Řešení rekurentních rovnic 2. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11
|
|
|
- Dana Bartošová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Řešení rekurentních rovnic 2 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11 Evropský sociální fond. Praha& EU: Investujeme do vaší budoucnosti doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 1/ 25
2 Definice 1 řádu k N je libovolná rovnice ve tvaru a n+k +c k 1 (n)a n+k 1 + +c 1 (n)a n+1 +c 0 (n)a n = b n (1) provšechna n n 0, kde n 0 Z,c i (n)pro i=0,...,k 1(tzv. koeficientyrovnice)jsounějakéfunkcez R,přičemž c 0 (n)není identickynulováfunkce,a{b n } n=n 0 (tzv.pravástranarovnice)jepevně zvolená posloupnost reálných čísel. Jestliže b n =0provšechna n n 0,paksepříslušnárovnicenazývá homogenní. Poznámka: Namístofuncionálníhozápisu f(n),f(n+1),... volímevtomtokontextu běžnějšízápisvetvaruposloupnosti a n,a n+1,... doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 2/ 25
3 Diference Definice 2 (diferenceposloupnosti)mějmedánuposloupnost {a n },potom posloupnosturčenouvztahem a n = a n+1 a n nazýváme(první) diferencíposloupnosti a n. (k-tádiferenceposloupnosti)prodanouposloupnost {a n }alibovolné k N + definujeme k-toudiferenciposloupnosti {a n }takto: 1 (a n )= (a n )=a n+1 a n pro k=1 k (a n )= k 1 (a n+1 ) k 1 (a n ) pro k >1 Poznámky: Snadno odvodíme, že platí 2 (a n )= (a n+1 ) (a n )=a n+2 2a n+1 +a n 3 (a n )=a n+3 3a n+2 +3a n+1 a n 4 (a n )=a n+4 4a n+3 +6a n+2 4a n+1 +a n Jakbudevypadatvýrazpro i (a n )? doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 3/ 25
4 Difenční rovnice Lineární diferenční rovnice se zavedou podobně jako rovnice rekurentní s tím,žesemísto a n+i použije i (a n ). k (a n )+c k 1 (n) k 1 (a n )+ +c 1 (n) (a n )+c 0 (n)a n = b n (2) doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 4/ 25
5 Řešení rekurentní rovnice Definice 3 (řešení rekurentní rovnice) Nechť je dána lineární rekurentní rovnice a n+k +c k 1 (n)a n+k 1 + +c 1 (n)a n+1 +c 0 (n)a n = b n (3) provšechna n n 0.Jejímřešenímnazvemelibovolnouposloupnost {a n } n=n 0 takovou,žepodosazeníodpovídajícíchčlenůdodanérovnice dostáváme pro všechna n pravdivý výrok. Příklad 4 Uvažujme rovnici a n+1 n.a n =0 provšechna n 1. (4) Řešenímtétorovnicejeposloupnost a n = A.(n 1)!,n 1prolibovolné A R,jaksnadnoověřímedosazenímdorovnice. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 5/ 25
6 Počáteční podmínky Definice 5 (počáteční podmínky) Nechť je dána lineární rekurentní rovnice řádu k a n+k +c k 1 (n)a n+k 1 + +c 1 (n)a n+1 +c 0 (n)a n = b n (5) provšechna n n 0.Počátečnímipodmínkamiprotutorovnicinazveme libovolnousoustavurovnic a n0 = A 0,a n0 +1= A 1,...,a n0 +k 1= A k 1, kde A i Rjsoupevnězvolenáčísla. Pomocí rekurentní rovnice s využitím počátečních podmínek můžeme spočítat a n0 +k= b n0 c k 1 (n 0 )A k 1 c k 2 (n 0 )A k 2 c 1 (n 0 )A 1 c 0 (n 0 )A 0 a n0 +k+1= b n0 +1 c k 1 (n 0 +1)a n0 +k c 0 (n 0 +1)A 1 a podobně pak postupně další hodnoty. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 6/ 25
7 Existence a jednoznačnost Věta6 (o existenci a jednoznačnosti) Každá lineární rekurentní rovnice má nějaké řešení. Je-li dána lineární rekurentní rovnice řádu k a příslušné počáteční podmínky, pak existuje jediné řešení této rovnice, které splňuje dané počáteční podmínky. Důkaz:(náznak- podrobně viz Habala) Existence řešení- začneme z počátečních hodnot. Používáme silnou indukci(hodnoty jdou zpět o víc než jeden krok), získávámejednoznačněurčenékonečnéposloupnosti {a N,n } N n=n 0. Prefixkonečnéposloupnosti {a N+1,n } N n=n 0 seshodujescelou předchozíposloupností,vybereme {a m }={a m,m } Jednoznačnost ověříme rovněž silnou indukci- prvních k členů se shoduje díky počátečním podmínkám, další se počítá z prvních k, atd. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 7/ 25
8 Jednoznačnost Důsledek předchozí věty: Nechť {a n } n=n 0 a {ã n } n=n 0 jsoudvěřešenítéželineárnírekurentní rovnice řádu k. Jestliže se shoduje prvních k členů těchto řešení, pak se shodují celé posloupnosti. Řešení tedy máme zaručené, ale nevíme, jak vypadá v uzavřeném tvaru. Definice 7 Uvažujme lineární rekurentní rovnici a n+k +c k 1 (n)a n+k 1 + +c 1 (n)a n+1 +c 0 (n)a n = b n (6) provšechna n n 0.Potomselineárníhomogennírekurentnírovnice a n+k +c k 1 (n)a n+k 1 + +c 1 (n)a n+1 +c 0 (n)a n =0 (7) nazývá k ní přidružená homogenní rovnice. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 8/ 25
9 Struktura řešení Věta8 (o struktuře řešení) Nechť je dána lineární rekurentní rovnice a n+k +c k 1 (n)a n+k 1 + +c 1 (n)a n+1 +c 0 (n)a n = b n (8) provšechna n n 0 anechť {a n } n=n 0 jenějakéjejířešení. Posloupnost {a n } n=n 0 jeřešenímtétorovniceprávětehdy,pokudsedá napsat jako {a n } n=n 0 = {a n } n=n 0 +{ã n } n=n 0, kde {ã n } n=n 0 jenějakeřešenípřidruženéhomogennírovnice. Musíme se naučit dobře řešit homogénní rovnice. Musíme najít(uhádnout?) aspoň jedno řešení negomogenní rovnice. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 9/ 25
10 Struktura řešení homogenní lineární rekurentní rovnice Věta9 Nechť je dána homogenní lineární rekurentní rovnice a n+k +c k 1 (n)a n+k 1 + +c 1 (n)a n+1 +c 0 (n)a n =0, (9) (kde c k (n)=1)provšechna n n 0.Pakmnožina Mvšechjejíchřešení je lineární prostor dimenze k. Důkaz:(náznak- podrobně viz Habala) Jsou-li {a n } a {ã n }nějakářešení,paktaké u.{a n }+v.{ã n }je řešením(to plyne z linearity rovnice). Dimenze Mje k:nechťje {a i n}řešenímdanérovniceapočátečních podmínek a n0 +j= δ ij provšechna i,j=0,1,...,k 1 (Kroneckerovo delta). Potom 1 {a i n}pro i=0,1,...,k 1 jsoulineárněnezávisléposloupnosti 2 libovolné řešení lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 10/ 25
11 Rovnice s konstantními koeficienty Definice 10 řádu k s konstantními koeficienty je libovolná rekurentní rovnice ve tvaru a n+k +c k 1 a n+k 1 + +c 1 a n+1 +c 0 a n = b n (10) provšechna n n 0, kde n 0 Z,c i Rpro i=0,...,k 1jsoupevně zvolenáčísla, c 0 0a{b n } n=n 0 jepevnězvolenáposloupnostreálných čísel. Charakteristickým polynomem této rovnice nazýváme polynom p(λ)=λ k +c k 1 λ k 1 + +c 1 λ+c 0. (11) Kořeny charakteristického polynomu se nazývají charakteristická čísla, popř. vlastní čísla dané rovnice. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 11/ 25
12 Řešení rovnice s konstantními koeficienty Věta 11 Jestliže je λ charakteristickým číslem homogenní lineární rekurentní rovnice s konstantními koeficienty a n+k +c k 1 a n+k 1 + +c 1 a n+1 +c 0 a n =0 (12) provšechna n n 0,pakjeposloupnost {λ n } n=n0 jejímřešením. Důkaz: Dosadímeposloupnost a n = λ n dodanérovnice: a n+k +c k 1 a n+k 1 + +c 1 a n+1 +c 0 a n = λ n+k +c k 1 λ n+k 1 + +c 1 λ n+1 +c 0 λ n = λ n (λ k +c k 1 λ k 1 + +c 1 λ+c 0 )= λ n (p(λ)=λ n.0=0, neboť λ je kořenem charakteristického polynomu. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 12/ 25
13 Řešení rovnice s konstantními koeficienty Věta 12 Uvažujme homogenní lineární rekurentní rovnici s konstantními koeficienty řádu k a n+k +c k 1 a n+k 1 + +c 1 a n+1 +c 0 a n =0 (13) provšechna n n 0.Jestližemá k(různých)charakteristickýchčísel λ i, pakposloupnosti {λ n i } n=n0 tvoříbáziprostoruřešenídanérovnice. Důkaz:(podrobně viz Habala) Potřebujemeukázat,žerovnice k i=1 u i{λ n i }={0}nutněvedena u i =0provšechna i. Stačí se ale podívat na prvních k členů zúčastněných posloupností a dostaneme soustavu rovnic s regulární maticí(vandermont). Obecnéřešenírovnicemátedytvar { k i=1 u i{λ n i }= k } i=1 u iλ n i Otázkaprozvídavé:Můžebýtněkteré λ i rovnonule? doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 13/ 25
14 Příklad rovnice s konst. koeficienty Příklad 13 Uvažujme homogenní lineární rekurentní rovnici druhého řádu a n+2 3a n+1 +2a n =0 pro n 1 spočátečnímipodmínkami a 1 = 1,a 2 =2. Řešení: Najdeme obecné řešení pomocí kořenů charakteristického polynomu p(λ)=λ 2 3λ+2=(λ 2)(λ 1). Kořenyjsou λ 1 =2,λ 2 =1,takžeobecnéřešenímátvar {u 2 n +v 1 n } n=1 = {u 2n +v} n=1 prolib. u,v R Zbývá nalézt řešení splňující zadané počáteční podmínky- tak dostaneme u= 3 2a v= 4. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 14/ 25
15 Příklad- Fibonacci-ho posloupnost Příklad 14 Chceme nalézt vyjádření v uzavřeném tvaru pro Fibonacci-ho posloupnost definovanou rekurentní rovnicí F n+2 F n+1 F n =0 pro n 1 spočátečnímipodmínkami F 1 = F 2 =1. Řešení:Zcharakteristickérovnice p(λ)=λ 2 λ 1=0dostaneme charakteristickáčísla λ 1,2 = 1± 5 2,obecnéřešenírovnicemátedytvar ) n. F n = u ( Nyní aplikujeme počáteční podmínky: ) n+v ( F 1 = u v =1 a F 2 = u ( ) 2+v ( ) 1 5 2=1 2 doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 15/ 25
16 Příklad- Fibonacci-ho posloupnost pokračování Příklad 15 Zpočátečníchpodmínekdostanemehodnoty u= 1 5 = v,takže dostáváme řešení (( F n = 1 ) n ( ) n ) = 1 5 (φ n (1 φ) n ), kde φ= = 1,62jetzv.zlatýřez(cojeto?). Asymptotickyplatí F n =Θ(φ n ) (proč?),alejakspočítámepřesněnapř. F 100,kdyžnemákonečnédesítkové/dvojkovévyjádření? Provýpočet F n sevícehodímaticováformule [ ] n [ ] 1 1 F(n+1) F(n) =, 1 0 F(n) F(n 1) vekterélzemocninuspočítatvčaseθ(lg n)(jak?). doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 16/ 25
17 Násobná charakteristická čísla Věta 16 Nechť je dána homogenní lineární rekurentní rovnice s konstantními koeficienty. Jestliže je λ její charakteristické číslo s násobností m, pak posloupnosti {λ n },{nλ n },...,{n m 1 λ n }jsouřešenímdanérovnicea tvoří lineárně nezávislou množinu. Důkaz:(viz Habala) Tím dostáváme následující hlavní tvrzení. Věta 17 Nechť je dána homogenní lineární rekurentní rovnice s konstantními koeficientyřádu k.nechťjsou λ 1,...,λ M jejírůznácharakteristickáčísla, přičemžkaždé λ i mánásobnost m i N +.Pakjemnožina {λ n 1 },{nλn 1 },...,{nm 1 1 λ n 1 },...,{λn M },{nλn M },...,{nm M 1 λ n M } bází prostoru řešení dané rovnice. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 17/ 25
18 Příklad- násobná charakteristická čísla Příklad 18 Najdemeobecnéřešenírovnice a n+3 a n+2 a n+1 +a n =0provšechna n 2. Řešení:Charakteristickýpolynomje p(λ)=λ 3 λ 2 λ+1.dokážeme nalézt jeho kořeny? p(λ)=(λ 1)(λ 2 1)=(λ 1)(λ 1)(λ+1) Takžemáme λ 1 =1(dvojnásobný)aλ 2 = 1(jednoduchý),báziprostoru řešení tvoří trojice posloupností aobecnéřešenímátvar {1 n } n= 2, {n.1n } n= 2, {( 1)n } n= 2 {A+Bn+C( 1) n } n= 2. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Řešení rekurentních rovnic 2 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 11 18/ 25
Řešení rekurentních rovnic 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 12
Řešení rekurentních rovnic 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce
DMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.
DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením
Ekvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5
doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5 Evropský sociální fond.
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
![[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}](/thumbs/26/7692117.jpg "[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}")
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
1 Diference a diferenční rovnice
1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou
Aplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří
Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
![Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)](/thumbs/96/128965676.jpg "Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)")
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)
Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
1. Jordanův kanonický tvar
. Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními
prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Principy indukce a rekurentní rovnice
Principy indukce a rekurentní rovnice Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 1/15 Příklad Místností rozměru n budeme rozumět šachovnici rozměru 2 n 2 n, ze které je jedno (libovolné) pole vyjmuto.
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Matematická indukce. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 3
doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 3 Evropský sociální fond.
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Základy matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Antonín Sadil Elementární metody řešení diferenčních rovnic
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Antonín Sadil Elementární metody řešení diferenčních rovnic Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: RNDr Robert Černý,
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
![transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]](/thumbs/88/115112143.jpg "transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]")
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
Diferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
Historie matematiky a informatiky Cvičení 2
Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
Matematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
Numerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Věta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5
VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce
Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských
Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 2/22 Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 4/22 Automaty a gramatiky(bi-aag)
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy
36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Rekurentní rovnice, strukturální indukce
Rekurentní rovnice, strukturální indukce Jiří Velebil: A7B01MCS 26. září 2011: 1/20 Příklad (Parketáž triminy z minulé přednášky) P(n) = počet parket k vyparketování místnosti rozměru n 1 P(1) = 1. 2 P(n
Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
Rekurentní rovnice, strukturální indukce
, strukturální indukce Jiří Velebil: Y01DMA 23. února 2010: Strukturální indukce 1/19 Backusova-Naurova forma Například syntaxe formuĺı výrokové logiky kde a At. Poznámky 1 Relaxace BNF. ϕ ::= a tt (ϕ
Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
Lineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání