(. ) NAVIER-STOKESOVY ROVNICE. Symetrie. Obecně Navier-Stokesovy rovnice: = + u. Posuv v prostoru. Galileova transformace g U : t, r,

Transkript

1 NAVIER-STOKESOVY ROVNICE Symetrie Obecně Navier-Stokesovy rovnice: D = +. = g Ω p + ν + Dt t D +. = 0 Dt (. ) Posv v prostor space g : t, r, v t, r +, v IR time Posv v čase g τ : t, r, v t + τ, r, v τ IR Gal Galileova transformace g U : t, r, v t, r + Ut, v + U U IR Parita P : t, r, v t, r, v rot Rotace g A : t, r, v t, Ar, Av A SO( IR ) scal h h Scaling g λ : t, r, v λ t, λr, λ v λ IR +, h IR Ing.Václav Urba,Csc, Ústav termomachaniky AVČR

2 levo-pravá symetrie (x-reversal) ( x, y, z) ( x, y, z), (, v, w) (, v, w) horno-dolní symetrie (y-reversal) ( x, y, z) ( x, y, z) (, v, w) (, v, w) posv v čase (t-invariance) posv v prostor rovnoběžně s oso z (z-invariance) Ing.Václav Urba,Csc, Ústav termomachaniky AVČR

3 Ing.Václav Urba,Csc, Ústav termomachaniky AVČR

4 Navier-Stokesovy rovnice Klasická representace D = +. Dt t D +. = 0 Dt Vířivost: p T = + + g ω = ω n = lim nds = lim S 0 S S S 0 S Γ = dl = ω nds C ( ) S platí: ( ) = ω dl potom crl ( N.S.rice): ω + ( ) ( ) ( ) ( ) t ω + ω ω + ω ω = p ( p) ( T ) + ( T ) + g Dω = ω Dt C ( ) + ( ω ) + p ( T ) + ( T ) rychlost změny vířivosti element v čase;. zmenšení vířivosti vlivem expanze;. protahování vírových vláken; 4. baroclinic torqe nekolinearita gradientů hstoty a tlak; 5. změny smykového napětí v poli s gradientem hstoty opět moment; 6. difúze vířivosti vlivem viskozity; 7. pro potenciální pole je 0. + g 7 Ing.Václav Urba,Csc, Ústav termomachaniky AVČR 4

5 požitím rovnice hybnosti se vyločí tlak: D ω D = ω Dt Dt ( ) + ( ω ) + g + ( T ) + g dále divergence N.S.rice: ( ) + + t ( )( ) ( ) p + nestlačitelnost = 0 konstantní Newtonovská viskosita ( T ) + ( T p) + g ω ω = T = µ Poisonova rovnice: p = ( ) + ω ω + g Z této rovnice se vypočte tlak (za předpoklad znalosti vířivosti). Ing.Václav Urba,Csc, Ústav termomachaniky AVČR 5

6 Homogenní trblence (ve statistickém smysl) - statisticky invariantní vůči jakémkoli posntí pokd se předpokládá neomezený prostor nebo periodické o.p., pak je výhodné požít Forierov transformaci Forierova representace Prodové pole: ( x, v R, předpokládá se bďto periodicita, nebo neomezené pole. Potom integrální FT: ( ) ik. x k, t = e ( x, dx, kde dx = dx dxdx = d x π ik. x Zpětná FT: ( x, = e ( k, dk f, ( x FT f ( k, f FT i k f ( k i, x i f FT i f ( k k f f f f = + + FT ( k k k ) f k f + + = x x x. FT i k. ( k, FT i k ( k, f ( x, g( x, FT [ f g ]( k, f p, t g q t d Kde značí konvolční sočin ( ) ( ) p Uvažjme N-S rovnici ve tvar: + = p + ν t,, p+ q= k Kontinita:, ip k k ( k k. = 0, a také FT k. ( k, = 0 ( k, t, ν k, naproti tom FT N-S rovnic: + ν k i k, t = i kmpij k p t m q t p q k j, + = kde P je tenzor projekce vektor do roviny ij ( ) ( ) ( ) ( dp, Ing.Václav Urba,Csc, Ústav termomachaniky AVČR 6

7 Formlace pro DNS (Orszag & Patterson, 97): ( k, = ( k ) F F ( ) F ( ω ) ν k k, t t kde ( k ) je projektor do roviny kolmé k k ; F je operátor rychlé FT [ ] ( ) Počet stpňů volnosti Forierova representace periodického prodění v krabici o straně l. Potom pole rychlostí bde ve tvar: ( x, = ( k, n, n, n e ik. x, kde π π π k = n, n, n l l l T Tento rozvoj může být končen pro k i > Akd, kdy A je konstanta řád jednotek. Maximální hodnota počt stpňů volnosti v každé dimenzi daná a priori je potom řád k l = k k. Tedy pro D je max. počet stpňů volnosti 9 4 roven ( ) k k = R. d i l d d i Ing.Václav Urba,Csc, Ústav termomachaniky AVČR 7

8 Veličiny zaváděné v trblenci Helicity: ( )[ ( H,., )]. e = x t x t = ω Enstrophy: D () t = ω Dramaticky roste při protahování vláken; Palinstrophy: P () t = ( ω ) = ω. ω Kinetická energie (měrná): ( x, = U ( ) = ( ) ii 0, t U k, t dk 0 = 0 π ku k, t dk D + = + k 0 ( ) ( k, π U dk D pak zřejmě hstota KE pro dané vlnové číslo k bde: E ( k, = πk U ( k, D = πk U k, t D ( ) Ing.Václav Urba,Csc, Ústav termomachaniky AVČR 8