Řešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 3), V. Vícha (4)

Transkript

1 Řešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas 1,, ), V. Vícha 4) 1.a) Mezi spodní destičkou a podložkou působí proti vzájemnému pohybu síla tření o velikosti nejvýše F t fmg, mezi spodní destičkou a prostřední destičkou působí proti vzájemnému pohybu síla tření o velikosti F t fmg a mezi horní a prostřední destičkou působí proti vzájemnému pohybu síla F t1 fmg. Nemáli se horní deska při pohybu prostřední destičky pohnout, je maximální zrychlení prostřední destičky a m fmg m fg; nemá-li se pohnout prostřední destička, může se spodní destička pohybovat také nejvýše se zrychlením a m fmg m fg,0 m s. Z pohybové rovnice F 1 fmg ma m plyne F 1 6fmg,4 N. b) Protože síla tření mezi spodní destičkou a prostřední destičkou je menší než síla tření mezi spodní destičkou a podložkou, zůstane spodní destička v klidu stejně jako horní destička. Platí tedy F F t1 + F t fmg 1, N. c) Z pohybové rovnice pro spodní destičku ma m F 5fmg plyne F 6fmg,4 N. d) Dokud je spodní destička v kontaktu s destičkou prostřední, působí proti jejímu pohybu síla tření o velikosti 5f mg. Pro velikost zrychlení spodní destičky platí ma 1 m v 0 v 1 5fmg, t kde t je doba, po kterou jsou spodní a prostřední destička v kontaktu. Odtud pak t v 0 v 1 5fg. Horní a prostřední destička se pohybují se zrychlením a fg a za dobu t získají rychlost v fg t v 0 v 1 0,4 m s 1. 5

2 Po pádu horní a prostřední destičky na podložku urazí spodní destička ještě vzdálenost s 1 v 1, horní a prostřední destička urazí vzdálenost fg s v fg v 0 v 1 ). 50fg Pokud bude s < s 1, budou se destičky nacházet ve vzájemné vzdálenosti s 1 s v 1 fg v 0 v 1 ) 50fg.a) Ze vztahu ρ ρ h h 0 ) 4v 1 v 0 + v 0 v 1 50fg 0,1 m. body je vidět, že h 0 je hloubka, ve které má hustota kapaliny hodnotu ρ ρ 0. b) Na vodorovnou plochu velikosti S v hloubce h pod hladinou kapaliny působí síla, jejíž velikost je rovna velikosti tíhové síly kapaliny, která leží nad ní. Protože se hustota kapaliny lineárně zvětšuje s hloubkou, je průměrná hustota kapaliny nad touto plochou rovna ρ 0 + ρ h ) h 0 ρ a hydrostatický tlak v hloubce h p h) mg S ρ 0 + ρ h ) hρg h h 0 g ρ 0 gh 1 + h ). h 0 4 body c) Válec se zastaví, bude-li se jeho těžiště nacházet v hloubce, kde je jeho hustota rovna hustotě okolní kapaliny, tedy ρ 0 ρ h 1 h 0 ) h 1 h 0. d) Nejprve určíme polohu těžiště tělesa vzhledem k ploše, spojující oba válce. Protože spodní válec má dvakrát větší poloměr, má čtyřikrát větší objem. Souřadnice těžiště pak bude l y T V l 4V 5V 10 l. Těžiště leží pod plochou, spojující oba válce. Stejnou úvahou jako v části c) určíme polohu plochy, spojující oba válce, vzhledem k hladině

3 h h 0 10 l. body Alternativní řešení části c). V rovnováze platí, že tíha válce se rovná rozdílu velikostí tlakových sil na spodní a horní podstavu válce: ρ 0 Slg ρ 0Sg [ h + l h l + l ) h l ) + mg F F 1 p p 1 ) S, ) 1 + h + l h 0 ) h + ) l h l ) h 0 h ) l 1 + h )] l, h 0 l l + hl h 0 h h 0. Alternativní řešení části d). V rovnováze platí, že tíha spojených válců se rovná rozdílu tlakových sil na spodní podstavu spodního válce a na část horní podstavy spodního válce a na horní podstavu horního válce. Protože průměr spodního válce je dvakrát větší, má spodní válec čtyřikrát větší hmotnost i plochu podstavy. V rovnováze platí 5mg 15ρ 0 Slg F F 4 F 5 h + l) ρ 0 4Sg 1 + h ) + l h h l) ρ 0 Sg 15 l 4 h + l) 1 + h ) + l h 0 h l) 1 + h l h h ) l h h ρ 0 Sg 1 + h ) h 0 ) h 1 + h ), h 0 15 l 5l 4 h + l) h l) h h 0 10h l + l h 0, 5 10h + l h 0 h h 0 10 l..a) Protože má první čočka menší průměr, bude se část světelných paprsků lámat na první čočce a pak i na druhé čočce, část paprsků se bude lámat jen na druhé čočce. Obraz vytvořený první čočkou bude ve vzdálenosti a, pro kterou platí a af 1 0 a f 1 cm.,

4 Tento obraz je ve vzdálenosti a 1 b a a 70 cm před druhou čočkou, která vytvoří obraz ve vzdálenosti za druhou čočkou. a 1 a 1f a 1 f 140 cm Průměr světelné stopy na druhé čočce označme d 1. druhou čočkou bude ve vzdálenosti b bf 100 b f cm za druhou čočkou. b) Průchod paprsků čočkami je na obrázku R1: Obraz vytvořený pouze Z podobnosti trojúhelníků plyne Obr. R1 d min D x b b, d 1 d b a a a, d min d 1 a 1 x a. 1 Z druhé rovnice můžeme vyjádřit d 1 :

5 d 1 b a a a d 70 cm. Dosazením za d 1 z druhé rovnice do třetí d min b a a a d d min a 1 x a 1 a 1 x a, 1 b a a a d. a po vyjádření d min z první rovnice d min x b b D porovnáním dostaneme po číselném dosazení x b b D a 1 x a 1 b a a a d, {x} {x} 140 {x} {x} {x} {x} {x} {x} 1 {x} 540 {x} 41,5. Světelná stopa o nejmenším průměru vznikne 41,5 cm za druhou čočkou. 4 body c) Po číselném dosazení do první rovnice d min x b b D 41, cm,45 cm. Nejmenší průměr světelné stopy na stínítku bude,5 cm. 4.a) Nejprve vyjádříme kinetickou energii E ki vzhledem k laboratorní soustavě) soustavy částic před reakcí E ki 1 m 0v.

6 Nyní vyjádříme kinetickou energii E kf spojených částic po reakci E kf 1 m 0) u, kde u je rychlost spojených částic po reakci. Pro určení rychlosti u využijeme zákon zachování hybnosti Odtud u v a E kf m 0v 4. Vyjádříme požadovaný poměr energií m 0 v m 0 u. E kf E ki m 0 v 4 m 0 v 1. Z kinetické energie před reakcí se využije 50 % na kinetickou energii po reakci a 50 % na efektivní energii dostupnou v těžišti nezávisle na hodnotě rychlosti v v rámci nerelativistického řešení). b) Kinetická energie soustavy před reakcí vzhledem k laboratorní soustavě) je opět Kinetická energie soustavy po reakci je E ki 1 m 0v. E kf 1 m 0 + km 0 ) u m 0u k + 1). Ze zákona zachování hybnosti určíme rychlost u spojených částic m 0 v m 0 + km 0 ) u, u v k + 1. Kinetická energie spojených částic je E kf m 0v k + 1). Vyjádříme požadovaný poměr kinetických energií E kf E ki m 0 v k + 1) m 0 v 1 k + 1. Podíl kinetické energie po reakci a před reakcí opět nezávisí na rychlosti dopadající částice, ale závisí na k. S rostoucím k podíl klesá k nule lim ) 1 k k a tudíž roste podíl efektivní energie dostupné v těžišti.

7 c) Využijeme opět zákony zachování nyní již s relativistickými hybnostmi a energiemi). Zákon zachování hybnosti p i p f, kde počáteční hybnost p i je hybnost dopadající částice projektilu) a p f je hybnost spojených částic. Zákon zachování energie E 0 + E i E f, kde E 0 je klidová energie terčové částice, E i je energie dopadající částice projektilu) a E f je energie spojených částic E f E 0 + E 0 1 v c,66e 0, E f,66e 0. Obecně mezi hybností p, celkovou energií E a rychlostí platí: p mv mc ) v c E v c v c pc E. Pro rychlost u tak platí: ) E 0 v v u c p fc p E i ic c c 1 v c c v 0,956. E f E f E f,66e 0,66c 1 v c Spojené částice mají po srážce rychlost 0,956c. body d) Pomocí relativistického vztahu vyjádříme kinetickou energii před reakcí 1 E ki E v 1,66E 0. c Kinetickou energii E kf po reakci vyjádříme jako E kf E f E f0, kde E f je energie spojených částic tu jsme již určili v úloze c) a E f 0 je klidová energie spojených částic zde také energie dostupná v těžišti) E f0 E f 1 u c,66e 0 1 0,956 6,86E 0. Po dosazení E kf E f E f0,66e 0 6,86E 0 16,50E 0.

8 Vyjádříme poměr efektivní energie dostupné v těžišti E EDT a počáteční kinetické energie E EDT E ki E ki E kf E ki 1,66E 0 16,50E 0 1,66E 0 0,6, neboli,6 %. Při relativistickém řešení pro rychlost v 0,999c připadá na efektivní energii dostupnou v těžišti jen,6 % kinetické energie před reakcí. Poznámka: Pro ještě větší rychlost dopadající částice podíl efektivní energie dostupné v těžišti neustále klesá, proto se používají vstřícné svazky, u nichž se může přeměnit limitně 100 % počáteční kinetické energie na efektivní energii dostupnou v těžišti. body