I. kolo kategorie Z9

Transkript

1 68. očník Matematické olympiády I. kolo kategoie Z9 Z9 I 1 Najděte všechna kladná celá čísla x a y, po kteá platí 1 x + 1 y = 1 4. Nápověda. Mohou být obě neznámé současně větší než např. 14? (A. Bohiniková) Možné řešení. Po stejné neznámé je řešením zřejmě x = y = 8. Různé neznámé nemohou být obě současně menší, esp. větší než 8 (pak by totiž levá stana ovnice byla větší, esp. menší než 1 4 ). Jedna neznámá tedy musí být menší než 8 a duhá větší než 8. Vzhledem k symetičnosti ovnice stačí dále uvažovat případ, kdy x < y. Za tohoto předpokladu je x < 8 a y > 8, takže x může nabývat pouze hodnot od 1 do 7. Pokud z ovnice vyjádříme y obecně pomocí x, dostaneme y = 4x x 4. (1) Odtud je patné, že y je kladné, pávě když x > 4. Tedy x může nabývat pouze hodnot od 5 do 7. Po tyto tři možnosti stačí pověřit, zda y vychází celé: po x = 5 vychází y = 20, po x = 6 vychází y = 12, po x = 7 vychází y = Celkem tak vidíme, že všechny dvojice (x, y), kteé jsou řešením úlohy, jsou (5, 20), (6, 12), (8, 8), (12, 6) a (20, 5). Jiné řešení. Pokud z ovnice vyjádříme y obecně pomocí x, dostaneme (1). Tento výaz můžeme dále upavit na celou část plus zbytek : y = 4x x 4 = 4(x 4) + 16 x 4 = x 4. (2) Odtud je patné, že y je kladné celé číslo, pávě když x 4 je kladným celým dělitelem čísla 16, a těch je pávě pět: po x 4 = 1 vychází x = 5 a y = 20, po x 4 = 2 vychází x = 6 a y = 12, po x 4 = 4 vychází x = 8 a y = 8, po x 4 = 8 vychází x = 12 a y = 6, po x 4 = 16 vychází x = 20 a y = 5. Tento výčet zahnuje všechna řešení úlohy. 22

2 Poznámka. Při úpavě zadané ovnice do tvau (1) lze naazit na ekvivalentní ovnici xy 4x 4y = 0. (3) Levá stana souhlasí se třemi sčítanci v oznásobení výazu (x 4)(y 4), chybí pouze 16. Přičtením 16 k oběma stanám ovnice (3) dostáváme (x 4)(y 4) = 16. Všechna řešení tak lze najít pomocí všech možných ozkladů čísla 16 na součin dvou kladných celých čísel. Tyto nápady jsou jen bezzlomkovou intepetací úpavy (2) a následného postupu. Z9 I 2 V ovnostanném tojúhelníku ABC je K středem stany AB, bod L leží ve třetině stany BC blíže bodu C a bod M leží ve třetině stany AC blíže bodu A. Učete, jakou část obsahu tojúhelníku ABC zaujímá tojúhelník KLM. (L. Růžičková) Nápověda. Zadané body vymezují další tojúhelníky. Zamyslete se nad obsahy někteých z nich. Možné řešení. Obsah tojúhelníku KLM vyjádříme jako ozdíl obsahu tojúhelníku ABC a obsahů tojúhelníků AKM, KBL a MLC. C L M A K B Pomě vzdáleností bodů M a C od bodu A je stejný jako pomě vzdáleností těchto bodů od přímky AB. Výška tojúhelníku AKM jdoucí vcholem M je tedy třetinová vzhledem k výšce tojúhelníku ABC jdoucí vcholem C. Současně stana AK pvního tojúhelníku potilehlá vcholu M je poloviční vzhledem ke staně AB duhého tojúhelníku potilehlé vcholu C. Tojúhelník AKM poto zaujímá = 1 6 obsahu tojúhelníku ABC. Obdobně, výška tojúhelníku KBL jdoucí vcholem L je dvoutřetinová vzhledem k výšce tojúhelníku ABC jdoucí vcholem C a příslušná stana KB pvního tojúhelníku je poloviční vzhledem ke staně AB duhého tojúhelníku. Tojúhelník KBL poto zaujímá = 1 3 obsahu tojúhelníku ABC. Do třetice, výška tojúhelníku CM L jdoucí vcholem L je třetinová vzhledem k výšce tojúhelníku ABC jdoucí vcholem B a příslušná stana CM pvního tojúhelníku je dvoutřetinová vzhledem ke staně AC duhého tojúhelníku. Tojúhelník KBL poto zaujímá = 2 9 obsahu tojúhelníku ABC. 23

3 Dohomady, tojúhelník KLM zaujímá obsahu tojúhelníku ABC = 5 18 Poznámka. Všimněte si, že uvedené řešení je platné po obecný tojúhelník ABC. S předpokladem ovnostannosti jsou stany a výšky jednotlivých tojúhelníků naznačeny na následujícím obázku (a značí stanu a v výšku tojúhelníku ABC). C v/3 L M v/3 2v/3 A a/2 K a/2 B S tímto značením je S ABC = 1 2 av a S KLM = 5 36 av, tedy S KLM = 5 18 S ABC. Z9 I 3 V našem městě jsou tři kina, kteým se říká podle světových stan. O jejich otevíacích dobách je známo, že: 1. každý den má otevřeno alespoň jedno kino, 2. pokud má otevřeno jižní kino, potom nemá otevřeno sevení kino, 3. nikdy nemá otevřeno současně sevení a východní kino, 4. pokud má otevřeno východní kino, potom má také otevřeno jižní nebo sevení kino. Vydali jsme se do jižního kina a zjistili jsme, že je zavřené. Kteé ze zbývajících kin má jistě otevřeno? (M. Dillingeová) Nápověda. Uvažte všechny možnosti otevřenosti, esp. zavřenosti kin bez omezujících podmínek. Možné řešení. Zajímáme se o situaci, kdy má jižní kino zavřeno. Bez dalších infomací o otevíacích dobách by mohly nastat následující čtyři případy, kteé postupně poovnáme s podmínkami ze zadání: a) Pokud by sevení i východní kino mělo otevřeno, potom bychom byli v ozpou s třetí podmínkou. Tato situace nenastane. b) Pokud by sevení kino mělo otevřeno a východní zavřeno, potom nejsme v ozpou s žádnou z podmínek. Tato situace je možná. 24

4 c) Pokud by sevení kino mělo zavřeno a východní otevřeno, potom bychom byli v ozpou se čtvtou podmínkou. Tato situace nenastane. d) Pokud by sevení i východní kino mělo zavřeno, potom bychom byli v ozpou s pvní podmínkou. Tato situace nenastane. Jediná situace vyhovující všem podmínkám ze zadání je b): když má jižní kino zavřeno, potom má sevení kino jistě otevřeno. Jiná nápověda. Jaké možnosti vyhovují třetí podmínce? Jiné řešení. Vzhledem k třetí podmínce můžeme čtvtou podmínku nahadit následující: 4. pokud má otevřeno východní kino, potom má také otevřeno jižní kino. Podle třetí podmínky můžeme ozlišit tři případy: a) Sevení kino má otevřeno a východní zavřeno. Potom podle duhé podmínky má jižní kino zavřeno. b) Sevení kino má zavřeno a východní otevřeno. Potom podle čtvté podmínky (esp. jeho pávě uvedené náhažky) má jižní kino otevřeno. c) Sevení i východní kino má zavřeno. Potom podle pvní podmínky má jižní kino otevřeno. V žádném z těchto případů nejsme v ozpou s podmínkami, kteé jsme při vyvozování nepoužili. Všechny možné situace otevřenosti (1), esp. zavřenosti (0) kin uvádíme po přehlednost v tabulce: S V J Pokud má jižní kino zavřeno, potom má sevení kino jistě otevřeno (a východní jistě zavřeno). Poznámka. Diskuse v řešení úlohy může být vedena ůznými způsoby. Po tyto účely znázoníme možnosti, kteé připouští podmínky ze zadání samostatně pázdná políčka mohou obsahovat jak 1, tak 0: Pvní podmínka připouští možnosti S 1 Duhá podmínka připouští možnosti V 1 J 1 S 0 V J

5 Třetí podmínka připouští možnosti Čtvtá podmínka připouští možnosti S V J S 1 1 V J 1 1 Výbě možností, kteé vyhovují všem čtyřem podmínkám současně (tedy půnik těchto čtyř tabulek), vede k tabulce na konci předchozího řešení. Z9 I 4 Hotelié chtěl vybavit jídelnu novými židlemi. V katalogu si vybal typ židle. Až při zadávání objednávky se od výobce dozvěděl, že v ámci slevové akce nabízejí každou čtvtou židli za poloviční cenu a že tedy opoti plánu může ušetřit za sedm a půl židle. Hotelié si spočítal, že za původně plánovanou částku může pořídit o devět židlí více, než zamýšlel. Kolik židlí chtěl hotelié původně koupit? (L. Šimůnek) Nápověda. Nejpve řešte úlohu bez infomace, že za původně plánovanou částku lze pořídit o devět židlí více. Možné řešení. V akci byla každá čtvtá židle za poloviční cenu. Mohl-li tak hotelié ušetřit za 7,5 židle, objednával 15 čtveřic židlí a nejvýše tři další židle, tj. objednával nejméně 60 a nejvýše 63 židlí. Opoti původnímu plánu si v akci mohl dopřát o 9 židlí více, tj. nejméně 69 a nejvýše 72 židlí. V pvním případě je 69 = , tedy úspoa by představovala jenom = = 8,5 židlí, což neodpovídá předpokladu. Stejný závě platí také po další dvě možnosti 70 = a 71 = Jedině po 72 = 18 4 odpovídá úspoa pávě 9 židlím. Ze čtyř zvažovaných možností je pouze poslední řešením úlohy. Hotelié chtěl původně koupit 63 židlí. Jiné řešení. Stejně jako u předchozího řešení učíme, že úspoa za 7,5 židle odpovídá objednávce nejméně 60 a nejvýše 63 židlí (7,5 = a 15 4 = 60). Podobně učíme, že úspoa za 9 židlí odpovídá objednávce nejméně 72 a nejvýše 75 židlí (9 = a 18 4 = 72). Tento počet má být záoveň o 9 větší než počet židlí v předchozí objednávce, tedy úspoa za 9 židlí má odpovídat objednávce nejméně 69 a nejvýše 72 židlí. Tyto dvě podmínky jsou splněny pouze v jediném případě, kteý odpovídá počtu 72 v duhé, esp. 63 v pvní objednávce. Hotelié chtěl původně koupit 63 židlí. 26

6 Z9 I 5 Adam a Eva vytvářeli dekoace z navzájem shodných bílých kuhů. Adam použil čtyři kuhy, kteé sestavil tak, že se každý dotýkal dvou jiných kuhů. Mezi ně pak vložil jiný kuh, kteý se dotýkal všech čtyř bílých kuhů, a ten vybavil čeveně. Eva použila tři kuhy, kteé sestavila tak, že se dotýkaly navzájem. Mezi ně pak vložila jiný kuh, kteý se dotýkal všech tří bílých kuhů, a ten vybavila zeleně. Eva si všimla, že její zelený kuh a Adamův čevený kuh jsou ůzně velké, a začali společně zjišťovat, jak se liší. Vyjádřete poloměy čeveného a zeleného kuhu obecně pomocí poloměu bílých kuhů. (M. Kejčová a M. Dillingeová) Nápověda. V jakém vztahu jsou středy dvou dotýkajících se kužnic a příslušný dotykový bod? Možné řešení. V následujícím budeme opakovaně používat poznatek, že společný bod dvou dotýkajících se kužnic leží na spojnici jejich středů. Polomě bílých kuhů budeme značit. Středy Adamových bílých kuhů tvoří vcholy čtvece a střed čeveného kuhu leží ve středu tohoto čtvece, tedy v půsečíku jeho úhlopříček. Půmě čeveného kuhu je oven ozdílu úhlopříčky zmiňovaného čtvece a dvou poloměů. Pomocný čtveec má stanu 2, jeho úhlopříčka má podle Pythagoovy věty velikost =

7 Polomě čeveného kuhu je tedy oven 1 2 (2 2 2) = ( 2 1). Středy Eviných bílých kuhů tvoří vcholy ovnostanného tojúhelníku a střed zeleného kuhu leží ve středu tohoto tojúhelníku, tedy v půsečíku jeho výšek, esp. těžnic. Polomě zeleného kuhu je oven ozdílu vzdálenosti středu, tj. těžiště zmiňovaného tojúhelníku, od jeho vcholu a poloměu. Pomocný ovnostanný tojúhelník má stanu 2 a každá výška jej dělí na pavoúhlé tojúhelníky s přeponou 2 a odvěsnou. Duhá odvěsna, tedy ona výška, má podle Pythagoovy věty velikost 42 2 = 3. Vzdálenost těžiště ovnostanného tojúhelníku od vcholu je ovna dvěma třetinám délky těžnice, tj. pávě vyjádřené výšky. Polomě zeleného kuhu je tedy oven =. 3 3 Z9 I 6 Přiozené číslo N nazveme bombastické, pokud neobsahuje ve svém zápise žádnou nulu a pokud žádné menší přiozené číslo nemá stejný součin číslic jako číslo N. Kael se nejpve zajímal o bombastická pvočísla a tvdil, že jich není mnoho. Vypište všechna dvojmístná bombastická pvočísla. Potom Kael zvolil jedno bombastické číslo a pozadil nám, že obsahuje číslici 3 a že jen jedna z jeho dalších číslic je sudá. O kteou sudou číslici mohlo jít? (M. Rolínek) Nápověda (ke duhé části). Najdete nebombastická čísla obsahující číslici 3? Možné řešení. Všechna dvojmístná pvočísla jsou vypsána v pvním řádku následující tabulky. Ve duhém řádku jsou uvedeny cifené součiny jednotlivých čísel. Ve třetím řádku 28

8 jsou nejmenší přiozená čísla s odpovídajícími cifenými součiny (tato čísla lze učit poovnáním ozkladů se všemi děliteli menšími než 10). Dvojmístných bombastických pvočísel je sedm a v tabulce jsou vyznačena tlustě V předchozím výčtu si můžeme všimnout několika věcí souvisejících s duhou částí úlohy. Číslo 23 není bombastické, potože 6 je menší číslo se stejným cifeným součinem. Obecněji, žádné číslo obsahující číslice 2 a 3 nemůže být bombastické, neboť vynecháním těchto dvou číslic a doplněním 6 na libovolné místo dostaneme menší číslo se stejným cifeným součinem (např. po 2737 je jedno z takových čísel 677). Obdobně, číslo 34 není bombastické, potože 26 je menší číslo se stejným cifeným součinem. Tedy ani žádné číslo obsahující číslice 3 a 4 nemůže být bombastické (viz např. čísla 384 a 286). Do třetice, číslo 36 není bombastické, potože 29 je menší číslo se stejným cifeným součinem. Tedy ani žádné číslo obsahující číslice 3 a 6 nemůže být bombastické (viz např. čísla 2346 a 2294). Zato vidíme, že číslo 38 bombastické je. Jediná sudá číslice, kteá může být s 3 v Kalově bombastickém čísle je tedy 8. Poznámka. V tabulce v pvní části úlohy nebylo nutné uvažovat čísla obsahující číslici 1 nebo čísla, kteá mají na místě desítek větší číslici než na místě jednotek taková čísla nikdy nejsou bombastická. S tímto postřehem stačilo testovat pouze osm z uvedených čísel. 29