Lorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice

Transkript

1 Lorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice Zadání 1. Určete infinitezimální generátor Lorentzovy transformace X = ξ x x, t) + ξt x, t) 1). Řešením systému obyčejných diferenciálních rovnic x = γx vt), t = γt vx/c ), γ = 1 v /c. ) d x dε = ξx x, t), x0) = x, d t dε = ξt x, t), t0) = t vyjádřete transformaci ) pomocí parametru ε, pro který bude platit φε 1, ε ) = ε 1 + ε. Jaký je vztah nového parametru ε a rychlosti v? 3. Ověřte, že vlnová rovnice ψx, t) 1 ψx, t) c = 0 4) je invariantní vůči Lorentzově transformaci ). Uhodněte nebo spočtěte) další tři elementární symetrie této rovnice. 4. Které z nalezených symetrií jsou též variační symetrie? Lagrangián odpovídající rovnici 4) je [ ψx, L[ψ] = 1 ) t) 1 ] ψx, t) c. 5) Vyberte si jednu symetrii a nalezněte jí odpovídající zákon zachování. 5. Určete partikulární řešení rovnice 4), které je invariantním řešením při Lorentzově transformaci. 3) 1

2 Řešení 1. Infinitezimální Lorentzovu transformaci lze pomocí infinitezimálů ξ x x, t) a ξ t x, t) zapsat jako xx, t; v) = x + vξ x x, t) + Ov ), tx, t; v) = t + vξ t x, t) + Ov ). Infinitezimály určíme pomocí ξ x xx, t; v) x, t) = v = t, 6) v=0 ξ t x, t) = tx, t; v) v = x v=0 c 7) a hledaný generátor 1) má tedy tvar. Dosazením 6) a 7) do systému 3) obdržíme X = t x c. 8) d xε) = tε), dε x0) = x, d tε) = xε) dε c, t0) = t. Derivací první rovnice podle ε a dosazením z druhé za derivaci d t/dε dostaneme ODR 9) jejíž obecné řešení je kde λ 1, jsou řešení charakteristické rovnice Pro tε) dostaneme d xε) dε = xε) c, xε) = Ae λ 1ε + Be λ ε, 10) λ = 1 c, tedy λ 1 = 1 c, λ = 1 c. tε) = d xε) = A dε c eε/c + B c e ε/c. 11) Neznámé konstanty A, B určíme z počátečních podmínek systému 9), které vedou na soustavu jejíž řešení je xε = 0) = A + B = x, tε = 0) = 1 A B) = t, c A = x ct, B = x + ct. Dosadíme-li za A, B do 10) a 11) a využijeme-li definice hyperbolických funkcí, můžeme Lorentzovu transformaci vyjádřit jako xx, t; ε) = x cosh ε c ct sinh ε c, 1) c tx, t; ε) = x sinh ε c + ct cosh ε c, 13) tj. jde o rotaci v Minkowském prostoru se souřadnicemi x, ct). Vztah mezi novou parametrizací Lorentzovy transformace pomocí ε a parametrizací pomocí rychlosti v získáme nejsnáze porovnáním výrazů stojícících u x a t v rovnicích ) a 1) pro x, neboli cosh ε c = γ, c sinh ε c = γv.

3 Jejich vydělením dostaneme převodní vztah tanh ε c = v c. 14) Poznamenejme, že provedeme-li Lorentzovu transformaci ), resp. 1) 13), dvakrát po sobě, jednou s parametrem v 1, resp. ε 1, a podruhé s parametrem v, resp. ε, dostaneme opět Lorentzovu transformaci tentokrát s parametrem v 3 = v 1 + v, resp. ε 1 + v1v 3 = ε 1 + ε, c kde první vztah je známý vzoreček pro skládání rychlosti ve speciální teorii relativity. Můžeme ho odvodit buď přímo z Lorentzovy transformace ), nebo ze vztahu ε 3 = ε 1 + ε dosazením za ε z 14) a využitím vzorečku tanharctanh α + arctanh β) = α + β 1 + αβ. 3. V následujícím textu budeme parciální derivaci zapisovat zkráceným způsobem pomocí indexu, kterému předchází čárka, např. ψ,x = ψ, abychom derivace odlišili od jiných indexů. Totální derivaci budeme značit D x, kde x je nezávislá proměnná, podle které derivujeme, takže např. D x F x, t, ψx, t), ψ,x x, t), ψ,t x, t)) = F + ψ F,x ψ + ψ F F,xx + ψ,tx 15) ψ x ψ t a podobně pro funkce F závislé na vyšších derivacích. K ověření, že vlnová rovnice je invariantní vůči Lorentzově transformaci ψ,xx 1 c ψ,tt = 0 16) x = Xx, t, ψ; v) = γx vt), t = T x, t, ψ; v) = γt vx/c ), 17) kde γ = 1 v /c, můžeme použít tři postupy. ψ = Ψx, t, ψ; v) = ψ, a) Ukázat, že po transformaci určitého řešení ψx, t) dostaneme opět řešení dané rovnice. b) Převést vlnovou rovnici do proměnných x, t, ψ = ψ) a ukázat, že nová rovnice má stejný tvar jako původní. c) Rozšířit generátor 8) a použít infinitezimální kritérium invariance diferenciálních rovnic. Předvedeme zde podrobně postupy a) a c). Postup b) je jen přeformulováním postupu a). a) Nechť ψ = fx, t) je libovolné řešení rovnice 16). Při transformaci 17) přejde toto řešení v novou funkci, která je dána implicitně vztahem ψ = Ψx, t, fx, t), v) = ΨX x, t, ψ; v), T x, t, ψ; v), fx x, t, ψ; v), T x, t, ψ; v)); v) a konkrétně pro Lorentzovu transformaci má jednoduchý tvar ψ x, t) = fγ x + v t), γ t + v x/c )) = fx, t). Má-li být rovnice 16) invariantní vůči transformaci 17), musí být obdržená funkce ψ x, t) řešením rovnice Pro derivace postupně dostáváme ψ x = f ψ x = γ ψ t = f ψ t = γ ψ, x x 1 c ψ, t t = 0. x + f f + v c f x = γ + v ) f c, ) f c 4, v f + f ), ) f + v t + f t = γ v f + v f + f 3

4 a tedy ψ x 1 ψ c t = γ ) [1 v f v c + c v ) f c [ = γ 1 v f c 1 ] f c = 0. v + c 4 1 c ) ] f = Poslední rovnost plyne z předpokladu, že fx, t) je řešením vlnové rovnice 16). Ukázali jsme, že funkce ψ x, t) získaná transformací funkce fx, t) je též řešením dané vlnové rovnice, a proto je tato rovnice invariantní vůči Lorentzově transformaci. b) Abychom zapsali rovnici 16) v nových souřadnicích x, t, ψ určených vztahy 17), potřebujeme vyjádřit všechny derivace ψ podle x a t pomocí derivací ψ podle x a t. Toho nejsnáze dosáhneme tak, že vyjdeme z inverzní transformace a zapíšeme totální diferenciál funkce ψ též pomocí 0) jako x = X x, t, ψ; v) = γ x + v t), 18) t = T x, t, ψ; v) = γ t + v x/c ), 19) ψ = Ψ x, t, ψ; v) = ψ 0) dψ = ψ ψ dx + dt 1) dψ = D x Ψd x + D t Ψd t, ) kde jsme použili totální derivace namísto parciálních derivací, neboť funkce Ψ v rovnici 0) je obecně funkcí x, t a ψ x, t). Diferenciály dx a dt můžeme vyjádřit obdobně z rovnic 18) a 19) dx = D x Xd x + D t Xd t, 3) dt = D x T d x + D t T d t 4) a po dosazení do 1) a porovnání výrazů stojících u d x a d t s těmi v rovnici ) obdržíme soustavu rovnic pro derivace ψ podle x a t Zavedeme-li jacobián transformace 18) 19) D x X D x T J = D t X D t T, D x X ψ ψ + D xt = D xψ, 5) D t X ψ ψ + D t T = D t Ψ. 6) můžeme řešení soustavy 5) 6) určit, známe-li inverzní matici J 1. Konkrétně pro Lorentzovu transformaci dostáváme γ vγ/c γ vγ/c J =, J 1 =, vγ γ vγ γ a tedy ψ = J 1 D x Ψ γ ψ ψ D t Ψ = x γ v c ψ t vγ ψ x + γ ψ t Podobným způsobem lze určit druhé derivace ψ,xx a ψ,xt z transformace ). ψ,x = Ψ x x, t, ψ, ψ, x, ψ, t ) = γ ψ, x γ v c ψ, t 4

5 a ψ,tx a ψ,tt z transformace ψ,t = Ψ t x, t, ψ, ψ, x, ψ, t ) = vγ ψ, x + γ ψ, t. Opět porovnáním patřičných diferenciálů a vyřešením rovnic podobných rovnicím 5) 6) určíme převodní vztahy [ ψ ψ,xx = = J 1 D x Ψ γ x ψ, x x v ψ c + v ψ ], x t c 4, t t ψ ψ,xt D t Ψ = x γ [ v ψ, x x v c ψ, x t v ψ ], c, t t ψ ψ,tx = = J 1 D x Ψ γ [ v t ψ, x x v c ψ, x t v ψ ] c, t t ψ ψ,tt D t Ψ = t γ [v ψ, x x v ψ + ψ ],, x t, t t přičemž ψ,xt a ψ,tx se pochopitelně transformují stejně. Nyní už jen dosadíme do vlnové rovnice 16) za ψ,xx a ψ,tt a dostaneme 0 = ψ,xx 1 [ c ψ,tt = γ 1 v v ψ c, x x + c 4 1 ) ] ψ c, t t = ψ, x x 1 c ψ., t t Při Lorentzově transformaci přechází vlnová rovnice 16) ve vlnovou rovnici stejného tvaru a je tedy invariantní vůči této transformaci. c) Protože máme rovnici druhého řádu, budeme potřebovat druhé rozšíření generátoru 8). Druhé rozšíření obecného generátoru symetrie rovnice 16) má tvar X ) = ξ x + ξt + η ψ + η1) x + η 1) t + η ) xx + η ) xt + η ) tt, ψ,x ψ,t ψ,xx ψ,xt ψ,tt kde η x 1) a η 1) t určují rozšíření dané transformace do prostoru prvních derivací, infinitezimálně ψ,x = ψ,x + εη 1) x x, t, ψ, ψ,x, ψ,t ) + Oε ), ψ,t = ψ,t + εη 1) t x, t, ψ, ψ,x, ψ,t ) + Oε ). Podobně η xx ), η ) xt, η ) tt určují rozšíření do prostoru druhých derivací. Infinitezimální podmínka invariance pro vlnovou rovnici 16) bude X ) ψ,xx 1 c ψ,tt) = η ) xx 1 c η) tt = 0, 7) která musí být splněna pro každé řešení ψx, t) vlnové rovnice 16). Potřebujeme tedy určit η ) xx a η ) tt. K tomu využijeme obecné vztahy platné pro infinitezimální generátory bodových symetrií skalárních parciálních diferenciálních rovnic η 1) x i = D xi η k η x ) ix j = D xj η x 1) i k D xi ξ x k )ψ,xk, D xj ξ x k )ψ,xix k. V našem případě máme x 1 = x, x = t, ξ x = t, ξ t = x/c, η = 0 a postupně dostaneme η 1) x = D x ξ t )ψ,t = 1 c ψ,t, η ) xx = D x η 1) x D x ξ t )ψ,xt = c ψ,xt, η 1) t = D t ξ x )ψ,x = ψ,x, η ) tt = D t η 1) t D t ξ x )ψ,tx = ψ,xt, Dosazením za η xx ) a η ) tt do podmínky 7) nakonec obdržíme X ) ψ,xx 1 c ψ,tt) = c ψ,xt c ψ,xt = 0 a tedy vlnová rovnice 16) je invariantní vůči Lorentzově transformaci. 5

6 K tomu, abychom určili některé další bodové symetrie vlnové rovnice 16), není zapotřebí použít podmínku invariance 7) s obecnými předpisy pro ξ x, ξ t a η a řešit systém parciálních diferenciálních rovnic i když v tomto případě je to také možné). Stačí si uvědomit, že vlnová rovnice 16) nezávisí explicitně jak na proměnných x, t, tak na závislé proměnné ψ, a je tedy invariantní vůči translaci v těchto proměnných. Navíc z toho, že je to lineární homogenní rovnice, která závisí pouze na druhých derivacích, plyne invariance vůči škálování závislé proměnné ψ = αψ a dále vůči současnému škálování nezávislých proměnných x = βx, t = βt. Infinitezimální generátory odpovídající těmto bodovým transformacím jsou X 1 =, 8) X =, 9) X 3 = ψ, 30) X 4 = ψ ψ, 31) X 5 = x + t. 3) 4. Aby bodová symetrie vlnové rovnice 16) byla též variační symetrií, musí být vůči ní invariantní odpovídající variační funkcionál. Infinitezimální podmínkou invariance variačního funkcionálu vůči transformaci generované infinitezimálním generátorem je rovnice kde L je příslušný lagrangián, v našem případě X = ξ x x, t, ψ) + ξt x, t, ψ) + ηx, t, ψ) ψ 33) X 1) L + LD x ξ x + D t ξ t ) = 0, 34) L[ψ] = 1 ψ,x 1 ) c ψ,t, 35) a X 1) je první rozšíření generátoru 33). Aniž bychom zacházeli do podrobností postup výpočtu X 1) je zcela obdobný postupu uvedeném v bodě 4c), uvedeme, že podmínka 34) je splněna pro generátory 8), 8), 9), 30) a 3). Bodová symetrie generovaná operátorem 31) není variační symetrií, neboť a tedy X 1) 4 = ψ ψ + ψ,x + ψ,t ψ,x ψ,t X 1) 4 L + LD xξ x + D t ξ t ) = L 0. Určíme nyní zákony zachování odpovídající translacím v nezávislých proměnných. Obecný tvar zákona zachování pro vlnovou rovnici 16) je dán vztahem DivP = D x P x + D t P t = 0, 36) kde veličiny P x a P t jsou nějaké funkce proměnných x, t, ψ a derivací ψ vzhledem k x a t. Z teorému E. Noetherové plyne, že pokud je infinitezimální operátor 33) generátorem variační symetrie lagrangiánu 35), pak veličiny P x = ξ x ψ,x + ξ t ψ,t η) L ψ,x Lξ x, 37) P t = ξ x ψ,x + ξ t ψ,t η) L ψ,t Lξ t, 38) splňují zákon zachování 36). Pro generátory 8), resp. 9), pro které ξ x = 1, ξ t = 0, η = 0, resp. ξ x = 0, ξ t = 1, η = 0, dostaneme P1 x L = ψ,x Lξ x = 1 ψ,x + 1 ) ψ,x c ψ,t, 39) P1 t L = ψ,x = 1 ψ,t c ψ,xψ,t, 40) 6

7 resp. P x L = ψ,t = ψ,x ψ,t, 41) ψ,x P t L = ψ,t Lξ t = 1 ψ,x + 1 ) ψ,t c ψ,t. 4) Přímým výpočtem se můžeme snadno přesvědčit, že tyto veličiny vskutku splňují zákon zachování 36). Poznamenejme ještě, že uspořádáním těchto veličin do matice P x Tµ ν 1 P1 t 1 ψ,x + 1 c ψ,t) 1 = = c ψ,x ψ,t P x P t ψ,x ψ,t 1 ψ,x + 1 c ψ,t) obdržíme relativistický tenzor energie a hybnosti pro skalární pole ψx, t), pomocí něhož lze psát zákony zachování jako T ν µ,ν = 0. Obdobným způsobem bychom mohli najít další zákony zachování pro jiné variační symetrie. 5. K tomu, abychom nalezli partikulární řešení ψ = fx, t) vlnové rovnice ψ,xx 1 c ψ,tt = 0 43) invariantní při Lorentzově transformaci ξ x = t, ξ t = x/c, η = 0), tj. splňující dodatečnou podmínku Xψ fx, t)) ψ=fx,t) = η ξ x f f ξt = t f ψ=fx,t) + x f c = 0, 44) můžeme použít dva postupy. a) Metoda invariantního tvaru: nejprve nalezneme obecné řešení podmínky 44) a poté určíme, kdy splňuje též vlnovou rovnici 43). b) Metoda přímé substituce: nejprve snížíme počet nezávislých proměnných ve vlnové rovnici 43) s využitím podmínky 44), čímž získáme obyčejnou diferenciální rovnici, jejíž obecné řešení bude záviset na libovolných funkcích vyloučené proměnné, jejichž tvar určíme dosazením 43) nebo 44). Z pedagogických důvodů předvedeme podrobně oba postupy, které by měly vést ke stejnému výsledku. a) Metoda invariantního tvaru Podmínka 44) je lineární parciální diferenciální rovnice a její obecné řešení můžeme určit např. pomocí metody charakteristik. Rovnice charakteristik která je obyčejnou diferenciální rovnicí, má řešení a tedy obecné řešení rovnice 44) má tvar dx t = c dt x, x c t = konst = z, fx, t) = F z) = F x c t ), kde F je libovolná funkce. Dosazením do vlnové rovnice 43) dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici pro F z) df dz + z d F dz = 0, jejíž obecné řešení, které určíme např. tak, že položíme F z) = Gz) a vyřešíme nejprve rovnici prvního řádu pro Gz), má tvar F z) = A ln z + B, kde A a B jsou libovolné konstanty. Invariantní řešení vlnové rovnice 43) je tedy dáno výrazem ψx, t) = A lnx c t ) + B. 45) 7

8 b) Metoda přímé substituce Přepišme podmínku 44) do tvaru a derivujme ještě jednou podle x f = x f tc 46) f = 1 f tc x f 1 tc = tc + x f t 3 c 4 + x f t c 4. 47) Poslední rovnost plyne z opětovného dosazení za f/ z rovnice 46). Dosadíme-li nyní do vlnové rovnice 43) z rovnice 47), dostaneme f 1 f x c = t c 4 1 ) f 1 c tc x f t 3 c 4 = 0. V této rovnici hraje x roli parametru a můžeme ji tedy řešit jako obyčejnou diferenciální rovnici pro funkci ft; x), kde středník vyjadřuje parametrickou závislost na x. Její řešení nalezneme opět tak, že nejprve položíme ft; x)/ = gt; x). Rovnici pro gt; x) lze přímo integrovat a dostaneme ln gt; x) = x + t c dt x t c t = ln t x t c + cx), kde integrační konstanta je libovolnou funkcí x a položíme ji rovnu cx) = ln Cx). Pro funkci gt; x) pak máme obecný předpis gt; x) = Cx)t x t c. Funkci ft; x) určíme další integrací podle t ft; x) = gt; x)dt = Cx) c lnx t c ) + Bx) = Ax) lnx t c ) + Bx), přičemž jsme v poslední úpravě zahrnuli konstantní faktor 1/c to nové neznámé funkce Ax). Aby hledaná funkce fx, t) byla invariantním řešením vlnové rovnice 43) musíme ještě určit funkce Ax) a Bx) tak, aby byla splněna podmínka 44). Dosazením obdržíme t f + x f c = tdax) dx lnx t c ) + t dbx) = 0. dx Tato rovnice musí být splněna pro libovolné t, z čehož dostáváme podmínky dax) dx = 0, dbx) dx a tedy Ax) a Bx) musí být konstanty. Opět jsme dospěli k invariantnímu řešení danému rovnicí 45). = 0, 8