Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD."

Transkript

1 Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

2 Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová logika Aristotelovský čtverec 4. Definice a terminologie 5. Polysémie, synonymie, homonymie, antonymie 6. Analýza chybných argumentací 7. Interpretace 8. Analýza konkrétního dialogu

3 Základní studijní literatura: Online materiály plus jakákoli příručka základů logiky, např. BEK, Roman. Logika. Praha: ČVUT, 1996, GAHÉR, František. Logika pre každého. Bratislava: Iris, 1994, PEREGRIN, Jaroslav. Logika a logiky. Praha: Academia, 2004 ŠTĚPÁN, Jan. Logika a logické systémy. Olomouc: Votobia, ŠTĚPÁN, Jan. Klasická logika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky: Požadavky na kontrolní práce - absolvovat průběžná seminární cvičení, ze kterých každé bude ověřovat jednak porozumění studenta přednášené látce a jednak jeho schopnost použít nabyté poznatky v praxi. Cvičení budou mít charakter elektronických testů s výběrem z několika odpovědí nebo doplnění krátké odpovědi.

4 Výroková logika Výroková logika je založena na zohlednění předpokladu, že složený výrok je pravdivý či nepravdivý v závislosti na tom, jaká je "povaha" spojky, která spojuje dané výroky. Výroková logika analyzuje věty až do úrovně elementárních výroků. Strukturu těchto elementárních výroků již dále nezkoumá. Výrokem se již od staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu. Pravdivostní hodnoty jsou dvě: pravda (true, 1) nepravda (false, 0) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky:

5 Výroková logika Výrokovou logiku a pravdivostní hodnoty lze aplikovat na některé věty přirozeného jazyka. Je třeba vynechat: věty, které nemají žádnou pravdivostní hodnotu (Kolik je hodin? Běž pro noviny!) věty, kde nemůžeme jednoznačně přiřadit pravdivostní hodnotu (Já jsem češka může být pravdivá, i nepravdivá, i nelze rozhodnout bez kontextu) věty, jejichž pravdivostní hodnota je nerozhodnutelná (Současný český prezident je Václav Havel záleží na čase, kdy je věta vyřčena) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky:

6 Výroková logika Logika Výroky dělíme na jednoduché a složené. Jednoduchý výrok je takové tvrzení, jehož žádná vlastní část již není výrokem. Složený výrok pak má vlastní části - výroky. Výroková logika zkoumá strukturu těchto složených výroků v tom smyslu, že zkoumá způsob skládání jednoduchých výroků do složených pomocí logických spojek. Je to tedy teorie logických spojek. Přitom ovšem zachovává žádoucí princip skladebnosti (kompozicionality), podle něhož je pravdivostní hodnota složeného výroku jednoznačně určena jen pravdivostními hodnotami jeho složek a povahou spojení těchto složek (tj. logickou povahou spojek). upraveno podle:e-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

7 Výroková logika - Příklady složených výroků: V Praze prší a v Brně je hezky. el. výrok spojka el. výrok Není pravda, že v Praze prší. spojka el. výrok upraveno podle:e-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

8 Výroková logika - Příklady složených výroků: Jednoduché výroky jsou složeny ve výrok složený pomocí logických spojek, tzv. větných operátorů. Jednoduchý výrok nese právě jednu informaci informace: o čem věta mluví (subjekt věty) a co se ve větě o subjektu vypovídá (predikát věty) Složený výrok = (jednoduchý výrok) (větný operátor) (jednoduchý výrok) Složený výrok = (výrok) (větný operátor) (výrok) Například na otázku, kde byl v úterý Petr, můžeme slyšet odpověď: (Petr se učil matematiku) nebo (Petr šel do kina). (Petr se učil matematiku a fyziku) nebo (Petr šel do kina). E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

9 Výroková logika - Příklady složených výroků: Známe-li pravdivostní hodnoty jednoduchých výroků Petr se učil matematiku, Petr šel do kina, můžeme určit pravdivostní hodnotu složeného výroku s použitím větného operátoru (logické spojky) nebo. Ve výrokové logice nás nezajímá pravdivostní hodnota konkrétního jednoduchého výroku, ale výroková forma. Je to výraz, který sám o sobě nemá pravdivostní hodnotu, protože místo konkrétních jednoduchých výroků obsahuje proměnné. výrokové formy p nebo q zapisujeme (p v q) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky:

10 Výroková logika - Příklady složených výroků: - kde p,q jsou proměnné, za které je možné dosazovat konkrétní výroky a přiřazovat složenému výroku pravdivostní hodnotu na základě znalosti pravdivostních hodnot dosazených výroků a znalosti použitého větného operátoru. V podstatě jsme vytvořili funkci, která pravdivostním hodnotám jednoduchých výroků jednoznačně přiřazuje pravdivostní hodnotu celku (složeného výroku). F(p,q) = { pravda, nepravda } Jazyk výrokové logiky musí obsahovat symboly zastupující jednotlivé elementární výroky (tzv. výrokové symboly (proměnné), které budou nabývat hodnot pravda, nepravda), symboly pro logické spojky a případné pomocné symboly. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky:

11 Výroková logika - Příklady složených výroků: Uvažujme pro příklad dva jednouché výroky p a q. Každý z nich je pravdivý či nepravdivý. Vzájemné kombinace jejich pravdivostí a nepravdivostí jsou celkem čtyři. Např. česká (gramatická) spojka "a" (popř. "a zároveň") je ve výrokové logice chápána jako tzv. konjunkce (obvykle značena " "). Spojení výroku p s výrokem q pomocí konjunkce, tedy složený výrok "p a zároveň q", je pravdivé pouze pro tu z kombinací pravdivostí pro p a q, kdy jsou oba tyto výroky pravdivé; ve všech třech zbylých případech je výrok "p a zároveň q" nepravdivý. Konjunkce apod. jsou zvány výrokové spojky. Uvědomme si tedy, že tu jsou (české) gramatické spojky jako např. "a zároveň", "jestliže, pak", které se v logice snažíme vystihnout výrokovými (výrokovělogickými) spojkami. upraveno podle:úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita Dostupné elektronicky:

12 Výroková logika Logika 3 principy, které charakterizují systém klasické výrokové logiky: I. Princip dvou hodnot: Existují pouze dvě pravdivostní hodnoty {pravda, nepravda} II. III. Princip jednoznačnosti: Každý výrok má právě jednu pravdivostní hodnotu. Princip extenzionality: Výroky jsou vzájemně zaměnitelné, jestliže mají stejnou pravdivostní hodnotu. Někdy se místo Principu dvou hodnot a Principu jednoznačnosti používá princip vyloučeného sporu ( není možné, aby jeden a tentýž výrok byl současně pravdivý a nepravdivý), respektive zákon o vyloučeném třetím (výrok je buď pravdivý, nebo je nepravdivý). E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

13 Výroková logika Logika Z principu extenzionality vyplývá, že se ve výrokové logice omezíme jen na výroky, jejichž pravdivostní hodnotu lze zjistit pouze a jen z pravdivostních hodnot jejich částí. (složené výroky) pravda Př: V1: Silnice je mokrá a nebe je modré. V2: Silnice je mokrá a tráva je zelená. V1: Praha je hlavní město České republiky a Bratislava je hlavní město Slovenské republiky. V2: Praha je hlavní město České republiky a Varšava je hlavní město Polska. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

14 Výroková logika Symboly Þ Logika označují vztahy Negace, Disjunkce, Konjunkce, Implikace a Ekvivalence E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

15 Výroková logika Logika Jazyk výrokové logiky je množina všech formulí výrokové logiky. Symbolika není v literatuře jednotná. Následující tabulka udává alternativní značení spojek: upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

16 Výroková logika Logika Gramatika jazyka výrokové logiky rekurzivně definuje formule: (1) Výrokové symboly jsou formule /báze definice/. (2) Jsou-li výrazy A, B formule, pak jsou formulemi i výrazy ( A), (A Disjunkce B), (A Konjunkce B), (A implikace B), (A B) (*)/indukční krok definice/. (3) Jiných formulí výrokové logiky, než podle bodů (1), (2) není /uzávěr definice/. Formule vzniklé podle bodu (1) nazýváme elementárními /atomárními, primitivními/ formulemi, formule vzniklé podle bodu (2) složenými formulemi. Formule A, B jsou bezprostředními podformulemi formulí. (*) Maximální počet do sebe vnořených závorkových dvojic, vyskytujících se ve formuli udává /hierarchický/ řád formule. upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

17 Výroková logika Logika 1. Symboly A, B použité v indukčním kroku definice nejsou formulemi (nevyskytují se jako symboly v abecedě jazyka), ale metasymboly sloužící k označení formulí. 2. Používání závorek v zápisu formulí můžeme omezit přijetím následujících konvencí: Složenou formuli nejvyššího řádu netřeba závorkovat. V případě, že o prioritě vyhodnocení nerozhodnou ani závorky ani prioritní stupnice, vyhodnocujeme formuli zleva doprava. Tak např. formuli p Þ q Þ r Þ s vyhodnocujeme tak, jakoby byla zapsána ((pþq)þr Þ s. U vícečlenných konjunkcí nebo disjunkcí není třeba uvádět závorky, tj. např. místo (p q) r nebo p (q r) lze psát pouze p q r. Tato konvence souvisí s předchozí konvencí (na pořadí vyhodnocování nezáleží a tedy lze standardně vyhodnocovat zleva doprava). upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

18 Výroková logika Symboly Þ Logika označují vztahy Negace, Disjunkce,Konjunkce,Implikace a Ekvivalence upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

19 Výroková logika Spojka negace odpovídá výroku není pravda, že... Je to unární spojka, nespojuje dva výroky (operace s výrokem). Příklad: Není pravda, že Praha je velkoměsto Je to funkce jedné proměnné: F(p) { pravda, nepravda } Logická forma: p p: Strom je organismus. (výrok) p: Strom není organismus. proměnná hodnota funkce p p Není pravda, že strom je organismus. (složený výrok) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

20 Výroková logika Logika Spojka konjunkce odpovídá spojce "a" Ne každé "a" v přirozeném jazyce analyzujeme spojkou konjunkce, např.: "Jablka a hrušky se pomíchaly", "Přišel jsem domů a zatopil" Je to binární, komutativní spojka. Příklad: "Praha je hlavní město ČR a v Praze je sídlo prezidenta ČR" p q "Praha je hlavní město ČR a = 5 Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) { pravda, nepravda } Logická forma: p q p: Petr studuje střední školu. (výrok) q: Petr se učí matematiku. (výrok) proměnná proměnná hodnota funkce p q p q p q : Petr studuje střední školu a (zároveň) Petr se učí matematiku. (složený výrok) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

21 Výroková logika Logika Spojka disjunkce odpovídá spojce "nebo" Spojka "nebo" se často používá v přirozeném jazyce ve vylučujícím smyslu "buď, anebo", pak při analýze použijeme jinou spojku - alternativu (neboli nonekvivalenci). Je to binární, komutativní spojka. Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) { pravda, nepravda } Logická forma: p q Příklady: "Osobní auta mají přední nebo zadní náhon." p: Vedoucí Petr Novák řídí direktivním způsobem. (výrok) q: Vedoucí Petr Novák pro řízení používá delegování. (výrok) proměnná proměnná hodnota funkce p q p q p q: Vedoucí Petr Novák řídí direktivním způsobem nebo pro řízení používá delegování. Vedoucí P. N. řídí direktivním způsobem nebo vedoucí P. N. používá pro řízení delegování. Ale: "Tento muž je ženatý nebo svobodný" (p q) "Otec se zeptal, zda zůstanu doma nebo zda půjdu s ním" (p q) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

22 Výroková logika Logika Spojka implikace Þ odpovídá "jestliže, pak", "když, tak", je-li, pak" Je to jediná binární spojka, která není komutativní, proto nazýváme první člen implikace antecedent, druhý konsekvent. Implikace nepředpokládá žádnou obsahovou souvislost mezi antecedentem a konsekventem, proto bývá někdy nazývána materiálová implikace. Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) { pravda, nepravda } Logická forma: p Þ q Příklady: Jestliže 1+1=2, pak železo je kov (pravdivý výrok) p: Petr byl v pondělí večer doma. (výrok) q: Petr se v pondělí večer učil matematiku. (výrok) p Þ q Proměnná 1. Proměnná 2. hodnota funkce p q p Þ q Jestliže byl Petr v pondělí večer doma, pak se učil matematiku. (složený výrok) E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

23 Výroková logika Logika Spojka ekvivalence odpovídá "právě tehdy, když", "tehdy a jen tehdy, když", apod., ale ne "tehdy, když" (to je implikace) Je to binární spojka. Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) { pravda, nepravda } Logická forma: p q Příklady: p: Výkon studenta je ohodnocen jedničkou. (výrok) q: Student ovládá základy logiky. (výrok) p q : Výkon studenta je ohodnocen jedničkou tehdy a jen tehdy, když student ovládá základy logiky. (složený výrok) a) "Dám ti facku, když mě oklameš" okl Þ facka b) "Dám ti facku tehdy a jen tehdy, když mě oklameš okl facka proměnná proměnná hodnota funkce p q p q Situace: Neoklamal jsem. Řešení: a) můžu dostat facku, b) nemůžu dostat facku. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

24 Výroková logika Logika Konjunkce a disjunkce jsou opačné operátory. Zatímco konjunkce je tehdy a jen tehdy pravdivá, jsou-li pravdivé všechny její části, je disjunkce tehdy a jen tehdy nepravdivá, jsou-li nepravdivé všechny její části. Tomuto vztahu se říká dualita. Vyjádření konjunktivního vztahu pomocí vztahu disjunktivního: (p q ) ( p q ) Vyjádření disjunktivního vztahu pomocí vztahu konjunktivního: (p q ) ( p q ) Vztah mezi konjunkcí a disjunkcí se nazývá De Morganův zákon. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

25 Výroková logika Logika Vyjádření ekvivalence pomocí implikace a konjunkce: (p q) (p Þ q) (q Þ p) Formule p, q, p, q, p q, p q, (p q), ( p q) (p q) jsou splnitelné. Např. formule (p q) je pravdivá (má pravdivostní hodnotu 1) pro ohodnocení 0,1 výrokových symbolů p,q ). Rovněž ohodnocení (1,0), (0,0) jsou její modely, ale ne (1,1). Formule ( p q) (p q) je tautologií. Pro všechna možná ohodnocení 0,0, 0,1, 1,0, 1,1 výrokových symbolů (p, q) je pravdivá. Formule [ p q) (p q)] je kontradikcí. Neexistuje ohodnocení výrokových symbolů (p, q), pro které by byla formule pravdivá. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

26 Výroková logika - Některé důležité tautologie výrokové logiky: Tautologie s jediným výrokovým symbolem: = p p = p p zákon vyloučeného třetího = (p p) zákon sporu = p p zákon dvojí negace Algebraické zákony: = (p q) (q p) komutativní zákon pro = (p q) (q p) komutativní zákon pro = (p q) (q p) komutativní zákon pro = (p q) r p (q r) asociativní zákon pro = (p q) r p (q r) asociativní zákon pro = ((p q) r) (p (q r)) asociativní zákon pro = (p q) r (p r) (q r) distributivní zákon pro, = (p q) r (p r) (q r) distributivní zákon pro, E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

27 Výroková logika - Některé důležité tautologie výrokové logiky: Zákony pro vzájemné převody funktorů: Zákony pro implikaci: = (p q) (p Þ q) (q Þ p) = (p q) (p q) ( q p) = (p Þ q) ( p q) = (p Þ q) (p q) Negace implikace = (p q) ( p q) De Morganovy zákony = (p q) ( p q) De Morganovy zákony = p Þ (q Þ p) zákon simplifikace = (p Þ p) Þ q zákon Dunse Scota = (p Þ q) ( q Þ p) zákon kontrapozice = (p Þ (q Þ r)) ((p q) Þ r) spojování předpokladů = (p Þ (q Þ r)) (q Þ (p Þ r)) na pořadí předpokladů nezáleží = (p Þ q) Þ ((q Þ r) Þ (p Þ r)) hypotetický sylogismus = ((p Þ q) (q Þ r)) (p Þ r) tranzitivita implikace = (p Þ (q Þ r)) ((p Þ q) Þ (p Þ r)) Fregův zákon = ( p Þ p) Þ p) reductio ad absurdum = ((p Þ q) (p Þ q)) Þ p reductio ad absurdum = (p q) Þ p, = (p q) Þ q = p Þ (p q), = q Þ (p q) upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

28 Výroková logika v praxi Logika 1. Věta přirozeného jazyka do logické formule, zjišťujeme logickou formu Sdělení vedoucího Petra: Ocenil jsem výkon pracovníka odměnou a přeřadil jsem pracovníka na vyšší pozici. p: Vedoucí Petr ocenil výkon pracovníka odměnou. q: Vedoucí Petr přeřadil pracovníka na vyšší pozici. p? q 2. na úrovni formulí uplatnímet pravidla logiky, zjišťujeme pravdivostní hodnoty složených výroků. 3. interpretujeme tyto informace pomocí přirozeného jazyka, ve vztahu k původnímu obsahu. proměnná proměnná Složený výrok je pravdivý, právě tehdy, když nastaly obě skutečnosti, tj. došlo i k udělení odměny i k přeřazení pracovníka na vyšší pozici. Jestliže např. k udělení odměny nedošlo a pracovník byl pouze přeřazen na vyšší pozici, sdělení vedoucího je výrokem nepravdivým. A pokud byla pracovníkovi udělena odměna a nebyl přeřazen na vyšší pozici, je také sdělení vedoucího nepravdivé. hodnota funkce p q p q

29 Výroková logika v praxi - Analýza správnosti argumentu I. Přepsat argument pomocí symboliky výrokové logiky (abstrahujeme od jazykových prvků, které nejsou z pohledu správnosti argumentu podstatné) II. Příklad: Zjistit, zda závěr vyplývá z premis (tj. zda je vyloučena možnost, že premisy jsou pravdivé a závěr nepravdivý) Rozodněte o správnosti argumentu Premisa: Jestliže je Praha hlavní město ČR, pak v Praze sídlí vláda. Premisa: Praha je hlavní město ČR. Závěr: V Praze sídlí vláda. Řešení: Krok 1 Výsledná forma argumentu: p Þ q

30 Výroková logika v praxi - Analýza správnosti argumentu Řešení: Krok 2 Pravdivostní hodnoty Tabulka logické funkce implikace Forma argumentu P q p Þ q 1 Premisa p Þ q Premisa Určili jsme všechny možné varianty, případ (1,1,0) se v řešení nevyskytuje, vyloučili jsme možnost, že premisy jsou pravdivé a závěr je nepravdivý. p Závěr q

31 Výroková logika v praxi - Analýza správnosti argumentu Každé ohodnocení v výrokových symbolů obsažených ve formuli A, pro které je hodnota pravdivostní funkce rovna 1, tedy w(a)v = 1, se nazývá model této formule. Zjistíme, zda množina formulí M = {p Þ r, q Þ r, p q} je splnitelná: Formule A výrokové logiky je splnitelná, je-li w(a)v = 1 pro nějaké ohodnocení v, neboli existuje aspoň jeden model formule A. p q r p Þ r q Þ r p q Daná množina M je splnitelná a jejími modely jsou ohodnocení odpovídající 1., 3. a 5. řádku. Dále z tabulky vidíme, že z množiny M logicky vyplývá formule r. Pro každý model této množiny je r pravdivá. Tedy (závorky pro množinu premis není nutno uvádět): p Þ r, q Þ r, p q = r upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

32 Výroková logika v praxi - Jazyk výrokové logiky Patří mezi umělé jazyky. Vytváříme ho, abychom mohli analyzovat vztah vyplývání. Každý jazyk má určitý slovník (seznam výrazů, které se v jazyce vyskytují, slovní zasobu ) a určitou gramatiku(způsob vytváření dalších povolených výrazů). U umělého jazyka je třeba slovník i gramatiku předem nadefinovat. Slovník výrokové logiky: Základní výrazy: p1, p2, p3,...,pn;,, (, ) Spojováním těchto výrazů získáváme formule. Gramatika výrokové logiky: transformační pravidla, dobře vytvořené formule a) Všechny výrazy p1,p2,p3,...,pn jsou dobře vytvořenými formulemi výrokové logiky b) Jestliže A je dobře vytvořená formule výrokové logiky, pak je dobře vytvořená i formule A c) Jestliže jsou výrazy A a B dobře vytvořenými formulemi, pak je dobře vytvořená i formule (A B)) d) Pouze formule vytvořené na základě bodů a) c) jsou dobře vytvořené formule upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky:

33 Výroková logika v praxi Zavedení těchto dvou logických spojek (negace, implikace) je dostatečné, protože všechny ostatní logické spojky výrokové logiky lze vyjádřit pomocí negace a implikace. Definice 1: (konjunkce) (A B) ( A B ) Definice 2: (disjunkce) (A B) ( A B ) Definice3: (ekvivalence) (A B) (( A B ) ( B A )) Toto je základní syntax jazyka výrokové logiky. upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.

34 Výroková logika v praxi Sémantika jazyka výrokové logiky: Potřebujeme vztáhnout vytvořené formule k pravdivostním hodnotám (protože jazyk chceme používat pro analýzu vyplývání). Definujeme funkci, tzv. pravdivostní ohodnocení (interpretace), která každé jednoduché správně vytvořené formuli přiřadí jednu pravdivostní hodnotu (0,1). Pravdivostní ohodnocení splňuje formuli A, jestliže formule A je při tomto ohodnocení pravdivá. I(A)=1. Pro všechny dobře vytvořené formule A,B platí: (pravidla) a) I( A)=1 tehdy a jen tehdy, když I(A)=0. b) I(A B)=1 tehdy a jen tehdy, když I(A)=0 nebo I(B)=1. upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:

Více

Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží

Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok?

Více

přednáška 2 Marie Duží

přednáška 2 Marie Duží Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Formální systém výrokové logiky

Formální systém výrokové logiky Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)

Více

Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.

Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky. Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky. Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do teoretické informatiky (logika) Dva základní logické systémy: Výroková logika a predikátová logika. řádu. Výroková logika

Více

Studijní text. Co je výroková logika. Výrokem se již od dob staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu.

Studijní text. Co je výroková logika. Výrokem se již od dob staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu. Studijní text Co je výroková logika Výrokem se již od dob staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu. Pravdivostní hodnoty jsou dvě: pravda (označujeme také

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

Výroková logika. Sémantika výrokové logiky

Výroková logika. Sémantika výrokové logiky Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový

Více

Klasická výroková logika - tabulková metoda

Klasická výroková logika - tabulková metoda 1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot

Více

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz

Více

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu

Více

Matematická logika. 1

Matematická logika. 1 Matematická logika. 1 Obsah 1. Úvod... 2 2. Výroková logika... 8 2.1. Sémantický výklad výrokové logiky.... 8 Převod z přirozeného jazyka do symbolického jazyka výrokové logiky:... 10 Výrokově logická

Více

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Výroková logika. p, q, r...

Výroková logika. p, q, r... Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože

Více

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7 1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana. Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky

Více

4.2 Syntaxe predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky 36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:

Více

Logika. 1. Úvod, Výroková logika

Logika. 1. Úvod, Výroková logika Logika 1. Úvod, Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,

Více

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

2.2 Sémantika predikátové logiky

2.2 Sémantika predikátové logiky 14 [101105-1155] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí. 2.2.1 Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky

Více

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho

Více

Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou

Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot

Více

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní

Více

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23 Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro

Více

Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami

Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Učební texty: http://www.cs.vsb.cz/duzi Tabulka Courses, odkaz Mathematical Učební texty, Presentace přednášek kursu Matematická logika, Příklady na cvičení + doplňkové texty.

Více

Predikátová logika (logika predikátů)

Predikátová logika (logika predikátů) Predikátová logika (logika predikátů) Ve výrokové logice pracujeme s jednoduchými či složenými výroky, aniž nás zajímá jejich struktura. Příklad. Jestliže Karel je studentem, pak je (Karel) chytřejší než

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou

Více

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17 Obsah Předmluva...3 0. Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky...11 0.1 Logika jako věda o vyplývání... 11 1. Uvedení do predikátové logiky...17 1.1 Základní terminologie... 17 1.2 Základní

Více

Normální formy. (provizorní text)

Normální formy. (provizorní text) Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Matematika pro informatiky KMA/MATA

Matematika pro informatiky KMA/MATA Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast

Více

Logika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Logika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Logika 5. Rezoluční princip RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,

Více

Sémantika predikátové logiky

Sémantika predikátové logiky Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem

Více

Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu

Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu

Více

1 Výrok a jeho negace

1 Výrok a jeho negace 1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

Základy informatiky. Výroková logika

Základy informatiky. Výroková logika Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou

Více

1 Úvod do matematické logiky

1 Úvod do matematické logiky 1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele

Více

Úvod do logiky (VL): 11. Ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu

Úvod do logiky (VL): 11. Ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu Jiří Raclavský (214): Úvod do logiky: klasická výroková logika Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.216, OPVK) Úvod

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Studijní text Co je singulární výrok SINGULÁRNÍ VÝROKY: PETR Petr je veselý. Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Příklad: Pavel je

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce, zobrazení {p, q, r } {0, 1} (pravdivostní tabulka). Naopak však

Více

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku

Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky Úsudky Úsudek je platný, jestliže nutně, za všech okolností, tj. při všech interpretacích, ve kterých

Více

Kapitola Výroky

Kapitola Výroky 1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 3 Predikátový počet Uvažujme následující úsudek.

Více

Binární logika Osnova kurzu

Binární logika Osnova kurzu Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) Stabilita

Více

7 Jemný úvod do Logiky

7 Jemný úvod do Logiky 7 Jemný úvod do Logiky Základem přesného matematického vyjadřování je správné používání (matematické) logiky a logických úsudků. Logika jako filozofická discipĺına se intenzivně vyvíjí už od dob antiky,

Více

Predikátová logika Individua a termy Predikáty

Predikátová logika Individua a termy Predikáty Predikátová logika Predikátová logika je rozšířením logiky výrokové o kvantifikační výrazy jako každý, všichni, někteří či žádný. Nejmenší jazykovou jednotkou, kterou byla výroková logika schopna identifikovat,

Více

Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží

Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce,

Více

Nepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této

Nepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této 1.4.4 Implikace Předpoklady: 010403 Implikace Implikace libovolných výroků a,b je výrok, který vznikne jejich spojením slovním obratem jestliže, pak, píšeme a b a čteme jestliže a, pak b. Výroku a se říká

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

M - Výroková logika VARIACE

M - Výroková logika VARIACE M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.    horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 20 Predikátová logika Motivace Výroková

Více

Logické proměnné a logické funkce

Logické proměnné a logické funkce Booleova algebra Logické proměnné a logické funkce Logická proměnná je veličina, která může nabývat pouze dvou hodnot, označených 0 a I (tedy dvojková proměnná) a nemůže se spojitě měnit Logická funkce

Více

Výroková logika syntaxe a sémantika

Výroková logika syntaxe a sémantika syntaxe a sémantika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Handout 01: & sémantika VL 1/16 1 Proč formální jazyk? 1 Přirozené jazyky jsou složité a často nejednoznačné. 2 Komunikace s formálními nástroji musí být

Více

Logika pro informatiky (a příbuzné obory)

Logika pro informatiky (a příbuzné obory) VŠB Technická univerzita Ostrava Logika pro informatiky (a příbuzné obory) učební text Doc. RNDr. Marie Duží, CSc. Ostrava 2012 Vydavatelství VŠB-TU Ostrava Vydání této publikace je spolufinancováno Evropským

Více

V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy ve výrokové logice.

V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy ve výrokové logice. 1 Výroková logika Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy ve výrokové logice. Výstupy z výukové jednotky Student bude umět základní logické operace

Více

Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky

Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická

Více

Úvod do TI - logika 1. přednáška. Marie Duží

Úvod do TI - logika 1. přednáška. Marie Duží Úvod do TI - logika 1. přednáška Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Učební texty: http://www.cs.vsb.cz/duzi Courses Introduction to Logic: Informace pro studenty Učební texty: Kapitoly: Úvod

Více

Úvod do predikátové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 1

Úvod do predikátové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 1 Úvod do predikátové logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 1 Relace Neuspořádaná vs. uspořádaná dvojice {m, n} je neuspořádaná dvojice. m, n je uspořádaná dvojice. (FLÚ AV ČR) Logika:

Více

Úvod do logiky (PL): sémantika predikátové logiky

Úvod do logiky (PL): sémantika predikátové logiky Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): sémantika predikátové logiky doc. PhDr. Jiří

Více

2. ÚVOD DO OVLÁDACÍ TECHNIKY

2. ÚVOD DO OVLÁDACÍ TECHNIKY Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2. ÚVOD DO OVLÁDACÍ TECHNIKY OVLÁDACÍ TECHNIKA A LOGICKÉ ŘÍZENÍ 2.1.5 LOGICKÉ FUNKCE Cíle: Po prostudování

Více

Rejstřík. anotace 167 krok 167 nepřímý 169 podmiňovaný 181 rezolucí 210 rozborem případů 170 sporem 170 z hypotéz 167 z předpokladů 167 Duns Scotus 79

Rejstřík. anotace 167 krok 167 nepřímý 169 podmiňovaný 181 rezolucí 210 rozborem případů 170 sporem 170 z hypotéz 167 z předpokladů 167 Duns Scotus 79 Rejstřík Rejstřík A antecedent 27 Aristotelés 13 axiom 163 nezávislá množina 164 axiomatické systémy 163 axiom distributivity 222 axiomová schémata 164 B Beth 197 bezesporný 171 Bolzano 14 booleovské funktory

Více

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,

Více

Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných

Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 5. Odvození z jiných doc. PhDr. Jiří Raclavský,

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin 1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické

Více

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení 1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří

Více

09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika

09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika Logika 1 Logika Slovo logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. Logika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Premisa Premisa Závěr

Premisa Premisa Závěr Studijní text Argumentace Jak to v komunikaci přirozeně děláme, jak argumentujeme? Leden má 31 dní, protože je prvním měsícem roku. Vím, že nelze nekomunikovat. Tzn. každý člověk komunikuje. A Petr je

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

Cvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]

Cvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] Cvičení 4 negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] p q p q p q q p p A B C D E UEK UED A B C D E F 0 0 1 1 0 0 0 1 p q

Více

Booleovská algebra. Pravdivostní tabulka. Karnaughova mapa. Booleovské n-krychle. Základní zákony. Unární a binární funkce. Podmínky.

Booleovská algebra. Pravdivostní tabulka. Karnaughova mapa. Booleovské n-krychle. Základní zákony. Unární a binární funkce. Podmínky. Booleovská algebra. Pravdivostní tabulka. Karnaughova mapa. Booleovské n-krychle. Základní zákony. Unární a binární funkce. Podmínky. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více