Protože pi každém volání funkce ff se zavolá funkce abc() práv jednou, je poet volání funkce abc() práv 7. Platí varianta d).

Transkript

1 1. void ff(int x) { if (x > 0) ff(x 1) ; abc(x); if (x > 0) ff(x 1) ; Daná funkce ff je volána s parametrem 2: ff(2);. Funkce abc(x) je tedy celkem volána a) 1 krát b) 3 krát c) 5 krát d) 7 krát e) 8 krát Jedno volání funkce reprezentujeme uzlem ve stromu rekurzivního volání, hodnotou uzlu bude hodnota parametru funkce v daném volání. Protože pi každém volání funkce ff se zavolá funkce abc() práv jednou, je poet volání funkce abc() práv 7. Platí varianta d). 2. void ff(int x) { if (x >= 0) ff(x-2) ; abc(x); if (x >= 0) ff(x-2) ; Daná funkce ff je volána s parametrem 2: ff(2);. Funkce abc(x) je tedy celkem volána a) 1 krát b) 3 krát c) 5 krát d) 7 krát e) 8 krát Jedno volání funkce reprezentujeme uzlem ve stromu rekurzivního volání, hodnotou uzlu bude hodnota parametru funkce v daném volání. Protože pi každém volání funkce ff se zavolá funkce abc() práv jednou, je poet volání funkce abc() práv 7. Platí varianta d).

2 3. Funkce int ff(int x, int y) { if (x > 0) return ff(x-1,y)+y; return 0; a) sítá dv libovolná pirozená ísla b) násobí dv libovolná pirozená ísla c) násobí dv pirozená ísla, pokud je první nezáporné d) vrací nulu za všech okolností e) vrací nulu nebo y podle toho, zda x je kladné nebo ne (Zde došlo k peklepu, místo slova pirozená má být všude slovo celá, nicemén respondenti takto zamaskovanou správnou odpov pesto odhalili.) Pi každém návratu z funkce (krom prvního s nulou) je vrácena hodnota pedchozího volání zvtšená o hodnotu y, která se bhem jednotlivých volání nemní. Celkem je tedy vrácen vícenásobný souet hodnoty y, takže se jedná o násobení. Jediná podmínka ve funkci zárove také uruje, že násobení probhne pouze pi nezáporném prvním parametru, takže správná je varianta c). 4. Funkce int ff(int x, int y) { if (x > 0) return ff(x-1, y)-1; return y; a) pro kladná x vrací 0, jinak vrací y b) odete x od y, pokud x je nezáporné c) odete y od x, pokud x je nezáporné d) vrací y pro kladné x, jinak vrací y e) spote zbytek po celoíselném dlení y%x První návrat z volání funkce vrátí hodnotu y, která se bhem všech volání nemní. Každý další návrat odete od výsledku jedniku, poet vnoených volání je roven hodnot x. Tudíž výsledkem bude hodnota y x. Celé to nastane ovšem pouze tehdy, když poátení hodnota x bude nezáporná. Tomuto popisu vyhovuje práv varianta b). 5. Funkce int ff(int x, int y) { if (x < y) return ff(x+1,y); return x; a) bu hned vrátí první parametr nebo jen do nekonena volá sama sebe b) vrátí maximální hodnotu z obou parametr c) vrátí souet svých parametr

3 d) vrátí x+1 e) neprovede ani jednu z pedchozích možností Když je x vtším (nebo stejným) z obou parametr, jeho hodnota je vrácena ihned. V opaném pípad se v rekurzivním volání jeho hodnota zvtšuje tak dlouho, dokud nedosáhne hodnoty y tedy pvodn vtšího z obou parametr. Pi návratu z rekurze již k žádným zmnám nedochází, opt je tedy vrácena hodnota vtšího z obou parametr. Platí možnost b). 6. Funkce int ff(int x, int y) { if (y>0) return ff(x, y-1)+1; return x; a) sete x a y, je-li y nezáporné b) pro kladná y vrátí y, jinak vrátí x c) spote rozdíl x y, je-li y nezáporné d) spote rozdíl y x, je-li y nezáporné e) vrátí hodnotu svého vtšího parametru Pro y záporné nebo nulové vrátí fukce hodnotu x, Pro kladné y volá sama sebe. Poet volání je roven hodnot y (nebo tento parametr se pi každém volání o jedniku zmenší) a pi návratu z rekurze se návratová hodnota z vtšuje pkaždé o 1. Poet volání je y, nejvnitnjší volání vrátí hodnotu x, takže návrat z rekurze pite k x ješt hodnotu y. Správná odpov je a). 7. Pi volání rekurzivní funkce f(n) vznikne binární pravidelný ideáln vyvážený strom rekurzivního volání s hloubkou log 2 (n). Asymptotická složitost funkce f(n) je tedy a) Θ(log 2 (n)) b) Θ(n log 2 (n)) c) Ο(n) d) Ο(log 2 (n)) e) Ω(n) Celkem je známo, že hloubka vyváženého stromu s n uzly je zhruba log 2 (n). To je i pípad stromu z našeho zadání. Funkce f pi své rekurzivní innosti navštíví každý uzel tohoto stromu, takže vykoná alespo konst n operací. Možná, že má práce v každém uzlu (= pi každém svém volání) ješt více, takže celková doba její innosti je bu úmrná n, nebo je asymptoticky ješt vtší. Práv to je vyjádeno pátou možností e). Tetí možnost nepipouští, že by práce v každém jednom uzlu mohlo být mnoho, zbylé možnosti jsou vbec nesmysl, vata, vycpávka.

4 8. Pi volání rekurzivní funkce f(n) vznikne binární pravidelný ideáln vyvážený strom rekurzivního volání s hloubkou n. Asymptotická složitost funkce f(n) je tedy a) Θ(n) b) Ο(n) c) Θ(log 2 (n)) d) Ω(2 n ) e) Ο(n!) Když má dotyný strom nap. m uzl, jeho hloubka je úmrná log 2 (m). Tudíž, když má hloubku n, jeho poet uzl je úmrný 2 n. Symbolicky: n log 2 (m) 2 n m. Nevíme ovšem, co pi každém rekurzivním volání (= v uzlu stromu rekurze) funkce dlá, teba tam eší nco složitého, takže celkem její složitost mže být i vtší než Θ(2 n ). Jiná možnost než d) prost není, všechny ostatní jsou jsou pouhé koví bez jakéhokoli nároku (a úmyslu!) na podobnost s realitou. 9. Vypotte, kolik celkem asu zabere jedno zavolání funkce rekur(4); za pedpokladu, že provedení pikazu xyz(); trvá vždy jednu milisekundu a že dobu trvání všech ostatních akcí zanedbáme. void rekur(int x) { if (x < 1) return; rekur(x-1); xyz(); rekur(x-1); Strom rekurzivního volání funkce rekur je binární vyvážený strom. pi volání rekur(4) bude mít tento strom hloubku 5, uzly posledního (=nejhlubšího) patra však budou odpovídat pouze provedení ádku if (x < 1) return; a píkaz xyz() se tu neprovede. V každém uzlu stromu rekurzivního volání do hloubky 4 bude tedy jednou proveden píkaz xyz(). Poet tchto uzl je = 15. Stejnkrát bude proveden i píkaz xyz(). 10. Urete, jakou hodnotu vypíše program po vykonání píkazu print(rekur(4));, když rekurzivní funkce rekur() je definována takto: int rekur(int x) { if (x < 1) return 2; return (rekur(x-1)+rekur(x-1)); Nedokážete-li výsledek pímo zapsat jako pirozené íslo, staí jednoduchý výraz pro jeho výpoet.

5 Rekurzivní volání rekur(x-1)+rekur(x-1) mžeme zapsat jako 2*rekur(x-1) a potom máme: rekur(4) = 2*rekur(3) = 2*2*rekur(2) = 2*2*2*rekur(1) = = 2*2*2*2*rekur(0) = 2*2*2*2*2 = Obecný binární strom a) má vždy více list než vnitních uzl b) má vždy více list než vnitních uzl, jen pokud je pravidelný c) má vždy mén list než vnitních uzl d) mže mít více koen e) mže mít mnoho list a žádné vnitní uzly Má-li strom alespo dva uzly, má i koen, který je v takovém pípad vnitním uzlem. Když má strom jen jeden uzel, je to koen, a i kdybychom jej deklarovali jako list, byl by to list jediný, což lze jen tžko oznait jako mnoho list, takže možnst e) nepichází v úvahu. Možnost d) je zejmý nesmysl. Obecný binární strom mže mít jen list jediný a mnoho vnitních uzl (= jedna holá vtev ), odpadá možnost a). Vyvážený strom se temi uzly vyvrací možnost c), takže zbývá jediná korektní možnost b). V pravidelném binárním stromu (s alespo 3 uzly) platí, že poet list je o 1 vtší než poet vnitních uzl. 12. Binární strom má n uzl. Šíka jednoho patra (tj. poet uzl se stejnou hloubkou) je tedy a) nejvýše log(n) b) nejvýše n/2 c) alespo log(n) d) alespo n/2 e) nejvýše n Binární strom nemusí být nutn pravidelný, mže to být jen jediná dlouhá vtev, takže nejmenší možná šíe je 1, možnost tetí a tvrtá odpadají. Co nejširší patro odpovídá stromu co nejvíce do šíky roztaženému, na což se zdá být ideáln vyvážený pravidelný strom alespo kandidátem. V nm je nejspodnjší patro list. Pi n uzlech ve stromu je v onom pate (n+1)/2 uzl, možnost první a druhá odpadají také. 13. Daný binární strom má ti listy. Tudíž a) má nejvýše dva vnitní uzly b) poet vnitních uzl není omezen

6 c) všechny listy mají stejnou hloubku d) všechny listy nemohou mít stejnou hloubku e) strom je pravidelný Binární strom nemusí být nutn pravidelný, mže mít dlouhatánské lineární nevtvící se vtve (nevtvící se vtve, hmm...) s jediným uzlem na konci. Staí tady ti takové vtve (jedan doprava z koene a dv z jeho levého potomka) a jejich délka mže být zcela libovolná. Takový strom není pravidelný (ne paté možnosti), jeho ti listy mohou a nemusí ležet stejn hluboko (ne tetí a tvrté možnosti) a zbytek již byl een. 14. Binární strom má hloubku 2 (hloubka koene je 0). Poet list je a) minimáln 0 a maximáln 2 b) minimáln 1 a maximáln 3 c) minimáln 1 a maximáln 4 d) minimáln 2 a maximáln 4 Minimální a maximální poet list je vyznaen na obrázku s naznaenými hloubkami, platí varianta c). 15. Binární strom má 2 vnitní uzly. Má tedy e) minimáln 0 a maximáln 2 listy f) minimáln 1 a maximáln 3 listy g) minimáln 1 a maximáln 4 listy h) minimáln 2 a maximáln 4 listy Minimální a maximální poet list je vyznaen na obrázku, platí varianta b). 16. Algoritmus A provádí prchod v poadí inorder binárním vyváženým stromem s n uzly a v každém uzlu provádí navíc další (nám neznámou) akci, jejíž složitost je Θ(n 2 ). Celková asymptotická složitost algoritmu A je tedy a) Θ(n) b) Θ(n 2 ) c) Θ(n 3 ) d) Θ(n 2 +log 2 (n)) e) Θ(n 2 log 2 (n))

7 Pi prchodu stromem v poadí pre/in/postorder má režie na píchod a odchod do/z uzlu složitost úmrnou konstant. V každém uzlu jichž je n se navíc podle zadání provedou operace, jejichž poet je úmrný n 2. Celkem je tedy na zpracování úkolu zapotebí as úmrný výrazu n (konstanta + n 2 ) = n konstanta + n 3 Θ(n 3 ). Platí varianta c). 17. Algoritmus A provede jeden prchod binárním stromem s hloubkou n. Pi zpracování celého k-tého patra (=všech uzl s hloubkou k) provede k+n operací. Operaní (=asymptotická) složitost algoritmu A je tedy a) Θ(k+n) b) Θ( (k+n) n ) c) Θ(k 2 +n) d) Θ(n 2 ) e) Θ(n 3 ) Celkem je provedený poet operací pi zpracování všech uzl roven (1+n) + (2+n) + (3+n) (n+n) = n ((1+n) + (n+n))/2 = n (1+3n)/2 = 3n 2 /2 +n/2 Θ(n 2 ) Povážíme-li navíc ješt režii na pesun od jednoho patra stromu k následujícímu patru, která mže mít složitost nanejvýš Θ(n), pipošteme k výsledku ješt len Θ(konst n n), který ovšem na složitosti Θ(n 2 ) nic nemní. Platí varianta d). 18. Obsah uzl daného stromu vypíšeme v poadí postorder. Vznikne posloupnost a) G F E D C B A b) F C G D B E A c) G C F A E B D d) D E B F G C A Pímo z definice poadí postorder plyne, že je nutno volit odpov d). 19. Obsah uzl daného stromu vypíšeme v poadí preorder. Vznikne posloupnost a) A B C D E F G H b) D B E A F C G c) A B D E C F G d) D E F G B C A

8 Pímo z definice poadí postorder plyne, že je nutno volit odpov c). 20. Výpis prvk binárního stromu v poadí postorder provede následující: a) vypíše prvky v opaném poadí, než v jakém byly do stromu vloženy b) pro každý podstrom vypíše nejprve koen, pak obsah jeho levého a pak pravého podstromu c) pro každý podstrom vypíše nejprve obsah levého podstromu koene, pak obsah pravého podstromu a pak koen d) pro každý podstrom vypíše nejprve obsah pravého podstromu koene, pak obsah levého podstromu a pak koen e) vypíše prvky stromu v uspoádání zprava doleva Definice praví, že se jedná o variantu c). 21. Výpis prvk binárního stromu v poadí preorder provede následující: a) vypíše prvky stromu ve stejném poadí, v jakém byly do stromu vloženy b) vypíše prvky stromu v uspoádání zleva doprava c) pro každý podstrom vypíše nejprve koen, pak obsah jeho levého a pak pravého podstromu d) pro každý podstrom vypíše nejprve obsah levého podstromu koene, pak obsah pravého podstromu a pak koen e) vypíše prvky stromu seazené vzestupn podle velikosti Definice praví, že se jedná o variantu c). 22. Navrhnte algoritmus, který spojí dva BVS: A a B. Spojení probhne tak, že všechny uzly z B budou pesunuty do A na patiné místo, piemž se nebudou vytváet žádné nové uzly ani se nebudou žádné uzly mazat. Pesun probhne jen manipulací s ukazateli. Pedpokládejte, že v každém uzlu v A i v B je k dispozici ukazatel na rodiovský uzel. Budeme procházet stromem B a ukazatel na každý uzel X, který najdeme, pedáme funkci movetoa(node RootA, node X). Volání funkce movetoa(roota, X) udlá následující: -- najde místo ve stromu A pro uzel X (stejn jako to dlá std. operace Insert), tj. najde v A uzel R, který bude rodiem X v A. -- pesune uzel X ze stromu B do stromu A pod uzel R pouze manipulací s ukazateli. Pesunutím uzlu X z B do A ovšem ztratí strom B veškerou referenci na tento uzel a tím také na jeho pípadné potomky v B. Aby tedy nedošlo ke ztrát informace, musíme uzel X vybírat vždy tak, aby sám neml žádné potomky. To lze naštstí zajistit snadno, protože procházení stromu v poadí postorder má práv tu vlastnost, že zpracovává strom poínaje listy. Zpracování list v naší úloze ale znamená odstranní list. Máme tedy poadím postorder zarueno (malujte si obrázek!),

9 že kdykoli pi procházení stromu B v tomto poadí zaneme zpracovávat uzel, nebude mít již tento uzel žádné potomky. Celý algoritmus pak vypadá napíklad takto: void presunvse(node roota, node nodeb) { // nodeb je aktuální uzel v B // presunvse má vlastnosti procházení postorder: if (nodeb == NULL) return; presunvse(roota, nodeb.left); presunvse(roota, nodeb.right); movetoa(roota, nodeb); node movetoa(node roota, node X); { /* 1. najdi místo ve stromu A pro klí uzel s hodnotou klíe rootb.key stejn jako v operaci Insert. Rodiem nového uzlu a je uzel R. 2. prove pesun uzlu X z B do A: */ // pidej X do A if (R.key < X.key) R.right = X; else R.left = X. // vyjmi X z B if (X.rodic.left == X) X.rodic.left = NULL; else X.rodic.right = NULL; // a nastav správn rodie X X.parent = R; Uvedené ešení nepoítá s možností, že by strom A byl na zaátku prázdný, vhodné doplnní algoritmu ponechávám zájemcm jako jednoduché cviení. 23. Projdte binárním stromem a vypište obsah jeho uzl v poadí preorder bez použití rekurze, zato s využitím vlastního zásobníku. Poadí preorder znamená, že nejprve zpracujeme aktuální uzel a potom jeho levý a pravý podstrom. Budeme tedy v cyklu zpracovávat vždy aktuální vrchol, referenci na njž vždy odebereme z vrcholu zásobníku (-- odkud jinud také!) a hned poté si do zásobníku uložíme informaci o tom, co je ješt teba zpracovat, tedy ukazatele na levého a pravého potomka aktuálního uzlu. Celý základní cyklus tedy bude vypadat takto:

10 while (stack.empty == false) { currnode = stack.pop(); print(currnode.key); if (currnode.left!= null) stack.push(currnode.right); if (currnode.right!= null) stack.push(currnode.left); Pedtím, než tento cyklus spustíme, musíme ovšem inicializovat zásobník a a vložit do nj koen stromu: If (koenstromu == null) return; stack.init(); stack.push(koen.stromu); základní cyklus uvedený výše; To je celé, vstupem algoritmu je ukazatel na koen stromu, výstupem hledaná posloupnost, pro zásobník je nutno pro jistotu alokovat tolik místa, kolik mže nejvíc mít strom uzl. 24. Aritmetický výraz obsahující celá ísla, závorky a operace +,,*,/ (celoíselné dlení) mže být reprezentován jako pravidelný binární strom. Popište, jak takový strom obecn vypadá, navrhnte implementaci uzlu a napište funkci, jejímž vstupem bude ukazatel na koen stromu a výstupem hodnota odpovídajícího aritmetického výrazu. (Body = 1 popis + 1 uzel + 3 funkce) Vnitní uzly stromu budou pedstavovat operace, listy pak jednotlivá ísla. Napíklad výraz 6+(4-3+5)*(9-7) lze reprezentovat následujícím stromem: (Obrázek je bitmapa, nejprve olíznutá z obrazovky s powerpointem, v nmž byl obrázek vytvoen, pak upravena v paintshopu a posleze vložená do wordu jako rastrový obrázek. Produkty firmy mikro**t si totiž neumí mezi sebou navzájem pedávat svou vektorovou grafiku, hm ) Hodnotou každého listu je íslo v listu uložené, hodnotou vnitního uzlu je <hodnota levého podstromu> <operace v uzlu zapsaná> <hodnota pravého podstromu>.

11 Hodnota koene pak pedstavuje hodnotu celého výrazu. Na dalším obrázku jsou hodnoty u jednotlivých uzl pipsány: V implementaci uzlu tedy poebujeme -- typ - složka, která udává, zda jde o vnitní uzel nebo list -- op - složka udávající operaci (nap. znak) -- val - složka pro íslo, je-li uzel listem, jinak hodnota uzlu -- left a right potomci uzlu (též je možno první složku vypustit a indikovat nap. prázdným znakem ve druhé složce, že jde o list, apod ) Celá vyhodnocovací funkce (pedpokládající, že strom je neprázdný) pak mže vypadat takto: int hodnota(node n) { if (n.typ == list) return n.val; switch (n.typ) { case + : return (hodnota(n.left) + hodnota(n.right)); break; case - : return (hodnota(n.left) - hodnota(n.right)); break; case * : return (hodnota(n.left) * hodnota(n.right)); break; case / : return (hodnota(n.left) / hodnota(n.right)); break; (mimochodem, tím že kompilátor zajistí, že se ve výrazu hodnota(n.left) + hodnota(n.right) a dalších nejprve spotou hodnoty funkcí a pak teprve se provede sítání (odítání,.. atd.), zajistí vlastn také prchod oním stromem v poadí postorder...) 25. Deklarujte uzel binárního stromu, který bude obsahovat celoíselné složky výška a hloubka. Ve složce hloubka bude uložena hloubka daného uzlu ve stromu, ve složce výška jeho výška. Výška uzlu X je definována jako vzdálenost od jeho nejvzdálenjšího potomka (= poet hran mezi uzlem X a jeho nejvzdálenjším potomkem). Napište funkci, která každému uzlu ve stromu piadí korektn hodnotu jeho hloubky a výšky

12 Pi poítaní hloubky staí každému potomku uzlu X piadit o 1 vtší hloubku než má uzel X. Sama rekurzivní procedura mluví za dlouhé výklady: void sethloubka(node x, int depth) { if (x == null) return; x.hloubka = depth; sethloubka(x.left, depth+1); sethloubka(x.right,depth+1); Piazení hloubky každému uzlu ve stromu pak provedeme píkazem sethloubka(ourtree.root, 0); Všimnte si, že hloubky se uzlm piazují celkem logicky v poadí preorder. Pi piazování výšky uzlu X musíme naopak znát výšku jeho potomk, takže se nabízí zpracování v poadí postorder: void setvyska(node x) { int vyskal = -1; // nejprve pripad, ze uzel nema L potomky. int vyskar = -1; // dtto if (x.left!= null) { setvyska(x.left); vyskal = x.left.vyska; if (x.right!= null) { setvyska(x.right); vyskar = x.right.vyska; x.vyska = max(vyskal, vyskar) + 1; Piazení výšky každému uzlu ve stromu pak provedeme píkazem if (ourtree.root!= null) setvyska(ourtree.root); Celý proces s výškou lze zachytit ješt úspornji: int setvyska(node x) { if (x == null) return -1; x.vyska = 1+ max(setvyska(x.left), setvyska(x.right)); return x.vyska; Piazení výšky každému uzlu ve stromu pak provedeme nap. píkazem zbytecnaprom = setvyska(ourtee.root); 26. Uzel binárního binárního vyhledávacího stromu obsahuje ti složky: Klí a ukazatele na pravého a levého potomka. Navrhnte rekurzívní funkci (vracející bool), která porovná, zda má dvojice strom stejnou strukturu. Dva stromy považujeme za strukturn stejné, pokud se dají nakreslit tak, že po položení na sebe pozorovateli splývají.

13 Z uvedeného popisu by ml být zejmý následující rekurzvní vztah: Dva binární stromy (ani nemusí být vyhledávací) A a B jsou strukturn stejné, pokud a) jsou bu oba prázdné b) levý podstrom koene A je strukturn stejný jako levý podstrom koene B a zárove také pravý podstrom koene A je strukturn stejný jako pravý podstrom koene B. Toto zjištní již snadno pepíšeme do programovacího jazyka (zde jen pseudokódu): boolean stejnastruktura(node root1, node root2) { if ((root1 == null) && (root2 == null)) return true; if ((root1 == null) (root2 == null)) return false; return (stejnastruktura(root1.left, root2.left) && stejnastruktura(root1.right, root2.right)); 27. Napište funkci, která vytvoí kopii obecného koenového stromu. Ten je reprezentován takto: Uzel X stromu obsahuje dv složky: hodnota a potomci. Složka potomci je ukazatel na zetzený seznam obsahující jednotlivé ukazatele na potomky uzlu X. Nemá-li uzel X žádné potomky, složka potomci ukazuje na null. Každý prvek seznamu potomk obsahuje jen ukazatel na potomka X a ukazatel na další prvek v seznamu potomk. Strom je obecný, potomci libovolného uzlu nejsou nijak uspoádáni podle svých hodnot. Uzel X: hodnota Hodnota potomci Seznam potomk X: Potomci uzlu X: Jen tak cvin si naped eknme, jak by probíhalo kopírování binárního stromu. Nejprve bychom vytvoili kopii koene, potom kopii levého a pravého podstromu koene a pak bychom tyto kopie podstrom pipojili ke kopii koene. Kopie podstrom bychom ovšem vyrobili stejnou rekurzivní procedurou. Zachyceno pseudokódem: node kopiebinstromu (node root) { if (root == null) return null; new root2 = kopieuzlu(root);

14 root2.left = kopiebinstromu(root.left); root2.right = kopiebinstromu(root.right); return root2; V pípad obecného koenového stromu je situace zcela obdobná. Jediný rozdíl je v tom, že nemáme v uzlu pevnou strukturu pro levého a pravého následníka ale jen ukazatel na seznam obsahující ukazatele na potomky. A jeho struktura uzlu nap. takováto { int hodnota; seznampotomku potomci; A struktura prvku seznamu ukazatel na potomky: { seznampotomku next; node potomek Zachyceno pseudokódem: node kopiebinstromu (node root) { if (root == null) return null; new rootkopie = kopieuzlu(root); // kopírujme pouze uzel, // nikoli seznam ukazatel na potomky // pipravme si seznam zkopírovaných potomk, // který nakonec pipojíme k root2 seznampotomku potomcirootkopie = null; seznampotomku potomciroot = root.potomci while (potomciroot!= null) { node kopiepodstromu = kopiebinstromu(potomciroot.potomek); // rekurze seznampotomku kopieukazatele = new(seznampotomku); kopieukazatele.potomek = kopiepodstromu; zaradnakonecseznamu(potomcirootkopie, kopieukazatele); potomciroot = potomciroot.next; // te seznam ukazatel na zkopírované podstromy pipojíme k rootkopie rootkopie.potomci = potomcirootkopie; return root2; // je hotovo 28. Uzel binárního vyhledávacího stromu obsahuje tyi složky: Klí, celoíselnou hodnotu count a ukazatele na pravého a levého potomka. Navrhnte nerekurzívní proceduru, která naplní zadané pole hist[0,maxint] potem výskyt hodnot v promnné count (histogram hodnot uložených v count).

15 Není v zásad zapotebí nic jiného, než projít stromem a v každém uzlu provést operaci: hist[aktuzel.count]++; Prchod stromem zvolíme v poadí preorder, protože to se nejsnáze implementuje nerekurzivn. Na zásobník staí po zpracování aktuálního uzlu ukládat pouze pravého a levého potomka (pokud existují). Celý pseudokód by pak mohl vypadat asi takto: void histogram(node root, int [ ] hist) { NaplnPoleNulami(hist); if (root == null) return; stack.init; stack.push(root); while (stack.empty() == false) { aktuzel = stack.pop(); hist[aktuzel.count]++; if (aktuzel.right!= null) stack.push(aktuzel.right); if (aktuzel.left!= null) stack.push(aktuzel.left); 29. Je dána struktura popisující uzel binárního vyhledávacího stromu takto Struct node { valtype val; node * left, right; int count; navrhnte nerekurzívní proceduru, která do promnné count v každém uzlu zapíše poet vnitních uzl v podstromu, jehož koenem je tento uzel (vetn tohoto uzlu, pokud sám není listem). Musíme volit prchod v poadí postorder, protože poet vnitních uzl v daném stromu zjistíme tak, že seteme poet vnitních uzl v levém podstromu a pravém podstromu koene a nakonec piteme jedniku za samotný koen. Nepotebujeme tedy nic jiného než procházet stromem a ped definitivním opuštním uzlu seíst poet vnitních uzl v jeho levém a pravém podstromu, pokud existují. Pokud neexistuje ani jeden, pak je uzel listem a registrujeme v nm nulu. Na zásobník budeme s každým uzlem, který ješt budeme zpracovávat, ukládat také poet návštv, které jsme již v nm vykonali. Po tetí návštve již uzel ze zásobníku definitivn vyjmeme v implementaci to znamená, že již jej zpt do zásobníku nevložíme. void pocetvnitruzlu(node root) { if root == null return stack.init(); stack.push(root, 0); while (stack.empty() == false) { (aktuzel, navstev) = stack.pop(); // pokud je uzel listem:

16 if (aktuzel.left == null) && (aktuzel.right == null)) aktuzel.count = 0; // pokud uzel neni listem: else { if(navstev == 0) { stack.push(aktuzel, 1); // uz jsme v akt uzlu byli jednou if (aktuzel.left!= null) stack.push(aktuzel.left, 0); if(navstev == 1) { stack.push(aktuzel, 2); // uz jsme v akt uzlu byli dvakrat if (aktuzel.right!= null) stack.push(aktuzel.right, 0); if(navstev == 2) { // ted jsme v akt uzlu potreti aktuzel.count = 1; // akt uzel je vnitrnim uzlem stromu if (aktuzel.left!= null) aktuzel.count += aktuzel.left.count; if (aktuzel.right!= null) aktuzel.count += aktuzel.right.count; // end of while 30. Je dána struktura popisující uzel binárního vyhledávacího stromu takto Struct node { valtype val; node * left, right; int count; navrhnte nerekurzívní proceduru, která do promnné count v každém uzlu zapíše poet list v podstromu, jehož koenem je tento uzel (vetn tohoto uzlu, je-li sám listem). Musíme volit prchod v poadí postorder, protože poet list v daném stromu zjistíme tak, že seteme poet list v levém podstromu a pravém podstromu koene. Nepotebujeme tedy nic jiného než procházet stromem a ped definitivním opuštním uzlu seíst poet list v jeho levém a pravém podstromu, pokud existují. Pokud neexistuje ani jeden, pak je uzel listem a registrujeme v nm jedniku. Na zásobník budeme s každým uzlem, který ješt budeme zpracovávat, ukládat také poet návštv, které jsme již v nm vykonali. Po tetí návštve již uzel ze zásobníku definitivn vyjmeme v implementaci to znamená, že již jej zpt do zásobníku nevložíme. void pocetlistu(node root) { if root == null return stack.init();

17 stack.push(root, 0); while (stack.empty() == false) { (aktuzel, navstev) = stack.pop(); // pokud je uzel listem: if (aktuzel.left == null) && (aktuzel.right == null)) aktuzel.count = 1; // pokud uzel neni listem: else { if(navstev == 0) { stack.push(aktuzel, 1); // uz jsme v akt uzlu byli jednou if (aktuzel.left!= null) stack.push(aktuzel.left, 0); if(navstev == 1) { stack.push(aktuzel, 2); // uz jsme v akt uzlu byli dvakrat if (aktuzel.right!= null) stack.push(aktuzel.right, 0); if(navstev == 2) { // ted jsme v akt uzlu potreti aktuzel.count = 0; if (aktuzel.left!= null) aktuzel.count += aktuzel.left.count; if (aktuzel.right!= null) aktuzel.count += aktuzel.right.count; // end of while 31. Napište rekurzívn a nerekurzívn funkci, která projde n-ární strom (každý uzel mže mít až n podstrom. Odkazy na podstromy jsou uloženy v každém uzlu v poli délky n). Datová struktura uzlu (1 bod). Rekurzívní verze (2b), nerekurzívní (3b.) uzel obsahuje dv složky { /*napr.*/ int value; potomci [n]; // rekurzivne ve variante "preorder": void projdi(node root) { if (root == null) return; nejakaakce(root); // tady by se provedla patricna akce for (i = 0; i < n; i++) projdi(potomci[i]); // nerekurzivne

18 // pouzijeme opet postup "preorder" protoze se pri nem nemusime na zasobnik // ukladat zadne dodatecne informace o navstevach uzlu void projdinonrec(node root) { if (root== null) return; stack.init(); stack.push(root); while (stack.empty() == false) { aktuzel = stack.pop(); // aktualni uzel definitivne ze zasbniku mizi nejakaakce(aktuzel); // tady by se provedla patricna akce // na zasobnik se ulozi potomci for (i = 0; i < n; i++) stack.push(aktuzel.potomci[i]);