Zaklady inkrementální teorie plasticity Teoretický základ

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zaklady inkrementální teorie plasticity Teoretický základ"

Transkript

1 Teorie plasticity VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI Zaklady inkrementální teorie plasticity Teoretický základ 1. ADITIVNÍ ZÁKON. PODMÍNKA PLASTICITY 3. PRAVIDLO ZPEVNĚNÍ 4. KRITÉRIA ZATĚŽOVÁNÍ A PODMÍNKA KONZISTENCE 5. PRAVIDLO PLASTICITY 6. KONSTITUČNÍ VZTAHY PRO CYKLICKOU PLASTICITU Ing. Josef Sedlák doc. Ing. Radim Halama, Ph.D. 01

2 Inkrementální teorie plasticity se váže k úlohám z oblasti elastoplasticity, u nichž lze zanedbat vliv rychlosti deformace na napěťově-deformační odezvu materiálu (rate independent plasticity). 1. ADITIVNÍ ZÁKON V elastoplasticitě se vychází z poznatků zjištěných u namáhání při jednoosém napěťovém stavu. Vznik nevratných deformací je podmíněn v případě jednoosé tahové napjatosti, překročením tzv. meze kluzu v tahu. Tehdy lze po překročení meze kluzu a následném odlehčování pozorovat, že se materiál chová lineárně (obr. 1) a lze psát, že se celková deformace skládá z elastické a plastické složky ε ε e ε p (1.1) přičemž pro elastickou složku deformace platí Hookeův zákon σ E (1.) ε e kde E je Youngův modul pružnosti v tahu. V kterémkoliv okamžiku (viz obr. 1), i nad úrovní meze kluzu, při zatěžování i odlehčování, platí přímá úměrnost mezi napětím a elastickou složkou deformace. obr. 1 Znázornění platnosti aditivního zákona 1

3 Obdobně lze pro víceosou napjatost vycházet z platnosti obecného Hookeova zákona při odlehčování a získat tak tenzor celkové deformace superpozicí elastické a plastické složky ε ε e ε p (1.3) Pro elastickou složku deformace platí již obecný Hookeův zákon σ D : ε e (1.4) kde D je matice elastických konstant a symbol : značí kontrakci nebo-li zúžení tenzoru, tzn. s využitím Einsteinova sumačního pravidla je výsledkem tenzorové operace v rovnici (3.4) tenzor druhého řádu s prvky d ij ( B : c) B c. ij ijkl kl. PODMÍNKA PLASTICITY Vznik nevratných deformací je podmíněn v případě jednoosé napjatosti překročením tzv. meze kluzu v tahu. Při jednoosém namáhání a úvaze ideálně elastoplastického materiálu (materiál bez zpevnění (Chaboche & Lemaitre, 1990)) musí funkce plasticity f splňovat tzv. podmínku plasticity f 1 0 (.1) Y Hodnota normálového napětí tedy v tomto případě nepřesáhne mez kluzu (obr. ). Materiál teče ve směru působícího tahového zatížení (bez jeho navyšování). Při odlehčování podmínka plasticity (.1) není splněna a nedochází k vývoji plastické složky deformace. obr. Znázornění platnosti podmínky plasticity u ideálně elastoplastického materiálu

4 V případě víceosého namáhání je situace pochopitelně složitější, a pro obecný stav napjatosti a ideálně elastoplastický materiál lze podmínku plasticity (.1) přepsat f ( σ ) f ( σ) 0 (.) kde f (σ) značí funkci plasticity, která závisí na aktuální hodnotě složek tenzoru napětí σ. U ideálně elastoplastického materiálu lze očekávat, že se funkce plasticity nemění. Lze tedy pro houževnaté materiály aplikovat například von Misesovu podmínku plasticity, která dle stejnojmenné hypotézy pevnosti vychází z potenciální energie napjatosti na změnu tvaru. Von Misesovu funkci plasticity lze pak vyjádřit pomocí hlavních napětí 1,, 3ve formě Y ( ) ( ) ( ) f ( σ) / (.3) nebo pomocí deviátoru tenzoru napětí s, tedy 3 f ( σ) s : s. (.4) Zobrazení podmínky plasticity v souřadném systému hlavních napětí se říká plocha plasticity. Plochou plasticity u von Misesovy podmínky je válec s osou odpovídající přímce 1 3. U podmínky von Mises, kde vystupuje pouze deviátorová část tenzoru napětí (viz vztah (.4)), se častěji pojmem plocha plasticity označuje již přímo její průmět v deviátorové rovině (rovina, kde platí 1 konst. ). Je zřejmé, že pro podmínku von Mises je tímto průmětem kružnice (obr. 3). 3 obr. 3 Znázornění plochy plasticity von Mises u ideálně elastoplastického materiálu Z předchozího textu je zřejmé, že u ideálně elastoplastického materiálu může pak dojít k napěťovým stavům charkterizovaným bodem, který leží při zobrazení na ploše plasticity nebo leží uvnitř (při odlehčování). Podobně tomu je i u materiálu se zpevněním (Halama, 009). 3

5 3. PRAVIDLO ZPEVNĚNÍ U ideálně elastoplastických materiálů je plocha plasticity neměnná, u materiálů se zpevněním se mění obecně rozměry, tvar i poloha plochy plasticity. V konceptu ploch plasticity je pak snahou dosáhnout podobného chování u matematických modelů, tedy zajistit odpovídající změny plochy plasticity (Chaboche & Lemaitre, 1990). Jakým způsobem se mění původní plocha plasticity při zatěžování, udává tzv. pravidlo zpevnění. V zásadě pak lze rozdělit pravidla zpevnění na izotropní, kinematické a kombinované. U izotropního zpevnění se plocha plasticity zvětšuje ve všech směrech stejnoměrně a počátek zůstává v počátku souřadného systému (obr. 4). Z uvedeného je zřejmé, že se například při použití von Misesovy podmínky plasticity mění pouze poloměr plochy plasticity. Obecně pak podmínka plasticity s izotropním zpevněním nabývá tvaru f ( σ, Y) f ( σ) Y 0 (3.1) kde skalární izotropní proměnná Y souvisí s vývojem dislokačních struktur během zatěžování. Již z logické úvahy založené na skutečnosti, že se v materiálu nemění jen hustota dislokací, ale hraje roli také složitost dislokačních struktur, je zřejmé, že pro popis deformačního zpevnění polykrystalických materiálů nelze vystačit s touto jedinou vnitřní proměnnou. Modely plasticity s čistě izotropním zpevněním nejsou schopny popsat správně Bauschingerův efekt, což je patrné z obr. 4. V levé části je zde znázorněno, jakou deformační odezvu dává model plasticity s izotropním zpevněním při jednoosém silovém namáhání. Po překročení meze kluzu σ Y a následném odlehčení může dojít ke změně plastické deformace až v okamžiku, kdy napětí dosáhne záporně vzaté maximální hodnoty z kladné větve smyčky. obr. 4 Vývoj plochy plasticity u izotropního zpevnění 4

6 Čistě izotropní model plasticity lze zodpovědně použít pouze v případě monotónního zatěžování. Své uplatnění pak izotropní modely najdou spíše při modelování technologických operací u tváření apod. Pro případ cyklického namáhání se jeho použití rozhodně nedoporučuje, protože neodpovídá typickému chování tvárných materiálů. Na rozdíl od izotropního zpevnění řídí kinematické pravidlo zpevnění pouze polohu plochy plasticity. Plocha plasticity u modelu s čistě kinematickým zpevněním nemění svou velikost, ale dochází k jejímu posouvání v prostoru hlavních napětí (v deviátorové rovině u podmínek plasticity bez vlivu středního napětí). Vnitřní řídící proměnnou je u tohoto druhu zpevnění kinematický tenzor napětí α (angl. backstress), definující aktuální polohu středu plochy plasticity, viz obr. 5. Z pohledu fyzikálního tento tenzor souvisí s vnitřním napětím vznikajícím v materiálu důsledkem vývoje dislokačních struktur. Z dosud uvedeného vyplývá, že model plasticity s čistě kinematickým pravidlem zpevnění umožňuje zachytit Bauschingerův efekt. Při překročení meze kluzu u jednoosého případu namáhání a následném odlehčení dojde ke změně plastické deformace až při odlehčení o σ Y, dle obr. 5. Pro symetrické střídavé jednoosé zatížení je odezvou modelu uzavřená hysterezní smyčka. obr. 5 Změna polohy plochy plasticity u kinematického pravidla zpevnění U čistě kinematického zpevnění lze podmínku plasticity obecně vyjádřit ve tvaru f ( σ, α) f ( σ α) 0 (3.) U materiálů, u kterých je mez kluzu v cyklické deformační křivce a statické deformační křivce podobná a pro modelování jejich chování při cyklickém proporcionálním namáhání si lze vystačit s kinematickým pravidlem zpevnění. Y 5

7 U materiálů s odlišnou mezí kluzu ve statické a cyklické deformační křivce již je nutné v konceptu ploch plasticity uvažovat superpozici izotropního a kinematického pravidla zpevnění. Tehdy se mluví nejčastěji o kombinovaném zpevnění. Podmínka plasticity je pak formulována takto f ( σ, α, Y) f ( σ α) Y 0 (3.3) V prostoru hlavních napětí při kombinovaném zpevnění již dochází k posouvání i změně velikosti plochy plasticity, jak je to zobrazeno na obr. 6. obr. 6 Změna polohy plochy plasticity u kombinovaného pravidla zpevnění Von Misesovu podmínku plasticity lze u modelu s kombinovaným zpevněním zapsat s využitím (.4) takto 3 f ( σ ) ( s a) : ( s a) Y 0 (3.4) kde a je deviátorová část kinematického tenzoru napětí α. Vhodnou superpozicí kinematického a izotropního pravidla lze správně popsat tranzientní efekty objevující se v počátečních cyklech namáhání, cyklické změkčování nebo zpevňování materiálu, přídavné zpevnění/změkčení v důsledku neproporcionálního namáhání, ratcheting i další efekty cyklické plasticity. 4. KRITÉRIA ZATĚŽOVÁNÍ A PODMÍNKA KONZISTENCE V předchozím textu byly označovány plochy plasticity přívlastky aktuální nebo počáteční, mnohdy se lze setkat i s pojmy limitní plocha plasticity (Chaboche & Lemaitre, 1990). Je 6

8 přitom zřejmé, že u modelu plasticity se zpevněním se aktuální plocha plasticity vyvíjí a proto se jí někdy říká plocha zatěžování. Funkce plasticity je pak nazývána funkcí zatěžování f f ( σ, α, Y) (4.1) kde veličiny Y a α mají stejný význam jako v předchozí kapitole, jedná se o vnitřní proměnné vyjadřující vliv zpevnění. V obecném případě (4.1) se přírůstek funkce zatěžování musí vyjádřit totálním diferenciálem, tedy kde člen f f f df : dσ : dy : dα (4.) σ Y α f udává směr normály k ploše zatěžování (obr. 7). Nyní je vhodné zaměřit se na σ první člen poslední rovnice. Za předpokladu, že jakýkoliv napěťový stav lze vyjádřit pomocí tří složek normálových napětí (hlavních napětí), odpovídá výsledek výrazu skalárnímu f : σ σ d součinu dvou vektorů, jednotkového vektoru odpovídajícího směru normály k ploše plasticity a vektoru přírůstku hlavních napětí. obr. 7 Zobrazení tří možných stavů na ploše zatěžování Jednotlivé případy, které mohou pak nastat na ploše zatěžování (leží-li bod reprezentující aktuální stav napjatosti na ploše zatěžování), lze definovat podle ostrosti úhlu, který výše dva uvedené vektory svírají. Pro úplnost je vhodné připomenout, že skalární součin je nulový pro případ pravého úhlu, záporný při tupém úhlu a kladný je-li úhel svíraný vektory ostrý. 7

9 Obecně tedy může dojít ke třem stavům: 1. Zatěžování, kdy je f=0, df=0 a f : 0 (přírůstek napětí d σ směřuje vně plochy zatěžování). σ dσ. Neutrální zatěžování, které je definováno stavem f=0, df=0 a f : 0. V tomto případě bod charakterizující napjatost zůstává na ploše zatěžování. σ dσ 3. Odlehčování, kdy platí f=0, df<0 a f : 0 a dochází ke změně chování z σ dσ elastoplastického na pružné, protože se bod charakterizující aktuální napěťový stav dostává dovnitř plochy plasticity (neplatí podmínka plasticity, f<0 ). Prvnímu stavu se také často říká aktivní zatížení, zbývající dva stavy jsou souhrnně označovány jako pasivní zatížení. Jak je vidět z výčtu možných stavů, při neutrálním zatěžování a zatěžování bod, charakterizující aktuální napjatost, nemůže opustit plochu plasticity, musí tedy platit tzv. pravidlo konzistence f f f df : dσ : dy : dα 0 σ Y α Podmínka plasticity f=0 pak platí jen v případě aktivního a neutrálního zatěžování a (4.3) funkce plasticity může nabývat jen hodnot f 0. Na obr. 7 je podmínka konzistence také znázorněna graficky. 5. PRAVIDLO PLASTICITY O tom, jak se budou vyvíjet přírůstky plastické deformace v případě aktivního zatížení, vypovídá pravidlo plasticity. Uvažuje-li se případ jednoosého namáhání, kdy kladný přírůstek napětí vyvolá kladný přírůstek plastické deformace, musí platit. d σ : dε p 0 (5.1) Porovná-li se toto kritérium s podmínkou aktivního zatěžování f : 0 σ dσ (5.) 8

10 lze psát pravidlo plasticity (flow rule) ve formě kde f dε p d (5.3) σ d je skalární součinitel (plastický násobek). Často se také této rovnici říká pravidlo normality, neboť z geometrického hlediska přírůstek plastické deformace má směr vnější normály k ploše zatěžování, viz předchozí sekce. V případě jednoosého namáhání, pravidlo (5.3) říká, že směr přírůstku plastické deformace bude odpovídat smyslu namáhání. Pravidlo (5.3) se používá u tvárných materiálů a odpovídá asociované plasticitě, kdy je funkce zatěžování přímo plastickým potenciálem. Pravidlo normality spolu s von Misesovou podmínkou plasticity je implementováno ve většině komerčních MKP software umožňujících řešení úloh s materiálovou nelinearitou. Skalární součinitel d v případě jednoosého namáhání odpovídá absolutní hodnotě přírůstku axiální plastické deformace pak přímo přírůstku akumulované plastické deformace, pro který platí d px, obecně dp dε p : dε p (5.4) 3 Akumulovaná plastická deformace p odpovídá při tahovém namáhání přímo aktuální hodnotě axiální plastické deformace a velmi často se také používá při definici evolučních rovnic v pravidlech zpevnění (Halama, 009). 6. KONSTITUČNÍ VZTAHY PRO CYKLICKOU PLASTICITU 6.1. PRAGEROVO PRAVIDLO Jednotlivé teorie v inkrementální plasticitě se pro potřeby modelování napěťovědeformačního chování tvárných materiálů za cyklického namáhání nejčastěji liší pouze v řídící rovnici pro změnu kinematického tenzoru napětí α a izotropní proměnné Y (Papuga & Růžička, 000). Takto získané speciální případy zpevnění se obvykle nazývají modely zpevnění. V případě kinematického zpevnění lze za nejjednodušší model zpevnění považovat Pragerův model navržený v roce 195 (Prager, 1956). Změna kinematického tenzoru napětí je v tomto případě lineárně závislá na přírůstku plastické deformace dα C dε p 3 (6.1) 9

11 kde C je parametr zpevnění, který je přímo roven plastickému modulu h udávajícímu sklon aproximované deformační křivky v souřadnicích σ-ε p, tzn. h d d jak je patrné z obr. 8. p obr. 8 Grafické znázornění významu plastického modulu h Pragerův bilineární kinematický model zpevnění dokáže zachytit Bauschingerův efekt, ovšem vede pouze k lineárním napěťově-deformačním vlastnostem. Jelikož chování tvárných materiálů při cyklickém namáhání je nelineární, hledali vědci v oblasti cyklické plasticity možnosti zavedení nelineárního chování v modelech zpevnění. 6.. ZIEGLEROVO PRAVIDLO Evoluční zákon pro přírustek kinematického tenzoru napětí d α pro Pragerův model byl navržený nejprve Melanem (1938) a zdokonalen později Pragerem (1955) dα C dε p 3 (6.) S uvážením podmínky normality dostaneme obecný tvar rovnice pro asociovanou plasticitu To znamená, že směr bodu, jak je znázorněno na obr. 10. df dα d C (6.3) d d α je dán normálou k ploše plasticity v aktuálním napěťovém 10

12 obr. 9 Zobrazení významu Melan-Pragera pravidla (vlevo) a Zieglerova pravidla Další typ evolučního zákona navrhl Ziegler (1959) ve znění d α d ( α) (6.4) Kde je nezáporný násobek. Tento evoluční zákon je zobrazen na obr. 9 vpravo. obr. 10 V obecném prostoru napětí, kde O je původní směr.porovnání různých kinematických evolučních zákonů. Veličinu zákonem lze považovat za interní proměnnou, kterou můžeme zapsat evolučním d d k (6.5) kde je určitá kladná evoluční funkce. Po dosazení d do základní rovnice dostaneme vztah dα d k ( α) (6.6) 11

13 Obecně platí, že oba návrhy evolučních zákonů jsou odlišné, ale existují případy, ve kterých se kryjí. s podmínkou von Mises. Například při předpokladu, že se jedná o kombinované zpevnění To znamená, že při předpokladu plastické deformace podle Pragera s podmínkou von Misese dostaneme 3C d d α d ( s a) ; α a (6.7) Y V podmínce plasticity von Misese je vstupní deviátorovou částí pouze přírustek kinematického tenzoru napětí d α napětí. Proto, pokud přijmeme Zeglerovu evoluční rovnici, dostaneme Pokud srovnáme zjistíme, že oba evoluční zákony jsou totožné a vedou k da d k ( s a) (6.8) ( ) a ( ), 3C k (6.9) Y Z toho můžeme usoudit, že pro smíšenou formulaci von Misese dosahují evoluční zákony jak Melan-Prager, tak i Ziegler stejnou odezvu. Přestože jsou pro předchozí případ oba evoluční zákony identické, může nastat různá interpretace. A to v tom případě, že napěťový prostor není považován za plný devíti dimensionální napěťový prostor, který je určen všemi devíti složkami, ale jen některými podprostory. Nejprve jsme se bavili o aspektech v obecné rovině, které jsou ukázány v následujícím jednoduchém příkladě. Pro Melan-Pragerův evoluční zákon jsou důležité dva problémy. Pro asociovanou plasticitu se uvádí směr přírůstku kinematického tenzoru napětí daný normálou k ploše plasticity a součastně k aktuálnímu bodu zatěžování (viz obr. 9a). Toto platí v plném devítidimenzionálním napěťovém prostoru, ale nemusí nutně platit v podprostoru. Kromě toho pro smíšenou formulaci von Mises přírustek kinematického tenzoru napětí d α definuje střed 1

14 plochy plasticity v deviátorové rovině. Nicméně v některých podprostorech nemusí velikost stanovená Melan-Pragerovým evolučním zákonem nutně určovat střed. Pro Zieglerův evoluční zákon nicméně platí, že definuje střed plochy plasticity nezávisle na tom, zda pracujeme v plném devíti-dimenzionálním napěťovém prostoru nebo v nějakém obecném podprostoru. Pozorujeme, že platí na počátku. Zajímavé je to, že Melan-Pragerův evoluční zákon předpokládá, že k pohybu středu dojde v kolmém směru k povrchu a na tento předpoklad nejprve upozornil Hodge v roce Obecná analýza na toto téma byla uvedena Shieldem a Zeiglerem v roce 1958 a další poznatky byly uvedeny Clavoutem a Zeiglerem 1959 a také samotným Zeiglerem roku Pro materiál von Misesova typu predikují oba evoluční zákony stejný výsledek. Nicméně u jiných materiálů se predikce liší, ale v současné době se nedaří najít žádný experimentální důkaz, jež by dokazoval, který z evolučních zákonů je nejpřesnější NELINEÁRNÍ KINEMATICKÉ MODELY ZPEVNĚNÍ Podle způsobu zavedení nelinearit lze jednotlivé modely zpevnění rozdělit na: 1) Vícevrstvé modely (angl. overlay model) zakladatelem byl Besseling v roce 1958 [16]. Předpokládal, že chování materiálu lze popsat rozložením materiálu na více částí (podobjemů) příslušejících stejné celkové deformaci, ale majících různou mez kluzu (u rovinné napjatosti si lze představit, že je materiál rozložen na více vrstev s odlišnou tloušťkou a mezí kluzu). Každý podobjem má jednoduchou napěťově-deformační odezvu (považují se za ideálně elastoplastické), ale když jsou kombinovány, mohou reprezentovat komplexní chování materiálu. ) Jednoploché modely založené na diferenciálních rovnicích jsou nejprogresivnější skupinou modelů plasticity a nejčastěji se objevují v komerčních konečnoprvkových software. Navazují na jednoduchý model Pragera (Prager, 1956). Vzhledem k robustnosti a jednoduchosti implementace jim bude věnováno v tomto textu nejvíce prostoru. 3) Modely s více plochami plasticity (angl. multisurface model) nejznámějším modelem zpevnění tohoto typu je Mrozův model. Hlavní myšlenkou bylo zavedení více polí zpevňovacích modulů v prostoru hlavních napětí, místo jediného parametru zpevnění. Plochy 13

15 s konstantním modulem zpevnění leží u tohoto modelu vždy mezi jednotlivými mezními plochami a mohou se pohybovat při zatěžování. Jednotlivé mezní plochy se stýkají pouze v jednom bodě. Nevýhodou Mrozova modelu je nutnost uchovávání jedné tenzorové a jedné skalární proměnné pro každou mezní plochu. Mroz uvažoval podmínku von Mises. Díky korektnímu zachycení křivosti větví stabilizovaných hysterezních smyček nachází však uplatnění např. při aplikaci hypotéz únavové pevnosti. 4) Modely s dvěma plochami plasticity (angl. two-surface model) jedním z prvních modelů tohoto typu navrhli Dafalias a Popov. Definovány jsou dvě plochy plasticity a to plocha zatěžování a tzv. limitní (hraniční) plocha plasticity. V tomto případě je parametr zpevnění závislý na vzdálenosti bodu ležícího na ploše zatěžování (charakterizujícího aktuální napěťový stav) a bodu na limitní ploše plasticity se stejným směrem normály jako je u normály na ploše zatěžování. Nutnou podmínkou při pohybu obou ploch plasticity je, že se nesmějí protnout. Dvouploché modely byly dále modifikovány pro lepší popis chování materiálu při ratchetingu a neproporcionálním namáhání. 5) Endochronní teorie její základy byly položeny Valanisem v letech 1971 až 1979 (viz články). Tato teorie se vyznačuje hypotézou, že současný napěťový stav v materiálu je lineárním funkcionálem celé deformační historie, a není u ní nutné zavedení ploch plasticity. Deformační historie je definována v časovém měřítku nazvaném vnitřní čas (angl. intrinsic time), které je materiálovou vlastností. V případě, kdy není uvažován vliv rychlosti deformace, toto časové měřítko souvisí s délkou zatěžovací cesty v prostoru plastických deformací. I v době vzniku této práce lze nalézt zastánce a pokračovatele této poměrně složité teorie. Zejména je vhodné odkázat na práci autorů Yeh a Lin, kteří navrhli zavedení plochy plasticity definované specifickou anizotropní funkcí umožňující zachytit změnu tvaru plochy zatěžování. 6) Modely s distorzí plochy plasticity mezi nejznámnější teorie této skupiny modelů zpevnění patří koncept polských badatelů Kurtyka a Zyczkowského. Jejich model s geometrickou interpretací vývoje plochy kluzu obsahoval velké množství parametrů. Mnozí vědci dnešní doby došli odlišnými přístupy ke stejným teoriím, proto lze o zařazení některých modelů plasticity do určité skupiny polemizovat. Například endochronní Valanisův a víceplochý Mrozův model může být získán použitím vhodných pseudopotenciálů a zobecněného pravidla normality, jak ukázali Point a Erlicher. 14

16 7. LITERATURA Halama, R., 009. Experimentální poznatky a fenomenologické modelování cyklické plasticity kovů. Ostrava: VŠB-TUO. Chaboche, J. & Lemaitre, J., Mechanics of Solid Materials. Cambridge: Cambridge University Press. Lenert, J., Pružnost a pevnost II. Ostrava: VŠB-TUO. Papuga, J. & Růžička, M., 000. Konstitutivní vztahy při elastoplastickém řešení.. Praha: ČVUT. Pešina, E., Základy matematické teorie plasticity. Praha: VÚTT. Pešina, E., Základy užité teorie plasticity. Praha: SNTL. Prager, W., A New Method of Analysing Stresses and Strains in Work Hardening Plastic Solids. Journal of Applied Mechanics, Issue 3. Skrzypek, J. J., PLASTICITY and CREEP, Theory, Examples and Problems. Florida: CRC Press. 15

Nelineární problémy a MKP

Nelineární problémy a MKP Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)

Více

Inkrementální teorie plasticity - shrnutí

Inkrementální teorie plasticity - shrnutí Inkrementální teorie plasticity - shrnutí Aditivní zákon = e p. Hookeův zákon pro elastickou složku deformace =C: e. Podmínka plasticity f = f Y =0. Pravidlo zpevnění p e d =g, p,,d, d p,..., dy =h, p,y,

Více

Přehled modelů cyklické plasticity v MKP programech

Přehled modelů cyklické plasticity v MKP programech Přehled modelů cyklické plasticity v MKP programech Teorie plasticity Ing Josef Sedlák doc Ing Radim Halama, PhD 1 Shrnutí Aditivní pravidlo a Hookeův zákon, Podmínka plasticity Pravidlo zpevnění Pravidlo

Více

Identifikace materiálových parametrů Vybraných modelů plasticity

Identifikace materiálových parametrů Vybraných modelů plasticity Teorie plasticity 1. VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI 17.listopadu 15, 708 33 Ostrava - Poruba Identifikace materiálových parametrů Vybraných modelů plasticity

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze

Více

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající

Více

DVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ

DVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ Úvod PLASTICITA DVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ I. Návrh konstrukce z "mezního stavu Zahrnuje relativně malá plastická přetvoření často stejného řádu jako jsou souběžná elastická přetvoření. Analýza

Více

Analýza napjatosti PLASTICITA

Analýza napjatosti PLASTICITA Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném

Více

8. Základy lomové mechaniky. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík

8. Základy lomové mechaniky. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík Únava a lomová mechanika Koncentrace napětí nesingulární koncentrátor napětí singulární koncentrátor napětí 1 σ = σ + a r 2 σ max = σ 1 + 2( / ) r 0 ; σ max Nekonečný pás s eliptickým otvorem [Pook 2000]

Více

Reologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku

Reologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku . lekce Reologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku Obsah. Základní pojmy Vnitřní síly napětí. Základní reologické modely technických materiálů 3.3 Elementární reologické modely creepu

Více

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady Teorie plasticity VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady 1. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD NA TAH ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH NAMÁHÁNÍ

Více

Kontraktantní/dilatantní

Kontraktantní/dilatantní Kontraktantní/dilatantní plasticita - úhel dilatance směr přírůstku plastické deformace Na základě experimentálního měření dospěl St. Venant k závěru, že směry hlavních napětí jsou totožné se směry přírůstku

Více

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti

Více

PARAMETER IDENTIFICATION OF CHABOCHE NONLINEAR KINEMATIC HARDENING MODEL STANOVENÍ KONSTANT CHABOCHEOVA NELINEÁRNÍHO KINEMATICKÉHO MODELU ZPEVNĚNÍ

PARAMETER IDENTIFICATION OF CHABOCHE NONLINEAR KINEMATIC HARDENING MODEL STANOVENÍ KONSTANT CHABOCHEOVA NELINEÁRNÍHO KINEMATICKÉHO MODELU ZPEVNĚNÍ PARAMETER IDENTIFICATION OF CHABOCHE NONLINEAR KINEMATIC HARDENING MODEL STANOVENÍ KONSTANT CHABOCHEOVA NELINEÁRNÍHO KINEMATICKÉHO MODELU ZPEVNĚNÍ Radim HALAMA 1, Hana ROBOVSKÁ 2, Linda VOLKOVÁ 2, Tomáš

Více

OOFEM: Implementace plasticitního materiálového modelu Cam-Clay. Ondřej Faltus, ZS 2016/17 Vyučující: Ing. Martin Horák, PhD.

OOFEM: Implementace plasticitního materiálového modelu Cam-Clay. Ondřej Faltus, ZS 2016/17 Vyučující: Ing. Martin Horák, PhD. OOFEM: Implementace plasticitního materiálového modelu Cam-Clay Ondřej Faltus, ZS 2016/17 Vyučující: Ing. Martin Horák, PhD. Teorie plasticity Pružnoplastické chování Princip: materiál se chová elasticky

Více

Metoda konečných prvků Základy konstitutivního modelování (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Metoda konečných prvků Základy konstitutivního modelování (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.7/2.2./28.9 Metoda konečných prvků Základy konstitutivního modelování (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc.

Více

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu index 1 Rejstřík Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. U každého termínu je uvedeno označení kapitoly a čísla obrazovek, na nichž lze pojem nalézt.

Více

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku 1. Úlohy a cíle teorie plasticity chopnost tuhých těles deformovat se působením vnějších sil a po odnětí těchto sil nabývat původního tvaru a rozměrů se nazývá pružnost. 1.1 Plasticita, pracovní diagram

Více

Nejpoužívanější podmínky plasticity

Nejpoužívanější podmínky plasticity Nejpoužívanější podmínky plasticity Materiály bez vnitřního tření (např. kovy): Trescova Misesova Materiály s vnitřním třením (beton, horniny, zeminy): Mohrova-Coulombova, Rankinova Druckerova-Pragerova

Více

MECHANIKA PODZEMNÍCH KONSTRUKCÍ PODMÍNKY PLASTICITY A PORUŠENÍ

MECHANIKA PODZEMNÍCH KONSTRUKCÍ PODMÍNKY PLASTICITY A PORUŠENÍ STUDIJNÍ PODPORY PRO KOMBINOVANOU FORMU STUDIA NAVAZUJÍCÍHO MAGISTERSKÉHO PROGRAMU STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ -GEOTECHNIKA A PODZEMNÍ STAVITELSTVÍ MECHANIKA PODZEMNÍCH KONSTRUKCÍ PODMÍNKY PLASTICITY A PORUŠENÍ

Více

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití. Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí

Více

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška 1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební

Více

Téma 2 Napětí a přetvoření

Téma 2 Napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia Téma 2 Napětí a přetvoření Deformace a posun v tělese Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi, Hookeův zákon, fzikální konstant a pracovní diagram

Více

Nejpoužívanější podmínky plasticity

Nejpoužívanější podmínky plasticity Nejpoužívanější podmínky plasticity Materiály bez vnitřního tření (např. kovy): Trescova Misesova Materiály s vnitřním třením (beton, horniny, zeminy): Mohrova-Coulombova, Rankinova Druckerova-Pragerova

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

16. Matematický popis napjatosti

16. Matematický popis napjatosti p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

Více

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Název školy Název projektu Registrační číslo projektu Autor Název šablony Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Modernizace výuky

Více

2.2 Mezní stav pružnosti Mezní stav deformační stability Mezní stav porušení Prvek tělesa a napětí v řezu... p03 3.

2.2 Mezní stav pružnosti Mezní stav deformační stability Mezní stav porušení Prvek tělesa a napětí v řezu... p03 3. obsah 1 Obsah Zde je uveden přehled jednotlivých kapitol a podkapitol interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. Na tomto CD jsou kapitoly uloženy v samostatných souborech, jejichž název je v rámečku

Více

Typy nelinearit. jen v tahu (jen v tlaku), pružnost, plasticita, lomová mechanika,... ), geometrická nelinearita velká posunutí, pootočení.

Typy nelinearit. jen v tahu (jen v tlaku), pružnost, plasticita, lomová mechanika,... ), geometrická nelinearita velká posunutí, pootočení. Typy nelinearit konstrukční nelinearita např. jednostranné vazby nebo prvky působící jen v tahu (jen v tlaku), fyzikální nelinearita vlastnosti materiálu nejsou lineární pružné (nelineární pružnost, plasticita,

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA I

PRUŽNOST A PLASTICITA I Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

Náhradní ohybová tuhost nosníku

Náhradní ohybová tuhost nosníku Náhradní ohybová tuhost nosníku Autoři: Doc. Ing. Jiří PODEŠVA, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB - Technická univerzita Ostrava, e-mail: jiri.podesva@vsb.cz Anotace: Výpočty ocelových výztuží

Více

Části a mechanismy strojů 1 KKS/CMS1

Části a mechanismy strojů 1 KKS/CMS1 Katedra konstruování strojů Fakulta strojní Části a mechanismy strojů 1 KKS/CMS1 Podklady k přednáškám část A4 Prof. Ing. Stanislav Hosnedl, CSc. a kol. Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

7. Základní formulace lineární PP

7. Základní formulace lineární PP p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje

Více

b) Křehká pevnost 2. Podmínka max τ v Heigově diagramu a) Křehké pevnosti

b) Křehká pevnost 2. Podmínka max τ v Heigově diagramu a) Křehké pevnosti 1. Podmínka max τ a MOS v Mohrově rovině a) Plasticity ϭ K = ϭ 1 + ϭ 3 b) Křehké pevnosti (ϭ 1 κ R * ϭ 3 ) = ϭ Rt Ϭ red = max (ϭ 1, ϭ 1 - κ R * ϭ 3 ) MOS : max (ϭ 1, ϭ 1 - κ R * ϭ 3 ) = ϭ Rt a) Plasticita

Více

Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP

Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Obsah přednášky Lineární a nelineární úlohy Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..) Příklady nelineárních problémů Teorie kontaktu,

Více

6. Viskoelasticita materiálů

6. Viskoelasticita materiálů 6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE ÚVO O MOELOVÁNÍ V MECHNICE MECHNIK KOMPOZITNÍCH MTERIÁLŮ 2 Přednáška č. 7 Robert Zemčík 1 Zebry normální Zebry zdeformované 2 Zebry normální Zebry zdeformované 3 Zebry normální 4 Zebry zdeformované protažené?

Více

ČVUT UPM 6/2013. Eliška Bartůňková

ČVUT UPM 6/2013. Eliška Bartůňková ČUT UPM 6/2013 Eliška Bartůňková Úvod 1. Motivace PMPD 1.1 Jednoosá napjatost Obsah 1.2 Zobecnění jednoosé napjatosti pro ohýbaný prut 2. Důkaz základní věty mezní analýzy pro diskrétní modely 3. Formulace

Více

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky.

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky. POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

Kritéria porušení laminy

Kritéria porušení laminy Kap. 4 Kritéria porušení laminy Inormační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky S ČVU v Praze.. 007-6.. 007 Úvod omové procesy vyvolané v jednosměrovém

Více

PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IV

PLASTICITA A CREEP PLASTICITA IV Plasticita IV 1/44 PLATIITA A REEP PLATIITA IV Zbyněk k Hrubý zbynek.hruby hruby@s.cvut.cz Plasticita IV /44 Pomínka asticity tvary parametrů (, α, ) (, α ) ( ) vnitřní proměnné (internal variables) e

Více

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA Bakalářské studium, 4. ročník Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz

Více

Poruchy krystalové struktury

Poruchy krystalové struktury Tomáš Doktor K618 - Materiály 1 15. října 2013 Tomáš Doktor (18MRI1) Poruchy krystalové struktury 15. října 2013 1 / 30 Poruchy krystalové struktury nelze vytvořit ideální strukturu krystalu bez poruch

Více

Mechanické vlastnosti technických materiálů a jejich měření. Metody charakterizace nanomateriálů 1

Mechanické vlastnosti technických materiálů a jejich měření. Metody charakterizace nanomateriálů 1 Mechanické vlastnosti technických materiálů a jejich měření Metody charakterizace nanomateriálů 1 Základní rozdělení vlastností ZMV Přednáška č. 1 Nejobvyklejší dělení vlastností materiálů v technické

Více

Učební pomůcka Prof.Ing. Vladimír Křístek, DrSc. Ing. Alena Kohoutková, CSc. Ing. Helena Včelová. Katedra betonových konstrukcí a mostů

Učební pomůcka Prof.Ing. Vladimír Křístek, DrSc. Ing. Alena Kohoutková, CSc. Ing. Helena Včelová. Katedra betonových konstrukcí a mostů PŘEDNÁŠKY Učební pomůcka Prof.Ing. Vladimír Křístek, DrSc. Ing. Alena Kohoutková, CSc. Ing. Helena Včelová Katedra betonových konstrukcí a mostů Text učební pomůcky lze nalézt na internetové stránce http://beton.fsv.cvut.cz

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

Porušení hornin. J. Pruška MH 7. přednáška 1

Porušení hornin. J. Pruška MH 7. přednáška 1 Porušení hornin Předpoklady pro popis mechanických vlastností hornin napjatost masivu je včase a prostoru proměnná nespojitosti jsou určeny pevnostními charakteristikami prostředí horniny ovlivňuje rychlost

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

12. Struktura a vlastnosti pevných látek

12. Struktura a vlastnosti pevných látek 12. Struktura a vlastnosti pevných látek Osnova: 1. Látky krystalické a amorfní 2. Krystalová mřížka, příklady krystalových mřížek 3. Poruchy krystalových mřížek 4. Druhy vazeb mezi atomy 5. Deformace

Více

Smyková pevnost zemin

Smyková pevnost zemin Smyková pevnost zemin 30. března 2017 Vymezení pojmů Smyková pevnost zemin - maximální vnitřní únosnost zeminy proti působícímu smykovému napětí Efektivní úhel vnitřního tření - část smykové pevnosti zeminy

Více

2 Tokové chování polymerních tavenin reologické modely

2 Tokové chování polymerních tavenin reologické modely 2 Tokové chování polymerních tavenin reologické modely 2.1 Reologie jako vědní obor Polymerní materiály jsou obvykle zpracovávány v roztaveném stavu, proto se budeme v prvé řadě zabývat jejich tokovým

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.9 Plasticita a creep

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.9 Plasticita a creep Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.9 Plasticita a creep Vliv teploty na chování materiálu 1. Teplotní roztažnost L = L α T ( x) dl 2. Závislost modulu pružnosti na teplotě: Modul pružnosti při

Více

PRUŽNOST A PEVNOST II

PRUŽNOST A PEVNOST II VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1

Více

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury. ocelových 5. přednáška Vybrané partie z plasticity Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 2. prosince 2015 Pracovní diagram ideálně pružného materiálu ocelových σ

Více

Nauka o materiálu. Přednáška č.5 Základy lomové mechaniky

Nauka o materiálu. Přednáška č.5 Základy lomové mechaniky Nauka o materiálu Přednáška č.5 Základy lomové mechaniky Způsoby stanovení napjatosti a deformace Využívají se tři přístupy: 1. Analytický - jen jednoduché geometrie těles - vždy za jistých zjednodušujících

Více

Pružnost a pevnost I

Pružnost a pevnost I Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická

Více

1. Úvod do pružnosti a pevnosti

1. Úvod do pružnosti a pevnosti 1. Úvod do pružnosti a pevnosti Mechanika je nejstarší vědní obor a její nedílnou součástí je nauka o pružnosti a pevnosti. Pružností nazýváme schopnost pevných těles získat po odstranění vnějších účinků

Více

tuhost, elasticita, tvrdost, relaxace a creep, únava materiálu, reologické modely, zátěž a namáhání

tuhost, elasticita, tvrdost, relaxace a creep, únava materiálu, reologické modely, zátěž a namáhání tuhost, elasticita, tvrdost, relaxace a creep, únava materiálu, reologické modely, zátěž a namáhání Reologie obor mechaniky - zabývá obecnými mechanickými vlastnostmi látek vztahy mezi napětím, deformacemi

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace

Více

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF SOLID MECHANICS,

Více

Nespojitá vlákna. Nanokompozity

Nespojitá vlákna. Nanokompozity Nespojitá vlákna Nanokompozity Pro 5. ročník nanomateriály Fakulta mechatroniky Katedra materiálu Strojní fakulty Technická univerzita v Liberci Doc. Ing. Karel Daďourek, 2010 Vliv nespojitých vláken Uspořádaná

Více

10. Elasto-plastická lomová mechanika

10. Elasto-plastická lomová mechanika (J-integrál) Únava a lomová mechanika J-integrál je zobecněním hnací síly trhliny a umožňuje použití i v případech plastické deformace většího rozsahu: d J = A U da ( ) A práce vnějších sil působících

Více

Test A 100 [%] 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná.

Test A 100 [%] 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná. Test A 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná. 2. Co je to µ? - Poissonův poměr µ poměr poměrného příčného zkrácení k poměrnému podélnému prodloužení v oblasti pružných

Více

Kap. 3 Makromechanika kompozitních materiálů

Kap. 3 Makromechanika kompozitních materiálů Kap. Makromechanika kompozitních materiálů Informační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky FS ČVU v Praze. listopadu 7 Základní pojmy a vztahy Notace

Více

Aproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy

Aproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.

Více

Zjednodušený 3D model materiálu pro maltu

Zjednodušený 3D model materiálu pro maltu Problémy lomové mechaniky IV. Brno, červen 2004 Zjednodušený 3D model materiálu pro maltu Jiří Brožovský, Lenka Lausová 2, Vladimíra Michalcová 3 Abstrakt : V článku je diskutován návrh jednoduchého materiálového

Více

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Základní pojmy, výchozí předpoklady Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

Více

Skalární a vektorový popis silového pole

Skalární a vektorový popis silového pole Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

5. Únava Zatížení při únavě, Wöhlerův přístup a lomová mechanika, únosnost, vliv vrubů, kumulace poškození, přístup podle Eurokódu.

5. Únava Zatížení při únavě, Wöhlerův přístup a lomová mechanika, únosnost, vliv vrubů, kumulace poškození, přístup podle Eurokódu. 5. Únava Zatížení při únavě, Wöhlerův přístup a lomová mechanika, únosnost, vliv vrubů, kumulace poškození, přístup podle Eurokódu. K poškození únavou dochází při zatížení výrazně proměnném s časem. spolehlivost

Více

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze o vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

Navrhování konstrukcí z korozivzdorných ocelí

Navrhování konstrukcí z korozivzdorných ocelí Navrhování konstrukcí z korozivzdorných ocelí Marek Šorf Seminář Navrhování konstrukcí z korozivzdorných ocelí 27. září 2017 ČVUT Praha 1 Obsah 1. část Ing. Marek Šorf Rozdíl oproti navrhování konstrukcí

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

Vícerozměrné úlohy pružnosti

Vícerozměrné úlohy pružnosti Přednáška 07 Rovinná napjatost nosné stěny Rovinná deformace Hlavní napětí Mohrova kružnice Metoda konečných prvků pro rovinnou napjatost Laméovy rovnice Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer Czech Technical

Více

Teorie tkaní. Modely vazného bodu. M. Bílek

Teorie tkaní. Modely vazného bodu. M. Bílek Teorie tkaní Modely vazného bodu M. Bílek 2016 Základní strukturální jednotkou tkaniny je vazný bod, tj. oblast v okolí jednoho zakřížení osnovní a útkové nitě. Proces tkaní tedy spočívá v tvorbě vazných

Více

Biomechanika srdečněcévnísoustavy a konstitutivnímodelování

Biomechanika srdečněcévnísoustavy a konstitutivnímodelování Biomechanika srdečněcévnísoustavy a konstitutivnímodelování Biomechanika a lékařsképřístroje Biomechanika I LukášHorný Laboratoř biomechaniky člověka Ústavu mechaniky Fakulty strojní ČVUT v Praze M Konstitutivní

Více

Mechanika zemin I 4 Stlačitelnost

Mechanika zemin I 4 Stlačitelnost Mechanika zemin I 4 Stlačitelnost 1. Izotropní stlačení 2. Nelinearita 3. Překonsolidace OC; OC vs. creep 4. Jednoosé stlačení - parametry 5. Výpočet sedání za předpokladu jednoosé stlačitelnosti 6. Součinitel

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Konstitutivní modelování (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního

Více

PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH

PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

6.1 Shrnutí základních poznatků

6.1 Shrnutí základních poznatků 6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice

Více

7. CVIČENÍ. Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

7. CVIČENÍ. Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Mohrova kružnice pro rovinnou napjatost Kritéria pevnosti (pro rovinnou napjatost) Příklady MOHROVA KRUŽNICE PRO ROVINNOU NAPJATOST Rovinná, neboli dvojosá

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak.

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak. 00001 Definujte mechanické napětí a uved te jednotky. 00002 Definujte normálové napětí a uved te jednotky. 00003 Definujte tečné (tangenciální, smykové) napětí a uved te jednotky. 00004 Definujte absolutní

Více

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov 3.2 Základy pevnosti materiálu Ing. Pavel Bělov 23.5.2018 Normálové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit je kolmé na rovinu řezu v případě že je

Více

Zapojení odporových tenzometrů

Zapojení odporových tenzometrů Zapojení odporových tenzometrů Zadání 1) Seznamte se s konstrukcí a použitím lineárních fóliových tenzometrů. 2) Proveďte měření na fóliových tenzometrech zapojených do můstku. 3) Zjistěte rovnici regresní

Více

ZKOUŠKY MECHANICKÝCH. Mechanické zkoušky statické a dynamické

ZKOUŠKY MECHANICKÝCH. Mechanické zkoušky statické a dynamické ZKOUŠKY MECHANICKÝCH VLASTNOSTÍ MATERIÁLŮ Mechanické zkoušky statické a dynamické Úvod Vlastnosti materiálu, lze rozdělit na: fyzikální a fyzikálně-chemické; mechanické; technologické. I. Mechanické vlastnosti

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PLASTICITA PRUŽNOST A PLASTICITA Ing. Vladimíra Michalcová LPH 407/1 tel. 59 732 1348 vladimira.michalcova@vsb.cz http://fast10.vsb.cz/michalcova Povinná literatura http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita Doporučená

Více

Pružnost a plasticita II CD03

Pružnost a plasticita II CD03 Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

12. Prostý krut Definice

12. Prostý krut Definice p12 1 12. Prostý krut 12.1. Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí

Více