11a. Základní principy

Transkript

1 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala Kombiatoria (Počítáí Kombiatoria je aua o uspořádáí věcí, její důležitou součástí je schopost věci spočítat Deší podobu lze vystopovat do 17 století a vzhledem tomu, že počítáí hraje zásadí roli v pravděpodobosti, ta asi epřevapí, že výzamým impulsem tehdy byly záležitosti ohledě sázeí Čteář se pravděpodobě již s ěterými ombiatoricými věcmi setal, možá se dooce učil rozezávat variace od ombiací, s opaováím či bez Tyto zalosti jsou bezesporu užitečé, ale mají jedo výzamé omezeí: Moho situací se do těchto jedoduchých šatule evejde Dlouhodobě výhodější je tedy rozumět záladím pricipům a umět si pomocí ich rozmyslet i ompliovaé situace Jiými slovy, tato oblast rozhodě eí algoritmicá, eí to te typ příladů, de se stačí aučit dostatečý počet vzorečů a úspěch je zaruče Spíše je to uměí, de hodě záleží a dobrém pochopeí záladů, zušeostech a iveci Zde do této oblasti spíš je ahlédeme Nejprve se podíváme a jedodušší situace, teré v zásadě odpovídají oěm permutacím/variacím/ombiacím probíraým často a středí šole V další apitole zajdeme trochu dále Protože u ombiatoriy záleží více ež obvyle a zušeostech, uážeme víc ež obvyle příladů a cvičeí 11a Záladí pricipy Začeme třemi záladími pricipy, jejichž apliací se dá v zásadě vyřešit většia běžých situací Nebudeme je formulovat jao věty, už proto, že v ich ebudeme vždy používat přesou matematicou termiologii Vždy uvedeme dvě verze, jedu používající jazya počítáí, druhou používající jazya moži! 11a1 Sčítací pricip Jestližejemožéjistýprocesrozdělitadvadisjutípřípady,dysiprocesvždyvybereprávějedez těchtopřípadů,prvípřípadjemožoprovést 1 způsobyadruhý způsoby,pajeprocesmožoprovést 1 + způsoby Zobecěí: Jestliže je možo jistý proces rozdělit a N případů, dy si proces vždy vybere právě jede z těchto případů,ai-týpřípadjemožoprovést i způsoby,pajeprocesmožoprovést N i způsoby Uvažujmemožiu MobjetůJestližeexistujerozlad M N M i (tedy M i jsouavzájemdisjutí,pa M N M i Toto asi evyžaduje bližšího ometáře, už od dětství víme, že dyž si hromádu rozdělíme a více meších, tajestačíposčítatzvlášťapavýsledysečístvapitole11bsepodívámeasituaci,dymožiy M i ejsou disjutí! 11a Násobící pricip Předpoládejme, že jistý proces lze rozložit do dvou po sobě ásledujících fází Jestliže je prví fázi možé udělatvždy 1 způsobyadruhouvždy(ezávisleavýsleduprvífáze způsoby,pajecelýprocesmožo udělat 1 způsoby Zobecěí:Je-li Nfází,aždávždy i způsoby,pajecelýprocesmožoprovést N i způsoby Uvažujmemožiu MpočítaýchobjetůJestližeje M M 1 M,pa M M 1 M Všiměte si, že druhé vyjádřeí eí ta uiverzálí jao to prví, utí ás totiž vybírat do druhé fáze stále tytéž objety, zatímco prví vyjádřeí připouští taé možost, že si v závislosti a výsledu prví fáze měíme možiu volebvdruhéfázi;jediápodmíaje,žemusímítvždystejouveliostitobysedalovyjádřitmatematicy, ale bylo by to ompliovaější, zatímco my se zde sažíme o uchopeí záladích myšlee Přidáme ještě jede pricip, asi ejvíce samozřejmý a možá ejméě používaý z těch tří, ale ědy vysoce užitečý! 11a3 Doplňový pricip Předpoládejme, že jistý proces lze provést dvěma způsoby, speciálím a especiálím Pa je počet speciálích způsobů rove počtu všech způsobů provedeí sížeým o počet especiálích způsobů provedeí Uvažujmemožiu MpočítaýchobjetůPapro M 1 Mplatí M 1 M M M 1 Teď si všechy tyto pricipy uážeme v aci 11a3, 11aa 1 11a3, 11aa

2 ! Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 Přílad11aa: Vobchoděmají6růzýchdruhůUSBflasheČtyřiamarádisijetamjdououpit,aždý jedu Podíváme se a tuto situaci blíže a Kolia způsoby mohou vejít do obchodu, poud musí po jedom? Jde o proces, terý lze rozdělit a čtyři fáze Jao prvího vstupujícího si můžeme vybrat ze čtyř Tato volba ovliví, do orétě může být zvole jao druhý vstupující, ale eovliví zásadí parametr: Pro druhého si vždyvybírámezetříadidátůopětezávisleatom,došelprvíadruhý,siprotřetíhovybírámezedvou(i dyžpoaždéjiých,alevždydvounačtvrtémístopaužjejejedavolbajevidět,žejdepřesěosituaci zásobícíhopricipu,protopočetzpůsobůje4 3 14!4 Tomuto typu situace, dy je měíme pořadí určité možiy objetů, říáme permutováí, a aždému jejich orétímu uspořádáí říáme permutace Obecý vzorec evidetě bude, že existuje! permutací růzých objetů Pozáma: Poud emusí po jedom, jde o řádově těžší problém, viz přílad 11al b Vešli do obchodu Kolia růzými způsoby si mohou vybrat flashy za předpoladu, že od aždého druhu je jich dostatečý počet a zajímá ás, do si vybral jaou? KamarádymůžemeočíslovataechatjevybíratjedohopodruhémKaždýzichmáavýběrzešestitypů, jdetedyzaseoásobícípricipaodpověďzí Zde to lze vidět i přes artézsý souči: V oamžiu, dy amarády očíslujeme, se vlastě ptáme a možství vetorů o čtyřech souřadicích, teré lze vytvořit, dyž máme 6 voleb pro aždou souřadici Formálěsituaci,dyzáležíatom,dosicovybere,říáme záležíapořadí výběrutomu,žesetetýž druhmůževysytoutvícerát,říáme volbasopaováím Našeúvahytedyvedoueostatováí,žedyž vybíráme -rátzrůzýchobjetů,sopaovaímaapořadízáleží,pajepočetmožýchvýsledů c Kolia růzými způsoby si mohou vybrat flashy ta, aby měli aždý jiou? Zasejdeoproces,terýlzerozložitdofázíPrvíamarádmáavýběr6možostíTímovšemomezívýběr druhého,aleaťužsiprvívyberecooliv,druhýmáavýběrvždypětmožostípodoběpatřetímáječtyři ačtvrtýtři,orétímožostisevždylišípodletoho,cosivybralitipředtím,aledůležitéje,žepočtyjsou stejéjetedy možýchvýběrůdlezadáí Jabysetaovývýslededalzapsatompatěaještěta,abysevěmobjevilyparametry6a4?Tato: !! 6! (6 4! Obecědyžvybíráme -rátzrůzýchobjetů,apořadízáležíabezopaováí,pajetomožéprovést! (! způsoby d Kolia růzými způsoby si mohou vybrat flashy ta, aby se ěterá opaovala? Při přímém útou jde o dosti ompliovaou úlohu, terá ezapadá do žádého z pricipů Řeěme, že echáme prvího vybrat Koli voleb má te druhý? To záleží a tom, jestli se rozhode volbu prvího opaovat ebo e Tím se situace rozpade a dva disjutí případy(sčítací pricip, ale ebude to ta jedoduché, protože ti další už se opaovat emusí, ale taé mohou, avíc eí vyloučeo, že se ěterá flasha objeví až třirát či čtyřirát Poud bychom to tedy chtěli prozoumat, vziá moho řižovate a situace se brzy stává epřehledou Budeme proto hledat alterativu, přesto je užitečé pozameat, že ědy je třeba se s taovouto situací poprat, vrátíme setomublíževpříladu11al Dalšímožýpřístupjezpohleduflashy,dysiřeeme,terásevyberevícerát,tímseámsituacerozdělía šest případů Hlavím problémem zde je, že tyto případy ejsou disjutí, protože se může stát, že se vyberou dvě růzé flashy opaovaě Sčítací pricip proto elze apliovat Opět je užitečé pozameat, že poud bychom ealezli lepší alterativu a museli tuto situaci dořešit, pa to lze udělat pomocí poročilých metod z příští apitoly, jmeovitě by se použil pricip iluze a exluze Tím se dostáváme optimálímu řešeí Klíčem je všimout si, že opaováí výběru flashe je přesě opa situaci, dy se žádá eopauje, taže lze použít doplňový pricip a výsledy z částí b a c Počet možých výběrůdlezadáíjetedy6 4 6!! Všimětesi,žetatometodajesicepříjemá,aleelzeaispoléhatCodybychomměliamarádůvícea zeptalibychomse,olivýběrůopaujedvěavíceflashe?opaembypabylyvýběry,deseopaujeejvýše jeda flasha, obě úlohy by tedy ezapadaly do žádé stadardí situace a vyžadovaly by idividuálí přístup Jiými slovy, ačoliv jsme teď prví dva postupy zavrhli, jsou situace, dy se vyplatí umět je dotáhout do oce, protože už ebude sadá alterativa ekoliazpůsobysimohouvybratflashyta,abysežádáeopaovala,dyžjeámjedo,domáterou? Iterpretace: Vyberou si flashy, a protože je chtějí platit dohromady, vysypou je před prodavače a jedu hromádu Koli růzých hromáde, ve terých se flashy eopaují, může prodavač vidět? 11a3, 11aa 11a3, 11aa

3 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 Vymyslet to přímo je poěud ompliovaější, protože tomu, abychom mohli použít ásobící pricip, ám chybírozlišeíafázeprotojeasiejjedoduššísitampořadíuměledodatapajejzaseodebratkdyžsetedy budemesoustředitiato,vjaémpořadíjsouflashyatuhromádupoládáy,pajdeoproblémzčástica víme,žetaovýchtomožostíje 6!! Ozačmesimožiutěchtovýběrůpracově M,jdeomožiuuspořádaých čtveřic Když si pa pořadí odmyslíme, ta astae problém, protože mohé(dooce všechy situace jsme započítali vícerátnapříladvolby(1,3,5,a(3,,5,1sevoamžiu,dyapořadívýběruezáleží,smrsoudojedé možosti {1,, 3, 5}(použili jsme možiu, ať zdůrazíme irelevaci pořadí Je v tom ějaá pravidelost? Ao, uspořádaé výběry se smrsávají a jede euspořádaý vždy po stejých počtech Je to dobře vidět, dyž se a to podíváme z druhé stray: Každá hromáda čtyř růzých flashe ám dá 4! 4 permutací eboli 4 uspořádaých výběrů To zameá, že možia uspořádaých výběrů se přirozeě rozpadá do supie(disjutích o veliosti 4!4aaždáztěchtosupievýběrůpadávájejeduhromáduPočetrůzýchhromádejetedyrove 6!! počtu těchto supi výběrů, což je 4! ! Zasetobudemechtítzapsatpomocívstupíchdat6a4,dostaeme 4!(6 4! Situace, dy vybíráme -rát z růzých objetů, bez opaovaí a taé bez pořadí, je v ombiatorice velice! častá a vyplatí se ji aučit rozpozávat Rověž se bohatě vyplatí pamatovat si příslušý vzorec!(!,abysi hočlověemuselpořádzovuvymýšlet,arozdílodvzorcůzbacužeízjevýaprvípohledbudeme semuještěvtétoapitolevěovat Užitečéjetaéspojeímezisituacemicae,teréjsmetuodvodiliFugujetotižvobousměrech,taže poud si člově pamatuje situaci z této části, může pomocí í řešit přílady typu c Postupuje se pa aopa: Chceme-li rozdělit rozdílé flashy mezi amarády, pa ejprve rozhodeme, teré jim vůbec dáme, to je prví! fázes!(! možostmi,avybraéflashypameziěvějaémpořadírozdámeebolijepermutujeme,toje druhá fáze s! možostmi Podle ásobícího pricipu je celový počet možostí!!(!!! (!,vizc fkolirůzýchhromádemůžeprodavačvidět,dyžužeížádápodmíaaopaováí,tažesemohoui emusí opaovat? Jiými slovy, olia způsoby je možo vybrat čtyři flashy, dyž je povoleo opaováí a a pořadí ezáleží? Totojeejtěžšísituaceztěchzáladíchaselsýrozumtěžopomůže,poudužčlovědopředueví,comá dělat Hlavím problémem tady je, že dyž zusíme jedu orétí hromádu rozdělit mezi amarády ve saze zopaovatpostupzčástie,taužtoedopadevždystejějepořádpravda,žehromáda {1,,3,5}dává 4! 4růzýchvýběrůproamarády,alehromáda {1,1,1,}uždáječtyřirůzévýběry(dodostae dvoju?ahromáda {6,6,6,6}uždoocejejede(aždýsivezmešestuTozameá,žedyžsimožiu M všech výběrů flashe amarády rozdělíme do supi podle toho, jaé pa vytvoří hromády, ta ty supiy ebudou vždy stejě velé, jiými slovy, počet těchto supi ezjistíme pomocí veliosti M a děleí jao v části e JetotedyslepáuličaajeatotřebajítjiaTatosituacejeztěchzáladíchspřehledemejméěituitiví, většia lidí ad í raději moc epřemýšlí a rovou si pamatuje příslušý vzorec, což vám doporučujeme Pro odvážé přijde jeho odvozeí Klíčová úvaha vypadá ásledově: Když a pořadí ezáleží, ta si ty flashy můžeme vždy seřadit podle ějaéhoritéria,třebapodletoho,jajsmesijeočíslovalidostávámetahromádytypu {1,1,1,1}, {1,1,3,6} atd Každý taovýto výběr je tedy jedozačě urče rozhodutím, oli míst mezi těmi čtyřmi zaberou jedičy, oli dvojy, oli trojy a podobě To se dá realizovat ásledově Vytvoříme si uazatele, teré uazují, am až v té čtyřce míst půjdou jedičy, am až půjdou dvojy a podobě, šesty uočovat emusíme, taže je celem pět uazatelů změ typu flashy Pa ještě potřebujeme uazatele a ta místa obsazeí, tedy celem (6 1+49uazatelůTvrdíme,žetěmitouazatelisejižvýběryjedozačěurčí Ozačíme-li písmeem T uazatel typu a písmeem M uazatel místa, ta apřílad hromáda {1, 1, 1, 1} byseódovalammmmttttt,eboliprvítypočíažpovšechčtyřechmístech,hromáda {1,1,3,6}by se ódovala MMTTMTTTM(po dvou místech uočíme jedičy a rovou i dvojy, pa jedo místo troje auočímetrojy,čtyřyipětyahromáda {,3,3,5}byseódovalaTMTMMTTMTDůležitéje,žeto fugujeiaopa,dyolivsivezmemeějaépořadípětitačtyřm,taámtodáurčitouhromáduflashe Počet možých hromáde je tedy dá počtem možých uspořádáí čtyř M a pěti T, což zjistíme sado dalším triem:podívámeseatota,žezdevítimístsevybírajíčtyři,esmímeopaovataapořadíezáleží,čili podleevíme,žesetodádělat 9! 4!(9 4! 16způsoby 11a3, 11aa 3 11a3, 11aa

4 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 Poučeí:Kdyžvybíráme -rátsopaováímzrůzýchobjetůabezpořadí,tajetomožoudělat ( 1+!!( 1! růzými způsoby Tímto příladem jsme probrali lasicé čtyři záladí situace Než si je shreme, uděláme si užitečou defiici! Defiice Nechť N 0 Defiujemejejichombiačíčísloebobiomicýoeficietjao (!!(! Čtemeto ad Let N 0 Wedefietheirbiomialcoefficietorcombiatorialumberas (!!(! We read it choose Ačoliv to z defiice emusí být zjevé, ze způsobu, terým jsme tomuto číslu došli, hed vyplývá, že ombiačí čísla jsou vždy přirozeá čísla(viz taé cvičeí 11c4 Výraz z defiice je epraticý, protože fatoriály jsou velice drahé a výpočet Proto bývá lepší ejprve zrátit jede z fatoriálů ze jmeovatele se začátem fatoriálu v čitateli Máme pa (! ( 1 ( + ( +1 ( 1 (+ (+1!(!! (! Samozřejmě vždy volíme tu variatu, terá dá méě výsledých čiitelů, tedy rátíme te větší fatoriál ve jmeovateli Při ručím výpočtu pa můžeme doufat v další ráceí Přílad 11ab: Spočítáme ějaé ombiačí číslo, třeba ( 9 9! 8 7 6! !(9 3! 3!6! 3! 3 Možájstesivšimli,žejamileseombiačíčíslopřepíšeazlome,ztrácíserozdílmezi!a(! Potvrdíme si to fatem a přidáme dvě další jedoduchá pozorováí! Fat 11a4 ( (iprovšecha N 0 platí 1 ( 0 (iiprovšecha Nplatí 1 ( (iiinechť N 0 Paplatí ( Důazy jsou ta sadé, že je s důvěrou echáme jao cvičeí 11a61 Další vlastosti ombiačích čísel ajde čteář v apitole 11c Shreeme si čtyři záladí situace, teré jsme si rozmysleli v příladě 11aa 11a5, 11ab 4 11a5, 11ab

5 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01! Věta 11a5 Uvažujme možiu o růzých prvcích (ije!způsobů,jajeseřadit(ebolije!permutací! (ii Jestliže a pořadí záleží a opaováí eí povoleo, pa je! (! (! růzých způsobů, ja vybrat prvůztétomožiy (iiijestližeapořadízáležíaopaováíjepovoleo,paje růzýchzpůsobů,javybrat prvůztéto možiy ( (iv Jestliže a pořadí ezáleží a opaováí eí povoleo, pa je růzých způsobů, ja vybrat prvů z této možiy ( + 1 (v Jestliže a pořadí ezáleží a opaováí je povoleo, pa je růzých způsobů, ja vybrat prvů z této možiy Oydvaparametry,zdaseopaujeazdaapořadízáleží,patřítomuhlavímu,courčujemetoduzpracováí ombiatoricé situace Je důležité umět situace(ii (iv rozpozat a přiejmeším pro ty dvě posledí zát příslušévzorcenědosipamatujevzorceiproprvídvězich,alejaužjsmeviděli,dásebeztohoobejít Výběrům uspořádaým,deapořadízáleží,seříávariace,zatímcovýběrům euspořádaým,dea pořadí ezáleží, říáme ombiace Zde to ebudeme příliš používat Shreme si to v tabulce bez opaováí s opaováím spořadím (variace bez pořadí (ombiace! (! ( ( + 1 Teď se podíváme a ěteré apliace těchto záladích situací Přílad 11ac: Koli je možo vytvořit osmimístých hesel(password sládajících se z písme a číslic? Každýzajeezávislýjev,terýjemožoudělat6+1036způsoby,protojemožovytvořit36 8 hesel Přílad11ad: Adam,BáraaCirdachtějídodivadla,hodlajíseděthedvprvířadě,deje13sedadelKolia způsoby se tam mohou rozesadit? Tato úloha je eřešitelá, protože emáme dostate iformací Jmeovitě, potřebujeme vědět, zda se aždý spoojí s jedím sedadlem či jich bude chtít více, popřípadě zda by jim aopa evadilo sedět jede druhému a líě třeba Cirda je ještě malý(á apoudpřidámepředpolad,žeaždýchcesvésedadlo(jedo,pajdeovýběrz13míst,bezopaováí,a pořadízáleží(chcemevědět,dodesedí,tedy 13! 10! bkdybybyliochotivouziisdíletsedadlo(a,pabyšloovýběrsopaováím,tedy c Co dyby chtěli sedět vedle sebe? Pa je třeba situaci rozložit a dva roy Nejprve vybereme trojici sedadel vedlesebe,olijemožostí?vybírámezbloů1 3, 4,,11 13,těchje11Navybraétrojmístosepa rozesadí,tojsoupermutacetřílidíjetedycelem11 3!66možostí dcodybychtělisedětvedlesebeascirdouuprostřed?zaseje11možostíatroju,alepaužjedáo,de sedícirda,jediávolbaje,dosedíalevémadoapravémoci,tedymožosticelemjetedy11 možostí Přílad 11ae: Koli permutací písme ABCDEF GH obsahuje slovo DECH? Toto se udělá jedoduchým triem, prostě se DECH vezme jao jede cele, terý se spolu s ostatími čtyřmi písmey permutuje, taže celem permutujeme pět věcí Možostí je tedy 5! 10 Přílad 11af: Kombiatoria je zásadím ástrojem pro lidi zabývající se seriózě hraím aret Pro hráče bridge je záladí úvaha, že ze stadardího balíču 5 aret je možo dostat 13 aret přesě ( ! a5, 11af 5 11a5, 11af

6 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 způsoby(vybíráme 13 z 5, bez opaováí, a pořadí v ruce ezáleží Přízivcehrypoerzasezajímá,žedostatztohotobalíčupětaretjemožo ( způsoby Přílad 11ag: Koli růzých balíčů bobóů(ty jsou tam volě ložeé je možé vytvořit, dyž do balíču vybíráme 10 bobóů ze tří druhů, přičemž od aždého druhu je dispozici dostate usů? Vybíráme desetrát z tříprvové možiy, výběr můžeme opaovat a a pořadí ezáleží, protože bobóy se pa stejě budou v balíču volě míchat Je to ta ejobtížější ze čtyř záladích situací, proto si vzorec pamatujeme: Jemožéudělat ( ( ! 10!! růzýchbalíčů Přílad 11ah: Uvažujme biárí řetězce o délce 8(bajty akolijichje? Proaždoupozicivybírámeezávislezedvouhodot0a1,tedy 8 56řetězců b Koli z ich obsahuje přesě tři jedičy? Zde vybíráme, a teré pozice jedičy dáme, a a pořadí výběru ezáleží(říct, že jedičy mají být a pozicích 1,a6,vyjdeastejojaoříct,žemajíbýtapozicích,6a1Taževybírámezosmimíst,bezopaováía bezpořadí,tedy ( 8 3 8! 3!5! řetězců c Koli z ich obsahuje ejvýše tři jedičy? Toto je sadé, stačí posčítat možosti pro žádou, jedu, dvě či tři jedičy(jde o avzájem disjutí situace: ( 8 ( ( ( d Koli z ich obsahuje alespoň tři jedičy? Podobýpostupjaovcvedea 8 řetězcůzdealebudejedoduššípřejítopačémujevueboliejvíce dvěma jedičám, dostaeme 3 ( 8 8 [( ( ( ] ekolizichmástejějedičeaul? Ty,terémajípřesěčtyřiuly, ( řetězců fkolizichmávícjedičeežul? Jedamožostjespočítat ( ( ( ( Alterativa:Všechřetězcůje56,zich70mástejýpočet,zbývá řetězců,terémajíbuďvíc jediče ebo víc ul Mezi těmito situacemi je zjevá symetrie(dyoliv máme řetězec s větším počtem jediče, záměou0 1zísámeřetězecsvíceulami,protopoloviatohotopočtumávícjediče,tedy Teď se podíváme a ěoli teoreticých situací! Přílad11ai: Doážeme,žejestližeje Aoečámožia,pa P(A A 1Prousaděíozačme A Podmožiyvytvářímeta,žeseuaždéhoprvuzArozhodujeme,zdajej vezmeme či e Taže vlastě vybíráme -rát z dvouprvové možiy {ao, e}, odpovědi se mohou opaovat a apořadízáleží(chcemevědět,oterémprvuříámeaočiepočetmožostíjetedy Chceme-li to odvodit ze záladích pricipů, pa prostě bereme postupě prvy A a u aždého jsou dvě možosti rozhodutí,těchtofázíje,celýprocesjeprotopodleásobícíhopricipumožoprovést způsoby Aterativí řešeí: Podmožiy vziají ta, že si z možiy vybereme ěoli prvů, a pořadí ezáleží, protože je pa dáváme do možiy, a opaovat esmíme Jde tedy o jasou ombiačí záležitost, chybí už je zjistit, oli prvů vlastě máme vybrat Odpověď zí, že to eí dáo, musíme vyzoušet všechy možosti Tažeejprvevyberemeic(prázdápodmožia,tosedájedímzpůsobem,cožjemimochodem ( 0,pa vybírámejedeprve,celem ( ( 1 možostí,padvaprvy,celem,atadále,ažpovýběrcelémožiy,což sedájediýmzpůsobem,cožjemimochodem ( Kdyžtosečteme,dostaemevšechymožézpůsobyvýběrů podmoži: 0 ( Samozřejmě je to stejý výslede jao u prvího řešeí, viz Důslede 11c7 3 Alterativí řešeí: Iduce a M (0Proulaprvovoumožiu existujejedapodmožia,taže 0 1souhlasí 11a5, 11ai 6 11a5, 11ai

7 ! Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 (1Předpoládejme,ževztahplatípro -prvovémožiymějmemožiu Mo +1prvcích,zvolmesijede zprvů mkaždápodmožiazmbuďvsobě memá,pajetovlastěpodmožiamožiy M {m}o prvcích,těchjepodleidučíhopředpoladu,ebovsobě mmáapajetovlastě Y {m}proějaou podmožiu Y M {m},tažepodmoži Mobsahujících mjetaé Jdeodisjutímožosti,protoje celem + +1 podmoži Přílad11aj: Nechť A, Bjsouoečémožiy akolijezobrazeízado B? KaždýprvezAsimůžezcelasvoboděvybrat,amdo Bsepošle,cožje B možostívybíráme A -rát, celovýpočetvýběrůjetedy B A Závěr:Existuje B A zobrazeízado B bkolijeprostýchzobrazeízado B? TeďaždýprvesvouvolbouomezívolbuprvůásledujícíchPrvíprvezAmáavýběr B možostí,druhý užje B 1,třetíužje B atd,teposledíprvemá B A +1možostíNásobícípriciptadává celem B ( B 1 ( B A +1možostívýběru Všimětesi,žedyž A > B,tatotočíslodáváulu,cožjeaprostosprávě,pažádéprostézobrazeí eexistuje Budeme-li chtít odpověď vyjádřit ompatě pomocí faoriálů, ta si a to budeme muset dát pozor B! Závěr:Jestliže B A,paje ( B A! růzých prostých zobrazeí z A do B, jia eí žádé cpočetzobrazeíaseurčujeobtížěaechámejejdopříštíapitoly,vizvěta11b3 dvíme,žeuoečýchmožijsoubijecemožéjevpřípadě,že A B Paužbijecesouhlasísprostými zobrazeími a lze použít výslede z b Závěr:Jestliže A B,taje B!bijecízAa B Neítožádépřevapeí,ubijecejeaždýprvezBapojeaějaý(jediýprvezA,tažesetocelé reduuje a otázu, v jaém pořadí se apojí eboli a počet permutací! Přílad11a: Kolimárovice x 1+ x + x 3 13řešeísplňujících x i N 0? Poudsebudemesažitějaombiatoricypřidělovatpřirozeáčíslado x i,tabudememítveléproblémys uhlídáímjejichsoučtuvpřípaděmalýchčíselbyještěšeludělatrozborvšechpřípadů(začíts(0,0,13,(0,1,1 apostupěsezusitdopočítat(13,0,0,vizpřílad11av(iičialgoritmus11d7,aleprovětšíčíslatorozhodě eíperspetiví,ooužzdes13bytobylodostdrsé Nejsažší řešeí spočívá v totálí změě zorého úhlu Nebudeme přidělovat čísla proměým, ale proměé číslůmmáme13jedičeaaždázichsivybere,doteré x i půjdetaževybírámetřiáctrátzetřímožostí x 1, x, x 3,evidetěsopaováímaapořadíezáleží,protožejejedo,teréorétíjedičyjdoutřeba do x 1,ásjezajímá,olijedičesitu x 1 vybralojetotedyzaseteejméěituitivízáladípřípada pamatujemesi,žejecelem ( ( možýchřešeí Teto tri se změou přidělováí je docela užitečý Postup je možé taé zajímavě modifiovat, třeba tato:! bkoliexistujeřešeírovice x 1 + x + x 3 13splňujících x i N 0 ataé x 1 1, x 3, x 3? Tri:Nejprverozdělímeapevo6jedičeta,abyuž x i abylysvýchmiimálíchutýchhodotzbývajících 7jedičeparozdělímejaopředtím(vybírámeproaždouzetříproměých,jetedy ( ( taovýchto řešeí Pro další variaty tohoto problému viz přílad 11bd Moho ombiatoricých situací ale tato přímočarých eí, často je potřeba růzé postupy ombiovat a alézt správý přístup eí sadé Jao ilustraci teď uážeme poěud zajímavější přílady Nejprve se ještě vrátíme ašim amarádům a uážeme jede užitečý pohled a věc Přílad11al(poračováí11aa: Vrátímeseúplěazačáte,dosituace,dyamarádivcházejídodveří Kolia způsoby by mohli vejít, dyby mohli vcházet eje po jedom, ale taé po dvou? Tato otáza se vymyá záladím čtyřem situacím, musíme se tedy vrátit pricipům Zusme si to rozfázovat Nejprve ( echáme vejít buď jedoho amaráda(4 možosti ebo dvojici, což je výběr dvou ze čtyř bez opaováí, 4 6možostíJetedycelem10možostí,domohlvejítprví,aletímseproceszadrhe,protožeejsme schopi udat jedozačý počet možostí pro další fázi Řeěme, že by jao druhý vešel jede amarád Počet možostíprojehovýběrzávisíatom,zoliavybíráme,aletozávisíatom,cosestalovprvímolekdyby 11a5, 11al 7 11a5, 11al

8 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 azačátuvešeljede,tamámetřivolbyprotohodruhého,aledybyjaoprvívešlirovoudva,tazbývají už je dvě volby pro toho, do vejde v druhé fázi Neí tedy splěa záladí podmía z ásobícího pricipu, protože druhou fázi eprovádíme vždy stejým počtem možostí V taové situaci se obvyle rozbor situace rozdělí a možosti a aždá se zoumá samostatě, výsledy se pa dávají dohromady podle sčítacího pricipu Možiu všech možostí vstupu proto rozdělíme a podmožiu těch, teré začaly jedím člověem, a a pomožiu těch vstupů, teré začaly dvojicí Když ale v obou podmožiách postoupíme dál, ta se rozpadou i tyto podmožiy a meší ousy, protože i pa máme možost volby mezi jedím amarádem či dvojicí Situace se rychle stává epřehledou a v těchto situacích se vyplácí použít strom, terýdoúvahveseřád,díytomujepamimojiéméěsadéějaoumožostpřehlédoutzusmesi ejprveudělatstrompropřípad,žebyamarádibylitři,ozačmesije A, B, C A B C AB AC BC B C BC A C AC A B AB C B A Každá cesta shora dolů (tzv větev začí jedu možost, dyž tedy spočítáme jejich oce(tzv listy, tavidíme,žejecelem1možostívstupujeevidetí, že tato metoda eí ejefetivější, apřílad za chvíli uvidíme, že pro čtyři amarády by strom muselmít66listů,cožužjedoceladostkúsporější práci se s výhodou používají pravidelosti ve stromu C B C A B A Všiměte si, že tři levé části stromu mají stejou struturu, stačí tedy spočítat veliost jedé části a vyásobit třemi Podobě mají i pravé části stejou struturu Stačí tedy areslit strom ioliv se všemi možostmi, ale se všemi typy možostí, a u aždého typu pa zjistit, oli sutečých výběrů reprezetuje To se dá dělat více způsoby, uážeme zde dva 1Prvízpůsobbudeasitrochutěžšíavysvětleí,alevpraximipřijderychlejšíJezaložeatom,ževyužívá ásobícího a sčítacího pravidla coby pravidel pro pohyb ve stromu Zhruba řešeo, de je ve stromu pravidelost, tam ásobíme, de je epravidelost, tam sčítáme, a to a libovolé úrovi Uážeme to a ašem původím příladě, tedy a čtyřech amarádech vcházejících po jedom či po dvou Zareslíme si možosti vstupu, ale místo orétího amaráda budeme dávat proměé, jmeovitě a jao za pro libovolého amaráda, b jao za pro libovolého amarádajiéhoež a, cjaolibovoléhoamarádaodlišéhood ači batdvaždém oamžiu výběru si zároveň ve stromu uděláme pozámu o tom, oli možostí volbyvtomterémmístěmáme Jaseatopřišlo?Napříladprvíamarádsevybíralzečtyřmožostí,protoje ahořevlevouačtyřapoudšelpoěmdalšíamarád,vybíralsezetří(trojau b,adyžšlijaodruzídva,byly ( 3 3možosti(trojaubcNadruhoustrau 4a 6ab 3b 3bc c 1cd c 1cd 1 d 1 d poudšlajaoprvídvojice,mohlosetostát ( 4 6způsoby(šestauabata dále Celový počet možostí teď zjistíme ta, že procházíme strom zdola a apliujeme ásobící či sčítací pravidlo podle toho, ja to a růzých místech stromu vypadá(pravidelě či epravidelě Vziající čísla si zapíšeme do ové opie ašeho stromu, teď už čísla u větveí epředstavují oamžitý počet možostí, ale součet za celou část stromu íže Dostáváme je tato Začemetím dvlevodole,tamjejedamožostposuemeseahoru,vidíme c,uějdvoja,cožříá,žete úse c djeopaovádvarátpředstavímesitedy,jaobyod cvedlydolůdvěstejéčásti,teréoběmajío úroveň íže už je jedu část To je pravidelost, terou řeší ásobící pricip, proto celá tato část stromu se může stát 1způsoby Poučeí: Když od ějaého bodu výběru vede dolů je jeda cesta, ta to zameá, že je pod ím ěolirát opaovaý tvar, stačí tedy vyásobit veliost tohoto tvaru s číslem u výběrového bodu PosuemeseahoruVidíme b,aletaévidíme,žeěmuvedouzdoladvěcestičy Je zde tedy evyvážeost, terou řeší sčítací pricip Část stromu s vrcholem c reprezetuje možosti a část ozačeá cd má u sebe pozámu, že reprezetuje jedu opii, tedy jedu možost Celem tedy ty části stromu, teré jsou pod zoumaým b,reprezetují+13možostivýběruateto(evyvážeý,alejižprozoumaý stromjeubzopaovátřirát(tojetapozámaub,tudížzaseásobícípricipříá, žeteusstromu,jehožtypzačíábéčem,představuje3 3možosti 1 d 66 48a 18ab 9b 3bc c 1cd c 1cd 1 d 1 d Odtohoto bsepřesuemeahoruajsmeua,alezasevidíme,žeseěmudostaemeiodjiudjetedyčas zapamatovatsi,že b-částstromusemůžestát9způsoby,apodívatseatudruhoučástzasezačemezdola, jetam dsjedičouaadtím bcstrojoupodleásobícíhopricipusetedyceláčástmůžestát a5, 11al 8 11a5, 11al 1 d

9 ! Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 způsobykdyžtosečteme,tavidíme,žečáststromupod areprezetuje9+31možostí,atatočáststromu jezopaováačtyřirát(vizpozámauatozameá,žecelááčováčáststromupředstavuje4 148 možostíprávějsmesedozvěděli,žepoudpůjdejaoprvíjedeamarád,tasetomůžestátpřesě48 způsoby Stejým postupem doplíme počty v druhé části stromu, začeme zdola a sočíme číslem 18 u ab Dohromady jetedy možostí,jamohouamarádivejítpojedomčipodvou Alterativí způsob fuguje ta, že oy počty možostí v jedotlivých uzlech eompilujeme od listů e ořei, abychom ta dostali celový počet, ale aopa shora dolů, dy už emusíme vybírat vhodé pricipy, ale prostě ásobíme všecha čísla a orétí větvi, čímž se dozvíme, olia způsoby se daý orétí typ vstupu mohludátzdesiuážemetaéjiouverzistromu,dysiepíšemesymbolicyvýběry,alejeomto,olilidív jedotlivých fázích vejde, my už si budeme pamatovat, že esmí dojít opaováí Oa čísla u jedotlivých listů lze zjistit i přímo běžými ombiatoricými metodami, bez pomocí částečých číslíče Napřílad větev úplě vlevo odpovídá situaci, dy vstoupípojedom,cožsemůžestát4!způsobyvětevojedovpravojesituace,dy vstoupí jede, jede a aoec zbylí dva Pro výběr prvího jsou 4 možosti, pro výběr druhéhoužje3azbývajícídvojiceprostěvejde,celemtedy4 31způsobůtohoto vstupu Další větev popisuje pořadí jede-dva-jede, jsou 4 možosti pro prvího, další dvasevybírajízetříaapořadíezáleží,cožjsou ( 3 3možosti,aposledíuža výběremá,zbyljede,celem4 (3 1způsobůTatoseprojdouvšechyvětve ve stromu Když čísla sečteme, dostáváme závěr, že čtyři amarádi mohou vcházet po jedom či po dvou celem 66 způsoby Aťužsetozoušítačioa,mocefetivětopořádevypadáStačísipředstavit,žebylidíbylo150amohli byvcházetpojedom,dvoučitřech,strombysepamuselreslitalodíplachtubohužel,prosituacetohoto druhu eexistuje ějaý vzorec, do terého by se dalo dosadit, jde o jedu z obtížějších ombiatoricých situací Jevidět,ževombiatoricestačímalázměavzadáí,abyseúlohazměilazesadé(vcházípojedoma velice obtížou(vchází i po dvou Situace, pro teré chybí vzoreče, jsou běžé, taže vypisováí všech možostí je legitimí metoda U větších problémů pa ezbývá, ež použít počítač, amísto resleí stromů apsat algoritmus, terým by se všechy možosti prošly a spočítaly Pa je samozřejmě třeba dát velý pozor a to, aby program opravdu počítal všechymožostiaaždoujejedouletmoseatopodívámevapitole11d Přílad11am: Vetříděje150luůa40holeChtějíposlatčtyřčleoudelegacipředášejícímu a Kolia způsoby ji mohou vybrat? Vybírajíčtyřize150+40,apořadíezáležíaevidetěbezopaováí,tedypočetmožostíje ( bkoliazpůsobyjimohouvybrat,jestliževíchtějídvaluyadvěholy? Výběry luů a hole jsou ezávislé, tvoří dvě fáze výběru, tedy je spojíme ásobícím pricipem, aždý z těch výběrůjebezopaováíabezpořadí,protojeodpověď ( ( 150 ckoliarůzýmizpůsobyjimohouvybrat,dyžchtějídvaluyadvěholyaavícchtějíurčittoho,doza ě bude mluvit? Metoda 1: Nejprve vybereme delegaci, viz b, pa z í vybereme mluvčího: ( 150 ( Metoda : Nejprve vybereme mluvčího, pa doplíme delegaci Mluvčí bude buď lu ebo hola, což ovliví počty při dalším výběru, situace se tedy rozpade a dva disjutí případy, teré spojíme sčítacím pricipem (bude tam evyvážeý strom Vyjde 150 (149 ( 1 40 ( ( dkoliarůzýmizpůsobyjimohouvybrat,dyžchtějídvaluyadvěholyataédopředuurčit,vjaém pořadí budou prófovi vcházet? Nejjedodušší je ejprve vytvořit delegaci a pa řešit pořadí eboli ji permutovat ( 150 ( 40 4! ekoliarůzýmizpůsobyjimohouvybrat,dyžchtějídvaluyadvěholyataédopředuurčit,vjaém pořadí budou prófovi vcházet, přičemž echtějí, aby šli dva luci za sebou? 11a5, 11am 9 11a5, 11am 6

10 ! Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 Zase je ejjedodušší vybrat delegaci a pa ji permutovat, teď ovšem elze použít všechy permutace Ja vyčíslíme ty povoleé? Třeba ta, že ejprve bereme je obecě luy a holy a ajdeme tři možosti uspořádáí: hh, hhahhdvěholyadvaluciseovšematamísta hamohoudátvrůzýchpořadích,čilicelový počet možostí je ( 150 ( 40 3!! Pozáma: Ja bychom počet pořadí dělali, dyby bylo hole 11 a luů 7? Vypisováí možých pořadí by bylo dost dlouhé, existuje ějaá obecá metoda? Jestliže echceme, aby šli luci za sebou, ta vždy mezi dvě holy můžeme ale emusíme postavit lua, lze taé postavit lua úplě a začáte či oec To zameá, že z pozicmeziholami(terýchje10plusdvěaoci,tedydvaáctvybírámesedmmístproluy,jetedy ( 1 7 možostí seřazeí, poud ás ezajímají orétí osoby, je pohlaví Možostí seřazeí orétích osob pa je 11! 7!,viztaécvičeí11a39 ( 1 7 f Kolia způsoby ji mohou vybrat, jestliže chtějí mít alespoň jedoho lua a alespoň jedu holu? Zde se řešeí rozpadou a disjutí případy podle počtu luů a hole, vyjde ( 150 ( 1 40 ( ( 40 ( ( Alterativa: Co dybychom rovou zusili apevo vybrat holu a lua a pa zbyte doplit už bez ohledu a pohlaví?dostalibychom ( ( ( VyšlotojiaazatelěvíceToseobčasuombiatoricých úloh stává, důležité je rozpozat správé řešeí a ajít chybu v chybém Zde je chyba v alterativím řešeí, ěteré situace totiž počítáme dvarát Napřílad poud jsou ve výboru dva luci A a B, ta jsme tuto situaci zahruli jedou, dyž jsme ejprve vybírali lua A a pa doplňovali zbyte, podruhé jsme jao prvího dali Bapa AdošelvrámcidoplěíKdybyještěimbylydvěholy,tasetatážsituacedoocezapočítala čtyřirát To je ompliace, a terou je třeba u ombiatoricých úloh dávat velý pozor Vzhledem tomu, že ásobost počítáí eí pořád stejým oeficietem(ědy čtyřirát, v případě tři luů či tří hole je třirát, elze správou odpověď z té špaté zísat děleím Teto přístup je tedy v tomto příladě slepá uliča, ědy je ale myšlea ejprve split povié cezum a pa libovolě doplit zbyte užitečá, viz íže či třeba přílad 11a gkoliazpůsobyjimohouvybrat,jestližechtějídvaluyadvěholy,určitěmájítbáraaleadame? Opět vybíráme po fázích Nejprve vybereme třeba luy, ale Adam esmí, vybíráme tedy ze 149 Pa vybereme holy, Báru určitě, pa a zbývající místo dobereme ještě jedu holu z ostatích 39 Celem je tedy možostí ( 149 K tomuto příladu se vrátíme, viz přílad 11ba ( Přílad11a: Vešolceje luůaholejdouavycházu,učitelajerozřadídodvojic a Kolia způsoby může děti seřadit? Protožeseblížeespecifiuje,budemepředpoládat,žezáležíavšem,tedyvjaédvojicidojdeidojevlevo a vpravo Jeda možost řešeí je postupě vybírat Do prví dvojice vpravo je možostí, do prví dvojice vlevopaje 1možostí,dodruhédvojicevpravopaje atd,možostiseásobí(jdeofázevýběru adostaeme(! Alterativa: Můžeme děti seřadit vedle sebe a pa dvojice odpočítávat postupě, čímž se celá věc reduuje a počet permutací dětí, což je(! bkoliazpůsobyjeučitelamůžeseřadit,jestližejízáležíjeatom,dojevterédvojici? Zdevybírámebezpořadídoprvídvojice,tedy (,padodruhédvojice,cožjedalšífázečiliásobímečíslem ( (,paásobímečíslem 4 atd,dostáváme (( 1 ( ( 3!! 1! (! Alterativa: Nejprve vybereme děti do dvojic, jao by a pořadí záleželo, což je(! možostí Pa postupě pořadívedvojicích rušíme,pozrušeíuprvídvojicesepočetrůzýchmožostíreduujeapoloviu,udruhé dvojice zrušeí pořadí způsobí další reduci a poloviu atd ckoliazpůsobymůžedětiseřadit,jestližejeámjedo,dojevterédvojiciazdavlevoavpravo,zajímáás je,dojesým? Jedamožostjeechatprvíhovybrat,má( 1možostíTímdvědětiodpadouDalšísipamůže vybratz( 3možostí,dalšídvaodpadou,dalšíz( 5atdCelemjetedypočetdvojic ( 1 ( 3 3 1( 1( (( ( 4 4 (( ( 4 4 (! ( 1 ( 1 (!! Vzorecjsmezusiliupravitta,abybylompatější,zajímavéje,žesetéfiálíverzidátaépřijítpřímo Nejprve vybereme děti do dvojic podle a, pa zrušíme pozici ve dvojicích jao v b, aoec zrušíme i pořadí 11a5, 11a 10 11a5, 11a

11 ! Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 dvojicamámeto Mimochodem,číslu1 3 5 ( 3 ( 1( 1!!seříádvojýfatoriálPodoběseprosudáčísla defiuje 4 6 ( ((!! dkoliazpůsobymůžedětiseřadit,jestližechcemítvaždédvojiciluaaholuachcemítluyzaseboua holy za sebou? Zdejetosadé,ejprvedámeluyalevoaholyapravoapajeezávisleasoběmůžemepermutovat, toje(! možostíjealetaémožéřaditholyvlevoaluyvpravo,celemjetedy(! možostí ekoliazpůsobymůžedětiseřadit,jestližechcemítvaždédvojiciluaaholu,aleeřeší,dojevlevoado vpravo? Zdebudeejjedoduššíatvrdovybratřeěmechlapcevlevoaholyvpravo,cožje(! možostí,oiužse pa seřadí ve dvojicích dle libosti fkoliazpůsobymůžedětiseřadit,jestližechcemítvaždédvojicivlevoluaavpravoholu,aleeřeší,ja jdou dvojice za sebou? Tadyprostěstačíastoupitluydořadyaimpřiřazovatholy,coždá!možostí gkoliazpůsobymůžedětiseřadit,poudjechcemítvzástupuaabysestřídalilucisholami? Nezávislesrovámeluyaholydozástupů,todává(! možostípasijevybereme,jestlipůjdou hh ebo hh,tedycelem(! možostí h Učitela děti posadí a olotoč řetízáč Kolia způsoby to lze udělat? Totojeproblémzámýjao problémulatéhostolu Jehozásadímrysemjerotačísymetrie,apřílad poudmámetřidětiasedíaolotočizpůsobem A,tatopootočeíolotočedá C ataé B Jiýmislovy, B C A B C A to, co bychom ormálě považovali za tři rozdílá seřazeí, je je jedo KulatýstůlsedávzásaděřešitdvěmapřístupyJedajemožéjej rozřízout,vyřešitproblémvjedéřadě apotétuřaduzaseslepit,celovýpočetsepaalemusívydělitčíslem,protožetojepřesěpočetprotočeí řetízáče(stolu V případě ašich dětí je můžeme posadit do řady(! způsoby, taže a řetízovém olotoči to bude (! ( 1!způsoby Druhá variata je, že ěam atvrdo posadíme Pepíča, protože dyž se olotoč točí, ta ědy a té pozici určit bude Zbývá pa rozesadit ostatí, což je( 1! možostí i Kolia způsoby je možé posadit děti a řetízový olotoč ta, aby se střídali luci s holama? Posadíme Pepíča, tím je dáo, de budou sedět luci, ta je tam rozmístíme, to je( 1! možostí Na zbývající místa dáme holy, celem!( 1! způsobů Přílad11ao: 10axUvažujmečísla {1,,3,, },de 11VyberemezichpětrůzýchKoliazpůsoby je možé to udělat, aby bylo druhé ejvětší číslo ejvýše 10? Uážeme dvě řešeí, jedo bude sažší(používá stadardí přístup, druhé obtížější(vyžaduje představivost ale s mohem lepším tvarem výsledu 1 Dřevorubecé řešeí: Většiou pomůže zaměřit se a omezeí, v tomto případě a druhé ejvyšší číslo Kolia způsobyjejmůžemevybrat?největšímožostje10aejmeší4,protožesepodějještěmusívejítdalšítři Celemjetedy7možostí(10 4+1,pozorprojehovýběrTeďvyberemedalšíčísla Začeme ejvětším To musí být ad tím již vybraým, taže máme drobý problém, potřebujeme zát pozici již vybraého čísla To uazuje, že je třeba zavést parametr, budeme tedy dále předpoládat, že vybraé druhé ejvětšíčísloje Největšíčíslopavybírámezrozsahu +1, +až,celemtedy (+1+1 možostí pro jedu orétí volbu Teďtetovýběrještědoplímeotřiejmeší,tymusíbýtpodčíslem,tedyvybírámetřičíslazrozmezí {1,,, 1},bezopaováíaajedou,tedyapořadíezáleží,cožje ( 1 3 možostíprojeduorétí volbu prodruhéejvětšíčíslotedymámecelem( ( 1 3 možostívýběruprojiouhodotu dostáváme zcela odlišé výběry(liší se přiejmeším pozicí druhého ejvětšího čísla, jde tedy o rozlad a disjutí možiy Celový počet možostí tedy dostaeme sečteím možostí pro jedotlivá Závěr:Jemožoudělat 10 ( ( 1 výběrůdlezadáí 4 3 Kometář: Teto postup ebyl příliš elegatí, ale často je jediý možý, taže se mohdy smíříme s výsledem v euzavřeém tvaru Zároveň jsme si připoměli ěoli užitečých triů Teď už se ale podívejme a druhé řešeí Elegatí řešeí Záladem je ásledující zjedodušující úvaha Neí třeba situaci řešit ve třech rocích, ale ve dvou,ejprvevyberemečtyřiejmešíčíslaapatoejvětšíkdyžtačtyřiejmešívezmeme1až10,tamáme 11a5, 11ao 11 11a5, 11ao

12 !! Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 zajištěo, že druhé ejvětší epřeročí desítu Pozameejme, že opravdu je třeba to páté brát jao ejvětší, protože dyž jej budeme brát bez omezeí, ta bychom se mohli dostat vícerát e stejému výběru(apřílad 1,,5,6apa9dávástejývýběrjao1,,5,9apa6Tímsealedostávámeproblému,žedyžužtyčtyři vybereme ajedou, ta eumíme zjistit, ja velé je to ejvětší, abychom ta dostali možosti pro výběr pátého, ještě většího Tojeproblémpodstatýamohýřešitelbyvteďtutocestuasivzdal,aleexistujecesta,jaztohoveOe výběrpátéhočíslatotižvzásaděfugujedvojímzpůsobempoudjeipátéčíslovrozmezídodeseti,paprostě stačívybratpětčíselzmožiy {1,,10}avíceítřebařešitDruhámožostje,žetopátéčíslojevětšíež 10,paalezasepřesěvíme,jajejmůžemevybrat Výběry tedy rozdělíme do dvou možostí podle pozice ejvětšího čísla Poud je ejvýše 10, pa jde vlastě ovýběrpětičíselz10možostípoudjeejvětšíčíslovětšíež10,pamůžemeudělatoedvoustupňový výběr,ejprvevyberemečtyřičíslazdesetimožýchapadoberemepátézrozmezí11až,celem ( 10 4 ( 10 možostí Závěr:Jemožoudělat ( ( ( 10výběrůdlezadáí Teď si předvedeme ěoli teoretičtějších příladů Přílad11ap: Mějmemožiu Aoprvcích a Koli je uspořádaých dvojic, teré lze z prvů A vyvořit? Zdeseptámeaveliostmožiy A Aatudížjeodpověďjasá, b Koli je euspořádaých dvojic růzých prvů, teré lze z prvů A vytvořit? Odpovíme třemi způsoby 1 Nejprve spočítáme všechy uspořádaé dvojice růzých prvů To je sadé, stačí vzít všechy dvojice z části aaodečístdvojicestejýchprvů,terýchje Jejichtedy ( 1 Dvě uspořádaé dvojice typu(a, b,(b, a vždy dají jedu euspořádaou {a, b}, proto je počet euspořádaých dvojicrůzýchprvůrove 1 ( 1 Další možý pohled a věc je, že euspořádaé dvojice jsou prostě je dvouprvové podmožiy A, jiými slovyvytahujemedvaprvyz,apořadíezáležíabezopaováí,coždává (!!(! 1 ( 1 3Zusímetoještějia,podívámeseatozpohledujedotlivýchprvů APrvíprvesemůžedostatdo dvojices 1dalšímiprvyDruhýprveužvzapočítaédvojicisprvímprvemje,tažesemůžeovědružit sdalšími prvytřetíprveužjezapočítávedvojicisprvímidvěma,můžetedypřidatdalších 3 dvojic Předposledí prve ještě eměl započítáu dvojici s posledím a tím to očí, posledí už má všechy dvojice započítáy Celem je dvojic 1 ( 1+( ( 1, použili jsme Větu 9c3(ii c Koli je euspořádaých dvojic prvů, teré lze z prvů A vytvořit? IzdejemožépoužítěolipřístupůAsiejjedoduššíjevyužítpředchozípráceVímeuž,žeje 1 ( 1 euspořádaýchdvojicsrůzýmičley,dvojictypu {a, a}jeevidetě,celemjetedy 1 ( 1+ 1 (+1 euspořádaých dvojic Druhá možost je apliovat postup b3 Prví prve A se může družit s možými prvy(i se sebou, druhý užjesprvímzapočítá,zbývá 1možostíatd,posledímáještěezapočítaoumožostdružitsesámse sebou Celem je to +( (+1 Naopa obtížé by bylo zusit adaptovat postup z b1 Z části a víme, oli je všech uspořádaých dvojic, ale my je eumíme jedoduše převést a euspořádaé Zádrhel je v tom, že ěteré uspořádaé dvojice se při přechodu a euspořádaé druží po dvou, jmeovitě dyž jsou jejich složy růzé, ale dvojice typu(a, a už jdou a euspořádaé metodou jede a jedoho Pro rozumé zvládutí by tedy bylo třeba rozdělit situaci a tyto dvapřípady,aletojsmezpětuprvíhořešeí Přílad11aq: Uvažujmedvěoečémožiy A, BKolijemožýchrelacízAdo B? Relacejsoupodmožiy A B,jejichpočetjepodlepříladu11airove A B A B 11a5, 11ar 1 11a5, 11ar 1 1

13 ! Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 Přílad11ar: Uvažujmemožiu Aoprvcích akolijerelacía A? Podlepříladu11aqjejich bkolijereflexivíchrelacía A? Reflexiví relace automaticy obsahují všechy dvojice typu(a, a, zde eí žádá svoboda volby Počet reflexivích relací je tedy dá počtem podmoži možiy všech uspořádaých dvojic růzých prvů Těch je ( 1, vizpřílad11apb1,tažepočetpodmožiatímipočetreflexivíchrelacía Aje ( 1 c Koli je symetricých relací a A? U symetricé relace ezáleží a orietaci, čili se u aždé euspořádaé dvojice prvů ptáme, zda ji vezmeme do relace ebo e Jiými slovy, zajímá ás počet všech podmoži možiy euspořádaých dvojic prvů, terá má podlepříladu11apcveliost 1 (+1Závěr:Existuje(+1/ symetricýchrelacía A d Koli je atisymetricých relací a A? Toto epůjde ajedou, atisymetricá relace se totiž dívá a dvojice růzě Poud je to dvojice stejých prvů, ta to atisymetrii ezajímá a můžeme si je brát či ebrat dle libosti Zato u dvojice růzých prvů povoluje atisymetrie žádou či je jedu spojici Atisymetricou relaci tedy vytvoříme ve dvou ezávislých fázích eboli použijeme ásobící pricip Nejprve se rozhodeme, teré ze smyče použijeme Možých smyče je, my z ich vybírámepodmožiy,jetedy možostí V druhé fázi doplíme spojice mezi estejými prvy Možia euspořádaých dvojic růzých prvů má dle příladu11apbveliost 1 ( 1,myseuaždédvojicerozhodujememezitřemivariatami:evzítvůbec, vzítodmešíhovětšímu,vzítodvětšíhomešímu(vzhledempořadíprvůvmožiě AJetedymožo vytvořit3 ( 1/ výběrů Závěr:Namožiě Aje 3 ( 1/ růzýchatisymetricýchrelací e Vzhledem tomu, že asymetricé relace jsou vlastě atisymetricé a avíc atireflexiví, zameá to, že u ichejsouprodvojicestejýchprvůžádémožostivýběrujetedy3 ( 1/ asymetricýchrelaciamožiě A Trazitivita se špatě ombiatoricy uchopuje, ai s tím ebudeme začíat Přílad 11as: a Koli lze vytvořit růzých řetězců ze slova DUMBO? Tojesadé,jdeopermutacečili5!10řetězců bkolilzevytvořitrůzýchřetězcůzeslovabambi? Zase jde o permutace, ale máme problém, protože se ám dvě písmea shodují Zusme se ejprve odvolat ato,coumíme,aozačitsitabéča,mámetedy B 1 AMB IZtohotoumímeudělat5!řetězcůMysije teď rozdělíme, možiu všech řetězců rozložíme a disjutí možiy ta, že v aždé možiě je vždy jede orétí řetězec a taé všechy jié řetězce, teré z ěj lze zísat permutací těch B Jeda taová možia je třeba {B 1 B AMI, B B 1 AMI},jiátřeba {B 1 AB IM, B AB 1 IM}Jesadésirozmyslet,žeaždátatomožia mápřesě!prvy Jetaézjevé,žedyžteďodbéčeodmažemetyidexyebolizrušímejejichpořadí,taseaždátatomožia zcvreajedeřetězec,tažepočetrůzýchřetězcůvytvořitelýchzbambije 5!! 60 Teto postup můžeme sado apliovat i a případy, dy se opauje více objetů, třeba ze slova BREKEKE lze vytvořit 7!!3! 40růzýchřetězců Uážeme si ještě jede způsob, ja a BAMBI Začeme tím, že ejprve mezi pěti pozicemi vybereme ty, am budemestratbéča: ( 5 Vdruhéfáziaostatímístazpermutujeme AMI,celemdostaeme ( 5 3!60růzých řetězců Tuto myšleu si yí zobecíme! Věta 11a6 Mějme objetů,ztoho 1 jetypu1(jsouerozlišitelé, typuaž jetypu,tedy i Paje! 1!!! růzýchpermutacítěchtoobjetů i0 11a6, 11as 13 11a6, 11as

14 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 Důaz: Iducí a (0 1:Permutujemeobjetyjedohodruhu,máme 1,tedymábýt 1! 1! 1možostí,cožsouhlasí,u stejých objetů prohozeí epozáme (1 Předpoládejme, že umíme permutovat olece typů objetů Mějme teď oleci + 1 typů objetů Nejprvevyberemeumístěíproobjetytypu +1mezi volýmimísty,cožsedáudělat ( +1 způsoby Zbýváuspořádat( +1 objetůotypechmezizbývajícími +1 volýmimísty,cožpodleidučího předpoladulzeudělat ( +1! 1!!!způsobyCelemjetedymožovyrobit ( +1 růzých permutací ( +1! 1!!!! +1!( +1! ( +1! 1!!!! 1!!! +1!! Přílad 11at: Ze slova BAOBAB je možo vytvořit 6! 3!!1! 60růzýchslov Přílad11au: VrátímeseachvílieartámVehřebridgesevšech5aretrozdámezi4soutěžící(aždý má13záležívšajeatom,dodostaejaou,iolivapořadí,vjaémimjedotlivéartypřicházejí Kolia způsoby to lze udělat? Jedamožostjevybratartyproprvího,paprodruhéhoatd,jdeofázespočtemmožostí,terýezávisí a orétí volbě předchozí fáze, tedy podle ásobícího pricipu je počet možostí ( 5 13 ( ( ( ! 13!39! 39! 13!6! 6! 13!13! 1 5! 13!13!13!13! (Pro sradu: Je to Te předposledí výraz vypadá zajímavě, ajde se ěmu přímá cesta? Ao, položíme arty do řady a rozhodeme, že prví hráč dostae prvích 13, druhý druhých 13 atd Rozdáí se tedy realizuje permutacemi aret, ale protože u jedotlivého hráče a pořadí ezáleží, zrušíme příslušé počty permutací tím, že dělíme těmi 13! Alterativí řešeí: Dá se zusit i změa úhlu pohledu, erozdáváme arty hráčům, ale přidělujeme hráče artám Vyrobímezaaždéhohráče13žetóůařadímejerůzěpodélaretJdeopermutacesopaujícímiseprvy, 5! vychází tedy 13!13!13!13! Kromě permutací jsme v této apitole zoumali taé výběry Ja to vypadá, dyž máme od aždého typu omezeýpočetusůachcemezichěolivybrat(aťužspořadímčibez?jetovelýproblémpodobýtomu z příladu 11al, protože hed prví volbou změíme počty usů, teré jsou dispozici do dalších ol, taže elze používat ásobící pricip a v zásadě ezbyde ic ež zase rozebírat možosti apřílad pomocí stromů Jiými slovy, žádé rozumé vzorce ejsou a aždý přílad je svůj Jede taový si uážeme Přílad11av: (imámedispozicitřibobóymaliovéasedmbobóůcitróovýchchceme-lisivzítosm, olia způsoby je to možé? a Na pořadí ezáleží: To je sadá úloha, můžeme mít ejvýše tři maliové, ale alespoň jede vzít taé musíme, jia by ám citróové estačily a doplěí do osmi Jsou tedy tři možé způsoby(1, ebo 3 maliové b Na pořadí záleží: Zde jsou možé dva přístupy Jede využívá výběru bez pořadí, terý se pa zpermutuje Nestačí ale vzít výslede z a a vyásobit určitou ostatou, protože počet růzých permutací záleží a tom, olirát se terý prve opauje Situace se tedy musí rozložit dle počtů, apřílad maliových bobóů m1:zdepermutujemejedemasedmc,coždává 8! 1!7! 8možostíJdetoiselsýmrozumem,prostě vybíráme místo v pořadí pro te jede maliový 8! m:zdepermutujemedvamašestc,!6! 8možostí 8! m3: 3!5! 56možostí Celem možostí Druhámožostjeudělatsistrom,cožjealeevidetěvysoceouzovámetoda,protožebymělmítaoec9 větví (ii Máme dispozici pět bobóů maliových, tři pomeračové a pět citróových Chceme-li si vzít devět, olia způsoby je to možé? Tadyužtozačíábýtopravduzajímavé,atodooceivpřípadě,žeeuvažujemepořadíJeapříladvidět, že musíme vzít alespoň jede bobó maliový a alespoň jede citróový, ale co dál? Jeda možost je rozebrat případy podle toho, oli vezmeme třeba těch maliových 11a6, 11av 14 11a6, 11av

15 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 m1:zbýváosmbobóů,zdeeíavýběr,musímeprostěvzítvšechypavšechycjedamožost m:zbývávzítsedmbobóů,tedydvačitřipdvěmožosti m3:zbývávzítšestbobóů,tedyjedeažtřip,třimožosti m4:zbývávzítpětbobóů,tedyulaažtřip,čtyřimožosti m5:zbývávzítčtyřibobóy,tedyulaažtřip,zasečtyřimožosti Celem máme 14 možostí Poud bychom chtěli výběr s pořadím, pa pro aždou z těchto 14 možostí musíme řešit permutace Jejasé,žedybysevybíralozřeěmešestidruhů,taužjetetorozborúolemadlouhézimívečery Existují lepší alterativy? Jezdemožostpřevoduarovici,ašeúlohasedáformulovatjaohledáípočtuřešeírovice m+p+c9, teréjsouzn 0 asplňují m 5, p 3ac 5Záladembudepřístupzpříladupříladu11a,aleještě potřebujme další ástroje, vrátíme se tomuto příladu v další apitole, viz přílad 11be Popravdě řečeo, pro větší počet druhů by i toto bylo dosti pracé Pa by zase asi bylo ejefetivějším řešeím apsat algoritmus, terý by prošel všechy možosti a spočítal je Jiými slovy bychom si to rozdělili, my bychom udělali to přemýšleí a počítač by odvedl hrubou mauálí práci Ta to má být Cvičeí Cvičeí 11a1(rutií: Napsali jsme pěti amarádům a očeáváme odezvu, předpoládejme, že aždý apíše jedou a jié y už edorazí a V olia pořadích se jejich odpovědi mohou v mailboxu objevit? bpoudjsmeášmailserverechalipřecpatamámístoužjeatřipříchozí y,olijemožostíproto, co v mailboxu ajdeme? Cvičeí 11a(rutií: Kolia způsoby je možé odpovědět a 100 otáze typu ao/e, je-li možé a otázu taé eodpovědět? Cvičeí 11a3(rutií: Kolia způsoby je možo vybrat 6 předmětů z deseti růzých věcí, jestliže a výběr je uspořádaý a opaováí eí povoleo? b výběr je uspořádaý a opaováí je povoleo? c výběr je euspořádaý a opaováí eí povoleo? d výběr je euspořádaý a opaováí je povoleo? Cvičeí 11a4(rutií: Koli je možo vytvořit pozávacích zače, jestliže se sládá z číslice erové 0, pa písmea, pa číslice erové 0 a aoec čtyřmístého čísla? Cvičeí 11a5(rutií: Kolia růzými způsoby je možo rozdělit medaile mezi osm běžců za předpoladu, že ebude remíza? Cvičeí 11a6(rutií: Kolia způsoby je možé vybrat 8 micí z prasáta, ve terém je 100 stejých oru a 80 stejých dvouoru? Cvičeí 11a7(rutií: Koli je osmibitových biárích slov, terá obsahují právě pět jediče? Cvičeí 11a8(rutií: Na šole je 11 profesorů matematiy a 7 profesorů fyziy Kolia způsoby je možé vybratvýborsládajícísezetřímatiůatřífyziů? Cvičeí 11a9(rutií: Koli růzých ombiací oru, dvouoru, pětioru, desetioru a dvacetioru můžebýtvprasátu,jestližejetam0micí? Cvičeí 11a10(rutií: Uvažujme písmea abcdef a Koli jejich permutací očí a d? b Koli jejich permutací očí a g? Cvičeí 11a11(rutií: Kolia růzými způsoby je možo rozvést 3000 ih do tří růzých sladišť? Cvičeí 11a1(rutií: Z 15 otáze a přijímací zoušy mají mít 4 správou odpověď a, 4 správou odpověď b,4správouodpověď ca3správouodpověď dkolijetřebavyrobitšabloopravováí,abyeaždépříslušé volbě otáze byla šabloa? Cvičeí 11a13(rutií: Kolia způsoby lze rozdělit šest ideticých balóů do devíti růzých ošů? 15

16 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 Cvičeí11a14(rutií: VbarualévajídosleictřidruhyvíaadvadruhypivaMělijstezavečerpět sleic Kolia způsoby to mohlo proběhout, dyž jste echtěli míchat vío s pivem? Cvičeí 11a15(rutií: Učitel se rozhodl vyhodit 40 lidí ze 00 studetů Koli se mu abízí možostí? Koli má možostí za situace, dy těch 40 představuje je horí mez, ale toli jich vyhodit emusí? Cvičeí 11a16(rutií: a Koli existuje desetimístých řetězců sestaveých ze dvou ul, tří jediče a pěti dvoje? b Koli existuje desetimístých čísel ve trojové soustavě, terá jsou zapsaá pomocí dvou ul, tří jediče a pěti dvoje? Cvičeí 11a17(rutií: Koli je možých Iteretových adres podle protoolu IPv4? Adresymají3bitůajsourozděleydotřítříd ClassAprovelésítě:za0ásleduje7-bitovýetID(esmítobýt apa4-bitovýhostID(esmíbýt samé0čisamé1 ClassBprostředísítě:za10ásleduje14-bitovýetIDapa16-bitovýhostID(esmíbýtsamé0čisamé1 ClassCpromalésítě:za110ásleduje1-bitovýetIDapa8-bitovýhostID(esmíbýtsamé0čisamé1 Pozáma: Rezervováy jsou ještě Class D 1110 pro speciálí účely(multicastig a Class E jao rezerva IPv6užmá18bitovéadresy Cvičeí 11a18(rutií: Koli má možia se 100 prvy alespoň dvouprvových podmoži? Cvičeí 11a19(rutií: Hodí se desetrát po sobě micí a Kolia způsoby to může dopadout? bkolizichmápřesědvěhlavy? ckolizichmástejěhlavaorlů? dkolizichmávícehlavežorlů? ejaseodpovědiaotázyaaždzměí,poudhážemeajedoudesítirůzýmimicemi? f Ja se odpovědi a otázy a až d změí, poud hážeme ajedou desíti ideticými micemi? Cvičeí 11a0(rutií: V obchodě mají 5 růzých druhů čoolády Kolia způsoby je možo oupit a tři čoolády? btřičooládyta,abybylaaždájiá? cšestčooládta,abybylaaždájiá? d šest čoolád ta, aby se aždý druh vysytul? ešestčooládta,abytamurčitěbylyalespoňtřimléčéslísovýmioříšy,aleurčitěevícežjedahořá? Cvičeí 11a1(rutií: Studet si vždycy ráo cestou do šoly oupí bagetu a Jestliže je dispozici šest druhů a echce si v jedom týdu upovat stejou vícerát, olia růzými způsoby může mít během týde bagety(a pořadí záleží? b Ja dlouho může studovat, poud echce bagetové týdy opaovat? Cvičeí 11a(rutií: Koli řetězců lze vytvořit permutováím slova BUBUKUKU? Cvičeí 11a3(rutií: Koli permutací řetězce ABCDEFGH obsahuje slova BA a FEC? Cvičeí 11a4(rutií: Kolia způsoby je možo uspořádat písmea a, b, c a d, jestliže b esmí přijít hed po a? Cvičeí 11a5(rutií: Kolia způsoby je možé uspořádat AABBCCDDEE ta, aby ebyly dvě A za sebou? Cvičeí 11a6(rutií: Koli řetězců je možé vytvořit pomocí písme ze slova HAHA? Cvičeí 11a7 (rutií: Kolia způsoby je možo z pěti že a sedmi mužů vybrat čtyřčleý výbor za předpoladu, že musí obsahovat alespoň jedoho muže a alespoň jedu žeu? Cvičeí 11a8(rutií: V curárě mají tři typy oplatu a zmrzliu(oroute, alíše, mističa ve tvaru lastury, osm typů zmrzliy a dvě možosti posypu(čooláda, oříšy a Koli je možé vytvořit zmrzli ze tří opečů, jestliže je možé opaovat druh zmrzliy a přidat posyp? b Koli je možé vytvořit zmrzli ze tří opečů, jestliže eí možé opaovat druh zmrzliy, ale můžeme přidat až dva růzé posypy? 16

17 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 Cvičeí 11a9(rutií: Kolia způsoby je možo vybrat půltucet oblih z 10 možých druhů, jestliže a se esmí opaovat druh? b musí být všechy stejé? cjetovýběrbezomezeí? dmusíbýtalespoňdvadruhy? e musí být alespoň čtyři jahodové? fesmíbýtvícežtřipudiové? Na pořadí ezáleží Cvičeí 11a30(rutií: Koli alespoň osmipísmeých řetězců lze vytvořit z písme slova BALAKLAVA? Cvičeí 11a31(rutií: Kolia způsoby je možé vybrat čtyři studetsé zástupce, jestliže tam mají být obsažey všechy stupě a a šole je 500 studetů baalářsé etapy, 100 studetů magistersé etapy a 300 dotoradů? Cvičeí 11a3(rutií: Koli je možé udělat SPZ, jestliže jsou možé formáty 3 písmea 4 čísla ebo písmea 5 čísel? Cvičeí 11a33(rutií: Koli je možo utvořit palidromů(řetězců ad 6 písmey abecedy, teré se čtou stejězlevaizpravaodélce? Cvičeí 11a34(rutií: Kolia způsoby je možo vytvořit fotu 6 svatebčaů v řadě, jestliže aevěstaažeichmusíbýtvedlesebe; b evěsta musí být ěde alevo od žeicha; c evěsta esmí být vedle žeicha Cvičeí11a35(rutií: JméoproměévjazyceCjeřetězecodélce1až8sládajícísezmalýchavelých písme, číslic či podtržíta, prví za esmí být číslice Koli proměých je možo pojmeovat? Cvičeí 11a36(rutií: Uvažujme slova o délce 7 vytvořeá z 6 malých písme abecedy(6 samohláse, 0 souhláse akolizichmáprávědvěsamohlásy? b Koli z ich začíá d ebo t ásledováo samohlásou? cjasetozměí,dyžeímožopísmeaopaovat? Cvičeí 11a37(rutií: Koli je čtyřbitových řetězců, teré eobsahují tři uly hed po sobě? Cvičeí 11a38(rutií: Koli je pětibitových řetězců, teré obsahují tři uly po sobě? Viz taé cvičeí 11b4 Cvičeí11a39:(iKoliazpůsobysemůžepostavitosmmužůapětžedořadyta,abydvěžeyestályza sebou? (iikoliazpůsobysemůžepostavit mmužůažeta,abydvěžeyestályzasebou? Cvičeí 11a40(rutií: Kolia způsoby lze rozdělit 8 dětí do čtyř houpacích lodiče pro dva a pouti, dyž jeámjedo,javaždélodičcesedí? Cvičeí 11a41(rutií: Nástupu v taečích se účastí mladíů a díve V olia růzých pořadích mohou (po jedom astupovat, mají-li se střídat mladíci s dívami? Cvičeí 11a4(rutií: Zvolme přirozeé číslo meší ež 99 akolipermutacíčísel1,,,100zachováváčísla, +1, +vesprávémpořadíazasebou? bkolipermutacíčísel1,,,100zachováváčísla, +1, +vesprávémpořadí? Cvičeí11a43(rutií: Vybírámečtyřičíslaz1,,,100,atobezopaováíKoliazpůsobyjetomožé udělat ta, aby: asevevýběruobjevilačísla13,3,31posobě? bsevevýběruobjevilačísla13,3,31iolivutěhedposobě,alevtomtopořadí(tjmůžesemeziě vmáčout i ěco jiého? csevevýběruobjevilaějaátřičíslaposobě? dsevevýběruobjevilatřiposobějdoucíčísla,aleemusíbýtutěvybráahedposobě,jevtomtopořadí (tjmůžesemeziěvmáčoutiěcojiého? evyřešteaab,poudvybírámezesedmičísel 17

18 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 Cvičeí 11a44(rutií: Kolia způsoby lze vybrat tucet jable z oše, ve terém je 0 červeých, 0 žlutých a 0 zeleých, jestliže chceme alespoň tři od aždé barvy? Cvičeí 11a45(rutií: Koli je možo vytvořit biárích řetězců z osmi ul a desíti jediče, jestliže po aždé ule musí přijít jediča? A dvě jedičy? Cvičeí 11a46(rutií: Kolia způsoby je možo rozesadit lidí olem ulatého stolu? Cvičeí 11a47(rutií: Máme maželsých párů akoliazpůsobyjemožojeposaditdořady,abysedělivpořadímuž-žea? bkoliazpůsobyjemožojeposaditdořady,abysedělaždýpárvedlesebe? cacoolemulatéhostolu? Cvičeí 11a48(rutií: Koli je ejvýše 8-místých biárích slov(eprázdých splňujících tuto podmíu: Jestližejeprvíza0,paužmůžeásledovatjeulaažsedmzaů1Jestližejeprvíza1,pamůže ásledovat je lichý počet jediče Cvičeí11a49(poučé: anechť m, N,uvažujmečtercovousíťošířce mčtvercůavýšce čtvercůkolia způsoby je možo se dostat z levého dolího rohu do pravého horího rohu, jestliže je povoleo se pohybovat je doprava ebo ahoru po této síti? Iterpretace:Chcemesedostatvroviězbodu(0,0dobodu(m,,můžemealejepostupězvětšovatjedotlivé souřadice po 1 bnechť m,, NKoliazpůsobyjemožédojítv3D-prostoruzbodu(0,0,0dobodu(m,, zapředpoladu,žejemožéjítjeroyojedopodélěteréosyvesměruzvyšujícísesouřadiceosy? Cvičeí 11a50: Kód s pojistou je zvole ta, aby byl pětimístý, prví čtyři místa jsou libovolé číslice a posledí je číslice zvolea ta, aby byl součet dvou posledích cifer dělitelý sedmi Koli taových ódů je možé vytvořit? Cvičeí 11a51: Když vypíšeme všecha přirozeá čísla meší či rova 1000 v desítové soustavě, oli se celem použije číslic a0? b1? c? d3? e9? Cvičeí 11a5(poučé: Test má 5 otáze Jestliže má aždá otáza mít váhu alespoň 5 bodů, olia způsoby se dají body rozvrhout, aby byl součet 50? Cvičeí11a53:Kolirůzýchceločíselýchřešeí,terésplňují x 1 1, x 0, x 3 >3, x 4,márovice x 1 + x + x 3 + x 4 17? Cvičeí11a54:Kolipodmožimožiy {3,7,9,11,4}mávlastost,žemajísoučetmešíež8? Cvičeí 11a55: Jaými růzými způsoby může proběhout zápas mezi teisty A a B hraý a tři vítězé sety? Cvičeí 11a56: Kolia způsoby může sočit závod čtyř sirosařů? Cvičeí11a57:Koliazpůsobyjemožoviěposaditdořadyšestchlapcůaosmdíveta,abyžádíchlapci eseděli vedle sebe? Cvičeí 11a58: U stolu se sešlo lidí Když si chtějí připít, oli se ozve ciutí? Cvičeí 11a59: Koli má ovexí -úhelí úhlopříče? Cvičeí11a60:Nechť MjemožiaKolilzevytvořituspořádaýchdvojic(A, Btaových,že A B M? Nápověda:UvažujmetaovoudvojiciPaaždý x MpatřídoprávějedézA, A B, M B Cvičeí 11a61(poučé: Doažte, že(viz Fat 11a4 (iprovšecha N 0 platí ( 0 1; (iiprovšecha N 0 platí ( 1 (iiiprovšecha N 0 platí ( ( 18

19 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 Řešeí: 11a1:a5!10b a: a3:a b c ( ! 10 d ( ( ! a4: a5: a6: Počty jsou v zásadě irelevatí, podstaté je, že od aždého je alespoň osm usů Odhademe, že a pořadí ezáleží, ( ( Logicé,vybíráme,olvezmemedvojoru,možostiodžádépoosmKdybya pořadízáleželo,tajeto 8 56možostí 11a7: ( a8: ( ( a9: ( Každá mice si vybírá(s opaováím z pěti typů, a pořadí ezáleží(jsou volě ložeé v prasátu, tedy ( ! a10:a5!10b0 11a11:Každáihasivybírásladiště,sopaováím,apořadíezáleží,proto ( ( ! 11a1: Je to otáza a seřazeí písme, tedy permutace a ěterá písmea se opaují: 4!4!4!3! a13:Balóysivybírajíošesopaováím, ( ( a14:Buďpivoebovío,sčítacípricipPětvýběrůzetřívísopaováím,apořadízáleží,tedy3 5,podobě pivo,celem a15: ( , 0 ( 00 10! 11a16: a!3!5! 50bNutovyloučituluaprvímmístě,tedydvěmožosti,cotamdát: 9!!!5! + 9!!3!4! 10! 016Neboodečtemeodřetězcůtysulouazačátu:!3!5! 9! 1!3!5! a17:( 7 1 ( ( ( a18: 100 ( a19:a b ( ( 10 45c d 1 ( eNijafNovéabude11(ula orlů,jedeorelaždesetorlů,ovébacjsou1,ovédje5(šest,sedmaždesethlav 11a0:a ( ( ( 3 35b cNejdeto d Nejprve vezmeme jedu od aždého druhu a šestou čooládu dobereme, 5 možostí emožostisetřemilísovýmiatvrdopluszbývajícívolývýběr,toje ( možostí,odtohoodečteme možostisetřemilísovýmiadvěmahořýmiatvrdo,doberemetedyšestou5možostí,odpověďje a1:a ,poudchodídošolyaždýpracovíde bodečteme-liprázdiy(dvaváočítýdy,vlétě9týdůajaríprázdiy,zbývá40týdů,tedymůžesi šoly užívat 18 let 11a: 8!!!4! 40 11a3:Permutujemecely BA, FECatřipísmea,tedy5!10 11a4:Doplňem,4! 3!18 10! 11a5: (! 9! 5 (! ! 11a6:Neříáse všechpísme,tažesemusíbrátipodmožiypísmezevšechčtyřsevytvoří!! 6 řetězcůtřipísmeazečtyřjemožoobecěvybrat ( 4 3 4způsoby,aletadymámeopaovaápísmea,jsoutedy jedvazpůsoby: {A, A, H}a{A, H, H}Každýzichvedea 3!!1! 3řetězce,celemtedy 36třípísmeých řetězcůpodoběvýběrydvoupísmejsoujetři {A, A}, {A, H}a{H, H},prvíaposledídávajíjedeřetězec, prostředídávádva,celemtedy1++14dvoupísmeéřetězcejedopísmeéřetězcejsoujedva, Aa H Celem: 18 řetězců 11a7: ( 5 7 ( 3( ( ( ( a8:aFázeoplate,zmrzliy,posyp(tamzavedemetřetímožost žádý, bmožostiposypujsoučtyři(ic,čoo,oříšy,čooaoříšy, a9:Tucetje1a ( b10;c ( ( dDoplňemcbeza4795e Vyberemečtyřijahodovéadoberemedalšídvěbezomezeí, ( ( fdoplňemcbeze a30:Máme Ačtyřirát, LdvarátatřipísmeapojedomZevšechje 9! 4!! permutací Osmipísmeéřetězce:Vyecháme A,jejich 8! 8! 8! 3!! Vyecháme L,jejich 4! Vyechámejiépísmeo,jejich 4!! Celem 9! 4!! + 8! 3!! +8! 4! +3 8! 4!! a31: ( Zástupce ěteré supiy bude dvarát, podle toho to rozdělíme a disjutí případy: 500 ( 100 ( 300 ( ( 100 ( 300 ( ( 100 (

20 Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala ( a3: a33:Stačívybratpísmeaproprvípoloviuslova,6 / pro sudé,6 (+1/ pro liché,dásetoapsat jao6 / 11a34: a Vybereme zda žeich alevo či apravo, pa usadíme tuto dvojici, pa rozesadíme ostatí: 5 4! 40, bzesymetrie 1 6!360;cdoplňem6! 5!480 11a35: a36:a ( b c ( a a37:Všechje 4 atřiulyposoběmajířetězce0001,0000,1000,tedyodpoveďje a38: Těch je asi málo, zusíme výpisem, chce to systém, ta ejprve tři uly a začátu, pa tři uly uprostřed, pa tři uly a oci, ale hlídáme, jestli už to ebylo předtím: 00000, 00001, 00010, 00011, 10000, 10001, 01000, 11000Jejich8 ( 11a39:(iPočetrůzýchpozicmužůaže:Vybírámepětmístprožeyz7+možostímezimužiaaocích, 9 ( 5 Propevoupozicimužůažezpermutujemeorétímužeažey,8! 5!Celem: 9 5 8! 5! (ii ( m+1!m! (m+1!m! (m+1!poud m+1,jia0 8! 11a40: Seřadíme děti a odpočítáme po dvou, pa zrušíme pořadí v lodičách: (! 50Nebovybíráme 4 postupě: ( ( ( ( 11a41: Jsou dvě situace, jeda začíá lu-hola a poračuje stejě, druhá začíá hola-lu Pro daou situaci jepatřebaezávisleaplitluyaholy:(! 11a4: a Držíme je u sebe, taže permutujeme 98 celů, proto 98! permutací b Nejprve ajdeme místa pro ta třičíslamezistovou,paazbytemístzpermutujemezbyte,proto ( ! 11a43:aVyberemedalšíčíslo,atobuďpředebozatytři, bVyberemedalšíčísloapaještě aterouzečtyřpozicpřijde, cVyberemečíslomezi1a98,símautomaticypřijdedvojiceza ím,padoberemečtvrtéčísloadámejejzačipřed,tedysčítámemožostipoudbyalešloočtyřičíslaza sebou,tajsmetozapočítalidvarát,utoodečíst, dJaovc,aleutopro čtvrtéčíslovybratpozici, eJepětmožostí,amdovybraésedmiceumístittutrojici, padoberemezbývajícíčísla,5 ( fVyberememístaprotytřiadoberemezbývající, a44: Tucet je 1, tudíž hlaví je, že je od aždého alespoň toli usů Odhademe, že a pořadí výběru ezáleží Rovouvezmemetřiodaždébarvy,tojecelemdevětjable,zbývávybrattři,apořadíezáležíadíyvelému počtumůžemesopaováím,tedy ( způsobů Co bychom dělali, dyby a pořadí záleželo? Asi ejsažší by byl rozbor situací Rozládáme 1 a tři čísla, aždé alespoň 3 Možost 3-3-6: ejprve zvolíme, teré jablo bude šestrát, pa permutujeme, celem 3 1! 3!3!6! možostí Možost 3-4-5: ejprve zvolíme, teré jablo bude pětrát, pa jablo pro čtyři usy a aoec permutujeme, 1! celem3 3!4!5! možostí Možost4-4-4:tadyjepermutujeme,celem 1! 4!4!4! možostí Dohromady 1! 4!5!6! [ ] a45:Osmdvojic01,meziějetřebadátzbývajícídvěuly,místje9Buďsedávajípojedomeboobě ajedouajedomísto, ( Dvějedičyejdou,atojejichmálo 11a46:( 1!,vizpřílad11ah 11a47:aVýběrzdazačememužičižeami,paobsazeíjasé,jepermutujememužeaezávisležey,(! bnejprvepermutujemepáryjaocely,paurčímepořadíproaždýpárzvlášť,! cvýsledysevydělí počtem míst 11a48:Prvíza0:celem8možostí(za0ic,jedajediča,dvěatdPrvíza1:celem4možosti (za1jedajediča,tři,pět,sedmtedy8+41možostí 11a49: a Protože se evracíme, je aše svoboda silě omezea, musíme se posuout -rát ahoru a m-rát doprava,možostvolbyjejevtom,vjaémpořadítyroyprovedemejiýmislovy,jdeopočetpermutací těchtoroů,ještějiařešeo,vybíráme,amvcelem m+rocíchumístímetydoprava,cožje ( m+ možostí bzdejezasedápřesýpočetroůastrau,aolmoustrauaahoru,jdejeojejichuspořádáíodpověď zí ( m++ m,, (m++! m!!! 0