Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
|
|
- Danuše Blažková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
2 Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová logika Aristotelovský čtverec 4. Definice a terminologie 5. Polysémie, synonymie, homonymie, antonymie 6. Analýza chybných argumentací 7. Interpretace 8. Analýza konkrétního dialogu
3 Základní studijní literatura: Online materiály plus jakákoli příručka základů logiky, např. BEK, Roman. Logika. Praha: ČVUT, 1996, GAHÉR, František. Logika pre každého. Bratislava: Iris, 1994, PEREGRIN, Jaroslav. Logika a logiky. Praha: Academia, 2004 ŠTĚPÁN, Jan. Logika a logické systémy. Olomouc: Votobia, ŠTĚPÁN, Jan. Klasická logika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky: Požadavky na kontrolní práce - absolvovat průběžná seminární cvičení, ze kterých každé bude ověřovat jednak porozumění studenta přednášené látce a jednak jeho schopnost použít nabyté poznatky v praxi. Cvičení budou mít charakter elektronických testů s výběrem z několika odpovědí nebo doplnění krátké odpovědi.
4 Výroková logika Výroková logika je založena na zohlednění předpokladu, že složený výrok je pravdivý či nepravdivý v závislosti na tom, jaká je "povaha" spojky, která spojuje dané výroky. Výroková logika analyzuje věty až do úrovně elementárních výroků. Strukturu těchto elementárních výroků již dále nezkoumá. Výrokem se již od staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu. Pravdivostní hodnoty jsou dvě: pravda (true, 1) nepravda (false, 0) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky:
5 Výroková logika Výrokovou logiku a pravdivostní hodnoty lze aplikovat na některé věty přirozeného jazyka. Je třeba vynechat: věty, které nemají žádnou pravdivostní hodnotu (Kolik je hodin? Běž pro noviny!) věty, kde nemůžeme jednoznačně přiřadit pravdivostní hodnotu (Já jsem češka může být pravdivá, i nepravdivá, i nelze rozhodnout bez kontextu) věty, jejichž pravdivostní hodnota je nerozhodnutelná (Současný český prezident je Václav Havel záleží na čase, kdy je věta vyřčena) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky:
6 Výroková logika Logika Výroky dělíme na jednoduché a složené. Jednoduchý výrok je takové tvrzení, jehož žádná vlastní část již není výrokem. Složený výrok pak má vlastní části - výroky. Výroková logika zkoumá strukturu těchto složených výroků v tom smyslu, že zkoumá způsob skládání jednoduchých výroků do složených pomocí logických spojek. Je to tedy teorie logických spojek. Přitom ovšem zachovává žádoucí princip skladebnosti (kompozicionality), podle něhož je pravdivostní hodnota složeného výroku jednoznačně určena jen pravdivostními hodnotami jeho složek a povahou spojení těchto složek (tj. logickou povahou spojek). upraveno podle:e-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
7 Výroková logika - Příklady složených výroků: V Praze prší a v Brně je hezky. el. výrok spojka el. výrok Není pravda, že v Praze prší. spojka el. výrok upraveno podle:e-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
8 Výroková logika - Příklady složených výroků: Jednoduché výroky jsou složeny ve výrok složený pomocí logických spojek, tzv. větných operátorů. Jednoduchý výrok nese právě jednu informaci informace: o čem věta mluví (subjekt věty) a co se ve větě o subjektu vypovídá (predikát věty) Složený výrok = (jednoduchý výrok) (větný operátor) (jednoduchý výrok) Složený výrok = (výrok) (větný operátor) (výrok) Například na otázku, kde byl v úterý Petr, můžeme slyšet odpověď: (Petr se učil matematiku) nebo (Petr šel do kina). (Petr se učil matematiku a fyziku) nebo (Petr šel do kina). E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
9 Výroková logika - Příklady složených výroků: Známe-li pravdivostní hodnoty jednoduchých výroků Petr se učil matematiku, Petr šel do kina, můžeme určit pravdivostní hodnotu složeného výroku s použitím větného operátoru (logické spojky) nebo. Ve výrokové logice nás nezajímá pravdivostní hodnota konkrétního jednoduchého výroku, ale výroková forma. Je to výraz, který sám o sobě nemá pravdivostní hodnotu, protože místo konkrétních jednoduchých výroků obsahuje proměnné. výrokové formy p nebo q zapisujeme (p v q) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky:
10 Výroková logika - Příklady složených výroků: - kde p,q jsou proměnné, za které je možné dosazovat konkrétní výroky a přiřazovat složenému výroku pravdivostní hodnotu na základě znalosti pravdivostních hodnot dosazených výroků a znalosti použitého větného operátoru. V podstatě jsme vytvořili funkci, která pravdivostním hodnotám jednoduchých výroků jednoznačně přiřazuje pravdivostní hodnotu celku (složeného výroku). F(p,q) = { pravda, nepravda } Jazyk výrokové logiky musí obsahovat symboly zastupující jednotlivé elementární výroky (tzv. výrokové symboly (proměnné), které budou nabývat hodnot pravda, nepravda), symboly pro logické spojky a případné pomocné symboly. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky:
11 Výroková logika - Příklady složených výroků: Uvažujme pro příklad dva jednouché výroky p a q. Každý z nich je pravdivý či nepravdivý. Vzájemné kombinace jejich pravdivostí a nepravdivostí jsou celkem čtyři. Např. česká (gramatická) spojka "a" (popř. "a zároveň") je ve výrokové logice chápána jako tzv. konjunkce (obvykle značena " "). Spojení výroku p s výrokem q pomocí konjunkce, tedy složený výrok "p a zároveň q", je pravdivé pouze pro tu z kombinací pravdivostí pro p a q, kdy jsou oba tyto výroky pravdivé; ve všech třech zbylých případech je výrok "p a zároveň q" nepravdivý. Konjunkce apod. jsou zvány výrokové spojky. Uvědomme si tedy, že tu jsou (české) gramatické spojky jako např. "a zároveň", "jestliže, pak", které se v logice snažíme vystihnout výrokovými (výrokovělogickými) spojkami. upraveno podle:úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky:
12 Výroková logika Logika 3 principy, které charakterizují systém klasické výrokové logiky: I. Princip dvou hodnot: Existují pouze dvě pravdivostní hodnoty {pravda, nepravda} II. III. Princip jednoznačnosti: Každý výrok má právě jednu pravdivostní hodnotu. Princip extenzionality: Výroky jsou vzájemně zaměnitelné, jestliže mají stejnou pravdivostní hodnotu. Někdy se místo Principu dvou hodnot a Principu jednoznačnosti používá princip vyloučeného sporu ( není možné, aby jeden a tentýž výrok byl současně pravdivý a nepravdivý), respektive zákon o vyloučeném třetím (výrok je buď pravdivý, nebo je nepravdivý). E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
13 Výroková logika Logika Z principu extenzionality vyplývá, že se ve výrokové logice omezíme jen na výroky, jejichž pravdivostní hodnotu lze zjistit pouze a jen z pravdivostních hodnot jejich částí. (složené výroky) pravda Př: V1: Silnice je mokrá a nebe je modré. V2: Silnice je mokrá a tráva je zelená. V1: Praha je hlavní město České republiky a Bratislava je hlavní město Slovenské republiky. V2: Praha je hlavní město České republiky a Varšava je hlavní město Polska. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
14 Výroková logika Symboly Þ Logika označují vztahy Negace, Disjunkce, Konjunkce, Implikace a Ekvivalence E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
15 Výroková logika Logika Jazyk výrokové logiky je množina všech formulí výrokové logiky. Symbolika není v literatuře jednotná. Následující tabulka udává alternativní značení spojek: upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
16 Výroková logika Logika Gramatika jazyka výrokové logiky rekurzivně definuje formule: (1) Výrokové symboly jsou formule /báze definice/. (2) Jsou-li výrazy A, B formule, pak jsou formulemi i výrazy ( A), (A Disjunkce B), (A Konjunkce B), (A implikace B), (A B) (*)/indukční krok definice/. (3) Jiných formulí výrokové logiky, než podle bodů (1), (2) není /uzávěr definice/. Formule vzniklé podle bodu (1) nazýváme elementárními /atomárními, primitivními/ formulemi, formule vzniklé podle bodu (2) složenými formulemi. Formule A, B jsou bezprostředními podformulemi formulí. (*) Maximální počet do sebe vnořených závorkových dvojic, vyskytujících se ve formuli udává /hierarchický/ řád formule. upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
17 Výroková logika Logika 1. Symboly A, B použité v indukčním kroku definice nejsou formulemi (nevyskytují se jako symboly v abecedě jazyka), ale metasymboly sloužící k označení formulí. 2. Používání závorek v zápisu formulí můžeme omezit přijetím následujících konvencí: Složenou formuli nejvyššího řádu netřeba závorkovat. V případě, že o prioritě vyhodnocení nerozhodnou ani závorky ani prioritní stupnice, vyhodnocujeme formuli zleva doprava. Tak např. formuli p Þ q Þ r Þ s vyhodnocujeme tak, jakoby byla zapsána ((pþq)þr Þ s. U vícečlenných konjunkcí nebo disjunkcí není třeba uvádět závorky, tj. např. místo (p q) r nebo p (q r) lze psát pouze p q r. Tato konvence souvisí s předchozí konvencí (na pořadí vyhodnocování nezáleží a tedy lze standardně vyhodnocovat zleva doprava). upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
18 Výroková logika Symboly Þ Logika označují vztahy Negace, Disjunkce,Konjunkce,Implikace a Ekvivalence upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
19 Výroková logika Spojka negace odpovídá výroku není pravda, že... Je to unární spojka, nespojuje dva výroky (operace s výrokem). Příklad: Není pravda, že Praha je velkoměsto Je to funkce jedné proměnné: F(p) { pravda, nepravda } Logická forma: p p: Strom je organismus. (výrok) p: Strom není organismus. proměnná hodnota funkce p p Není pravda, že strom je organismus. (složený výrok) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
20 Výroková logika Logika Spojka konjunkce odpovídá spojce "a" Ne každé "a" v přirozeném jazyce analyzujeme spojkou konjunkce, např.: "Jablka a hrušky se pomíchaly", "Přišel jsem domů a zatopil" Je to binární, komutativní spojka. Příklad: "Praha je hlavní město ČR a v Praze je sídlo prezidenta ČR" p q "Praha je hlavní město ČR a = 5 Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) { pravda, nepravda } Logická forma: p q p: Petr studuje střední školu. (výrok) q: Petr se učí matematiku. (výrok) proměnná proměnná hodnota funkce p q p q p q : Petr studuje střední školu a (zároveň) Petr se učí matematiku. (složený výrok) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
21 Výroková logika Logika Spojka disjunkce odpovídá spojce "nebo" Spojka "nebo" se často používá v přirozeném jazyce ve vylučujícím smyslu "buď, anebo", pak při analýze použijeme jinou spojku - alternativu (neboli nonekvivalenci). Je to binární, komutativní spojka. Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) { pravda, nepravda } Logická forma: p q Příklady: "Osobní auta mají přední nebo zadní náhon." p: Vedoucí Petr Novák řídí direktivním způsobem. (výrok) q: Vedoucí Petr Novák pro řízení používá delegování. (výrok) proměnná proměnná hodnota funkce p q p q p q: Vedoucí Petr Novák řídí direktivním způsobem nebo pro řízení používá delegování. Vedoucí P. N. řídí direktivním způsobem nebo vedoucí P. N. používá pro řízení delegování. Ale: "Tento muž je ženatý nebo svobodný" (p q) "Otec se zeptal, zda zůstanu doma nebo zda půjdu s ním" (p q) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
22 Výroková logika Logika Spojka implikace Þ odpovídá "jestliže, pak", "když, tak", je-li, pak" Je to jediná binární spojka, která není komutativní, proto nazýváme první člen implikace antecedent, druhý konsekvent. Implikace nepředpokládá žádnou obsahovou souvislost mezi antecedentem a konsekventem, proto bývá někdy nazývána materiálová implikace. Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) { pravda, nepravda } Logická forma: p Þ q Příklady: Jestliže 1+1=2, pak železo je kov (pravdivý výrok) p: Petr byl v pondělí večer doma. (výrok) q: Petr se v pondělí večer učil matematiku. (výrok) p Þ q Proměnná 1. Proměnná 2. hodnota funkce p q p Þ q Jestliže byl Petr v pondělí večer doma, pak se učil matematiku. (složený výrok) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
23 Výroková logika Logika Spojka ekvivalence odpovídá "právě tehdy, když", "tehdy a jen tehdy, když", apod., ale ne "tehdy, když" (to je implikace) Je to binární spojka. Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) { pravda, nepravda } Logická forma: p q Příklady: p: Výkon studenta je ohodnocen jedničkou. (výrok) q: Student ovládá základy logiky. (výrok) p q : Výkon studenta je ohodnocen jedničkou tehdy a jen tehdy, když student ovládá základy logiky. (složený výrok) a) "Dám ti facku, když mě oklameš" okl Þ facka b) "Dám ti facku tehdy a jen tehdy, když mě oklameš okl facka proměnná proměnná hodnota funkce p q p q Situace: Neoklamal jsem. Řešení: a) můžu dostat facku, b) nemůžu dostat facku. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
24 Výroková logika Logika Konjunkce a disjunkce jsou opačné operátory. Zatímco konjunkce je tehdy a jen tehdy pravdivá, jsou-li pravdivé všechny její části, je disjunkce tehdy a jen tehdy nepravdivá, jsou-li nepravdivé všechny její části. Tomuto vztahu se říká dualita. Vyjádření konjunktivního vztahu pomocí vztahu disjunktivního: (p q ) ( p q ) Vyjádření disjunktivního vztahu pomocí vztahu konjunktivního: (p q ) ( p q ) Vztah mezi konjunkcí a disjunkcí se nazývá De Morganův zákon. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
25 Výroková logika Logika Vyjádření ekvivalence pomocí implikace a konjunkce: (p q) (p Þ q) (q Þ p) Formule p, q, p, q, p q, p q, (p q), ( p q) (p q) jsou splnitelné. Např. formule (p q) je pravdivá (má pravdivostní hodnotu 1) pro ohodnocení 0,1 výrokových symbolů p,q ). Rovněž ohodnocení (1,0), (0,0) jsou její modely, ale ne (1,1). Formule ( p q) (p q) je tautologií. Pro všechna možná ohodnocení 0,0, 0,1, 1,0, 1,1 výrokových symbolů (p, q) je pravdivá. Formule [ p q) (p q)] je kontradikcí. Neexistuje ohodnocení výrokových symbolů (p, q), pro které by byla formule pravdivá. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
26 Výroková logika - Některé důležité tautologie výrokové logiky: Tautologie s jediným výrokovým symbolem: = p p = p p zákon vyloučeného třetího = (p p) zákon sporu = p p zákon dvojí negace Algebraické zákony: = (p q) (q p) komutativní zákon pro = (p q) (q p) komutativní zákon pro = (p q) (q p) komutativní zákon pro = (p q) r p (q r) asociativní zákon pro = (p q) r p (q r) asociativní zákon pro = ((p q) r) (p (q r)) asociativní zákon pro = (p q) r (p r) (q r) distributivní zákon pro, = (p q) r (p r) (q r) distributivní zákon pro, E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
27 Výroková logika - Některé důležité tautologie výrokové logiky: Zákony pro vzájemné převody funktorů: Zákony pro implikaci: = (p q) (p Þ q) (q Þ p) = (p q) (p q) ( q p) = (p Þ q) ( p q) = (p Þ q) (p q) Negace implikace = (p q) ( p q) De Morganovy zákony = (p q) ( p q) De Morganovy zákony = p Þ (q Þ p) zákon simplifikace = (p Þ p) Þ q zákon Dunse Scota = (p Þ q) ( q Þ p) zákon kontrapozice = (p Þ (q Þ r)) ((p q) Þ r) spojování předpokladů = (p Þ (q Þ r)) (q Þ (p Þ r)) na pořadí předpokladů nezáleží = (p Þ q) Þ ((q Þ r) Þ (p Þ r)) hypotetický sylogismus = ((p Þ q) (q Þ r)) (p Þ r) tranzitivita implikace = (p Þ (q Þ r)) ((p Þ q) Þ (p Þ r)) Fregův zákon = ( p Þ p) Þ p) reductio ad absurdum = ((p Þ q) (p Þ q)) Þ p reductio ad absurdum = (p q) Þ p, = (p q) Þ q = p Þ (p q), = q Þ (p q) upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
28 Výroková logika v praxi Logika 1. Věta přirozeného jazyka do logické formule, zjišťujeme logickou formu Sdělení vedoucího Petra: Ocenil jsem výkon pracovníka odměnou a přeřadil jsem pracovníka na vyšší pozici. p: Vedoucí Petr ocenil výkon pracovníka odměnou. q: Vedoucí Petr přeřadil pracovníka na vyšší pozici. p? q 2. na úrovni formulí uplatnímet pravidla logiky, zjišťujeme pravdivostní hodnoty složených výroků. 3. interpretujeme tyto informace pomocí přirozeného jazyka, ve vztahu k původnímu obsahu. proměnná proměnná Složený výrok je pravdivý, právě tehdy, když nastaly obě skutečnosti, tj. došlo i k udělení odměny i k přeřazení pracovníka na vyšší pozici. Jestliže např. k udělení odměny nedošlo a pracovník byl pouze přeřazen na vyšší pozici, sdělení vedoucího je výrokem nepravdivým. A pokud byla pracovníkovi udělena odměna a nebyl přeřazen na vyšší pozici, je také sdělení vedoucího nepravdivé. hodnota funkce p q p q
29 Výroková logika v praxi - Analýza správnosti argumentu I. Přepsat argument pomocí symboliky výrokové logiky (abstrahujeme od jazykových prvků, které nejsou z pohledu správnosti argumentu podstatné) II. Příklad: Zjistit, zda závěr vyplývá z premis (tj. zda je vyloučena možnost, že premisy jsou pravdivé a závěr nepravdivý) Rozodněte o správnosti argumentu Premisa: Jestliže je Praha hlavní město ČR, pak v Praze sídlí vláda. Premisa: Praha je hlavní město ČR. Závěr: V Praze sídlí vláda. Řešení: Krok 1 Výsledná forma argumentu: p Þ q
30 Výroková logika v praxi - Analýza správnosti argumentu Řešení: Krok 2 Pravdivostní hodnoty Tabulka logické funkce implikace Forma argumentu P q p Þ q 1 Premisa p Þ q Premisa Určili jsme všechny možné varianty, případ (1,1,0) se v řešení nevyskytuje, vyloučili jsme možnost, že premisy jsou pravdivé a závěr je nepravdivý. p Závěr q
31 Výroková logika v praxi - Analýza správnosti argumentu Každé ohodnocení v výrokových symbolů obsažených ve formuli A, pro které je hodnota pravdivostní funkce rovna 1, tedy w(a)v = 1, se nazývá model této formule. Zjistíme, zda množina formulí M = {p Þ r, q Þ r, p q} je splnitelná: Formule A výrokové logiky je splnitelná, je-li w(a)v = 1 pro nějaké ohodnocení v, neboli existuje aspoň jeden model formule A. p q r p Þ r q Þ r p q Daná množina M je splnitelná a jejími modely jsou ohodnocení odpovídající 1., 3. a 5. řádku. Dále z tabulky vidíme, že z množiny M logicky vyplývá formule r. Pro každý model této množiny je r pravdivá. Tedy (závorky pro množinu premis není nutno uvádět): p Þ r, q Þ r, p q = r upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
32 Výroková logika v praxi - Jazyk výrokové logiky Patří mezi umělé jazyky. Vytváříme ho, abychom mohli analyzovat vztah vyplývání. Každý jazyk má určitý slovník (seznam výrazů, které se v jazyce vyskytují, slovní zasobu ) a určitou gramatiku(způsob vytváření dalších povolených výrazů). U umělého jazyka je třeba slovník i gramatiku předem nadefinovat. Slovník výrokové logiky: Základní výrazy: p1, p2, p3,...,pn;,, (, ) Spojováním těchto výrazů získáváme formule. Gramatika výrokové logiky: transformační pravidla, dobře vytvořené formule a) Všechny výrazy p1,p2,p3,...,pn jsou dobře vytvořenými formulemi výrokové logiky b) Jestliže A je dobře vytvořená formule výrokové logiky, pak je dobře vytvořená i formule A c) Jestliže jsou výrazy A a B dobře vytvořenými formulemi, pak je dobře vytvořená i formule (A B)) d) Pouze formule vytvořené na základě bodů a) c) jsou dobře vytvořené formule upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:
33 Výroková logika v praxi Zavedení těchto dvou logických spojek (negace, implikace) je dostatečné, protože všechny ostatní logické spojky výrokové logiky lze vyjádřit pomocí negace a implikace. Definice 1: (konjunkce) (A B) ( A B ) Definice 2: (disjunkce) (A B) ( A B ) Definice3: (ekvivalence) (A B) (( A B ) ( B A )) Toto je základní syntax jazyka výrokové logiky. upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
34 Výroková logika v praxi Sémantika jazyka výrokové logiky: Potřebujeme vztáhnout vytvořené formule k pravdivostním hodnotám (protože jazyk chceme používat pro analýzu vyplývání). Definujeme funkci, tzv. pravdivostní ohodnocení (interpretace), která každé jednoduché správně vytvořené formuli přiřadí jednu pravdivostní hodnotu (0,1). Pravdivostní ohodnocení splňuje formuli A, jestliže formule A je při tomto ohodnocení pravdivá. I(A)=1. Pro všechny dobře vytvořené formule A,B platí: (pravidla) a) I( A)=1 tehdy a jen tehdy, když I(A)=0. b) I(A B)=1 tehdy a jen tehdy, když I(A)=0 nebo I(B)=1. upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
VíceÚvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok?
Vícepřednáška 2 Marie Duží
Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceLogika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová
VíceLogika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VícePřednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.
Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky. Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do teoretické informatiky (logika) Dva základní logické systémy: Výroková logika a predikátová logika. řádu. Výroková logika
VíceStudijní text. Co je výroková logika. Výrokem se již od dob staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu.
Studijní text Co je výroková logika Výrokem se již od dob staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu. Pravdivostní hodnoty jsou dvě: pravda (označujeme také
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceVýroková logika. Sémantika výrokové logiky
Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový
VíceKlasická výroková logika - tabulková metoda
1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
VíceLogika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceMatematická logika. 1
Matematická logika. 1 Obsah 1. Úvod... 2 2. Výroková logika... 8 2.1. Sémantický výklad výrokové logiky.... 8 Převod z přirozeného jazyka do symbolického jazyka výrokové logiky:... 10 Výrokově logická
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
VíceVýroková logika. p, q, r...
Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceVýroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
VíceKterá tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
Více4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceVÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu
VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
VíceJak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora
Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:
VíceLogika. 1. Úvod, Výroková logika
Logika 1. Úvod, Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Více2.2 Sémantika predikátové logiky
14 [101105-1155] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí. 2.2.1 Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky
Víceλογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )
MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho
VíceÚvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceOkruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceSémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
VíceSpojování výroků (podmínek) logickými spojkami
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Učební texty: http://www.cs.vsb.cz/duzi Tabulka Courses, odkaz Mathematical Učební texty, Presentace přednášek kursu Matematická logika, Příklady na cvičení + doplňkové texty.
VícePredikátová logika (logika predikátů)
Predikátová logika (logika predikátů) Ve výrokové logice pracujeme s jednoduchými či složenými výroky, aniž nás zajímá jejich struktura. Příklad. Jestliže Karel je studentem, pak je (Karel) chytřejší než
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceObsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17
Obsah Předmluva...3 0. Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky...11 0.1 Logika jako věda o vyplývání... 11 1. Uvedení do predikátové logiky...17 1.1 Základní terminologie... 17 1.2 Základní
VíceNormální formy. (provizorní text)
Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,
VícePredikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
VíceMatematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
VíceLogika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 5. Rezoluční princip RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
VíceÚvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu
Více1 Výrok a jeho negace
1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
Více1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
VíceZáklady informatiky. Výroková logika
Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
Více1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceÚvod do logiky (VL): 11. Ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu
Jiří Raclavský (214): Úvod do logiky: klasická výroková logika Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.216, OPVK) Úvod
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceSINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.
Studijní text Co je singulární výrok SINGULÁRNÍ VÝROKY: PETR Petr je veselý. Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Příklad: Pavel je
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce, zobrazení {p, q, r } {0, 1} (pravdivostní tabulka). Naopak však
VíceZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE
ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie
Vícevýrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
VícePřednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku
Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky Úsudky Úsudek je platný, jestliže nutně, za všech okolností, tj. při všech interpretacích, ve kterých
VíceKapitola Výroky
1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny
VíceÚvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz
Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL
VíceKMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 3 Predikátový počet Uvažujme následující úsudek.
VíceBinární logika Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) Stabilita
Více7 Jemný úvod do Logiky
7 Jemný úvod do Logiky Základem přesného matematického vyjadřování je správné používání (matematické) logiky a logických úsudků. Logika jako filozofická discipĺına se intenzivně vyvíjí už od dob antiky,
VícePredikátová logika Individua a termy Predikáty
Predikátová logika Predikátová logika je rozšířením logiky výrokové o kvantifikační výrazy jako každý, všichni, někteří či žádný. Nejmenší jazykovou jednotkou, kterou byla výroková logika schopna identifikovat,
VíceÚvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce,
VíceNepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této
1.4.4 Implikace Předpoklady: 010403 Implikace Implikace libovolných výroků a,b je výrok, který vznikne jejich spojením slovním obratem jestliže, pak, píšeme a b a čteme jestliže a, pak b. Výroku a se říká
VíceDisjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška
Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je
VíceM - Výroková logika VARIACE
M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu
VíceKMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 20 Predikátová logika Motivace Výroková
VíceLogické proměnné a logické funkce
Booleova algebra Logické proměnné a logické funkce Logická proměnná je veličina, která může nabývat pouze dvou hodnot, označených 0 a I (tedy dvojková proměnná) a nemůže se spojitě měnit Logická funkce
VíceVýroková logika syntaxe a sémantika
syntaxe a sémantika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Handout 01: & sémantika VL 1/16 1 Proč formální jazyk? 1 Přirozené jazyky jsou složité a často nejednoznačné. 2 Komunikace s formálními nástroji musí být
VíceLogika pro informatiky (a příbuzné obory)
VŠB Technická univerzita Ostrava Logika pro informatiky (a příbuzné obory) učební text Doc. RNDr. Marie Duží, CSc. Ostrava 2012 Vydavatelství VŠB-TU Ostrava Vydání této publikace je spolufinancováno Evropským
VíceV této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy ve výrokové logice.
1 Výroková logika Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy ve výrokové logice. Výstupy z výukové jednotky Student bude umět základní logické operace
VíceMatematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
VíceÚvod do TI - logika 1. přednáška. Marie Duží
Úvod do TI - logika 1. přednáška Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Učební texty: http://www.cs.vsb.cz/duzi Courses Introduction to Logic: Informace pro studenty Učební texty: Kapitoly: Úvod
VíceÚvod do predikátové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 1
Úvod do predikátové logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 1 Relace Neuspořádaná vs. uspořádaná dvojice {m, n} je neuspořádaná dvojice. m, n je uspořádaná dvojice. (FLÚ AV ČR) Logika:
VíceÚvod do logiky (PL): sémantika predikátové logiky
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): sémantika predikátové logiky doc. PhDr. Jiří
Více2. ÚVOD DO OVLÁDACÍ TECHNIKY
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2. ÚVOD DO OVLÁDACÍ TECHNIKY OVLÁDACÍ TECHNIKA A LOGICKÉ ŘÍZENÍ 2.1.5 LOGICKÉ FUNKCE Cíle: Po prostudování
VíceRejstřík. anotace 167 krok 167 nepřímý 169 podmiňovaný 181 rezolucí 210 rozborem případů 170 sporem 170 z hypotéz 167 z předpokladů 167 Duns Scotus 79
Rejstřík Rejstřík A antecedent 27 Aristotelés 13 axiom 163 nezávislá množina 164 axiomatické systémy 163 axiom distributivity 222 axiomová schémata 164 B Beth 197 bezesporný 171 Bolzano 14 booleovské funktory
VíceLogika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceÚvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 5. Odvození z jiných doc. PhDr. Jiří Raclavský,
Více1. Základy logiky a teorie množin
1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
VíceVÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..
VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
Více09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika
Logika 1 Logika Slovo logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. Logika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
Více1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY
. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou
VícePremisa Premisa Závěr
Studijní text Argumentace Jak to v komunikaci přirozeně děláme, jak argumentujeme? Leden má 31 dní, protože je prvním měsícem roku. Vím, že nelze nekomunikovat. Tzn. každý člověk komunikuje. A Petr je
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
VíceCvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]
Cvičení 4 negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] p q p q p q q p p A B C D E UEK UED A B C D E F 0 0 1 1 0 0 0 1 p q
VíceBooleovská algebra. Pravdivostní tabulka. Karnaughova mapa. Booleovské n-krychle. Základní zákony. Unární a binární funkce. Podmínky.
Booleovská algebra. Pravdivostní tabulka. Karnaughova mapa. Booleovské n-krychle. Základní zákony. Unární a binární funkce. Podmínky. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky
VíceMatematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Více