10 Funkce více proměnných

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "10 Funkce více proměnných"

Transkript

1 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) R n budeme rozumět číslo x y = (x j y j ) 2. j=1 Poznámka. (i) x, y R n : x y = 0 x = y, (ii) x, y R n : x y = y x, (iii) x, y, z R n : x y x z + z y. Definice. (i) Necht x R n, r > 0. Množinu B r ( x) U r ( x) definovanou předpisem B r ( x) = { y R n ; x y < r} nazýváme otevřenou koulí se středem x a poloměrem r nebo také otevřeným okolím bodu x. (ii) Necht x R n, r > 0. Množinu B r ( x) definovanou předpisem B r ( x) = { y R n ; x y r} nazýváme uzavřenou koulí se středem x a poloměrem r. Definice. (i) Necht M R n, x R n. Řekneme, že x R n je vnitřním bodem množiny M, jestliže existuje r > 0 splňující B r (x) M. (ii) Množina M R n se nazývá otevřená, jestliže každý její bod je jejím vnitřním bodem. (iii) Vnitřkem množiny M rozumíme množinu všech vnitřních bodů množiny M. Vnitřek množiny M budeme značit int M. Poznámka. (i) Množina M R n je otevřená M = intm. (ii) Prázdná množina a celý prostor R n jsou otevřené množiny. (iii) Necht A je neprázdná množina indexů. Necht množiny G α R n, α A, jsou otevřené. Pak α A G α je otevřená množina. (iv) Necht m N. Necht množiny G i, i = 1,...,m, jsou otevřené. Pak m i=1 G i je otevřená množina. (Průnik nekonečně mnoha otevřených množin nemusí být otevřená množina: rozmyslete si, že platí: n=1 ( 1 n, 1 n ) = {0}). Definice. (i) Necht M R n a x R n. Řekneme, že x je hraničním bodem množiny M, pokud pro každé r > 0 platí B r ( x) M a zároveň B r ( x) (R n \ M). (ii) Hranicí množiny M rozumíme množinu všech hraničních bodů M. Značíme ji H(M) nebo M. (iii) Uzávěrem množiny M rozumíme množinu M H(M). Uzávěr množiny M značíme M. (iv) Řekneme, že množina M je uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body (tj. H(M) M, neboli M = M). Poznámka. (i) Množina F R n je uzavřená, právě když R n \ F je otevřená.

2 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 17 (ii) Prázdná množina a celý prostor R n jsou uzavřené (i otevřené). (iii) Necht A je neprázdná množina indexů. Necht množiny F α R n, α A, jsou uzavřené. Pak α A F α je uzavřená množina. (iv) Necht m N. Necht množiny F i, i = 1,...,m, jsou uzavřené. Pak m i=1 F i je uzavřená množina. (Sjednocení nekonečně mnoha uzavřených množin nemusí být uzavřená množina: rozmyslete si, že n=1 1 n,1 1 n = (0,1)). Definice. Necht A R n, A, a x R n. Vzdáleností bodu x od množiny A rozumíme číslo ρ( x,a) = inf{ x y ; y A}. Diametrem (průměrem) neprázdné množiny B R n rozumíme diam B = sup{ x y ; x, y B} a klademe diam = 0. Pokud diam B <, pak říkáme, že B je omezená množina Konvergence v R n Definice. Necht { x n } n=1 je posloupnost prvků Rn. Řekneme, že { x n } n=1 konverguje k y Rn, x n y, jestliže platí lim n x n y = 0. Prvek y nazýváme limitou posloupnosti { x n } n=1. Konvergentní posloupností v R n rozumíme každou posloupnost prvků R n, která má limitu v R n. Věta 10.1 (vlastnosti konvergence). Platí: (i) Necht { x n } n=1 je posloupnost prvků z Rn a existují n 0 N, y R n takové, že x n = y pro každé n n 0. Pak lim n + x n = y. (ii) Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. (iii) Necht A R n. Množina A je uzavřená, právě když limita každé konvergentní posloupnosti prvků z A leží v A. (iv) Necht { x nk } k=1 je posloupnost vybraná z posloupnosti { x n} n=1 prvků Rn, tj., {n k } k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Jestliže lim n + x n = y, pak také lim k + x nk = y Spojitá zobrazení Definice. Necht f : R n R m je zobrazení, a R n a M R n. Řekneme, že f je spojité v bodě a vzhledem k množině M, jestliže a M a platí ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x M : x a < δ f ( x) f ( a)) < ε; f je spojité v bodě a, jestliže je spojité v a vzhledem k R n. f je spojité na M, jestliže je spojité v každém bodě a M vzhledem k M. Definice. Necht M R n a x R n. Řekneme, že x je hromadným bodem množiny M, jestliže ε R,ε > 0: M (B ε ( x) \ { x}). Množinu všech hromadných bodů množiny M značíme M a nazýváme ji derivací množiny M. Body z M \ M nazýváme izolovanými body množiny M.

3 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 18 Definice. Necht f : R n R m, A R n a necht a R n je hromadným bodem množiny A. Řekneme, že prvek b R m je limitou zobrazení f v bodě a vzhledem k množině A, jestliže platí ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x A, x a: x a < δ = f ( x) b < ε. Je-li A = R n, říkáme, že f má v bodě a limitu b. Označení. Pokud limita f v bodě a vzhledem k A existuje, pak ji značíme lim f ( x) píšeme jen lim f ( x). x a, x R n x a lim f ( x). Místo zápisu x a, x A Věta 10.2 (Heineova věta o limitě). Necht f : R n R m, A D( f ), a A, b R m. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: (i) lim x a, x A f ( x) = b, (ii) pro každou posloupnost { x n } prvků množiny A, x n a, splňující lim x n = a, platí lim f ( x n ) = b. Věta 10.3 (Heineova věta o spojitosti). Necht f : R n R m, A D( f ), a A. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: (i) f je spojitá v bodě a vzhledem k množine A, (ii) pro každou posloupnost { x n } prvků množiny A, splňující lim x n = a, platí lim f ( x n ) = f ( a). Poznámka. Platí standardní věty o aritmetice limit, o spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu. Věta 10.4 (spojitost složeného zobrazení v bodě). Necht f : R n R m a g : R m R k jsou vektorové funkce více proměnných. Necht a P R n, f ( a) Q R m, a necht platí: existuje δ R, δ > 0, takové, že f (B δ ( a) P) Q, f je spojité v bodě a vzhledem k P, g je spojité v bodě f ( a) vzhledem k Q. Pak zobrazení g f je spojité v bodě a vzhledem k P Parciální derivace a totální diferenciál Definice. Necht f : R n R je reálná funkce n proměnných, a R n, 1 i n. Pak parciální derivaci funkce f v bodě a podle i-té proměnné definujeme jako limitu f f( a + t e i ) f( a) ( a) = lim, t 0 t pokud tato existuje vlastní. Symbolem f označujeme parciální derivaci funkce f podle i-té proměnné, tj. funkci, která bodu x přiřazuje hodnotu f ( x). Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a L : R n R je lineární zobrazení. Řekneme, že L je totální diferenciál funkce f v bodě a, jestliže platí f( a + lim h) f( a) L( h) h 0 = 0. h

4 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 19 Věta 10.5 (vztah totálního diferenciálu a parciální derivace). Necht L je diferenciál funkce f v bodě a R n. Potom existují parciální derivace f ( a),..., f ( a) x 1 a pro každé h = (h 1,...,h n ) R n platí Jiná značení: (L f ( a) df( a).) h = (h1,...,h n ) (dx 1,...,dx n ) = L(h 1,...,h n ) = f ( a)h }{{} f ( a)h n. x 1 x }{{ n } totální diferenciál parciální diferenciály f ( a)(h 1,...,h n ) = f x 1 ( a)h f ( a)h n. df( a)(dx 1,...,dx n ) = f ( a)dx }{{} f ( a)dx n. x 1 x }{{ n } totální diferenciál parciální diferenciály Věta Má-li funkce f v bodě a R n totální diferenciál, je f v bodě a spojitá. Věta Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a f x 1,..., Potom má f v bodě a totální diferenciál. f jsou spojité funkce v bodě a. Pouhá existence parciálních derivací (tj. parciálních diferenciálů) ještě neimplikuje existenci totálního diferenciálu! Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a v R n. Pak derivací funkce f v bodě a podle vektoru v rozumíme (vlastní) limitu f( a + t v) f( a) D v f( a) = lim. t 0 t Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a f ( a) existuje. Pak definujeme gradient funkce f v bodě a jako vektor ( f grad f( a) f( a) = ( a),..., f ) ( a) R n. x 1 Věta Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a v R n. Necht existuje f ( a). Pak platí (i) D v f( a) = f( a) v = f ( a)( v) df( a)( v), (ii) max{d v f( a); v = 1} = f( a). Poznámka. Rozmyslete si k důkazu bodu (ii): v = 1 = D v f( a) f( a) v = f( a), f( a) 0, pak v := f( a) f( a) = D f( a) vf( a) = f( a) f( a) = f( a). Geometrický význam gradientu. Gradient funkce v bodě určuje směr největšího růstu funkce.

5 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 20 Velikost gradientu funkce v bodě je zároveň hodnotou (této největší) derivace ve směru gradientu. Definice. Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a L : R n R k je lineární zobrazení. Řekneme, že L je derivací (totálním diferenciálem) zobrazení f v bodě a, jestliže platí f lim ( a + h) f ( a) L( h) h 0 = 0. h Úmluva. Pod termínem "derivace" budeme pro funkce f : R n R k rozumět totéž, co pod termínem "(totální) diferenciál". Věta Necht f je zobrazení z R n do R k, které má v bodě a R n derivaci L f (a). Potom je f (a) reprezentováno (Jacobiho) maticí f 1 f Df x Dx ( a) D(f 1 ( a)... 1 ( a) f 1,...,f k ) 2 f ( a) := x 1 ( a)... 2 ( a) D(x 1,...,x n )... f k f x 1 ( a)... k ( a) Věta Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a f ( a) existuje. Potom f je spojité v a. Věta Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a f j, i = 1,...,n, j = 1,...,k, jsou spojité v a. Potom f ( a) existuje. Věta (derivace složeného zobrazení). Necht f je zobrazení z R n do R k, g je zobrazení z R k do R s, a R n a b = f( a) R k. Jestliže existují f ( a) a g ( b), pak existuje ( g f ) ( a) a platí ( g f ) ( a) = g ( b) f ( a). Důsledek (řetízkové pravidlo). Necht funkce f 1,...,f k z R n do R mají v bodě a R n totální diferenciál a funkce g z R k do R má v bodě b = (f 1 ( a),...,f k ( a)) totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h( x) = g(f 1 ( x),...,f k ( x)). Potom má h v bodě a totální diferenciál a pro i {1,...,n} platí h ( a) = 10.5 Parciální derivace vyšších řádů k j=1 g y j ( b) f j ( a). Definice. Necht f je funkce z R n do R, i,j {1,...,n}, a R n. Parciální derivaci funkce f podle j-té proměnné v bodě a značíme 2 f x j ( a), pokud i j, případně 2 f ( a), pokud i = j. Analogicky značíme x 2 i parciální derivace vyšších řádů. Definice. Necht G R n je otevřená množina, f : G R a p N. Řekneme, že f je třídy C p, jestliže všechny parciální derivace funkce f až do řádu p včetně jsou spojité na G. Množinu všech funkcí f : G R třídy C p označujeme C p (G) a klademe C (G) = p=1 Cp (G). Definice. Necht G R n je otevřená množina, p N { } a f : G R k. Řekneme, že f je zobrazení třídy C p, jestliže všechny jeho složky f 1,...,f k jsou třídy C p.

6 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 21 Věta Necht p N { }, G R n, H R k jsou otevřené množiny, f : G R k, g: H R s jsou třídy C p a platí f(g) H. Pak zobrazení g f je třídy C p. Věta Necht G R n je otevřená, p N, a funkce f C p (G). Necht a G. Potom hodnota je nezávislá na pořadí indexů i 1, i 2,..., i p. p f 1...p ( a) Poznámka. Tato tzv. záměnnost parciálních derivací obecně neplatí pro funkce, jejichž parciální derivace (až do příslušného řádu včetně) nejsou spojité. Definice. Necht všechny níže uvedené parciální derivace existují. Bud f : R n R n. Divergencí f v bodě a nazvu div f ( a) := j=1 f j x j ( a). Bud f : R 3 R 3. Rotací f v bodě a nazvu rot f e 1 e 2 e 3 ( a) := x y z f 1 f 2 f ( a) = 3 = ( f3 y f 2 z, f 1 z f 3 x, f 2 x f 1 y ) ( a). Definice. Bud f : R n R a necht existují parciální defivace 2 f, j = 1,...,n, v bodě a R n. Hodnotou x 2 j Laplaceova operátoru, aplikovaného na funkci f v bodě a (čteme "Laplace f( a)") nazvu hodnotu f( a) := j=1 2 f x 2 ( a). j Poznámka. Operátory, div a grad lze aplikovat i na vektorové funkce, "po složkách", tj. např. pro f : R n R k je f ( a) k-rozměrný vektor se složkami f j ( a), j = 1,...,k. Při formálním označení = ( x 1,..., ) lze psát tyto formální identity: grad f = f, div f = f, f = ( )f, rot f = f. Cvičení. Ověřte, že pro všechny funkce, mající v daném bodě spojité parciální derivace nejvyššího v identitách použitého řadu, platí tyto identity: div f( x) = f( x), div rot f ( x) = 0, rot rot f ( x) = div f ( x) f ( x).

7 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci). Necht p N { }, G R n+1 je otevřená množina, F : G R, x R n, ỹ R, [ x,ỹ] G a necht platí: (i) F C p (G), (ii) F( x,ỹ) = 0, (iii) F y ( x,ỹ) 0. Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R bodu ỹ, že x U! y V s vlastností F( x,y) = 0. Označíme-li toto y jako ϕ( x), je ϕ C p (U), a F ϕ x j ( x,ϕ( x)) ( x) =, kde j {1,...,n}, x U. x F j y ( x,ϕ( x)) Věta (o implicitně zadaných funkcích). Necht n,m N, p N { }, G R n+m je otevřená množina, F : G R m, x R n, y R m, [ x, y] G a platí: (i) F C p (G), (ii) F( x, y) = 0, (iii) F 1 y 1 ( x, y) F... 1 y m ( x, y) F m y 1 ( x, y) F... m y m ( x, y) Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R m bodu y, že x U! y V s vlastností F( x, y) = 0. Označíme-li toto y jako ϕ( x), je ϕ C p (U) Extrémy funkcí více proměnných Definice. Bud f : R n R a M D(f). Řekneme, že f nabývá v bodě x maxima (resp. minima) na M, jestliže platí y M : f(y) f(x) (resp. y M : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkce f na množině M. Definice. Řekneme, že f nabývá v bodě x lokálního maxima (resp. lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že y B δ (x) M : f(y) f(x) (resp. y B δ (x) M : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem lokálního maxima (resp. lokálního minima) funkce f na množině M.

8 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 23 Definice. Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že y B δ (x) \ {x}) M : f(y) < f(x) (resp. y B δ (x) \ {x}) M : f(y) > f(x)). Bod x pak nazýváme bodem ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) funkce f na množině M. Symbol max M f (resp. min M f) označuje největší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkce f na množině M nabývá (pokud taková hodnota existuje). Definice. Řekneme, že M R n je kompaktní, pokud M je uzavřená a omezená množina v R n. Věta Bud M R n neprázdná kompaktní množina a f : M R spojitá na M. Pak f nabývá na M svého maxima i minima (a tedy je m.j. omezená na M). Věta Necht G R n je otevřená, a G, j {1,...,n}. Necht funkce f : G R má v bodě a lokální extrém (vzhledem ke G). Pak bud f x j ( a) neexistuje nebo je rovna nule. Definice. Bod a R n nazýváme stacionárním bodem funkce f, pokud grad f( a) = 0, tj. pokud f x j ( a) = 0 pro všechna j = 1,...,n. Definice. Je-li A M n n symetrická matice, pak funkci Q : R n R, definovanou předpisem Q( h) := (A h) h = nazýváme kvadratickou formou (definovanou maticí A). a ij h i h j i,j=1 Definice. Bud Q : R n R kvadratická forma. Řekneme, že Q je pozitivně (negativně) definitní, pokud Q( h) > 0 (< 0) pro všechna h R n, h 0; pozitivně (negativně) semidefinitní, pokud Q( h) 0 ( 0) pro všechna h R n ; indefinitní, pokud existují vektory h, k R n takové, že Q( h) > 0 a Q( k) < 0. Definice. Necht f : R n R má spojité druhé parciální derivace v bodě a R n. Potom zobrazení d 2 f( a) : R n R n R definované předpisem d 2 f( a)( h, h) := nazýváme druhým diferenciálem funkce f v bodě a. i,j=1 2 f x j ( a)h i h j Poznámka. Zobrazení ( h : d ) 2 f( a)( h, h) je kvadratická forma, definovaná tzv. Hessovou maticí druhých derivací, H(f)( a) = 2 n f x. j i,j=1 Věta (postačující podmínky lokálního extrému). Budiž f C 2 (G), a G a necht f( a) = 0 (tj. a je stacionárním bodem f). Potom platí: Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima.

9 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 24 Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) pozitivně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního minima. Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) indefinitní, nenabývá f v bodě a ani lokálního maxima, ani lokálního minima. Poznámka. K určení definitnosti kvadratické formy se často hodí následující pravidlo: Bud A M n n matice kvadratické formy. Označme A 1 M 1 1, A 2 M , A n M n n její hlavní diagonální podmatice; necht dále všechny determinanty deta 1,... deta n jsou nenulové. Označme číslem p počet znaménkových změn v posloupnosti {1,detA 1,...detA n }. Potom platí: Kvadratická forma definovaná maticí A je pozitivně definitní p = 0. Kvadratická forma definovaná maticí A je negativně definitní p = n. Věta (Lagrangeovy multiplikátory). Necht m,n N, m < n, G R n je otevřená množina, f,g 1,...,g m C 1 (G), M = { z G; g 1 ( z) = 0,g 2 ( z) = 0,...,g m ( z) = 0} a bod z M je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině M. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (I) vektory g 1 ( z), g 2 ( z),..., g m ( z) jsou lineárně závislé, (II) existují reálná čísla λ 1,λ 2,...,λ m R splňující 10.8 Taylorův polynom f( z) + λ 1 g 1 ( z) + λ 2 g 2 ( z) + + λ m g m ( z) = 0. Definice. Necht k N a necht funkce f : R n R má spojité k-té parciální derivace v bodě a R n. Potom zobrazení d k f( a) : R } n {{ R n } R definované předpisem k-krát d k f( a)( h,..., h) := }{{} k-krát j 1,...,j k =1 nazýváme k-tým diferenciálem funkce f v bodě a. k f( a) x j1 x jk h j1 h jk, Definice. Necht pro a R n existuje f (k) ( a), k N {0}. Potom Taylorovým polynomem k-tého řádu funkce f v bodě a rozumíme polynom n proměnných T f, a k ( x) = f( a) + k 1 j! dj f( a)( x a,..., x a ). }{{} j=1 Definice. Řekneme, že množina M R n je konvexní, pokud pro každé dva body x, y M patří do M i celá úsečka, která tyto dva body spojuje. j krát

10 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 25 Věta (Lagrangeův tvar zbytku). Necht G R n je otevřená konvexní množina, f C k+1 (G) (k N {0}), a G, x G. Potom existuje ξ ležící na úsečce spojující body a, x takové, že f( x) = T f, a k ( x) + 1 (k + 1)! dk+1 f( ξ)( x a,..., x a ). }{{} (k+1) krát Věta (důsledek: věta o přírůstku funkce). Necht G R n je otevřená konvexní množina, f C 1 (G), a G, x G. Potom existuje ξ ležící na úsečce spojující body a, x takové, že f( x) f( a) = f ( ξ)( x a). Věta (Peanův tvar zbytku). Necht f je funkce z R n do R, která je třídy C k (k N) na jistém okolí bodu a R n. Potom platí f( x) T f, a k ( x) lim x a x a k = 0.

12. Funkce více proměnných

12. Funkce více proměnných 12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

6. přednáška 5. listopadu 2007

6. přednáška 5. listopadu 2007 6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory

Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných 1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student

Více

3. přednáška 15. října 2007

3. přednáška 15. října 2007 3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Bodová a stejnoměrná konvergence

Bodová a stejnoměrná konvergence Kapitola 1 Bodová a stejnoměrná konvergence Motivační otázky: 1 + x + x 2 +... = 1 1 x. Můžeme tuto rovnici derivovat? Tj. platí 1 + 2x + 3x 2 +... = Kdy lze zaměnit limitu a derivaci? Je limita spojitých

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta 14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21 Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více