Úloha III.S... limitní

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úloha III.S... limitní"

Transkript

1 Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími slovy popsat ásledující: cetrálí limití věta a předpoklady jejího použití, kovariace a korelace (a jejich odhady), vícerozměrá cetrálí limití věta a předpoklady jejího použití, záko šířeí ejistot a kdy ho lze použít). Neí potřeba uvádět přesá matematická odvozeí, stačí požadovaé pojmy a vlastosti stručě popsat. b) V přiložeém datovém souboru merei3-1.csv ajdete výsledky měřeí určité fyzikálí veličiy v. Předpokládejme, že si emůžeme být jisti, zda mají měřeá data ormálí rozděleí. Vyjádřete ejistotu měřeí této fyzikálí veličiy (ejistotu typu B euvažujte), zkostruujte itervalové odhady a základě CLV a stručě iterpretujte jeho výzam. Jak by se změily výsledky a iterpretace, pokud bychom měli k dispozici je čtvrtiu měřeí (řekěme prví čtvrtiu dat z datového souboru)? c) Předpokládejme, že aším cílem je aměřit fyzikálí veličiy a y, které budeme chtít využít pro dosazeí do vzorce v = 1 y. Předpokládejme, že díky zalosti způsobu měřeí jsme si jisti, že jsou všecha měřeí a sobě ezávislá a ze zpracováí aměřeých dat měřeí máme ásledující výsledky, které jsou založey a velkém počtu měřeí (více ež 30 měřeí každé fyzikálí veličiy) = (5, ± 0,1), y = (1,84 ± 0,06). Určete odhad fyzikálí veličiy v a ejistotu měřeí fyzikálí veličiy v. Nápověda: Mohly by se vám hodit ásledující vztahy: ( ) 1 y = 1 y, ( ) 1 y y = y. d) Pomocí simulace ve výpočetím prostředí R demostrujte platost cetrálí limití věty. Tj. geerujte -tice ezávislých realizací áhodé veličiy, která emá ormálí rozděleí (pro teto případ použijte epoeciálí, rovoměré a Poissoovo rozděleí s libovolě zvoleými parametry) a a histogramu ukažte, že pokud a data provedeme ásledující trasformaci µ S, takto trasformovaá data už budou rozdělea přibližě podle ormálího rozděleí N(0, 1). (Součástí hodoceí bude i hodoceí vzhledu grafů zejméa vhodě zvoleé popisky os a legeda.) Bous: Předpokládejme, že aším cílem je aměřit fyzikálí veličiy a y, které budeme chtít dosadit do vzorce v = si y. 1

2 Uvažujme ejobecější model měřeí (tj. měřeá data emají ormálí rozděleí a měřeí růzých fyzikálích veliči a sobě mohou být závislá). V datovém souboru merei3-.csv máme výsledky měřeí fyzikálích veliči a y, určete ejistotu určeí veličiy v a zkostruujte pro i itervalový odhad. Michal se pokusil vymyslet limitě těžké zadáí seriálové úlohy. a) Detailí odpověď a tuto otázku dostaete pouze přečteím 3. dílu seriálu, v tomto vzorovém řešeí uvedeme je ty ejdůležitější věci. Cetrálí limití věta je důležitá pro zpracováí měřeých dat (zejméa pro itervalový odhad středí hodoty), o kterých si emůžeme být jisti, že mají ormálí rozděleí. Pokud si ozačíme měřeá data jako 1,..., potom cetrálí limití věta říká, že ásledující trasformace ašich dat (musíme si uvědomit, že jde o áhodou veličiu, eboť závisí a áhodých datech a emůžeme tedy dopředu zát její hodotu) µ S koverguje v distribuci k rozděleí N(0, 1), ezávisle a tom, jaké rozděleí 1 měla aše původí data. Matematicky zapsáo platí µ S D N(0, 1). Pokud chceme v prai používat aproimace založeé a CLV, musíme si uvědomit, že potřebujeme mít dostatečě velký počet měřeí, aby byla takováto aproimace přesá. Obecé pravidlo zí: Pokud máme alespoň 30 měřeí, potom je aproimace pomocí CLV velice přesá. Pokud máme alespoň 10 měřeí, potom je aproimace pomocí CLV pouze přibližá, ale stále poměrě přesá. Pokud máme méě ež 10 měřeí, potom může být aproimace pomocí CLV začě epřesá. Pokud měříme více fyzikálích veliči ajedou, musíme se zabývat také tím, zda ejsou aše měřeí závislá. Závislost ašich měřeí (tedy vlastě áhodých veliči) měříme pomocí kovariace a korelace, které jsou pro dvě áhodé veličiy X a Y defiováy ásledově cov(x, Y ) = E [(X EX)(Y EY )], corr(x, Y ) = (X, Y ) = cov(x, Y ) var(x) var(y ). Korelace je vhodě zormovaá kovariace (může abývat je hodot od 1 do 1) a vyjadřuje, jak moc jsou áhodé veličiy lieárě závislé (hodoty kolem 0 začí malou závislost, hodoty blízké 1 ebo 1 začí velkou závislost). Pokud jsou veličiy X a Y ezávislé, potom je kovariačí i korelačí koeficiet rove 0 (obráceá implikace ale eplatí). V prai je 1 Ve skutečosti je zde ještě podmíka a koečý rozptyl.

3 důležité vědět, jak z aměřeých dat odhadovat kovariačí a korelačí koeficiet. K tomu slouží výběrový kovariačí koeficiet (resp. výběrový korelačí koeficiet) defiovaý jako ĉov(x, Y ) = ĉorr(x, Y ) = ( i ) (y i y ), i=1 i=1 ( i ) (y i y ). S X, SY, Na tomto místě musíme pozameat, že při výpočtu výběrového kovariačího (resp. korelačího) koeficietu musíme vždy používat dvojice odpovídajích si měřeí. Nelze postupovat tak, že si měřeí libovolě popárujeme. Eistuje i vícerozměrá verze CLV, která se zaobírá případem, kdy chceme změřit k fyzikálích veliči v (1),..., v (k), dosadit je do vzorce v = f ( v (1),..., v (k)) a ásledě chceme určit ejistotu měřeí fyzikálí veličiy v a kostruovat pro i itervalové odhady. Vícerozměrá cetrálí limití říká, že v tomto případě platí ( ) f v (1),..., v (k) f ( v (1),..., v (k)) D N(0, 1), S kde v (i) je výběrový průměr měřeí i-té fyzikálí veličiy, v (i) je skutečá hodota i-té fyzikálí veličiy a S je vhodý ormalizačí koeficiet, který se spočte podle vzorce S = ( f v (1) (v) f (v) ) v (k) s 1 ĉov(v (),v (1) ) 1. ĉov(v (1),v (k) ) 1 k ĉov(v (),v (k) ) k ĉov(v (k),v (1) ) k 1 s k f (v) v (1). f (v) v (k), (1) kde v = ( ) v (1) 1,..., v (k) k. Pro použití vícerozměré CLV opět platí podobá pravidla jako pro použití jedorozměré CLV, tedy: Pokud máme alespoň 30 měřeí každé fyzikálí veličiy v (1),..., v (k), potom je aproimace pomocí vícerozměré CLV velmi přesá. Pokud máme alespoň 10 měřeí každé fyzikálí veličiy, potom je aproimace pomocí vícerozměré CLV pouze přibližá, ale stále poměrě přesá. Pokud máme méě ež 10 měřeí ějaké fyzikálí veličiy, potom může být aproimace pomocí vícerozměré CLV začě epřesá. 3

4 V případě, že si ze zalosti průběhu eperimetu můžeme být jistí, že jsou všecha měřeí růzých fyzikálích veliči a sobě ezávislá (což je v prai velmi časté), se vzorec a výpočet čleu S velmi zjedoduší a tvar ( ) S = f v (1) ( ) 1 s (1) f v (k) k s (k) k. v (1) v (k) Tomuto vzorci se často říká záko šířeí ejistot (případě záko propagace ejistot). V obou případech můžeme kostruovat itervaly spolehlivosti pro výsledou fyzikálí veličiu v. Ze zěí vícerozměré CLV lze odvodit, že platí P ( f ( v (1) ),..., v (k) u 1 α S < f ( v (1),..., v (k)) ( < f v (1) ),..., v (k) ) + u 1 α S 1 α. Tedy itervalový odhad pro skutečou hodotu výsledé fyzikálí veličiy v bude mít tvar ( ( ) ) f,..., v (k) ± u 1 α S v (1) Fyzikové teto itervalový odhad zapisují zkráceě je jako (f (v ) ± S) a čleu S říkají stadardí odchylka. b) V přiložeém datavém souboru se achází 40 aměřeých dat, se kterými budeme pracovat. Nejprve musíme spočítat výběrový průměr ašich dat podle vzorce 40 = i=1 i = 9,86. Dále spočítáme výběrovou směrodatou odchylku průměru podle vzorce s 40 = 1 40 ( i ) = 0, (40 1) i=1 V ašem případě, kdy euvažujeme žádou ejistotu typu B, vyjadřuje výběrová směrodatá odchylka ejistotu měřeí. Podle teorie odvozeé v seriálu bude mít asymptotický itervalový odhad založeý a CLV o spolehlivosti (1 α) tvar ( ± s u 1 α ). Pokud použijeme stadardí zkráceý zápis, vyjde ám ásledující výsledek (9,83 ± 0,04). Jelikož jsme použili velké možství dat (tj. více ež 30), bude aproimace pomocí CLV už velice přesá. Tedy takovýto iterval bude mít pravděpodobost pokrytí skutečé hodoty měřeé fyzikálí veličiy velice blízkou 68%. 4

5 Pokud bychom uvažovali, že máme k dispozici je prví čtvrtiu měřeí (tj. prvích 10 měřeí), dostali bychom jié hodoty výběrového průměru a výběrové směrodaté odchylky průměru. Kokrétě bychom dostali 10 = 9,9, s 10 = 0,06. Itervalový odhad pro měřeou fyzikálí veličiu by v tomto případě byl ásledující (používáme zkráceý zápis) (9,9 ± 0,06). Je zřejmé, že za použití jiých vstupích dat dostaeme jié číselé výsledky (i a tomto je vidět, že výběrový průměr a výběrová směrodatá odchylka průměru jsou áhodé veličiy). V tomto případě jsme provedli méě měřeí, takže jsme vcelku logicky dostali větší ejistotu měřeí. V tomto případě je ale uté pozameat, že áš itervalový odhad byl založe a poměrě málo měřeích (je 10 měřeí), takže v tomto případě aproimace pomocí CLV emusí být tolik přesá. Teto iterval má tedy pravděpodobost pokrytí skutečé hodoty měřeé fyzikálí veličiy pouze přibližě 68%. c) Odhad fyzikálí veličiy v se zkostruuje jedoduše tak, že do fukce f dosadíme odhady fyzikálích veliči a y. V ašem případě dostaeme v = f (, y ) = 1 5, 1,84 = 48,65. V tomto speciálím případě, kdy můžeme měřeí růzých fyzikálích veliči považovat za ezávislé, můžeme a výpočet ejistoty měřeí fyzikálí veličiy v použít záko šířeí ejistot. Všechy potřebé údaje máme zadaé, takže stačí dosadit. V tomto vzorovém řešeím budeme dosazováí dělat postupě, aby bylo všem jasé, jak jsme a áš výsledek přišli. S = = ( f ( ) ) s () + ( f (y ) y ) s (y) = ( 1 y ) s () ( ) 1 1,84 0,1 + (5, 1,84) 0,06 = 9, (y ) s (y) Když bychom měli zapsat itervalový odhad pro fyzikálí veličiu v ve zkráceém tvaru, vypadal by ásledově (49 ± 9). d) S využitím výpočetího prostředí R provedeme přesě to, co se píše v zadáí. Nejprve si zvolíme přirozeé číslo. Toto číslo bude v ašem modelu představovat počet měřeí, které při kokrétím eperimetu provádíme (budeme volit hodoty v řádu ízkých desítek ebo jedotek, což je typický počet měřeí při fyzikálích eperimetech). Dále zvolíme počet opakováí aší simulace (ideálě zvolit co ejvyšší, v ašem případě zvolíme ). Nyí už můžeme začít se samotou simulací. V každé jedotlivém cyklu vygeerujeme ezávislých realizací áhodé veličiy s určitým rozděleím, které eí ormálí (v ašem případě používáme rozděleí Ep(), R(0, 10) a P oiss()). Z těchto realizací spočteme ásledující trasformaci t = µ S, () = 5

6 kde µ představuje skutečou středí hodotu rozděleí, ze kterého jsme geerovali použité realizace áhodé veličiy (tedy 1 u epoeciálího rozděleí, 5 u rovoměrého rozděleí a u Poissoova rozděleí). Toto opakujeme celkem krát, čímž získáme trasformace t 1,..., t Pokud cetrálí limití věta platí, potom by mělo být rozděleí takto trasformovaých dat velice podobé rozděleí N(0, 1). Toto ověříme a histogramu a budeme zkoumat závislost podoby s rozděleím N(0, 1) a volbě. Nyí už k samotým výsledkům. Příslušé histogramy můžeme vidět a obrázcích 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Ze všech těchto obrázků je vidět, že limití rozděleí trasformace měřeých dat () je právě rozděleí N(0, 1), přesě jak říká CLV. Je dobré si povšimout, že rychlost kovergece je pro růzá rozděleí měřeých dat růzá. Pokud ale provedeme alespoň 30 měřeí, je už rozděleí trasformace měřeých dat velice podobé rozděleí N(0, 1), tedy aproimace pomocí CLV už bude v takovýchto případech velice přesá. Ep() 5 měřeí pozorovaá data četost Obr. 1: Histogram trasformace měřeých dat pocházejících z epoeciálího rozděleí pro 5 měřeí. 6

7 Ep() 10 měřeí pozorovaá data četost Obr. : Histogram trasformace měřeých dat pocházejících z epoeciálího rozděleí pro 10 měřeí. 7

8 Ep() 0 měřeí četost pozorovaá data Obr. 3: Histogram trasformace měřeých dat pocházejících z epoeciálího rozděleí pro 0 měřeí. 8

9 Ep() 40 měřeí pozorovaá data četost Obr. 4: Histogram trasformace měřeých dat pocházejících z epoeciálího rozděleí pro 40 měřeí. 9

10 R(0, 10) 5 měřeí četost pozorovaá data Obr. 5: Histogram trasformace měřeých dat pocházejících z rovoměrého rozděleí pro 5 měřeí. 10

11 R(0, 10) 15 měřeí četost pozorovaá data Obr. 6: Histogram trasformace měřeých dat pocházejících z rovoměrého rozděleí pro 15 měřeí. 11

12 Poiss() 5 měřeí pozorovaá data četost Obr. 7: Histogram trasformace měřeých dat pocházejících z Poissoova rozděleí pro 5 měřeí. 1

13 Poiss() 15 měřeí pozorovaá data četost Obr. 8: Histogram trasformace měřeých dat pocházejících z Poissoova rozděleí pro 15 měřeí. 13

14 Poiss() 30 měřeí četost pozorovaá data Obr. 9: Histogram trasformace měřeých dat pocházejících z Poissoova rozděleí pro 30 měřeí. 14

15 Bous: Jedié, co pro vyřešeí tohoto úkolu potřebujeme, je dosadit do vícerozměré cetrálí limití věty. Nejprve vypočítáme ejistotu určeí fyzikálí veličiy podle vzorce (1). K tomu budeme potřebovat zát parciálí derivace fukce f, které mají tvar f(, y) = si y, f(, y) = cos y. y Nyí už můžeme psát, čemu se rová ejistota určeí fyzikálí veličiy v S = ( si y ) ( s () cos y ĉov(,y) ĉov(,y) s (y) ) ( ) si y, cos y kde používáme stadardí začeí. Za použití matematického softwaru (výpočetí prostřeí R) dostáváme, že ejistota určeí veličiy v je S = 6,03. Odhad veličiy v získéme pouze dosazeím výběrových průměrů do aší fukce, tedy v = si y. Za použití matematického softwaru dostáváme výsledek v = 117,9. Vícerozměrá cetrálí limití věta potom říká, že itervalový odhad pro fyzikálí veličiu v bude tvaru ( v ± Su 1 α ). Pokud použijeme zkráceý zápis itervalového odhadu a dosadíme aše kokrétí číselé výsledky, dostaeme v = (117 ± 6). Jelikož máme dostatečě velký počet měřeí obou fyzikálích veliči (tj. více ež 30) bude teto itervalový odhad už velice přesý. Je pro zajímavost a tomto místě uvedeme, že pokud bychom předpokládali ezávislá data a použili bychom pouze záko šířeí ejistot, dostali bychom výsledek v = (117 ± 7). Vidíme, že rozdíl v získaých výsledcích eí velký, icméě je uté pozameat, že takovýto postup eí správý, eboť zaedbává korelaci v ašich měřeých datech. V jiých příkladech z prae už může být chyba, které bychom se takovýmto zaedbáím dopustili, velmi velká. Michal Nožička Fyzikálí korespodečí semiář je orgaizová studety MFF UK. Je zastřeše Odděleím pro vější vztahy a propagaci MFF UK a podporová Ústavem teoretické fyziky MFF UK, jeho zaměstaci a Jedotou českých matematiků a fyziků. Toto dílo je šířeo pod licecí Creative Commos Attributio-Share Alike 3.0 Uported. Pro zobrazeí kopie této licece avštivte 15

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými

Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými Pravděpodobost vs. Teorie pravděpodobosti pracuje s jedou ebo více teoretickými áhodými veličiami, jejichž je zámo odvozovali jsme y těchto atd. Šárka Hudecová Katedra pravděpodobosti a matematické Matematicko-fyzikálí

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více