1 Úvod. 2 Úpravy algebraických výrazů. 2.1 Mocniny a odmocniny

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Úvod. 2 Úpravy algebraických výrazů. 2.1 Mocniny a odmocniny"

Transkript

1 1 Úvod Účelem těchto studijních materiálů není pokrýt celou středoškolskou matematiku, ani exaktně popsat všechny uvedené problémy. Jde jen o rekapitulaci části středoškolských znalostí, které studenti budou potřebovat při svém studiu v bakalářském a magisterském programu na FS VŠB-TUO. Text je určen všem studentům VŠB. A to jak studentům denního studia, kteří ho využijí v předmětu Základy matematiky, tak kombinovaného studia, kteří už mají střední školu dávno za sebou a mohou ho použít jako připomenutí dávno zapomenutých znalostí. Zejména bych jej doporučil těm, kteří z matematiky nematurovali nebo studovali střední školu, kde nebyl na matematiku kladen důraz a hodinová dotace nebyla příliš vysoká. Úpravy algebraických výrazů Úpravy algebraických výrazů budete používat při studiu stále, at už při řešení různých druhů rovnic a nerovnic, výpočtů derivací či integrálů. Proto je nutné si být jistý při jakýchkoli úpravách a práci s mnohočleny, zlomky, mocninami či odmocninami. Vždy je třeba dávat pozor, aby byl výraz se kterým pracujete definován. Definičním oborům výrazů a hlavně funkcí se budeme věnovat zvlášt později..1 Mocniny a odmocniny Při práci s mocninami s přirozeným exponentem používáme následující základní vzorce (r, s N): 1. a r a s = a r+s,. a r a s = ar s, a 0, r > s, 3. (a r ) s = a rs, 4. (ab) r = a r b r, ( a ) r a r 5. = b b, b 0. r Pro práci s celočíselným exponentem je navíc definováno (a 0) : a 0 = 1, a n = 1 a n. 1

2 Odmocniny pak zapisujeme jako mocniny s racionálním exponentem, tj. v exponentu je zlomek. a p/q = q a p, přičemž předpokládáme, že výraz je vždy definovaný, tj. pro sudé odmocniny je základ a 0. Při praktických výpočtech platí i u obecných mocnin všechny výše uvedené vzorce (1-5), pokud je výraz definován.. Mnohočleny Při násobení mnohočlenů roznásobíme členy každý s každým. Je velmi výhodné naučit se následující vzorce, které budeme používat velice často: 1. (a + b) = a + ab + b. (a b) = a ab + b 3. a b = (a + b)(a b) 4. (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 5. (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 6. a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) 7. a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) Pozor na to, že výraz a + b není rozložitelný v oboru reálných čísel. Je velice užitečné umět rozložit i trojčlen ve tvaru Pro kořeny x 1, platí tzv. Vietovy vzorce x + px + q = (x x 1 )(x x ). x 1 + x = p, x 1 x = q. U obecného trojčlenu ax + bx + c je nutné nejprve koeficient a vytknout a teprve pak provést rozklad pomocí Vietových vzorců ax + bx + c = a(x + px + q) = a(x x 1 )(x x ). Rozklad však lze použít pouze tehdy, je-li řešitelná v reálném oboru kvadratická rovnice ax +bx+c = 0, tj. je-li diskriminant této rovnice b 4ac 0. Tuto část ještě podrobněji probereme v sekci kvadratických funkcí a kvadratických rovnic

3 (viz kapitoly 3.3 a 4.3). Praktickou ukázku zmíněného rozkladu si ukážeme v následujícím příkladu. Příklad.1.: Nalezněte rozklad trojčlenu 3x + 1x Řešení: Z výrazu nejprve vytkneme koeficient 3. 3x + 1x + 36 = 3(x + 7x + 1). Protože x 1 x = 1, zkusíme 1 rozložit na součin přirozených nebo celých čísel. V úvahu připadají dvojice {1, 1}, {6, }, {4, 3}, případně { 1, 1}, { 6, }, { 4, 3}. Prostřední koeficient 7 pak musí být součtem těchto čísel a je evidentní, že správné řešení problému je tedy {4, 3}. Rozklad zkoumaného trojčlenu je 3x + 1x + 36 = 3(x + 7x + 1) = 3(x + 4)(x + 3). Tento postup budeme používat nejen při úpravách výrazů, ale i při řešení kvadratických rovnic a nerovnic, apod. Např. při řešení kvadratické rovnice, využijeme rozloženého trojčlenu a okamžitě získáváme oba kořeny 3x + 1x + 36 = 0 3(x + 4)(x + 3) = 0 x 1 = 4, x = 3, aniž by bylo při výpočtu kvadratické rovnice nutné pracovat s diskriminantem. Během prvního i druhého semestru se také několikrát setkáme s dělením mnohočlenu mnohočlenem. Příklad..: Vydělte (x 4 + x 3 4x + x 5) : (x 1). Řešení: Při dělení je nutné mít mnohočleny seřazeny od nejvyšší mocniny k nejnižší. Člen x 4 dělíme členem x a získáme první člen podílu x. Tímto členem násobíme celého dělitele a vzniklý výraz x 4 x odečteme od dělence. Získáme mnohočlen s nižším stupněm x 3 x + x 5 a postup opakujeme. Tedy, x 3 dělíme x a dostaneme další člen podílu x. Opět vynásobíme x (x 1) a výsledný výraz x 3 x odečteme od x 3 x + x 5 a dostaneme x + 3x 5, který je opět nižšího stupně. Postup opakujeme tak dlouho, až je získaný mnohočlen (v našem případě výraz 3x 7) řádu nižšího než je dělitel. Tento výraz je zbytkem a celkově můžeme dělení zapsat takto: 3

4 (x 4 + x 3 4x + x 5) : (x 1) = x + x + 3x 7 x 1 (x 4 x ) x 3 x + x 5 (x 3 x) x + 3x 5 ( x + ) 3x 7 Kompletní úpravu algebraického výrazu si ukážeme v posledním řešeném příkladu této kapitoly. Uvidíme v ní spoustu dílčích kroků, které se často hodí při řešení jiných problémů. Příklad.3.: Upravte algebraický výraz: ( n 3 n n + 1 n + 1 ) n n + 3 n n3 + 1 n n. Řešení: Nejprve stanovíme podmínky řešení úlohy. At už řešíme jakýkoli problém, je nutné stanovit hodnoty proměnných, pro které má daná úloha smysl. V našem případě tvoří podmínky pouze zlomky, kde musí jmenovatel být vždy různý od nuly, tj. n 0, n ±1. Při každé úpravě je nutné správně stanovit prioritu matematických operací a zvolit pořadí jednotlivých kroků. V tomto případě nejprve sečteme tři zlomky uvnitř závorky, což provedeme úpravou na společný jmenovatel. Rozložíme-li jmenovatel třetího zlomku n = (n 1)(n+1), vidíme, že právě on je přímo společným jmenovatelem. První dva zlomky rozšíříme členy tak, aby odpovídaly společnému jmenovateli, tj. první výrazem (n 1), druhý (n + 1) a zlomky sečteme, resp. odečteme. n ( n 3 n + 1 n + 1 ) n n + 3 n n3 + 1 n n = = n (n 3) (n 1) ( 1)(n + 1) (n + 3) (n 1)(n + 1) n3 + 1 n n. Získaný výraz v čitateli prvního zlomku roznásobíme, posčítáme a obdržíme další krok úpravy n 4n 8n + 4 (n 1)(n + 1) n3 + 1 n n 4

5 Mnohočleny v obou zlomcích zkusíme rozložit a totožné v čitateli a jmenovateli zkrátíme. n 4(n 1) (n 1)(n + 1) (n + 1)(n n + 1) n(n 1) = n (n n + 1). n Po krácení už zbývá pouze odečíst oba výrazy. Opět je nutné použít úpravu na společný jmenovatel, kterým je nyní pouze n. Dostaneme n (n n + 1) n = (n 1). n Příklady k procvičení: 1. Rozložte výrazy a proved te krácení (a) (b) x + 3x 4 x + 10x + 4 x x 6 x 16x Vydělte polynomy [ ] x 1, x 4, x 6 x + 6 [ ] x + (x 5), x 3, x 5 (a) (x 4 x 3 + 3x x + 1) : (x + 1) [x x + 1] [ (b) (x 3 5x + 5x ) : (x 4) x x ] x 4 3. Upravte algebraické výrazy (a) (b) (c) (d) (e) 6 x5 x 1/ ( ) x 1 x [ (a ) 3 + : a 4 x3 x 1/3 x 1 [x, x > 0] 1 x ( 5 x ) x 1 x [4x, x > 0, x 1] x 1 x + 1 ] a 3 + 4a + 4a a 3a 1a m n m 1/ n m3/ n 3/ 1/ m n ( ) 3x 1/3 x /3 x x 1/3 1 ( 1 x 1/3 x 4/3 x 1/3 3x [ x [ ] a + a, a ±, a 0 [ mn m + n, m 0, n 0, m n ) 1 ] ] x 1 x 3,, 1, 1 5

6 3 Funkce 3.1 Základní pojmy Pokud ke každému reálnému číslu x z množiny D(f) přiřadíme právě jednu reálnou hodnotu y, definovali jsme funkci. Množinu D(f) nazýváme definičním oborem funkce. Funkci zapisujeme funkčním předpisem f : y = f(x), přičemž x nazýváme argumentem funkce a číslům y říkáme funkční hodnoty. Množinu všech funkčních hodnot pak označujeme H(f) a nazýváme ji obor hodnot funkce. Neurčíme-li definiční obor jinak, rozumíme jím takovou podmnožinu reálných čísel, kde má funkční předpis smysl. x + 1 Příklad 3.1.: Určete definiční obor funkce f : y =. x Řešení: Sudá odmocnina je definována pouze pro nezáporná čísla, tedy získáváme podmínku x + 1 0, ze které plyne x 1. Funkční předpis dále obsahuje zlomek, jehož jmenovatel musí být různý od nuly, tj. x 0. Obě dvě podmínky musí být splněny najednou. Definiční obor tedy můžeme zapsat pomocí intervalů takto D(f) = 1, 0) (0, ). Názornou představu o funkci, funkčních hodnotách a jejich vlastnostech poskytuje graf funkce. V rovině zvolíme pravoúhlou (kartézskou) soustavu souřadnic s počátkem O a kolmými osami x, y. Pro každou hodnotu x D(f) znázorníme uspořádanou dvojici [x, y], kde y = f(x). Množinu všech takových bodů nazýváme grafem funkce. Způsoby zadání funkce, operace s funkcemi a vlastnosti funkcí si probereme podrobně v prvním semestru v předmětu Matematika I. Nyní se budeme věnovat základním typům funkcí, tzv. elementárním funkcím, jejich grafům a vlastnostem, které budeme potřebovat při řešení příslušných rovnic a nerovnic. 3. Lineární funkce Lineární funkcí nazýváme funkci ve tvaru f : y = ax + b. Definičním oborem jsou všechna reálná čísla D(f) = R. Grafem každé lineární funkce je přímka. Jeli koeficient a = 0, jedná se o konstantní funkci a grafem je přímka rovnoběžná s osou x, viz Obr. 1. Položíme-li ve funkčním předpisu x = 0, získáváme y(0) = b. Koeficient b proto určuje hodnotu průsečíku grafu funkce s osou y. Koeficient a se nazývá směrnice přímky a určuje sklon přímky. Platí a = tan α, kde α je orientovaný úhel, který svírá zkoumaná přímka s kladným směrem osy x. Z vlastností funkce tangens vyplývá (viz kapitola 7.1 Goniometrické funkce) následující vlastnost. 6

7 Obr. 1. Konstantní funkce f : y = b, např. f : y =. Je-li koeficient a > 0 je funkce rostoucí, naopak je-li a < 0, je funkce klesající. Obě situace vidíme na Obr.. Obr.. Lineární funkce: a) a > 0, např. y = x 1, b) a < 0, např. y = 3x + 3 Příklad 3..: Nakreslete graf funkce y = 3x + 3. Řešení: Chceme-li sestrojit graf lineární funkce, stačí si uvědomit, že přímka je vždy definována dvěma body a nejjednodušší cestou je proto určení jejich průsečíků s osami. Položíme-li v předpisu funkce x = 0, obdržíme y = 3. Položíme-li y = 0, vyřešíme rovnici 3x + 3 = 0 a získáváme x = 1. Přímka tedy prochází body [0, 3] a [1, 0]. Body proložíme přímku a získáváme graf na Obr.. 7

8 3.3 Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí nazýváme funkci ve tvaru f : y = ax + bx + c, kde a 0. Definičním oborem jsou všechna reálná čísla D(f) = R. Grafem každé kvadratické funkce je parabola. Koeficienty a, b, c určují její tvar a polohu v kartézské soustavě souřadnic. Funkci f : y = x nazýváme základní kvadratická funkce s vrcholem v počátku souřadnic. Při vysvětlení významu jednotlivých koeficientů začneme od koeficientu a. Funkce y = ax má vždy vrchol v počátku souřadnic. Pro kladné a > 0 leží graf funkce nad osou x. Pokud jste se seznámili s pojmem konvexnosti, resp. konkávnosti funkce na střední škole, je pro a > 0 parabola konvexní 1, viz Obr. 3. Pro záporné a < 0 leží pod osou x a funkce je konkávní, viz Obr. 4. Obr. 3. Kvadratická funkce y = ax pro a > 0: y = x, y = x, y = 1 x ; Koeficient c má vždy hodnotu průsečíku paraboly s osou y, nebot dosadíme-li do předpisu y = ax + bx + c za x = 0, obdržíme právě y(0) = c. Grafem funkce y = ax + c je přímo parabola, která vznikne z paraboly y = ax posunutím o hodnotu c ve směru osy y. Pro kladné c jsme každou funkční hodnotu o c zvětšili, pro záporné zmenšili, tj. vrchol paraboly leží na ose y v bodě [0, c], viz Obr. 5. Parabolu můžeme jednoduše posunout také ve směru osy x. Graf funkce y = a(x x 0 ) vznikla z paraboly y = ax posunutím o x 0 doprava, v případě záporného x 0 doleva. Vrchol paraboly leží tedy na ose x v bodě [x 0, 0]. Tento druh posunutí si můžeme prohlédnout na Obr. 6. Nyní jsme již schopni sestavit graf paraboly v obecném tvaru. Podaří-li se nám převést kvadratickou funkci y = ax + bx + c do tvaru y = a(x m) + n, jedná se vždy o parabolu y = ax posunutou do 1 Pokud jste pojem ještě neslyšeli, nic se neděje. Budeme jej probírat podrobně v kurzu Matematika I. Zjednodušeně řečeno jde o typ oblouku, zda je parabola otevřená nahoru nebo dolů. 8

9 Obr. 4. Kvadratická funkce y = ax pro a < 0: y = x, y = x, y = 1 x. Obr. 5. Kvadratická funkce y = ax + c : y = x, y = x +, y = x 1. vrcholu o souřadnicích [m, n]. Příklad 3.3.: Nakreslete graf funkce y = x 4x 1. Řešení: Koeficient a =, tj. parabola bude mít stejný tvar a orientaci jako parabola y = x. Koeficient c = 1, parabola tedy prochází průsečíkem s osou y o souřadnicích [0, 1]. Průsečíky s osou x jsme schopni také vypočítat, a to řešením kvadratické rovnice x 4x 1 = 0, což probereme postupně v následující kapitole. Nyní si ukážeme, jak najít souřadnice vrcholu paraboly. Z funkčního předpisu nejprve vytkneme koeficient a z prvních dvou členů y = x 4x 1 y = (x x) 1. 9

10 Obr. 6. Kvadratická funkce y = a(x x 0 ) : y = x, y = (x + ) = x + 8x + 8. Výraz x x uvnitř závorky nyní doplníme na čtverec, tj. najdeme třetí člen výrazu tak, aby odpovídal vzorci (a ± b) = a ± ab + b. Takto získaný koeficient do výrazu přičteme a odečteme. Výraz tím neměníme, nebot celkový součet přidaného výrazu je roven nule. y = (x x + 1 1) 1 y = [(x 1) 1] 1 y = (x 1) 3. Zkoumaná parabola se proto liší od paraboly y = x pouze posunutím o hodnotu 1 doprava po ose x a hodnotu 3 dolů po ose y. Její vrchol má souřadnice [1, 3]. Graf viz Obr. 7. Až se naučíme v předmětu Matematika I používat derivace, získáme velice silný aparát pro hledání extrémů (minima a maxima) funkcí a vrchol paraboly pak budeme schopni určit velice jednoduše i bez doplnění na čtverec. Uvedený postup však budeme používat i v jiných úlohách a je velice užitečné ho umět. 3.4 Lineární lomená funkce Lineární lomenou funkcí nazýváme funkci f : y = ax + b cx + d, s podmínkami c 0, ad bc 0, aby funkce nepřešla ve funkci lineární, resp. konstantní. Definičním oborem funkce jsou všechna reálná čísla, s výjimkou hodnoty, kdy je 10

11 Obr. 7. Kvadratická funkce y = x 4x 1. { jmenovatel roven nule, tj. D(f) = R \ d }. Grafem lineární lomené funkce je c hyperbola, jejíž asymptoty (přímky, ke kterým se větve hyperboly blíží, ale nikdy je neprotnou) jsou rovnoběžné se souřadnými osami. Základní variantou lineární lomené funkce je tzv. nepřímá úměrnost f : y = k. V tomto případě leží střed x hyperboly v počátku souřadnic a asymptotami jsou přímo osy x, y. Pro kladné k > 0 leží větve hyperboly v prvním a třetím kvadrantu, zatímco pro záporné k < 0 leží ve druhém a čtvrtém kvadrantu, viz Obr. 8. Představu o grafu obecné lineární lomené funkce získáme převodem do tvaru y = n + k x m. Hyperbola y = k je pak posunuta s novým středem souměrnsti x o souřadnicích [m, n], její asymptoty jsou stále rovnoběžné se souřadnými osami. Příklad 3.4.: Nakreslete graf funkce y = x + 5 x + 1. Řešení: Definiční obor funkce D(f) = R \ { 1}. Ve funkčním předpisu provedeme dělení polynomu polynomem (viz Příklad.) a obdržíme y = x + 5 x + 1 = + 3 x + 1. Jedná se proto o hyperbolu y = 3, kterou jsmne posunuli do vrcholu o souřadnicích [ 1, ]. Asymptotami jsou přímky x = 1, y =. Pro lepší představu grafu x funkce můžeme navíc vypočítat průsečíky grafu funkce se souřadnými osami. Pro 11

12 Obr. 8. Nepřímá úměrnost y = k x : y = 1 x, y = 3 x, y = 1 x. x = 0, obdržíme z funkčního předpisu y = 5. Pro y = 0 vyřešíme rovnici x + 5 x + 1 = 0 a získáme x = 5. Řešení podobného typu rovnic probereme podrobněji v následující kapitole 4 Rovnice a nerovnice. Graf si můžeme prohlédnout na Obr. 9. Příklady k procvičení: Nakreslete grafy funkcí: 1. y = 4x + 1 [přímka s průsečíky [ 1 4, 0], [0, 1]]. y = x + 4 [přímka s průsečíky [, 0], [0, 4]] 3. y = x x + 1 [konvexní parabola s vrcholem v [1, 0] a průsečíkem [0, 1]] 4. y = x + 5x [konvexní parabola s vrcholem v [ 5, ] 5 4 a průsečíky [0, 0], [ 5, 0]] 5. y = 4x 9 [konvexní parabola s vrcholem v [0, 9] a průsečíky [ 3, 0], [ 3, 0]] 1

13 Obr. 9. Graf funkce y = x + 5 x y = x + x + 3 [konkávní parabola s vrcholem v [1, 4] a průsečíky [3, 0], [ 1, 0], [0, 3]] 7. y = x + 1 x y = x x 4 Rovnice a nerovnice 4.1 Lineární rovnice [hyperbola se středem v [ 3, 1] a průsečíky [ 1, 0], [0, 1 3 ]] [hyperbola se středem v [4, ] a průsečíky [ 1, 0], [0, 1 4 ]] Lineární rovnice je rovnice ve tvaru ax + b = 0, a, b R, přičemž předpokládáme a 0. Lineární rovnice má právě jedno řešení x = b. Nejčastěji ji a získáme ze složitějšího zadání ekvivalentními úpravami o nichž víme, že nemění řešení rovnice. Patří k nim přičtení, resp. odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice, vynásobení, resp. dělení obou stran rovnice stejným výrazem. U dělení je nutné, abychom dělili výrazem různým od nuly. Příklad 4.1.: Vyřešte rovnici: x x 4 3 = 7 x 3x 6. 13

14 Řešení: Rovnici řešíme za podmínek x 4 0, resp. 3x 6 0, čemuž odpovídá jediná podmínka řešení rovnice x. Při samotném řešení rovnice nejprve odstraníme zlomky. Výrazy ve jmenovatelích rozložíme x (x ) 3 = 7 x 3(x ). Společným jmenovatelem všech zlomků je výraz 6(x ), kterým rovnici vynásobíme, čímž se zbavíme zlomků. Obdržíme 3x 4(x ) = (7 x). Roznásobíme, posčítáme a dopočítáme rovnici 3x 4x + 8 = 14 4x, 3x = 6, x =. Hodnota x = však nevyhovuje podmínce řešení a úloha tedy v množině reálných čísel řešení nemá. 4. Soustava lineárních rovnic Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je soustava ve tvaru a 1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c kde koeficienty a 1, a, b 1, b, c 1, c R. Řešením soustavy rovnic je každá uspořádaná dvojice reálných čísel [x, y], která vyhovuje oběma rovnicím soustavy. Soustavu nejčastěji řešíme metodou dosazovací. Z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme ji do rovnice druhé, která se vyřeší. Získaný výsledek pak dosadíme zpět do první rovnice a dopočteme. metodou sčítací. Rovnice vynásobíme vhodnými čísly tak, aby se po sečtení (odečtení) rovnic jedna neznámá vyloučila a získaná rovnice pak obsahuje pouze jednu neznámou, kterou vypočteme. Výsledek pak dosadíme do kterékoli z rovnic a dopočítáme druhou neznámou. Příklad 4..: Vyřešte soustavu rovnic: 3x + y = 1 x y = 4 14

15 Řešení: Ukážeme si postupně obě metody. Začneme metodou dosazovací. Vyjádříme jednu neznámou. Například, z druhé rovnice se bude dobře vyjadřovat neznámá y, kde ihned získáme y = x 4, což dosadíme do první rovnice a vypočteme neznámou x 3x + (x 4) = 1, 7x = 7, x = 1. Dosadímme do výrazu pro neznámou y a dopočítáme y = x 4 =. Řešením je tedy dvojice neznámých x = 1, y =. Při sčítací metodě zvolíme vhodné koeficienty tak, aby se při následném sčítání rovnic jedna neznámá vyloučila. V našem případě stačí například druhou rovnici násobit dvěma, zatímco první rovnici necháme beze změny. Obdržíme 3x + y = 1 4x y = 8. Nyní rovnice sečteme, neznámá y se odečte a dopočítáme 7x = 7 x = 1. Tuto hodnotu můžeme dosadit do kterékoli z obou zadaných rovnic a vypočteme y =. Obdrželi jsme samozřejmě totožné řešení soustavy jako u metody dosazovací. 4.3 Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice má tvar ax + bx + c = 0, a, b, c R, přičemž předpokládáme a 0. Obecné řešení kvadratické rovnice je ve tvaru x 1, = b ± b 4ac. a Výraz pod odmocninou D = b 4ac nazýváme diskriminantem kvadratické rovnice. Diskriminant určuje počet řešení kvadratické rovnice. 15

16 Pro D > 0 má rovnice dva různé reálné kořeny x 1,. Pokud je D = 0, má rovnice jeden, tzv. dvojnásobný kořen x 1 = x. Je-li D < 0, rovnice nemá reálné řešení. Lze ji vyřešit v komplexním oboru, kde jsou řešením dvě komplexně sdružená čísla. Přestože kvadratickou rovnici lze vždy vyřešit pomocí diskriminantu, je často výhodnější a efektivnější ji vyřešit jiným způsobem. Například už jsme si ukazovali v příkladu.1 (kapitola. Mnohočleny), jak lze při vhodných celočíselných koeficientech rovnici vyřešit pomocí Vietových vzorů rozkladem na kořenové činitele. Možností je však více. Vše probereme v následujících řešených příkladech. Nejprve si však ukážeme, jak se pracuje s diskriminantem. Příklad 4.3.: Vypočtěte rovnici x + 4x 30 = 0. Řešení: Před dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice, resp. diskriminantu rovnici podělíme dvěma. S menšími čísly se bude určitě lépe pracovat. Vypočteme diskriminant x + x 15 = 0. D = b 4ac = 4 1 ( 15) = 64, který je kladný a rovnice má proto dva různé reálné kořeny x 1, = b ± D a = ± 64 = ± 8. Odtud pak získáme oba kořeny x 1 = 3, x = 5. Nyní zkusíme rovnici vyřešit rozkladem polynomu x + x 15 na kořenové činitele pomocí Vietových vzorců. Koeficient 15 lze rozložit na součin celočíselných dvojic {5, 3}, resp. { 5, 3}, nebo {15, 1}, resp. { 15, 1}. Součet kořenů musí odpovídat koeficientu. Správná možnost je tedy {5, 3} a rozklad polynomu a následné řešení rovnice vypadá takto x + x 15 = 0 (x + 5)(x 3) = 0. Odtud okamžitě získáváme řešení rovnice x 1 = 3, x = 5. Tento postup však funguje pouze při vhodných koeficientech a, b, c. Obecně můžeme při řešení kvadratické rovnice získat iracionální čísla (odmocniny), se kterými se nebude Vietovými vzorci dobře pracovat, nebo rovnice nemusí být vůbec v reálném oboru řešitelná, nebot má záporný diskriminant. 16

17 V případech, kdy kvadratická rovnice neobsahuje všechny koeficienty, lze rovnici vždy řešit jednoduššími způsoby. Příklad 4.4.: Vypočtěte rovnici x 4 = 0. Řešení: V tomto případě lze bud převést každý člen rovnice na jednu stranu a odmocnit x = 4, x =, x 1, = ±. Druhou možností je rozložit výraz na levé straně rovnice pomocí vzorce pro rozklad a b = (a b)(a + b) x 4 = 0, (x )(x + ) = 0, odkud ihned získáváme oba kořeny x 1, = ±. Příklad 4.5.: Vypočtěte rovnici x + 9 = 0. Řešení: Tato rovnice na první pohled nemá žádné řešení v reálném oboru. Výraz x je větší nebo roven nule pro každé x R. Po přičtení devítky je levá strana vždy kladná a nule se proto nikdy rovnat nebude. Pokud bychom každý člen převedli na jednu stranu rovnice, získáme rovnici x = 9, která opět nemůže mít z analogického důvodu reálné řešení. Výraz x + 9 ani nerozložíme, protože vzorec pro rozklad a +b neexistuje. O neexistenci reálného řešení se můžete také přesvědčit výpočtem diskriminantu D = b 4ac = = 36. Příklad 4.6.: Vypočtěte rovnici x 3x = 0. Řešení: I zde je řešení velice jednoduché. Na levé straně rovnice stačí vytknout neznámou x x 3x = 0, x(x 3) = 0 a ihned získáváme řešení rovnice. x 1 = 0, x = 3. 17

18 Na závěr si ukážeme řešení kvadratické rovnice v komplexním oboru. Nebudeme zde nijak hlouběji zabíhat do práce s komplexními čísly. Připomeňme si pouze, že při výpočtu využijeme definici komplexní jednotky i = 1. Příklad 4.7.: Vypočtěte rovnici x + x + 5 = 0. Řešení: Koeficient 5 nabízí pouze rozklad na součin dvojice celých čísel {5, 1}, resp. { 5, 1}. Ani v jednom případě však nevytvoříme jako součet kořenů koeficient. Nezbývá nám než použít diskriminant. D = b 4ac = = 16. Diskriminant je záporný, tj. rovnice nemá v reálném oboru řešení, přesto můžeme použít vzorec pro řešení kvadratické rovnice. Záporné znaménko pod odmocninou nahradíme definicí komplexní jednotky a dopočítáme x 1, = b ± D a = ± 16 = ± 16i = ± 4i = 1 ± i. Řešením v komplexním oboru je vždy tzv. dvojice komplexně sdružených čísel - mají stejnou reálnou a opačnou komplexní složku. 4.4 Rovnice s absolutní hodnotou Nejprve si připomeneme, jak je definována absolutní hodnota reálného čísla. Absolutní hodnotu definujeme jako vzdálenost čísla od nuly na číselné ose. Proto platí: { x pro x 0, x = x pro x < 0. Absolutní hodnota výrazu, který je kladný (případně rovný nule), je tedy přímo rovna tomuto výrazu. Absolutní hodnota výrazu, který je záporný, změní jeho znaménko na opačné. Při řešení rovnice s absolutní hodnotou, rozdělíme celý obor, na němž je rovnice definována, na dílčí intervaly, v nichž výrazy uvnitř absolutních hodnot nemění znaménka. Rovnici pak řešíme zvlášt na každém z těchto dílčích intervalů, přičemž absolutní hodnoty odstraníme podle definice. Výrazy, které jsou kladné, ponecháme beze změny. U záporných výrazů změníme znaménko. Příklad 4.8.: Vypočtěte rovnici x 4 + x = 6. Řešení: Nejprve určíme nulové body výrazů uvnitř absolutních hodnot, což jsou jediné hodnoty, kde tyto výrazy mohou měnit znaménka. Získáme hodnoty x = 4 a x = 0. Množinu reálných čísel rozdělíme na intervaly x (, 0), x 0, 4 a x (4, ). Rovnici pak řešíme na každém intervalu zvlášt. Nezáleží na tom, 18

19 do kterého z intervalů dáme nulové body, ale je nutné je aspoň do jednoho intervalu zahrnout, abychom neomezili obor, na němž rovici řešíme. Nyní zjistíme znaménka výrazů uvnitř absolutních hodnot na jednotlivých intervalech. Bud si jednoduše načrtneme grafy obou funkcí y = x, resp. y = x 4 (v obou případech se jedná o lineární funkce s koeficientem a > 0, jejich grafy jsou rostoucí přímky, proto jsou vlevo od svého nulového bodu vždy záporné a vpravo kladné) nebo si uvnitř každého intervalu vybereme jednu hodnotu, dosadíme do výrazu x, resp. x 4, a určíme jeho znaménko. Znaménka výrazů na jednotlivých intervalech vidíme v následující tabulce. x (, 0) 0, 4 (4, ) x x Nyní budeme řešit rovnici a to zvlášt na každém intervalu. 1. Pro x (, 0). Na tomto intervalu jsou oba výrazy záporné, takže při odstranění absolutních hodnot oba výrazy změní znaménko na opačné. Zadaná rovnice přejde na rovnici (x 4) x = 6 x = x = 1 Je třeba ještě ověřit, zda získané řešení patří do intervalu, na kterém rovnici řešíme. Získaná hodnota x = 1 náleží do intervalu (, 0) a máme tedy první řešení zadané rovnice.. Pro x 0, 4. Na tomto intervalu je výraz x 0 a jeho absolutní hodnotu proto odstraníme beze změny, zatímco výraz x 4 0 a proto u něj změníme znaménko na opačné. Dostaneme rovnici (x 4) + x = 6 4 = 6 Získali jsme rovnici, která nemá žádné řešení. 3. Pro x (4, ). Na tomto intervalu jsou oba výrazy kladné a absolutní hodnoty proto od- 19

20 straníme beze změn. Získáme rovnici x 4 + x = 6 x = 10 x = 5 Tato hodnota leží v intervalu (4, ) a proto i ona je řešením zadané rovnice. Zadaná rovnice má tedy dvě řešení x 1 = 1, x = Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme rovnici, kde se neznámá vyskytuje pod odmocninou. Odmocniny odstraníme tak, že umocníme obě strany rovnice. Pokud je v rovnici jen jedna odmocnina, osamostatníme ji a rovnici umocníme. Pokud je v rovnici odmocnin více, je nutné umocňování opakovat. Je nutné si však uvědomit, že umocnění není ekvivalentní úprava. Pouhé ověření podmínek řešitelnosti nestačí a nutnou součástí řešení je zkouška. Příklad 4.9.: Vypočtěte rovnici x + x 9 = 1. Řešení: Rovnici není vhodné umocnit v tomto tvaru. Výraz na levé straně rovnice je nutné umocnit podle vzorce (a+b) = a +ab+b a odmocnina pak v rovnici zůstane i po umocnění. Proto nejprve osamostatníme odmocninu. x 9 = 1 x. Nyní rovnici umocníme, čímž odstraníme odmocninu, a obdržíme x 9 = 441 4x + x 4x = 450 x = 75 7 Umocnění není ekvivalentní úprava a rozšiřuje množinu řešení rovnice. Proto je nutné provést zkoušku a ověřit, zda je získaný kořen skutečným řešením rovnice. ( ) (75 75 L = 75 ) = = = = = = 1, což odpovídá pravé straně rovnice a zkouškou jsme tedy ověřili správnost kořene. 0

21 Pro bližší pochopení problému si nyní projdeme následující příklad. Příklad 4.10.: Vypočtěte rovnici 1 + x 9 = x. Řešení: Rovnice je velice podobná té z Příkladu 4.9. Kroky řešení jsou proto analogické. Osamostatníme odmocninu x 9 = x 1. Všimněte si, že v předchozím příkladu je v této situaci levá strana úplně totožná, zatímco pravá má opačná znaménka. Nyní provedeme umocnění a získáme x 9 = x 4x Nyní je rovnice totožná a stejnými kroky jako v Příkladu 4.9. tedy obdržíme výsledek x = 75. Podívejme se nyní na zkoušku. 7 ( ) (75 ) L = = = = což neodpovídá pravé straně = = 19 7, P ( ) 75 = a rovnice tedy nemá řešení. Na těchto dvou příkladech je pěkně vidět, že umocnění není ekvivalentní operace. Co si pod touto větou můžeme představit? Pokud je levá a pravá strana sobě rovna, platí rovnost i po umocnění. Pokud jsou výrazy právě opačné, umocněním se tento rozdíl setře a množinu řešení umocněním rozšíříme. Nepomůže ani stanovení podmínek rovnice. V obou příkladech je podmínkou x 9 0 x 3 což kořen x = 75 vždy splňuje. Proto musíme vždy udělat zkoušku, která je 7 nezbytnou součástí řešení iracionální rovnice. 1

22 4.6 Nerovnice Řešení nerovnic je často podobné jako při řešení rovnic adekvántího typu. Některé věci jsou však rozdílné, a na ty se nyní zaměříme. Při řešení se opět používají ekvivalentní úpravy, které jsme si zavedli u rovnic, s tím rozdílem, že násobení, případně dělení, obou stran rovnice záporným číslem či výrazem mění znak nerovnosti na opačný. Řešením nerovnice bývá interval nebo sjednocení jednotlivých intervalů. Příklad 4.11.: Vypočtěte nerovnici (x + 3) 10 < 6(x ). Řešení: Nerovnici upravíme, členy obsahující neznámou převedeme na jednu stranu nerovnice, konstanty na druhou. 4x < 6x 1 x < 8 Nyní rovnici dělíme minus dvěma, tj. záporným číslem, obrátíme nerovnost a získáme x > 4. Řešením jsou všechna x (4, ). Příklad 4.1.: Vypočtěte nerovnici 4 7x 6 x. Řešení: Nerovnici řešíme pro všechna x 6. Standardní chyba, které se u řešení nerovnice v podílovém tvaru můžeme dopustit, je vynásobení nerovnice jmenovatelem, tj. výrazem 6 x. U analogické rovnice bychom to ale udělat mohli. Proč lze takový krok udělat u rovnice a u nerovnice ne? Je nutné si uvědomit, že výraz 6 x je záporný pro x > 6 a kladný pro x < 6. Při vynásobení tímto výrazem by tedy bylo nutné rozdělit postup na dvě řešení s intervaly, podobně jako u nerovnice s absolutní hodnotou, a správně pracovat se znaménkem nerovnosti. Lze však postupovat i jinak a jednodušeji. Nejprve převedeme všechny členy na jednu stranu nerovnice, kterou pak upravíme na společný jmenovatel. 4 7x 6 x 0 4 7x (6 x) 0 6 x 5x 8 6 x 0 A nyní si odpovězme na otázku, kdy je podíl dvou výrazů záporný. Podíl je záporný tehdy, když mají výrazy v čitateli a jmenovateli rozdílná znaménka. Určíme si proto nulové body čitatele a jmenovatele, tj. jediné hodnoty, kdy tyto výrazy

23 mohou měnit znaménko. Získáme x = 8, x = 6. Těmito hodnotami rozdělíme ( 5 reálnou osu na tři intervaly x, 8, x 85 ) 5, 6, x (6, ), kde zkoumaný zlomek nemění znaménko. Neznámá x 6, proto tato hodnota nepatří do žádného intervalu. Nyní stačí určit znaménka čitatele a jmenovatele na jednotlivých intervalech, podobně jako jsme to dělali u rovnic s absolutních hodnotu. Bud dosadíme do každého výrazu nějakou hodnotu z vnitřku příslušného intervalu nebo určíme znaménka pomocí znalosti grafu příslušných funkcí. Funkce y = 5x 8 je lineární funkce, grafem je klesající přímka, tj. pro x < 8 5 je kladná, pro x > 8 záporná. Grafem funkce y = 6 x je také klesající přímka 5 procházející nulovým bodem x = 6, tj. pro x < 6 je kladná, pro x > 6 záporná. Podíl obou výrazů je kladný, pokud mají stejná znaménka, naopak záporný, pokud mají znaménka opačná. Znaménka dílčích výrazů i zkoumaného zlomku na jednotlivých intervalech najdeme ( přehledně v následující tabulce. x, 8 85 ) 5, 6 (6, ) 5x x x 8 6 x Zkoumaný podíl je menší nebo roven nule pro všechna x řešení dané nerovnice. 85, 6 ), což je Podobně řešíme jakékoli rovnice v součinovém a podílovém tvaru. Vždy zkoumáme, zda je příslušný výraz kladný, či záporný. Příklad 4.13.: Vypočtěte nerovnici x 7x + 1 > 0. Řešení: Kvadratickou nerovnici lze řešit jednoduše pomocí znalosti grafu kvadratické funkce. Vypočteme kořeny kvadratické rovnice, at už pomocí diskriminantu nebo Vietovými vzorci. V obou případech získáme kořeny x 1 = 3, x = 4. Nyní stačí načrtnout graf kvadratické funkce y = x 7x + 1, která musí procházet těmito dvěma průsečíky a je konvexní, viz Obr. 10, ze kterého je zřejmé, že funkce je kladná a tedy nerovnice má řešení pro x (, 3) (4, ). Druhou možností řešení nerovnice x 7x + 1 > 0 je rozklad na kořenové činitele (x 3)(x 4) > 0. a řešení nerovnice v součinovém tvaru, kterou řešíme postupem použitým v před- 3

24 Obr. 10. Průběh funkce y = x 7x + 1. chozím Příkladu 4.1. (rozhodně doporučuji si tento postup propočítat). Obdržíme samozřejmě stejné řešení. Příklad 4.14.: Vypočtěte nerovnici 9 x 0. Řešení: Rovnici lze řešit postupy již předvedenými v Příkladech 4.1., resp bud rozkladem výrazu na levé straně nerovnice na součin (3 x)(3 + x) a následným výpočtem nerovnice v součinovém tvaru, a nebo výpočtem kořenů kvadratické rovnice a následným náčrtem průběhu kvadratické funkce y = 9 x. Opět doporučuji si oba postupy samostatně projít. Nabízí se však i třetí možnost, kterou jsme ještě neukazovali. Převedeme-li zadanou nerovnici na tvar a odmocníme, obdržíme 9 x 3 x. Je nutné si uvědomit, že platí x = x, nebot umocněním kladného čísla a opětovným odmocněním dostaneme tutéž hodnotu, zatímco u záporného čísla se změní znaménko na opačné. Připomeňme si, že absolutní hodnota výrazu je definována jako jeho vzdálenost od nuly na číselné ose. Tudíž hledáme takové hodnoty neznámé x, jejichž vzdálenost na číselné ose je menší nebo rovna 3. Správným řešením jsou tedy x 3, 3. K tomuto výsledku samozřejmě dospějeme i oběma postupy naznačenými v úvodu tohoto příkladu. Příklad 4.15.: Vypočtěte nerovnici x x + 1 > 0. Řešení: Zkusme se opět podívat nejprve na příslušnou kvadratickou rovnici x x + 1 = 0 a nalézt její řešení. Kvadratický trojčlen nelze šikovně rozložit a proto vypočteme diskriminant. D = b 4ac = ( 1) = 3. 4

25 Diskriminant je záporný, proto kvadratická rovnice nemá reálná řešení. Funkce tedy nemá průsečíky s osou x. Koeficient a > 0, parabola je konvexní. Z uvedených skutečností plyne, že parabola leží celá nad osou x a funkce je tedy vždy kladná. Řešením jsou proto všechna reálná čísla x R. Příklady k procvičení: Vypočtěte rovnice a nerovnice: 1.. x x 8 4 x = 1 [ 3] y + 4 y + 7y 8 8 y y = y y x 7 + 4x = x 5 [nemá řešení] [ ] 5 4. y + 3 y = 5 [(, 3 ] 5. y y < y [(, 1)] x 1 = x [5] 7. 4x [ 8x + 5 = x ] x + 1 x 1 x 1 x + 1 = 3 3 x x 5 0 x 5 x + 3 < 3 x + 6x + 8 x 5x 6 0 [ ] 5 3 [ 3, 5 )] [(, 7) ( 3, )] [(, 4, 1) (6, )] 5 Exponenciální funkce, exponenciální rovnice Exponenciální funkcí nazýváme funkci ve tvaru f : y = a x, kde a je reálná konstanta, přičemž a > 0, a 1. Definičním oborem D f = R. Oborem hodnot jsou všechna kladná čísla, tj. H f = (0, ), nebot vždy platí a x > 0. Grafem je exponenciální křivka, která vždy prochází bodem [0, 1], protože pro libovolné a 0 platí a 0 = 1. Pro a > 1 je funkce rostoucí, zatímco pro 0 < a < 1 je funkce 5

26 klesající. ( Osa ) x je asymptotou každé exponenciální funkce. Grafy funkcí y = a x x 1 a y = jsou vzájemně osově souměrné podle osy y, nebot platí a ( ) x 1 = a x. a Vše si můžeme prohlédnout na Obr. 11. Obr. 11. Exponenciální funkce y = a x : a) y = x, b) y = ( 1 )x = x, c) y = 10 x. Zvláštní význam má přirozená exponenciální funkce y = e x, kdy je základem Eulerovo číslo e =, Exponenciální rovnice je rovnice s neznámou v exponentu. Při řešení používáme vztahy pro práci s mocninami (viz kapitola.1 Mocniny a odmocniny). Snažíme se upravit obě strany rovnice tak, aby obsahovaly stejný základ, případně rovnici logaritmujeme. Ojediněle provedeme substituci za exponenciální výraz y = a x. Příklad 5.1.: Vyřešte rovnici x 3 = 81 3x 5. Řešení: Všechny členy převedeme na stejný základ 3 a upravíme. 3 3 (3 3 ) x 3 = (3 4 ) 3x (x 3) = 3 4(3x 5) 3 6x 6 = 3 1x 0 6

27 Podaří-li se nám rovnici upravit do tvaru, kdy na obou stranách rovnice je pouze jeden exponenciální člen se stejným základem, můžeme porovnat exponenty a dopočítat neznámou. 6x 6 = 1x 0 6x = 14 x = 7 3 Příklad 5..: Vyřešte rovnici x + 5 x+ 10 = x+1. Řešení: Nejprve převedeme všechny členy obsahující x na jednu stranu rovnice a ostatní členy na druhou stranu. x + 5 x+ 3 x+1 = 40. Neznámá se nyní vyskytuje v rovnici pouze v každém členu na levé straně v mocnině x. Proto tento výraz z levé strany rovnice vytkneme, rovnici upravíme a získanou hodnotu na pravé straně zapíšeme jako mocninu dvou, abychom opět pracovali se stejným základem. x ( ) = 40 x 15 = 40 x = 16 x = 4 x = 4 Příklad 5.3.: Vyřešte rovnici 3 x x = 4. Řešení: Zde už nejsme schopni převést obě strany na stejný základ. Stačí si však všimnout, že lze rovnici přepsat do tvaru (3 x ) x 4 = 0. Zde šikovně zavedeme substituci y = 3 x a dostaneme kvadratickou rovnici y + 3y 4 = 0. Tu vyřešíme například rozkladem a získáme kořeny (y + 4)(y 1) = 0, 7

28 y 1 = 4, y = 1. Nyní se vrátíme k substituci a dopočítáme neznámou x. Obdržíme dvě krátké exponenciální rovnice 3 x = 4, resp. 3 x = 1. První z nich nemá řešení, nebot víme, že pro libovolné x je výraz 3 x > 0 a tedy 3 x 4. Druhou dopočítáme podobně jako v předchozích příkladech. 3 x = 3 0, x = 0. Příklad 5.4.: Vyřešte rovnici 3 x = 16. Řešení: Zde už nejsme schopni převést obě strany na stejný základ. Rovnici řešíme logaritmováním při základu 3. Obdržíme log 3 3 x = log Na levé straně použijeme vztah log a x n = n log a x a získáme Platí log 3 3 = 1, nebot 3 1 = 3. Odtud x log 3 3 = log x = log Přibližnou číselnou hodnotu řešení lze získat na kalkulačce. Pokud vaše kalkulačka neumí logaritmy při libovolném základu, lze využít vzorce log a x = log x log a = ln x ln a a spočítat tento logaritmus pomocí dekadického nebo přirozeného logaritmu, který již na kalkulačce určitě najdete. Příklady k procvičení: Vypočtěte rovnice: x = 1 [ ] 3 Pokud si logaritmování již nepamatujete, prostudujte si nejprve následující kapitolu Logaritmická funkce, logaritmická rovnice. 8

29 . 4 1 x 1+x = 3 4 [ ] 1 3. x 1 + x + x 3 = 448 [9] 4. 4 x 6 4 x + 8 = 0 [ ] 1, 1 6 Logaritmická funkce, logaritmická rovnice Logaritmem kladného čísla x při základu a (a > 0, a 1) nazýváme takové reálné číslo, kterým umocníme základ a, abychom získali logaritmované číslo x log a x = y a y = x. Nejčastěji pracujeme s dekadickým logaritmem (označujeme log x), kdy je základem a = 10 a logaritmem přirozeným (označujeme ln x), kdy je základem Eulerovo číslo a = e =, Při práci s logaritmy používáme následující vztahy: 1. log a 1 = 0, nebot a 0 = 1,. log a a = 1, nebot a 1 = a, 3. log a x + log a y = log a xy, x, y > 0, x 4. log a x log a y = log a, x, y > 0, y 5. log a x n = n log a x, x > 0, n R. Logaritmickou funkcí nazýváme funkci ve tvaru y = log a x, kde a > 0, a 1. Definiční obor D f = (0, ). Grafy funkcí y = a x a y = log a x při stejném základu jsou souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu, viz Obr. 1. Všechny grafy logaritmických funkcí procházejí bodem [1, 0], nebot log a 1 = 0. Je-li základ a > 1, je funkce rostoucí. Při základu 0 < a < 1 je funkce klesající. Vše je patrné na Obr. 13. Logaritmická rovnice obsahuje neznámou v argumentu logaritmu. Řešení logaritmických rovnic si ukážeme na následujících příkladech. Příklad 6.1.: Vyřešte rovnici log x =. Řešení: Nejprve stanovíme podmínky řešení logaritmické rovnice. Každý logaritmus je definován pouze pro kladné hodnoty svého argumentu, tj. v tomto případě 9

30 Obr. 1. Grafy exponenciální a logaritmické funkce při stejném základu. y = e x, y = ln x x > 0. Rovnici řešíme pomocí definice logaritmu. Jedná se o dekadický logaritmus, tj. základ logaritmu a = 10. log x = x = 10 x = 100 Příklad 6..: Vyřešte rovnici log(x + ) log(x 1) = log 4. Řešení: Nejprve stanovíme podmínky řešení rovnice. Výrazy uvnitř logaritmů musí být kladné, z čehož plyne x >, resp. x > 1. Stačí pracovat pouze s podmínkou x > 1, která pokrývá definiční obor obou logaritmů na levé straně rovnice. Číslo na pravé straně rovnice napíšeme ve tvaru logaritmu = log 10 = log 100 a rovnici řešíme na základě pravidel pro počítání s logaritmy. log(x + ) log(x 1) = log 100 log 4 log x = log x

31 Obr. 13. Grafy logaritmické funkce. y = log x, y = ln x, y = log 1/ x Nyní můžeme rovnici odlogaritmovat a pracovat pouze s argumenty x + x 1 = 5 x + = 5x 5 4x = 7 x = 9 8 Na závěr ověříme, že získaný kořen splňuje podmínky řešení rovnice. Hodnota řešení x = 9 splňuje podmínku x > 1, získaný výsledek je proto řešením zadané 8 rovnice. Příklad 6.3.: Vyřešte rovnici log (x + 14) + log (x + ) = 6. Řešení: Stanovíme podmínky řešení rovnice x > 14, x >. Stačí pracovat s podmínkou x >, která pokrývá obě dvě podmínky. Po úpravě levé strany rovnice obdržíme log (x + 14)(x + ) = 6. Využijeme definici logaritmu a vyřešíme získanou kvadratickou rovnici (x + 14)(x + ) = 6 x + 16x + 8 = 64 x + 16x 36 = 0 (x + 18)(x ) = 0 31

32 x 1 = 18, x =. Kořen x 1 = 18 neodpovídá podmínce řešení rovnice x >.. Druhý kořen x = podmínku splňuje. Rovnice má tedy pouze jedno řešení x =. Příklady k procvičení: Vypočtěte rovnice: 1. log(x ) log(14 x) = 0 [5]. ln(x 1) ln(x 3) = 0 [5] [ ] log x 9 3. log(4x 15) = 4. log(x + 3) log[4(x + 1) ] = 0 [ 53 ], 1 7 Goniometrické funkce, goniometrické rovnice 7.1 Goniometrické funkce ( Goniometrické funkce ostrého úhlu, tj. α 0, π ), známe již ze základní školy jako poměry stran v pravoúhlém trojúhelníku. Obr. 14. Goniometrické funkce ostrého úhlu. Předpokládáme-li pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a, b a přeponou c (viz Obr. 3

33 14), definujeme sin α = a c, cos α = b c, tan α = a b, cot α = b a. Při práci s goniometrickými funkcemi jste možná zvyklí pracovat ve stupňové míře. Goniometrické funkce jsou však obecně definovány na reálných číslech (resp. funkce tangens a kotangens na podmožinách reálných čísel). Nikde není řeč o stupních. Je nutné pracovat v tzv. obloukové míře. Jednotkou obloukové míry je jeden radián (značka rad). Celé kružnici, tj. 360 ve stupňové míře, odpovídá délka oblouku na jednotkové kružnici, což je π, nebot obvod kružnice je obecně πr a poloměr jednotkové kružnice r = 1. Odtud tedy platí převodní vztah mezi radiány a stupni x α = π 360 = π 180, kde x je hodnota úhlu v radiánech a α je hodnota téhož úhlu ve stupních. V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty některých významných úhlů v míře obloukové i stupňové. α π π π π 3 x 0 π π π Pro obecný úhel definujeme goniometrické funkce pomocí jednotkové kružnice. V kartézské soustavě souřadnic sestrojíme kružnici se středem v počátku souřadnic a poloměrem 1. Každému orientovanému úhlu α 0, π) odpovídá právě jeden bod A ležící na jednotkové kružnici (viz Obr. 15). V souladu s již zavedenými goniometrickými funkcemi na ostrém úhlu nyní rozšíříme definici pro obecné úhly. Hodnota cos α je rovna x ové souřadnici bodu A, zatímco sin α jeho y ové souřadnici, nebot přepona trojúhelníku na obrázku je rovna 1 (kružnice je jednotková). Zvětšíme-li (nebo zmenšíme-li) úhel α o hodnotu π, tj. opíšeme-li celou kružnici, jsme opět ve stejném bodě A a jeho souřadnice a tedy i příslušné hodnoty goniometrických funkcí jsou stejné. Funkce y = sin x a y = cos x jsou proto periodické s periodou π. Platí sin x = sin(x + kπ), cos x = cos(x + kπ), kde k je libovolné celé číslo. Definiční obory obou funkcí D f = R, obory hodnot H f = 1, 1. Funkce y = sin x je lichá (středově souměrná podle počátku 33

34 Obr. 15. Jednotková kružnice. souřadnic), zatímco funkce y = cos x je sudá (osově souměrná podle osy y). Platí sin( x) = sin x, cos( x) = cos x. Grafy obou funkcí si můžeme prohlédnout na Obr. 16, resp. 17. Jedná se o tytéž křivky posunuté vůči sobě o hodnotu π. Funkce y = tan x a y = cot x jsou definovány jako podíly funkcí sin x a cos x. tan α = sin α cos α, cos α cot α = sin α. Funkce y = tan x není definována pro hodnoty, kdy je cos x = 0. Tomu odpovídají liché násobky π {, tj. D f = R \ (k + 1) π }, k Z. Podobně funkce y = cot x není definována pro hodnoty, kdy je sin x = 0, čemuž odpovídají celé násobky π. D f = R \ {kπ}, k Z. Obory hodnot obou funkcí H f = R. Funkce jsou periodické s periodou π. Odtud plyne tan x = tan(x + kπ), cot x = cot(x + kπ). Obě funkce jsou liché (středově souměrné podle počátkou souřadnic). Tedy tan( x) = tan x, cot( x) = cot x. 34

35 Obr. 16. Graf funkce y = sin x Obr. 17. Graf funkce y = cos x Vše si opět můžeme prohlédnout na grafech obou funkcí, viz Obr. 18, 19. Vzhledem k symetrické povaze grafů všech funkcí, stačí často goniometrické rovnice řešit pouze na prvním kvadrantu. Další řešení určíme jednoduše z grafu příslušné goniometrické funkce nebo pomocí jednotkové kružnice. Znaménka goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech uvádí přehledně následující tabulka. ( x 0, π ) ( π ) (, π π, 3 ) ( ) 3 π π, π sin x + + cos x + + tan x + + cot x

36 Obr. 18. Graf funkce y = tan x Hodnoty goniometrických funkcí ve významných úhlech na prvním kvadrantu můžeme najít v této tabulce. π π π π x sin x cos x tan x / Df 3 3 cot x / D f Mezi goniometrickými funkcemi platí celá řada různých goniometrických vztahů. Je nutné umět aspoň několik základních. Nejčastěji používaným je vzorec sin x + cos x = 1. Jeho platnost pro libovolné x R plyne přímo z jednotkové kružnice a Pythagorovy věty, viz Obr. 15. Dále budeme často používat vzorce pro funkce dvojnásobného úhlu sin x = sin x cos x, cos x = cos x sin x. 36

37 Obr. 19. Graf funkce y = cot x Další vztahy, např. pro poloviční úhly, součtové vzorce, apod. není nutné umět zpaměti. V případě potřeby je kdykoli najdete v matematicko-fyzikálních tabulkách nebo na internetu. 7. Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou rovnice, kde se neznámá vyskytuje v argumentu goniometrické funkce. Nejprve si připomeneme tzv. základní goniometrickou rovnici, tj. rovnici ve tvaru sin x = a nebo cos x = a, kde a R. Tato rovnice má pro a 1, 1 vždy nekonečně mnoho řešení. Nejprve určíme kořeny na základním intervalu 0, π), at už pomocí grafu funkce, jednotkové kružnice, tabulky hodnot goniometrických funkcí nebo kalkulačky. Je-li a ( 1, 1) má rovnice na základním intervalu vždy dvě řešení x 1,, je-li a = ±1, je řešení právě jedno, ozn. x 1. Protože funkce sin x a cos x jsou periodické s periodou π, lze pak všechna řešení zapsat ve tvaru x = x 1 + kπ, resp. x = x + kπ, kde x 1, jsou řešení na základním intervalu 0, π) a k Z. 37

38 Příklad 7.1.: Vypočtěte rovnici cos x = 1. Řešení: Z tabulky hodnot goniometrických funkcí vidíme, že v prvním kvadrantu má rovnice řešení x 1 = π. K nalezení druhého řešení na základním intervalu 3 0, π) použijeme nejprve graf funkce y = cos x, viz Obr. 0. Z obrázku je patrné, že x = π x 1 = π π 3 = 5 π. Všechna řešení goniometrické rovnice pak lze 3 Obr. 0. Řešení Příkladu 7.1. pomocí grafu funkce y = cos x zapsat ve tvaru x = x 1 + kπ = π 3 + kπ, x = x + kπ = 5 3 π + kπ. Kořen x na základním intervalu lze získat i z jednotkové kružnice. Stačí si uvědomit, že hodnoty cos α odpovídají x ové souřadnici bodu A na jednotkové kružnici. Souřadnici x = 1 odpovídají dva úhly α 1 = π v prvním kvadrantu a 3 α = π π 3 = 5 3 π ve čtvrtém kvadrantu, viz Obr. 1. Místo úhlu x = 5 3 π lze pracovat i s hodnotou úhlu x = π, který sice neleží v základním intervalu 3 0, π), ale množiny kořenů x = π 3 + kπ a x = 5 π + kπ jsou totožné. 3 Rovnice tan x = a nebo cot x = a, ( řešíme obdobně. Nejprve najdeme řešení x z na základním intervalu π, π ) (u funkce cot x na intervalu (0, π)). Toto řešení je na základním intervalu jen jedno, a to pro libovolné a R. Protože funkce tan x a cot x jsou periodické s 38

39 Obr. 1. Řešení Příkladu 7.1. pomocí jednotkové kružnice periodou π, lze všechna řešení rovnice zapsat ve tvaru x = x z + kπ, k Z. Příklad 7..: Vypočtěte rovnici tan x = 1. Řešení: Řešení rovnice tan x = 1 vypočteme pomocí tabulky goniometrických funkcí. Této hodnotě odpovídá v prvním kvadrantu úhel x z = π. Využijeme lichosti funkce tangens (tg( x) = tg x) a obdržíme řešení zadané rovnice na 4 základním intervalu. Rovnici tg x = 1 proto musí odpovídat řešení x z = π 4. Nyní využijeme periodicity funkce tangens a obdržíme všechna řešení zadané rovnice x = π 4 + kπ. Goniometrické rovnice, které obsahují různé mocniny jedné goniometrické funkce, řešíme substitucí. Příklad 7.3.: Vyřešte rovnici sin x sin x 1 = 0. Řešení: Zavedeme substituci sin x = t a obdržíme kvadratickou rovnici t t 1 = 0, 39

40 kterou vyřešíme použitím vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. t 1, = 1 ± 1 4 ( 1) = 1 ± 3 4. Získáme dvě řešení kvadratické rovnice t 1 = 1, t = 1. Nyní se vrátíme k zavedené substituci a kořeny vypočteme postupem obdobným Příkladu 7.1. Kořenu t 1 = 1 odpovídá rovnice sin x = 1, která má řešení x 1 = π + kπ. Řešením rovnice sin x = 1 dostaneme jedno řešení ve třetím kvadrantu x = 7 6 π + kπ a druhé řešení ve čtvrtém kvadrantu x 3 = 11 6 π + kπ. Goniometrické rovnice, které obsahují více goniometrických funkcí nebo rozdílné argumenty, řešíme převedením všech funkcí na jednu goniometrickou funkci téhož argumentu použitím goniometrických vzorců. Příklad 7.4.: Vyřešte rovnici sin x + 3 cos x = 1. Řešení: Využijeme goniometrické identity sin x+cos x = 1, ze které vyjádříme sin x = 1 cos x a dosadíme do zadané rovnice 1 cos x + 3 cos x = 1 cos x 3 cos x = 0 Zde není nutné zavádět substituci. Stačí vytknout cos x a rovnice se rozpadne na dvě základní goniometrické rovnice. cos x(cos x 3) = 0. cos x = 0, cos x = 3. Rovnice cos x = 3 nemá řešení, nebot funkce cos x nabývá hodnot pouze v intervalu 1, 1. Druhou rovnici vyřešíme. cos x = 0 x = π + kπ Příklady k procvičení: Vypočtěte rovnice: 1. tan x = 3 cot x [x = ± π 3 + kπ ] 40

41 . sin x = sin x [x = kπ, x = ± π 3 + kπ ] 3. sin x cos x + sin x = 0[x = π6 + kπ, x = 56 π + kπ, x = 3 π + kπ ] 4. sin x 3 sin x cos x = 0 [x = kπ, x = π 3 + kπ ] 5. cos x sin x = 0 [ x = π 6 + kπ, x = 5 6 π + kπ ] 8 Analytická geometrie v rovině 8.1 Základní pojmy Principem analytické geometrie je popsat útvary v rovině nebo prostoru pomocí číselných údajů - souřadnic bodů, vektorů a rovnic jednotlivých útvarů. Geometrické úlohy, které jsme zvyklí rýsovat, pak řešíme početně. V předmětu Matematika I se budeme věnovat analytické geometrii v třírozměrném prostoru. Zde budeme pracovat pouze v rovině. Zavedeme si v rovině tzv. kartézskou soustavu souřadnic. Zvolíme si počátek souřadnic a dvě pravoúhlé osy x, y se stejně velkými jednotkami na osách. Libovolný bod v rovině jsme pak schopni popsat jeho souřadnicemi A = [a 1, a ], viz Obr.. Abychom v těchto úlohách byli schopni Obr.. Souřadnice bodu v kartézské soustavě souřadnic počítat metrické vlastnosti objektů, definujeme vzdálenost dvou bodů tak, jak odpovídá našim geometrickým představám s použitím Pythagorovy věty (viz Obr. 41

42 3). Vzdálenost dvou bodů A = [a 1, a ], B = [b 1, b ] vypočteme pomocí vztahu AB = (b 1 a 1 ) + (b a ). (1) Klíčovým termínem analytické geometrie je pojem vektoru. Ačkoli obecně je Obr. 3. K výpočtu vzdálenosti dvou bodů pojem vektoru složitější, nám vystačí středoškolská představa založená na pojmu orientované úsečky. Orientovanou úsečkou AB je úsečka, jejíž krajní body mají určené pořadí. Bod A nazýváme počáteční bod orientované úsečky, bod B pak koncový bod. Vektorem pak nazýváme všechny orientované úsečky, které mají stejnou délku a směr. Konkrétní orientovanou úsečku AB nazýváme umístěním vektoru. Souřadnice vektoru u = AB = (u 1, u ) vypočteme odečtením souřadnic koncového a počátečního bodu při konkrétním umístění vektoru A = [a 1, a ], B = [b 1, b ], viz Obr. 4. Jedná se vlastně o posunutí ve směru orientované úsečky AB o příslušnou vzdálenost. u 1 = b 1 a 1, u = b a. Je-li počáteční bod roven koncovému bodu A = B, nazýváme vektor nulový a označujeme o a jeho souřadnice o = (0, 0). Velikost vektoru u = (u 1, u ) vypočteme ve shodě se vztahem (1), resp. Pythagorovou větou u = u 1 + u. Dále zavádíme následující operace s vektory. Součet vektorů u = (u 1, u ), v = (v 1, v ) vytvoříme tak, aby odpovídal naší geometrické (viz Obr. 5) i fyzikální 4

43 Obr. 4. Vektor u = AB = (1, ) představě (např. při výpočtu výslednice sil). u + v = (u 1 + v 1, u + v ). Násobkem vektoru u = (u 1, u ) reálným číslem k je vektor, který má stejný směr a jeho velikost je k násobkem velikosti vektoru u. ku = (ku 1, ku ). Obr. 5. Součet a násobek dvou vektorů Speciálně pak vektor u nazýváme vektorem opačným k vektoru u. Má stej- 43

44 nou velikost, ale opačný směr. u = ( 1) u = ( u 1, u ). Rozdíl vektorů pak definujeme tak, že k vektoru u přičteme vektor opačný k vektoru v. u v = u + ( v) = (u 1 v 1, u v ). Jeho umístěním na Obr. 6 b) je vektor AE. V rovnoběžníku, jehož strany jsou Obr. 6. a) Opačný vektor. b) Rozdíl dvou vektorů. umístění vektorů u, v, tvoří úhlopříčky umístění jejich součtu u + v a rozdílu u v. Dalším důležitým pojmem je skalární součin dvou vektorů u = (u 1, u ), v = (v 1, v ), který lze vyjádřit ve tvaru u v = u 1 v 1 + u v. Skalární součin úzce souvisí s úhlem mezi vektory, viz Obr. 7. Pro dva nenulové vektory u = (u 1, u ), v = (v 1, v ) vypočteme kosinus úhlu mezi nimi jako podíl skalárního součinu a součinu jejich délek cos ϕ = u v u v = u 1 v 1 + u v. () u 1 + u v 1 + v Dva vektory jsou na sebe kolmé, je-li jejich úhel ϕ = π. Z () plyne, že dva 44

45 Obr. 7. Úhel mezi vektory nenulové vektory jsou na sebe kolmé právě tehdy, když jejich skalární součin je roven nule. ϕ = π cos ϕ = 0 u v = 0. Dva vektory jsou rovnoběžné právě tehdy, když mají stejný směr, tj. je jeden z nich násobkem druhého u = kv, kde k R \ {0}. Příklad 8.1.: Napište vektor v tak, aby byl kolmý k vektoru u = (1, 3). Řešení: Nejjednodušší cestou u vektoru v rovině u je prohodit souřadnice a u jedné z nich změnit znaménko, např. v = (3, 1). Tím zajistíme, že skalární součin u v = 0, což lze jednoduše ověřit dosazením u v = ( 1) = 0. Příklad 8..: Vypočtěte vnitřní úhly trojúhelníku ABC, přičemž A = [0, 1], B = [, ], C = [, ]. Řešení: Nejprve vypočteme úhel α u vrcholu A (viz Obr. 8). Vypočteme souřadnice vektorů AB = B A = (, 3), AC = C A = (, 3) a pomocí vztahu () vypočteme úhel mezi nimi. cos α = AB AC AB AC = ( ) = Odtud α. = 67, 38 = 67. Podobně vypočteme úhel β u vrcholu B. Vektor BA je opačný k vektoru AB, tj. BA = (, 3). Dále vypočteme soouřadnice vektoru BC = C B = ( 4, 0) a opět použijeme vztah (). cos β = BA BC BA BC = ( 4) + ( 3) =

46 Obr. 8. Trojúhelník ABC v příkladu 8.. Odtud β. = 56, 31 = Pro výpočet úhlu γ u vrcholu C už není potřeba použít skalární součin. Využijeme známý vztah pro součet vnitřních úhlů trojúhelníka α +β +γ = 180 a získáme γ. = Zkoumaný trojúhelník je rovnoramenný, což vidíme i na Obr. 8. Ukázali jsme si, jak souřadnice vektoru AB vypočteme odečtením souřadnic jeho koncového a počátečního bodu AB = B A. Známe-li souřadnice bodu A a vektoru AB, lze analogicky vypočítat souřadnice bodu B součtem souřadnic B = A + AB. Zdánlivě sčítáme dva nesouvisející objekty - bod a vektor, z hlediska souřadnic je však tato operace korektní. Z geometrického hlediska si můžeme představit, že jsme bod A posunuli o vektor AB do bodu B. Příklad 8.3.: Vypočtěte souřadnice těžiště trojúhelníku ABC. A = [3, ], B = [1, ], C = [1, 1]. Řešení: Víme, že těžiště trojúhelníku leží ve dvou třetinách těžnice. Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníka se středem jeho protilehlé strany. Nejprve nalezneme souřadnice středu strany BC, který označíme S A. Vypočteme souřadnice vektoru BC = (0, 3). Vektor BS A má stejný směr, ale poloviční velikost, tedy BS A = 1 ( BC = 0, 3 ). Souřadnice vektoru vypočteme odečtením souřadnic jeho koncového a počátečního bodu BS A = S A B. Odtud [ S A = B + BS A = 1, 1 ]. 46

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)

VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C) VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce

KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární

Více

Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost

Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

10. cvičení - LS 2017

10. cvičení - LS 2017 10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro

Více

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK

M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice

KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice Požadované dovednosti: Řešení lineárních rovnic a nerovnic Řešení kvadratických rovnic Řešení rovnic s odmocninou Řešení rovnic s parametrem Řešení rovnic s absolutní

Více

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

Nerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Nerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Nerovnice Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Logaritmické a exponenciální funkce

Logaritmické a exponenciální funkce Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo. Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Michal Zamboj. January 4, 2018

Michal Zamboj. January 4, 2018 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic

Více

M - Kvadratické rovnice

M - Kvadratické rovnice M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Název předmětu: Vyrovnávací kurz z matematiky Zabezpečující ústav: Ústav

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více