Řešení rekurentních rovnic 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 12
|
|
- Karla Dostálová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Řešení rekurentních rovnic 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 12 Evropský sociální fond. Praha& EU: Investujeme do vaší budoucnosti doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 1/ 18
2 Rovnice s komplexními charakteristickými čísly Násobná charakteristická čísla Zabýváme se řešením homogenních lineárních rekurentních rovnic s konstantními koeficienty řádu k a n+k +c k 1 a n+k 1 + +c 1 a n+1 +c 0 a n =0 (1) provšechna n n 0 vpřípadě,žecharakteristickárovnicemávícenásobné kořeny. Řešení je pak vyjádřeno v následujícím tvrzení. Věta1 Nechť je dána homogenní lineární rekurentní rovnice s konstantními koeficientyřádu k.nechťjsou λ 1,...,λ M jejírůznácharakteristickáčísla, přičemžkaždé λ i mánásobnost m i N +.Pakjemnožina {λ n 1 },{nλn 1 },...,{nm 1 1 λ n 1 },...,{λn M },{nλn M },...,{nm M 1 λ n M } bází prostoru řešení dané rovnice. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 2/ 18
3 Rovnice s komplexními charakteristickými čísly Příklad- komplexní charakteristická čísla Příklad 2 Uvažujme homogenní lineární rekurentní rovnici a n+2 +a n =0. Rovnicemácharakteristickýpolynom p(λ)=λ 2 +1,takžejejí charakteristickáčísla(násobnostijedna)jsou λ 1 = i,λ 2 = i. Obecnéřešenítétorovnicemátedytvar {u.i n +v.( i) n }-dostávámetak komplexní hodnoty pro reálnou posloupnost. Co s tím? Zamysleme se nad řešením původní rovnice. Vidíme, že se dá psát jako součet(proložení) dvou nezávislých alternujících posloupností {u.a n +v.ã n }určenýchtakto: a n =( 1) k pro n=2k a a n =0 pro n=2k+1 ã n =0 pro n=2k a a n =( 1) k pro n=2k+1 doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 3/ 18
4 Rovnice s komplexními charakteristickými čísly Komplexní charakteristická čísla- obecný případ Obecně bude platit, že pokud má charakteristická rovnice komplexní kořen λ=α+i.β,pakmáikomplexněsdruženýkořen λ = α i.β stejné násobnostiavbáziřešenísetedyobjevídvojiceposloupností {(α+i.β) n } a {(α i.β) n }. Jak najít mezi jejich lineárními kombinacemi dvě lineárně nezávislé reálné posloupnosti? α±i.β= r[cos(φ)±i.sin(φ)] = (α±i.β) n = r n [cos(nφ)±i.sin(nφ)], takže (α+i.β) n +(α i.β) n =2r n cos(nφ), (α+i.β) n (α i.β) n =2ir n sin(nφ). Stačí tedy vzít dvě lineární kombinace 1 2 {λn +(λ ) n }={r n cos(nφ)} a 1 2i {λn (λ ) n }={r n sin(nφ)}, což jsou lineárně nezávislé posloupnosti. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 4/ 18
5 Rovnice s komplexními charakteristickými čísly Komplexní charakteristická čísla- obecný případ Propředchozípříkladmáme λ=i=1.(cos( π 2 )+i.sin(π 2 ),takžeobecné řešenílzepsátvetvaru {u.cos(n π 2 )+v.sin(nπ 2 ),cožodpovídánašemu zjištění. V případě vícenásobných komplexních kořenů stačí doplnit ještě uvedené dvojice posloupností vynásobené postupně rostoucími mocninami n, takže v bázi prostoru řešení budou posloupnosti {r n cos(nφ)},{n.r n cos(nφ)},{n 2.r n cos(nφ)},... {r n sin(nφ)},{n.r n sin(nφ)},{n 2.r n sin(nφ)},... Můžeme tedy formulovat obecný postup řešení homogenních lineárních rekurentních rovnic s konstantními koeficienty(hlrrskk). doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 5/ 18
6 Rovnice s komplexními charakteristickými čísly Řešení HLRRsKK- obecný případ 1 Určíme charakteristický polynom p(λ) a jeho kořeny. 2 Pro každé reálné charakteristické číslo λ přidáme do báze řešení B posloupnost {λ n }. 3 Je-litoto λnásobnosti m >1,pakpřidámetaképosloupnosti {n.λ n },{n 2.λ n },...,{n m 1.λ n } 4 Pro každé charakteristické číslo λ = r[cos(φ) + i.sin(φ)], které není reálné,přidámedobázeřešení Bposloupnosti {r n cos(nφ)} a {r n sin(nφ)}. 5 Je-litoto λnásobnosti m >1,pakpřidámetaképosloupnosti {nr n cos(nφ)},{n 2 r n cos(nφ)},...,{n m 1 r n cos(nφ)}. {nr n sin(nφ)},{n 2 r n sin(nφ)},...,{n m 1 r n sin(nφ)}. 6 Je-libáze Btvořenaposloupnostmi { 1 a n },{ { 2 a n },...,{ k a n },pakje k } obecné řešení dané rovnice určeno vzorcem i=1 u i. i a n u 1,u 2,...,u k R. n=n 0 pro 7 Jsou-lidánypočátečnípodmínky a j = A j pro j= n 0,...,n 0 +k 1,pakdonichdosadíme a j = k i=1 u i. i a j a vyřešíme vzniklých k rovnic. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 6/ 18
7 Rovnice s komplexními charakteristickými čísly Příklad HLRRsKK Příklad 3 Najdemeřešenírovnice a n+5 a n+4 +2a n+3 2a n+2 +a n+1 a n =0 provšechna n 0spočátečnímipodmínkami a 0 =1,a 1 =0,a 2 =1, a 3 =0,a 4 =1. Řešení: 1)Charakteristickýpolynom p(λ)=λ 5 λ 4 +2λ 3 2λ 2 +λ 1 = =(λ 1)(λ 2 +1) 2 májednoduchýkořen λ 1 =1advojnásobnékořeny λ 2,3 = ±i. Bázi řešení B tedy tvoří posloupnosti {{1 n } n=0,{1n cos(n π 2 )},{1n sin(n π 2 )},{1n n.cos(n π 2 )},{1n n.sin(n π 2 )}}, takže obecné řešení rovnice má tvar {A+B.cos(n π 2 )+C.sin(nπ 2 )+D.n.cos(nπ 2 )+E.n.sin(nπ 2 )} n=0 doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 7/ 18
8 Rovnice s komplexními charakteristickými čísly Příklad HLRRsKK- pokračování Příklad 4 2) Nyní nalezneme řešení vyhovující zadaným počátečním podmínkám a 0 = 8,a 1 =4,a 2 =0,a 3 =0,a 4 =0. A+B.1+C.0+D.0.1+E.0.0 = 8 A+B = 8 A+B.0+C.1+D.1.0+E.1.1 = 4 A+C+E = 4 A+B.( 1)+C.0+D.2.( 1)+E.2.0 = 0 A B 2D = 0 A+B.0+C.( 1)+D.3.0+E.3.( 1) = 0 A C 3E = 0 A+B.1+C.0+D.4.1+E.4.0 = 0 A+B+4D = 0 Odtudnámvycházíhodnotykonstant A= 2,B= 6,C=10,D=2, E = 4, takže výsledné partikulární řešení rovnice má tvar { 2 6.cos(n π 2 )+10.sin(nπ 2 )+2n.cos(nπ 2 ) 4n.sin(nπ 2 )} n=0 doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 8/ 18
9 Nehomogenní rovnice Nehomogenní rovnice Jak nalézt nějaké řešení nehomogenní rovnice? Kvalifikovaným odhadem podle tvaru pravé strany! Definice 5 (kvazipolynom)řekneme,žeposloupnost {b n } n=n 0 jekvazipolynom, jestližeexistuje λ Rapolynom P(n)takový,že b n = P(n)λ n pro všechna n n 0. Tak např. (2n 3)3 n nebo (n 2 3n+1)( 2) n (atakénapř. n 3 n+3) jsou kvazipolynomy. Pokud je na pravé straně rovnice kvazipolynom, můžeme řešení odhadnout pomocí následujícího tvrzení. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 9/ 18
10 Nehomogenní rovnice Kvazipolynomiální pravá strana Věta6 (řešení rovnice pro kvazipolynomiální pravou stranu) Uvažujme rovnici a n+k +c k 1 a n+k 1 + +c 1 a n+1 +c 0 a n = b n (2) provšechna n n 0.Předpokládejme,žeexistují λ Rapolynom P(n) takový,že b n = P(n)λ n provšechna n n 0. Nechť m je násobnost tohoto čísla λ jako charakteristického čísla přidruženéhomogennírovnice,přičemž m=0vpřípadě,žetoto λvůbec charakteristickým číslem není. Pak existuje polynom Q(n) stupně stejného jako P takový, že je řešením dané rovnice. {n m Q(n)λ n } doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 10/ 18
11 Nehomogenní rovnice Příklad s kvazipolynomiální pravou stranou Příklad 7 Najdemeobecnéřešenírovnice a n+2 2a n+1 3a n = 9n2 n pro n 0. Řešení: 1)Najdemeobecnéřešenírovnice a n+2 2a n+1 3a n =0pro n 0. Charakteristickárovnice λ 2 2λ 3=0dávácharakteristickáčísla-1,3 aobecnéřešení {u.( 1) n +v.3 n } n=0. 2)Pravástranajekvazipolynom,kde λ=2ap(n)= 9njepolynom stupně 1. Číslo λ = 2 není charakteristickým číslem přidružené homogenní rovnice,takžebude m=0ačinitel n 0 =1zřešenívypadne. Existujetedynějakéřešenívetvaru {n 0.Q(n).2 n }={Q(n)2 n },kde Qje jistý polynom stupně 1, jinak řečeno řešení rovnice bude mít tvar {(An+B).2 n }. Konstanty A, B najdeme dosazením do výchozí rovnice. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 11/ 18
12 Nehomogenní rovnice Příklad s kvazipolynomiální pravou stranou- dokončení Příklad 8 Dosazujemeřešení {(An+B).2 n }dovýchozírovnice: a n+2 2a n+1 3a n (A(n+2)+B)2 n+2 2(A(n+1)+B)2 n+1 3(An+B)2 n = 9n2 n = 9n2 n (An+2A+B).4 2(An+A+B)2 3(An+B) = 9 4An+8A+4B 4An 4A 4B 3An 3B = 9n 3An+4A 3B = 9n [ 3A]n+[4A 3B] = 9n+0 Odtudplyne A=3,B=4ahledanéřešenímátvar {(3n+4)2 n }. Obecné řešení zadané nehomogenní rovnice je {(3n+4)2 n +u.( 1) n +v.3 n } n=0. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 12/ 18
13 Nehomogenní rovnice Příklad 2 Příklad 9 Najdemeřešenírovnice a n =2a n n pro n 1spodmínkou a 0 =13.Popřepsánídostandardníhotvarudostanemerovnici a n+1 2a n =3.2 n+1 pro n 0. Řešení: 1) Rovnice má zjevně jediné charakteristické číslo λ = 2, takže obecné řešeníhomogénnírovnicemátvar {u.2 n }. 2)Pravástranarovnicejekvazipolynomsparametry λ=2,p(n)=6,což znamená koincidenci s vlastním číslem rovnice. Řešenítedyodhadujemevetvaru n 1.Q(n).2 n,kde Q(n)jepolynom stupně0,takže a n = A.n2 n akonstantu Aurčímedosazenímdorovnice. a n+1 2a n A(n+1)2 n+1 2.An2 n = 6.2 n = 6.2 n 2A(n+1) 2An = 6 2A = 6 = A=3. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 13/ 18
14 Nehomogenní rovnice Příklad 2- dokončení Příklad 10 Hledanéřešenímátedytvar a n =3n2 n.posečtenízískanýchdvou výsledků dostáváme obecné řešení nehomogénní rovnice ve tvaru {3n2 n +u.2 n } n=0. Zbývá určit konstantu u tak, aby řešení vyhovovalo počáteční podmínce: 13=a 0 = u.2 0 =0+u = u=13 Řešení vyhovující počáteční podmínce má tedy tvar {(3n+13).2 n } n=0. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 14/ 18
15 Nehomogenní rovnice Odhad řešení nehomogénní rovnice Následující tabulka ukazuje odhad tvaru řešení rovnice v záhlaví, pokud bude mít pravá strana tvar uvedený v prvním sloupci. ( ) a n+2 9a n=( ) a n+2 3a n+1 +2a n=( ) a n+2 4a n+1 +4a n=( ) [λ= 3,3] [λ=1,2] [λ=2,2] n.2 n (An+B)2 n n(an+b)2 n n 2 (An+B)2 n [λ=2] n 2 ( 1) n (An 2 +Bn+C)( 1) n (An 2 +Bn+C)( 1) n (An 2 +Bn+C)( 1) n [λ= 1] 2n 5 An+B n(an+b) An+B [λ=1] ( 3) n n.a( 3) n A( 3) n A( 3) n [λ= 3] doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 15/ 18
16 Nehomogenní rovnice Princip superpozice Věta 11 (principsuperpozice)nechť k N + a c 0 (n),c 1 (n),...,c k 1 (n): Z Rjsouzadanéfunkce.Jestližeposloupnost {a n } n=n 0,resp. {ã n } n=n 0 řešírovnici k 1 k 1 a n+k + c i (n)a n+i = b n, resp. a n+k + c i (n)a n+i = b n i=0 provšechna n n 0,pakposloupnost {a n +ã n } n=n 0 řešírovnici provšechna n n 0. i=0 k 1 a n+k + c i (n)a n+i = b n + b n i=0 doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 12 16/ 18
Řešení rekurentních rovnic 2. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11
Řešení rekurentních rovnic 2 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce
VíceDMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.
DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VícePrincipy indukce a rekurentní rovnice
Principy indukce a rekurentní rovnice Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 1/15 Příklad Místností rozměru n budeme rozumět šachovnici rozměru 2 n 2 n, ze které je jedno (libovolné) pole vyjmuto.
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceZpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
VíceEkvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5
doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5 Evropský sociální fond.
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceMatematika IV 9. týden Vytvořující funkce
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Vícetransformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
Více1 Diference a diferenční rovnice
1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou
VíceRekurentní rovnice, strukturální indukce
Rekurentní rovnice, strukturální indukce Jiří Velebil: A7B01MCS 26. září 2011: 1/20 Příklad (Parketáž triminy z minulé přednášky) P(n) = počet parket k vyparketování místnosti rozměru n 1 P(1) = 1. 2 P(n
VíceRekurentní rovnice, strukturální indukce
, strukturální indukce Jiří Velebil: Y01DMA 23. února 2010: Strukturální indukce 1/19 Backusova-Naurova forma Například syntaxe formuĺı výrokové logiky kde a At. Poznámky 1 Relaxace BNF. ϕ ::= a tt (ϕ
Více21ˆx 0 mod 112, 21x p 35 mod 112. x p mod 16. x 3 mod 17. α 1 mod 13 α 0 mod 17. β 0 mod 13 β 1 mod 17.
1. 2. test - varianta A Příklad 1.1. Kompletně vyřešte rovnici 21x 35 mod 112. Řešení. Protože gcd(112, 21) 21 má dle Frobeniovy věty rovnice řešení. Řešení nalezneme ve dvou krocích. Nejprve kompletně
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceAntonín Sadil Elementární metody řešení diferenčních rovnic
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Antonín Sadil Elementární metody řešení diferenčních rovnic Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: RNDr Robert Černý,
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
Více6. Lineární ODR n-tého řádu
6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Více1. Jordanův kanonický tvar
. Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceLineární diferenciální rovnice n tého řádu
Kapitola 2 Lineární diferenciální rovnice n tého řádu 2.1 Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Klíčová slova: obyčejná lineární diferenciální rovnice n tého řádu, rovnice s konstantními koeficienty,
VíceMatematická indukce. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 3
doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 3 Evropský sociální fond.
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
VíceRekurence, rekurze a sumy. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM
Rekurence, rekurze a sumy doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více7.3. Diferenciální rovnice II. řádu
Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay +
VíceAlgebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceKombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM
Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí
VíceO řešení diferenční rovnice y(n+2) 1, 25y(n+1)+0, 78125y(n) = x(n + 2) x(n)
O řešení diferenční rovnice yn+), 5yn+)+0, 785yn) xn + ) xn) Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. a Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc. V příspěvku je řešena rovnice Abstrakt yn + ), 5yn + ) + 0, 785yn) xn + ) xn)
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
VíceDiferenční rovnice. 20. prosince Motivace 1
Diferenční rovnice Jiří Fišer 0. prosince 006 Obsah 1 Motivace 1 Dynamika diferenčních rovnic prvního řádu 3.1 Úvod................................ 3. Lineární diferenční rovnice prvního řádu............
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceUniverzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce
Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 2
Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic
VíceMatematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
VíceVLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5
VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceObyčejné diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
VíceDiskrétní matematika II
Diskrétní matematika II 1. dubna 015 Obsah Obsah 1 1 Diferenční rovnice 1.1 Motivační úlohy................................. Lineární diferenční rovnice 7.1 Prostor komplexních posloupností.......................
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceBCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27
7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceTOKY V SÍTÍCH II. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
TOKY V SÍTÍCH II Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 010/011, Lekce 10 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
VíceFAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Leden 2015 Komplexní inovace studijních programů a zvyšování kvality výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/28.0193
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Více