Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv"

Transkript

1 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího rozděleí výosů aktiv Josef Volý Abstrakt říspěvek je věová popisu a aplikaci metodiky Value at Risk při výpočtu itegrovaé hodoty Value at Risk lieárích sub-portfolií za předpokladu, že výosy aktiv sub-portfolií se chovají dle vícerozměrého ormálího rozděleí. Nejprve je představe přístup Value at Risk, poté je a základě vlastostí vícerozměrého ormálího rozděleí a vzorce pro aalytický výpočet hodoty Value at Risk odvozea formule pro určeí itegrovaé hodoty Value at Risk. tegrace je ověřea a reálých datech českého kapitálového trhu. Výsledky jsou iterpretováy. líčová slova Value at Risk, vícerozměré ormálí rozděleí, itegrovaá hodota Value at Risk. Úvod otřeba řízeí a elimiace fiačích rizik je důsledkem začé promělivosti fiačích trhů, jež se projevuje ve volatilitě poteciálí ztráty ebo zisku spojeých s vlastictvím fiačích aktiv a portfolií. Aalýza a řízeí fiačích rizik se des opírá o velmi rozviutou a prakticky využívaou metodu Value at Risk. odstata tohoto přístupu již byla diskutováa v publikacích řady autorů, blíže Jorio (000), Dowd (998), Holto (003); trží stadard této metody uvedla baka J.. Morga přístupem RiskMetrics, blíže Logerstay ad Specer (996). Metodologie RiskMetrics je založea a předpokladu, že výosy aktiv portfolia mají vícerozměré ormálí rozděleí. eto přístup je vhodý pro lieárí portfolia (akcie, obligace a komodity), kde relativí změy výosů portfolia jsou lieárí fukcí změ výosů rizikových faktorů (ce fiačích istrumetů). U velkých fiačích istitucí zpravujících řadu rozsáhlých portfolií je možé kvatifikovat riziko u každého dílčího portfolia a základě metodologie Value at Risk. Vziká však požadavek, jak vyčíslit výši pravděpodobé ztráty pro celou fiačí istituci, tz. jak itegrovat hodoty Value at Risk držeých portfolií. Zaměříme-li se pouze a lieárí portfolia, pak vzhledem k charakteristikám statistického rozděleí výosů aktiv a liearitě agregace výosů aktiv portfolií, lze provést spojeí lieárích portfolií růzých fiačích trhů a vypočíst itegrovaou hodotu Value at Risk tohoto globálího portfolia. Cílem příspěvku je odvodit vztah pro aalytický výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk za předpokladu vícerozměrého ormálího rozděleí výosů aktiv portfolia a ověřit možost itegrace a reálých datech českého kapitálového trhu. g. Josef Volý, Vysoká škola báňská echická uiverzita Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací, Sokolská třída 33, 70 Ostrava, 435

2 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 tegrace hodot Value at Risk. Metodologie Value at Risk lze defiovat dvěma přístupy, jejichž podstata závisí a způsobu iterpretace: (a) Ztráta z portfolia aktiv bude větší ež předem staoveá hladia ztráty (VAR ), a daé hladiě výzamosti za určitý časový iterval. vrzeí lze zapsat tímto vztahem r ( ZRÁA ) =, graficky Obr. č.. Obr. č. : Value at Risk v oboru ztráty -st. Distribučí fukce Fukce hustoty = ZS ZRÁA (b) Zisk z portfolia aktiv bude meší ež předem určeá hladia zisku ( VAR ), a staoveé hladiě výzamosti za daý časový iterval. vrzeí lze zapsat takto r ZS =, graficky Obr. č.. ( ) Obr. č. : Value at Risk v oboru zisku -st. Distribučí fukce Fukce hustoty = ZS ZS Je tedy zřejmé, že pro odvozeí hodoty Value at Risk portfolia pro daé je ezbyté určit rozděleí pravděpodobosti přírůstku hodoty portfolia aktiv. Hodota Value at Risk může být staovea aalytickým způsobem ebo pomocí simulačích techik. ro potřebu tohoto příspěvku se zaměřme a aalytické řešeí hodoty Value at Risk portfolia, jež vychází ze dvou základích předpokladů: (i) výosy aktiv portfolia se chovají jako áhodá proměá dle vícerozměrého ormálího rozděleí R N ( Ε ( R),Σ), (ii) přírůstek hodoty portfolia lze vyjádřit lieárí kombiací áhodých výosů aktiv portfolia R a absolutí částky ivestovaé do každého aktiva δ, Π = R δ + + R δ. oté hodotu Value at Risk lze defiovat ásledujícím vztahem = Φ ( Π) ( Π) E, () 436

3 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 kde Φ je hodota iverzí fukce k distribučí fukci ormovaého ormálího rozděleí a hladiě pravděpodobosti, E ( Π ) je středí hodota přírůstku hodoty portfolia a Π je směrodatá odchylka přírůstku hodoty portfolia. ( ). Charakteristika statistického rozděleí výosů aktiv portfolia ředpokládejme rozměrý áhodý vektor spojitých výosů aktiv portfolia R = ( R,, R ), kde R ( ) = l S, t S, t a R N( E( R ), ). Dále uvažujme rozměrý vektor středích hodot výosů aktiv portfolia E ( R) = ( E( R ),, E( R ) a rozměrou kovariačí matici Σ, kde je -tý diagoálí prvek kovariačí matice, pak áhodý vektor výosů aktiv portfolia má -rozměré ormálí rozděleí R N ( Ε ( R),Σ), jehož fukce hustoty je defiováa takto N( R; E( R), Σ) = ( π ) Σ exp{ 0,5( R E( R ) Σ ( R E( R )}, a distribučí fukce dle ásledujícího vztahu F { } dr dr R R ( R,, R ) ( ) Σ exp 0,5( R E( R ) Σ ( R E( R ) = π. Následující obrázek zázorňuje rozděleí áhodého vektoru výosů aktiv pro případ ormovaého dvourozměrého ormálího rozděleí. Obr.č.3: Normovaé dvourozměré ormálí rozděleí výosů aktiv portfolia df R R Dále předpokládejme rozměrý vektor absolutího možství peěz, ivestovaého do -tého aktiva v portfoliu δ = ( δ,, δ ). Má-li áhodý vektor výosů aktiv portfolia R N ( E( R),Σ), pak přírůstek hodoty portfolia Π, má ormálí rozděleí Π N ( E( Π), ( Π ). řírůstek hodoty portfolia je defiová vztahem Π = δ R = δ R, () středí hodota přírůstku hodoty portfolia vzorcem 437

4 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 ( Π) = δ E( R ) δ E( R) = Ε, (3) rozptyl přírůstku hodoty portfolia výrazem Π = δ δ = δ Σ, pro i, j =,,, (4) ( ) δ i j i ij j a směrodatá odchylka přírůstku hodoty portfolia takto Π = δ δ = δ Σ, pro i, j =,,. (5) ( ) δ i j i ij j ro itegraci hodot Value at Risk dále uvažujme rozděleí tohoto portfolia aktiv a dvě sub-portfolia tak, že áhodý vektor výosů aktiv portfolia je možé rozložit a dvě podmožiy R ( R, R ) =, kde R a R platí R ( ( ), N E R Σ ) a R N ( ( ), E R Σ ), s vektorem absolutích částek ivestovaých do aktiv portfolia δ = ( δ,δ ), s odpovídajícím vektorem středích hodot Ε ( R) = ( E( R ), E( R ) a rozměrou kovariačí maticí výosů aktiv portfolia Σ Σ Σ =, Σ Σ kde Σ je rozměrá a Σ je rozměrá kovariačí matice sub-portfolií, pro + = a Σ je rozměrá kovariačí matice výosů aktiv mezi sub-portfolií. Rozptyl přírůstku hodoty portfolia skládajícího se ze dvou sub-portfolií je poté defiová takto ( Π) δ Σδ = δ Σδ + δ Σδ + δ Σδ, (6) kde výrazy δ δ Σ představují rozptyly přírůstků hodot sub-portfolií, výraz δ δ Σ δ Σ a δ je kovariace mezi sub-portfolií..3 Odvozeí formule pro výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk ro výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk portfolia skládajícího se ze dvou subportfolií vyjděme ze vztahu pro aalytický výpočet, vzorec (). Vzhledem k symetričosti ormálího rozděleí pro které platí, že Φ = Φ, pak vzorec () lze zapsat takto = Φ δ Σδ δ E( R). (7) V ěkterých aplikacích metody Value at Risk se předpokládá, že středí hodota výosu aktiv a tedy i portfolia se rová ule. Empiricky byla tato skutečost ověřea zejméa u krátkodobých výosů, tj. deí, týdeí a měsíčí, blíže Zmeškal (004). Jestliže E ( R ) = 0, pak také Ε ( Π ) = 0 a po úpravě výrazu (7), lze vypočíst takto = Φ δ Σδ, (8) o ásledující úpravě = ( Φ ) δ Σδ = ( Φ ) δ Σδ, je obdrže výraz, (9) o dosazeí do (9) za δ Σδ vzorec (5) dostaeme = Φ δ Σ δ + δ Σ δ + δ Σ δ, ( ) ( ) po rozásobeí hodotou ( Φ ) pak = ( Φ ) δ Σδ + ( Φ ) δ Σδ + ( Φ ) δ Σδ. 438

5 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 Výrazy ( ) δ Σδ a ( ) δ Σδ Φ sub-portfolií = + + tedy určea vztahem Φ a ( Φ ) δ Σ jsou vztahy pro výpočet hodot Value at Risk. o substituci obdržíme δ. Hodota Value at Risk celkového portfolia je ( Φ ) δ Σ = + + δ. (0) ovariaci celkového portfolia lze vyjádřit výrazem Σδ = φ δ Σδ δ Σδ δ, () kde po úpravě φ = δ Σδ, δ Σδ δ Σδ () je parametr φ korelace mezi sub-portfolií, kde φ platí φ ; +. Dosadíme-li do (0) výraz () obdržíme = ( Φ ) φ δ Σδ δ Σ + + δ. Vzhledem k tomu, že výrazy Φ δ Σδ =, (3) a Φ δ Σδ =, (4) po úpravě je itegrovaá hodota Value at Risk portfolia, ozačme ji + +, vyjádřea takto = φ. (5) Dosadíme-li zpět do vzorce (5) středí hodotu přírůstků hodoty portfolia E( Π) = δ E( R), pak vzorec pro aalytický výpočet hodoty je ásledující ( ) = E Π φ. (6) Z výše uvedeého rozkladu vyplývá, že lze itegrovat dvě lieárí sub-portfolia a určit itegrovaou hodotu Value at Risk globálího portfolia a základě dílčích hodot Value at Risk sub-portfolií a daé hladiě pravděpodobosti dle vzorce (6) za předpokladu, že výosy aktiv sub-portfolií mají vícerozměré ormálí rozděleí. 3 Ověřeí itegrace hodot Value at Risk portfolia Cílem této kapitoly je ověřeí možosti výpočtu a základě hodot Value at Risk sub-portfolií. Jak bylo uvedeo v předchozích odstavcích, mají-li výosy dílčích aktiv portfolia vícerozměré ormálí rozděleí R N ( E( R),Σ), vzhledem k lieárí agregaci výosů aktiv portfolia a absolutích částek ivestovaých do každého aktiva, má přírůstek hodoty portfolia ormálí rozděleí Π N ( E( Π) ; ( Π ) a je možé určit hodotu Value at Risk portfolia a hladiě pravděpodobosti. Je-li toto portfolio rozděleo a dvě sub-portfolia, pak hodotu lze odvodit a základě dílčích hodot Value at Risk sub-portfolií, a koeficietu korelace φ pro φ ; +, přičemž musí platit rovost =. 439

6 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září Charakteristiky portfolia ředpokládejme akciové portfolio českého kapitálového trhu o aktivech. Charakteristiky portfolia určeé a základě 5 deích časových řad ce titulů portfolia uvádí ab. č.. Data v tabulce jsou uspořádáy do dvou podskupi, představující dílčí subportfolia. rví sub-portfolio obsahuje tituly ásledujících emitetů: ČEZ, a. s., Český telecom, a. s., ErsteBak, a. s., omerčí baka, a. s., Zetiva, a. s., Uipetrol, a. s. Druhé sub-portfolio poté tituly emitetů: hilip Morris ČR, a. s., Severočeské doly, a. s., Severočeská eergetika, a. s., Stavby silic a železic, a. s., aramo, a. s. δ E ( R ) Aktivum č % ČEZ ,35 Český telecom 5 5-0,5 ErsteBak ,09 omerčí baka ,05 Zetiva 0-0, Uipetrol 33-0,3 hilip Morris ČR ,07 Severočeské doly ,08 Severočeská eergetika ,08 Středočeská eergetika ,09 Stavby silic a železic ,8 aramo ,08 ab.č.: Charakteristiky aktiv portfolia ovariačí matici deích výosů uvádí ásledující tabulka. ČEZ Č Erste b. B Zetiva Uip. hil. M. Sev. d. S. e. St. e. Stav. s. ar. ČEZ 0,0004 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0003 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Č 0,000 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 Erste b. 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 B 0,000 0,000 0,000 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 Zetiva 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Uip. 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,0000-0,000 0,000 hil. M. 0,000 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 Sev. d. 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,0008 0,0000 0,0000 0,000 0,000 S. e. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,000 St. e. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0000 0,0000 Stav. s. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0004 0,000 ar. 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,000 0,0008 ab.č.: ovariačí matice 3. Algoritmus výpočtu i. Výpočet hodot aalytickým přístupem, dle vzorce (), a základě íže defiovaých vstupích parametrů ( E ( Π ) dle vztahu (3), ( Π ) dle vztahu (5) a Φ a hladiě pravděpodobosti 5%). ii. Rozklad kovariačí matice Σ a sub-matice Σ, Σ, Σ. 440

7 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 iii. Určeí hodot a, dle vzorců (3) a (4), za předpokladu, že středí hodota přírůstků hodot sub-portfolií je rova ule. iv. Výpočet koeficietu korelace φ mezi sub-portfolii podle vztahu (). v. Dopočet hodoty podle vzorce (6). 3.3 Řešeí příkladu, iterpretace výsledků a aalýza citlivosti Veškeré vstupí parametry jsou vypočtey ve třech variatách, tz. pro celé portfolio,. sub-portfolio a. sub-portfolio. Nezbytý rozklad kovariačí matice a sub-matice je provede takto Σ Σ = Σ Σ Σ M = M 6, 6 6,7 6,. 7, 7,6 7 7,, O N,6 M M,6,7 M M,7 N O, M M Vstupí parametry výpočtu hodot Value at Risk, E ( Π ), ( Π ) pravděpodobosti 5%, uvádí ab. č. 3. ( Π E ) ( Π ) ( Π ) a Φ a hladiě Ukazatel č č č - ortfolio celkem -407, , ,58,65. sub-portfolio -93, ,8 998,05,65. sub-portfolio -34, ,9 3 5,05,65 ab.č.3: Vstupí parametry k výpočtu hodot Value at Risk Nejprve jsou vypočtey hodoty dílčích portfolií, tz. u celého portfolia, u. subportfolia a. sub-portfolia. oté jsou určey hodoty a za předpokladu, že středí hodota přírůstků hodot sub-portfolií je rova ule. oeficiet korelace je determiová ve výši φ = 0, 3. Výsledky shruje ab. č. 4. ( Π ) Ukazatel E č č ortfolio celkem -407, ,4. sub-portfolio -93,5 735,6. sub-portfolio -34,3 6 05,9. sub-portfolio 0 64,64. sub-portfolio ,6 ortfolio po itegraci -407, ,4 ab.č.4: Výsledé hodoty Value at Risk Hodota deí ztráty portfolia a hladiě pravděpodobosti 5% bude vyšší ež 6 784,4 č. Je-li toto portfolio rozděleo a dvě sub-portfolia, poté hodota deí ztráty. subportfolia a hladiě pravděpodobostí 5% bude vyšší ež 735,6 č a. sub-portfolia vyšší ež 6 05,9 č. tegrujeme-li zpět tato sub-portfolia a základě výše uvedeé procedury, Φ 95% 44

8 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 obdržíme hodotu ztráty itegrovaého portfolia a hladiě pravděpodobostí 5% ve výši 6 784,4 č, čímž je ověřea itegrovatelost portfolií. Výše ztráty itegrovaého portfolia je ovšem závislá a míře korelace výosů aktiv apříč portfolií, tz. a výši koeficietu korelace φ. Důkaz uvádí ab. č. 5 a Obr. č. 4, prezetující aalýzu citlivosti hodoty ztráty itegrovaého portfolia v závislosti a míře korelace mezi výosy sub-portfolií φ, a hladiě pravděpodobosti 5%. φ -,00-0,50 0,00 +0,50 +,00 (v č) 4 557, , ,6 7 7, ,08 ab. č.5: Výsledé hodoty závislosti a φ, a hladiě pravděpodobosti 5% Z tabulky je zřejmé, že roste-li míra korelace mezi aktivy apříč sub-portfolií (roste koeficiet korelace φ ), roste výše deí ztráty itegrovaého portfolia a daé hladiě pravděpodobosti. ro hodotu φ = + je výše deí ztráty itegrovaého portfolia rova součtu ztrát sub-portfolií a daé hladiě pravděpodobosti. Obr.č.4: Závislost hodoty a koeficietu korelace φ, a hladiě pravděpodobosti 5% 4 Závěr V příspěvku byla popsáa problematika výpočtu ukazatele Value at Risk portfolia aalytickým přístupem za předpokladu vícerozměrého ormálího rozděleí výosů aktiv portfolia. Dále bylo demostrováo odvozeí formule pro výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk portfolia a základě dílčích hodot Value at Risk lieárích sub-portfolií, jež je možé aplikovat a základě charakteristik vícerozměrého ormálího rozděleí. tegrace ukazatelů Value at Risk byla ověřea a reálých datech akciového portfolia českého kapitálového trhu a hladiě pravděpodobosti 5%. Z výsledků vyplyulo, že mají-li výosy aktiv portfolia vícerozměré ormálí rozděleí, lze a základě lieárí agregace výosů a absolutích částech ivestovaých do aktiv určit přírůstky hodoty portfolia, jež mají ormálí rozděleí a poté určit hodotu Value at Risk. Je-li toto portfolio rozděleo a dvě sub-portfolia, pak itegrovaou hodotu Value at Risk lze vypočíst a základě dílčích hodot Value at Risk sub-portfolií (za předpokladu ulové středí hodoty přírůstku hodot sub- 44

9 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací září 006 portfolií) a koeficietu korelace mezi sub-portfolií. Je zřejmé, že výši itegrovaé hodoty Value at Risk ovlivňuje koeficiet korelace mezi sub-portfolií. S rostoucí mírou korelace, roste itegrovaá hodota Value at Risk. eto přístup je vhodý pouze pro lieárí portfolia, skládající se apř. z akciových, komoditích a měových pozic, kde relativí změa výosů portfolia je lieárí fukcí změy výosů rizikových faktorů (ce fiačích istrumetů). uto itegraci lze využít zejméa v případě, kdy kapacití možosti hardwaru fiačí istituce eumožňují zpracováí velkého možství dat simultaě a jedom počítači a tudíž je ezbyté kvatifikaci rizika provést odděleě a poté hodoty itegrovat. Literatura [] CAROL, A.: Risk Maagemet ad Aalysis, Measurig ad Modellig Fiacial risk. New York: Joh Wiley & Sos p. [] CHOUDHRY, M.: A troductio to Value-at-Risk. Chichester: Joh Wiley & Sos p. [3] AMDEM, S. J.: Value at Risk ad Expected Shortfall for Liear ortfolios with Elliptically Distributed Risk Factors. Workig paper [4] LONGERSAEY, J., Specer, M.: RiskMetrics M echical Documet. New York: J.. Morga/Reuters, p. [5] RACHEV, S.., MENN. CH., FABOZZ, J. F.: Fat-ailed ad Skewed Asset Retur Distributios, mplicatios for Risk Maagemet, ortfolio Selectio, ad Optio ricig. New Jersey: Joh Wiley & Sos p. [6] ONG, Y. L.: he Multivariate Normal Distributio. New York: Spriger-Verlag p. [7] ZMEŠAL, Z. et al.: Fiacial models. Ostrava: VSB-echical Uiversity of Ostrava, p. Summary his paper is devoted to the descriptio ad the applicatio of Value at Risk methodology for estimatio of itegrated value of Value at Risk, which is based o Value at Risk of the liear sub-portfolios. he basic assumptio is multivariate ormal distributio of uderlyig assets retur. First, Value at Risk approach is preseted. Next, there is derived formula for estimatio itegrated value of Value at Risk. tegratio is verified o model sample of equity portfolio of the Czech capital market. Results are iterpreted. 443

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Finanční řízení podniku. Téma: Časová hodnota peněz

Finanční řízení podniku. Téma: Časová hodnota peněz Fiačí řízeí podiku Téma: Časová hodota peěz Faktor času se ve fiačím řízeí uplatňuje a) při rozhodováí o ivesticích b) při staoveí trží cey majetku podiku c) při ukládáí volých peěžích prostředků d) při

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Pojem času ve finančním rozhodování podniku

Pojem času ve finančním rozhodování podniku Pojem času ve fiačím rozhodováí podiku 1.1. Výzam faktoru času a základí metody jeho vyjádřeí Fiačí rozhodováí podiku je ovlivěo časem. Peěží prostředky získaé des mají větší hodotu ež tytéž peíze získaé

Více

DYNAMIC PROPERTIES OF ELECTRONIC GYROSCOPES FOR INERTIAL MEASUREMENT UNITS

DYNAMIC PROPERTIES OF ELECTRONIC GYROSCOPES FOR INERTIAL MEASUREMENT UNITS DYNAMIC PROPERTIES OF ELECTRONIC GYROSCOPES FOR INERTIAL MEASUREMENT UNITS Jiří Tůma & Jiří Kulháek Abstract: The paper deals with the dyamic properties of the electroic gyroscope as a sesor of agular

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY

ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY 1. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(r) úrok v % z hodoty kapitálu za časové

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Jiří Havlický 1 Abstrakt Článek je zaměřen na stanovení a zhodnocení citlivosti výše očekávané a neočekávané ztráty plynoucí z podstupovaného

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

INFLUENCE OF THE ENVIRONMENTAL LEGISLATION ON THE VALUE OF THE ENTERPRISE TECHNICAL EQUIPMENT

INFLUENCE OF THE ENVIRONMENTAL LEGISLATION ON THE VALUE OF THE ENTERPRISE TECHNICAL EQUIPMENT INFLUENCE OF THE ENVIRONMENTAL LEGISLATION ON THE VALUE OF THE ENTERPRISE TECHNICAL EQUIPMENT VLIV ENVIRONMENTÁLNÍ LEGISLATIVY NA HODNOTU TECHNICKÝCH ZAŘÍZENÍ PODNIKU Paseka P., Mareček J. Departmet of

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Vážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

OBRAZOVÁ ANALÝZA POVRCHU POTISKOVANÝCH MATERIÁLŮ A POTIŠTĚNÝCH PLOCH

OBRAZOVÁ ANALÝZA POVRCHU POTISKOVANÝCH MATERIÁLŮ A POTIŠTĚNÝCH PLOCH OBRAZOVÁ ANALÝZA POVRCU POTISKOVANÝC MATERIÁLŮ A POTIŠTĚNÝC PLOC Zmeškal Oldřich, Marti Julíe Tomáš Bžatek Ústav fyzikálí a spotřebí chemie, Fakulta chemická, Vysoké učeí techické v Brě, Purkyňova 8, 62

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Vážeí zákazíci, dovolujeme si Vás upozorit, že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To zameá, že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Rožovský, J., Litschma, T. (ed): Semiář Extrémy počasí a podebí, Bro,. březa 4, ISBN 8-8669-2- Marie Budíková, Ladislav Budík Summary Aalysis of precipitatio maxima ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Database of

Více

Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo

Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo Kateřina Zelinková 1 Abstract The financial institution, namely securities firms, banks

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Srovnání kapitálového požadavku na kreditní riziko dle NBCA s ekonomickým kapitálem dle CreditMetrics

Srovnání kapitálového požadavku na kreditní riziko dle NBCA s ekonomickým kapitálem dle CreditMetrics Srováí kaptálového požadavku a kredtí rzko dle NBCA s ekoomckým kaptálem dle CredtMetrcs Josef Novotý 1 Abstrakt Příspěvek je věová popsu a aplkac dvou základích metod, které určují kaptálový požadavek

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Optické vlastnosti atmosféry, rekonstrukce optického signálu degradovaného průchodem atmosférou

Optické vlastnosti atmosféry, rekonstrukce optického signálu degradovaného průchodem atmosférou INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Optické vlastosti atmosféry, rekostrukce optického sigálu degradovaého průchodem atmosférou Učebí texty k semiáři Autor: Dr. Ig. Zdeěk Řehoř UO Bro) Datum: 22. 10. 2010

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

Regulace frekvence a velikosti napětí Řízení je spojeno s dodávkou a přenosem činného a jalového výkonu v soustavě.

Regulace frekvence a velikosti napětí Řízení je spojeno s dodávkou a přenosem činného a jalového výkonu v soustavě. 18. Řízeí elektrizačí soustavy ES je spojeí paralelě pracujících elektráre, přeosových a rozvodých sítí se spotřebiči. Provoz je optimálě spolehlivá hospodárá dodávka kvalití elektrické eergie. Stěžejími

Více