MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce
|
|
- Dagmar Beránková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 2016 JOSEF ŘÍHA
2 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Zobecněné trigonometrické funkce Bakalářská práce Josef Říha Vedoucí práce: prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. Brno 2016
3 Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Josef Říha Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Zobecněné trigonometrické funkce Matematika Finanční a pojistná matematika prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. Akademický rok: 2015/2016 Počet stran: vii + 20 Klíčová slova: zobecněné trigonometrické funkce; p-laplacian; zobecněný sinus; funkce horní meze; p-kružnice
4 Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Josef Říha Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Generalized trigonometric functions Mathematics Financial and Insurance Mathematics prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. Academic Year: 2015/2016 Number of Pages: vii + 20 Keywords: generalized trigonometric function; p-laplacian; generalized sinus; function of the upper limit;p-circle
5 Abstrakt V této bakalářské práci se věnujeme zobecněným trigonometrickým funkcím. V úvodu se podíváme na propojení zobecněných trigonometrických funkcí s diferenciálními rovnicemi. V první kapitole si připomeneme definici a základní vlastnosti trigonometrických funkcí a konečně ve druhé kapitole se věnujeme definici a vlastnostem zobecněných trigonometrických funkcí.
6 Abstract In this thesis we study generalized trigonometric functions. In the introduction we point to connection with differential equation. In Chapter 1 we define familiar trigonometric function and we remind its properties. In Chapter 2 we define generalized trigonometric functions and we deal with their properties.
7
8 Poděkování Tímto bych rád poděkoval prof. RNDr. Janu Slovákovi, DrSc. za odborné vedení mé práce, za cenné rady a čas, který strávil čtením a konzultací tohoto textu. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 23. května Josef Říha
9 Obsah Úvod Kapitola 1. Základní pojmy Definice a vlastnosti trigonometrických funkcí Definice a vlastnosti hyperbolických funkcí Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce Seznam obrázků Seznam tabulek Přehled použitého značení Seznam použité literatury viii
10 Úvod K vysvětlení co jsou zobecněné trigonometrické funkce, mějme p (1, ) a definujme funkci arcsin p, což je zobrazení z intervalu 0,1 do intervalu 0, ), jako arcsin p x = x 0 1 dt. (1) p (1 t p ) Pomocí inverzní funkce dostaneme funkci sin p, která je definovaná pouze na intervalu 0, π p 2, kde π p = p dt, ale jsme schopni tuto funkci rozšířit na R pomocí symetrie a periodicity. Takto definovaná funkce sin p se shoduje se známou funkcí sinus, (1 t p ) pokud p = 2. Pozornost si tyto funkce zaslouží díky propojení s jednodimenzionálním p- Laplacianem. Například jsou řešením Dirichletova problému: ( u p 2 u ) = λ u p 2 u na (0,π p ) a u(0) = u(π p ) = 0. Ukažme si, že to mu tak skutečně je. Nejdříve uvažujme klasický Dirichletův problém pro Laplaceův operátor : Můžeme spočítat, že vlastní čísla mají tvar: s odpovídajícími vlastními funkcemi: Pak tedy mějme analogický problém: u = λu na (0,1) a u(0) = u(1) = 0. λ n = (nπ) 2, n N, u n (t) = sin(nπt), n N, p u = λ u p 2 u na (0,1) a u(0) = u(1) = 0. V článku [3] je ukázáno (jak lze i snadno ověřit přímým dosazením), že všechna vlastní čísla tohoto problému jsou tvaru: s odpovídajícími vlastními funkcemi: λ n = (nπ p ) p p p, n N, p = p p 1 u n (t) = sin p (nπ p t), n N. 1
11 Úvod 2 Samozřejmě nemůžeme očekávat, že tyto zobecněné trigonometrické funkce budou mít stejné vlastnosti jako klasické trigonometrické funkce, například u nich neplatí velká většina identit, které známe z trigonometrie. Později si ukážeme, že ty funkce jsou diferencovatelné. Dále můžeme tyto funkce zobecnit, tak že definujeme funkci arcsin p,q kde p (1, ), která zobrazuje interval 0,1 na interval 0, jako arcsin p,q x = x 0 1 dt. (2) p (1 t q ) Opět dostaneme pomocí inverze funkci sin p,q, která je shodná se sin p pro p = q a je propojená s Dirichletovým problémem pro p,q-laplacian: ( u p 2 u ) = λ u q 2 u na (0,π p,q ) a u(0) = u(π p,q ) = 0. p-laplacian nebo také p-laplaceův operátor je parciální diferenciální operátor druhého řádu, je zobecněním Laplaceova operátoru, kde p (1, ). A můžeme ho zapsat následovně: p u = ( u p 2 u), (3) kde, u p 2 = ( ( u x 1 ) 2 ( ) ) p 2 u x n Ve speciálním případě pro p = 2, dostaneme klasický Laplacian, který lze zapsat takto: (( 2 ) ( u 2 )) u u = + + (5) x 2 1 p-laplacian se používá k minimalizaci l p normy gradientu. Obecně můžeme uvažovat nějaký jiný "průměrovací"diferenciální operátor, který má předpis (D u). Například v rovnici vedení tepla, λ (( 2 ) u x 2 + je D konstantní difuzní koeficient λ. ( 2 ) u y 2 + x 2 n ( 2 )) u z 2 = u t (4) (6)
12 Kapitola 1 Základní pojmy V této kapitole si připomene základní definice a vlastnosti trigonometrických funkcí, které budeme porovnávat s poznatky o zobecněných trigonometrických funkcích. 1.1 Definice a vlastnosti trigonometrických funkcí Definice 1.1. Máme-li orientovaný úhel x v pravoúhlé soustavě souřadnic tak, aby jeho vrchol ležel v počátku souřadnicového systému a jedno jeho rameno splynulo s kladnou poloosou x pak, jestliže budeme pozorovat průsečík P druhého ramene úhlu x s jednotkovou kružnicí, můžeme hodnoty sinx a cosx definovat takto: 1. P sinx x cosx Obrázek 1.1: Jednotková kružnice 1. sin x je definován jako y-ová souřadnice průsečíku P druhého ramene orientovaného úhlu x s jednotkovou kružnicí. 3
13 Kapitola 1. Základní pojmy 4 2. cos x je definován jako x-ová souřadnice průsečíku P druhého ramene orientovaného úhlu x s jednotkovou kružnicí. 3. tgx je definován jako poměr sinx a cosx, tedy tgx = sinx cosx 4. cotgx je definován jako poměr cosx a sinx, tedy cotgx = cosx sinx Můžeme si tedy sestrojit grafy těchto funkcí. (1.1) (1.2) Obrázek 1.2: Graf funkce sinx Obrázek 1.3: Graf funkce cosx Obrázek 1.4: Graf funkce tgx Obrázek 1.5: Graf funkce cotgx Ted si uvedeme některé základní identity, které platí pro trigonometrické funkce. Tyto identity budeme formulovat jako věty, které dokážeme.
14 Kapitola 1. Základní pojmy 5 Věta 1.1. Pro všechna x R platí Důkaz. Přímo z definice 1.1 a Pythagorovy věty. π2 Věta 1.2. Pro všechna x k, kde k Z platí Důkaz. Přímo z definice 1.1. sin 2 x + cos 2 x = 1 (1.3) tgx cotgx = 1 (1.4) V následující větě uvádíme součtové vzorce. Dokazovat je nebudeme pomocí axiomatické (syntetické) geometrie, ale použijeme elegantní Eulerovu identitu e ix = cosx+isinx. Věta 1.3. Pro všechna x,y R platí sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny (1.5) cos(x + y) = cosx cosy sinx siny (1.6) sin(x y) = sinx cosy cosx siny (1.7) cos(x y) = cosx cosy + sinx siny (1.8) Důkaz. Identitu 1.5 a 1.6 dokážeme pomocí Eulerovy identity: cos(x + y) + isin(x + y) = e i(x+y) = e ix e iy = (cosx + isinx) (cosy + isiny) = kde e je Eulerovo číslo a x R a po roznásobení závorek dostáváme = (cosx cosy sinx siny) + i(sinx cosy + cosx siny) porovnáním reálné a imaginární části dostáváme dokazované identity. cos(x + y) = (cosx cosy sinx siny) sin(x + y) = (sinx cosy + cosx siny) Identity 1.7 a 1.8 analogicky. Vzorce pro dvojnásobný úhel dostáváme okamžitě ze součtových vzorců. Věta 1.4. Pro všechna x R platí Důkaz. Plyne z 1.5 a 1.6 pro x = y. sin2x = 2 sinx cosx (1.9) cos2x = cos 2 x sin 2 x (1.10)
15 Kapitola 1. Základní pojmy Definice a vlastnosti hyperbolických funkcí Ted se můžeme podívat na definici a vlastnosti funkcí hyperbolických. Jako hyperbolické funkce označíme skupinu funkcí podobnou funkcím trigonometrickým. Základními hyperbolickými funkcemi jsou hyperbolický sinus, cosinu a z nich odvozeny tangens a kotangens. Definice 1.2. Hyperbolické funkce jsou definovány následujícími vzorci: kde e je Eulerovo číslo a x R. sinhx = ex e x 2 coshx = ex + e x 2 tghx = sinhx coshx cotghx = coshx sinhx (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) Následující věta plyne ihned z definice. My si ji ale dokážeme pomocí derivace, díky níž zjistíme, že výraz cosh 2 x sinh 2 x je roven konstantě. Stejný postup lze využít i při dokazování Pythagorovy identity. Věta 1.5. Pro všechna x R platí cosh 2 x sinh 2 x = 1 (1.15) Důkaz. Jednou z možností jak dokázat tuto identitu je pomocí derivace levé strany. Z diferenciálního počtu víme, že dx d sinhx = coshx a dx d coshx = sinhx. Označme levou stranu této identity jako f (x). Pak d dx f (x) = 2 coshx coshx 2 sinhx coshx = 0. Jelikož je derivace funkce f (x) nulová, tak tato funkce musí na celém svém definičním oboru konstantní. Vyčíslíme funkci f (x) v libovolném bodě a díky konstantnosti víme, že této hodnoty nabývá na celém R. cosh 2 0 sinh 2 0 = 1 Věta 1.6. Pro všechna x R platí tghx cotghx = 1 (1.16)
16 Kapitola 1. Základní pojmy 7 Důkaz. Přímo z definice 1.2. Součtové vzorce hyperbolických funkcí jsou velmi podobné těm u trigonometrických funkcí, tedy až na nějaké to znaménko. Důkaz provedeme dosazením z definice a počítáním upravujeme. Věta 1.7. Pro všechna x,y R platí sinh(x + y) = sinhx coshy + coshx sinhy (1.17) cosh(x + y) = coshx coshy + sinhx sinhy (1.18) sinh(x y) = sinhx coshy coshx sinhy (1.19) cosh(x y) = coshx coshy sinhx sinhy (1.20) Důkaz. Důkazy těchto identit jsou technická záležitost a proto uvedeme pouze druhou z nich. coshx coshy + sinhx sinhy = ex +e x 2 ey +e y 2 + ex e x 2 ey e y 2 = = 1 4 (ex+y + e x y + e x+y e x y ) (ex+y e x y e x+y e x y ) = = 1 4 (2 ex+y + 2 e x y ) = ex+y +e x y 2 = cosh(x + y) Identity 1.17, 1.19 a 1.20 analogicky. Vzorce pro dvojnásobný úhel opět dostáváme okamžitě ze součtových vzorců. Věta 1.8. Pro všechna x R platí Důkaz. Plyne z 1.17 a 1.18 pro x = y. sinh2x = 2 sinhx coshx (1.21) cosh2x = cosh 2 x + sinh 2 x (1.22)
17 Kapitola 1. Základní pojmy 8 Na závěr si ještě můžeme hyperbolické funkce nakreslit. Obrázek 1.6: Graf funkce sinhx Obrázek 1.7: Graf funkce coshx Obrázek 1.8: Graf funkce tghx Obrázek 1.9: Graf funkce cotghx
18 Kapitola 2 Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce Druhá kapitola nám představí zobecněné trigonometrické funkce. Nejprve si ale připomeňme některé důležité poznatky ze základních kurzů matematické analýzy. 1 dx = arcsinx (2.1) (1 x 2 ) 1 dx = argsinhx (2.2) (1 + x 2 ) kde arcsin je funkce arkus sinus tedy funkce inverzní k funkci sinus a argsinh je funkce argument hyperbolického sinu a je inverzí k hyperbolickému sinu. Definice 2.1. Zobecněný arcsin p,q s parametry 1 < p,q < definujeme jako integrál horní meze, kde x 0,1 : x 1 arcsin p,q x = dt (2.3) p 0 (1 t q ) Jelikož výraz 1 p (1 t q ) je kladný na intervalu (0,1), funkce arcsin p,q je rostoucí a prostá funkce, která zobrazuje interval 0,1 na 0, π p,q 2 kde, 1 π p,q = dt (2.4) p (1 t q ) Definice 2.2. Funkci sin p,q definujeme jako inverzní funkci k funkci arcsin p,q. Takto definovaná funkce zobrazuje interval 0, π p,q 2 na interval 0,1. Funkci sin p,q rozšíříme na interval 0,π p,q následujícím dodefinováním: 9
19 Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 10 sin p,q x = sin p,q (π p,q x), kde x π p,q 2,π p,q Takto definovanou funkci sin p,q můžeme rozšířit na interval π p,q,π p,q použitím lichosti. Na celé R funkci rozšíříme pomocí 2π p,q -periodičnosti. Můžeme si sestrojit graf funkce sin 6,6. K sestrojení tohoto grafu využijeme software Maple. Čtenáři dáváme k dispozici i kód s jehož pomocí si může sestrojit další grafy. Poznámka. #Zacneme nadefinovanim integralu horni meze. fce := proc (x) options operator, arrow; int(1/(-t^6+1)^(1/6), t = 0.. x) end proc; #Dale vytvorime inverzi pomoci nasledujiciho prikazu, #kterou si muzeme vykreslit. f := solve(fce(invfce) = x, invfce); plot(f, x = ); #Tento zpusob nam neda moc dobry vysledek, proto pro vykresleni #pouzijeme kombinaci funkci pri zvoleni vhodneho intervalu. f1 := solve(fce1(invfce) = x, invfce); f2 := solve(fce1(invfce) = x , invfce); f3 := solve(fce1(invfce) = x , invfce); #Posledni prikaz nam vykresli nas graf. plot({f1, f3, -f2}, x = 0.. 5); Obrázek 2.1: Graf funkce sin 6,6 x
20 Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 11 Musíme poznamenat, že tento způsob by měl fungovat vždy, ale vykreslení grafu tímto způsobem trvá velmi dlouho. Můžeme si tedy některé grafy vykreslit jako aproximace řešení rovnice uvedené v úvodu. Opět si můžeme v poznámce ukázat jak na to. Poznámka. #Za neme na tením knihovny. with(detools): #Nadefinujeme rovnici do prom nné. rovnice := -(diff(abs(diff(u(t), t))^(p-2)* (diff(u(t), t)), t))-lambda*abs(u(t))^(p-2)*u(t) #Dosadíme za prom nné. p := 2.1: lambda := 1: #Vykreslíme e²ení. DEplot(rovnice, u(t), t = 0.. 7, u = , [[u(0) = 0, (D(u))(0) = 1]]) Obrázek 2.2: Graf funkce sin 2,5,2,5 Obrázek 2.3: Graf funkce sin 2,8,2,8
21 Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 12 Obrázek 2.4: Graf funkce sin 2,1,2,1 Nyní se podívejme na vybrané aproximace hodnot π p,q, kde p = q. Uvedeme je v následující tabulce a budeme tyto aproximace jsme počítat z 2.4 pomocí software Wolframalpha. Tabulka 2.1: Aproximace vybraných hodnot π p,p π p,p p π p,p 2 3, , , , , , , , , Poznamenejme, že uzavřená oblast ohraničená takzvanou p-kružnicí nebo můžeme říct jednotkovou kružnicí v l p normě. S p = {(x,y) R 2 ; x p + y p = 1} (2.5) p p 1. má obsah π p,p, kde p = Zobecněné trigonometrické funkce lze také definovat pomocí jednotkové p-kružnice podobně jako nám dobře známe trigonometrické funkce. Tedy sin p,p x můžeme definovat jako y-ovou souřadnici průsečíku P, který vznikne jako průnik jednotkové p-kružnice s druhým ramenem úhlu x, který má vrchol v bodě (0,0) a jeho první rameno je kladná poloosa x. cos p,p x je pak souřadnice x-ová. Můžeme si některé tyto kružnice nakreslit.
22 Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 13 Obrázek 2.5: Jednotková l 3 kružnice Obrázek 2.6: Jednotková l 4 kružnice Obrázek 2.7: Jednotková l 9 kružnice Obrázek 2.8: Jednotková l kružnice Věta 2.1. Pro každé x R je funkce sin p,q diferencovatelná. Důkaz. Označme f (x) = arcsin p,q x = x 1 0 p dt, x 0,1. f (x) je integrálem horní (1 t q ) meze, takže je diferencovatelná ve všech vnitřních bodech. Funkce sin p,q je tedy určitě diferencovatelná na intervalu 0, π p,q 2 ). Musíme tedy vyřešit situaci v bodě π p,q 2. Je zřejmé že, lim x 1 f (x) =. Pak tedy z definice derivace a L Hospitalova pravidla víme, že lim x 1 f (x) = f (1) =. Pak z věty o derivaci inverzní funkce víme ( f 1 (1)) 1 = = 0, tedy funkce sin f ( f 1 (1)) p,q má v bodě π p,q 2 nulovou derivaci, což nám zajistí, že můžeme funkci v bodě π p,q 2 hladce navázat a takto sestrojená funkce je opravdu na celém R diferencovatelná.
23 Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 14 Díky tomu, že funkce sin p,q je diferencovatelná na celém R, můžeme definovat funkci cos p,q jako derivaci funkce sin p,q. Definice 2.3. Funkci cos p,q x definujeme následovně: cos p,q x = d dx sin p,q,x R (2.6) Je zřejmé, že funkce cos p,q je sudá, periodická s periodou 2π p,q a lichá podle bodu π p,q 2. Věta 2.2. Necht x 0, π p,q 2, pak Důkaz. Nejprve označme: cos p,q x = p 1 (sin p,q x) q (2.7) F p,q x = arcsin p,q x = x 0 1 p (1 t q ) dt Potom z definice cos p,q x můžeme napsat: cos p,q x = d dx sin p,q x = d dx ((F p,qx) 1 ) = d dx (( x 0 1 p (1 t q ) dt) 1 ) Z věty o derivaci inverzní funkce víme: nejprve spočteme d dx F p,qx potom, d dx (F p,qx) 1 1 = d dx F p,q((f p,q x) 1 ) d dx F p,qx = dx d ( x 1 0 p dt) = (1 (1 t q ) xq ) 1 p d dx F p,q((f p,q x) 1 ) = (1 ((F p,q x) 1 ) q ) 1 p = (1 (sin p,q x) q ) 1 p a konečně dostáváme identitu: cos p,q x = 1 d dx F p,q((f p,q x) 1 ) = (1 (sin p,q x) q ) 1 p Lze analogicky ověřit, že tato identita má na intervalu π p,q 2,π p,q tvar: Důsledek 2.3. Pro všechna x R platí Důkaz. Tato identita je přímým důsledkem věty 2.2. cos p,q x = p 1 (sin p,q x) q (2.8) sin p,q x q + cos p,q x p = 1 (2.9)
24 Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 15 Všimněme si, že pro p = q = 2 dostáváme identitu 1.1. Definice 2.4. Funkci tg p,q definujeme jako podíl sin p,q a cos p,q, tedy: tg p,q x = sin p,q x cos p,q x (2.10) Definice 2.5. Funkci cotg p,q definujeme jako podíl cos p,q a sin p,q, tedy: cotg p,q x = cos p,q x sin p,q x (2.11) Poznámka. Všimněme si, že pro p = q = 2 dostáváme klasické trigonometrické funkce. Ted si uvedeme několik identit týkajících se derivací zobecněných trigonometrických funkcí, které plynou přímo z jejich definic. Věta 2.4. Pro všechna x 0, π p,q 2 platí d dx cos p,q x = p q (cos p,q x) 2 p (sin p,q x) q 1 (2.12) d dx tan p,q x = 1 + p(sin p,q x) q q(cos p,q x) p (2.13) d dx (cos p,q x) p 1 = p(p 1) (sin p,q x) q 1 (2.14) q d dx (sin p,q x) p 1 = (p 1)(sin p,q x) p 1 (cos p,q x) (2.15) Důkaz. Identity plynnou z definice a z věty 2.2. Lemma 2.5. (Symetrie)Necht p, q (1, ). Potom π p,q = p q π q,p. kde, p = p p 1 (2.16) Důkaz. Identita plyne z integrálu 2.4 při vhodné záměně proměnných, tedy y = (1 t π 1 q ) 1 p p,q 2 = (1 t q ) 1 ( p dt = t = 1 y p ) q 1 0 dt = (1 p y p ) 1 q ( ) = q y p 1 dy = p 1 y p 1 p (1 y p ) q y p p dy = p q 0 q Tím je identita ověřena. q 1 0 (1 y p ) 1 q dy = p π q,p q 2
25 Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 16 Věta 2.6. Pro všechna x 0,1 platí, ( ) cos 1 p,q x = sin 1 p,q (1 x p ) 1 q ( ) sin 1 p,q x = cos 1 p,q (1 x q ) 1 p (2.17) (2.18) 2 ( ) sin 1 p,q x 1 q + 2 ) sin 1 π p,q π p,q p,q ((1 x) 1p = 1 (2.19) ( ( πp,q x )) ( )) p πq cos p,q = (sin,p (1 x) p 2 q,p 2 Důkaz. Identity 2.17 a 2.18 plynnou z 2.2. (2.20) Pro úplnost si můžeme nadefinovat zobecněné hyperbolické funkce. Postupovat budeme podobně jako u trigonometrických funkcí. Definice 2.6. Zobecněný arcsinh p,q s parametry 1 < p,q < definujeme jako integrál horní meze, kde x 0,1 arcsinh p,q x = x 0 1 p (1 +t q ) (2.21) Potom funkci sinh p,q definujeme jako funkci inverzní k funkci arcsinh p,q. cosh p,q dostaneme jako derivaci funkce sinh p,q. A konečně funkce tgh p,q a cotgh p,q dostáváme jako vhodný podíl funkcí sinh p,q a cosh p,q.
26 Seznam obrázků 1.1 Jednotková kružnice Graf funkce sinx Graf funkce cosx Graf funkce tgx Graf funkce cotgx Graf funkce sinhx Graf funkce coshx Graf funkce tghx Graf funkce cotghx Graf funkce sin 6,6 x Graf funkce sin 2,5,2, Graf funkce sin 2,8,2, Graf funkce sin 2,1,2, Jednotková l 3 kružnice Jednotková l 4 kružnice Jednotková l 9 kružnice Jednotková l kružnice Seznam tabulek 2.1 Aproximace vybraných hodnot π p,p
27 Přehled použitého značení Pro snažší orientaci v textu zde čtenáři předkládáme přehled základního značení, které se v celé práci vyskytuje. C R Z N p sin cos tg cotg arcsin sinh cosh tgh cotgh argsinh sin p,q cos p,q tg p,q cotg p,q arcsin p,q sinh p,q cosh p,q tgh p,q cotgh p,q argsinh p,q e π množina všech komplexních čísel množina všech reálných čísel množina všech celých čísel množina všech přirozených čísel laplacian p-laplacian funkce sinus funkce kosinus funkce tangens funkce kotangens funkce arkus sinus funkce hyperbolický sinus funkce hyperbolický kosinus funkce hyperbolický tangens funkce hyperbolický kotangens funkce argument hyperbolického sinus funkce zobecněný sinus funkce zobecněný kosinus funkce zobecněný tangens funkce zobecněný kotangens funkce zobecněný arkus sinus funkce zobecněný hyperbolický sinus funkce zobecněný hyperbolický kosinus funkce zobecněný hyperbolický tangens funkce zobecněný hyperbolický kotangens funkce zobecněný argument hyperbolického sinus Eulerovo číslo Ludolfovo číslo 18
28 Kapitola SEZNAM TABULEK 19 i komplexní jednotka
29 Seznam použité literatury [1] D. Edmunds, P. Gurka a J. Lang, Properties of generalized trigonometric functions, v Journal of Approximation Theory, (2011), č. 1, [2] B. A. Bhayo a M. Vuorinen, On generalized trigonometric functions with two parameters, v Journal of Approximation Theory, (2010), č. 10, [3] P. Drábek a R. Manásevich, On the closed solution to some nonhomogeneous eigenvalue problems with p-laplacian, v Differential Integral Equations (1999), č. 6,
30
Goniometrické a hyperbolické funkce
Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Více8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.
8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceOpatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU
Opatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU Bakalářské, diplomové a rigorózní práce odevzdávané k obhajobě na Přírodovědecké
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceKapitola1. Lineární lomená funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce s obecným reálným exponentem Funkce n-tá odmocnina...
Kapitola1 Základní soubor funkcí v R Lineární funkce.......................................................... 1-1 Kvadratická funkce...................................................... 1-2 Mocninná
Více4.3.4 Základní goniometrické vzorce I
.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.
Více9. cvičení z Matematické analýzy 2
9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
Více15. Goniometrické funkce
@157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou
VíceCyklometrické funkce
4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli
Více7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceZadání. Goniometrie a trigonometrie
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Zadání Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor R, obor hodnot H, určete interval, v němž funkce roste, v němž klesá. Určete souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. )
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Více2 Odvození pomocí rovnováhy sil
Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VícePokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU
Opatření děkana Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity č. 12 / 2018 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU (ve znění účinném od 15.12.2018)
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
Vícesoubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
Více1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;
3. Elementární funkce. Věta C. Existují funkce sin(x) a cos(x) z R do R a číslo π (0, ) tak, že platí: 1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceFunkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá
4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro
Více4.3.3 Základní goniometrické vzorce I
4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
VíceCyklometrické funkce
4..7 Cyklometrické funkce Předpoklady: 46 Cyklometrické funkce: funkce inverzní k funkcím goniometrickým z minulé hodiny známe první cyklometrickou funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př.
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VíceFunkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.
4..0 Funkce tangens c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro všechna x R nemůžeme
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření
Více4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE
4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 016 PAVLA HOLUBÍKOVÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Goniometrické
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceMaple. Petr Kundrát. Ústav matematiky, FSI VUT v Brně. Maple a základní znalosti z oblasti obyčejných diferenciálních rovnic.
Obyčejné diferenciální rovnice s počítačovou podporou - Maple Petr Kundrát Ústav matematiky, FSI VUT v Brně Tento soubor vznikl za účelem ilustrace použití prostředí Maple k řešení a vizualizaci řešení
VíceELEMENTÁRNÍ GONIOMETRICKÉ A TRIGONOMETRICKÉ VĚTY
Gymnázium F. X. Šaldy PŘEDMĚTOVÁ KOMISE MATEMATIKY ELEMENTÁRNÍ GONIOMETRICKÉ A TRIGONOMETRICKÉ VĚTY Učební text pro druhý ročník a sextu gymnázia a pro matematický seminář v těchto třídách Honsoft Liberec
VíceGoniometrie a trigonometrie
Goniometrie a trigonometrie Vzorce pro goniometrické funkce Nyní si řekneme něco o velmi důležitých vlastnostech a odvodíme si také některé velmi důležité vzorce pro výpočty s goniometrickými funkcemi.
VíceDerivace goniometrických. Jakub Michálek,
Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
VíceDefinice funkce tangens na jednotkové kružnici :
Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceGONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceEkonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista
Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Více7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceSBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.
Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy
VíceElementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceV této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že
.5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceDiferenciální rovnice II
Diferenciální rovnice II Cílem tohoto kurzu je ukázat si různé příklady použití počítačového algebraického systému Maple při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. řádu a soustav obyčejných diferenciálních
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
Více2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
VícePříklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VícePřednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
VíceFunkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a
4.. Funkce kotangens Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. c B a A b C Tangens a kotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VícePříklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7
Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
Více