnin: x + 3 x = 4 x u odmocnin nehraje roli koeficient před proměnnou - ten může být odlišný, protože ho lze vždy dostat před odmocninu Příklad 1: 3 ( 3 ) x + 3x =. x + 3. x = + x Pozn.: Nelze ale sčítat nebo odčítat např. druhou odmocninu s odmocninou třetí! Obdobná pravidla platí i pro násobení, resp. dělení, odmocnin. Odmocniny můžeme násobit (resp. dělit) tehdy, pokud mají stejný základ. Pak musíme ale nejprve všechny činitele převést na stejnou odmocninu. Příklad : a = a. a = a. a a. = a 1 7 Pokud mají činitelé stejnou odmocninu, pak můžeme násobit odmocniny, které mají odlišný základ. Příklad 3: 8. 5 = 40 (1) Každou odmocninu můžeme převést na mocninu podle následujícího pravidla: a b x = x b a ± Mocniny ve tvaru c.10^n Mocniny ve tvaru c.10 n Často při výpočtech používáme zápis čísla ve tvaru c.10 n, kde číslo c je větší nebo rovno jedné a menší než 10. Pak platí následující pravidla: 1. Násobení čísel ve tvaru c.10 n Př.: (a.10 m ).(b.10 n )=(ab).10 m+n 3, , = (3,4.,1) = 7, = 7, (po zaokrouhlení), , = (,6.7,3) = 18, = 1, = 1, (zaokr.). Dělení čísel ve tvaru c.10 n Př.: (a.10 m ):(b.10 n )=(a/b).10 m-n 3, :, = (3,4:,1) = 1, (po zaokrouhlení), : 7, = (,6:7,3) = 0, = 3,6.10 (po zaokrouhlení) 3. Umocňování čísel ve tvaru c.10 n Př.: (c.10 n ) m = c m.10 mn (5, ) 4 = 5, = 983, = 9, (po zaokrouhlení) 4. Sčítání nebo odečítání čísel ve tvaru c.10 n V tomto případě postupujeme tak, že z jednotlivých členů výrazu vytkneme nejnižší použitou mocninu čísla 10. Vzniklou závorku sloučíme a výsledek upravíme. Př.:, , , = 10 5.(, , ,4.10 ) = = 10 5.( , ) = ,6 = 3, (po zaokrouhlení) Pozn.: Jak převést snadno číslo ve tvaru c.10 n na číslo klasické: a) kladné číslo v exponentu: př.:, znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vpravo b) záporné číslo v exponentu: př.:, znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vlevo 15 z 41

17 ± Mocniny ve tvaru c.10^n - procvičovací příklady 1. Vypočti: 7, , , , Vypočti: (4, ) - 1, , Vypočti:, , , (7, ) 1 5, Vypočti: 104 (, ) -5 8, Vypočti:, , , Vypočti:, : (3, ) 7, Vypočti: 6, : (1, ) 4, Vypočti:, , , , ,5.10-4, Vypočti: 6, , , Vypočti: 6, : (, ) 3, z 41

18 1. Vypočti: 1, : (3, ) 5, Vypočti:, , , Vypočti: 3, (4, ) 6 8, Vypočti: 7, , , Vypočti:, , , ,5.10 4, ± Usměrňování odmocnin Usměrňování odmocnin - provádí se tehdy, pokud se odmocnina vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli jednočlen, provádíme jednoduché rozšíření zlomku členem, který se vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli dvojčlen, provádíme usměrnění tak, že rozšíříme zlomek tak, abychom ve jmenovateli mohli použít vzorec pro rozdíl čtverců. Vzniklý výraz pak zpravidla ještě dále zjednodušíme. Příklad 1: ( 3 + ) = = Příklad : 3 + = 3 - ( 3 + )(. 3 + ) ( 3 - )(. 3 + ) = = ± Usměrňování odmocnin - procvičovací příklady 17 z 41

19 z 41

20 z 41

21 ± Zjednodušování odmocnin Zjednodušování odmocnin Příklad 1: 0 z 41

22 Příklad : Při zjednodušování součinu (resp. podílu) odmocnin se snažíme nejprve vše převést na stejnou odmocninu. Výsledek pak často musíme převést do základního tvaru, případně i částečně odmocnit. Převedení odmocniny do základního tvaru - provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou a index u odmocnítka jsou čísla soudělná (tj. mají kromě jedničky společného dělitele). Postupujeme obdobně jako při krácení zlomků. Příklad 3: = Příklad 4: 40 0 = Částečné odmocnění - provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou je větší než index odmocnítka. Částečně odmocníme tak, že číslo pod odmocninou nejprve převedeme na součin, kde první činitel bude mít v exponentu nejbližší nižší násobek indexu odmocnítka k exponentu původní mocniny. Pak použijeme vzorec (1) a prvního činitele převedeme do základního tvaru. Příklad 5: = 3.3 = 3. 3 = Příklad 6: = =. =. =. 6 3 Pokud potřebujeme zjednodušit součet nebo rozdíl odmocnin, snažíme se převést výpočet pomocí částečného odmocnění na odmocniny se stejným základem i stejným indexem. Příklad 7: = = ± Zjednodušování odmocnin - procvičovací příklady 1. Zjednodušte a určete podmínky, při kterých má výraz smysl: 109 7a b c. 8a b. ab a b 11 c 10. 3abc. a 3, a ³ 0, b ³ 0, c ³ 0 1 z 41

23 . Zjednodušte: /3 3. Proveďte: : 3 - ( ) ( ) Vyjádři jedinou odmocninou a urči podmínky řešitelnosti: 1037 x. y 3 3 x y 9 x y 4 4, y ¹ 0 5. Zjednodušte: Zjednodušte a určete podmínky, při kterých má výraz smysl: a. 3b. a. ab ab. 6a, a ³ 0, b ³ Vyjádři jedinou odmocninou: Proveďte: ( ) : Vyjádřete jako jedinou odmocninu: , Zjednodušte a určete podmínky, při kterých má výraz smysl: ab : 3c 3 9cd 5a b 5 a b. 3 3c d, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 z 41

24 ± Iracionální rovnice Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou. Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku. Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice. Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí! Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte rovnici: x - x + 10 = x -10 Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x - x + 10 = (x - 10) x - x + 10 = x - 0x po úpravě: x = 5 Zkouška: L = = 5 P = 5-10 = -5 L ¹ P Daná rovnice tedy nemá řešení. Příklad : Řešte rovnici: x + 7 = x - 5 Umocněním dostaneme rovnici: x + 7 = (x - 5) Po úpravě x + 7 = x - 10x + 5 Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny a 9. Zkouška: 3 z 41

25 L() = + 7 = P() = - 5 = -3 L() ¹ P() 9 = 3 Kořen tedy není řešením. L(9) = P(9) = 9-5 = 4 L(9) = P(9) = 16 = 4 Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice. Příklad 3: Řešte rovnici: 5-5x = 3x -11 Umocněním dostaneme rovnici: (5-5x) = (3x - 11) Po úpravě: x = Zkouška: L = 5-5. = - 5 Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení. Příklad 4: Řešte rovnici: x x = 7 Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x x x x = 49 Po ekvivalentních úpravách: 3 x x + 9 = 0-5x Umocníme ještě jednou a dostaneme: 9x + 81x = x + 5x Po úpravě: 16x - 81x = 0 Kořeny této rovnice jsou čísla 16 a 5/16 Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 5/16. 4 z 41

26 Příklad 5: Řešte rovnici: x + 9 = 5 Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu: Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, proto rovnice x + 9 = 5 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x + 9 = 5 má dvě řešení, a to x 1 = 4 a x = -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když platí u = v. ± Iracionální rovnice - procvičovací příklady , /3 3. Řešte rovnici: ± P = {8; 4} P = {9; -1/3} Řešte rovnici: 1617 P = {0; 3} 5 z 41

27 Nemá řešení P = {0; } Řešte rovnici: x + 3. x -1 - x. 1- x = ( )( ) ( ) Řešte rovnici: x + 1. x x = ( )( ) Nemá řešení ,5 ± Komplexní čísla Komplexní čísla Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem 6 z 41

28 čísel komplexních. Komplexní čísla označujeme C. Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic. Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky. Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina. Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje). Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a 1; a ] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z = a 1 + a i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i = [0; 1]. Pro imaginární jednotku platí: i = -1 i 3 = -i i 4 = +1 i 5 = i i 6 = -1 atd... Algebraický tvar komplexního čísla 7 z 41

29 Nechť je dáno komplexní číslo a = [a 1; a ]. Jeho vyjádření ve tvaru z = a 1 + a i se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a 1 představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny. Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty. Platí vzorec: z = a 1 + a Komplexní jednotka Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna 1. Platí tedy z = 1 Čísla komplexně sdružená Čísla komplexně sdružená označujeme. [čteme zet s pruhem] Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají. Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné. Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné. Rovnost komplexních čísel 8 z 41

30 Komplexní čísla z 1 = a 1 + b 1i a z = a + b i jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a 1 = a a zároveň b 1 = b Součet komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a 1; a ] a b = [b 1; b ] ve tvaru a = a 1 + a i, b = b 1 + b i se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Rozdíl komplexních čísel 9 z 41

31 Pro komplexní čísla a = [a 1; a ] a b = [b 1; b ] ve tvaru a = a 1 + a i, b = b 1 + b i se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Součin komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a 1; a ] a b = [b 1; b ] ve tvaru a = a 1 + a i, b = b 1 + b i se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Podíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a 1; a ] a b = [b 1; b ] ve tvaru a = a 1 + a i, b = b 1 + b i se definuje jejich podíl takto: Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině 30 z 41

32 Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli). Goniometrický tvar komplexního čísla 31 z 41

33 Moivreova věta Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky: a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla: Příklad 1: 3 z 41

34 Příklad : Příklad 3: Příklad 4: Příklad 5: 33 z 41

35 Příklad 6: Příklad 7: Příklad 8: Vypočtěte i 148 Příklad 9: 34 z 41

36 Příklad 10: Příklad 11: ± Komplexní čísla - procvičovací příklady , z 41

37 i , z 41

38 i i i z 41

39 i i x = 3; y = z 41

40 , ± Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Do této kapitoly spadají kvadratické rovnice, při jejichž řešení vychází diskriminant záporný. Pozn.: Už dříve jsme řešili kvadratické rovnice a rozlišovali jsme situace, kdy diskriminant byl větší než nula - pak kvadratická rovnice měla dva reálné různé kořeny; pak jsme poznali situaci, kdy diskriminant vyšel roven nule - v tom případě měla kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen a v případě, že diskriminant vyšel záporný, uváděli jsme dosud, že kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. V oboru komplexních čísel však řešení má. Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel je založeno na poznatku, že v oboru komplexních čísel umíme odmocnit i zápornou odmocninu. Platí totiž, že např. Ö(-4) = i Kvadratická rovnice x = -4 pak má tedy dvě různá řešení, a to x 1 = i a x = -i V oboru komplexních čísel má tedy každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty řešení. Příklad 1: V oboru komplexních čísel řešte rovnici 7x + 5 = 0 7x + 5 = 0 7. (x + 5/7) = 0 x + 5/7 = 0 [x + i.ö(5/7)]. [x - i. Ö(5/7)] = 0 x 1 = - i. Ö(5/7) x = i. Ö(5/7) Příklad : V oboru komplexních čísel řešte rovnici 3x - 4x + = 0 D = b - 4ac D = (-4) = z 41

41 x x x x x x 1, 1, 1, 1, 1, 1, - b ± D = a - (-4) ± -8 =.3 4 ± i. 8 = 6 4 ± i. = 6.( ± i. ) = 6 ± = 3 Do této kapitoly můžeme zahrnout i rozklady trojčlenů na součin v oboru komplexních čísel. K jejich určení totiž využíváme s výhodou řešení pomocné kvadratické rovnice. Příklad 3: Rozložte v součin lineárních činitelů trojčlen 4x - 1x + 5 Protože kořeny rovnice 4x - 1x + 5 = 0 jsou čísla 1 ± i x1, = = ± i 8 dostáváme: 4x = æ -1x + 5 = 4. ç x - è 3 ( x - 3-4i)(. x i) ö æ - i. ç x - ø è 3 ö + i = ø ± Řešení kvadratických rovnic v oboru C - procvičovací příklady z 41

42 z 41

43 Obsah Kuželosečky 1 Kružnice Kružnice - procvičovací příklady 6 Vzájemná poloha přímky a kružnice 7 Vzájemná poloha přímky a kružnice - procvičovací příklady 1 Mocniny a odmocniny 14 Mocniny ve tvaru c.10^n 15 Mocniny ve tvaru c.10^n - procvičovací příklady 16 Usměrňování odmocnin 17 Usměrňování odmocnin - procvičovací příklady 17 Zjednodušování odmocnin 0 Zjednodušování odmocnin - procvičovací příklady 1 Iracionální rovnice 3 Iracionální rovnice - procvičovací příklady 5 Komplexní čísla 6 Komplexní čísla - procvičovací příklady 35 Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel 39 Řešení kvadratických rovnic v oboru C - procvičovací příklady :10:4 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (