25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13"

Blažena Matoušková
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 5 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 3-4-3

2 Dopravní zpoždění (Time delay, tranport delay, dead time, delay-differential ytem) V reálných ytémech e čato vykytuje dopravní zpoždění yt ( ) = u( t ) p p τ Je to obvykle ča potřebný na přeno informace Srovnej: pozemní tele-operace, Lunochod, Spirit-Opportunity, Caini-Huygen Nebo ča potřebný na přemítění hmoty

3 Sytémy dopravním zpožděním V řídicích ytémech e čato vykytuje dopravní zpoždění buď v amotném proceu anebo při zpracování naměřených ignálů Příklady chemické procey zpoždění reprezentuje ča potřebný k nutné dopravě materiálu potrubím, páovým dopravníkem, válcování, výroba papíru, vytápění řízení na dálku raketa na Mar velké zpoždění ignálu dané konečnou rychlotí větla malé zpoždění při zpracování ignálu Biologické a biomedicínké ytémy Důledky Dopravní zpoždění vždy zhoršuje tabilitu ZV ytému Dopravní zpoždění reprezentuje ytém nekonečného řádu 3

4 Dopravní zpoždění Čité dopravní zpoždění yt () = ut ( τ ) y () = ue () Sytém dopravním zpožděním na vtupu a na výtupu x () t = Ax() t + But ( ) yt () = Cx() t x () t = Ax() t + Ax( t τ ) + But () yt () = Cx() t ( I A) det ( ) b () H(, e ) = C I A Be = Ge () = e a () Sytém dopravním zpožděním uvnitř x () t = Ax() t + But () yt () = Cx( t ) det ( ) H(, e ) = C IA A e B= ( IA Ae ) be (, ) ae (, ) 4

5 Složitější případy Více různých zpoždění (ouměřitelné nebo neouměřitelná) x () t = Ax () t + N Ax( ) i i t ( N ) i = i det IA i ie = A N N i H(, e, e,, e ) = C IA A i ie B= = Rozprotřené zpoždění (ditributed delay): raketový motor na tekuté palivo, dlouhé vedení, biologické ytémy, τ x () t = Ax () t + Ax ( t τ ) + A ( ) ( ) v v xt v dv Obecně ne-racionální funkce ( IA Ae A ) det ( ) ( ) τ v ( ) { } ( ) v A() = A v e dv = A() t = A v e dv ( ) H(, e, A()) = C IA A e A() B= Sytémy rozprotřenými parametry parciální diferenciální rovnice 5 be e e ae e e N (,,,, ) N (,,,, ) be (,, A( )) ae (,, A( ))

6 Nuly, póly, tabilita Protože exponenciála je v komplexním oboru periodická, má obecně kvazipolynom pe (, ) nekonečně mnoho oddělených kořenů Sytém dopravním zpožděním tedy může mít nekonečně mnoho (oddělených) nul a/nebo pólů Je tabilní právě když všechny kořeny charakteritického (kvazi)polynomu leží v otevřené levé polorovině Stabilní a netabilní p () = + + e q () = + + 5e Rozlišujeme tabilitu závilou na zpoždění (tabilní pro dané τ ) a tabilitu nezávilou na zpoždění (tabilní pro každé τ ) iod 6

7 Návrh řízení ytému e zpožděním Laplaceova tranformace OK, ale obrazy nejou racionální funkce Frekvenční metody fungují: Nyquitovo kritérium, PM, GM, Root locu je k ničemu (pólů je nekonečně mnoho), leda nad pro dominantní póly Stavové metody Něco, problémy. Skutečný tavový protor je totiž nekonečně-dimenionální, užívají e peudotavové modely Polynomiální metody: něco jde pomocí -D polynomů d = e Fungují některé triky, ad hoc metody apod. be (, ) bd (, ) H(, e ) = H(, d) = ae (, ) ad (, ) 7

8 Řízení ytému e zpožděním Aproximace na začátku dopravní zpoždění aproximujeme členem konečného řádu a pak pokračujeme tandardním potupem Dikretizace Soutavu na začátku dikretizujeme, tím dopravní zpoždění zmizí pak provedeme dikrétní návrh Aproximace na konci provádíme návrh pro ytém e zpožděním čato vychází regulátor, který také obahuje zpoždění takový regulátor realizujeme aproximací nebo dikrétně Robutní řízení zpoždění zahrneme do neurčitoti účinné zvlášť při proměnném nebo neznámem zpoždění provedeme robutní návrh pro neurčitou outavu bez zpoždění 8

9 Padého aproximace dopravního zpoždění chceme aproximovat racionální funkcí exponenciálu e pro jednoduchot nejprve doadíme τ = a aproximujeme e. Až aproximaci najdeme, doadíme do ní zpátky =τ funkci e komplexní proměnné můžeme rozvinout v McLaurinovu řadu (Taylorovu řadu v bodě ): e (funkce je holomorfní rozvoj platí všude) b+ b 3 4 = + +! 3! 4! Aproximace. řádu nahradíme e přenoem. řádu a + tak, aby jejich rozdíl byl malý rozvineme i přeno v řadu (dlouhým dělením od nulových mocnin) 3 neznámé porovnáme 3 členy 3 rovnice b + b a+ 3 4 e = + +! 3! 4! = b+ ( bba ) a( b ba ) + b = ( b ba) = a( b ba) = 9

10 b = ( b ba) = a( b ba) = Padého aproximace dopravního zpoždění b =, b =, a = Aproximace. řádu Podobně: nahradíme e přenoem. řádu tak, aby jejich rozdíl byl malý a rozvineme i přeno v řadu (dlouhým dělením) 5 neznámých porovnáme 5 členů 5 rovnic e + + τ b + b+ b + a + + τ + ( τ) pade(t,order) e e τ + ( τ) exitují aproximace vyšších řádů, dotaneme je obdobně pro velmi malá zpoždění τ (,) někdy aproximujeme velmi hrubě členem. řádu (lag) - pro něj ouhlaí první členy rozvojů e

11 Přený návrh outava + regulátor Ge () C () C () G () e přeno uzavřené myčky CGe () () T() = + CGe () () τ b () q () G () =, C () = a () p () T() = bqe ()() ap () () + bqe ()() charakteritický polynom je kvazipolynom má obecně nekonečně mnoho nul (kořenů), protože exponenciála je v komplexním oboru periodická funkce

12 Řízení bez zpoždění v charakteritickém polynomu Jaké by měl být regulátor, aby výledný přeno byl CGe () () T() = + CG () () tj. aby neměl zpoždění ve jmenovateli? Porovnáme oba přenoy CGe () () CSmith () Ge () = T() = + CG () () + C () Ge () Smith a z toho vypočteme a pro něj opravdu C () CSmith () = + C () G () Ge () Smithův prediktor autor O.J.M. Smith 958 C () Smith G () τ e Abychom mohli měnit T návrhem C, muíme použít C mith CGe () () T() = + CG () ()

13 Smithův prediktor C () CSmith () = + C () G () Ge () ZV modelem outavy v regulátoru vyruší vnější ZV pak funguje jen ta vnitřní - bez zpoždění Realizace: muíme realizovat čité zpoždění čílicově není problém analogově obvykle Padého aproximací C () G () G () G () prediktor je užitečný hlavně v případech, kdy je dopravní zpoždění velké ve rovnání čaovými kontantami outavy válcování, výroba papíru, páový dopravník, citlivé na přenou znalot délky zpoždění (jinak e vliv neodečte) 3

14 5 Doplněk: Sytémy proměnné v čae Michael Šebek Automatické řízení -4-3

15 Sytémy proměnné v čae Lineární v čae proměnný ytém: LTV (linear time-varying) koeficienty jou funkce čau Stavový model x () t = A() t x() t + B() t u() t yt () = C() tx() t + D() tut () Model typu vtup-výtup a() t y () t + + a() t yt () = b() tu () t + + b() tut () n ( n) ( m) m Pojmy přeno, pól a nula nemají myl Stabilitu nutno zkoumat jinak Natávají nové jevy, které u LTI nejou Např. parametrická rezonance 5

Podobné dokumenty

Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění

Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 23 2-4-3 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t