Mocnina částečně uspořádané množiny

Transkript

1 Monin částečně uspořáné množiny Ing. Emilie Šeptáková Kter informtiky, FEI, VŠB Tehniká Univerzit Ostrv, 7. listopu 5, 708, Ostrv Poru Astrkt. V příspěvku popisuji novou metou pro vyhleávání vzoru ve tvru stromu ve stromeh n záklě moniny částečně uspořáné množiny (posetu). Toto vyhleávání y se lo implementovt pro vyhleávání n záklě poonosti v XML okumenteh. Tto meto umožňuje uspořát výsleky přirozeným zpùsoem. Toto přirozené uspořáání je hlvní výhoou prezentovné metoy oproti jiným metoám. Dlší výhoou této metoy je, že přirozeným zpùsoem zhyuje strukturu zprovávnýh XML okumentů. Klíčová slov: poset, částečně uspořáná množin, monin, Hsseův igrm Úvo - motive Jk roste počet okumentů vytvořenýh v jzye XML, roste tké zájem o efektivní vyhleávání informí v nih uloženýh. Dt, uložená v XML okumentu, mjí hierrhikou strukturu, která se á zkreslit jko grf - strom. Je možné vyhleávt informe ve tvru stromu v jiném stromu stejně jko npř. v řetězíh? Cílem je využít moninu posetu pro vyhleání vzoru ve tvru stromu přirozeném uspořáání výsleku hleání. Definie částečně uspořáné množiny Definie. Pomnožin S krtézského součinu XX se nzývá částečně uspořáná n neprázné množině X jestliže :. x X: (x, x) S (R). x, y X: jestliže (x, y) S (y, x) S, pk x = y (AS). x, y, z X: jestliže (x, y) S (y, z) S, pk (x, z) S (T) Ke (R) - reflexivnost, (AS) - ntisymetrie, (T) - trnzitivnost. Uspořánou vojii S := (X, ) nzýváme částečně uspořánou množinou (posetem), jestliže je částečné uspořáání n X. X je nosič posetu, rele se nzývá uspořáání množiny X. Prvky x, y, z X nzýváme vrholy neo oy neo elementy. O elementeh můžeme řít, že jsou porovntelné neo neporovntelné. Příkl : posety:. X := {,,, }

2 S := { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} S je částečně uspořáná množin n X. Antiřetěze znčíme npř. X := {,,, } := { (, ), (, ), (, ), (, )}. Řetěze - znčíme npř. C X := {,,, } C := { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}. N poset X := {,,, } N:= { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Krinlit - počet elementů posetu - N = 5. S = (X, ), X := {,,,, 6, } znmená x je ělitelem y S := { (, ), (, ), (, ), (, ), (6, 6), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 6), (, ), (6, ) }, elementy jsou neporovntelné. Jk reprezentovt poset Poset můžeme reprezentovt několik způsoy. Nejčstější nejví vypovíjíí je Hsseův igrm ue vysvětleno ále, lze použít i mtií sousenosti Hsseov igrmu, intervlové uspořáání semiuspořáání, úhlové kruhové uspořáání.. Hsseův igrm Hsseův igrm je grfiké vyjáření posetu ve tvru grfu. Elementy posetu jsou zkresleny jko vrholy grfu. Dv vrholy spojené hrnou jsou porovntelné. Vrholy jsou oznčené posloupností písmen neo čísli. Definie. Oznčení vrholů posetu L je ijektivní zorzení L: {,..., n} V(X), ke V(X) je množin všeh vrholů posetu (X, ) o krinlitě n. Definie. Konečný poset (X,, L) je přirozeně oznčený, jestliže x < y ve V(X), pk L - (x) < L - (y) v {,...,n}, omén L. Definie. Kžý poset má přirozené oznčení. Lineární rozšíření posetu (X, ) je poset (X, *) tkové, že pro x y, pk x * y poset (X, *) je řetěze.. Or.. Přirozeně oznčený poset (), nepřirozeně oznčený poset ()

3 .. ntiřetěz. řetěz C 5.. Letter N poset 6 Or... Příkly posetů jejih grfikého vyjáření pomoí Hsseov igrmu (viz. příkly posetů n přehozí stráne) Morfismy částečně uspořánýh množin Definie 5. Mějme částečně uspořáné množiny S=(X, ) P =(Y, ). Zorzení f z X o Y zhovává uspořáání jestliže x, y X: x y, pk f(x) f(y). Výslekem zorzení f(x) řetěze X, které zhovává uspořáání, je tké řetěze. Definie 6. Mějme částečně uspořáné množiny S=(X, ) P=(Y, ). Zorzení f: X o Y, jen ku jené, které zhovává uspořáání, je nzýváno izomorfismem, jestliže f - tké zhovává uspořáání. Oznčujeme X Y neo X = Y. Izomorfismus je rele ekvivlene n tříě posetů. Automorfismus je izomorfismus částečně uspořáné množiny n see. Počet všeh utomorfismů posetu (X, ) oznčujeme X! Nehť f je zorzení jen ku jené posetu S=(X, ) n P=(Y, ) zhovávjíí uspořáání. Pk f je isomorfizmus právě tehy, kyž x, y (X, ): x y právě tehy, kyž f(x) f(y).. Monin posetu Definie 7. Mějme vě částečně uspořáné množiny X Y. Mějme množinu Y X všeh zorzení zhovávjííh uspořáání z X o Y. Definujme inární reli n

4 Y X : f g x X: f(x) g(x), ke f, g Y X. Pk (Y X, ) je monin částečně uspořáné množiny Y n X. Příkly. C C, R C, C C, N C. Krinlit moniny posetu Zorzit moninu posetu je velmi těžké, z ůvoů velkého množství vrholů již při mlém počtu vrholů vzoru i íle. Počet vrholů moniny posetu (krinlit) lze spočítt pole násleujíí efinie vzore. Definie 8. Kžé zorzení f zhovávjíí uspořáání lze jenoznčně rozložit f = f f, ke f: X Imf je zorzení množiny n množinu zhovávjíí uspořáání f : Imf Y je zorzení jen ku jené zhovávjíí uspořáání. Krinlitu moniny posetu vypočteme pole níže uveeného vzore. Y X = e(x, Imf) i(imf, Y) Imf! () ke e(x, Imf) je počet různýh uspořáání zhovávjííh zorzení n Imf, g: X Imf i(imf, Y) je počet různýh uspořáání zhovávjííh zorzení jen ku jené f: Imf Y X! je počet všeh utomorfismů posetu (X, ). Imf jsou spojité, uspořáání zhovávjíí orzy X - plné poposety (full suposet). Příkl. C N N C Or. Hsseův igrm moniny N C Počet všeh možnýh prvkovýh vrií s opkováním ze prvků je 6, z toho je 0 těh, pro které pltí zhování uspořáání f() f() f(), z toho je 0 výslenýh zorzení o N (viz Or.), le žáné zorzení není prosté, tj o třeh

5 Příkl. Y X X 5 Y Or.. Výpočet krinlity moniny posetu Y X pomoí rozklu Or.. Hsseův igrm moniny Y X Výpočet konkrétní krinlity posetu moniny Y X (viz Or. ) Y X = / = 7

6 Or.. Vrholy Hsseov igrmu z Or., které opovíjí prostému zorzení X o Y Referene. Neggers, J., Kim, H. S. Bsi. Worl Sientifi Pulishing Co. Pte. Lt. 998 Singpore. ISBN Šeptáková, E., Snášel, V., Ohoková, E. Vyhleávání n záklě poonosti v XML okumenteh. sorník konferene ZNALOSTI 00. Ostrv 00. ISBN Bern, L. Uspořáné množiny. Škol mlýh mtemtiků, ÚV mtemtiké olympiáy nkltelství Mlá front, 978 Annottion: In this pper I esrie new pproh to serhing in XML ouments. This metho is se on exponentition of grphs n orere sets. This metho llows to orer results in nturl mnner n this is the min vntge ginst the other methos. Another vntge of presente metho is its nturl onept of relizing XML ouments struture.