Jde o situace, ve kterých podmínky, předurčující jejich výsledek, jsou daleko méně kontrolovatelné, než u jednoduchých laboratorních

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Jde o situace, ve kterých podmínky, předurčující jejich výsledek, jsou daleko méně kontrolovatelné, než u jednoduchých laboratorních"

Transkript

1 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika 1.1. Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti Ve fyzice nebo chemii můžeme najít mnoho příkladů tzv. deterministických pokusů. Jde o příklady zákonů typu, při splnění určitých podmínek nastane vždy určitý následek. Ponoří-li se do roztoku CUSO 4 elektrody, začne se na katodě hromadit měď. Vystavíme-li vodu v nádobě teplotě -20 C, dojde k zamrznutí vody. Tento deterministický výsledek pokusu nastane vždy, kdy jsou správně dodrženy podmínky pokusu. Ale existují také pokusy, při kterých tomu tak není. Pokud několik akumulátorů vystavíme jistým podmínkách, automobil s některými akumulátory nastartuje a s jinými akumulátory nenastartuje. Např. po několika týdnech nedobíjení akumulátoru při nízké teplotě nelze s jistotou říci, zda bude funkční. Při pokusu o telefonické spojení s daným číslem nelze určit, zda volaný bude mít zapnutý telefon, zda bude v dosahu signálu, zda nebude mít jiný telefonní hovor. Uvede-li se do provozu určité zařízení, nelze ani při dokonale známé technologii výroby s jistotou říci, že bude bez poruchy pracovat 200 hodin, ani že k poruše dojde během prvních 10 měsících provozu, ani že poruše dojde až po skončení záručního období. Jde o situace, ve kterých podmínky, předurčující jejich výsledek, jsou daleko méně kontrolovatelné, než u jednoduchých laboratorních pokusů. U takovýchto činností lze jen popsat množinu možných výsledků a do někdy jen vágně, např. slovy, že výsledek nastává velmi často, často, zřídka, vyjímečně. Všem takovým činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně předurčen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (aspoň v zásadě, teoreticky) neomezeně mnohokrát opakovatelné za stejných podmínek, říkáme náhodné pokusy. Co do předvídatelnosti výsledků podobají se všechny zmíněné náhodné pokusy úkonům z hazardních her jako je rozdávání karet, házení 9

2 10 mincí, kostkou, losováním z osudí, v ruletě. Náhodné pokusy sdružené s hazardními (náhodnými) hrami se obvykle používají pro ilustraci základních principů počtu pravděpodobnosti a jsou také těsně spjaty s prvními historickými matematickými studiemi pravděpodobnosti. Ale i mezi historickými úlohami lze dohledat jiné příklady. Např. Laplace ( ) v r počítá jaká je pravděpodobnost, že všech 6 známých planet a 10 satelitů obíhá stejným směrem (P = 2 15 = 1/32768). A dochází k závěru, že vzhledem k této malé pravděpodobnosti musí existovat síla (zákon), který předurčuje toto chování planetárního systému. Vhodný matematický model pro popis náhodných jevů vzniká až na začátku 20. století Kolmogorov ( ) a to přesto, že kombinatorické problémy jsou již dávno vyřešeny. Pascalův trojúhelník patrně znal již al-karadži ( ). Kombinatorika se objevila daleko dříve v Asii, nejstaršími dosud nalezenými a spolehlivými prameny jsou především sútry. Bhagabati Sútra (kolem 300 př. Kr.) obsahuje počty permutací k prvků z n pro k = 1, 2, 3 a stejně tak počty kombinací. Počátek teorie pravděpodobnosti je všeobecně datován rokem 1654 a je spojován se jmény Blaise Pascala ( ) a Pierra Fermata ( ), kteří v tomto roce na popud Gombauda (nebo Gombaulda) rytíře de Méré ( ) řešili ve své korespondenci jisté problémy týkající se hry v kostky. Jak tomu však obvykle bývá, zakladatel vědecké disciplíny či objevitel klíčového poznatku má řadu předchůdců a předřešitelů. Úlohy o rozdělení sázky řešil již Luca Pacioli (1445? 1514?) v knize Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, která vyšla v r. 1494, a také Nicolo Tartaglia (1499?-1557) v knize General trattato di numeri et misura, která vyšla v r Jejich řešení jsou ale chybná. Zřejmě první prací, věnovanou počtu pravděpodobnosti, je práce Hieronyma Cardana ( ) De ludo aleæ, která byla zřejmě napsána v r. 1526, ale otištěna až v r v jeho sebraných spisech. Teorií pravděpodobnosti se zabýval také Galileo Galilei ( ), jeho spis Considerazione sopra il giuco dei dadi vyšel až v r a datum vzniku není známo. Při řešení kombinatorických úloh s herní motivací jmenovaní vychází z pojetí pravděpodobnosti odpovídající dnešní klasické definici pravděpodobnosti, pojem pravděpodobnost ale vůbec nedefinují jejich cílem bylo řešení jistých konkrétních úloh a nikoli definování pojmů a teoretické studium jejich vlastností. Například podle de Mére má být nadpoloviční šance na dvě šestky při házení dvěma kostkami počínaje 24 hody. Jako vážnivý hráč ale

3 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika 11 bobouřen shledává, že to není pravda. Následně Pascal v dopisu Fermatovi z o tom píše: To tedy byl jeho velký skandál, který ho přiměl domýšlivě říci, že poučky nejsou stálé a že se aritmetika mýlí: vy ale jistě snadno uvidíte důvod podle principů, k nimž jste dospěl. Hazardní hry se stávají exklusivní cestou k pravděpodobnostnímu myšlení. Může se zdát podivné, že nebyla nalezena žádná dřívější explicitní zmínka o relativní četnosti vrhů určitých čísel či jejich kombinací. Vždyť v Evropě se hra v kostky udržela v masové oblibě od římských dob až do renesance, kdy byla zčásti vytlačena kartami. Ke kritice a zákazům však docházelo jak ze strany církve, tak i státu. Římská republika hraní kostek zákonem omezila na dobu Saturnálií (kolem našich vánoc). O hře zvané hazard se v knize Essay d analyse sur les jeux de hazard z roku 1708 zmiňuje francouzský matematik Pierre Rémond de Montmort ( ). V knize řeší řadu kombinatorických a pravděpodobnostních úloh. Etymologie slova hazard je předmětem sporů jedno vysvětlení je odvozuje od al zhar, což je kostka, druhé od asar, značící obtížné. Další hypotéza odvozuje původ slova z názvu syrské pevnosti uvedeného v textu vůdce první křižácké výpravy Godefroy de Bouillona ( ), který uvádí: Do Hazait jelo skvělé poselstvo a nazývá se Hazait právě proto, že tam byly původně vyráběny a tečkami značeny kostky. Zmíněné úloze rytíře de Méré o rozdělení sázky se budeme konkrétně věnovat v části 2.3, i když se v těchto skriptech hazardním hrám budeme spíše vyhýbat (lze je dohledat v jiných učebnicích). Tato úloha totiž dává poučení: při řešení nejisté úlohy v budoucnosti máme uvažovat pouze to, co se může stát, a nikoliv to, co se již stalo. O tom, že tato zásada není obecně používána, se v běžném životě přesvědčujeme více než často. Hazardními hrám nebudeme věnovat větší prostor, také proto abychom nedávali marnou naději hráčům, vždyť už v Řecku Iuvenalius píše: K stolům, kde v kostky se hraje, se nejde s hubeným měšcem; má-li se opravdu hrát, to přistaví celičkou truhlu. K jakým tu dochází bitvám, když učetní převezme roli zbrojnoše. Je to snad bláznovství pouhé, když sto tisíc ve hře promarní člověk, jenž otroku v zimě chce tuniku upřít? Je s podivem, když hazardní hry dnešní společnost nezakazuje, není snad známo kolik zničených životů mají na svědomí? Vždyť jaké důvody vedly např. Otta I., Eduarda III., Jindřicha VIII., Fridricha II., trevírský koncil v letech 1227 a 1238, koncil ve Worcesteru v r.

4 k zákazu hry v kostky a karty. Proč Svatý Ludvík (IX.) zakazuje svým úředníkům nejen kostky, ale i šachy, návštěvu hostinců a smilstvo vše v jedné řadě a kostky se v celém svém království nesmějí ani vyrábět. Snažili se spíše obrátit pozornost k mužným sportům, ale těmito zákazy měli na zřeteli zejména související průvodní jevy her o peníze. Ty jsou popsány v Chaucerových Canterburských povídkách, v Povídce odpustkáře Kristovy hřeby! Pro Kristovy údy a jeho krev a srdce, u všech všudy. Máš tři a pět, a sedm padlo mně. Kristova muko! Hraješ-li falešně já do srdce ti vrazím tuhle dýku. Hle, to jsou plody kostek hazardníků: klam, zloba, vražda, proklínání kleté. a v povídce Fráterově: Přátelé... i jinam vodili ji podél řek a k zábavám u tichých studánek, do libých míst, kde nebyla sama, kde také i tančili a hrál se šach a dáma. Zbývá ještě odpověď na otázku položenou na začátku: proč se teorie pravděpodobnosti tak opozdila za ostatními oblastmi matematiky? Bývají navrhovány čtyři obecné důvody: nedostatečně zvládnutá kombinatorika, pověrčivost hráčů (to se ovšem vztahuje pouze k představě, že hry jsou cestou k pravděpodobnostnímu myšlení), nedostatečná představa o náhodnosti jako důležitému elementu dění, morální či náboženské přehrady bránící připuštění náhodnosti dějů (pomíjíme nedokonalost kostek). Problém náboženství nelze podceňovat, podle křesťanské věrouky všechno dění je v rukou Božích. S protiargumentem, že pak by vymizely hry i náhoda a štěstí se vyrovnal sv. Tomáš Akvinský poukazem na univerzální zákony a dílčí zákony a že sice nic se nemůže vymknout ze zákona universálního, ale u zákonu dílčího se to stát může a pak mluvíme o náhodnosti. Hugenotovi de Moivrovi dokonce pravděpodobnostní zákony vyjadřují pevný řád Vesmíru a vedou k uznání díla Stvořitelova. Mimo teologické úvahy to náhoda má dokonce horší. Benedikt Spinoza ( ) v r ve spisu Ethica ordine geometrico demonstrata píše, že událost může být považována za náhodnou jedině ve vztahu k našim nedostatečným znalostem. Tvrzení 29 zní: V přírodě neexistuje nic náhodného, nýbrž všechny věci jsou přirozeností Boha nutně determinovány k určitému modu existence a působení.

5 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika 13 Na str v českém překladu Spinoza, Etika, nakladatelství Svoboda, 1977 je uvedena Poznámka 1:... Jako náhodnou však označujeme věc jen z důvodů tkvících v nedostatečnosti našeho poznání. Ta věc, o níž nevíme, zda její esence nezahrnuje protiklad, nebo o níž bezpečně víme, že žádný protiklad nezahrnuje, a přesto o její existenci nemůžeme s jistotou tvrdit, protože řád příčin je nám skryt, taková věc se nám nemůže jevit ani jako nutná, ani jako nemožná, a proto ji nazýváme náhodnou nebo možnou. U d Alemberta v textu z r najdeme: Přesně vzato neexistuje žádná náhoda, jedině její ekvivalent: naše nevědomost, díky níž my sami jsme její příčinou. Stejné názory najdeme ostatně i u Laplace ( ). Ten si představoval universální bytost nevyčerpatelné inteligence vědoucí o Vesmíru v každém okamžiku vše a pojem pravděpodobnosti vůbec nepotřebující. Pro nás je však nutný z části díky nevědomosti, z části díky znalosti. Víme, že ze tří či více jevů by se měl státi pouze jediný, z ničeho však nemůžeme usoudit, který z nich to bude. V tomto stavu nerozhodnosti je nemožné ohlásit výsledek s jistotou. Naštěstí jsme dnes ovlivněni moderní biologií: variabilita druhů i jejich skupinového i individuálního vývoje je jen obtížně popíratelná a výrazný vliv náhodných procesů je rozpoznán. Stejně je tomu v kvantové fyzice, zachycující řadu náhodných procesů na nás zcela nezávislých, např. radioaktivní rozpad. Proto jsme na pojem náhodnosti jako charakteristického rysu života a všeho denní již zvyklí a nedovedeme si představit, že tomu někdy bylo jinak. Lze tedy dosti oprávněně soudit, a zde lze opět ocitovat myšlenku z úvodu o matematice pouze vyjadřující naše poznání, že hlavní příčinou pozdního zrodu pravděpodobnosti byla obecná nepřipravenost společnosti i jednotlivců k porozumění jejím koncepcím, neschopnost je začlenit do existujícího myšlenkového systému a také jakýmkoliv způsobem využít. Za místo jejího vzniku je patrně správné považovat Itálii 14. až 16. století, ale její myšlenky a postupy, ve společnosti nepřipravené je přijmout, zapadaly okamžitě po svém zrodu. Zásluhou západní Evropy, jmenovitě Francie 17. století bylo, že znovu oživené pravděpodobnostní problémy již dokázaly vzbudit společenský zájem. I když z počátku pouze u gamblerů na dvoře Ludvíka XIV.

6 14 To co tehdy a dnes ještě více dělá teorii pravděpodobnosti obtížnou a také nepopulární, jsou úvahy založené na deduktivním myšlení. Pro mnoho studentů je tento přístup přijatelný až po obrovském studijním úsilí a proto také často studia pravděpodobnosti zanechávají. Cílem této práce je zejména přiblížit teorii pravděpodobnosti každému laskavému čtenáři, pomoci získat nadhled a usnadnit mu bližší přístup k teoretičtějším publikacím.

7 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika Základní vzorce kombinatoriky Definice 1.1 Uspořádaná k-tice. Nechť {a 1, a 2,..., a n1 }, {b 1, b 2,..., b n2 },..., {g 1, g 2,..., g nk } je k skupin libovolných prvků; počet prvků i-té skupiny je n i. Počet různých k-tic {a i1, b i2,..., g ik } majících na prvním místě prvek z první skupiny, na druhém místě prvek z druhé skupiny, atd. je roven n 1 n 2 n 3... n k. Definice 1.2 Uspořádaný výběr s opakováním (variace s opakováním). Nechť je dána skupina n různých prvků, rozlišených např. čísly 1, 2,..., n. Ze skupiny se vybírá k-krát po sobě po jednom prvku, vybraný prvek se vždy před dalším vybráním vrací. Počet všech různých k-tic {i 1, i 2,..., i k }, které lze takto utvořit, je n k. Definice 1.3 Uspořádaný výběr bez opakování (variace k-té třídy z n prvků bez opakování). Nechť je dána skupina n prvků očíslovaných 1, 2,..., n. Ze skupiny se vybírá k-krát po sobě po jednom prvku, vybrané prvky se nevracejí. Počet všech možných k-tic {i 1, i 2,..., i k }, kde i j je číslo prvku vybraného při j-tém tahu, je roven n (k) = n(n 1)... (n k + 1). Definice 1.4 Permutace. Skupinu n prvků očíslovaných 1, 2,..., n lze uspořádat v posloupnost {i 1, i 2,..., i n }, n! = n (n) = n(n 1) způsoby. Jednotlivá uspořádání {i 1, i 2,..., i n } čísel 1, 2,..., n jsou tzv. permutace. Číslo n! udává počet permutací n prvků. Symbol n! se čte n-faktoriál. Definice 1.5 Neuspořádaný výběr bez opakování kombinace. Nechť je množina n prvků očíslovaných 1, 2,..., n. Počet různých podmnožin po k prvcích, které lze vybrat z dané množiny n prvků je roven n (k) k! = n! k!(n k)! = Různé podmnožiny o k prvcích vybrané z dané množiny jsou tzv. kombinace k prvků z n; číslo ( n k) udává počet kombinací k prvků z n a čte se n nad k. ( n k ).

8 16 Příklad 1.6 Náhodný pokus spočívá ve vytažení 4 karet z důkladně promíchané hry 32 karet. Jaká je pravděpodobnost, že budou vytaženy karty červená sedma, zelená desítka, žaludský král, kulové eso v uvedeném pořadí? Elementární jevy jsou v tomto příkladu jsou uspořádané čtveřice karet. Podle pravidla 3 je takových možných čtveřic 32 (4) = 32(32 1)... ( ) = = Důkladné zamíchání karet a vytahování bez snahy o ovlivnění výsledku vytváří předpoklady pro to, aby bylo možné považovat všechny čtveřice za stejně pravděpodobné. Pravděpodobnost vytažení čtyř daných karet v daném pořadí je 1 32 = 1,1587 (4) Příklad 1.7 Uvažujme náhodný pokus z předchozího příkladu a stanovme pravděpodobnost, že budou vytaženy čtyři dané karty v jakémkoliv pořadí. Počet elementárních jevů uspořádaných čtveřic už byl stanoven a je Dané čtyři karty lze (podle pravidla 4) uspořádat 4! = 24 způsoby. To znamená, že jevu vytažení 4 daných karet v libovolném pořadí je příznivých 24 elementárních jevů, a pravděpodobnost tohoto jevu je 4! 24 = 32 (4) = 2, Příklad 1.8 Náhodný pokus spočívá v šesti hodech kostkou; předpokládá se, že kostka je naprosto pravidelná a hází se bez snahy o dosažení určitého výsledku. A) Jaká je pravděpodobnost, že nepadne ani jednou šestka? B) Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jednou padne šestka? C) Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne právě jednou? D) Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne nejvýše jednou? E) Jaká je pravděpodobnost, že šestka více než jednou? Lze použít pravidla 2. Místo vybírání prvku ze skupiny šesti prvků je při každém hodu vybrána jedna ze šesti stěn kostky. Výsledek šesti hodů je úplně popsán uspořádanou šesticí (i 1, i 2,..., i 6 ), kde i j značí výsledek j-tého hodu. Počet takových šestic je 6 6 = Vzhledem k popsaným podmínkám je lze považovat za stejně pravděpodobné. A) Elementárních jevů, příznivých jevu nepadne žádná šestka, je 5 6 = (uspořádané skupiny neobsahující šestku lze vytvořit tak, že se na všech místech vystřídají všechny ze zbývajících možností).

9 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika 17 Pravděpodobnost, že v šesti hodech nepadne vůbec žádná šestka, je tedy rovna ( ) = = 0, B) Pravděpodobnost, že v šesti hodech padne šestka aspoň jednou, je rovna doplňku ( ) = 0, C) Jevu právě jednou padne šestka, jsou příznivé elementární jevy, popsané uspořádanou šesticí (i 1, i 2,..., i 6 ), ve kterých právě jedno i j je rovno 6 a ostatní jsou čísla od 1 do 5. Takových šestic je = (je 5 5 skupin (6, i 2, i 3,..., i 6 ) s i j 6, dále 5 5 skupin (i 1, 6, i 3,..., i 6 ) s i j 6, atd) Pravděpodobnost, že v šesti hodech padne právě jedna šestka, je tedy rovna = ( ) 5 5 = 0, D) Jev šestka padne nejvýše jednou, je sjednocením disjunktních jevů ani jednou nepadne šestka a právě jednou padne šestka. Pravděpodobnost, že šestka padne nejvýše jednou je tedy rovna součtu pravděpodobností těchto jevů: 0, ,4019 = 0,7368. E) Pravděpodobnost, že šestka padne více než jednou, je 1 0,7368 = 0,2632. Příklad 1.9 Problémy rytíře de Méré ( ): Úloha o kostkách De Méré tvrdil, že chce-li někdo hodin aspoň jednu šestku při opakovaném házení jednou kostkou, má nadpoloviční šanci na úspěch počínaje čtyřmi hody a poměr šancí na úspěch k šancím neúspěšným při čtyřech hodech je 671:625. Pokud chce někdo hodit aspoň jednou dvě šestky při házení dvěma kostkami, měl by mít podle de Mérého nadpoloviční šanci na úspěch počínaje 24 hody (neboť poměr 24:36 je stejný jako poměr 4:6). Ve své hráčské praxi ale zjistil, že to není pravda. Tvrzení ověříme vyřešením nerovnice ( )k < 1 2 ze které dostáváme k = takže dvěma kostkami je třeba hodit aspoň pětadvacekrát, aby šance na úspěch byla nadpoloviční.

10 18 Poměr šancí je = Úloha 1.10 Problémy rytíře de Méré ( ): Úloha o rozdělení sázky Dva hráči hrají sérii her o nějakou částku C, tuto částku získá ten hráč, který jako první vyhraje k her (hráči hrají na k vítězných her). Pravděpodobnost výhry je v každé jednotlivé hře pro oba hráče shodná. Série her je předčasně ukončena ve chvíli, kdy jednomu hráči chybí do výhry m her, druhému hráči chybí do výhry n her. Jak má být částka C spravedlivě rozdělena mezi hráče?

11 Literatura 1 Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika 19 Coufal, J.: Alea iacta est aneb půltisíciletí od vytištění úlohy rytíře de Méré. Informační bulletin České statistické společnosti, (5) 1994, čl. 1 a 2. Horák, P.: Svět Blaise Pascala. Vyšehrad, Praha, Mačák, K.: Počátky počtu pravděpodobnosti. Prometheus, edice Dějiny matematiky, Praha, Rényi, A.: Dialogy o matematice. MF, Praha, Saxl, I.: Pravděpodobnost ve starověku a středověku. sborník prací semináře Stakan zorganizovaného Českou statistickou společností a Slovenskou štatistickou a demografickou spoločnosťou za podpory KPMS MFF UK ve dnech v Bystřici pod Hostýnem, Praha, 2004, str

12 20

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI 5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Hry v kostky Podle archeologických nálezů se hrací kostky používaly již v době před 40 tisíci lety. Nejprve se jednalo o přírodní nepravidelné předměty,

Více

Teorie. Kombinatorika

Teorie. Kombinatorika Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

Statistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D.

Statistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D. Statistické vyhodnocování experimentálních dat Mgr. Martin Čada, Ph.D. - Ústav fyziky a biofyziky, PřF JU - E-mail: mcada@prf.jcu.cz - Tel.: 266052418 - Organizace výuky, zkouška, zápočet - Přednášky a

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor001 Vypracoval(a),

Více

Filozofie křesťanského středověku. Dr. Hana Melounová

Filozofie křesťanského středověku. Dr. Hana Melounová Filozofie křesťanského středověku Dr. Hana Melounová Středověk / 5. 15. st. n. l. / Křesťanství se utvářelo pod vlivem zjednodušené antické filozofie a židovského mesionaismu. Základní myšlenky už konec

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

TGH13 - Teorie her I.

TGH13 - Teorie her I. TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací

Teorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací Teorie her a ekonomické rozhodování 7. Hry s neúplnou informací 7.1 Informace Dosud hráči měli úplnou informaci o hře, např. znali svou výplatní funkci, ale i výplatní funkce ostatních hráčů často to tak

Více

Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014

Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 ravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 Jak osedlat náhodu? Řecká mytologie: Bratři Zeus, oseidon, Hádes hráli v kostky astragalis. Zeus vyhrál nebesa, oseidon moře a Hádes peklo. Jak osedlat

Více

RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ

RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ pracovní list Mgr. Michaela Holubová Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Michaela Holubová. RENESANCE A VĚK ROZUMU Renesance kulturní znovuzrození

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

Kombinatorický předpis

Kombinatorický předpis Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě

Více

Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1

Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1 ? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v

Více

Jaroslav Michálek A STATISTIKA

Jaroslav Michálek A STATISTIKA VUT BRNO FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Jaroslav Michálek PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA BRNO 2006 preprint Kapitola 1 Úvod Prudký rozvoj výpočetní techniky, jehož jsme v posledních desetiletích svědky, podstatně

Více

Sada 1 Matematika. 16. Úvod do pravděpodobnosti

Sada 1 Matematika. 16. Úvod do pravděpodobnosti S třední škola stavební Jihlava Sada 1 Matematika 16. Úvod do pravděpodobnosti Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 -

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.0/1.5.00/4.018 Šablona III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY INOVACE_Hor015 Vypracoval(a), dne Mgr.

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Gymnázium, Český Krumlov

Gymnázium, Český Krumlov Gymnázium, Český Krumlov Vyučovací předmět Fyzika Třída: 6.A - Prima (ročník 1.O) Úvod do předmětu FYZIKA Jan Kučera, 2011 1 Organizační záležitosti výuky Pomůcky související s výukou: Pracovní sešit (formát

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_17 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

12. Křesťanství... 106 12.1 Místo křesťanství v současném světě... 106 12.2 Křesťanství na pozadí jiných náboženství... 107 12.

12. Křesťanství... 106 12.1 Místo křesťanství v současném světě... 106 12.2 Křesťanství na pozadí jiných náboženství... 107 12. Obsah 1. Úvod.... 11 1.1 Situace oboru... 11 1.2 Místo této práce v oborové souvislosti... 12 1.3 Vztah k dosavadní literatuře... 13 1.4 Jaké cíle si klade tato práce?... 14 1.5 Poznámkový aparát a práce

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon Lukáš Richterek Katedra experimentální fyziky PF UP, 17 listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc lukasrichterek@upolcz Podklad k předmětu KEF/FPPV 2 / 10 Logické

Více

{ 3;4;5;6 } pravděpodobnost je zřejmě 4 = 2.

{ 3;4;5;6 } pravděpodobnost je zřejmě 4 = 2. 9..3 Pravděpodobnosti jevů I Předpoklady: 90 Opět se vrátíme k hodu kostkou. Pokus má šest stejně pravděpodobných náhodných výsledků pravděpodobnost každého z nich je 6. Do domečku nám chybí tři políčka.

Více

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 Obsah Předmluva... 15 I. Objektivní pravděpodobnosti 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 1.1 Úvod... 23 1.2 Základy frekvenční interpretace... 24 1.2.1 Pravděpodobnost a hromadné jevy... 24 1.2.2

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

6. Pravděpodobnost a statistika. 6.1. Pravděpodobnost

6. Pravděpodobnost a statistika. 6.1. Pravděpodobnost 6. Pravděpodobnost a statistika 6.1. Pravděpodobnost Pravděpodobnost (hovorově šance; značka je P z anglického probability) je hodnota vyčíslující jistotu resp. nejistotu výskytu určité události. K pojmu

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru

Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru Teorie her a ekonomické rozhodování 4. Hry v rozvinutém tvaru 4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada po sobě následujících

Více

P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1. Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1

P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1. Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1 P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1 Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1 Vznik a historie projektového řízení Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing

Více

Chytrý medvěd učí počítat

Chytrý medvěd učí počítat CZ Habermaaß-hra 3151A /4547N Chytrý medvěd učí počítat Medvědí kolekce vzdělávacích her pro 2 až 5 hráčů ve věku od 4 do 8 let. S navlékacím počítadlem Chytrého medvěda a třemi extra velkými kostkami.

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor002 Vypracoval(a),

Více

MENSA GYMNÁZIUM, o.p.s. TEMATICKÉ PLÁNY TEMATICKÝ PLÁN (ŠR 2014/15)

MENSA GYMNÁZIUM, o.p.s. TEMATICKÉ PLÁNY TEMATICKÝ PLÁN (ŠR 2014/15) TEMATICKÝ PLÁN (ŠR 2014/15) PŘEDMĚT Literatura TŘÍDA/SKUPINA VYUČUJÍCÍ ČASOVÁ DOTACE UČEBNICE (UČEB. MATERIÁLY) - ZÁKLADNÍ prima Mgr. Barbora Maxová 2hod/týden, 70hod/rok Literatura pro 1. ročník středních

Více

RED GAMES MOD elektronik, s.r.o., Bělisko 1386, Nové Město na Moravě

RED GAMES MOD elektronik, s.r.o., Bělisko 1386, Nové Město na Moravě Herní plán vstup mincí 5, 10, 20, 50 Kč vstup bankovek: 100, 200, 500, 1000, 2000 Kč případně 5000 Kč max. sázka na 1 hru: 5 Kč (5 kreditů) max. výhra: 750 Kč (750 kreditů) v jedné hře výherní podíl: 91

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Redukcionismus a atomismus

Redukcionismus a atomismus Redukcionismus a atomismus ČVUT FEL Filosofie 2 Filip Pivarči pivarfil@fel.cvut.cz Co nás čeká? Co je to redukcionismus Směry redukcionismu Redukcionismus v různých odvětvých vědy Co je to atomismus Směry

Více

Učebnice do primy 2014/15

Učebnice do primy 2014/15 Učebnice do primy Hudební výchova učebnice v elektronické podobě (FRAUS) pracovní sešit - Český jazyk 6 pro ZŠ a VG (nová generace) PS (FRAUS) /papírová podoba/ Český jazyk přehled učiva ZŠ (J. Melichar,

Více

Teoretická rozdělení

Teoretická rozdělení Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické

Více

Medvídek Teddy barvy a tvary

Medvídek Teddy barvy a tvary CZ Habermaaß-hra 5878 Moje první hra Medvídek Teddy barvy a tvary Moje první hra Medvídek Teddy barvy a tvary První umísťovací hra pro 1 až 4 malé medvídky od 2 let. Autor: Christiane Hüpper Ilustrace:

Více

Věc: Rozšířené stanovisko Ministerstva financí k tzv. Kvízomatům

Věc: Rozšířené stanovisko Ministerstva financí k tzv. Kvízomatům MINISTERSTVO FINANCÍ Státní dozor nad sázkovými hrami a loteriemi Věc: Rozšířené stanovisko Ministerstva financí k tzv. Kvízomatům Podle ust. 1 odst. 1 zákona č. 202/1990 Sb., o loteriích a jiných podobných

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

POPIS HRY. Apex Multi Magic. APEX MULTI MAGIC III CZ kat.2 V1.01 Minimální vklad 1 Kč Maximální vklad 100 Kč

POPIS HRY. Apex Multi Magic. APEX MULTI MAGIC III CZ kat.2 V1.01 Minimální vklad 1 Kč Maximální vklad 100 Kč POPIS HRY Apex Multi Magic APEX MULTI MAGIC III CZ kat.2 V1.01 Minimální vklad 1 Kč Maximální vklad 100 Kč Pravidla hry APEX MULTI MAGIC III CZ kat.2 V1.01 Výherní přístroj /dále jen VHP/ APEX Multi Magic

Více

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN

Více

Habermaaß-hra 4646. Chutná nebo nechutná?

Habermaaß-hra 4646. Chutná nebo nechutná? CZ Habermaaß-hra 4646 Chutná nebo nechutná? Chutná nebo nechutná? Hra podporující exekutivní funkce pro 2 4 hráče ve věku od 4 do 99 let. Využívá Fex-efekt na zvýšení stupně obtížnosti hry. Autoři: Markus

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

Seminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět

Seminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Seminář z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je koncipován pro přípravu studentů k úspěšnému zvládnutí profilové (školní)

Více

Seznam učebnic pro 1. ročník čtyřletého studia a pro 5. ročník osmiletého studia škol. rok. 2015/16

Seznam učebnic pro 1. ročník čtyřletého studia a pro 5. ročník osmiletého studia škol. rok. 2015/16 Gymnázium, Dašická 1083, Pardubice Seznam učebnic pro 1. ročník čtyřletého studia a pro 5. ročník osmiletého studia škol. rok. 2015/16. 1. Český jaz.: 1/ Sochrová: Český jazyk v kostce pro SŠ, Fragment

Více

KATALOG pro základní a střední školy

KATALOG pro základní a střední školy KATALOG pro základní a střední školy 2016 Vážení přátelé, právě držíte v rukou katalog učebních materiálů z produkce nakladatelství Didaktis na rok 2016. Dovolte nám tedy na úvod několik vět o nás a našich

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

BLUE GAMES 300 MOD elektronik, s.r.o., Bělisko 1386, Nové Město na Moravě

BLUE GAMES 300 MOD elektronik, s.r.o., Bělisko 1386, Nové Město na Moravě Herní plán vstup mincí: 5, 10, 20, 50 Kč vstup bankovek: 100, 200, 500, 1000, 2000 Kč případně 5000 Kč max. sázka na 1 hru: 2 Kč (2 kredity) max. výhra: 300 Kč (300 kreditů) v jedné hře výherní podíl:

Více

Utajené vynálezy Nemrtvá kočka

Utajené vynálezy Nemrtvá kočka Nemrtvá kočka Od zveřejnění teorie relativity se uskutečnily tisíce pokusů, které ji měly dokázat nebo vyvrátit. Zatím vždy se ukázala být pevná jako skála. Přesto jsou v ní slabší místa, z nichž na některá

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

V čem dělat prezentaci?

V čem dělat prezentaci? Jak na prezentace? Osnova: - v čem dělat prezentaci - velikosti písma - barva písma a pozadí - typ písma a zvýraznění - EFEKTY - vkládání obrázků - externí soubory - závěrečný export - příklady ze života

Více

9.1.8 Kombinace I. Předpoklady: 9107

9.1.8 Kombinace I. Předpoklady: 9107 9.1.8 Kombinace I Předpoklady: 9107 Př. 1: Urči, kolika způsoby je možné ze třídy s 1 studenty vybrat dva zástupce do studentské rady (bez rozlišení funkce). Vybíráme dvojici z 1 studentů: 1. student 1

Více

ČAS LÉTAT Evoluce: O původu druhů rozšíření

ČAS LÉTAT Evoluce: O původu druhů rozšíření ČAS LÉTAT Evoluce: O původu druhů rozšíření Vážení přátelé, máte před sebou rozšíření hry Evoluce. Před tím, než začnete tuto hru hrát, spojte oba balíčky karet základní a rozšíření - a pořádně je zamíchejte.

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VII) Kybernetika. Ak. rok 2011/2012 vbp 1

SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VII) Kybernetika. Ak. rok 2011/2012 vbp 1 SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VII) Kybernetika Ak. rok 2011/2012 vbp 1 ZÁKLADNÍ SMĚRY A DISCIPLÍNY Teoretická kybernetika (vědecký aparát a metody ke zkoumání kybernetických systémů; používá abstraktní modely

Více

BLUE GAMES MOD elektronik, s.r.o., Bělisko 1386, Nové Město na Moravě

BLUE GAMES MOD elektronik, s.r.o., Bělisko 1386, Nové Město na Moravě Herní plán vstup mincí 5, 10, 20, 50 Kč vstup bankovek: 100, 200, 500, 1000, 2000 Kč případně 5000 Kč max. sázka na 1 hru: 5 Kč (5 kreditů) max. výhra: 750 Kč (750 kreditů) v jedné hře výherní podíl: 88

Více

Karty Prší. Anotace: Abstract: Gymnázium, Praha 6, Arabská 14 předmět Programování, vyučující Tomáš Obdržálek

Karty Prší. Anotace: Abstract: Gymnázium, Praha 6, Arabská 14 předmět Programování, vyučující Tomáš Obdržálek Gymnázium, Praha 6, Arabská 14 předmět Programování, vyučující Tomáš Obdržálek Karty Prší ročníkový projekt, Tomáš Krejča 1E květen 2014 Anotace: Mým cílem bylo vytvořit simulátor karetní hry prší. Hráč

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D. Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

Habermaaß-hra 3615A /4714N. Kartová hra Najdi správný pár

Habermaaß-hra 3615A /4714N. Kartová hra Najdi správný pár CZ Habermaaß-hra 3615A /4714N Kartová hra Najdi správný pár Kartová hra Najdi správný pár Monstrózně rychlá vyhledávací hra pro 2 až 6 hráčů ve věku od 4 do 99 let. Zahrnuje variantu pro experty na sbírání

Více

S T A T I S T I K A. Jan Melichar Josef Svoboda. U n iverzita Jan a Evangelist y P u rk yn ě v Ústí nad La b em

S T A T I S T I K A. Jan Melichar Josef Svoboda. U n iverzita Jan a Evangelist y P u rk yn ě v Ústí nad La b em U n iverzita Jan a Evangelist y P u rk yn ě v Ústí nad La b em P e d a g o g i c k á f a k u l t a S T A T I S T I K A p ro studium učitelství. stupně z ák l ad ní školy Jan Melichar Josef Svoboda 0 0

Více

Diskrétní pravděpodobnost

Diskrétní pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Jiří Koula Definice. Konečným pravděpodobnostním prostorem nazveme dvojici(ω, P), kde Ω jekonečnámnožina {ω 1,..., ω n}apfunkcepřiřazujícíkaždépodmnožiněωčíslo zintervalu 0,1,splňujícíP(

Více