Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Transkript

1 Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 4: Cavendishův experiment Datum měření: Skupina: 8, čtvrtek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání 1. DÚ: V přípravě odvoďte vztah pro výpočet relativní chyby měření G a zamyslete se, jak vypadá chyba periody kmitu T a chyba rozdílu vzdáleností rovnovážných poloh S.. Ve spolupráci s asistentem zkontrolujte, zda je torzní kyvadlo horizontálně vyrovnané. (0 min.) 3. Dynamickou metodou změřte časový průběh torzních kmitů v jedné poloze, potom umístěte velké koule m 1 do polohy II a změřte časový průběh v této druhé poloze. U každého měření si poznamenejte i chybu tohoto měření, kterou odhadnete (čím rychleji se světelná značka pohybuje, tím větší bude chyba určení její polohy). ( x 40 min.) 4. Naměřenou závislost nafitujte funkcí (3) uvedenou v [1] ve vhodném programu (kupříkladu Gnuplot) a vykreslete graf naměřených dat včetně odchylek a nafitované funkce. 5. Z výsledků fitu a naměřených hodnot určete gravitační konstantu G i s výslednou chybou měření, kterou spočtete z Vámi odvozeného vztahu z přípravy (úkol 1). Většina fitovacích programů uvádí parametry funkce i s jejich chybou tuto chybu potom považujte za chybu měření a dosazujte ji do odvozeného vztahu. 6. Výsledek měření gravitační konstanty G srovnejte s tabulkovou hodnotou G a ověřte, jestli se tabulková hodnota vejde do intervalu (naměřená hodnota ± chyba měření). Diskutujte, zda bylo kyvadlo rotačně vyrovnané. Pomůcky Torzní kyvadlo, zemnící kabel, He-Ne laser, ochranné brýle, podstavec pod lase, stopky, měřící pásmo. 3 Teoretický úvod Gravitační interakce je jednou ze základních interakcí mezi hmotnými částicemi. Gravitační síla má přitažlivý charakter a lze ji vyjádřit rovnicí F = G m 1m r, (1) kde F velikost gravitační síly působící mezi tělesy o hmotnosti m 1 a m, které jsou od sebe vzdáleny o r. G je gravitační konstanta, která udává velikost gravitační interakce a jejímž přesným určením se v 18. století 1

2 zabýval Henry Cavendish. Jeho metoda s torzním kyvadlem spočívá ve zkroucení dlouhého a tenkého lanka, na které stačí i tak malá gravitační síla, která působí mezi koulemi o hmotnostech 1 kg a 100 g na vzdálenost řádově v centimetrech. Schéma torzního kyvadla je znázorněno na obrázku 1. K torznímu lanku je připevněna činka ze dvou menších koulí o hmotnostech m 1 a zrcátko, na které dopadá laserový paprsek. Jestliže vhodným způsobem přiložíme k malým koulím větší těžší koule o hmotnostech m, vznikne v čince moment dvojice sil τ f = d(f 1 F ), který způsobí zkroucení lanka a pootočení činky se zrcátkem o úhel θ. Zkroucení lanka vyvolá torzní moment τ t = kθ, kde k je konstanta zahrnující mechanické vlastnosti lanka. Pokud je systém v rovnováze platí kde geometrický faktor β = m 1 od torzního lanka. b 3 τ f = τ t dgm 1 m b (1 β) = kθ, (b +4d ) 3, b je vzdálenost středů koulí m 1 a m, d je vzdálenost středu koule () Obrázek 1: Schéma torzního kyvadla, pohled z vrchu. [1] Hodnoty θ a k lze určit z analýzy časového vývoje výchylky činky kolem dvou rovnovážných poloh S 1 a S. Kyvadlo vykonává tlumený harmonický pohyb, který je popsaný funkcí f(t) = Ae δt sin ( π T t + φ) + S 1(), (3) kde t je čas proměnná a konstanty A amplituda výchylky, T perioda kmitu, φ počáteční fáze δ dekrement útlumu a S rovnovážná poloha lze určit nafitováním naměřených dat funkcí (3). Gravitační konstanta je poté ze vzorce () s úpravami popsanými v [1] vyjádřitelná vztahem G = π b S d + 5 r T m L d(1 β), kde β = b 3 (b + 4d ) 3, (4) a kde konstanty S, T získané nafitováním dat funkcí (3) značí rozdíl rovnovážných poloh respektive průměrnou periodu kmitu poloh, L je naměřená vzdálenost mezi zrcátkem na které dopadá laserový paprsek a stínítkem na kterém pozorujeme odražený paprsek, hodnoty zbylých konstant jsou uvažovány za přesné a uvedené v tabulce 1. r [mm] d [mm] b [mm] m [kg] Tabulka 1: Hodnoty konstant. [1] Jelikož parametry r, d, b a m považujeme za zcela přesné, tedy s nulovou chybou, je rovnice pro výpočet chyby G dána vztahem σ G = π b S d + 5 r T m L d(1 β) 4σ T T + σ S S + σ L L. (5)

3 4 Postup měření Nejprve jsme ve spolupráci s asistentem zkontrolovali, zda je torzní kyvadlo horizontálně vyrovnané a to tak, že jsme v optickém tubusu pod kyvadlem viděli odraz kulaté destičky a kolem ní světelnou kružnici. Dále jsme ověřili, že je zemnící kabel připojený a pomocí šňůrky a pásového měřítka změřili kolmou vzdálenost L mezi sklíčkem zakrývajícím zrcátko a stínítkem (zdí). Poté jsme umístili velké koule na držáky, zapnuli He-Ne laser, přiblížili velké koule do první polohy, odaretovali kyvadlo a pár period vyčkali, až se kmitání ustálí a bude bez odrazu. Každých 0 vteřin po dobu 40 minut jsme zaznamenali výchylku kyvadla. Potom jsme otočili držák s koulemi do druhé polohy, opět pár period vyčkali, než se kmitání ustálilo okolo nové rovnovážné polohy a bylo bez odrazu a znovu jsme každých 0 vteřin po dobu 40 minut zaznamenávali výchylku kyvadla. 5 Naměřené hodnoty V tabulce jsou uvedené naměřené vzdálenosti L mezi sklíčkem a zdí. i L [cm] Tabulka : Naměřené vzdálenosti. L = (60.0 ± 0.6) cm Na obrázcích a 3 jsou znázorněny naměřené hodnoty výchylek pro první polohu respektive druhou polohu v závislosti na čase proložené fitem programu Gnuplot tvaru (3). Chyby naměřených výchylek odhaduji na půlku velikosti světelné tečky vytvářené laserem, tedy 0.5 cm. Obrázek : Závislost výchylky laserového paprsku pro první polohu koulí na čase. 3

4 Obrázek 3: Závislost výchylky laserového paprsku pro druhou polohu koulí na čase. V tabulce 3 jsou uvedené nafitované parametry rovnice 3 pro první i druhou polohu větších koulí. 1. poloha. poloha S [cm] ± ±0.3 T [s] ± ±0.08 A [cm] 7.14± ±0.09 δ [10 4 ] 3.76± ±0.0 φ [rad] -1.08± ±0.01 Tabulka 3: Nafitované parametry rovnice 3. S = S 1 S = (7.45 ± 0.83) cm. T = T 1 + T = ( ± 1.98) s. Potom gravitační konstanta je dle vzorce 4 s chybou podle vzorce 5 rovna G = (4. 44 ± 0. 50) Nm kg. 6 Diskuse Měřením jsme určili gravitační konstantu na hodnotu G = (4.44 ± 0.50) Nm kg. Tabulková hodnota [3] činí G = Nm kg. Naše měření tedy neověřilo platnost tabulkové hodnoty. Rozdíl je způsoben pravděpodobně špatným změřením časové závislosti první polohy, která je patrná na obrázku, kdy fit neodpovídá naměřeným datům. To může být způsobeno například tím, že jsme začali měřit ve chvíli, kdy kyvadlo ještě nebylo ustáleno v rovnovážné poloze. Je také pravděpodobné, že kyvadlo nebylo rotačně vyrovnané. Pro dosažení lepšího výsledku by bylo třeba měření v každé poloze několikrát opakovat. 4

5 7 Závěr Pomocí dynamického měření torzních kmitů jsme určili gravitační konstantu G = (4.44 ± 0.50) Nm kg. Naše hodnota neodpovídá tabulkové hodnotě [3] G = Nm kg, což je způsobeno špatným změřením torzních kmitů v první poloze. 8 Reference [1] Návod Cavendishův experiment. Citace Oct-01.pdf [] Chyby měření Praktikum 1, kolektiv KF FJFI ČVUT, Praha. Citace [3] Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce pro střední školy str. 154; nakl. Prometheus, 011, Dotisk 1. vydání 5