Masarykova univerzita Fakulta informatiky. Detekce cyklů v dynamických grafech. Jaroslav Bendík

Transkript

1 Msrykov univerzit Fkult informtiky Deteke yklů v dynmikýh grfeh Bklářská práe Jroslv Bendík Brno, 204

2 Prohlášení Prohlšuji, že tto práe je mým původním utorským dílem, které jsem vyprovl smosttně. Všehny zdroje, prmeny literturu, které jsem při vyprování používl neo z nih čerpl, v prái řádně ituji s uvedením úplného odkzu n příslušný zdroj. Jroslv Bendík Vedouí práe: prof. RNDr. Ivn Černá, CS. i

3 Shrnutí Práe se zývá prolémem dosžitelnosti keptujííh yklů v dynmikýh grfeh, tedy v grfeh, které jsou postupně modifikovány tk, že se do nih přidá, neo se nopk odeere některá z existujííh hrn, prolém dosžitelnosti keptujíího yklu je rozhodován po kždé tkovéto změně. V prái je podroně popsán formálně definován tento prolém. Dále je zde ukázáno triviální řešení pomoí lgoritmu znořeného prohledávání do hlouky (NDFS), kdy se po kždé změně v grfu grf vždy znovu prohledá prolém dosžitelnosti keptujíího yklu je znovu rozhodnut. Postupně je poukzováno n různé příčiny neefektivnosti tohoto řešení jsou nvrhovány zdůvodňovány možnosti, proč jk je možné toto řešení optimlizovt. Ve výsledku jsou předstveny dvě mírně odlišné optimlizovné verze lgoritmu NDFS pro řešení zkoumného prolému, jejihž vzájemná efektivit se liší podle typu zprovávného grfu typu prováděnýh modifikí grfu. ii

4 Klíčová slov dynmiký grf, keptujíí ykly v grfu, dosžitelnost v grfu, lgoritmus prohledávání do hlouky, verifike iii

5 Osh Úvod Práe n podoné tém Formální definie prolému výhozí lgoritmy 2. Prolém keptujíího yklu Prolém keptujíího yklu nd dynmikým grfem Prohledávání grfu do hlouky Znořené prohledávání grfu do hlouky Zákldní lgoritmus Optimlizovný lgoritmus. Vliv opere zprování Nvázání n předhozí ěh prohledávání Oznčení keptujíího yklu Anotovný grf Opere zprování nd notovným grfem Výsledný optimlizovný lgoritmus Alterntvní přístupy 4. NDFS ez onovy hodnot proměnnýh Využití Trjnov lgoritmu Závěr 5 Litertur 6 iv

6 ÚVOD Úvod Grfové lgoritmy mjí ve světě rozsáhlé využití i když většin lidí ni netuší o to grf z mtemtikého pohledu je, jelikož si pod tímto pojmem ovykle předství pouze kus koláče, tk jejih služy využívjí kždodenně niž y si to uvědomovli. Typikým příkldem je využití interktivní mpy n weu k nlezení nejkrtší esty mezi dvěm městy, jelikož se n pozdí při jejím hledání ve skutečnosti řeší prolém nlezení nejkrtší esty v grfu, kde vrholy v grfu předstvují měst hrny, jenž tyto vrholy spojují, předstvují silnie. Stčí tedy pouze vymyslet, jk se dá prolémová situe z reálného svět strhovt do podoy grfového prolému můžeme místo zdánlivě složité úlohy řešit mnohdy jednoduhý grfový prolém. Cílem této klářské práe ylo vymyslet efektivní lgoritmus pro řešení prolému dosžitelnosti keptujííh yklů v dynmikém grfu, ož je něo, o můžeme v reálném světě využít npříkld při tvorě umělé inteligene v odvětví rootiky. Prolém dosžitelnosti yklů v grfu se již několik let využívá v odvětví softwrové verifike při ověřování, že systém, který má pevnou množinu možnýh stvů množinu přehodů mezi těmito stvy, funguje správně. Pokud rozšíříme tento prolém n prohledávání dynmikého grfu, tedy grfu, ve kterém jsou postupně přidávány neo odeírány hrny, tk můžeme řešením tohoto prolému ověřovt i správnost fungování dynmiky se měníího systému, tedy právě npříkld správnost hování root s umělou inteligení, který s kždým svým pohyem rozvíjí své znlosti o okolním světe. Vedouí mé klářské práe mi ylo určeno, yh jko zákld nvrhovného lgoritmu využil lgoritmus znořeného prohledávání do hlouky [2], jenž se dá mimo jiné využít právě pro deteki keptujííh yklů v grfu. Triviální způso, jkým se dá tento lgoritmus využít i pro prái s dynmikými grfy, je opkovně pomoí něj prohledávt grf po kždé změně, která je v něm proveden. Jelikož všk kždá tkováto změn předstvuje pouze změnu v existeni jedné hrny, tk se zřejmě průěh prohledávání nově vzniklého grfu nemusí mo lišit od průěhu prohledání pro předhozí grf mělo y ýt možné nové prohledávání uryhlit díky znlosti informí získnýh při předhozíh prohledávání. Při návrhu lgoritmu jsem tedy vyházel z tohoto triviálního způsou hledl jsem možnosti jk ho optimlizovt. V první fázi této klářské práe jsem zkouml existujíí grfové lgoritmy zývjíí se dosžitelností keptujííh yklů neo lespoň částí tohoto prolému, tedy dosžitelností vrholů či existeni yklů v grfu, hledl nějké zjímvé vlstnosti grfů, které yh při návrhu svého lgoritmu mohl využít. Během druhé fáze jsem formálně zdefinovl řešený prolém, sestrojil pseudokód popsl fungování zdného triviálního řešení, zkouml možnosti, jk toto triviální řešení vylepšit. Následovlo vytvoření dvou mírně odlišnýh vrint optimlizovného lgoritmu, jejihž vzájemná čsová náročnost se liší v závislosti n počtu podoě prováděnýh

7 ÚVOD úprv v grfu. Uvedl jsem, v přípdně potřey dokázl, vlstnosti grfů, které yly nezytné k ukázání korektnosti těhto optimlizí. Poslední fáze yl změřen n nástin dlšíh možnýh řešení zdného prolému, uvedení jejih výhod i nevýhod porovnání s mnou nvrženým lgoritmem. Hlvním ílem této práe ylo uprvit zdný lgoritmus do tkové podoy, která y yl svou čsovou náročností efektivnější zároveň y měl prostorovou složitost vyšší mximálně o konstntní nárůst toto se povedlo. Výsledný lgoritmus je ž n extrémní přípdy ryhlejší než původní triviální řešení. Struktur písemné práe je rozdělen do tří zákldníh částí. V první části je formálně definován řešený prolém, je popsán lgoritmus znořeného prohledávání do hlouky, n jehož modifiki je tto práe zložen, jsou uvedeny teoretiké zákldy, ze kterýh jsem vyházel. V druhé části je předstven triviální lgoritmus řešíí zdný prolém, je poukázáno n hlvní příčiny jeho neefektivity jsou postupně předstveny kroky potřené pro jeho optimlizi; kód výsledného optimlizovného lgoritmu je uveden n koni této části. Závěrečná část práe oshuje dlší dvě lterntivní řešení, přičemž jedno je mírnou modifikí výsledného řešení druhé nstiňuje možný přístup k prolému ez využití vnořeného prohledávání do hlouky. Práe n podoné tém Při řešení prolému dosžitelnosti keptujíího yklu v grfu se vlstně řeší dv podprolémy: prolém dosžitelnosti prolém existene keptujíího yklu. Speiálně prolémem dosžitelnosti nd dynmikým grfem se zývli pánové Lim Roditty Uri Zwik [7], kteří přišli s lgoritmem, jehož mortizovná čsová náročnost n provedení ktulize grfu ptří do O(m + n log(n)) čsová složitost dotzu v nejhorším přípdě do O(n), kde m je součsný počet hrn n je počet vrholů v grfu. Prolém dosžitelnosti keptujíího yklu je čsto využíván při verifikování systému metodou ověřování modelu (model heking) s použitím lineární temporální logiky (LTL) [], kdy se prolém existene nesprávného hování systému dá převést právě n prolém existene dosžitelného keptujíího yklu v grfu. Řešení tohoto prolému ve spojitosti s LTL verifikí společně zkoumli Jo Geldenhuys Antti Vlmri [6], nmísto lgoritmu znořeného prohledávání do hlouky všk využívjí Trjnův lgoritmus [8] pro deteki silně souvislýh komponent v grfu. Možnost využití tohoto přístupu je kráte diskutován v závěrečné kpitole této práe. 2

8 2 FORMÁLNÍ ZÁKLADY 2 Formální definie prolému výhozí lgoritmy 2. Prolém keptujíího yklu Je dán orientovný grf G = (V, E), počáteční vrhol v 0 rozkld množiny vrholů V n keptujíí nekeptujíí vrholy. Akeptujíí yklus v grfu je tkový yklus, který oshuje lespoň jeden keptujíí vrhol. Prolém keptujíího yklu předstvuje rozhodnutí, zd grf oshuje keptujíí yklus dosžitelný z počátečního vrholu v Prolém keptujíího yklu nd dynmikým grfem Nehť G(V, E) je orientovný grf nehť H(h ± 0,...h± n ) je posloupnost prvků ve tvru (, ) :, V, přičemž prvky s indexem h + udeme nzývt ditivními prvky prvky s indexem h prvky sutrktivními. Zprováním prvku h z posloupnosti H udeme oznčovt trnsformi grfu G(V, E) n grf G(V, E), přičemž pro ditivní prvky pltí G = (V, E {h}) pro sutrktivní prvky pltí G = (V, E {h}). Řekneme, že pro grf G posloupnost H je grf G v k-té iteri, pokud proěhlo zprování prvníh k prvků z posloupnosti H. Grf G, který je v k-té iteri, udeme dále oznčovt G k. Prolémem keptujíího yklu nd dynmikým grfem rozumíme rozhodnutí, zd pro čtveřii (G(V, E), v 0 V, H, i) n vstupu grf G i oshuje keptujíí yklus dosžitelný z vrholu v 0.

9 2 FORMÁLNÍ ZÁKLADY 2. Prohledávání grfu do hlouky 2. Prohledávání grfu do hlouky Prohledávání grfu do hlouky, zkráeně DFS [] (z nglikého Depth First Serh) je jeden ze zákldníh lgoritmů pro prohledávání grfu. Pro zdný grf G = (V, E) počáteční od v 0 lgoritmus systemtiky nlezne všehny vrholy, které jsou z v 0 dosžitelné. V tomto lgoritmu jsou vždy zkoumány hrny vedouí z právě zprovávného vrholu v vyere se vždy tková, která vede do ztím neojeveného vrholu w zčne se jeho zprovávání. Tento postup se opkuje tk dlouho, dokud z právě zprovávného vrholu vede nějká hrn do vrholu, který ještě neyl ojeven. Jkmile z vrholu w již žádná tková hrn nevede, tk je zprovávání vrholu w ukončeno lgoritmus pokrčuje s výpočtem ve vrholu, ze kterého yl vrhol w ojeven. Celý výpočet zčíná v počátečním vrholu v 0 končí ve hvíli, kdy z vrholu v 0 nevedou žádné hrny do doposud neojevenýh vrholů. V tu hvíli jsou ojeveny všehny vrholy dosžitelné z v 0. V kždém okmžiku ěhu prohledávání je vrhol oznčen uď z ílý, šedý neo černý. Bílé vrholy jsou tkové, které se ztím nezčly zprovávt (neyly tedy ještě ojeveny). Šedé jsou tkové, které již yly ojeveny, le jejih zprovávání ještě neylo ukončeno. Černé jsou tkové vrholy, jejihž zprovávání ylo již ukončeno. Kždému vrholu je ve hvíli, kdy je ojeven, přiřzen čsová známk, která určuje pořdí vrholů, v jkém yly ojeveny. Nejmenší čsová známk je 0 při ojevení kždého dlšího vrholu se vždy zvětší o jedn. Pltí tedy, že pokud je čsová známk vrholu v menší, než čsová známk vrholu w, tk yl vrhol v ojeven dříve, než vrhol w. Kromě přidělení čsové známky je pro kždý vrhol při jeho ojevení určen rele rodič-potomek. Rodičem vrholu w je vrhol v, ze kterého yl w ojeven; zároveň povíme, že w je potomkem v. Rodiče vrholu v udeme ukládt v proměnné π[v], v přípdě, že rodič vrholu není ztím určený, tk π[v] = N IL. Trnzitivní uzávěr této rele tvoří reli předek-následník. Algoritmus DFS tké vytváří depth-first tree [], zkráeně DFT, s kořenem v 0, který oshuje všehny vrholy dosžitelné z v 0. DFT reprezentuje reli rodičpotomek pro kždý dosžitelný vrhol. Formálně řečeno, pro grf G = (V, E) počátení vrhol v 0, definujeme DFT grfu G jko jeho podgrf G π = (V π, E π ), kde: V π = {v V : π[v] NIL} v 0 E π = {(π[v], v) : v V π {v 0 }} Průěh prohledávání tedy i podo příslušného DFT je závislá n tom, v jkém pořdí prozkoumáváme jednotlivé hrny. Pokud y výěr hrn proíhl náhodně, tk y pro grf G mohlo existovt několik nvzájem neizomorfníh DFT. Z tohoto 4

10 2 FORMÁLNÍ ZÁKLADY 2. Prohledávání grfu do hlouky důvodu předpokládáme, že máme dné uspořádání n množině hrn i n množině vrholů hrny pro prozkoumání volíme v závislosti n tomto uspořádání. Pro různé ěhy lgoritmu DFS n grfu G nám proto vzniknou vždy, ž n izomorfismus, shodné DHT. DFS(G(V, E), v 0 ) for eh vertex v V 2 do v.olor white π[v] NIL 4 timestmp 0 5 DFS-Visit(v 0 ) DFS-Visit(v) v.olor gry 2 v.timestmp timestmp timestmp timestmp + 4 for eh (v, w) E 5 do if w.olor = white 6 then π[w] v 7 DFS-Visit(w) 8 v.olor lk Orázek 2. Zákldní lgoritmus Prohledávání grfu do hlouky (DFS) Proedur DFS pruje následovně. Řádky ž orví všehny vrholy n ílé nství jim jko rodiče hodnotu NIL. Řádek 4 nství hodnotu gloální proměnné pro čsovou známku n 0. Řádek 5 spustí prohledávání pomoí proedury DFS- VISIT. Proedur DFS-VISIT pruje následovně. Řádek orví právě zprovávný vrhol n šedou rvu. Řádek 2 přiřdí vrholu čsovou známku. Řádek inkrementuje hodnotu gloální čsové známky. Řádky 4 ž 7 postupně zkoumjí všehny hrny vedouí z právě zprovávného vrholu pokud hrn vede do doposud neojeveného (ílého) vrholu, tk mu řádek 6 přiřdí rodiče řádek 7 n něm spustí vnořenou proeduru DFS-VISIT. Řádek 8 orví vrhol n černo ve hvíli, kdy končí jeho zprovávání. Průěh prohledávání orientovném grfu ukzuje orázek 2.. 5

11 2 FORMÁLNÍ ZÁKLADY 2. Prohledávání grfu do hlouky Pro určení čsové složitosti lgoritmu si ještě jednou projděme postupně elý pseudokód. Řádky -2 v proeduře DFS zerou čs O(V ) řádky -4 jsou konstntní opere. Proedur DFS-VISIT je prováděn pro kždý nvštívený vrhol právě jednou, jelikož se spouští pouze n ílýh vrholeh po zčátku zprování vrholu ho hned orví n šedou. Řádky 4-7 jsou pro kždý vrhol zprovány právě tolikrát, kolik z dného vrholu vyhází hrn, elkově tedy všehn zprování těhto řádků zere čs O(E). Celková čsová složitost tohoto lgoritmu tk náleží do O(V + E). Důkz korektnosti lgoritmu lze njít v []. 2 d 7 e g 8 4 f h 5 i 6 Orázek 2.2 Depth-first tree znázorňujíí průěh lgoritmu DFS n grfu z orázku 2.2. Čísl nd vrholy ukzují čsové známky vrholů tedy i čs, kdy yly přidány do DFT. Z orázku je vidět, že pokud má vrhol víe potomků, tk jsou seřzeny zlev doprv, v závislosti n jejih čsové známe. Tohoto přístupu se udeme dále držet. 6

12 2 FORMÁLNÍ ZÁKLADY 2. Prohledávání grfu do hlouky d e f g h i 2 d e f g h i 2 d e f g h i 2 d e 4 f g h i 2 d e 4 f g h i 2 d e 4 f g 5 h i 2 d e 4 f g 5 h 6 i 2 d e 4 f g 5 h 6 i 2 d e 4 f g 5 h 6 i 2 d e 4 f g 5 h 6 i 2 d e 4 f g 5 h 6 i 2 7 d e 4 f g 5 h 6 i 2 7 d e 4 f 8 g 5 h 6 i 2 7 d e 4 f 8 g 5 h 6 i 2 7 d e 4 f 8 g 5 h 6 i 2 7 d e 4 f 8 g 5 h 6 i Orázek 2. Průěh lgoritmu prohledávání do hlouky n orientovném grfu o devíti vrholeh, {,,..., i}, s eedním uspořádáním podle jejih názvu. N hrnáh je definováno uspořádání po složkáh (vrholeh). Nenvštívené vrholy jsou znázorněné ílou rvou, vrholy, které se již zčly zprovávt, šedou rvou vrholy, jejihž zprování ylo již ukončeno, jsou znázorněny černou rvou. Čsové známky, určujíí pořdí, v jkém yly vrholy ojeveny, jsou vepsány dovnitř vrholů. 7

13 2 FORMÁLNÍ ZÁKLADY 2.4 Znořené prohledávání grfu do hlouky 2.4 Znořené prohledávání grfu do hlouky Pokud potřeujeme detekovt dosžitelné keptujíí ykly v grfu, můžeme npříkld využít tuto strtegii: nejprve njdeme v grfu dosžitelný keptujíí vrhol poté zjistíme, jestli je tento vrhol součástí nějkého yklu. Pro účely první fáze, tedy deteke keptujíího vrholu, můžeme využít již zmíněný lgoritmus DFS. Ten totiž umožňuje projít všehny dosžitelné vrholy v grfu, proto je pomoí něj i možné njít všehny dosžitelné keptujíí vrholy. Pro účely druhé fáze, tedy ověření, zd je keptujíí vrhol v osžen v nějkém yklu, lze využít opět lgoritmus DFS. Tentokrát udeme zjišťovt, jestli je vrhol v dosžitelný sám ze see, ož odpovídá tomu, ýti součástí yklu. Budeme proto prohledávt grf pomoí lgoritmu DFS u kždého vrholu, těsně předtím, než ukončíme jeho zprovávání, ověříme, zd-li se jedná o keptujíí vrhol pokud no, tk spustíme vnořenou proeduru DFS zjistíme, jestli je tento vrhol součástí keptujíího yklu. Algoritmus znořeného prohledávání do hlouky, zkráeně NDFS (z nglikého Nested Depth First Serh) pro zdný orientovný grf G = (V, E), počáteční vrhol v 0 rozkld množiny V n keptujíí nekeptujíí vrholy, rozhodne, jestli G oshuje keptujíí yklus dosžitelný z vrholu v 0. Pokud no, tk vrátí hodnotu true, v opčném přípdě hodnotu f lse. Jeho pseudokód ukzuje orázek 2.4. Funke ACC-CYCLE-DETECTION pruje následovně. Řádek do návrtové gloální proměnné deteted přiřdí hodnotu f lse, jelikož jsme žádný keptujíí yklus ztím nedetekovli. Řádky 2 ž 5 orví všehny vrholy n ílé, nství jim jko rodiče hodnotu N IL nství indikátor.nested pro vnitřní DFS proeduru. Řádek 6 nství hodnotu gloální čsové známky n 0. Řádek 7 spustí prohledáví proeduru NDFS-VISIT řádek 8 vrátí výsledek tohoto prohledávání. Proedur NDFS-VISIT pruje odoně jko proedur DFS-VISIT, která yl popsán n orázku 2.. Jediným rozdílem jsou řádky 8 9, které kontrolují, jestli je právě zprovávný vrhol keptujíí pokud no, tk spustí proeduru n deteki yklu. 8

14 2 FORMÁLNÍ ZÁKLADY 2.4 Znořené prohledávání grfu do hlouky A-Cyle-Detetion(G(V, E), v 0 ) deteted flse 2 for eh vertex v V do v.olor white 4 π[v] NIL 5 v.nested flse 6 timestmp 0 7 NDFS-Visit(v 0 ) 8 return deteted NDFS-Visit(v) v.olor gry 2 v.timestmp timestmp timestmp timestmp + 4 for eh (v, w) E 5 do if w.olor = white 6 then π[w] v 7 NDFS-Visit(w) 8 if v.isa 9 then Detet-Cyle(v) 0 v.olor lk Detet-Cyle(v) v.nested true 2 for eh (v, w) E do if w.olor = gry 4 then deteted true 5 EXIT() 6 elseif w.nested true 7 Detet-Cyle(w) Orázek 2.4 Algoritmus znořeného prohledávání do hlouky (NDFS) Proedur DETECT-CYCLE kontroluje, jestli je vrhol součástí yklu pruje n již popsném prinipu prohledávání do hlouky. Řádek oznčí vrhol v v proměnné v.nested z nvštívený. Řádky 2 ž 7 postupně prozkoumjí hrny (v, w) vedouí z vrholu v, řádek zkontroluje, jestli yl nlezen yklus, pokud no, tk uprví gloální proměnnou deteted pomoí volání EXIT() ukončí elé rekurzivní volání proedury NDFS-VISIT. Pokud hrn vedouí do vrholu w neznmenl deteki keptujíího yklu, pokud w ještě touto proedurou neyl nvštíven, tk pokrčujeme jeho zprováním. 9

15 2 FORMÁLNÍ ZÁKLADY 2.4 Znořené prohledávání grfu do hlouky Pozorování () V průěhu proházení grfu vnější proedurou DFS se kždý vrhol grfu nhází v dnou hvíli právě v jednom ze tří stvů: Doposud nenvštívený, tedy ílý vrhol Vrhol, který již zčl ýt zprováván, tedy šedý vrhol Vrhol, jehož zprování je již ukončeno, tedy černý vrhol () Pro kždý vrhol v kždou hvíli pltí, že má mximálně jednoho šedého potomk, jelikož potomi kždého vrholu jsou zprováváni postupně () Pro kždý šedý vrhol pltí, že jeho rodič je tké šedý, jelikož zprovávání vrholu je ukončeno ž ve hvíli, kdy je ukončeno zprovávání všeh jeho potomků (d) Ve hvíli, kdy se kontroluje, jestli je právě zprovávný vrhol keptujíí, tk už tento vrhol nemá žádné šedé potomky, jelikož ylo jejih zprování již ukončeno (e) Z () () vyplývá, že v kždou hvíli všehny ktuálně šedé vrholy tvoří právě jednu estu v grfu, počínjíí ve vrholu v 0, (f) z (d) vyplývá, že ve hvíli, kdy se kontroluje, jestli je právě zprovávný vrhol v keptujíí, tk tento vrhol tvoří poslední článek této esty. Pltí tedy, že z kždého šedého vrholu různého od v nutně existuje est do v Důsledek n lgoritmus Při prohledávání ve vnořené proeduře DETECT- CYCLE stčí k deteki yklu pouze nlezení liovolného šedého vrholu. Pozorování (g) Po skončení proedury NDFS-VISIT(v), volné v průěhu zprovávání NDFS- VISIT(v 0 ), je zprování všeh následníků vrholu v již ukončeno neyl nlezen žádný yklus (kdyy yl, tk již yl výpočet ukončen). Pltí tedy, že černý podgrf dosžitelný z vrholu v neoshuje keptujíí yklus. (h) Jestliže podgrf dosžitelný z vrholu v neoshuje keptujíí yklus, tk žádný keptujíí yklus dosžitelný z vrholu u, který leží mimo tento podgrf, neprohází vrholem dosžitelným z v. Důsledek n lgoritmus Ve volání vnitřní proedury DETECT-CYCLE lze omezit zkoumání n tkové vrholy, které ještě neyly zkoumány v žádném předhozím volání proedury DETECT-CYCLE. 0

16 2 FORMÁLNÍ ZÁKLADY 2.5 Zákldní lgoritmus Čsová složitost iniilizční funke ACC-CYCLE-DETECTION jsme již určovli u lgoritmu DFS, jediný rozdíl je přidání řádků 7, které mjí konstntní čsovou složitost. Složitost této proedury tedy ptří do třídy O(V + E). Proedur NDFS-VISIT je prováděn pro kždý vrhol mximálně jednou, jelikož se spouští pouze pro ílé vrholy kždý tkový vrhol je hned po spuštění proedury orvený. Řádky 4 ž 7 tvoří konstntní opere neo volání dlší proedury jsou pro kždý vrhol zprovány právě tolikrát, kolik hrn z dného vrholu vede, elkově tedy pro všehny hrny v grfu zere toto zprování čs v O(E). Proedur DETECT-CYCLE je prováděn pro kždý keptujíí vrhol právě jednou, řádek má konstntní složitost, řádky 2 ž 7 jsou konstntní opere jsou spuštěny pro kždou hrnu v grfu mximálně jednou. Zprování této proedury tedy zere čs v O(E). Celková čsová složitost tohoto lgoritmu tedy ptří do třídy O(V + E + E) = O(V + E). 2.5 Zákldní lgoritmus Podle definie prolému keptujíího yklu nd dynmikým grfem, kterou jsme uvedli v kpitole 2.2, máme n vstupu prolému grf G = (V, E), počáteční vrhol v 0, rozkld množiny V n keptujíí nekeptujíí vrholy, posloupnost H index i heme rozhodnout, zd grf G i oshuje keptujíí yklus dosžitelný z vrholu v 0. V kpitole 2.4 jsme si ukázli lgoritmus ACC-CYCLE-DETECTION, který řeší deteki keptujííh yklů v G dosžitelnýh z vrholu v 0. Potřeujeme tedy ještě lgoritmus, který y zprovávl jednotlivé prvky posloupnosti H dokázl tk po zprování prvníh i prvků trnsformovt grf G G 0 n grf G i. Z definie víme, že zprování prvku h uď tento prvek přidá, neo odeere z množiny E to v závislosti n tom, zd-li se jedná o ditivní, neo sutrktivní prvek. Pseudokód proedury ALTER-GRAPH, která řeší zprování jednoho prvku z posloupnosti H ukzuje orázek.. Jde n první pohled vidět, že tto proedur má konstntní čsovou složitost. Alter-Grph(G(V, E), h) if h.issutrtive 2 then E E h else E E h Orázek. Proedur ALTER-GRAPH pro zprování prvků posloupnosti Nyní už máme k dispozii vše potřené proto, yhom mohli předstvit lgoritmus BASIC-DYM-ACC-CYCLE-DETECTION, který řeší prolém keptujíího yklu nd dynmikým grfem. Vstupem lgoritmu je trojie(g(v, E), v 0, H), kde G je orientovný grf zdný množinou vrholů V, s určeným rozkldem n keptujíí nekeptujíí vrholy, množinou hrn E, v 0 předstvuje počáteční vrhol

17 2 FORMÁLNÍ ZÁKLADY 2.5 Zákldní lgoritmus H je posloupnost prvků pro zprování. Algoritmus nejprve pomoí funke ACC- CYCLE-DETECTION rozhodne, zd iniiální grf G 0 oshuje keptujíí yklus následně zčne zprovávt jednotlivé prvky posloupnosti H, přičemž po zprování kždého prvku znov spustí funki ACC-CYCLE-DETECTION. Výsledky volání této funke ukládá do pole S, které slouží jko návrtová hodnot po ukončení lgoritmu. Pltí tedy, že grf G i oshuje keptujíí yklus právě tehdy, když pole S n i-té pozii oshuje hodnotu true. Bsi-Dym-A-Cyle-Detetion(G(V, E), v 0, H) S rry() 2 S 0 A-Cyle-Detetion(G(V, E), v 0 ) for (i = ; i H.length; i = i + ) 4 do Alter-Grph(G(V, E), h i ) 5 S i A-Cyle-Detetion(G(V, E), v 0 ) 6 return S Orázek.2 yklů v dynmikém grfu Algoritmus BASIC-DYM-ACC-CYCLE-DETECTION pro deteki keptujííh Čsovou složitost BASIC-DYM-ACC-CYCLE-DETECTION určíme jednoduše, jelikož je z větší části složen z lgoritmů, pro které jsme si již čsovou složitost určili dříve. Řády 6 mjí konstntní čsovou složitost o ALTER-GRAPH jsme si již ukázli, že má tké konstntní čsovou složitost. O ACC-CYCLE-DETECTION víme, že má složitost v O(V +E), přičemž n řádku 2 je vykonán jednou n řádíh -5 tolikrát, kolik prvků má posloupnost H. Výsledná čsová složitost lgoritmu je tedy v O((k + ) (V + E)), kde k je počet prvků posloupnosti H. Tková práe s dynmikým grfem má i dopd n prostorovou složitost. Jelikož lgoritmus NDFS při svém průěhu mění informe o grfu s řídíím hrkterem, jko jsou npříkld rvy vrholů či rele π, tk je tře při zčátku nového prohledávání tyto informe onovit do iniiálního stvu. A jelikož y tto onov yl čsově náročná, tk udeme předpokládt, že máme zvlášť uloženou čistou kopii grfu s iniiálním ohodnoením těhto údjů, pokždé, když se v této prái udeme odkzovt n zčátek nového prohledávání, tk tím udeme myslet prohledávání n této čisté kopii grfu. 2

18 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS Optimlizovný lgoritmus V této kpitole si předstvíme efektivní lgoritmus, který dokáže rozhodovt Prolém keptujíího yklu v dynmikém grfu. Nivní lgoritmus BASIC-DYM- ACC-CYCLE-DETECTION, předstvený v kpitole 2.5, pruje tk, že pro kždou iteri zčíná nové prohledávání grfu G. Intuitivně je všk jsné, že přidáním, neo oderáním, jedné hrny v grfu G i, se průěh prohledávání pro nově vzniklý grf G i+ nemusí mo lišit od průěhu prohledávání grfu G i že se tyto dv průěhy zčnou lišit ž ve hvíli, kdy má on hrn poprvé nějký vliv n prohledávání. Zákldní ideou optimlize tohoto lgoritmu je neopkovt zytečně části prohledávání, které mjí stejný průěh jko v předhozí iteri, le prohledávt tře jen jistý podgrf elého grfu. v 0 v v v i S S2 S Orázek. DHT z prohledávání grfu G i, které skončilo nlezením keptujíího yklu při zkoumání vrholu v. Pokud yl v dlší iteri tento yklus nrušen, tk yhom rádi npříkld nvázli n prohledávání grfu G i+ ž v odě v i podgrf S znov neprohledávli. Pro účely ryhlejšího rozhodnutí o tom, zd grf G v i-té iteri oshuje keptujíí yklus, využijeme informe získné v předhozíh iteríh; udeme si tedy kromě množin V, s rozkldem n keptujíí nekeptujíí vrholy, E, jenž určují grf v právě zprovávné iteri, posloupnosti H pmtovt i nějké dlší informe nví. Je všk nutné zvolit optimální množství těhto informí, protože pokud y jih ylo mnoho, tk y lgoritmus sie mohl mít lepší čsovou složitost než lgoritmus BASIC-DYM-ACC-CYCLE-DETECTION, le jeho prostorová náročnost y mohl ýt nedekvátně větší.

19 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS. Vliv opere zprování. Vliv opere zprování Při pohledu n lgoritmus DFS je zřejmé, že možný vliv n to, v jkém pořdí udou zprovávány vrholy při proházení grfu, může mít pouze pořdí, v jkém prozkoumáváme hrny vedouí z právě zprovávnýh vrholů vol počátečního vrholu prohledávání. Osttní opere prováděné při prohledávání mjí pouze znčkoví hrkter (orvování vrholů, oznčovní vrholů čsovými známkmi ukládání rodičů jednotlivýh vrholů). My všk máme počáteční vrhol pevně dný v kpitole 2. jsme si uvedli, že poždujeme uspořádání n množině hrn že se tímto uspořádáním řídíme při výěru hrn k prozkoumání; tento výěr tedy proíhá zel deterministiky. Pltí tedy, že průěh lgoritmu DFS je vždy stejný. Algoritmus znořeného prohledávání do hlouky (NDFS) v tkové podoě, jké jsme ho uvedli, se od lgoritmu DFS liší pouze přidáním operí, které nemjí řídíí hrkter tedy ni vliv n průěh lgoritmu, vnořené proedury DETECT- CYCLE. Tto proedur je všk opět mírně modifikovnou verzí lgoritmu DFS, yl do ní přidán kontrol rvy dosžitelného vrholu možnost okmžitého ukončení této proedury včetně elého rekurzivního volání proedury NDFS-VISIT, ož je sie operí řídíího hrkteru, le nepřináší nedeterministiké hování. Pltí tedy, že i průěh lgoritmu NDFS má při opkovném spuštění n jednom grfu vždy stejný průěh. Zprování jednoho prvku h = (u, v), které grf G i uprví n grf G i+, už všk může ovlivnit průěh lgoritmu NDFS pro nás je podsttné, v jkém okmžiku se tto úprv projeví. Je zřejmé, že sene neo přítomnost nové hrny, může mít vliv ž ve hvíli, kdy lgoritmus s tkovou hrnou poprvé nějk pruje to nstává v okmžiku, kdy je zprováván vrhol u mjíí čsovou známku k. Do toho okmžiku je průěh prohledávání grfu G i+ zel identiký tomu, který yl pro grf G i, tedy zprování vrholů s čsovou známkou menší než k proěhlo stejně. Nším ílem je nvázt n předhozí prohledávání právě v okmžiku, kdy zčl ýt zprováván vrhol u neo nějký předek vrholu u. Tkový vrhol udeme nzývt iniiální vrhol; omezení n něj kldené způso jeho výěru ještě upřesníme později..2 Nvázání n předhozí ěh prohledávání Stv prohledávání je jednoznčně dán ohodnoením proměnnýh zásoníkem volání funkí [4], který uhovává informi o ktuálním znoření funkčního volání. V přípdě proedury ACC-CYCLE-DETECTION jsou těmito proměnnými indikátor existene keptujíího yklu deteted, čítč čsovýh známek timestmp, pole uhovávjíí reli rodič-potomek pro jednotlivé vrholy π, rvy, čsové známky indikátory.nested jednotlivýh vrholů. Proto, yhom nvázli n výpočet ve hvíli, kdy zčl ýt zprováván iniiální vrhol, nstvíme proměnné následovně: deteted n f lse, jelikož ještě neyl ojeven keptujíí yklus 4

20 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS.2 Nvázání n předhozí ěh prohledávání čítč timestmp n čsovou známku iniiálního vrholu rvu n white u všeh vrholů, které mjí větší čsovou známku než iniiální vrhol indikátor.nested n flse u všeh vrholů, které mjí větší čsovou známku než iniiální vrhol čsové známky těhto vrholů pro ně příslušné hodnoty v π uprvovt nemusíme, jelikož je zktulizujeme jkmile tyto vrholy zčneme znov zprovávt opětovné zprování je umožněno výše uvedenou změnou rvy vrholů. Ayhom si všk toto mohli dovolit, tk udeme muset omezit využívání těhto informí pouze n neílé vrholy. První dvě úprvy jsme shopni provést v konstntním čse. Ty zývjíí všk mohou ýt čsově náročnější trohu komplikovnější. Všimněme si následujíího pozorování: Pozorování (i) Pokud je v šedý vrhol s čsovou známkou k, tk všehny vrholy s čsovou známkou větší než k jsou z v dosžitelné jsou jeho potomky A my yhom právě htěli uprvit všehny vrholy, které mjí čsovou známku větší než nějké l, kde l je čsová známk iniiálního vrholu, kvůli i) y pro nás ylo výhodné, y všehny tkové vrholy yly dosžitelné z iniiálního vrholu. Proto udeme vyždovt, y iniiální vrhol yl šedý vrhol neo shodný s počátečním vrholem v 0. S tímto omezením jsme shopni njít všehny vrholy, mjíí čsovou známku větší neo rovno než l, pomoí prohledávání do hlouky, s počátkem v iniiálním vrholu, kždý vrhol při jeho zprování náležitě uprvit. Orázek.4 ukzuje kód proedury CLEAN-VERTICES, která tyto úprvy provede. Clen-Verties(v) v.olor white 2 π[v] NIL for eh (v, w) E 4 do if w.olor white w.timestmp > v.timestmp 5 then Clen-Verties(w) Orázek.4 Proedur CLEAN-VERTICES pro vstup v prohledá podgrf vrholu v kždému vrholu z tohoto podstromu nství rvu n šedou rodiče n NIL. Rozeznání vrholů, které je tře touto proedurou nvštívit, proíhá pomoí čsové známky rvy vrholu, přičemž čsová známk vymezuje všehny vrholy, které heme uprvit rv v komini s čsovou známkou rozlišuje ty vrholy, které už touto proedurou yly uprveny. 5

21 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS.2 Nvázání n předhozí ěh prohledávání Čsová náročnost této onovy hodnot proměnnýh ovšem může ýt očs velmi vysoká, v nejhorším přípdě se může stát, že yhom onovovli hodnoty všeh vrholů v grfu. Očs je tedy výhodnější rozhodnout se vůe n předhozí prohledávání nenvzovt zčít prohledávt grf úplně znovu. Toto rozhodnutí zložíme n tom, jký je poměr mezi počtem vrholů, jejihž hodnoty yhom tkto onovovli, počtem vrholů, které předházely při minulém prohledávání iniiálnímu vrholu. Počet vrholů, které předházeli iniiálnímu vrholu, je rovný čsové známe iniiálního vrholu. Jelikož poždujeme, y iniiální vrhol yl šedý vrhol všehny vrholy, jejihž hodnotu heme uprvit, yli jeho potomky, tk je počet těhto vrholů roven rozdílu mezi hodnoty čítče timestmp (ož je čsová známk posledního ojeveného vrholu) čsovou známkou iniiálního vrholu. Jestliže počet vrholů k uprvení převyšuje počet vrholu předházejííh, tk zčneme úplně nové prohledávání, v opčném přípdě nvážeme n předhozí prohledávání. ) ) d e f d e f g h i j k g h i j k ) d) e) g g g h i h i h i d j j e e k f f Orázek.5 ukzuje grf ve dvou po soě následujííh iteríh příslušné DHT. Nví ukzuje prolém, který y vznikl, kdyyhom nvázli n průěh minulého prohledávání neonovili ohodnoení příslušnýh proměnnýh. ) je grf G i, ) je grf G i+ vzniklý oderáním hrny (i, d), vrhol f tvoří keptujíí yklus. ) je DHT grfu G i, d) je DHT grfu G i+. e) vznikne, pokud si jko iniiální vrhol zvolíme i, 6

22 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS.2 Nvázání n předhozí ěh prohledávání mjíí čsovou známku k, nezhodíme změny provedené n vrholeh s vyšší čsovou známkou než k. Vrholu e tk totiž zůstne šedá rv neude již znov zprován. Onovení zásoníku volání funkí Zásoník volání umožňuje, y se z právě zprovávné proedury α mohlo zvolt zprování vnořené proedury β, vykont elou proeduru β po jejím ukončení se nvrátit ke zprovávání proedury α. Zásoník volání si proto tedy pmtuje dvě věi: vnější proeduru, ze které ylo zvoláno zprování vnořené proedury, instruki ve vnější proeduře, kterou se mělo pokrčovt. V přípdě nšeho lgoritmu vzniká znořené volání uvnitř vnější proedury NDFS-VISIT, v momentě, když se zkoumjí dosžitelné vrholy z právě zprovávného vrholu. Pokud se njde nějký dosžitelný vrhol, který ještě neyl ojeven, tk se n něj zvolá vnořená proedur NDFS-VISIT o návrt pokrčování ve vnější proeduře se normálně strá zásoník volání. Pokud všk zčneme s nším výpočtem ž zprováváním iniiálního vrholu, tk žádný zásoník volání existovt neude neudeme shopni po ukončení zprování iniiálního vrholu pokrčovt ve zprovávání jeho předků. Zásoník volání je systémová záležitost my ho nemůžeme uprvovt. Proto jeho činnost nsimulujeme. Řekli jsme, že zásoník volání si pmtuje proeduru, do které se vrátit instruki, kterou pokrčovt, po ukončení vnořené proedury; stčí tedy zjistit tyto dvě věi. Proeduru, do které se máme vrátit po ukončení vnoření proedury, zjistíme pomoí hodnoty v poli π. T totiž pro kždý ojevený vrhol v (vyjm v 0 ) uhovává informi o tom, kdo je jeho rodič tedy i to, při zprovávání kterého vrholu došlo k zvolání vnořené proedury pro jeho zprování. Pltí tedy, že NDFS-VISIT(π[v]) zvoll proeduru NDFS-VISIT(v). Instruke v rámi vnější proedury, kterou máme pokrčovt po ukončení znořené proedury NDFS-VISIT, je vždy stejná, jelikož vnitřní proeduru voláme vždy n stejném místě. Jedná se o místo, ve kterém se zkoumjí odhozí hrny z právě zprovávného vrholu. Jenomže zásoník volání si nejen pmtuje proeduru, do které se vrátit, instruki, kterou pokrčovt, le nví umožňuje se k ní vrátit. To my le neumíme; mohli yhom sie spustit znovu proeduru NDFS-VISIT(π[v]), le neumíme ji spustit ž od určité instruke. Proto místo této proedury zvoláme jinou, pomonou proeduru, která oshuje pouze ty instruke, které se ještě měli vykont. Proedur COMPLETE-CALL pro vrhol π[v] n vstupu nváže n zprovávání vrholu π[v] ve hvíli, kdy y se normálně pokrčovlo ve výpočtu při ukončení vnořené proedury pro vrhol v. Její kód je tvořen výňtkem z kódu proedury NDFS-VISIT ukzuje ho orázek.6. Proedur CALL-STACK pro vrhol v n vstupu zpruje v pomoí proedury NDFS-VISIT dokončí zprovávání všeh předků vrholu v to z pomoi pos- 7

23 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS.2 Nvázání n předhozí ěh prohledávání tupného volání proedury COMPLETE-CALL, její kód ukzuje orázek.7. Pro nás ude tto proedur sloužit k nvázání n průěh předhozího vyhledávání, n vstupu tedy ude iniiální vrhol. Complete-Cll(v) for eh (v, w) E 2 do if w.olor = white then π[w] v 4 NDFS-Visit(w) 5 if v.isa 6 then Detet-Cyle(v) 7 v.olor lk Orázek.6 Proedur COMPLETE-CALL nvzuje n průěh proedury NDFS-VISIT v okmžiku, kdy se zkoumjí odhozí hrny z právě zprovávného vrholu. Cll-Stk(v) NDFS-Visit(v) 2 v π[v] while v NIL 4 do Complete-Cll(v) 5 v π[v] Orázek.7 Proedur CALL-STACK nejprve zpruje vstupní vrhol v poté, pokud má vrhol v nějké předky, tk postupně dokončí i jejih zprovávání. Výpočet končí, když je dokončeno zprovávání prvku, který nemá žádného rodiče, ož pltí pro počáteční vrhol v 0. Pltí sie, že žádného rodiče nemjí tky ztím neojevené vrholy, le ty se v průěhu této proedury neojeví, jelikož prujeme pouze s vrholy z pole π to oshuje pouze ojevené vrholy. Onovení hodnot.nested u vrholů Než si povíme, jk onovit hodnoty.nested u jednotlivýh vrholů do stvu, v jkém yly při zčátku zprovávání iniiálního vrholu, tk ještě uprvíme způso, jk udeme tyto hodnoty nstvovt. Doposud proíhlo nstvení iniiální hodnoty f lse v rámi proedury ACC-CYCLE-DETECTION, my toto iniiální nstvení přesuneme ž do proedury NDFS-VISIT. Pro zdůvodnění, proč to můžeme udělt, se podívejme n následujíí pozorování. 8

24 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS.2 Nvázání n předhozí ěh prohledávání Pozorování (j) Při přervování vrholu v n černo v rámi proedury NDFS-VISIT jsou všehny vrholy z něj dosžitelné uď oznčeny z jeho potomky přerveno n černo (pozorování (d)) neo est k nim vede přes nějkého šedého předk vrholu v, tkže tto est, od šedého vrholu dále, není v rámi zprovávání vrholu v zkoumán (tyto vrholy jsou potomky některého předk vrholu v) (k) Vnitřní proedur DETECT-CYCLE(v) prohledává elý podgrf dosžitelný z vrholu v, le jelikož její průěh je ukončen ve hvíli, kdy nrzí n první šedý vrhol (neo neojeví žádný šedý vrhol), tk pltí, že zprovává, kromě keptujíího vrholu, pouze černé vrholy. Jelikož podle (k) DETECT-CYCLE(v) pruje pouze s černými vrholy černé vrholy jsou orvovány v rámi proedury NDFS-VISIT, tk nstvení výhozí hodnoty.nested pro tyto vrholu můžeme provést ž při jejih zprovávání. To nám ušetří trohu čsu, jelikož doposud jsme tuto hodnotu nstvovli i pro nedosžitelné vrholy vrholy, které možná ni neudou zprovány. Má to le ještě jednu výhodu, nejprve se všk podívejme n dlší pozorování. (l) Z (k) plyne, že keptujíí yklus prohází mximálně dvěm šedými vrholy (keptujíím vrholem vrholem, jehož nlezením je ukončeno hledání yklu, ož může ýt i onen keptujíí yklus). Ten z nih, který má nižší čsovou známku, udeme oznčovt h. (m) Akeptujíí yklus je tvořen pouze následníky vrholu h. Pokud y to tk neylo keptujíí yklus y oshovl i nějký černý vrhol, který není následníkem vrholu h, tk y musel mít nutně vyšší čsovou známku než h h y yl dosžitelný z, jelikož jsou o součástí jednoho yklu. Pk y le h musel nutně ýt ojeven v rámi zprovávání tedy i jeho následníkem jelikož je h šedý, tk y i (podle ()) musel ýt šedý to je spor (s (k)). Ve hvíli, kdy nvzujeme n průěh předhozího prohledávání, můžeme vrholy, jenž mjí hodnotu.nested rovnu true (tedy ty vrholy, které yly zprovány v rámi nějkého ěhu proedury DETECT-CYCLE), rozdělit n dvě skupiny: vrholy, které jsou součástí keptujíího yklu vrholy, které jeho součástí nejsou. Vrholy, které jsou sočástí keptujíího yklu jsou podle (m) následníky nějkého vrholu h toho můžeme využít. Kdyy vždy pltilo, že iniiálním vrholem je vrhol h, neo nějký jeho předek, tk yhom při onově proedurou CLEAN- VERTICES přervili všehny tyto vrholy n ílou rvu. A jelikož ěhem proedury DETECT-CYCLE prujeme pouze s černými vrholy, tk nemusíme pro vrholy, které tvořily keptujíí yklus, onovovt hodnoty.nested; ty udou onoveny ve hvíli, kdy ude vrhol znovu nvštíven proedurou NDFS-VISIT. 9

25 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS. Oznčení keptujíího yklu Položíme tedy dlší omezení n iniiální vrhol: Iniiální vrhol musí ýt vždy uď vrhol h z pozorování (l) neo nějký jeho předek Vrholy, které neyly součástí keptujíího yklu, můžeme opět rozdělit n dvě skupiny: vrholy, které jsou následníky vrholu h ty, jenž nejsou. Pro vrholy, které jsou potomky vrholu h pltí výše uvedené v souvislosti s vrholy, které yly součástí keptujíího yklu; jejih hodnoty tedy není tře onovovt. Pro vrholy, které nejsou následníky vrholu h pltí, že při jejih zprování proedurou DETECT- CYCLE z nih nevedl est k žádnému šedému vrholu, jelikož kdyy vedl, tk y při jejih zprování yl nutně detekován keptujíí yklus to neyl. Nví pltí, že ni v žádném okmžiku při prohledávání vnější proedurou, který následovl po zprování tkovýhto vrholů, z těhto vrholů nevedl est k šedému vrholu (pozorování (h)). Tto est y mohl vzniknout pouze v přípdě, že y do grfu yl přidán hrn k níž (respektive od níž) vede est z (respektive k) tkovému vrholu. Jelikož jsou všk tyto vrholy černé my poždujeme, y iniiální vrhol yl šedý zároveň y yl uď shodný s výhozím vrholem tkto přidné hrny neo s nějkým předkem tohoto vrholu, tk y yly nutně námi diskutovné vrholy následníky iniiálního vrholu pltí pro ně opět výše zmíněné; není tře u nih onovovt hodnotu.nested, jelikož t ude onoven při jejih opětovném nvštívení vnější proedurou.. Oznčení keptujíího yklu V přípdě, kdy mám v grfu již nlezený keptujíí yklus přidáme do něj dlší hrnu, tk zřejmě tento keptujíí yklus nemůže zniknout. Proto při zprování ditivního prvku v tkovém přípdě neudeme nikdy spouštět prohledávání grfu, pouze zkontrolujeme, jestli toto zprování nemohlo změnit iniiální vrhol. Pokud všk máme grf, ve kterém již existuje dosžitelný keptujíí yklus, my z něj odeereme hrnu, tk můžeme tento yklus (neo estu k němu) nrušit. Cestu k keptujíímu yklu jsme shopni rozeznt, jelikož je tvořen šedými vrholy (pozorování (e) (f)), vrholy tvoříí keptujíí yklus všk již shopni rozeznt nejsme. Z toho důvodu nějk oznčíme i tyto vrholy, yhom při zprování sutrktivního prvku yli shopni řít, zd yl nrušen již existujíí keptujíí yklus (neo est k němu) je potře zčít prohledávt grf. Toto oznčení udeme provádět v rámi ěhu vnitřní proedury pro deteki keptujíího yklu DETECT-CYCLE(v) to tk, že kždý vrhol při zčátku jeho zprovávání vhodně oznčíme při ukončení jeho zprovávání toto oznčení zse odstrníme. Pltí totiž, že tto proedur uď zpruje všehny vrholy dosžitelné z vrholu v nenlezne keptujíí yklus (tkže i ukončí zprovávání všeh vrholů dosžitelnýh z v), neo nlezne keptujíí yklus okmžitě ukončí průěh proedury. Zprovávání některýh vrholů tedy neude ukončeno jelikož tto pro- 20

26 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS.4 Anotovný grf edur pruje n prinipu prohledávání do hlouky, tk pltí, že právě tyto vrholy tvoří keptujíí yklus (pozorování (e)). Vrholy udeme oznčovt pomoí čísl ktuální itere, yhom dokázli rozlišit ktuální keptujíí yklus od keptujííh yklů, které yly nrušeny v předhozíh iteríh. V rámi nšeho progrmu proto zvedeme dlší dvě proměnné, čítč ktuální itere itertion číslo itere, ve které yl nposledy prohledáván grf lstserh. Kód modifikovné proedury DETECT-CYCLE ukzuje orázek.8. Detet-Cyle(v) v.nested true 2 v.itertion itertion for eh (v, w) E 4 do if w.olor = gry 5 then deteted true 6 EXIT() 7 elseif w.nested true 8 Detet-Cyle(w) 9 v.itertion Orázek.8 Modifikovná proedur DETECT-CYCLE. Řádek 2 n zčátku zprovávání kždého vrholu v uloží do v.itertion číslo ktuální itere oznčí tk tento vrhol jko poteniální součást keptujíího yklu. V přípdě, že vrhol není součástí keptujíího yklu, tk je n řádku 9 toto oznčení nstveno n hodnotu - (ož zřejmě není číslo žádné itere). Pozorování (o) Po skončení prohledávání grfu může nstt pouze jedn z těhto dvou možností Byl nlezen keptujíí yklus, který je tvořen právě tkovými vrholy v, pro které je hodnot v.itertion rovn hodnotě lstserh Neyl nlezen keptujíí yklus pro žádný vrhol v nepltí, že hodnot v.itertion je rovn hodnotě lstserh.4 Anotovný grf Již jsme si uvedli všehny dodtečné informe, které si z účelem zefektivnění výpočtu udeme muset pmtovt. Grf rozšířený o tyto informe udeme nzývt notovným grfem nyní si pro zopkovní upřesnění uvedeme jeho formální definii. Anotovný grf G = (V, E, v 0, init, itertion, lstserh, deteted) se skládá z množiny vrholů V, množiny hrn E, počátečního vrholu v 0, iniiálního vrholu 2

27 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS.5 Opere zprování nd notovným grfem init, ktuální itere, ve které se grf nhází itertion, číslo itere lstserh, ve které nposledy došlo k prohledávání grfu hodnoty deteted, která udržuje informi o existeni dosžitelného keptujíího yklu v tomto grfu. v V = (olor,, timestmp, nestor, nested, Itertion) olor {white, gry, lk} je rv vrholu {true, flse} rozlišuje, zd-li se jedná o keptujíí vrhol timestmp N je čsová známk nestor V je rodič tohoto vrholu (z čehož mimo jiné pro neílé vrholy vyplývá, že v grfu existuje hrn e = (nestor, v)) Itertion N určuje poslední iteri, ve které yl vrhol oznčen z součást keptujíího yklu e E = (, );, V v 0, init V itertion N je číslo itere, ve které se grf momentálně nhází, tedy počet již zprovnýh prvků z množiny H lstserh {0..itertion} deteted {true, flse} Dříve jsme v pseudokódeh použitýh funkí používli pro grf znčení G(V, E), jelikož jsme v této funki tyhle možiny využívli. Pro notovný grf všk udeme v zájmu přehlednosti používt pouze oznčení G, jelikož již používáme mnohem víe proměnnýh, než jen V E. Názvy příslušnýh proměnnýh použitýh v kódu funke jsou převzty z výše uvedené definie jejih význm y tk měl ýt zřejmý..5 Opere zprování nd notovným grfem V kpitole 2.2 jsme si definovli operi zprování pro grf G = (V, E), pro prái s notovným grfem všk udeme muset tuto definii změnit. Zprováním prvku h z posloupnosti H udeme oznčovt trnsformi notovného grfu G = (V, E, v 0, init, itertion, lstserh, deteted) n notovný grf G = (V, E, v 0, init, itertion, lstserh, deteted). Pokud v důsledku zprování prvku nedojde k prohledávání grfu, tk ude V shodné s V, v opčném přípdě ude V určeno průěhem prohledávání. Dále pk pro ditivní prvky pltí E = E {h} pro sustrktivní prvky E = E h. Hodnot itertion je rovn itertion+. Hodnot lstserh je závislá n tom, zd-li se při zprování prvku prohledává grf či nikoliv. Pokud no, tk lstserh má hodnotu itertion, pokud ne, zůstává tto hodnot stejná jko v grfu G. Ohodnoení deteted je uď závislé n výsledku 22

28 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS.5 Opere zprování nd notovným grfem prohledávání grfu, pokud ylo uskutečněno, neo tto hodnot zůstává stejná jko pro grf G. Hodnot init je dán existení dosžitelného keptujíího yklu v G, dále n tom, jestli zprováváme ditivní, či sutrktivní prvek h = (u, v), tké n vlstnosteh vrholu u v. Musíme proto rozlišit několik různýh situí; postup určení hodnoty init je uveden níže. Řekneme, že pro notovný grf G posloupnost H je G v k-té iteri, pokud proěhlo zprování prvníh k prvků z posloupnosti H. Anotovný grf G, který je v k-té iteri, udeme dále oznčovt G k. NGA vrholu Pokud zprováváme hrnu h = (u, v), tk yhom očs htěli, y se u stl novým iniiálním vrholem. Jelikož všk jsem si položení omezení, že iniiální vrhol musí ýt šedý, tk to nemusí ýt možné. Z toho důvodu v těhto situíh místo vrholu u použijeme nějkého jeho předk. Pod pojmem NGA (z nglikého Nerest Gry Anestor) vrholu v udeme oznčovt toho šedého předk vrholu v, který má nejvyšší čsovou známku. Jelikož si při zprovávání liovolného vrholu vždy zpmtujeme, ze kterého vrholu yl tento vrhol nvštíven, tk jsme shopni itertivně pomoí této vzy pro kždý vrhol NGA spočítt. Nutnou podmínkou je, y kždý vrhol měl lespoň jednoho šedého předk, le t je utomtiky splněn, jelikož kždý vrhol má jko předk minimálně vrhol v 0 ten je šedý vždy. Pro vrhol v 0 ílé vrholy není NGA definován. Zprování prvku pro grf, který neoshuje dosžitelný keptujíí yklus To, že grf G i neoshuje dosžitelný keptujíí yklus znmená, že yl elý prohledán keptujíí yklus neyl při prohledávání nlezen. To tké znmená, že zprování všeh vrholů ylo při prohledávání ukončeno grf tk neoshuje ni jeden šedý vrhol. A jelikož jsme si n iniiální vrhol položili omezení, že musí ýt uď šedý neo shodný s počátečním vrholem, tk hodnot init v grfu G i musí ýt nutně v 0. Zveďme si tři následujíí prvidl: Jestliže prohledávání grfu nenlezne keptujíí yklus, tk se iniiálním vrholem stává počáteční vrhol v 0 Jestliže yhom měli nvázt n předhozí prohledávání iniiální vrhol je shodný s vrholem v 0, tk nvzovt neudeme, le zčneme úplně nové prohledávání pomoí ACC-CYCLE-DETECTION. 2

29 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS.5 Opere zprování nd notovným grfem Jestliže prohledávání grfu skončí nlezením keptujíího yklu, tk se iniiálním vrholem stává šedý vrhol ležíí n keptujíím yklu, který má nejmenší čsovou známku (vrhol h z pozorování (l)). Zřejmě pltí, že jestliže grf G i neoshuje dosžitelný keptujíí yklus, tk tím, že z něj odeereme liovolnou hrnu, n tomto fktu ni nezměníme. Proto neudeme spouštět nové prohledávání ni neudeme měnit hodnotu iniiálního vrholu. Přidáním nové hrny všk již vznik tkového yklu zpříčinit můžeme udeme proto muset uprvený grf prohledávt. Nová hodnot iniiálního vrholu je dán výše uvedenými prvidly. Zprování prvku pro grf, který oshuje dosžitelný keptujíí yklus Jestliže grf G i oshuje dosžitelný keptujíí yklus my do něj přidáme liovolnou hrnu, tk je zřejmé, že existeni tohoto yklu nijk neovlivníme z toho důvodu ni neudeme spouštět prohledávání grfu. Můžeme všk zpříčinit vznik dlšího dosžitelného keptujíího yklu v tkovém přípdě musíme zvážit uprvení iniiálního vrholu. Následuje výčet jednotlivýh možností, jk může vypdt přidná hrn do grfu jký dopd ude mít tto změn n iniiální vrhol.. (černý vrhol, černý vrhol), předpokládáme zde i níže pojmenování této dvojie vrholů (u, v) Může způsoit vznik nového keptujíího yklu. Pltí, že pokud je čsová známk vrholu u menší než čsová známk iniiálního vrholu, tk se novým iniiálním vrholem stává NGA vrholu u. 2. (šedý vrhol, černý vrhol) Může způsoit vznik nového dosžitelného keptujíího yklu, le jelikož zprování vrholu u ještě neylo ukončeno, tk ude tto hrn lgoritmem ještě zprován. Iniiální vrhol se nemění.. (černý vrhol, šedý vrhol) Může způsoit vznik nového keptujíího yklu, pltí že pokud je čsová známk vrholu u menší než čsová známk iniiálního vrholu, tk se NGA vrholu u stává novým iniiálním vrholem. 4. (šedý vrhol, šedý vrhol) Může způsoit vznik nového keptujíího yklu, le jelikož zprování vrholu u ještě neylo ukončeno, ude tto hrn lgoritmem teprve zprován. Iniiální vrhol se nemění. 24

30 OPTIMALIZOVANÝ ALGORITMUS.5 Opere zprování nd notovným grfem 5. (černý vrhol, ílý vrhol) Může způsoit vznik nového keptujíího yklu. Pltí, že pokud je čsová známk vrholu u menší než čsová známk iniiálního vrholu, tk se novým iniiálním vrholem stává NGA vrholu u. 6. (ílý vrhol, černý vrhol) Může způsoit vznik nového keptujíího yklu, le jelikož vrhol u teprve ude lgoritmem zprován, tk se iniiální vrhol nemění. 7. (šedý vrhol, ílý vrhol) Může způsoit vznik nového keptujíího yklu, le jelikož zprování vrholu u ještě neylo ukončeno, tk ude tto hrn lgoritmem ještě zprován. Iniiální vrhol se nemění. 8. (ílý vrhol, šedý vrhol) Může způsoit vznik nového keptujíího yklu, le jelikož vrhol u teprve ude lgoritmem zprován, tk se iniiální vrhol nemění. 9. (ílý vrhol, ílý vrhol) Může způsoit vznik nového keptujíího yklu, le jelikož vrhol u teprve ude lgoritmem zprován, tk se iniiální vrhol nemění. Z výše uvedenýh devíti možností vyšlo pouze pro tři z nih, že přidání hrny tkového typu může mít vliv n iniiální vrhol jsou to právě hrny vedouí z černýh vrholů. Tento výsledek je le zel očekávtelný, jelikož pokud hrn vede z ílého vrholu, tk vede z míst, do kterého se výpočet, n nějž heme nvázt, vůe nedostl, proto zde ni nemůžeme nlézt žádný vhodný iniiální vrhol. U hrn, které vedou z šedýh vrholů, pltí, že tyto hrny mohou ýt prozkoumány v pokrčujíím ěhu prohledávání, proto pokud y přidání tkové hrny mohlo způsoit vznik nového dosžitelného keptujíího yklu, tk to, že nezměníme iniiální vrhol, dosžitelnost tkového yklu neovlivní. Prolémem je všk to, že n hrnáh máme definovné uspořádání, které je zložené n uspořádání vrholů, z toho důvodu yhom mohli tuto hrnu přeskočit. Proto tohle uspořádání uprvíme následovně: v nulté iteri grfu je uspořádání n hrnáh dáno opět v závislosti n uspořádání vrholů pokud v dlšíh iteríh přidáme do grfu nějkou hrnu, tk ji v tomto uspořádání vždy zřdíme n poslední místo. To nám zručí, že nově přidnou hrnu vždy udeme moi zprovt. V přípdě, kdy grf oshovl dosžitelný keptujíí yklus my z něj odeereme hrnu, tk můžeme tento yklus rozpojit neo rozpojit estu k němu. Pokud jedno z těhto rozpojení nstne, tk v přípdě potřey změníme iniiální vrhol vždy udeme prohledávt grf. Jk jsme si uvedli již dříve, est k keptujíímu yklu je tvořen šedými vrholy keptujíí yklus je oznčen pomoí proměnnýh.itertion, kontrolu n rozpojení proto udeme provádět pomoí těhto oznčení. 25