Pružnost a plasticita II

Transkript

1 Pružnost a plastcta II 3 ročník bakalářského studa doc Ing Martn Kresa PhD Katedra stavební mechank

2 Řešení pravoúhlých nosných stěn metodou sítí

3 Statcké schéma nosné stěn q G υ (μ) h l d 3 wwwfastvsbcz

4 Tenzor napětí a deformace lementární kvádr Stav napatost nosné stěn: 3 neznámé složk napětí a přetvoření Tenzor napětí: sm τ [ ] Tenzor deformace: ε sm γ [ ε ] ε τ M τ Vektor napětí: Vektor deformace: { } { τ } T {} ε { ε ε γ } T z wwwfastvsbcz

5 zkální rovnce Vztah mez složkam napětí a deformací (Hookův zákon) [ υ ] ε Matcový záps: [ D ] υ 0 U zotropní látk sou G a υ vzáemně závslé υ 0 G ( υ) [ υ ] ε Matce poddanost materálu: 0 0 ( ) υ [ D ] 0 υ 05 [ ε ] [ D ] [ ] [ ] [ D][ ε ] υ 3 G ( υ) τ γ τ G υ 0 υ 0 0 Matce tuhost materálu: 0 ( υ ) 5 wwwfastvsbcz

6 Geometrcké podmínk: vadřuí vztah mez složkam poměrných deformací v tělese a složkam posunů lbovolných bodů v tělese u ε v ε u v γ Statcké podmínk rovnováh: vadřuí vztah mez složkam napětí a zatížením v tělese 0 X τ 0 Y τ Podmínk spotost: 3 u ε v 3 ε 3 3 v u ε ε γ Geometrcké podmínk statcké podmínk rovnováh podmínk spotost wwwfastvsbcz

7 Podmínk fzkální & spotost: ( ) ( ) ( ) τ υ υ υ Statcké podmínk rovnováh & konstantní obemové síl: ( ) ( ) ( ) τ υ υ υ ( ) ( ) ( ) ( ) υ υ υ υ 0 ( ) ( ) 0 Matematcká úprava: Lévho podmínka Laplaceův operátor Maurce Lév (838-90) Perre-Smon Laplace (79-87) Lévho podmínka 7 wwwfastvsbcz

8 Stěnová rovnce τ X 0 τ ( ) 0 Y 0 Pro nulové obemové síl X a Y vhovue Arho funkce napětí () pro kterou platí: τ George Bddell Ar (80-89) ( ) 0 ( ) 0 Stěnová rovnce Stěnová (bharmoncká) rovnce e parcální dferencální rovncí řádu která e homogenní (nemá pravou stranu) Pro každou bharmonckou funkc lze odvodt stav napatost stěn který odpovídá podmínkám rovnováh a spotost Ar (8) 8 wwwfastvsbcz

9 Okraové podmínk Statcké okraové podmínk: Výslednce napětí na okra desk (hranc řešené oblast) se musí rovnat výslednc povrchových sl Deformační okraové podmínk: Přetvoření na okra desk (hranc řešené oblast) musí odpovídat vněším vazbám 3 Smíšené okraové podmínk: V rovnných úlohách musí být na okra (hranc řešené oblast) splněn dvě okraové podmínk 9 wwwfastvsbcz

10 Metoda sítí (metoda konečných dferencí) wwwfastvsbcz

11 wwwfastvsbcz Metoda sítí (metoda konečných dferencí)

12 Smíšené dervace ( ) wwwfastvsbcz Metoda sítí (metoda konečných dferencí)

13 9 Postup výpočt stěn metodou sítí Zadání Nakreslt výpočetní model stěn Určt hodnot Arho funkce napětí na obrse stěn podle analoge náhradního rámu MΦ 3 Určt normálové síl fktvního rámu nosné stěn který e dervací funkce napětí Φ ve směru vněší normál k hranc stěn a hodnotu Arho funkce napětí vně obrsu nosné stěn Sestavt matc levých stran a vektor pravých stran pro výpočet hodnot Arho funkce napětí v ednotlvých bodech sítě 5 Řešt soustavu lneárních rovnc Jech počet odpovídá počtu uzlů sítě Výsledkem sou hodnot Arho funkce napětí Φ v uzlech sítě wwwfastvsbcz

14 Postup výpočt stěn metodou sítí Hodnot Arho funkce napětí Φ v ednotlvých bodech sítě sou podkladem pro výpočet složek napětí V případě že př výpočtu hodnot M a N se předpokládala ednotková tloušťka nosné stěn a ta e ná zahrnout do výpočtu napětí 7 Provést kontrolu vpočtených složek napětí zeména na okraích stěn 8 Vpočet hodnot hlavních normálových napětí 9 Vpočet směrů hlavních normálových napětí 0 Vpočet mamálních smkových napětí a ech směrů 0 wwwfastvsbcz

15 B Zadání nosné stěn q kn/m ( p 5 kn/m q p t ) m h m l m t 0 m wwwfastvsbcz

16 B Rozdělení nosné stěn sítí 3 5 l/ m h/ m h m 5 vntřních bodů 5 lneárních rovnc 5 neznámých 5 l m S vužtím smetre: 5 lneárních rovnc 5 neznámých 5 5 wwwfastvsbcz

17 Moment na rámu M ohbový moment na fktvním rámu q M Horní okra q ( l ) q q ( l ) [ l ( ) ] q q [ l3 ( 3) ] l ( ) [ ] q [ l5 ( 5) ] Spodní okra 0 l 7 wwwfastvsbcz

18 3 Normálové síl na fktvním rámu S vužtím analoge náhradního rámu N normálová síla na fktvním rámu q Levý okra Pravý okra 0 0 N N ql l ql wwwfastvsbcz

19 0 Stěnová rovnce ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 0 8 kde Pokud pak platí: ( ) ( ) wwwfastvsbcz A Řešení stěn metodou sítí dferenční vzta

20 B Řešení stěn metodou sítí dferenční vztah Pro platí : (-- ) 0 (-- ) 8 (-- ) - 0 (-- ) wwwfastvsbcz

21 wwwfastvsbcz C Matce levých stran řádek ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 0 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )

22 wwwfastvsbcz C Matce levých stran řádek ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 0 8

23 3 wwwfastvsbcz C Matce levých stran řádek ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 0 8

24 D Matce levých stran řádek wwwfastvsbcz

25 Matce levých stran 0 řádek 5 wwwfastvsbcz

26 Vektor pravých stran řádek wwwfastvsbcz

27 G Matce levých stran a vektor pravých stra 7 wwwfastvsbcz

28 5Soustava lneárních rovnc výsledek 8 wwwfastvsbcz

29 Hodnot Arho funkce moment normá 9 wwwfastvsbcz

30 Výpočet složek napětí Po určení hodnot Arho funkce napětí v bodech sítě lze z dferenčních vztahů stanovt také složk napětí [N/m ]: t t ( ) - t t ( ) - τ t t kde t e tloušťka nosné stěn 30 wwwfastvsbcz

31 890 Výpočet hlavních složek napětí Mamální normálová napětí Směr hlavních napětí e ( ) τ z ± z z tan τ z z tan τ z z Mamální (mnmální) smkové napětí τ etr ± ( ) 3 wwwfastvsbcz