ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ
|
|
- Ludmila Matějková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ 1. CHYBY MĚŘENÍ Nedokoalost metod měřeí, přístroů ldských smslů a emožost regstrace a kotrol všech podmíek, které určuí stav měřeého obektu způsobuí, že měřeím emůžeme zstt skutečou (pravou) hodotu měřeé velč. Záleží však a přesost měřcích přístroů a metod kokrétím způsobu provedeí měřeí, ak se této skutečé hodotě velč měřeím přblížíme. V každém případě výsledkem měřeí bude hodota, která se od skutečé hodot velč lší, a rozdíl těchto dvou hodot se azývá chba měřeí a ozačue se, kde e smbol pro měřeou velču. Tuto chbu elze přesě staovt, lze však alespoň odhadout. Na základě odhadu chb lze určt estotu měřeí, která charakterzue rozsah hodot okolo výsledku měřeí, který lze zdůvoděě přřadt k hodotě měřeé velč. Nestota se udává ee pro výsledk měřeí, ale pro měřdla, pro použté kostat, korekce apod. O estotách měřeí bude poedáo podrobě v odstavcích 4 7. Chba charakterzue odchlku aměřeé hodot od skutečé (pravé) hodot velč, a proto vadřueme v edotkách měřeé velč. Takto defovaou chbu azýváme absolutí chba. Někd se ázorě přesost aměřeé hodot velč charakterzue relatví chbou, která vztahue velkost absolutí chb k aměřeé hodotě. Relatví chba určté hodot velč e defováa vztahem r. (1) Příklad: Posuvým měřítkem bla aměřea vzdáleost dvou bodů d 15,3 mm. Absolutí chba aměřeé délk e d 0,1 mm. Podle defce e relatví chba rd 0,065, 0,1 15,3 což e 6,5 % z hodot výsledku. Podle původu dělíme chb a sstematcké (soustavé) a áhodé, a proto také chba aměřeé hodot se skládá z chb sstematcké a áhodé. 1
2 . SYSTEMATICKÉ CHYBY Sstematcké chb souvseí obvkle s použtou metodu č měřícím přístro ebo se samotým pozorovatelem. Říkáme, že sou způsobe kotrolovatelým vlv. Příklad: V případě vážeí a rovorameých vahách může sstematckou chbu způsobovat odchlka od rovorameost vah, odchlka v hmotost závaží, ezapočítaá oprava a rozdíl vztlaku závaží a předmětu ve vzduchu apod. Vzklé sstematcké chb zkresluí výsledek př opakovaém měřeí koaém za steých podmíek vžd steým způsobem, t. buď výsledek stále zvětšuí ebo stále zmešuí. Teoretck lze kotrolovatelé vlv zstt a ohodott pomocí přesěších přístroů, evetuálě korekčí metod, a proto b v prcpu blo možé sstematcké chb vloučt. V pra e teto požadavek těžko uskutečtelý a velkost chb se sažíme alespoň přblžě odhadout. Sstematckou chbu hodot ozačueme m. Tato absolutí chba má často charakter mamálí chb. Jeí výzam e takový, že chba, které se př měřeí hodot skutečě dopustíme, e vžd meší ebo evýš rova chbě m. V ěkterých případech e výhoděší pracovat s relatví sstematckou chbou m měřeé hodot. r Zdroem sstematckých chb e: 1. Omezeá přesost přístroů. Jeí příču e třeba hledat v edokoalém a e zcela přesém provedeí měřcích přístroů. Tpckým příkladem může být edokoalost a epřesost stupc. Tto chb b blo možo odstrat ebo alespoň podstatě zmešt použtím dokoaleších zařízeí, ale v techcké pra b používáí velm přesých přístroů blo často ákladé a těžko realzovatelé. Proto se sažíme v ěkterých případech dosáhout větší přesost, a tím zmešeí sstematcké chb, kalbrací přístroe před měřeím. Kalbrace spočívá v porováí údaů přístroe s úda podstatě přesěšího měřdla a výsledkem e staoveí hodot korekčího faktoru č korekčí křvk, pomocí kterých aměřeé hodot opravueme. Příklad: 3 Mohrovým vážkam bla př teplotě 0 C aměřea hustota vod s 997 kg m. Tabulková hodota hustot vod př této teplotě, což e hodota aměřeá přesěším měřeím, e 3 s 998, 05 kg m. Opravý koefcet k, kterým musíme ásobt každou hodotu hustot s aměřeou těmto vážkam, e dá vztahem k. V ašem případě k = 1,001. s
3 Pro ěkteré sérově vráběé přístroe výrobce udává ech mamálí (evětší přípustou) chbu m. Tak zaručue, že hodota velč aměřeá přístroem bude v celém eho rozsahu mít chbu zpravdla meší, ale aevýš rovou mamálí chbě. Mamálí chba e pro elektrcké ukazovací (ručkové) měřcí přístroe výrobcem udáváa pomocí tříd přesost T. Úda o třídě přesost e obvkle uvede v pravém dolím rohu pod stupcí přístroe, a to p ad začkou udávaící, e-l přístro urče pro střídavý ebo steosměrý proud. Podle platé orm e třída přesost číslo z řad 0,1; 0,; 0,5; 1; 1,5;,5; 5. Mamámí chbu aměřeé hodot lze pak staovt ze vztahu m 1 Tpma, () 100 kde ma e evětší hodota měřeé velč v uvažovaém rozsahu. Mamálí chba e steá, ať měříme v kterékolv část rozsahu, zatímco relatví chba e tím větší, čím meší e měřeá hodota vzhledem k mamálí hodotě v rozsahu. Proto se s elektrckým měřcím přístro sažíme měřt tak, ab výchlka bla pokud možo ve třetí třetě rozsahu. Měříme-l hodotu právě rovou mamálí hodotě rozsahu, e relatví chba měřeé hodot emeší, a e právě rova třídě přesost vádřeé v procetech. Příklad: Měříme s voltmetrem tříd přesost Tp 0, 5 a rozsahu 0 30 V. Naměřeé hodot apětí sou U1 15 V, U 30 V. Mamálí chb vplývaící z tříd přesost sou pro obě aměřeé hodot steé, protože bl měře a edom rozsahu a ech velkost vpočteme ze vztahu () m m 0,010,530 0,15 V. U1 U Relatví chb 0,15 mru 0, ,15 m ru1 0, Hodotu apětí 15 V měříme s relatví chbou 1 %, hodotu 30 V, která e mamálí hodotou rozsahu 0 30 V, měříme s relatví chbou 0,5 %, která e číselě rova třídě přesost. U číslcových elektrckých měřcích přístroů má chba dvě složk: základí chba e chba př referečích podmíkách staoveých výrobcem přístroe a přídavá chba e chba vzkaící př edodržeí referečích podmíek. Základí chba číslcových voltmetrů a číslcových multmetrů se skládá ze dvou složek. Chbou m r v procetech měřeé hodot a počtem kvatzačích kroků N, což e počet edček (dgtů) ežšího místa číslcového zobrazovače a zvoleém rozsahu. Předem e třeba zstt z rozsahu a počtu míst eho zobrazovače, aká hodota měřeé velč odpovídá 1 3
4 dgtu. Teto tvar vádřeí přesost se používá zeméa v zahračí lteratuře, kde úda přesost má apř. tvar 0,0%rdg. dgts, kde zkratka rdg. (readg) zameá čteí. Příklad: Číslcový voltmetr s mamálím údaem 9999 e použt a rozsahu 0 10 V a měřeý úda e 5,000 V. Jeho chba e specfkováa ásledově: 0,01 % údae plus kvatovací krok (0,01%rdg. + dgts). Pro voltmetr e mamálí chba měřeé hodot V 10 V,5 mv. m U Jestlže výrobce eudává formace o přesost měřdla, musíme sam chbu měřdla odhadout. Obvkle chbu m odhadueme tak, že položíme rovu část emešího dílku a stupc přístroe, kterou sme schop eště rozlšt. Zpravdla to bývá 1/ emešího dílku ebo celý dílek. Teto způsob určeí chb m souvsí s tím, že optmálí hodota emešího dílku stupce b měla být výrobcem staovea tak, abchom mohl a stupc odečítat hodot aměřeé velč v souladu s ctlvostí a přesostí daého přístroe ebo měřdla. Takto odhadutou chbu čteí považueme za evětší přípustou chbu m a opět používáme k vádřeí sstematcké chb a eurčtost. Hodot mamálích chb pro ečastě užívaá měřdla sou v tab. 1. Tabulka 1 měřdlo váh praktkatské měřítko pásové měřítko posuvé mkrometr teploměr m (0,01 0,1) g (0,5 1) mm 0,1 mm 0,01 mm (0,5 1) emeší dílek. Použtá metoda. Sstematcká chba vzká epřesostí, edokoalostí ebo evhodostí použtého způsobu měřeí. Například př vážeí a vzduchu vzká sstematcká chba určeé hmotost ako důsledek ezapočteí růzého vztlaku působícího a závaží a vážeý předmět, estlže maí rozdílé obem. Tto chb lze odstrat ebo potlačt buď změou metod ebo vloučeím chb výpočtem (oprava a vztlak). 3. Osobí chb. Jedotlví pozorovatelé se obvkle dopouštěí chb, které souvseí s růzou smslovou koordací a sou pro ě charakterstcké. Uplatňuí se apř. př měřeí časových tervalů, odečtu př zrcátkové metodě apod. Lze e vloučt tím, že subektví měřeí ahradíme obektvím, apř. časový terval měříme místo stopek pomocí čdla spoeého s počítačem. V moha případech, zvláště př složtěších měřeích, elze dostatečě určt a ohodott zdroe sstematckých chb, které se podíleí a epřesost výsledku, a elze proto provést přesé oceěí sstematckých chb. Vžd se však sažíme alespoň o řádový odhad chb. 4
5 3. NÁHODNÉ CHYBY Rozhodeme-l se pro opakovaé měřeí velč X (edotlvé aměřeé hodot velč X ozačueme ), apř. délk předmětu, a provádíme-l e za steých podmíek, t. steým měřdlem za steé teplot a tlaku, zstíme, že výsledk edotlvých měřeí se poěkud lší, až dovedeme určt přesou příču těchto odchlek. Může to být okamžtá malá změa tlaku ebo teplot, proměé magetcké pole v místě měřeí apod. Chba, která se př měřeí realzue, vzká složeím chb od velkého možství edotlvých vlvů uplatňuících se během měřeí. Tto vlv esou pod aší kotrolou, a proto říkáme, že áhodé chb sou způsobe ekotrolovatelým vlv. Chb opakovaých měřeí vtvářeí soubor áhodých chb vkazuící určté statstcké zákotost, které dovoluí staovt vlv áhodých chb a přesost měřeí. Budeme-l apříklad opakovat měřeí délk tčk steým mkrometrem v laboratoř, kde během měřeí kolísala teplota mamálě v rozmezí C a provedeme celkem 100 měřeí, můžeme aměřeé hodot rozdělt podle velkost do skup. Iterval mez hodotam v edotlvých skupách e 0,01 mm, což e právě přesost čteí a mkrometru. Z takto roztříděých hodot lze sestavt závslost absolutí četost aměřeých délek v edotlvých skupách a aměřeé délce a grafck zázort. Toto rozděleí aměřeých hodot, uvedeé a obr. 1, e smetrcké a vsthue e ečastě ormálí Gaussovo rozděleí velč. Obr. 1 Základí otázkou e, kterou ze souboru aměřeých hodot můžeme považovat za esprávěší ebo akým způsobem esprávěší hodotu velč z tohoto souboru hodot určt. Logck se abízí možost považovat za esprávěší tu hodotu, která se v souboru ečastě opakue. Nazýváme epravděpodoběší hodota a odpovídá mamum v ormálím Gaussově rozděleí. Z matematckého vádřeí tohoto rozděleí lze dokázat, že touto hodotou e artmetcký průměr ze všech aměřeých hodot. Platí 5
6 1, (3) kde sou edotlvé aměřeé hodot velč X a e počet měřeí. Protože v uvedeém případě e počet měřeí = 1000 a e ekoečě velký, e získaý soubor aměřeých hodot pouze výběrovým souborem a artmetcký průměr vpočteý podle vztahu (3) e výběrový artmetcký průměr. Čím větší e počet měřeí, tím více se hodota artmetckého průměru přblíží ke skutečé hodotě velč. Další otázkou e, ak sou edotlvé aměřeé hodot rozlože okolo hodot artmetckého průměru. Je zřemé, že čím přesěším měřdlem budeme popsovaé měřeí délk provádět, tím méě budou aměřeé hodot rozptýle kolem hodot artmetckého průměru a křvka rozděleí bude štíhleší. Míru rozptlu aměřeých hodot kolem artmetckého průměru kvattatvě charakterzue směrodatá odchlka s edoho měřeí velč, daá vztahem s 1 1. (4) Častě budeme používat směrodatou odchlku artmetckého průměru, protože opakovaá měřeí budeme vhodocovat pomocí artmetckého průměru. Platí s 1 1. (5) Obě tto odchlk bchom měl přesě azývat výběrové směrodaté odchlk, protože soubor měřeí bl áhodě vbrá ze základího souboru, který představue ekoečý počet aměřeých hodot. Chceme-l početě staovt směrodatou odchlku podle vztahů (4) ebo (5) můžeme s výhodou použít kalkulátor, které umožňuí vpočítat ze zadaého souboru hodot ak artmetcký průměr, tak směrodatou odchlku s, evetuálě s. 4. NEJISTOTY MĚŘENÍ Zatímco chba charakterzovala rozdíl aměřeé hodot od skutečé (pravé) hodot, estota měřeí charakterzue rozsah (terval) hodot měřeé velč kolem výsledku měřeí, který podle očekáváí obsahue skutečou hodotu měřeé velč. Nestota se staoví ee pro výsledek měřeí, ale také pro měřdla, použté kostat, pro korekce apod. Základem určováí estot e statstcký přístup. Předpokládá se určté rozděleí pravděpodobost, které popsue, ak se mohou aměřeé hodot velč X odchlovat od skutečé hodot. Základí charakterstkou estot e stadardí estota ozačovaá písmeem u (z agl. ucertat), a eí mírou e směrodatá odchlka udávaé hodot velč. Stadardí estota udává rozsah hodot okolo aměřeé (staoveé) hodot, ve kterém se s da- 6
7 ou pravděpodobostí achází skutečá hodota. Stadardí estot se podle zdroů, z kterých vzkaí (obdobě ako chb) dělí a stadardí estot tpu A velč X a stadardí estot tpu B velč X. Stadardí estot tpu A velč X sou způsobová áhodým vlv. Staoví se z opakovaých měřeí určté hodot za stále steých podmíek a základě statstckého přístupu a ozačuí se u A. Nestot tpu A se zmešuí se zvětšuícím se počtem opakovaých měřeí. Stadardí estot tpu B sou způsobová zámým a odhadutelým příčam vzku. Stadardí estot tpu B velč X se ozačuí u B. Jech určeí vchází z odhadu sstematckých chb aměřeých hodot. Mohou pocházet z růzých zdroů a př určtém měřeí e výsledá stadardí estota tpu B dáa odmocou ze součtu kvadrátů estot od edotlvých zdroů s respektováím korelací (vzáemých závslostí) mez edotlvým zdro estot. Protože se staoveí estot tpu A B provádí a základě steého přístupu, e možé skládat estot tpu A a B. Sumací kvadrátů stadardí estot tpu A a stadardí estot tpu B se dostae kvadrát kombovaé stadardí estot. Hodotí-l se výsledek měřeí stadardí estotou, pak se euváděí odděleě estot tpu A a tpu B. Kombovaá stadardí estota u udává terval č rozsah hodot, ve kterém se s poměrě velkou pravděpodobostí může vsktovat skutečá hodota velč X. V pra se však často obevue požadavek a zvýšeí pravděpodobost (sížeí rzka) a toho se dosáhe zvětšeím tervalu, který pokrývá estota. Proto se zavádí rozšířeá stadardí estota U, která e dáa vztahem U k u, (6) U kde k U e koefcet rozšířeí ebo pokrtí. Rozšířeá estota má být vžd doplěa údaem o velkost k U. Velkost k U se volí až 3. V posledí době se doporučue volt ku, t. U u, což odpovídá pravděpodobost 95 % pro ormálí rozděleí. Stadardí estotu můžeme vadřovat v edotkách měřeé velč, pak hovoříme o absolutí stadardí estotě, ebo poměrem absolutí estot a hodot příslušé velč, který azýváme relatví stadardí estota. Zaméko se dává před číselou hodotu estot v případě, že se přpoue k hodotě výsledku měřeí. 5. STANOVENÍ STANDARDNÍCH NEJISTOT PŘI PŘÍMÉM MĚŘENÍ Podle způsobu určeí hodot měřeé velč se dělí měřeí a přímé měřeí velč, epřímé měřeí velč. Postup př staoveí stadardích a rozšířeých estot se lší podle toho, zda se edá o přímé ebo epřímé měřeí určté velč č velč. Př přímém měřeí se ezámá hodota zšťue přímým porováím s míram (edotkam) měřeé velč, apř. měřeí délk metrem, měřeí teplot teploměrem, měřeí apětí voltmetrem, staoveí hmotost pomocí vážeí apod. 7
8 Měřeí se provádí buď edou (př většě techckých měřeích) ebo opakovaě. Př opakovaém měřeí se vchází se ze sére měřeí provedeých př stále steých podmíkách a získá se aměřeých hodot. Př edém měřeí b měla být zaručea dostatečě malá áhodá chba, provádí-l se opakovaé měřeí, měl b být počet měřeí eméě 5. Staoveí stadardí estot př přímém měřeí. Jestlže opakovaým měřeím velč X získáme údaů... 1 a výsledek měřeí bude (výběrový) artmetcký průměr daý vztahem (3), e stadardí estota tpu A velč X rova výběrové směrodaté odchlce artmetckého průměru 1 u s A ( ), (7) ( 1) 1 kde e výběrový artmetcký průměr. Pokud e počet opakovaých měřeí meší ež 10 a eí možé určt kvalfkovaý odhad a základě zkušeost, lze stadardí estotu tpu A staovt přblžě a základě vztahu u k s, (8) A kde k e koefcet, ehož velkost závsí a počtu měřeí tak, že pro počet 5 eho hodota začě vzrůstá (pro = 4 e eho hodota 1,7 a pro = 3 e to ž,5). Doporučue se proto volt počet měřeí větší ež 10, v kraím případě větší ež 5. Stadardí estot tpu B sou ěkd ozačová ako sstematcké estot a v moha případech se tak proevuí. Jech určováí e založeo ako v případě estot tpu A a statstckém přístupu. Dříve, ež se přstoupí k měřeí, e třeba aít možé zdroe sstematckých chb (estot tpu B). Zdroe estot tpu B př měřeí (podobě ako sstematcké chb) vzkaí v důsledku: edokoalost měřcích přístroů a měřcí techk, použtých měřcích metod, podmíek př měřeí, odečtu aměřeé hodot (ukazatel aměřeé hodot se achází mez ozačeým dílk stupce a eho polohu určí epermetátor odhadem), a dalších vlvů. Odhad stadardích estot tpu B od edotlvých zdroů estot Z se provádí ásleduícím způsobem: Odhade se pro každý zdro estot mamálí rozsah změ zma, velkost zma se volí taková, ab eí překročeí blo málo pravděpodobé (mamálě přípustá chba ebo emeší dílek stupce). Uváží se, které rozděleí pravděpodobost elépe vsthue výskt hodot v tervalu zma, ab blo možé z mezí odchlk zma staovt směrodatou odchlku příslušeící tomuto tpu rozděleí. Je třeba se rozhodout, ak bude rozdělea pravděpodobost, se kterou může ovlvňuící velča abývat edotlvých hodot mez svým kraím mezem daým z. Nečastě se předpokládá rovoměré rozdě- ma 8
9 leí, pro které e steá pravděpodobost výsktu lbovolé hodot ležící mez kraím mezem. V tomto případě e koefcet, sloužící k přepočtu mezí hodot ovlvňuící velč a směrodatou odchlku 3. Normálí (Gaussovo) rozděleí se volí tehd, e-l pravděpodobost malých odchlek začá a velkých odchlek zaedbatelá a koefcet 3. Určí se estot tpu B od edotlvých zdroů Z ze vztahu u zb z ma, (9) kde udává poměr mezí odchlk ke směrodaté odchlce pro vbraý tp rozděleí. Hodota abývá obvkle hodot 3, evet. 3. Určí se výsledá stadardí estota tpu B podle vztahu B, z z 1 u A u, (10) kde se provádí sčítáí přes všech zdroe estot tpu B. Odhaduté estot od edotlvých zdroů se ve vztahu (10) ásobí koefcet vpočteým pomocí fukčí závslost X f Z1, Z,..., Z. Koefcet A Z, (ctlvostí koefcet) se vpočtou z relací A Z, X. (11) Z Pomocí koefcetů A Z, (ctlvostí) lze převést edotlvé složk estot tpu B a edotk měřeé velč. Vztah (10) platí pouze za určtého předpokladu, t. tehd, estlže eí mez edotlvým složkam estot vazba (korelace). Naštěstí teto předpoklad e ve většě měřeí splě a eí proto uté použít obecěší vzorec pro výpočet výsledé stadardí estot tpu B, který zahrue korelačí koefcet, popsuící míru vzáemé vazb edotlvých vlvů způsobuících estot tpu B. Kombovaá stadardí estota u se př přímém měřeí určue ze vztahu u u u. (1) A B Př dosazováí do vztahu (1) e vhodé posoudt, estl ěkterá složka estot emá rozhoduící výzam, a druhou e pak možo zaedbat. 9
10 Příklad: Měřeí délk l předmětu blo prováděo mkrometrem 0 krát. Z aměřeých hodot délk bla určea směrodatá odchlka artmetckého průměru s 0, 01 mm. Směrodatá odchlka artmetckého průměru e podle vztahu (7) rova stadardí odchlce u la tpu A. Zdroem estot tpu B e pouze omezeá přesost mkrometru, a proto se pro teto případ měřeí určí z mamálí chb mkrometru, která e 0,01 mm. Předpokládáme smetrcké rozložeí hodot 0,01 měřeých mkrometrem v tervalu 0, 01 mm, a proto podle vztahu (9) e ulb mm. 3 0,01 Kombovaá stadardí estota e podle vztahu (1) u l 0,01 0,01 mm. 3 Obě složk estot sou v tomto případě řádově steě velké, a proto emůžeme a edu z ch zaedbat. l 6. STANOVENÍ STANDARDNÍCH NEJISTOT PŘI NEPŘÍMÉM MĚŘENÍ Dosud uvedeý postup předpokládal prováděí přímého měřeí edé velč s ěkolka ovlvňuícím velčam ako zdro estot tpu B. Předpokládeme í, že určueme hodotu velč a základě vztahu, v kterém vstupue eda ebo více přímo měřeých velč a kostat. Nechť velča Y e dáa fukčí závslostí a edé ebo ěkolka přímo měřeých velčách X a kostatách V h, které emaí přesé hodot. Platí Y f X, X,..., X,..., X, V, V,..., V,..., V. 1 m 1 h p Předpokládeme obecý případ, kd měřeí se opakue krát a pro té měřeí se získaí hodot,..., 1 m přímo měřeých velč X,..., 1 X m. Výsledou hodotu staovíme tak, že dosadíme výběrové artmetcké průměr přímo měřeých velč do fukčí závslost. Stadardí estotu př epřímém měřeí lze staovt steým obecým postupem, ako v případě přímo měřeé velč. Staoveí stadardí estot př epřímém měřeí velč lze shrout do ásleduících kroků: Staovíme výběrový artmetcký průměr podle vztahu f,,...,,...,, V, V,..., V,..., V, (13) 1 m 1 h p kde e artmetcký výběrový) průměr té přímo měřeé velč daý vztahem (3). 10
11 Staovíme směrodaté odchlk s pro edotlvé opakovaě měřeé velč X podle vztahu (7), které sou totožé s estotam tpu A, t. u A. Výsledou stadardí estotu u A tpu A určíme a základě estot od edotlvých zdroů podle vztahu m A 1 u s A s, (14) kde A f ( X1,..., X,..., X m, V1,..., Vh,..., Vp) X sou převodí koefcet, echž hodot se vpočítaí dosazeím hodot a V h do parcálích dervací, a které převáděí edotlvé estot do edotek měřeé velč. Pro zedodušeí zde předpokládáme, že hodot kostat V h esou ovlvě estotam. Jestlže eprovádíme opakovaé měřeí, prví tř bod odpadaí a hodotu velč Y dostaeme dosazeím edou měřeých hodot velč X,..., 1 X m a estotu tpu A epočítáme. Určíme všech zdroe složek estot tpu B. Pro každý zdro estot tpu B určíme kraí meze, mez kterým b se měla acházet eho skutečá hodota. Pro každý zdro estot zstíme předpokládaé rozděleí pravděpodobostí výsktu edotlvých hodot mez kraím mezem a podle tpu rozděleí m přřadíme hodot koefcetu ( 3 pro ormálí rozděleí, 3 pro rovoměré rozděleí). Podle vztahu (9) vpočteme estot tpu B od edotlvých zdroů. Vpočteme výsledou stadardí estotu u B tpu B podle vztahu m l B B Vh VhB 1 h1, (15) u A u A u Y kde A, A X Vh Y V h sou převodí koefcet určeé pomocí parcálích dervací, převáděící estot od edotlvých zdroů do edotek určovaé velč. S použtím Gaussova kvadratckého zákoa šířeí estot určíme kombovaou stadardí estotu u u u u. (16) A B Je-l požadavek a zvýšeí pravděpodobost (sížeí rzka) výsktu skutečé hodot v tervalu U, U zavádí vztahem staovíme rozšířeou stadardí estotu U, která se U k u, (17) U 11
12 kde k U e koefcet rozšířeí ebo pokrtí. Hodot koefcetu se obvkle volí od do 3, vět-šou se doporučue volt ku, ab pro ormálí rozděleí odpovídal pravděpodobost pokrtí cca 95 %. Určováí estot př epřímém měřeí e často zatížeo moha dílčím estotam růzých velkostí. Výpočet e možo zedodušt zaedbáím řádově meších výrazů (kvadrátů estot). Přpustíme-l zmešeí pravé stra rovce (16) o 5 % zaedbáím meší z estot, což eovlví praktck velkost výsledé estot, bude uvedeý požadavek a změu výsledé estot splě tehd, estlže složka estot, kterou chceme zaedbat, bude meší ež 1/3 větší. Př kokrétím výpočtu můžeme ted zaedbat všech složk estot, pro ěž bude platt 1 ul uk... u ma. (18) 3 Výpočet estot pro edoduché případ epřímo měřeých velč. Předpokládeme, že hodotu velč Y přímo eměříme, ale určueme pomocí edou měřeých hodot 1, dvou epřímo měřeých velč X1, X. Záme-l tvar fukčí závslost Y f X X 1, a stadardí estot přímo měřeých velč 1B B u, u, lze určt stadardí estotu u B pomocí vztahu (10). Nestota u B e zároveň kombovaou estotou u, vztah (16), protože hodot přímo měřeých velč sou měře pouze edou. Pro kombovaou estotu u dostaeme Y Y u u u 1B B X1 X. (19) Obecý vzorec (19) pro šířeí estot lze ve specálích případech fukčích závslostí ahradt edodušším výraz pro výpočet estot epřímo měřeé velč. Nepřímo měřeá velča e leárí kombace přímo měřeých velč: Y f X, X ax bx, (0) 1 1 kde a, b sou reálá čísla. Z kvadratckého zákoa šířeí estot, vztah (19) vplývá, že kombovaá stadardí estota velč Y e u a u b u. (1) 1B B Pro prostý součet a rozdíl dvou velč: Y f X, X X X () 1 1 1
13 se (1) redukue a ásleduící vztah u u u. (3) 1B B V případě, kd určueme estotu velč, která e rova součtu ebo rozdílu dvou velč, e eí výsledá estota rova odmocě součtu kvadrátů estot přímo měřeých velč. Pro zpřesěí výsledku má smsl zpřesňovat měřeí té velč, eíž absolutí estota e evětší. Příklad: Určueme tloušťk stě dutého válce. Věší průměr válečku d1 1,1 mm, vtří průměr d 8,1 mm, rozměr bl změře posuvým měřítkem. Chba údae posuvého měřítka e pro rozměr steá, m1 m 0,1 mm. Předpokládáme-l, že hodot sou v rozmezí 0,1mm rozlože rovoměrě, pak podle vztahu (9) 0,1 ud 1B udb mm, 3 eboť pro rovoměré rozděleí hodot platí, že 3. 1 Ozačíme-l tloušťku stě, pak pro platí d1 d. Nestota určeí e podle vztahu (3) rova ,1 0,1 u ud 0,041 mm 1B ud 1B Tloušťka stě e určea s estotou 0,041 mm. Kdbchom chtěl zpřest měřeí, e třeba zpřest měřeí obou rozměrů d 1 d, protože se podíleí a výsledé estotě rovým dílem. Nepřímo měřeá velča e moca přímo měřeých velč: f X, X a, (4) m 1 1 kde a, m, sou reálé kostat. Z obecého vztahu (10) vplývá, že relatví (poměrá) stadardí estota tpu B velč Y e u m u u. (5) r r1 r Pro prostý souč ebo podíl dvou velč X1, X se výraz (5) redukue a vztah u u u. (6) r r1 r 13
14 V případě, kd určueme estotu velč, která e rova souču ebo podílu dvou velč, e eí relatví estota rova odmocě ze součtu kvadrátů relatvích estot přímo měřeých velč. Pro zpřesěí výsledku má smsl zpřesňovat měřeí té velč, eíž relatví estota e evětší ebo se ve vztahu (5) vsktue ve všší mocě. Příklad: Určueme estotu elektrckého odporu R spotřebče pro proud I 100 ma měřeého s mamálí chbou mi 0,5 ma, apětí a spotřebč U 00 V s mamálí chbou mu 5V. Předpokládáme, že pro hodot apětí a proudu v rozmezí chb platí ormálí rozděleí, a proto podle vztahu (9) 0,5 5 uib ma 0,17 ma, uub V 1, 7 V 3 3 a relatví estot sou 0,17 3 1, 7 3 uri 1,7 10, uru 8, U Protože elektrcký odpor souvsí s proudem I a apětím U vztahem R, platí pro relatví I stadardí estotu tpu B elektrckého odporu R určeého z edoho měřeí proudu a apětí vztah (6). Př výpočtu sme vužl defčí vztah pro relatví estotu. Velkost relatví estot elektrckého odporu čí 0,87 %. Z výpočtu vplývá, že hodota apětí má pětkrát větší relatví estotu ež hodota proudu. Zlepšeí přesost výsledku b blo možo dosáhout apř. použtím voltmetru s lepší třídou přesost. 7. VÝSLEDEK MĚŘENÍ Z předchozích odstavců vplývá, že výsledkem měřeí e ee hodota velč, ale současě eí estota. Př zpracováí měřeí e třeba dodržet určtý postup, který shrueme do ěkolka bodů. V případě přímo měřeé velč: K přímo měřeé velčě X staovte ebo alespoň odhaděte zdroe všech sstematckých chb a uvažte, akým rozděleím se budou hodot v rámc chb řídt. Vpočtěte stadardí estotu tpu B velč X podle vztahu (10). Je-l velča měřea opakovaě, staovte eí artmetcký průměr a směrodatou odchlku s, která e rova stadardí estotě u A. Staovte kombovaou stadardí estotu podle vztahu (1). 14
15 V případě epřímo měřeé velč: V případě, že ěkteré velč měříte opakovaě, staovte výběrový artmetcký průměr dosazeím artmetckých průměrů edotlvých přímo měřeých velč X podle vztahu (13). Staovte směrodaté odchlk s pro edotlvé opakovaě měřeé velč X podle vztahu (7), které sou totožé s estotam tpu A, t. u A. Výsledou stadardí estotu u A tpu A určete a základě estot od edotlvých zdroů podle vztahu (14). Jestlže eprovádíte opakovaé měřeí, prví tř bod odpadaí. Určete všech zdroe složek estot tpu B přímo měřeých velč a epřesost kostat. Pro každý zdro estot tpu B určete kraí meze, mez kterým b se měla acházet skutečá hodota a zstěte předpokládaé rozděleí pravděpodobostí výsktu edotlvých hodot mez kraím mezem a podle tpu rozděleí m přřaďte hodot koefcetu ( 3 pro ormálí rozděleí, 3 pro rovoměré rozděleí). Jestlže s este st výběrem rozděleí, použte hodotu 3. Podle vztahu (9) vpočtěte estot tpu B od edotlvých zdroů. Staovte výsledou stadardí estotu u B tpu B podle vztahu (15). S použtím Gaussova kvadratckého zákoa šířeí estot, vztah (16) určete kombovaou stadardí estotu u. Je-l požadavek a zvýšeí pravděpodobost (sížeí rzka) výsktu skutečé hodot v tervalu U, U vztahu (17). staovte rozšířeou stadardí estotu U podle Záps výsledku Obvkle se výsledek měřeí uvádí ve tvaru, (7) kde e výsledek měřeí a e estota. Př každém úda estot musí být asě uvedeo, o akou estotu se edá. Pro stadardí estot tpu A se uvádí: počet opakovaých měřeí a výběrové směrodaté odchlk. Pro stadardí estot tpu B se uvádí: uvažovaé zdroe estot, výchozí hodot a hodot vpočítaých estot pro edotlvé zdroe. Všech potřebé údae e vhodé přehledě sestavt do ásleduící tabulk: velča hodota mamálí pravděpod.ctlvostí příspěvek rozmezí rozděleí koefcet k estotě Nestota ve výsledku se zaokrouhlue evýš a dvě cfr, vžd ahoru, a hodota velč se zaokrouhlí tak, ab se řád posledí cfr hodot velč estot shodoval. 15
16 Příklad: Měřeím bla staovea vlová délka světla helum eoového laseru 63,84 m s estotou u 1, 9 m. Nestotu zaokrouhlíme a dvě platé cfr a tomu přzpůsobíme posledí cfru hodot vlové délk. 63,8 1,3 m. Záps výsledku měřeí vlové délk e 8. VYROVNÁNÍ FUNKČNÍ ZÁVISLOSTI Př moha techckých měřeích všetřueme závslost edé velč a druhé. Měříme proto hodot edé velč pro určté hodot velč druhé. Předpokládeme pro edoduchost, že velča e fukcí pouze edé velč. Závslost vadřueme zápsem f a pro růzé hodot argumetu měříme hodot. Provedeme-l taková měřeí, e výsledkem soubor hodot a, přčemž hodot,..., 1 ezávsle proměé velč volíme a m odpovídaící hodot,..., 1 dostaeme ako výsledek měřeí. Úkolem obvkle bývá určt ebo potvrdt tp závslost f, evetuálě určt parametr této závslost. Chb aměřeých hodot způsobuí, že soubor aměřeých hodot,..., 1 esplňue fukčí závslost zcela přesě, a proto se musíme zabývat problémem, ak co elépe proložt aměřeé hodot očekávaou fukčí závslostí. Počet aměřeých hodot přtom esmí být přílš malý. Problémem optmálího vrováí aměřeých hodot fukčí závslostí se zabývá regresí aalýza. Dále probereme edu z metod často používaých v regresí aalýze, metodu emeších čtverců. Metoda emeších čtverců (MNČ) Nezáměší metodou, kterou vrováváme soubor aměřeých hodot,..., 1 eplctě vádřeou fukčí závslostí f, e MNČ. Tato metoda e početě sce dost áročá, ale bývá součástí softwarového vbaveí počítačů vědeckých kalkulátorů a e k dspozc ve cvčé laboratoř. Prcp MNČ vložíme a eedodušším případu, kd aměřeé hodot odpovídaící hodotám maí ležet a přímce procházeící počátkem. Naším úkolem e ted aměřeé hodot co elépe vrovat leárí závslostí a a určt optmálí hodotu parametru a a dále eho chbu a estotu. MNČ e založea a splěí požadavku, ab součet čtverců odchlek aměřeých hodot pro edotlvá od vrovaých hodot a, bl mmálí. Parametr a přtom určueme. Musí ted platt m, (8) 1 16
17 kde a a e počet měřeí. Pro edotlvé dvoce hodot, můžeme ted vádřt z rozdílů 1 1 a1 a a Požadavek mma z rovce (8) e splě tehd, e-l dervace výrazu a levé straě rovce podle parametru a rova ule. 1 a 0 (9) Dosazeím za do rovce (8) dostaeme a a a a a a... m (30) Provedeím dervace levé stra rovce (9) podle a získáme výraz a a a eho úpravou dále dostaeme a 1... a Teto výraz se podle (9) rová ule a pro a ted platí a 1 1. (31) V případě obecé přímk tpu a b bchom dostal mohem komplkovaěší výraz pro staoveí mma a hledal bchom dva parametr a, b této fukčí závslost z podmíek pro ulové dervace. 17
18 Postupem výpočtu chb a ted estot a, b tpu A se v tomto skrptu ebudeme zabývat, protože eho umercký výpočet e dost komplkovaý a bývá součástí softwarového vbaveí pro MNČ. Pro výpočet estot ua, u b parametrů a, b budeme chb parametrů vplývaící z výpočtu považovat za ech směrodaté odchlk. Příklad: Vrováí přímé úměrost metodou emeších čtverců. Doba kvu kvadla bla měřea stopkam s mezčasem tak, že měřeí započalo v čase t = 0, dále bl zazameává okamžk průchodu kvadla rovovážou polohou po každém kvu. Blo aměřeo celkem 5 hodot času. (pořadové číslo měřeí) t (aměřeé čas v s) 4,1 7,8 1,0 16, 19,9 Dále předpokládáme, že doba kvu se s časem eměí, t. aměřeé hodot t b měl ležet, kde odpovídaí hodotám ezávsle proměé a t hodotám závsle pro- a přímce t a měé v obecé fukčí závslost a. Naměřeé hodot chceme co elépe vrovat přímkou doucí počátkem. Závslost aměřeých a vrovaých hodot času a pořadovém čísle měřeí e a obr.. Parametr a vpočteme podle vztahu (31) 5 t 1 60 a Na základě vpočteého a, což e zároveň určeá doba kvu a 4s, můžeme staovt vrovaé hodot t. t (aměřeé čas v s)) 4,1 7,8 1,0 16, 19,9 a (vrovaé hodot v s)
19 Obr. Skupová metoda Pro aměřeé hodot, o kterých předpokládáme, že splňuí fukčí závslost a, e možé provést vrováí také skupovou metodou. Tato metoda e založea a grafcké metodě hledáí těžště bodů reprezetuící aměřeé hodot. Předpokládáme, že platí 1 a 0, ted a, kde e počet měřeí. 1 1 Pro a dostaeme vztah a 1 1. (3) Přtom musíme předpokládat, že všech bod sou změře steě přesě a přsuzueme m steou váhu. Vrováí leárí závslost e samozřemě edodušší ež vrováí obecěších závslostí. Proto se vžd, pokud e to možé, sažíme převést měřeou fukčí závslost a leárí, apř. vhodou matematckou úpravou. 19
20 Příklad: Měříme hodot velč N vhovuící fukčí závslost tpu N N z aměřeých dvoc, 0 l N, ep 0, a úkolem e N určt hodotu. Závslost převedeme a leárí úpravou do tvaru N což e ž rovce přímk procházeící počátkem, protože pro 0, e N N0 a úloha se redukue a fukčí závslost tpu a, kde l N a určovaý parametr a. 0 N 0
Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota
Více[ jednotky ] Chyby měření
Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá
VíceChyby přímých měření. Úvod
Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,
VíceP1: Úvod do experimentálních metod
P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu
VíceOptimalizace portfolia
Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí
VíceMěření závislostí. Statistická závislost číselných znaků
Měřeí závslostí Statstcká závslost číselých zaků - závslost dvou velč lze vádřt ako ech fukčí vztah vzorcem, taulkou hodot příslušé fukce eo grafck; - mez zak zkoumaých evů zšťueme estec příčé (kauzálí
VíceVY_52_INOVACE_J 05 01
Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
Více, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle
Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
Více11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad
. Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé
Více3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.
3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet
Vícejsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x
Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém
VíceIII. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ
III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ Způsob, jímž se provádí fzkálí měřeí, závsí jedak a povaze měřeé velč, jedak a tom, ze kterých vztahů pro měřeou velču vjdeme a jakých přístrojů použjeme. Všech měřcí
VíceLineární regrese ( ) 2
Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceÚvod do zpracování měření
Úvod do zpracováí měřeí Teore chb Opakujeme-l měřeí téže fzkálí velč za stejých podmíek ěkolkrát za sebou, dostáváme zpravdla růzé hodot. Měřeé velčě přísluší však jedá správá hodota. Každou odchlku aměřeé
Vícea další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.
Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
VíceTento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i
: ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru
Více1. Základy měření neelektrických veličin
. Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost
VíceLABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:
VíceZákladní požadavky a pravidla měření
Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu
Více1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru
Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceÚvod do korelační a regresní analýzy
Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VíceZhodnocení přesnosti měření
Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2
SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor
1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
Více9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost
Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,
VíceMendelova univerzita v Brně Statistika projekt
Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4
Více4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností
4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceChyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné
CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou
VíceL A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.
VíceT e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.
Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB
VíceRegrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n
Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =
VíceOdhady a testy hypotéz o regresních přímkách
Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží
VícePřednáška č. 2 náhodné veličiny
Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující
VíceInterpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2
Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z
VíceSpolehlivost a diagnostika
Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore
VíceEKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model
EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
VíceNepředvídané události v rámci kvantifikace rizika
Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
VíceS1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák
SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
VíceOVMT Přesnost měření a teorie chyb
Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.
Více8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 8 Pavel Třasák ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
VíceÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I
JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
VíceU. Jestliže lineární zobrazení Df x n n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VíceÚvod do teorie měření
Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých
Více1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)
Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5
Více11. Popisná statistika
. Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př
VíceVýukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí
VíceUSTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH
USTÁLENÉ POUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KOYTECH ovoměré prouděí Charakterstka:. Hloubka vod v kortě, průtočá plocha a průřezová rchlost jsou v každém příčém řezu kostatí.. Čára eerge, vodí hlada a do korta jsou
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Více1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI
1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,
Více2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE
STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
VíceTest dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VícePravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci
Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí
VíceTéma 1: Pravděpodobnost
ravděpodobot Téma : ravděpodobot ředáša - ravděpodobot áhodého evu Náhodý pou a áhodý ev Náhodý pou - aždá čot, eíž výlede eí edozačě urče podmíam, za terých probíhá apř hod otou, měřeí dély, běh a 00
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceIntervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním
Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí
Více1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha
74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceDoc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj
VícePřednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění
Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
Více12. Neparametrické hypotézy
. Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,
VíceNáhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost
S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem
Více9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304
935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
Více