ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz

2 MT MATEMATIKA Řešení nelineárních rovnic 2 Polynomy DEFINICE (Polynom neboli mnohočlen). Funkce y = P n (x) = a 0 x n +a 1 x n 1 +a 2 x n 2 + +a n 1 x+a n, kde a 0,a 1,...,a n R,a 0 0, se nazývá polynom stupně n N. Čísla a 0,...,a n se nazývají koeficienty polynomu a a n se nazývá absolutní člen. Příklad. 1. y = 6 = 6x 0...polynom stupně 0 (konstantní funkce) 2. y = 10x 12 = 10x polynom stupně 1 (lineární funkce) 3. y = 5x 2 3x+7...polynom stupně 2 (kvadratická funkce)

3 MT MATEMATIKA Řešení nelineárních rovnic 3 DEFINICE (Kořen polynomu). Číslo c se nazývá kořen polynomu P(x), jestliže P(c) = 0 (hodnota polynomu v čísle c se rovná nule; neboli když za x v polynomu dosadíme číslo c, vyjde nula). DEFINICE (Kořenový činitel). Když je číslo c kořen polynomu P(x), pak se nazývá kořenový činitel. (x c) Kořeny polynomu mohou být jednoduché nebo vícenásobné, reálné nebo komplexní. Každý k-násobný kořen považujeme za k kořenů.

4 MT MATEMATIKA Řešení nelineárních rovnic 4 Cvičení 1. Vypočítejte kořeny polynomů a následně polynomy napište jako součin kořenových činitelů: 1. P(x) = x 2 5x+6 2. P(x) = x 2 x P(x) = x 7 Student ze střední školy umí najít kořeny lineárního polynomu (lineární rovnice) a kvadratického polynomu (kvadratická rovnice). Ale kořeny polynomů stupně vyššího jak dva najít neumí.

5 MT MATEMATIKA Řešení nelineárních rovnic 5 Hodnota polynomu P(x) v nějakém čísle c R, tedy P(c) Příklad. Vypočítejte hodnotu polynomu pro x = 5, x = 1. Řešení. P(x) = x 5 3x 4 5x 3 +15x 2 +4x 12 P(5) = (5) 5 3(5) 4 5(5) 3 +15(5) 2 +4(5) 12 = = = = = 1008 P(1) = (1) 5 3(1) 4 5(1) 3 +15(1) 2 +4(1) 12 = = = 0 Číslo x = 1 je kořen polynomu!!!

6 MT MATEMATIKA Řešení nelineárních rovnic 6 Příklad. Vypočítejte hodnotu polynomu P(x) = x 5 3x 4 5x 3 +15x 2 +4x 12 pro x = 5, x = 1 (stejné zadaní jako v předchozím příkladu) pomocí HOR- NEROVA SCHEMATU. Hornerovo schema - do horního řádku napíšeme všechny koeficienty polynomu. Když nějaký člen polynomu chybí, jeho koeficient je nula!!! Do druhého řádku před svislou čáru napíšeme číslo, ve kterém hodnotu polynomu počítáme. Do druhého řádku za svislou čáru napíšeme a 0, tedy první koeficient polynomu. Další kroky vysvětleny na přednásce. :-) Poslední číslo ve druhém řádku je hodnota polynomu v čísle, které je ve druhém řádku před svislou čárou.

7 MT MATEMATIKA Řešení nelineárních rovnic 7 Algebraické rovnice DEFINICE (Algebraická rovnice). Rovnice P n (x) = a 0 x n +a 1 x n 1 +a 2 x n 2 + +a n 1 x+a n = 0, kde a 0,a 1,...,a n R,a 0 0, se nazývá algebraická rovnice stupně n N. (Je to polynom = 0.) Řešením (kořenem) algebraické rovnice P n (x) = 0 je každé číslo c, které je kořenem polynomu P n (x). Je-li a 0 = 1 (první koeficient je jedna) x n +a 1 x n 1 +a 2 x n 2 + +a n 1 x+a n = 0, rovnici se říká normovaná. S takovými budeme pracovat.

8 MT MATEMATIKA Řešení nelineárních rovnic 8 VĚTA (Kořeny normované rovnice, které Z = {... 2, 1,0,1,2...}). Celočíselné kořeny normované algebraické rovnice, kde a 1,...,a n Z (koeficienty jsou celá čísla), jsou dělitelé čísla a n. Když budeme mít normovanou algebraickou rovnici s celočíselnými koeficienty P n (x) = x n +a 1 x n 1 +a 2 x n 2 + +a n 1 x+a n = 0, pomocí Hornerova schematu zjistíme, zda má celočíselné kořeny: 1. vypíšeme si všechny (kladné i záporné) dělitele čísla a n 2. postupně pomocí Hornerova schematu počítáme v těchto číslech hodnotu polynomu P n (x) - když se hodnota polynomu = 0, číslo je kořen algebraické rovnice!!! Cvičení 2. Najděte celočíselné kořeny algebraické rovnice 1. x 4 4x 2 +9x 18 = 0 2. x 5 3x 4 5x 3 +15x 2 +4x 12 = 0

9 MT MATEMATIKA Řešení nelineárních rovnic 9 Numerické řešení algebraické rovnice P n (x) = x n +a 1 x n 1 +a 2 x n 2 + +a n 1 x+a n = 0 Ohraničení kořenů Všechny kořeny normované algebraické rovnice leží v intervalu x i ( (1+A),1+A), kde A = max{ a 1, a 2,..., a n }. (Všechny koeficienty algebraické rovnice dáme do absolutní hodnoty, čímž obdržíme kladná čísla. Největší z nich je pak číslo A.) Určení počtu kladných kořenů Napíšeme si posloupnost čísel a 0,a 1,a 2,...,a n (koeficienty rovnice v daném pořadí). Kolikrát se v pořadí čísel změní znaménko čísel, tolik má rovnice kladných kořenů, nebo o sudý počet méně.

10 MT MATEMATIKA Řešení nelineárních rovnic 10 Určení počtu záporných kořenů Z polynomu P( x) si napíšeme posloupnost čísel a 0,a 1,a 2,...,a n (koeficienty polynomu P( x) v daném pořadí, kde P(x) = 0 je algebraická rovnice). Kolikrát se v pořadí čísel změní znaménko čísel, tolik má rovnice záporných kořenů, nebo o sudý počet méně. Nalezení intervalů, kde leží jednotlivé kořeny Algebraická rovnice P n (x) = 0: P n (x) = x n +a 1 x n 1 +a 2 x n 2 + +a n 1 x+a n = 0 Funkce y = P n (x): y = x n +a 1 x n 1 +a 2 x n 2 + +a n 1 x+a n Průsečíky funkce y = P n (x) s osou x y = 0. Což je algebraická rovnice 0 = P n (x). Průsečíky funkce y = P n (x) s osou x jsou tedy kořeny algebraické rovnice P n (x) = 0!!!

11 MT MATEMATIKA Řešení nelineárních rovnic 11 Z průběhu funkce víme, že v průsečících funkce s osouxmůže měnit funkce znaménko (změna nad/pod osou nebo naopak). Interval, kde leží všechny kořeny x i ( (1+A),1+A), si rozdělíme na několik menších intervalů a vypočítáme funkční hodnoty v krajních bodech těchto menších intervalů. Když se změní znaménko v krajních bodech intervalu, musí v daném intervalu ležet kořen!!! Aproximace (přiblížení) kořenů - nalezení kořenů, ale ne přesně. Použijeme metodu půlení intervalu. Cvičení 3. Vypočítejte alespoň jeden kořen algebraické rovnice s chybou menší než 0, x 3 +2x 2 2 = 0 2. x 3 3x 2 +3x+3 = 0