Jde o situace, ve kterých podmínky, předurčující jejich výsledek, jsou daleko méně kontrolovatelné, než u jednoduchých laboratorních

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Jde o situace, ve kterých podmínky, předurčující jejich výsledek, jsou daleko méně kontrolovatelné, než u jednoduchých laboratorních"

Transkript

1 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika 1.1. Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti Ve fyzice nebo chemii můžeme najít mnoho příkladů tzv. deterministických pokusů. Jde o příklady zákonů typu, při splnění určitých podmínek nastane vždy určitý následek. Ponoří-li se do roztoku CUSO 4 elektrody, začne se na katodě hromadit měď. Vystavíme-li vodu v nádobě teplotě -20 C, dojde k zamrznutí vody. Tento deterministický výsledek pokusu nastane vždy, kdy jsou správně dodrženy podmínky pokusu. Ale existují také pokusy, při kterých tomu tak není. Pokud několik akumulátorů vystavíme jistým podmínkách, automobil s některými akumulátory nastartuje a s jinými akumulátory nenastartuje. Např. po několika týdnech nedobíjení akumulátoru při nízké teplotě nelze s jistotou říci, zda bude funkční. Při pokusu o telefonické spojení s daným číslem nelze určit, zda volaný bude mít zapnutý telefon, zda bude v dosahu signálu, zda nebude mít jiný telefonní hovor. Uvede-li se do provozu určité zařízení, nelze ani při dokonale známé technologii výroby s jistotou říci, že bude bez poruchy pracovat 200 hodin, ani že k poruše dojde během prvních 10 měsících provozu, ani že poruše dojde až po skončení záručního období. Jde o situace, ve kterých podmínky, předurčující jejich výsledek, jsou daleko méně kontrolovatelné, než u jednoduchých laboratorních pokusů. U takovýchto činností lze jen popsat množinu možných výsledků a do někdy jen vágně, např. slovy, že výsledek nastává velmi často, často, zřídka, vyjímečně. Všem takovým činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně předurčen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (aspoň v zásadě, teoreticky) neomezeně mnohokrát opakovatelné za stejných podmínek, říkáme náhodné pokusy. Co do předvídatelnosti výsledků podobají se všechny zmíněné náhodné pokusy úkonům z hazardních her jako je rozdávání karet, házení 9

2 10 mincí, kostkou, losováním z osudí, v ruletě. Náhodné pokusy sdružené s hazardními (náhodnými) hrami se obvykle používají pro ilustraci základních principů počtu pravděpodobnosti a jsou také těsně spjaty s prvními historickými matematickými studiemi pravděpodobnosti. Ale i mezi historickými úlohami lze dohledat jiné příklady. Např. Laplace ( ) v r počítá jaká je pravděpodobnost, že všech 6 známých planet a 10 satelitů obíhá stejným směrem (P = 2 15 = 1/32768). A dochází k závěru, že vzhledem k této malé pravděpodobnosti musí existovat síla (zákon), který předurčuje toto chování planetárního systému. Vhodný matematický model pro popis náhodných jevů vzniká až na začátku 20. století Kolmogorov ( ) a to přesto, že kombinatorické problémy jsou již dávno vyřešeny. Pascalův trojúhelník patrně znal již al-karadži ( ). Kombinatorika se objevila daleko dříve v Asii, nejstaršími dosud nalezenými a spolehlivými prameny jsou především sútry. Bhagabati Sútra (kolem 300 př. Kr.) obsahuje počty permutací k prvků z n pro k = 1, 2, 3 a stejně tak počty kombinací. Počátek teorie pravděpodobnosti je všeobecně datován rokem 1654 a je spojován se jmény Blaise Pascala ( ) a Pierra Fermata ( ), kteří v tomto roce na popud Gombauda (nebo Gombaulda) rytíře de Méré ( ) řešili ve své korespondenci jisté problémy týkající se hry v kostky. Jak tomu však obvykle bývá, zakladatel vědecké disciplíny či objevitel klíčového poznatku má řadu předchůdců a předřešitelů. Úlohy o rozdělení sázky řešil již Luca Pacioli (1445? 1514?) v knize Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, která vyšla v r. 1494, a také Nicolo Tartaglia (1499?-1557) v knize General trattato di numeri et misura, která vyšla v r Jejich řešení jsou ale chybná. Zřejmě první prací, věnovanou počtu pravděpodobnosti, je práce Hieronyma Cardana ( ) De ludo aleæ, která byla zřejmě napsána v r. 1526, ale otištěna až v r v jeho sebraných spisech. Teorií pravděpodobnosti se zabýval také Galileo Galilei ( ), jeho spis Considerazione sopra il giuco dei dadi vyšel až v r a datum vzniku není známo. Při řešení kombinatorických úloh s herní motivací jmenovaní vychází z pojetí pravděpodobnosti odpovídající dnešní klasické definici pravděpodobnosti, pojem pravděpodobnost ale vůbec nedefinují jejich cílem bylo řešení jistých konkrétních úloh a nikoli definování pojmů a teoretické studium jejich vlastností. Například podle de Mére má být nadpoloviční šance na dvě šestky při házení dvěma kostkami počínaje 24 hody. Jako vážnivý hráč ale

3 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika 11 bobouřen shledává, že to není pravda. Následně Pascal v dopisu Fermatovi z o tom píše: To tedy byl jeho velký skandál, který ho přiměl domýšlivě říci, že poučky nejsou stálé a že se aritmetika mýlí: vy ale jistě snadno uvidíte důvod podle principů, k nimž jste dospěl. Hazardní hry se stávají exklusivní cestou k pravděpodobnostnímu myšlení. Může se zdát podivné, že nebyla nalezena žádná dřívější explicitní zmínka o relativní četnosti vrhů určitých čísel či jejich kombinací. Vždyť v Evropě se hra v kostky udržela v masové oblibě od římských dob až do renesance, kdy byla zčásti vytlačena kartami. Ke kritice a zákazům však docházelo jak ze strany církve, tak i státu. Římská republika hraní kostek zákonem omezila na dobu Saturnálií (kolem našich vánoc). O hře zvané hazard se v knize Essay d analyse sur les jeux de hazard z roku 1708 zmiňuje francouzský matematik Pierre Rémond de Montmort ( ). V knize řeší řadu kombinatorických a pravděpodobnostních úloh. Etymologie slova hazard je předmětem sporů jedno vysvětlení je odvozuje od al zhar, což je kostka, druhé od asar, značící obtížné. Další hypotéza odvozuje původ slova z názvu syrské pevnosti uvedeného v textu vůdce první křižácké výpravy Godefroy de Bouillona ( ), který uvádí: Do Hazait jelo skvělé poselstvo a nazývá se Hazait právě proto, že tam byly původně vyráběny a tečkami značeny kostky. Zmíněné úloze rytíře de Méré o rozdělení sázky se budeme konkrétně věnovat v části 2.3, i když se v těchto skriptech hazardním hrám budeme spíše vyhýbat (lze je dohledat v jiných učebnicích). Tato úloha totiž dává poučení: při řešení nejisté úlohy v budoucnosti máme uvažovat pouze to, co se může stát, a nikoliv to, co se již stalo. O tom, že tato zásada není obecně používána, se v běžném životě přesvědčujeme více než často. Hazardními hrám nebudeme věnovat větší prostor, také proto abychom nedávali marnou naději hráčům, vždyť už v Řecku Iuvenalius píše: K stolům, kde v kostky se hraje, se nejde s hubeným měšcem; má-li se opravdu hrát, to přistaví celičkou truhlu. K jakým tu dochází bitvám, když učetní převezme roli zbrojnoše. Je to snad bláznovství pouhé, když sto tisíc ve hře promarní člověk, jenž otroku v zimě chce tuniku upřít? Je s podivem, když hazardní hry dnešní společnost nezakazuje, není snad známo kolik zničených životů mají na svědomí? Vždyť jaké důvody vedly např. Otta I., Eduarda III., Jindřicha VIII., Fridricha II., trevírský koncil v letech 1227 a 1238, koncil ve Worcesteru v r.

4 k zákazu hry v kostky a karty. Proč Svatý Ludvík (IX.) zakazuje svým úředníkům nejen kostky, ale i šachy, návštěvu hostinců a smilstvo vše v jedné řadě a kostky se v celém svém království nesmějí ani vyrábět. Snažili se spíše obrátit pozornost k mužným sportům, ale těmito zákazy měli na zřeteli zejména související průvodní jevy her o peníze. Ty jsou popsány v Chaucerových Canterburských povídkách, v Povídce odpustkáře Kristovy hřeby! Pro Kristovy údy a jeho krev a srdce, u všech všudy. Máš tři a pět, a sedm padlo mně. Kristova muko! Hraješ-li falešně já do srdce ti vrazím tuhle dýku. Hle, to jsou plody kostek hazardníků: klam, zloba, vražda, proklínání kleté. a v povídce Fráterově: Přátelé... i jinam vodili ji podél řek a k zábavám u tichých studánek, do libých míst, kde nebyla sama, kde také i tančili a hrál se šach a dáma. Zbývá ještě odpověď na otázku položenou na začátku: proč se teorie pravděpodobnosti tak opozdila za ostatními oblastmi matematiky? Bývají navrhovány čtyři obecné důvody: nedostatečně zvládnutá kombinatorika, pověrčivost hráčů (to se ovšem vztahuje pouze k představě, že hry jsou cestou k pravděpodobnostnímu myšlení), nedostatečná představa o náhodnosti jako důležitému elementu dění, morální či náboženské přehrady bránící připuštění náhodnosti dějů (pomíjíme nedokonalost kostek). Problém náboženství nelze podceňovat, podle křesťanské věrouky všechno dění je v rukou Božích. S protiargumentem, že pak by vymizely hry i náhoda a štěstí se vyrovnal sv. Tomáš Akvinský poukazem na univerzální zákony a dílčí zákony a že sice nic se nemůže vymknout ze zákona universálního, ale u zákonu dílčího se to stát může a pak mluvíme o náhodnosti. Hugenotovi de Moivrovi dokonce pravděpodobnostní zákony vyjadřují pevný řád Vesmíru a vedou k uznání díla Stvořitelova. Mimo teologické úvahy to náhoda má dokonce horší. Benedikt Spinoza ( ) v r ve spisu Ethica ordine geometrico demonstrata píše, že událost může být považována za náhodnou jedině ve vztahu k našim nedostatečným znalostem. Tvrzení 29 zní: V přírodě neexistuje nic náhodného, nýbrž všechny věci jsou přirozeností Boha nutně determinovány k určitému modu existence a působení.

5 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika 13 Na str v českém překladu Spinoza, Etika, nakladatelství Svoboda, 1977 je uvedena Poznámka 1:... Jako náhodnou však označujeme věc jen z důvodů tkvících v nedostatečnosti našeho poznání. Ta věc, o níž nevíme, zda její esence nezahrnuje protiklad, nebo o níž bezpečně víme, že žádný protiklad nezahrnuje, a přesto o její existenci nemůžeme s jistotou tvrdit, protože řád příčin je nám skryt, taková věc se nám nemůže jevit ani jako nutná, ani jako nemožná, a proto ji nazýváme náhodnou nebo možnou. U d Alemberta v textu z r najdeme: Přesně vzato neexistuje žádná náhoda, jedině její ekvivalent: naše nevědomost, díky níž my sami jsme její příčinou. Stejné názory najdeme ostatně i u Laplace ( ). Ten si představoval universální bytost nevyčerpatelné inteligence vědoucí o Vesmíru v každém okamžiku vše a pojem pravděpodobnosti vůbec nepotřebující. Pro nás je však nutný z části díky nevědomosti, z části díky znalosti. Víme, že ze tří či více jevů by se měl státi pouze jediný, z ničeho však nemůžeme usoudit, který z nich to bude. V tomto stavu nerozhodnosti je nemožné ohlásit výsledek s jistotou. Naštěstí jsme dnes ovlivněni moderní biologií: variabilita druhů i jejich skupinového i individuálního vývoje je jen obtížně popíratelná a výrazný vliv náhodných procesů je rozpoznán. Stejně je tomu v kvantové fyzice, zachycující řadu náhodných procesů na nás zcela nezávislých, např. radioaktivní rozpad. Proto jsme na pojem náhodnosti jako charakteristického rysu života a všeho denní již zvyklí a nedovedeme si představit, že tomu někdy bylo jinak. Lze tedy dosti oprávněně soudit, a zde lze opět ocitovat myšlenku z úvodu o matematice pouze vyjadřující naše poznání, že hlavní příčinou pozdního zrodu pravděpodobnosti byla obecná nepřipravenost společnosti i jednotlivců k porozumění jejím koncepcím, neschopnost je začlenit do existujícího myšlenkového systému a také jakýmkoliv způsobem využít. Za místo jejího vzniku je patrně správné považovat Itálii 14. až 16. století, ale její myšlenky a postupy, ve společnosti nepřipravené je přijmout, zapadaly okamžitě po svém zrodu. Zásluhou západní Evropy, jmenovitě Francie 17. století bylo, že znovu oživené pravděpodobnostní problémy již dokázaly vzbudit společenský zájem. I když z počátku pouze u gamblerů na dvoře Ludvíka XIV.

6 14 To co tehdy a dnes ještě více dělá teorii pravděpodobnosti obtížnou a také nepopulární, jsou úvahy založené na deduktivním myšlení. Pro mnoho studentů je tento přístup přijatelný až po obrovském studijním úsilí a proto také často studia pravděpodobnosti zanechávají. Cílem této práce je zejména přiblížit teorii pravděpodobnosti každému laskavému čtenáři, pomoci získat nadhled a usnadnit mu bližší přístup k teoretičtějším publikacím.

7 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika Základní vzorce kombinatoriky Definice 1.1 Uspořádaná k-tice. Nechť {a 1, a 2,..., a n1 }, {b 1, b 2,..., b n2 },..., {g 1, g 2,..., g nk } je k skupin libovolných prvků; počet prvků i-té skupiny je n i. Počet různých k-tic {a i1, b i2,..., g ik } majících na prvním místě prvek z první skupiny, na druhém místě prvek z druhé skupiny, atd. je roven n 1 n 2 n 3... n k. Definice 1.2 Uspořádaný výběr s opakováním (variace s opakováním). Nechť je dána skupina n různých prvků, rozlišených např. čísly 1, 2,..., n. Ze skupiny se vybírá k-krát po sobě po jednom prvku, vybraný prvek se vždy před dalším vybráním vrací. Počet všech různých k-tic {i 1, i 2,..., i k }, které lze takto utvořit, je n k. Definice 1.3 Uspořádaný výběr bez opakování (variace k-té třídy z n prvků bez opakování). Nechť je dána skupina n prvků očíslovaných 1, 2,..., n. Ze skupiny se vybírá k-krát po sobě po jednom prvku, vybrané prvky se nevracejí. Počet všech možných k-tic {i 1, i 2,..., i k }, kde i j je číslo prvku vybraného při j-tém tahu, je roven n (k) = n(n 1)... (n k + 1). Definice 1.4 Permutace. Skupinu n prvků očíslovaných 1, 2,..., n lze uspořádat v posloupnost {i 1, i 2,..., i n }, n! = n (n) = n(n 1) způsoby. Jednotlivá uspořádání {i 1, i 2,..., i n } čísel 1, 2,..., n jsou tzv. permutace. Číslo n! udává počet permutací n prvků. Symbol n! se čte n-faktoriál. Definice 1.5 Neuspořádaný výběr bez opakování kombinace. Nechť je množina n prvků očíslovaných 1, 2,..., n. Počet různých podmnožin po k prvcích, které lze vybrat z dané množiny n prvků je roven n (k) k! = n! k!(n k)! = Různé podmnožiny o k prvcích vybrané z dané množiny jsou tzv. kombinace k prvků z n; číslo ( n k) udává počet kombinací k prvků z n a čte se n nad k. ( n k ).

8 16 Příklad 1.6 Náhodný pokus spočívá ve vytažení 4 karet z důkladně promíchané hry 32 karet. Jaká je pravděpodobnost, že budou vytaženy karty červená sedma, zelená desítka, žaludský král, kulové eso v uvedeném pořadí? Elementární jevy jsou v tomto příkladu jsou uspořádané čtveřice karet. Podle pravidla 3 je takových možných čtveřic 32 (4) = 32(32 1)... ( ) = = Důkladné zamíchání karet a vytahování bez snahy o ovlivnění výsledku vytváří předpoklady pro to, aby bylo možné považovat všechny čtveřice za stejně pravděpodobné. Pravděpodobnost vytažení čtyř daných karet v daném pořadí je 1 32 = 1,1587 (4) Příklad 1.7 Uvažujme náhodný pokus z předchozího příkladu a stanovme pravděpodobnost, že budou vytaženy čtyři dané karty v jakémkoliv pořadí. Počet elementárních jevů uspořádaných čtveřic už byl stanoven a je Dané čtyři karty lze (podle pravidla 4) uspořádat 4! = 24 způsoby. To znamená, že jevu vytažení 4 daných karet v libovolném pořadí je příznivých 24 elementárních jevů, a pravděpodobnost tohoto jevu je 4! 24 = 32 (4) = 2, Příklad 1.8 Náhodný pokus spočívá v šesti hodech kostkou; předpokládá se, že kostka je naprosto pravidelná a hází se bez snahy o dosažení určitého výsledku. A) Jaká je pravděpodobnost, že nepadne ani jednou šestka? B) Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jednou padne šestka? C) Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne právě jednou? D) Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne nejvýše jednou? E) Jaká je pravděpodobnost, že šestka více než jednou? Lze použít pravidla 2. Místo vybírání prvku ze skupiny šesti prvků je při každém hodu vybrána jedna ze šesti stěn kostky. Výsledek šesti hodů je úplně popsán uspořádanou šesticí (i 1, i 2,..., i 6 ), kde i j značí výsledek j-tého hodu. Počet takových šestic je 6 6 = Vzhledem k popsaným podmínkám je lze považovat za stejně pravděpodobné. A) Elementárních jevů, příznivých jevu nepadne žádná šestka, je 5 6 = (uspořádané skupiny neobsahující šestku lze vytvořit tak, že se na všech místech vystřídají všechny ze zbývajících možností).

9 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika 17 Pravděpodobnost, že v šesti hodech nepadne vůbec žádná šestka, je tedy rovna ( ) = = 0, B) Pravděpodobnost, že v šesti hodech padne šestka aspoň jednou, je rovna doplňku ( ) = 0, C) Jevu právě jednou padne šestka, jsou příznivé elementární jevy, popsané uspořádanou šesticí (i 1, i 2,..., i 6 ), ve kterých právě jedno i j je rovno 6 a ostatní jsou čísla od 1 do 5. Takových šestic je = (je 5 5 skupin (6, i 2, i 3,..., i 6 ) s i j 6, dále 5 5 skupin (i 1, 6, i 3,..., i 6 ) s i j 6, atd) Pravděpodobnost, že v šesti hodech padne právě jedna šestka, je tedy rovna = ( ) 5 5 = 0, D) Jev šestka padne nejvýše jednou, je sjednocením disjunktních jevů ani jednou nepadne šestka a právě jednou padne šestka. Pravděpodobnost, že šestka padne nejvýše jednou je tedy rovna součtu pravděpodobností těchto jevů: 0, ,4019 = 0,7368. E) Pravděpodobnost, že šestka padne více než jednou, je 1 0,7368 = 0,2632. Příklad 1.9 Problémy rytíře de Méré ( ): Úloha o kostkách De Méré tvrdil, že chce-li někdo hodin aspoň jednu šestku při opakovaném házení jednou kostkou, má nadpoloviční šanci na úspěch počínaje čtyřmi hody a poměr šancí na úspěch k šancím neúspěšným při čtyřech hodech je 671:625. Pokud chce někdo hodit aspoň jednou dvě šestky při házení dvěma kostkami, měl by mít podle de Mérého nadpoloviční šanci na úspěch počínaje 24 hody (neboť poměr 24:36 je stejný jako poměr 4:6). Ve své hráčské praxi ale zjistil, že to není pravda. Tvrzení ověříme vyřešením nerovnice ( )k < 1 2 ze které dostáváme k = takže dvěma kostkami je třeba hodit aspoň pětadvacekrát, aby šance na úspěch byla nadpoloviční.

10 18 Poměr šancí je = Úloha 1.10 Problémy rytíře de Méré ( ): Úloha o rozdělení sázky Dva hráči hrají sérii her o nějakou částku C, tuto částku získá ten hráč, který jako první vyhraje k her (hráči hrají na k vítězných her). Pravděpodobnost výhry je v každé jednotlivé hře pro oba hráče shodná. Série her je předčasně ukončena ve chvíli, kdy jednomu hráči chybí do výhry m her, druhému hráči chybí do výhry n her. Jak má být částka C spravedlivě rozdělena mezi hráče?

11 Literatura 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika 19 Coufal, J.: Alea iacta est aneb půltisíciletí od vytištění úlohy rytíře de Méré. Informační bulletin České statistické společnosti, (5) 1994, čl. 1 a 2. Horák, P.: Svět Blaise Pascala. Vyšehrad, Praha, Mačák, K.: Počátky počtu pravděpodobnosti. Prometheus, edice Dějiny matematiky, Praha, Rényi, A.: Dialogy o matematice. MF, Praha, Saxl, I.: Pravděpodobnost ve starověku a středověku. sborník prací semináře Stakan zorganizovaného Českou statistickou společností a Slovenskou štatistickou a demografickou spoločnosťou za podpory KPMS MFF UK ve dnech v Bystřici pod Hostýnem, Praha, 2004, str

12 20

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,

Více

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

Cvičení 1. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 1. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 1 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale

Více

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není

Více

Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost

Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

Teorie pravěpodobnosti 1

Teorie pravěpodobnosti 1 Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Název NV X Popis Pravděpodobnostní funkce E(X) D(X) Binomická - Bi(n, ) počet úspěchů v n Bernoulliho pokusech P(X = k) = ( n k ) k (1 ) k n n(1 ) Hypergeometrická

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika

Více

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015) III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY PETROHRADSKÝ PARADOX TEREZA KIŠOVÁ 4.B 28.10.2016 MOTIVACE: K napsání této práce mě inspiroval název tématu. Když jsem si o petrohradském paradoxu zjistila nějaké informace

Více

Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček

Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček Pravděpodobnost Mezi veřejností synonymum pro neurčitost Mihlo se kolem ní spousta význačných matematiků Starověk a středověk málo materiálů Jeden z mála

Více

Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka

Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN

Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940

Více

ETIKA. Benedictus de SPINOZA

ETIKA. Benedictus de SPINOZA ETIKA Benedictus de SPINOZA Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Benedictus de Spinoza ETIKA ETIKA Benedictus de SPINOZA ETIKA Translation Karel Hubka, 1977 Czech edition dybbuk, 2004

Více

Kombinatorika. Michael Krbek. 1. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle

Kombinatorika. Michael Krbek. 1. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle Kombinatorika Michael Krbek. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle konečnými) strukturami a patří kvůli tomu mezi nejstarší oblasti matematiky. Je těžké podat přesný výčet

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,

Více

Teorie. Kombinatorika

Teorie. Kombinatorika Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou

Více

Kombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo

Kombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo Kombinatorika Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 19. února 2008 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických

Více

5.1. Klasická pravděpodobnst

5.1. Klasická pravděpodobnst 5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/1 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 4. Počet hodin týdně: 4 Počet hodin celkem: Tento plán vychází z rámcového vzdělávacího programu pro

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika

Více

pravděpodobnosti a Bayesova věta

pravděpodobnosti a Bayesova věta NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat 1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení

Více

5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI 5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Hry v kostky Podle archeologických nálezů se hrací kostky používaly již v době před 40 tisíci lety. Nejprve se jednalo o přírodní nepravidelné předměty,

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Pascalova sázka. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky

Pascalova sázka. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Pascalova sázka O náhodě, pravděpodobnosti, poznávání a rozhodování Zdeněk Pospíšil Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Univerzita třetího věku 1. dubna 2016 Úvod

Více

Statistika (KMI/PSTAT)

Statistika (KMI/PSTAT) Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost

Více

Statistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D.

Statistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D. Statistické vyhodnocování experimentálních dat Mgr. Martin Čada, Ph.D. - Ústav fyziky a biofyziky, PřF JU - E-mail: mcada@prf.jcu.cz - Tel.: 266052418 - Organizace výuky, zkouška, zápočet - Přednášky a

Více

B) EX = 0,5, C) EX = 1, F) nemáme dostatek informací.

B) EX = 0,5, C) EX = 1, F) nemáme dostatek informací. Hlasovací otázka 9 Náhodná veličina X nabývá jen dvou různých hodnot, 0 a 1. Předpokládejme P(X = 0) = 0,5. Co můžeme říci o EX? Hlasovací otázka 9 Náhodná veličina X nabývá jen dvou různých hodnot, 0

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška devátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 Obsah 1 Kombinatorika: princip inkluze a exkluze 2 Počítání

Více

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Úvod do teorie pravděpodobnosti Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Filozofie křesťanského středověku. Dr. Hana Melounová

Filozofie křesťanského středověku. Dr. Hana Melounová Filozofie křesťanského středověku Dr. Hana Melounová Středověk / 5. 15. st. n. l. / Křesťanství se utvářelo pod vlivem zjednodušené antické filozofie a židovského mesionaismu. Základní myšlenky už konec

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Úvod do teorie her

Úvod do teorie her Úvod do teorie her. Formy her a rovnovážné řešení Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 208 ÚTIA AV ČR Program. Definujeme 2 základní formy pro studium různých her: rozvinutou, strategickou. 2.

Více

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor001 Vypracoval(a),

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:

Více

Statistika Pravděpodobnost

Statistika Pravděpodobnost Statistika Pravděpodobnost Irena Budínová Růžena Blažková Základy matematické statistiky 1 Kurikulární dokumenty Tématický okruh: Závislosti, vztahy, práce s daty Očekávané výstupy: Žák: vyhledává, vyhodnocuje,

Více

Náhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.

Náhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015

Více

22. Pravděpodobnost a statistika

22. Pravděpodobnost a statistika 22. Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost náhodných jevů. Klasická pravděpodobnost. Statistický soubor, statistické jednotky, statistické znaky. Četnosti, jejich rozdělení a grafické znázornění.

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,

Více

PRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová

PRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová RAVDĚODOBNOST JE Martina Litschmannová Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

VRCHOLNÁ SCHOLASTIKA 13. STOLETÍ

VRCHOLNÁ SCHOLASTIKA 13. STOLETÍ VRCHOLNÁ SCHOLASTIKA 13. STOLETÍ ÚKOL 1 VYTVOŘTE DVOJICE Co to znamená scholastika? Které období předchází vrcholné scholastice a kdo jsou jeho hlavní představitelé? CHARAKTERISTIKA fil. svět ovládnul

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),

Více

V Ý V O J H U D E B N Í C H N Á S T R O J Ů

V Ý V O J H U D E B N Í C H N Á S T R O J Ů Přednáška s besedou V Ý V O J H U D E B N Í C H N Á S T R O J Ů od pravěku, přes starověk, středověk a renesanci do současnosti Přednáška seznamuje s historií vývoje hudebních nástrojů, sleduje jejich

Více

Pravděpodobnost (pracovní verze)

Pravděpodobnost (pracovní verze) Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014

Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 ravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 Jak osedlat náhodu? Řecká mytologie: Bratři Zeus, oseidon, Hádes hráli v kostky astragalis. Zeus vyhrál nebesa, oseidon moře a Hádes peklo. Jak osedlat

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

Matematika - Historie - 1

Matematika - Historie - 1 Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte

Více

Úvod do teorie her

Úvod do teorie her Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.

Více

A) Sjednocená teorie Všeho?

A) Sjednocená teorie Všeho? OBSAH BUĎ SVĚTLO! 13 A) Sjednocená teorie Všeho? 1. ZÁHADA SKUTEČNOSTI 16 Dvojí záhada 17 Nový model světa: Koperník, Kepler, Galilei 18 Církev proti přírodním vědám 19 Vítězství přírodních věd 21 2. FYZIKÁLNÍ

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor014 Vypracoval(a),

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

Více

Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více