Nejistoty v mìøení IV: nejistoty pøi kalibraci a ovìøování

Transkript

1 Nejistoty v mìøeí IV: ejistoty øi kalibraci a ovìøováí Ètvrtý z volého cyklu èlákù øibližujících souèasý ohled a roblematiku ejistot øi mìøeí je vìová ejistotám øi kalibraci mìøidel Srávý a úlý ois ejistot má ejvìtší výzam rávì øi kalibraci Souèasì se jedá o jedu z oblastí vrcholové metrologie, ve které vylývá oužití stadardích metod vyjadøováí ejistot øímo z øedisù meziárodích i árodích metrologických orgaizací Úvod Jedou z ejdùležitìjších úloh metrologie v árodím i meziárodím mìøítku je zajistit jedotost mìøeí, tj fugováí systému ávazosti mìøidel Všecha mìøidla oužívaá øi øízeí výroby èi jiých rocesù musí mít zjištìy ebo ovìøey metrologické charakteristiky Jedotosti mìøeí se dociluje jedak systémem ávazosti etaloù øíslušých øádù, jedak avazováím samotých mìøidel a atøièé etaloy Tato ávazost mìøidel a etaloy je garatováa (zajiš ováa rocesy kalibrace, ovìøováí, oø také zkoušeí Kalibrací mìøidla se rozumí soubor úkoù, jejichž výsledkem je zalost závislosti mezi hodotami idikovaými kalibrovaým mìøidlem a øíslušými hodotami téže velièiy staoveými odle refereèího mìøidla ebo racovího etalou aebo realizovaými jejich rostøedictvím Kalibruje se zravidla metodou øímého ebo eøímého orováí Zkouškou se rozumí souhr oerací rokazujících, že zkoušeé mìøidlo lí øedesaé ožadavky Úøedí zkouška, a jejímž základì je vydá atøièý certifikát ebo je mìøidlo oatøeo zaèkou, která dokládá, že mìøidlo slòuje ožadavky øíslušých øedisù, bývá zravidla ozaèováa jako ovìøováí Pøi jistém úhlu ohledu lze øedokládat, že urèité rvky kalibrace jsou svým zùsobem obsažey i v každém ovìøeí živatele mìøidla zajímá øedevším certifikát (kalibraèí list, ovìøovací list, který má odle souèasých øedisù obsahovat ejistoty výsledkù kalibrace ebo ovìøeí Teto tred vychází aø z latých ormativích dokumetù [7], [8], [9], [0] a je des všeobecì uzává Proto je v rámci cyklu o ejistotách mìøeí vìová roblematice kalibrace teto samostatý èláek Zvláštosti ejistot øi kalibraci Postuy a metodika kalibrace mají svá secifika rojevující se v oblasti oužívaých metod i omezeým oètem tyù øešeých úloh Rovìž tak z ohledu ejistode o zcela secifické úlohy, rotože avazováí mìøidla a etalo s sebou zravidla ese také urèité tyické kombiace zdrojù ejistot, oø i jejich vzájemé korelace, osléze se rojevující v kovariacích Aalýzy ejistot øi kalibraci jsou úlohami odstatì složitìjšími ež ty, které byly azaèey v øedchozích èástech cyklu Pøi kalibracích se lze ejèastìji setkat s tìmito tyy úloh: kalibrace mìøidla (zhmotìlé míry s jedou omiálí hodotou, kalibrace ìkolika mìøidel (zhmotìlých mìr se stejou omiálí hodotou, kalibrace sady zhmotìlých mìr, kalibrace mìøidla se sojitou stuicí Pøi osuzováí ejistot øi kalibraci je tøeba uvažovat øedevším ty složky, které mají rozhodující vliv a výsledou ejistotu Jsou to: ejistota hodoty oskytuté (rerodukovaé etaloem, ejistota zùsobeá edostatky øi øeosu hodot z etalou a mìøidlo (zahruje vlastí edokoalosti metody, vlivy rostøedí aod, ejistota kalibrovaého mìøidla zùsobující roblémy se stálostí a rerodukovatelostí mìøeí Pøi kalibracích je zravidla také tøeba, a to mohem ozorìji ež u rovozích mìøeí, dbát a to, aby ebyly oomeuty žádé možé korelace, které mohou ovlivit výsledek Co se týèe kovariací, rojevují se øi kalibraci tyto jejich domiatí rojevy: kovariace mezi hodotami velièiy oskytovaými etaloem, kovariace zùsobeé øeosem hodot z etalou a kalibrovaé mìøidlo, kovariace mezi hodotami kalibrovaého mìøidla, kovariace mezi hodotami etalou a kalibrovaého mìøidla Nejistota a kovariace samotého etalou se skládají ze dvou složek: složek uvedeých v kalibraèím listu a udávajících hodoty ejistot a kovariací velièiy mìøeé ebo rerodukovaé etaloem v odmíkách jeho kalibrace, složek øedstavujících vliv odchylky odmíek øi kalibraci oroti odmíkám refereèím Souèasým roblémem je zravidla skuteèost, že zatímco ejistoty již bývají v kalibraèích listech uvedey, údaje o kovariacích zde ještì velmi èasto chybí, aèkoliv øitom mohou tvoøit stejì výzamou složku celkové výsledé ejistoty Jak již bylo uvedeo, je situace øi kalibraci odstatì složitìjší a elze v í vystaèit s jedoduchým modelem øímého ebo eøímého mìøeí Z dùvodù omezeého rostoru èláku je v ásledujícím textu je struèì øiblížea øíslušá teorie, dolìá ukázkovými øíklady výoètu 3 Kalibrace mìøidla rerodukujícího jediou hodotu mìøeé velièiy 3 Charakteristka úlohy Jde o øíad relativì jedoduchý a témìø shodý s vyhodoceím oakovaého øímého mìøeí jedié velièiy Základem je -krát oakovaé orováí kalibrovaého mìøidla s etaloem za stejých odmíek, èímž se získají hodoty x, x, x 3 odel kalibrace a odhad hodoty kalibrovaého mìøidla odelem kalibrace je soustava rovic X X X Y X X X Y X X X Y ( X, X, X jsou rozdíly mezi hodotou etalou a hodotou kalibrovaého mìøidla øi jedotlivých orováích, X hodota etalou, korekce zùsobeá edostatky øeosu hodot z etalou a mìøidlo, X korekce zùsobeé edostatky øi udržováí a rerodukováí hodoty kalibrovaým mìøidlem odel ( je modelem øímého stejì øesého mìøeí, takže za øedokladu, že odhady x, x korekèích vlivù X, X jsou ulové a odhad hodoty etalou je x E, abude tvaru y xe xi x x E i 33 Nejistota odhadu ( Nejistota odhadu y za øedokladu, že se øiustí korelace mezi odhady x E a x, abude tvaru A ( y ue u u u( y u u (3 E, ATOA (00 èíslo 4 4

2 ejistota staoveá metodou A je ua ( y sx ( xi x (4 ( i ebo sx ua ( y (5 s x je ìjaký odhad smìrodaté odchylky a u E, u, u jsou složky ejistoty staoveé metodou B (jak je uvedeo dále Složka u E je ejistota hodoty etalou zjištìá øi kalibraci Skládá se z ejistoty uvedeé v kalibraèím listu etalou a ze složky rerezetující ùsobeí vlivù rozdílého rostøedí øi kalibraci etalou a vlastích odmíek øi vykoaé kalibraci Teto vliv musí, s ohledem a údaje z kalibraèího listu (certifikátu etalou, kvatifikovat exerimetátor Složka u je ejistota zaøíèiìá edostatky øi øeosu hodot z etalou a mìøidlo Zahruje vlivy metody i oužitých rostøedkù a odmíek øi kalibraci Oìi musí srávì oceit exerimetátor a základì dostuých údajù a své zkušeosti s oužitými metodami, rostøedky a odmíkami kalibrace Nejistota u je složkou vášeou do rocesu kalibrace udržováím a rerodukcí hodoty kalibrovaým mìøidlem rèí ji oìt exerimetátor a základì zámých metod, odmíek a rostøedkù idikace údajù sledovaého kalibrovaého mìøidla Kovariace u E, je zaøíèiìa korelacemi mezi odhady hodoty etalou a kalibrovaého mìøidla Nejèastìji je její øíèiou oužití stejé sestavy øístrojù ro odeèítáí hodoty udávaé etaloem i kalibrovaým mìøidlem Pro vìtší øehledost lze tradièì oužít záis do bilaèí tabulky, která má v obecém tvaru odobu tab Koeficiety citlivosti A se øitom urèí stejì jako v øíadech osaých již v øedchozích dílech cyklu [], [3] a [4] jako arciálí derivace modelové fukce odle øíslušé romìé Hodoty x, x a x E, se velmi èasto okládají za ulové Kalibraèí list obsahuje tyto výsledky kalibrace: mìøeé údaje, hodotu kalibrovaého mìøidla y, údaj ejistoty kalibrace (ejistoty odhadu u(y Tab Bilace ejistot øi kalibraci Velièia X i Odhad x i Stadardí ejistota u(x i 34 Ovìøeí zhmotìlé míry k rerodukci jedié hodoty Cílem ovìøeí mìøidla je staovit, zda jeho odchylka se ohybuje v ovoleých mezích ± dov Postuuje se odobì jako v øedchozím øíadì kalibrace a odhad odchylky se staoví jako aritmetický rùmìr x získaý z oakovaých komarací s etaloem za dodržeí kostatích odmíek Nejistoty staoveé metodou A i metodou B je možé urèit odobì jako v øedchozí kaitole omocí vztahù (3 a (4, èímž se získá výsledá kombiovaá ejistota u C, ze které se vyásobeím koeficietem rozšíøeí staoví rozšíøeá ejistota (x ìøidlo (mìrka ak vyhovuje ožadavkùm, jestliže latí vztah x ( x (6 dov x je aritmetický rùmìr staoveé odchylky od jmeovité hodoty, kterou mìøidlo rerezetuje, (x rozšíøeá ejistota této odchylky, dov X x u x u A ( x etalo x E u (x E ovomìré orováí X x ux ( ovomìré kalibrovaé mìøidlo X x u (x ovomìré kovariace, x E, u E, Obr Situace øiadající v úvahu øi ovìøováí mìøidla rerodukujícího jediou hodotu mìøeé velièiy dovoleá tolerace mìøidla (hraice dovoleé odchylky od jmeovité hodoty V raxi mùže astaede ze ètyø øíadù zázorìých a obr V øíadì (a lze kostatovat, že mìøidlo lì vyhovuje ožadavkùm Naoak v øíadì (d mìøidlo ožadavkùm rokazatelì evyhovuje V øíadech (b a (c eí laboratoø schoa jedozaèì rozhodout, zda mìøidlo vyhovuje èi ikoli V tìchto øíadech mùže dáedozaèou Aroximaèí rozdìleí Koeficiet citlivosti A i ormálí A x u A (y Pøísìvek k vý- sledé ejistotì u i (y r A E u E (y r A u P (y r A u (y rovomìré A E, u E, (y Y y u(y zjištěá odchylka hraice dovoleé odchylky a b c odovìï ouze jié ezávislé ovìøeí vykoaé v laboratoøi vybaveé dokoalejší techikou aod V souèasosti se vyžaduje, aby laboratoø akreditovaá ro ovìøováí (kalibraci byla schoa vždy jedozaèì staovit výsledek jako øíad (a, oø (d, a ebylo vyžadováo žádé další osuzováí K tomu mùže øisìt rávì zmešeí ejistot ovìøeí (kalibrace 4 Kalibrace ìkolika mìøidel rerodukujících tutéž omiálí hodotu velièiy Je-li kalibrováo ìkolik zhmotìlých mìøidel (mìr stejé omiálí hodoty, ostuuje se u každého stejì jako v øedcházejícím øíadì Jestliže øi kalibraci všech dotyèých mìr ùsobí a mìøeí tytéž soleèé vlivy, budou odhady hodot kalibrovaých mìr korelovaé Tato skuteèost mùže být dùležitá v øíadì, že øi dalším oužití budou tyto míry vystuovat soleèì Tehdy je tøeba korelace mezi imi ve výoètu ejistot zohledit To ale øedokládá, že budou v kalibraèích listech uvedey, což v souèasé dobì bývá velmi zøídka Jako øíklad lze zmíit kalibraci ìkolika závaží o téže hmotosti, ìkolika kocových mìrek o stejé jmeovité délce aod Skuteèì, jsou-li øi vážeí a dvourameé váze oužita soleèì dvì závaží o 00 g, výsledek vážeí bude m m m a, m a m jsou hmotosti oužitých závaží øevzaté z kalibraèích listù a a je odchylka amìøeá øi vážeí Nejistota výsledku je u (m u (a A u (m u (m u (a u(m,m (7 B u A (a je ejistota vážeí a váhách staoveá metodou A, u(m, u(m ejistoty jedotlivých závaží staoveé metodou B (øevzaté z kalibraèích listù tìchto závaží, u B (a ejistota vážeí staoveá metodou B (jestliže eùsobí jié vlivy, je to ejistota vah, u(m, m kovariace mezi urèeími hodot závaží staoveá metodou B (vyète se z kalibraèího listu závaží Kovariace existuje, okud øi kalibraci d 4 (00 èíslo 4 ATOA

3 ùsobily soleèé vlivy (tj tehdy, byla-li kalibrace uskuteèòováa za stejých odmíek v téže laboratoøi atd Kokrétí ostu vyhodoceí kalibrace a urèeí kovariací je ukázá dále a øíkladu (dodatek 9 5 Kalibrace sady zhmotìlých mìr Pøi kalibraci ìkolika zhmotìlých mìr rùzých omiálích hodot (velmi èasto jde o jejich sadu mohou rovìž astat dvì základí situace Buï je každá míra kalibrováa ezávisle a ostatích, ebo jsou všechy zhmotìlé míry kalibrováy souèasì, takže a výsledek kalibrace mohou souèasì ùsobit také veškeré vlivy vedeé tvrzeí lze ilustrovat tìmito modelovými situacemi: každá z mìr je kalibrováa jiým etaloem a jiým komarátorem za jiých odmíek, ro kalibraci je oužiediý etalo i komarátor za stejých odmíek oužití V rvím øíadì se jedá o samostaté ezávislé kalibrace každé míry (eùsobí-li øi kalibraci jié výrazé soleèé vlivy a kalibrace se vyhodotí odle metodiky osaé v ka 3 imo to mùže být èást vlivù soleèá kalibracím všech zhmotìlých mìr, èást vlivù rozdílá a jistá èást vlivù mùže být soleèá je ìkterým zhmotìlým mírám, což zaèì komlikuje vyhodocováí korelací Pøíkladem mùže být ostu soèívající v oužití rùzých etaloù, ale jediého komarátoru ro celou sadu, jak je tomu zravidla øi kalibraci sady kocových mìrek Stejou sadu kocových mìrek lze ale také kalibrovat omocí dvou komarátorù (každým èást sady mìrek Rùzé mìrky jsou orováváy s rùzými etaloy, ale odmíky jsou øi všech orováích stejé Postuy vyhodoceí tìchto øíadù kalibrace asi oìt ejlée øiblíží kokrétí øíklady ásledující v dodatku Tyickými øíklady z raxe jsou sady kocových mìrek ebo sady závaží 6 Kalibrace mìøidla se sojitou stuicí 6 Dva základí tyy úloh Pøi kalibraci sojité stuice øicházejí v úvahu dva možé øíady, lišící se vztahem mezi modelem kalibrace a oètem bodù, ve kterých se kalibruje Teto oèet mùže být: a rový oètu ezámých arametrù modelu kalibrace (aø kalibrace etaloového odorového símaèe teloty jako refereèího etalou v evých bodech telotí stuice; b vìtší ež oèet ezámých arametrù modelu kalibrace (aø kalibrace etaloového odorového símaèe teloty jako racovího mìøidla, termoelektrického símaèe teloty, deformaèího tlakomìru, mometového klíèe, mikrometru atd V rvím øíadì je úloha z ohledu zracováí amìøeých hodoedoduchá, rotože ezámé arametry se urèí ze zámých rovic a ro urèeí ejistot a kovariací se oužije záko šíøeí ejistot Ve druhém øíadì je k disozici oèet rovic vìtší, ež je oèet ezámých arametrù modelu a roblémem je, jak urèit hodoty arametrù modelu, aby øitom byla využita veškerá adbyteèost (což je, z hlediska co ejdokoalejšího využití iformace skryté v datech, žádoucí Obvykle se tato úloha øeší s oužitím metody ejmeších ètvercù, která ale vyžaduje zalost hodot etaloù se zaedbatelými ejistotami, což eí vždy slìo Blíže je celá situace osáa aø v [], [4], [5] a [6] 6 odel kalibrace sojité stuice s adbyteèostí Sahou je, stejì jako ve všech øedchozích øíadech, vytvoøit model, v tomto øíadì kalibraèí Úèelem kalibrace mìøidla je urèit závislosti mezi údajem X kalibrovaého mìøidla a údajem etalou t, a to vèetì urèeí ejistot této závislosti Závislost hodoty kalibrovaého mìøidla a hodotách etalou X f(t se ozaèuje jako trasformaèí fukce símaèe Iverzí fukcí k trasformaèí fukci, tedy závislost t g(x, je kalibraèí fukce símaèe Kalibrace se uskuteèòuje orováím údajù kalibrovaého mìøidla s údaji etalou øi ùsobeí stejé velièiy Hodoty ùsobící velièiy, øi kterých se kalibrovaé mìøidlo orovává s etaloem, se v celém kalibraèím rozsahu odstuòovávají zravidla rovomìrì v oètu 6 Za øedokladu, že hodoty velièiy ùsobící a kalibrovaé mìøidlo a a etalo jsou shodé (e vždy to musí latit, se možiou amìøeých hodot X j roloží regresí závislost tyu olyomu stuì Trasformaèí fukce má v tom øíadì tvar X a 0 a t a t a t (8 a kalibraèí fukce tvar t b 0 b X b X b X (9 Jestliže se kalibruje øi hodotách t až t a zohledí se i možé vlivy øi øeosu hodot z etalou a kalibrovaé mìøidlo, má teoretický model kalibrace tvar X a 0 a t a t a t X a 0 a t a t a t (0 X j a 0 a a a X a 0 a t a t a t X j je hodota kalibrovaého mìøidla (rerodukovaá, amìøeá øi j-té hodotì velièiy ùsobící a kalibrovaé mìøidlo, j-tá hodota etalou (rerodukovaá, mìøeá, a 0, a, a ezámé arametry (výstuí velièiy, jejichž odhady se kalibrací zjiš ují ( 63 Odhady arametrù trasformaèí fukce a jejich ejistot Teoretická trasformaèí fukce je tvaru (8 Protože hodoty t ejsou evé, ale též zjiš ovaé mìøeím, jde o elieárí model, který se liearizuje rozvojem do Taylorovy øady se zaedbáím èleù vyšších øádù Nulté odhady a 00, a 0, a 0, a 0 arametrù a 0, a, a, a se urèí aø metodou ejmeších ètvercù ro evé t, tedy bez uvažováí ejistot a kovariací sojeých s odhadem hodot etalou Nové odhady, jejich ejistoty a kovariace mezi imi se zovu urèí metodou ejmeších ètvercù ro kovariaèí matici vstuích velièi, která již také zahruje ejistoty etalou, øeosu aj Jestliže takto získaý odhad estaèí, ovažuje se za ultý a okraèuje se stejým zùsobem v dalších iteraèích krocích Celý ostu lze oakovat i v ìkolika iteracích, zkušeosti však ukazují, že vìtšiou se o ultém odhadu vystaèí již je s jediou iterací výoètu Celá metodika, jak vylývá z uvedeého ázaku ostuu, tetokrát smìøuje k maticovému záisu a zracováí ejistot a kovariací To které øešeí se volí odle kokrétí situace, kdy je tøeba do aalýzy zahrout obecì ásledující ejistoty a kovariace: ejistoty hodoty velièiy oskytuté (mìøeé ebo rerodukovaé etaloem, ejistoty zùsobeé edostatky øeosu hodot z etalou a kalibrovaé mìøidlo, ejistoty vylývající z udržováí a rerodukováí hodoty kalibrovaým mìøidlem, kovariace mezi hodotami velièiy oskytutými etaloem, kovariace zùsobeé øeosem hodot z etalou a kalibrovaé mìøidlo, kovariace mezi hodotami kalibrovaého mìøidla, kovariace mezi hodotami etalou a hodotami kalibrovaého mìøidla 64 Odhady arametrù kalibraèí fukce a jejich ejistot Nejjedodušší zùsob, jak urèit kalibraèí fukci, je ulatit døíve uvedeý ostu ro trasformaèí fukci (8 a kalibraèí fukci (9 Tam, se evyžaduje zalost trasformaèí fukce, staèí urèie kalibraèí fukci Výsledkem kalibrace mìøidla se sojitou stuicí jsou: matematický model (kalibraèí fukce, odhad hodot arametrù modelu (kalibraèí fukce, ejistoty odhadù arametrù modelu a kovariace mezi imi Pro úèely raxe je vhodé uvádìt také tabulku, ve které jsou s dostateèì jemým ATOA (00 èíslo 4 43

4 hodota měřeé veličiy odstuòováím zaesey hodoty údaje mìøidla X, jim odovídající odhady hodot mìøeé velièiy $t a ejistoty u $ t staoveí $t živateli mìøidla otom staèí k amìøeé hodotì (údaji mìøidla odle tabulky øiøadit øíslušou hodotu mìøeé velièiy a øíslušou ejistotu mìøidla za odmíek oužití defiovaých øi kalibraci mìøidla Hodoty mìøeé velièiy a jejich ejistoty mezilehlé hodotám uvedeým v tabulce se urèují iterolací (ejèastìji lieárí Graficky je kalibraèí fukce vyjádøea kalibraèí køivkou, která zobrazí výsledek kalibrace v odobì grafu Obecì je oužití kalibraèí køivky ke zjištìí hodoty mìøeé velièiy ukázáo a obr Výsledé ejistoty jsou v této grafické odobì zravidla rerezetováy rozšíøeými ejistotami ( ro jedotlivé hodoty kalibrace 7 ìøeí omocí kalibrovaého mìøidla 7 Hodota mìøeé velièiy Pøi urèováí hodoty velièiy mìøeé kalibrovaým mìøidlem se vychází z kalibraèí fukce (9, a tedy ze vztahu t b 0 b x b x b x b j j x ( j 0 x je aritmetický rùmìr amìøeých hodot, b 0, b, b hodoty arametrù kalibraèí fukce kalibrovaého mìøidla získaé jeho kalibrací odle øedcházejících kaitol 7 Nejistota mìøeí kalibrovaým mìøidlem Pøi urèeí ejistoty mìøeí vykoaého kalibrovaým mìøidlem se vychází ze vztahu (, a který se alikuje záko šíøeí ejistot Potom j j u ( t x u ( bj jx bj u ( x j 0 j j 0 k j j k j x x u( b, b ( k hodota idikovaá kalibrovaým měřidlem u(b 0 až u(b stejì jako u(b j, b k se urèí a základì kalibrace símaèe ostuem uvedeým v øedchozích kaitolách, oø v dalším textu, a u(x se urèí jako kombiovaá ejistota mìøeí kalibrovaým mìøidlem V øíadì, že lze zaedbat kovariace, je j j u ( t x u ( bj jx b j u ( x j 0 j (3 8 Závìr Èláek, jako èást tematického cyklu, øibližuje relativì složitou situaci, se kterou se lze v raxi setkat øi zjiš ováí ejistot øi kalibraci a ásledém oužíváí mìøidel Omezeý rostor èláku edovoluje více ež ouze osat situace a azaèit ostuy jejich øešeí, tak jak se s imi lze u všech ètyø tyù úloh uvedeých v èláku setkat v raxi ohé z úloh již ale avíc vedou k maticovému záisu a maticovému zracováí, vyžadujícími urèitou zkušeost i zvýšeou ozorost øi samoté realizaci mìøeí (kalibrace i ásledé aalýze ejistot V závìreèé kaitole èláku je øiblížea situace, která astae v oblasti ejistot, oužije-li se kalibrovaé mìøidlo k rovozímu mìøeí Jak bylo ìkolikrát zmíìo v textu, je v øiojeém dodatku uvedeo ìkolik øíkladù z raxe Podrobìjší ostuy je také možé alézt aø v literatuøe ebo je kozultovat s odboríky ze secializovaých metrologických racoviš 9 Dodatek Pøíklady urèeí ejistot øi kalibraci Obr Obecý model kalibraèí køivky Pøíklad Kalibrace mìøidla ro rerodukci jedié hodoty mìøeé velièiy: kalibrace kocové mìrky 50 mm Úkolem je zkalibrovat kocovou mìrku jmeovitého rozmìru L 50 mm mechaickým orováím s etaloovou kocovou mìrkou stejého jmeovitého rozmìru odel kalibrace sestaveý a základì zkušeostí a studia literatury solu tvoøí vztahy l i l E δ li δ l δ l, i,, l E l EK δ ld δ l θ E δ l δ lc δ l T, δ l δ l θ K l i je délka kalibrovaé mìrky staoveá i-tým mìøeím, l E délka etaloové mìrky, l EK délka etalou uvedeá v jeho kalibraèím listì, chyba komarátoru, δ lc δ ld δ li δ l drift etalou, amìøeý rozdíl mezi etaloovou a kalibrovaou mìrkou, δ l chyba øi rerodukováí hodoty kalibrovaým mìøidlem, korekce edostatkù øeosu hodot z etalou a kalibrovaé mìøidlo, δ l T chyba zùsobeá rozdílem telot etalou a kalibrovaé mìrky, δ l θ E zmìa délky etalou zùsobeá rozdílem mezi telotou etalou øi kalibraci a jeho refereèí telotou (uvedeou v kalibraèím listu, δ l θ K zmìa délky kalibrovaého mìøidla vlivem rozdílu hodot teloty øi jeho kalibraci a refereèí teloty Po rovedeí všech substitucí bude mít model kalibrace mìrky tvar l i l EK δ ld δ l θ E δ li δ lc δ l T δ l θ K Podle staoveého ostuu kalibrace bylo rovedeo 5 oakovaých mìøeí rozdílu δ li, ze kterých byl vyoèítá aritmetický rùmìr δ l 708 µm Etaloová kocová mìrka má odle certifikátu délku y E 50 mm 30 µm a ejistota této hodoty je 040 µm Nedìlají-li se žádé korekce a všechy vlivy se zahrou do ejistoty, bude odhad délky kalibrovaé mìrky 5 y l (l 5 EK δ li l EK δ l i 50 mm 30 µm 708 µm 50 mm,008 µm Jaké jsou ejistoty tohoto odhadu? Co se týèe ejistoty staoveé metodou A, je tøeba vzít v úvahu, že øi samoté kalibraci bylo vykoáo ouhých ìt mìøeí, ale z døívìjšího vìtšího oètu mìøeí je zámo, že smìrodatá odchylka jedoho mìøeí je 053 µm Stadardí ejistota tyu A ak je ua(l ìm 04 ìm 5 Výsledá stadardí ejistota tyu B se vyoèítá jako odmocia ze souètu ètvercù ìti složek, kterými jsou: Nejistota hodoty etalou: odle certifikátu je stadardí ejistota etalou u(l EK 040 µm Drift etalou: odle øedcházejících kalibrací je odhaduako ulový v mezích ±06 µm Všeobecé zkušeosti øíkají, že ulový drife ejravdìodobìjší a že lze oužít trojúhelíkové rozdìleí Potom 06 u ( δ I D 04 5 ìm 6 44 (00 èíslo 4 ATOA

5 3 Nejistota komarátoru: odle certifikátu o kalibraci komarátoru je jeho rozšíøeá kombiovaá ejistota 06 µm øi k Z toho vylývá stadardí ejistota u(l C 06/ 008 µm 4 Nejistota vlivem rozdílu telot T kalibrovaé a etaloové mìrky: z defiice telotího souèiitele délkové roztažosti látek α (v daém øíadì α,5 0 6 K vylývá, že δ l T α L T Za øedokladu rovomìrého rozdìleí T v rozmezí ± K je stadardí ejistota tohoto zdroje 6 u( 5, 0 0, l / ìm δ l T 5 Nejistota vlivem rozdílu Θ mezi telotou v místosti (a tím i telotou etalou a kalibrovaé mìrky a refereèí telotou (0 C, ke které mají být výsledky uvádìy: je-li rozdíl v telotích souèiitelích délkové roztažosti látky etaloové a kalibrovaé mìrky α, bude výsledek kalibrace zatíže ejistotou u( δ δ E u( δ α L È l TK l T Odhaduje se, že α 0 6 Κ, a dále se øedokládá, že telota v místosti je vždy v rozmezí 0 ±6 C Potom se vyjde ze zkušeostí z miulých odobých kalibrací a dorovodých aalýz, oø z literatury, lze alézt i ostuy ro výoèet této složky ejistoty Podrobì celou metodiku uvádí aø EAL-R [8] Použijí-li se výsledky døívìjších aalýz, lze øedokládat, že u( Θ 0 µm Po dosazeí vyjde výsledá stadardí ejistota tyu B u B (l 0, ìm Co se týèe kovariací, ejsou mezi mìøeím délky etalou a délky kalibrovaé mìrky v tomto øíadì uvažováy žádé korelace Celková výsledá stadardí ejistota kombiovaá odhadu délky kalibrovaé mìrky je u ( l u ( l u ( l C A B ìm Celkový výsledek kalibrace lze (odle zvyklostí osaých v øedchozích èástech cyklu rezetovat dvìma zùsoby, øièemž øedost by se mìla dávat rezetaci rostøedictvím rozšíøeé ejistoty (l µm (ro k : Délka kalibrovaé mìrky je l 50 mm,008 µm, u(l 066 µm Délka kalibrovaé mìrky je l 50 mm,008 µm, (l 3 µm ro k Kometovaý výsledek ak bude zít: délka kalibrovaé kocové mìrky o omiálí délce 50 mm je (49, ±000 3 mm vedeá rozšíøeá ejistota mìøeí je vyjádøea jako stadardí ejistota mìøeí vyásobeá koeficietem okrytí k, která øi ormálím rozdìleí odovídá kofideèí ravdìodobosti øibližì 95 % vedeé výsledky lze øehledì zasat do bilaèí tabulky (tab Pøíklad Kalibrace ìkolika mìøidel rerodukujících tutéž omiálí hodotu velièiy: kalibrace tøí kocových mìrek téhož jmeovitého rozmìru Úkolem je zkalibrovat sadu tøí kocových mìrek (racovích mìøidel stejé jmeovité délky tím jistým etaloem, øi oužití téhož komarátoru mìøícího rozdíl délky kalibrovaé mìrky a délky etalou za stejých okolích odmíek ateriál všech mìrek má stejý telotí souèiitel délkové roztažosti odel kalibrace má tvar Y X, Y X Y 3 X 3 (D Tab Bilaèí tabulka ejistot kalibrace kocové mìrky 50 mm (k øíkladu Velièia X i Odhad (mm x i Stadardí ejistota u(x i (µm Aroximaèí rozdìleí Koeficiet Pøísìvek ke citlivosti A i stadardí ejistotì u i (l (µm δ l ormálí 04 0 etalo l EK 9, rovomìré drift δ ld trojúhelíkové 04 5 komarátor δ lc rovomìré rozdíl telot rovomìré mìrek δ l Τ rozdíl telot rovomìré 00 0 od 0 C δ l Τ Y 49, Y, Y, Y 3 jsou délky kalibrovaých mìrek, X, X, X 3 amìøeé hodoty odchylek mìrek od délky etalou, délka etalou, X k celková korekce vlivu edostatkù øeosu hodot z etalou a kalibrovaou mìrku a edostatkù øi udržováí a rerodukováí hodoty kalibrovaým mìøidlem Kalibrovaé mìrky mají omiálí délku L 00 mm Odhad délky etaloové mìrky je y 00 mm 4 µm s ejistotou 034 µm Rozdíly v délkách mìrek se mìøí komarátorem s kombiovaou stadardí ejistotou u(l C 008 µm Z ìti mìøeí každé mìrky byly, ostuem stejým jako v øíadì jedié mìrky, získáy odhady rozdílù délek l 666 µm, l, µm, l 3 85 µm Hodota x k velièiy X k je ovažováa za ulovou Odhady délek kalibrovaých mìrek z amìøeých a vyhodoceých údajù jsou y y E l 00 mm ( µm 00 mm 906 µm; y y E l 00 mm ( 4, µm 00 mm 97 µm; y 3 y E l 3 00 mm ( 4 85 µm 00 mm,055 µm Nejistota staoveá metodou A se urèí jako v øíkladu z miulých mìøeí a je 04 µm ro orováváí všech tøí mìrek Nejistoty staoveé metodou B jsou ro všechy tøi uvažovaé øíady stejé a urèí se ostuem stejým jako v øíkladu Tato ejistota je u B 056 µm Celková (kombiovaá stadardí ejistota otom bude u 06 µm, ro všechy tøi uvažovaé mìrky shodá, a výsledek kalibrace je y 00 mm 906 µm; u 06 µm y 00 mm 97 µm; u 06 µm y 3 00 mm,055 µm; u 3 06 µm Protože elze vylouèit soleèé oužití dvou ebo i všech tøí kalibrovaých mìrek, je tøeba v kalibraèím certifikátu uvést hodoty kovariací mezi zjištìými odhady jejich délek Kovariace (staoveé metodou tyu B jsou dùsledkem oužití téhož etalou i téhož komarátoru ro všechy tøi kalibrace imo to je možé urèit kovariace také metodou tyu A (okud existují Kovariace staoveé metodou B budou stejé, ebo jsou dùsledkem soleèého vlivu všech zdrojù ejistot tyu B ùsobících øi kalibraci Podle modelu (D bude Y X Y X Kovariace mezi odhady y a y vycházejí ze vztahu odle [5] cov ( y, y u u E k ub ìm ATOA (00 èíslo 4 45

6 Tab 3 Namìøeé hodoty (k øíkladu 3 i x i ( mg 4,80 3,94 4,07 3,30 4,77 3,06 3,95 3,95 4,64 4, Obdobì lze alézt i kovariace mezi y a y 3 a mezi y a y 3 Ke stejému výsledku lze dojít i ásledující úvahou Vzhledem k tomu, že cov(y, y u(y, y ru(y u(y, staèí ajít takový soleèý vliv, jehož øísìvek k ejistotì odhadù y, y je zám a u kterého lze øedokládat koeficiet korelace r Potom u ( y, y r u( y u( y u( y u( y Kokrétì v uvažovaém øíadì je takovým soleèým vlivem chyba délky etalou a korekce vlivu edostatkù øi øeosu X k, øièemž u(y u(y u B, tedy u B (y, y u B (y, y 3 u B (y, y 3 ru B u B u B µm Kovariace staoveé metodou tyu A odle TP [0] jsou ro data tohoto øíkladu zaedbatelé Pøi mìøeí s oužitím tøeba dvou kocových mìrek (aø rví a tøetí to zameá, že jestliže amìøeý rozdíl bude 3,48 µm a ejistota mìøeí rozdílu staoveá metodou A bude 058 µm, bude srávý výsledek l (00 mm 906 µm (00 mm,055 µm 3,480 µm 00 mm,59 µm a jeho celková stadardí ejistota C( A B u 46 l u ( l u ( y u ( y u ( y, y , ìm Existují také další možosti Neuvažují-li se kovariace, bude vyoèítaá kombiovaá stadardí ejistota výsledku u(l 04 µm, èímž dochází k eorávìému vylešeí výsledku mìøeí Pøitom, ro zjedodušeí, ebyly uvažováy ejistoty zùsobeé edokoalostí sojeí dvou mìrek, odchylkou odmíek mìøeí od odmíek kalibrace oužitých mìrek, øíadým rozdílem telot oužitých mìrek a mìrek a mìøeého øedmìtu Pokud by bylo v modelu (D vykoáo celkem šest mìøeí, a to vždy o dvou mìøeích øi orováváí každé kalibrovaé mìrky, øejde model (D a model (ro jedoduchost se øedokládá, že X k lze zaedbat Y X, Y X Y 3 X 3, Y X 4 (D Y X 5, Y 3 X 6 Pro odhady latí y 5(X X 4 y 5(X X 5 y 3 5(X 3 X 6 a ro ejistoty a kovariace latí (D3 u( y u( y3 5σ ub u ( y (D4, y u( y, y3 u( y, y3 ub u ( y (D5 øièemž σ je arametr øedstavující jedotkový roztyl mìøeí, což je vlastì druhá mocia jedotkové ejistoty staoveé metodou A Lze tedy zjedodušeì sát σ s (x u A (x Používá se zejméa tam, eí možé získat dostateèý oèet oakovaých mìøeí ro lohodoté statistické vyhodoceí Hodotu σ lze odhadout z omìru zámých ejistot (blíže viz aø [], [4] a další secializovaá literatura Pøi mìøeí soleèì dvìma kalibrovaými mìrkami bude jimi rerodukovaá délka y y y a její ejistota (øi zaedbáí ejistot zùsobeých edokoalostí sojeí mìrek u ( y u ( y u ( y u( y, y (D6 Pøi omiutí kovariací by latilo u y u ( y u ( y σ u B ( (D7 což je eøíusté odhodoceí ejistoty výsledku mìøeí Pøíklad 3 Kalibrace sady zhmotìlých mìr: kalibrace sady závaží jediým etaloem á se kalibrovat sada závaží o jmeovitých hmotostech *, 00 a 00 * g s oužitím etalou o jmeovité hmotosti 000 g, jehož systematická chyba E i stadardí ejistota této systematické chyby u E (ejistota etaloem rerodukovaé hodoty hmotosti jsou zámy Etaloem rerodukovaá hodota hmotosti x E 000 E Pro jedoduchost se øedokládá, že korekce a vztlak je ulová (všecha závaží i etalo jsou vyrobey ze stejého materiálu a eexistují ai žádé další vlivy ùsobící ejistoty mìøeí mimo etalo a zdroje ejistot tyu A Pro kalibraci se oužije aø toto kalibraèí schéma: * 00 X * 00 * X * 00 X * 00 * X * * X * * X * X 7 (D * X * X * X 0 00 * * X 00 * * X * X * X 4 (00 èíslo 4 Použitý model je øeurèe (oèet rovic je vìtší ež oèet ezámých velièi a øeší se metodou ejmeších ètvercù (blíže viz hlaví text èláku Odhady hodot závaží jsou m 500 5(x x x 3 x 4 x E m 00 (x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x E m 00* (x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x x E (D9 m 00 (x x 3 x 5 x 6 x 9 x 0 x x x 3 x 4 x E m 00* (x x 4 x 5 x 6 x 9 x 0 x x x 3 x 4 x E Odhady stadardích ejistot (kombiovaých vyoèteých hodot hmotosti závaží ( m A ( m ( m 5 0 u ( x u E B (D a diagoálách matic jsou ètverce ejistot urèeých hodoedotlivých závaží a mimo diagoály jsou kovariace mezi urèeými hodotami jedotlivých závaží Zde je tøeba uozorit, že kalibraèí rotokoly ve vìtšiì øíadù kovariace mezi odhady hodot závaží eobsahují Èíselý výoèet lze ukázat s údaji uvedeými v tab 3 se závažím o hmotosti kg, x E ( 000,8 0 3 g a u(x E u E 07 mg jako etaloem Odhady hodot kalibrovaých závaží a jejich stadardí (kombiovaé ejistoty jsou m g,753 mg; u mg m g 4,678 mg; u mg m 00* 00 g 748 mg; u 00* 08 mg m g 47 mg; u mg m 00* 00 g 394 mg; u 00* 03 mg u x 036 mg Kovariace odhadù kombiací dvojic kalibrovaých závaží jsou u (0 mg ; u 50 00* (0 mg u (05 6 mg ; u 50 00* (05 6 mg u 0 00* (04 mg ; u 0 00 (009 9 mg u 0 00* (009 9 mg ; u 00*, 00 (009 9 mg u 00*, 00* (009 9 mg ; u 0 00* (007 mg ATOA

7 Naøíklad k vážeí se oužijí dvì závaží m 500 a m 00* v modelu mìøeí m m 500 m 00* x S amìøeou hodotou rozdílu hmotostí x 5,80 mg se stadardí kombiovaou ejistotou u(x 056 mg bude výsledkem mìøeí hodota hmotosti mìøeého objektu m 499, g a ejistota urèeí této hodoty u (m u (m 500 u (m 00* u(m 50 m 00* u (x mg, a tedy u(m 074 mg Celkový výsledek mìøeí je m g, u(m g Pokud by ebyla uvažováa kovariace mezi závažími, byla by ejistota urèeí hmotosti u(m g Literatura: [] PALENÈÁR, R RIZ, J JANIGA, I HORNÍKOVÁ, A: Štatistické metódy v metrologických a skúšobých laboratóriách Bratislava, Grafické štúdio Juriga 00 [] CHDÝ, V PALENÈÁR, R KREKO- VÁ, E HALAJ, : eraie techických velièí Bratislava, Vydavate¾stvo ST 999 [3] PALENÈÁR, R KREKOVÁ, E VDO- LEÈEK, HALAJ, : Systém riadeia meraí Bratislava, Grafické štúdio Juriga 00 [4] WIER, G PALENÈÁR, R WIT- KOVSKÝ, W: Stochastické modely meraia Bratislava, Grafické štúdio Juriga 000 [5] KBÁÈEK, L PÁZAN, A: Štatistické metódy v meraí Bratislava, Veda 979 [6] KBÁÈEK, L KBÁÈKOVÁ, L: Statistika a metrologie Olomouc, iverzita Palackého v Olomouci 000 [7] Guide to the Exressio of certaity i easuremet (Smìrice ro vyjadøováí ejistoty øi mìøeí BIP, IEC, I CC, ISO, IPAC, IPAP, OIL 995 [8] EAL-R Exressio of the certaity i easuremet i Calibratio (etodika vyjadøováí ejistot øi kalibracích EA 4/0 (ùvodí zaèeí EAL-R, 997 (v SR SA- -04, 998, v ÈR EAL-R, 997 [9] Etalóy Vyjadrovaie chýb a eistôt TP 005 ÚN 99 [0] Staoveie eistôt ri meraiach TP 005, ÚN 993 [] ÏRIŠ, S IKLEŠOVÁ, K: etódy a eistoty ri meraí, kalibrácii a overovaí v termometrii Kalibrácia vo všeobecosti Neistoty v meraí, kalibrácii a skúšaí, èas Bratislava, VS ÚNS SR 000 [] PALENÈÁR, R VDOLEÈEK, HALAJ, : Nejistoty v mìøeí I: vyjadøováí ejistot Automa, 7, 0 è 7-8, s [3] PALENÈÁR, R VDOLEÈEK, HALAJ, : Nejistoty v mìøeí II: ejistoty øímých mìøeí Automa, 7, 0 è s 5-56 [4] PALENÈÁR, R VDOLEÈEK, HALAJ, : Nejistoty v mìøeí III: ejistoty eøímých mìøeí Automa, 7, 0 è, s 8-33 Ig ratišek Vdoleèek, CSc, SI VT, Bro (vdolecek@uaifmevutbrcz doc Ig Rudolf Paleèár, CSc, Sj ST, Bratislava (alecar@kamvmstubask Ig arti Halaj, PhD, Sj ST, Bratislava (halaj@kamvmstubask ATOA (00 èíslo 4 47