Úvod do analýzy časových řad

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do analýzy časových řad"

Transkript

1 Úvod do aalýzy časových řad Obsah Úvod... Teoreické základy pro aalýzu časových řad.... Základí pojmy..... Druhy časových řad..... Grafická aalýza Popisé charakerisiky Základí úpravy časových řad Doplěí chybějících hodo Trasformace měříka a kombiace časových řad Časový posu Sezóí diferece Kumulaiví souče Vyhlazováí časových řad Problémy časových řad Meody aalýzy časových řad Příklad č. : Aalýza míry ezaměsaosi v okrese Karviá Grafická a saisická deskripce Očisěí časové řady od sezóích vlivů Tvorba modelu Expoeciálí vyrováí druhého supě Výsledá predikce Příklad č. : Posup aalýzy ukazaelů a úrovi obce Deskripce saisická a grafická Aalýza vzahů Závěr Lieraura

2 Úvod Cílem aalýzy časových řad je věšiou kosrukce vhodého modelu. Sesrojeí dobrého modelu ám zpravidla umoží porozumě mechaismu, a jehož základě vzikají hodoy časové řady, a pochopi podmíky a vazby, keré působí a vzik ěcho hodo. Na základě změ ěcho podmíek či vazeb lze simulova jejich vliv působící změy ve vývoji časové řady. Dalším cílem je využií ěcho získaých pozaků při předpovědi budoucího chováí. Používaé posupy jsou založey a pricipu, že "hisorie se opakuje". Teo předpoklad bývá v praxi splě s růzou přesosí, a proo je vhodé u vyhlazováí a předpovědí v časových řada uvádě i spolehlivos získaých výsledků a hodoi úspěšos predikce. Teoreické základy pro aalýzu časových řad. Základí pojmy Časovou řadou rozumíme posloupos hodo ukazaelů, měřeých v určiých časových iervalech. Tyo iervaly jsou zpravidla rovoměré (ekvidisaí, a proo je můžeme zapsa ásledujícím způsobem: y, y,, y eboli y, =,,, kde y začí aalyzovaý ukazael, je časová proměá s celkovým počem pozorováí... Druhy časových řad Časové řady čleíme podle charakeru ukazaele: okamžikové - hodoa ukazaele k určiému okamžiku (apř. poče evidovaých uchazečů, iervalové - velikos sledovaého ukazaele závisí a délce iervalu, za kerý je sledová (apř. měsíčí áklady a rekvalifikace. Podle druhu ukazaelů rozlišujeme časové řady obsahující: absoluí ukazaele (očišěé, odvozeé ukazaele (součové, poměrové... Grafická aalýza Aalýza časových řad se v současosi provádí výhradě a počíačích pomocí vhodého sofwaru. Velká věšia saisických a ekoomerických sofwarů má algorimy ěcho aalýz zabudovaé ve svých sadardích abídkách. Bohužel program EXCEL mezi ě epaří, proo se budeme muse věova relaivě jedoduchým algorimům, keré lze vysvěli. Pro pokročilejší aalýzy časových řad doporučujeme saisické sofwary: SPSS, STATISTICA, S +. V programu EXCEL je ejvhodější daovou srukurou pro časové řady sadardí daová maice ve keré je prví řádek voře krákým ázvem proměé a poom ásledují aměřeé hodoy. Jede řádek daové maice obsahuje pozorováí v jedom časovém okamžiku. Hodoy jsou seřazey podle času, vzesupě. Ukázka daové maice v EXCELu uvádí abulka, kerá zahruje vývoj měsíčí míry ezaměsaosi v Karvié (% u_ki za období lede 995 březe

3 Tab. : Daová maice vývoje měsíčí míry ezaměsaosi v Karvié ( u_ki v % Daum Rok Měsíc u_ki I ,53 II ,38 III ,8 IV ,00 V ,84 VI ,9 VII ,30 VIII ,37 IX ,4 X ,8 XI ,9 XII ,0 I ,40 II ,37 III ,9 Kromě proměé výše defiovaé se obvykle používají další časové proměé dle ypu časových řad. Pokud pracujeme s ročími údaji je vhodé zavés další proměou rok. U čvrleích da kromě proměé r i proměou q, jež abývá hodo až 4 podle čvrleí. A aalogicky posupujeme i u měsíčích údajů. Vedle ěcho umerických proměých se používá v programu EXCEL i proměá ve formáu daum apř. ve varu I.99 pro grafické zázorěí časových řad. Pro zobrazeí časových řad a jejich prvoí aalýzu slouží spojicové grafy. Vodorová osa u ěcho grafů zazameává časovou proměou a a svislé ose se zobrazují hodoy ukazaele časové řady y. Příkladem spojicového grafu vývoje míry ezaměsaosi v okrese Karviá v leech 995 až 00 je obr.. % 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 I.95 IV.95 VII.95 X.95 I.96 IV.96 VII.96 X.96 I.97 IV.97 VII.97 X.97 I.98 IV.98 VII.98 X.98 I.99 IV.99 VII.99 X.99 I.00 IV.00 VII.00 Obr. : Vývoj míry ezaměsaosi v okrese Karviá X.00 I.0 IV.0 VII.0 X.0 I.0 IV.0 VII.0 X.0 Spojicový graf může zahrova i více časových řad, avšak měříko a svislé ose je sejé daum

4 Dalším důležiým grafem v EXCELu je graf XY bodový, kerý sleduje vývoj časové řady y a vývoji hodo časové řady x z., že zázorí bod se souřadicemi [x, y ] pro každý časový okamžik. Teo yp grafu je vhodý u regresí aalýzy...3 Popisé charakerisiky Charakerisiky polohy (průměry Při práci s časovými řadami je ěkdy důležié zjisi jejich průměré hodoy: y = prosý arimeický průměr y = ; vážeý arimeický průměr v y = y =, kde v je váha ukazaele y v čase ; v = y + y y + y3 y + y d + d 3 + L+ d vážeý chroologický průměr ych =, d + d + Ld délka jedolivých časových iervalů. kde d je Charakerisiky variabiliy Nejdůležiější míry variabiliy ve saisice paří rozpyl a směrodaá odchylka: rozpyl je arimeickým průměrem kvadráů odchylek od arimeického průměru: s y = ( y y ; = směrodaá odchylka je odmociou z rozpylu s y = s y = ( y y. = Míry dyamiky Jedoduché míry dyamiky časových řad umožňují charakerizova jejich základí rysy chováí. Mezi základí míry dyamiky časové řady y paří: absoluí přírůsek (prví diferece y = y y a průměrý absoluí přírůsek = = y = y y ; - 4 -

5 y koeficie (empo růsu k =, kde =,,, a průměrý koeficie růsu y = y k k k3 L k = ; y y meziročí koeficie růsu apř. v případě čvrleí časové k ( 4, =, kde = 5, 6,, ; y y y y y relaiví přírůsek δ = = = a průměrý relaiví přírůsek δ = k. y y y 4 Korelace Korelace vyjadřuje relaiví míru závislosi ve vzájemém vývoji dvou časových řad apř. y a x a je dáa vzahem s xy = = ( x x ( y y s x s y ;. Hodoy korelace blížící se ke hraičí hodoě vyjadřují, že obě sledovaé časové řady mají zcela opačý směry v jejich časovém vývoji. Hodoy s xy blížící se k prozrazují, že časové řady x a y se vyvíjí éměř shodě s hlediska sejých směrů pohybů a vykazují sejou relaiví míru ve vzájemém vývoji. Sacioárí a esacioárí časová řada Chováí časové řady může ze saisického hlediska buď podléha změám v průměru či variabiliě (řada esacioárí, ebo bý sále sejá (řada sacioárí. Zhruba řečeo o zameá, že u sacioárí řady ejsme schopi a základě zjišěých saisických paramerů, jako jsou arimeický průměr hodo ebo jejich rozpyl, schopi odliši jede úsek řady od druhého. Nesacioárí řada aopak vykazuje změy v chováí: apříklad arimeický průměr hodo ze začáku řady je sigifikaě jiý ež průměr čleů a koci (o akové řadě říkáme, že vykazuje red. Sacioárí chováí je podsaým předpokladem ěkerých ypů aalýz. Je pak řeba sacioariu esova a řadu případě vhodým způsobem rasformova s cílem odsraěí esacioariy

6 Vývoj míry ezaměsaosi v ČR Vývoj absoluích diferecí míry ezaměsaosi v ČR,00 0,00 8,00 0,60 0,40 0,0 6,00 0,00 4,00-0, ,00-0,40 0,00-0, ,80 Obr. : Vývoj měsíčí míry ezaměsaosi v ČR od roku 995 do poloviy roku 00 V grafu je vyobraze průběh ypické esacioárí časové řady, vykazující rosoucí red, sezóí vlivy v průběhu každého roku a s časem rosoucí rozpyl (sezóí odchylky od průměru se sále zvěšují. Taková řada evykazuje žádou časovou změu paramerů, proože její obecý čle ezávisí ai a čase, ai a předchozích čleech řady. V lierauře se i-ý čle časové řady s charakerem ezávislých realizací ormálě rozložeé áhodé veličiy se sřeí hodoou µ = 0 a kosaím rozpylem ozačuje jako bílý šum. Taková řada je svým způsobem ejáhodější ze všech rozumých časových řad, proože o jejím příším čleu v podsaě evíme a základě předchozího průběhu víc, ež že půjde o ějaké číslo kolem uly. Název bílý šum vzikl z oho, že ao časový řada obsahuje rovoměrý podíl frekvečích složek všech vlových délek podobě jako bílé svělo obsahuje složky všech barev spekra. 0,8 0,6 0,4 0, , -0,4-0,6-0,8 - Obr. 3: Bílý šum. Základí úpravy časových řad V další čási jsou shruy ejčasější rasformace či úpravy výchozí časové řady. Mohé sofwarové produky zahrují moduly pro yo auomaické výpočy

7 .. Doplěí chybějících hodo V časové řadě může ěkeré pozorováí chybě a bývá ěkdy ué je před zahájeím dalších výpočů dopli. Doplěé údaje samozřejmě ejsou plohodoé a jejich příomos sižuje věrohodos aalýzy. Podle účelu rasformace lze posupova ěkerým z ásledujících přísupů: Nahradi chybějící hodoy ulami. Teo způsob lze doporuči ehdy, evíme-li o řadě ic aebo je o, že její průměrý čle by měl bý ulový (ak omu bývá apř. u aměřeých odchylek od ějaké očekávaé hodoy řízeého procesu. Nahradi chybějící hodoy ějakou cerálí charakerisikou souboru aměřeých hodo, kokréě jeho arimeickým průměrem ebo mediáem. Lze přiom brá cerálí charakerisiku buď celého souboru, ebo pouze okolích bodů. Nahradi chybějící hodou lieárí ierpolací mezi sousedími body. Hodí se pro řady, keré vykazují výrazou servačos. Nahradi chybějící hodoy redem v celém souboru, získaém regresí vhodé křivky. Nahradi chybějící hodoy odhadem založeým a zámém či odhaduém modelu chováí procesu... Trasformace měříka a kombiace časových řad Nelieárí rasformace měříka časové řady se používá především pro polačeí či zmírěí esacioariy řady v případě, kdy apř. s rosoucími hodoami řady rose i rozpyl čleů. Pak může logarimováí ebo odmocěí eo problém polači. Po provedeí aalýzy se k původímu měříku vráíme zpěou rasformací: v případě logarimováí je o rasformace expoeciálí fukcí, v případě odmocěí rasformace umocěím. Někdy bývá vhodé zkombiova ěkolik časových řad apř. jejich sečeím ebo vyděleím jedé řady druhou (vypočíáím poměru...3 Časový posu Časový posu zameá vyvořeí časové řady opožděé resp. předbíhající časovou řadu, ale jiak s í oožou. Předsavuje o vlasě posuuí časové řady dopředu případě dozadu oproi původí časové řadě. Nově vyvořeé proměé mají ovšem a začáku, resp. a koci olik chybějících hodo, o kolik kroků se posu prováděl...4 Sezóí diferece Sezóí diferece je diferece mezi okamžiky, vzdáleými o celisvý ásobek délky periody. Například u da s iervalem jede měsíc, u ichž defiujeme ročí sezóí cyklus, se sezóí diferece. řádu počíá jako rozdíl údaje z leošího leda míus údaje z loňského leda, z leošího úora míus loňského úora ad. Diferece vyjadřuje velikos změy, ke keré došlo mezi dvěma časovými okamžiky měřeí. Je-li kladá, řada v daém čase rose, je-li záporá, řada klesá. Diferecí se daa zbavují lieárího redu, sezóí diferecí sezóích vlivů

8 Kumulaiví souče Opačou operací k difereci je kumulaiví souče časové řady. Jeho hodoa se rová souču všech hodo od počáku řady až po daý okamžik. Posupou aplikací diferece a kumulaivího souču získáme původí řadu opožděou o jede časový ierval a zvěšeou ebo zmešeou o ějakou kosau. Důležiou časovou řadou je řada vziklá kumulaivím součem bílého šumu. Říká se jí áhodá procházka, proože ikdy elze předvída, zda ao fukce se obráí vzhůru ebo dolů. Někdy je éž azýváa procházkou opilého ámoříka. Podle zákoiosi áhodé procházky by se měli řídi apř. cey akcií a burze. Náhodá procházka je hladší ežli bílý šum, jelikož iegrace polačuje vyšší frekvečí složky a zvýrazí ižší frekvece. 3,5 3,5,5 0, ,5 - Obr. 4: Náhodá procházka j. epredikovaelá časová řada..6 Vyhlazováí časových řad Pokud je ěkerá veličia měřea v příliš krákých časových iervalech, může se sá, že ásledující čley se eliší éměř ičím jiým, ež ahodilými odchylkami, jakýmsi šumem, kerý se přičíá ke správé hodoě sledovaé veličiy. Pokud lze předpokláda, že ao ahodilá chyba očekávaou hodou jedou zvěší a jidy zase zmeší (její sředí hodoa je ulová a jedolivé chyby ejsou vzájemě závislé (j. ekorelovaé, můžeme pak očekáva, že zprůměrováím ěkolika po sobě ásledujících pozorováí budou se chyby mí edeci avzájem ruši, zaímco skuečá sledovaá hodoa procesu ím vyike. Na omo pozorováí jsou založey meody vyhlazováí časových řad. Sředové klouzavé průměry: hodoa je ahrazea arimeickým průměrem sebe a ejbližších předchozích pozorováí, ležících ejdále do daé časové vzdáleosi. Klouzavé průměry z předchozích hodo: hodoa je ahrazea arimeickým průměrem sebe a ejbližších předchozích pozorováí. Klouzavé mediáy: hodoa je ahrazea mediáem sebe a ejbližších pozorováí, ležících ejdále do daé časové vzdáleosi. Jedou z aplikací ěcho meod je aké vyhlazeí sezóích vlivů, pokud jako rozpěí zadáme délku jedé periody. V případě měsíčích da s ročí periodiciou je rozpěí

9 .3 Problémy časových řad Při zpracováí da ve formě časové řady se poýkáme s možsvím problémů, keré jsou právě pro časové řady specifické. Jedá se především o problémy: s volbou časových bodů: o okamžikové, o iervalové; s kaledářem: o růzá délka měsíců, o růzý poče víkedů v měsíci, o růzý poče pracovích dů v měsíci, o pohyblivé sváky; s délkou časových řad; esrovaelosí da. Diskréí časové řady obsahují pozorováí v určiých espojiých časových bodech a mohou vzika rojím způsobem: buď přímo diskréí svou povahou, ebo vzikají diskreizací spojié časové řady, případě agregací či průměrováím hodo za daé časové období. Problémy s kaledářem zameají růzá délka kaledářích měsíců, růzý poče pracovích dí v měsíci, pohyblivé sváky (apř. velikooce. Tyo epravidelosi mohou mí překvapivé ásledky, avšak je možé je očisi od ěcho problémů: apř. vyrováí růzého poču dí v měsíci: y = y ( očišěá p p, kde y hodoa očišťovaého ukazaele, p poče pracovích dí v měsíci, p - průměrý poče pracovích dí v měsíci za rok (30,4 či jiý základ apř. 30 dí. Někeré krákodobé epravidelosi v kaledáři mohou bý odsraěy pomocí agregace apř. použijeme-li čvrleě agregovaé hodoy míso původích měsíčích údajů. Problémy s délkou časových řad souvisí s počem pozorováí při aalýze časových řad, ale je ezbyé respekova i viří srukuru řady. Na jedé sraě ěkeré aalýzy časových řad vyžadují určiou miimálí délku řady (apř. Boxův-Jekisův přísup předpokládá miimálě 50 pozorováí, a sraě druhé u velice dlouhých časových řad je ebezpečí, že v průběhu ohoo časového období se měí charakerisiky modelu a udíž viří srukura geerující řadu se sává s rosoucí délkou obížě modelováa v případě modelů předpokládající sabilí chováí paramerů. Problémy s esrovalosí jedolivých měřeí souvisí s výběrovým vzorkem a zároveň reprezeaivosí ohoo vzorku i s hlediska časového vývoje. V případě možé volby časových bodů pozorováí sledujeme cíl ašeho zkoumáí, možosi periodiciy původí časové řady, změy ve vývoji a viří srukuře časové řady. Při aalýza - 9 -

10 časové řady bychom měli vycháze miimálě ze 30 pozorováí, což je apř. v případě ročích ukazaelů problemaické. Rověž bychom měli respekova ekvidisaí j. (sejě vzdáleé časové body.. 4 Meody aalýzy časových řad Výběr meody aalýzy časových řad závisí a řadě fakorů, ke kerým paří: účel aalýzy (apř. rozpozáí mechaismu geerováí hodo časové řady a předpovídáí jejího budoucího vývoje yp časové řady, zkušeosi saisika, dosupá daabáze, sofwarové a hardwarové vybaveí. Základí meody a posupy k aalýze časových řad: dekompozice časové řady, Boxova-Jekisova meodologie, lieárí dyamické modely, spekrálí aalýza časových řad. Dekompozičí meoda rozkládá časovou řadu a redovou, cyklickou, sezóí a esysemaickou složku a zabývá se ideifikací i modelováím zejméa sysemaických složek, především redové a sezóí složky. Boxova-Jekisova meodologie bere v úvahu při kosrukci modelu časové řady reziduálí složku, kerá může bý vořea korelovaými (závislými áhodými veličiami. Boxova- Jekisova meodologie edy eje může zpracováva časové řady s avzájem závislými pozorováími, ale dokoce ěžišě jejich posupů spočívá právě ve vyšeřováí ěcho závislosí eboli zv. korelačí aalýze. Kombiují se auoregresiví modely AR(p s modely klouzavých průměrů reziduálí složky MA(q. V případě esacioárí časové řady se provádí sacioarizace apř. diferecováím a zjišťuje se řád s paramerem d. Výsledý model se poom ozačuje jako ARIMA(p,d,q, v případě sezóích vlivů SARIMA modely. Lieárí dyamické modely jsou zpravidla příčié (kauzálí modely, kde je vysvělovaá proměá y vysvělováa vývoje svých zpožděích hodo či dalších vysvělujících fakorů. Rozdíl od modelu Box-Jekise spočívá v om, že zde kromě popisovaé časové řady a bílého šumu vysupují ješě další časové řady příčié fakory. Spekrálí aalýza časových řad má a rozdíl od předcházejících ří případů odlišý přísup spočívající v om, že se zkoumaá časová řada považuje za směs siusových a kosiusových křivek s růzými ampliudami a frekvecemi. Časo se rověž hovoří o zv. fourierovské aalýze. Pomocí speciálích saisických ásrojů se zjišťuje obraz o ieziě zasoupeí jedolivých frekvecí v časové řadě (zv. spekrum řady. Dále bude pozoros věováa dekompozici časové řady

11 Dekompozice časové řady Při klasické aalýze časových řad se vychází z předpokladu, že každá časová řada může obsahova čyři složky: a red (Tr, b sezóí složku (Sz, c cyklickou složku (C, d áhodou složku (E. Prováděí rozkladu (dekompozice si klade za cíl saději ideifikova pravidelé chováí časové řady ež původí erozložeé řady. Tred vyjadřuje obecou edeci vývoje zkoumaého jevu za dlouhé období. Je výsledkem dlouhodobých a sálých procesů. Tred může bý rosoucí, klesající ebo může exisova řada bez redu. Tredová složka se věšiou modeluje pomocí maemaických křivek. Sezóí složka je pravidelě se opakující odchylka od redové složky. Perioda éo složky je meší ež celková velikos sledovaého období. Rověž se ao složka může měi svůj charaker. % 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 Obr. 5: Vývoj míry ezaměsaosi v okrese Zojmo I.95 IV.95 VII.95 X.95 I.96 IV.96 VII.96 X.96 I.97 IV.97 VII.97 X.97 I.98 IV.98 VII.98 X.98 I.99 IV.99 VII.99 X.99 I.00 IV.00 VII.00 X.00 I.0 IV.0 VII.0 X.0 I.0 IV.0 VII.0 X.0 daum Cyklická složka udává kolísáí okolo redu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje, kdy dochází ke sřídáí fází růsu a poklesu. Jedolivé cykly se vyvářejí za zpravidla období delší ež jede rok a mohou mí epravidelý charaker z. růzou ampliudu. Cykly jsou v ekoomických časových řadách způsobey ekoomickými i eekoomickými fakory a časo jsou obížě pozorovaelé. V posledích leech se věuje pozoros zejméa echologickým, iovačím či demografickým cyklům. Obrázek 6 zobrazuje vývoj cyklické složky pro hrubý árodí produk v USA. - -

12 mld. $ rok Obr. 6: Vývoj hrubého árodího produku USA a leech (reálé cey k roku 98 v mld. $ Náhodá (sochasická složka vyjadřuje ahodilé a jié esysemaické esysemaické výkyvy (apř. chyby měřeí. Předpokládá se, že áhodá složka je vořea zv. bílým šumem s ormálím rozděleím. Pod pojmem bílý šum rozumíme ekorelovaé (vzájemě ezávislé áhodé veličiy s ulovou sředí hodoou a kosaím rozpylem. Vlasí dekompozice časové řady může zhrova formu adiiví ebo muliplikaiví. Adiiví dekompozice má var : y = Tr + C + Sz + E. Při adiivím ozkladu jsou jedolivé složky uvažováy ve svých skuečých absoluích hodoách a jsou měřey v jedokách řady y. Na obrázku č. 7 je schemaiky zázorě příklad dekompozice adiiví formy časové řady. - -

13 Obr. 7: Adiiví dekompozice časové řady Muliplikaiví forma má var: y = Tr C Sz E. Po adiiví dekompozici jsou jedolivé složky časové řady ve sejých měrých jedokách jako původí řada. Adiiví dekompozice se používá v případě, že variabilia hodo časové řady je přibližě kosaí v čase. Po muliplikaiví dekompozici je redová složka časové řady ve sejých měrých jedokách jako původí časová řada, ale osaí složky (cyklická, sezóí, esysemaická jsou v relaivím vyjádřeí. Teo způsob dekompozice se používá v případě, že variabilia časové řady rose v čase, ebo se v čase měí. Na jedé sraě kladou dekompozičí meody pozoros zejméa a sysemaické složky časové řady a předpokládá se, že jedolivá pozorováí jsou avzájem ekorelováa. V omo případě je maemaickým ásrojem v dekompozičích meodách zejméa regresí aalýza. Aalýza redu Tred v časových řadách je možé popsa pomocí redových fukcí a klouzavých průměrů. Modelováí redu pomocí redových fukcí se používá v případě, kdy red odpovídá určié fukci apř. lieárí, kvadraické, expoeciálí, S-křivky apod. Modelováí redu pomocí - 3 -

14 klouzavých průměrů se používá, jesliže je vývoj časové řady v důsledku silého vlivu esysemaické složky erovoměrý ebo má exrémí hodoy. Při modelováí redu pomocí redových fukcí se vychází z ásledujících předpokladů: Časová řada y je pro =,,..., uspořádaá posloupos hodo v čase, keré získáme měřeím určiého ukazaele ve sejě dlouhých časových iervalech. Časovou řadu y je možé zapsa ve varu y = Y + E, kde Y předsavuje eoreický model sysemaické složky vývoje ekoomického ukazaele Y v čase a E vyjadřuje esysemaickou složku. Tao esysemaická složka má charaker bílého šumu (ulová sředí hodoa, kosaí rozpyl, vzájemá lieárí ezávislos, kerý se avíc řídí ormálím rozděleím. V aalýze časových řad lze vyjádři Y =f(. Pokud se jedá pouze o časovou řadu s redovou složkou, poom fukce f je redová fukce. Je-li v časové řadě rověž sezóí složka ebo cyklická složka, poom je Y kompozicí modelů ěcho složek. Exisují dva základí přísupy k elimiaci redu (vyrováí, vyhlazeí časové řady, kdy se odsraňují sezóí, cyklické a áhodé flukuace: klasické posupy elimiace redu (maemaické aalyické přísupy, adapiví posupy, keré auomaicky reagují a případé změy v charakeru redu (apř. a změy ve směrici lieárího redu. Maemaické aalyické přísupy zahrují meody, při ichž se sažíme popsa red aalyicky ěkerou jedoduchou křivkou. Po odhadu paramerů éo křivky lze poom kosruova bodovou ebo iervalovou předpověď za předpokladu, že charaker redové fukce se eměí. Při omo posupu se předpokládá, že aalyzovaá časová řada má var: y = Tr + E, ebo byla a eo var převedea. Základí redové fukce pro =,,..., : Kosaí red má var Tr = β 0, odhad redu je y = Tr = y, odhad rozpylu esysemaické složky je s =. E s y Lieárí redová fukce Tr = β 0 + β, Odhad lieárího redu je y = Tr = β + β, odhad rozpylu esysemaické složky je s E = ( y y =. 0 Kvadraická redová fukce (parabola má var Tr = β 0 + β + β, odhad redu je y = Tr = β + β + β, odhad rozpylu esysemaické složky je s E = ( y y 3 =

15 Expoeciálí redová fukce má var Tr = β 0 β, kde paramery β 0, β > 0 se odhadují meodou ejmeších čverců, proože redová fukce se po logarimické úpravě převede a lieárí fukci. Odhad redu je y = Tr = β 0 β a odhad rozpylu esysemaické složky upraveé po logarimické rasformaci je S-křivka má var s = ( y y E. Tr = e = β 0 +β (, kerý se po logarimické rasformaci dá převés a var hyperboly ltr = β 0 + β. Paramery odhadujeme opě meodou ejmeších čverců. Odhad redu je logarimováím s = a odhad rozpylu esysemaické složky je po liearizaci ( β0 + β y Tr = e E = ( y y =. Modifikovaý expoeciálí red má var Tr = γ + β 0 β, kde β 0 < 0, 0 < β < a γ > 0. Kosaa γ je asympoou (úroví saurace, hladiou asyceí, ke keré red časové řady pro koverguje. Přírůsek expoeciálího redu β je pomalejší, ež přírůsek lieárího redu. Modifikovaý expoeciálí red je populárí v markeigu. Je o však elieárí fukce, kerou eí možé liearizova žádou rasformací, a proo se její paramery odhadují ieraivími meodou. Tyo meody vyžadují výpoče počáečích odhadů paramerů fukce, keré se dají získa apř. meodou čásečých součů ebo meodou vybraých bodů. Logisický red je uvede ve varu Pearlovy-Reedovy redové fukce Tr =, γ + β 0β jejíž iverzí fukce = γ + β 0β má var modifikovaého expoeciálího redu. Tr Paramery se po iverzí rasformaci odhadují sejým způsobem, jako pro modifikovaý expoeciálí red. β * * * Gomperzův red má var Tr = γβ, resp. Tr = γ + β β. Křivka má horí 0 asympou γ * = lγ a vyjadřuje hraici asyceí pro. Paramery původího redového modelu se po rasformaci odhadují jako u modifikovaého expoeciálího redu ebo jedoduchého expoeciálího redu. 0 Předpovídáí pomocí redových fukcí Jedím ze základích účelů modelováí časových řad v čase =,,..., je využií ěcho modelů, v případě jejich saisické výzamosi, k předvídáí apř. předpověď exrapolací. Exrapolací - 5 -

16 se rozumí kvaiaiví odhady budoucích hodo časové řady, keré vzikají prodloužeím vývoje z miulosi a příomosi do budoucosi s horizoem =+, +,..., T, za předpokladu, že se eo vývoj ezměí. Exrapolačí předpovědi rozdělujeme a bodové a iervalové. Bodová předpověď exrapolace ex ae se určuje v čase = do okamžiku =T a ozačuje se ( T. Horizoem předpovídáí se rozumí poče období (T- od bodu = do y budoucosi. ( α 00% ierval předpovědi (apř. 95% je ierval, ve kerém se s pravděpodobosí ( α 00% (apř. 95% achází skuečá hodoa y T z. y ( T ± α / ( ( l + s p, kde ( l α je ( 00% / ( + α kvail Sudeova rozděleí s -(l+ supi volosi, kde (l+ je poče odhaduých paramerů v polyomiálích fukcích, s p je směrodaá chyba předpovědi v horizou (T-. Když určujeme exrapolace, a se předpokládá, že vybraý model je správý a skuečé paramery modelu se v čase eměí. V moha siuacích jsou yo předpoklady ereálé, proože proces, kerý geeruje vývoj časové řady se měí v čase. Čím je horizo předpovědi delší, ím je možé očekáva věší chyby předpovědi. Chyba předpovědi při exrapolaci je dáa vzahem: ET = yt y ( T, kde y ( T je bodová předpověď v čase T a y T je skuečá hodoa v čase T. Chybu předpovědi lze rozloži a dvě složky: ET = ( yt YT + ( YT y ( T, kde ( yt Y T je chyba způsobeá volbou modelu( předpokládá se správá volba j. ao složka = 0 a ( YT y ( T je chyba způsobeá odhadem paramerů modelu. Příklad bodové a iervalové předpovědi pro lieárí redovou fukci: bodová předpověď : T = β + β (, y ( 0 T ( α 00% předpovědí ierval : kde s E je směrodaá odchylka reziduí. Při výběru redové fukce je ué respekova : graf časové řady resp její rasformace, v ( T y ( T ± se / ( + + α, ( / ierpolačí kriéria ( směrodaá odchylka reziduí, koeficie deermiace, koeficie auokorelace reziduí, esy paramerů, exrapolačí kriéria (průměré charakerisiky chyb předpovědí ex pos, graf předpověď-skuečos. Grafická aalýza slouží k předběžému výběru vhodé redové fukce: kolísá-li řada prvích diferecí okolo uly, volíme kosaí red; kolísá-li řada prvích diferecí kolem eulové kosay, použijeme lieárí red; - 6 -

17 jesliže má řada prvích diferecí přibližě lieárí red a řada druhých diferecí kosaí red, volíme kvadraický red; kolísá-li řada koeficieů růsu ebo řada prvích diferecí okolo eulové hodoy, volíme jedoduchý expoeciálí red; jesliže má řada ly přibližě hyperbolický průběh, volíme S-křivku; jesliže řada podílů sousedích diferecí ( y ( y y y / kolísá okolo eulové kosay, volíme modifikovaý expoeciálí red; jesliže řada podílů sousedích diferecí ( l l y /( l y y y l kolísá okolo eulové hodoy, volíme Gomperzovu křivku. Ierpolačí kriéria zkoumají charaker rozdílů skuečých hodo y a vyrovaých hodo y. Mezi míry přesosi vyrováí áleží ásledující charakerisiky reziduí: souče čvercových chyb (Sum of Squared Error ( SSE = E = y y SSE průměrá (sředí čvercová chyba = MSE = a průměrá absoluí chyba = MAE = y y. = Klasická aalýza časových řad předpokládá, že redová fukce má v čase kosaí paramery. V delším časovém období je eo předpoklad ereálý, proo je vhodé využíva adapiví echiky, jako je meoda klouzavých průměrů a expoeciálí vyrováváí. = =, Klouzavý průměr Meoda klouzavých průměrů se zakládá a myšlece, že časovou řadu y pro =,,..., rozdělíme a kraší časové úseky o poču hodo m+, a kerých odhadujeme lokálí polyomické redy určiého supě. Např. kosaí red se popisuje polyomem ulého supě, lieárí red polyomem prvího supě. Prví čás časové řady má m+ hodo, keré ozačujeme y, y,..., y m+, z ich odhademe paramery lokálího redu vhodým polyomem a vypočíáme jeho odhad Tr m+, sejý polyom odhademe a druhé skupiě hodo řady, y, y 3,..., y m+ a vypočíáme odhad lokálího redu T r m+, ímo klouzavým způsobem pokračujeme až do koce časové řady. V sezóích časových řadách se redová složka odhaduje pomocí cerovaých klouzavých průměrů, proože délka klouzavé čási je sudé číslo

18 Expoeciálí vyhlazováí Je vhodé zejméa pro krákodobou predikci redů. Tao echika, eáročá a čas a eoreické zalosi, rozvíjí myšleku vyhlazováí pomocí klouzavých průměrů. Meoda expoeciálího vyrováváí je založea a všech předchozích pozorováích, přičemž jejich váha (w směrem do = α α (viz obrázek 8, kde je poče miulosi klesá podle expoeciálí fukce: ( pozorováí a α je vyrovávací kosaa v iervalu (0;. w w 0,4 0,3 0, 0, 0, Obr. 8: Vývoj váhy (w dle expoeciálí fukce v čase ( pro α = 0,7 a =3. Iezia zapomíaí, vyjádřeá velikosí alfy, se saoví a základě charakeru časové řady. Hledá se aková hodoa α, u keré je ejmeší SSE příp. MSE. V programu EXCEL se pro hledáí exrému fukcí používá ásroj Řešiel. Expoeciálí vyrováí prvího supě. Teo ejjedodušší způsob vyrováí lze použí pouze a časové řady, keré evykazují žádý red, avšak při aalýze ukazaelů rhu práce se věšiou epoužívá, ale uvádíme ho pro pochopeí složiějších formy. U časových řad, keré jsou ve varu y = Tr + E, lze v případě kosaího redu ahradi redovou složku (Tr kosaou, j. Tr = β 0. Úkolem je edy aléz odhad parameru β 0, kerý se v omo případě rová vyrovaé hodoě y. Vyrovaá časová řada se vypočíá podle ásledujícího rekureího vzorce: yˆ ( ˆ = α y + α y. Pokud se α blíží k hodoě ak rose vliv miulých pozorováí. Pro hledáí vhodé α se věšiou doporučuje ierval <0,7;. Výše uvedeý vzorec lze přepsa i do ásledujícího varu: yˆ ˆ ( ( ˆ = y + α y y, kerý vysvěluje vyvářeí ové vyrovaé hodoy z předchozí vyrovaé hodoy, opraveou o chybu daou rozdílem mezi skuečou a předcházející vyrovaou hodoou. Problémem rekureích vzorců je saovi odhad vyrovaé hodoy pro =, kerou ezáme. Exisují sice algorimy jak uo hodou saovi, ale ejjedodušší je aproximova ji skuečou hodoou v čase =. Meoda expoeciálího vyrováí brzy a uo epřesos zapomee, z. že po případém počáečím odklou se vyrovaé hodoy brzy přiblíží k aměřeým pozorováím. Příklad expoeciálího vyrováí ukazuje a simulovaých daech obrázek

19 y Obr. 9: Expoeciálí vyrováí prvího supě s predikcí. Expoeciálí vyrováí druhého supě Dvojié expoeciálí vyrováí používáme v případě, kdy lze předpokláda, že v krákém období bude mí redová složka lieárí formu: Tr = β 0 + β.. Předpoklad lieariy v krákém období je v praxi velice rozšíře. Posup si předvedeme a ásledujícím příkladu

20 3 Příklad č. : Aalýza míry ezaměsaosi v okrese Karviá V éo časi si ukážeme ypický posup při aalýze časových řad z ásledou predikcí a příkladu vývoje míry ezaměsaosi v okrese Karviá v období Budou sledováy ásledující kroky aalýzy časové řady:. grafická a saisická deskripce,. očisěí časové řady od sezóích vlivů, 3. vorba modelu (expoeciálí vyrováí druhého supě s predikcí, 4. kosrukce výsledé predikce. 3. Grafická a saisická deskripce Kromě klasického zobrazei časové řady, jak jej můžee vidě a obr č.. Je vhodé pro saoveí sezóosi provés resrukuralizaci da pomoci koigečí abulky. Novou daovou maici je zapořebí vyvoři ak, aby roky byly ve sloupcích a měsíce v řádcích, viz ásledující abulka. Tab. : Resrukurovaá daová maice. Rok Měsíc ,53 7,40 8,4 0,67 4,63 8,6 7,88 8,63 7,38 7,37 8,55 0,6 5,09 8,69 7,78 8,57 3 7,8 7,9 8,56 0,78 5,53 8,80 7,7 8,46 4 7,00 7,4 8,59 0,8 5,75 8,36 7,49 8,46 5 6,84 7,04 8,6 0,9 5,88 8,8 7, 8, 6 6,9 7,3 9,07,59 6,36 8,53 7,46 8,49 7 7,30 7,67 9,76,0 7,5 8,73 8,04 9,03 8 7,37 7,85 0,06,60 7,39 8,7 8,06 9,9 9 7,4 8, 0, 3,00 7,57 8,64 7,79 9,3 0 7,8 8,0 0, 3,07 7,76 8,05 7,76 9,3 7,9 8,6 0,5 3,33 7,87 7,87 7,70 9,4 7,0 8,40 0,39 3,76 8, 8,04 8,0 9,58 Z éo abulky pak lze vyvoři ásledující graf 0, ve kerém lze pozorova sezóos, kerá se eprojevuje ak výrazě jak apř. u okresu Zojmo (viz. obr 5. Je vidě že charaker sezóosi je u okresu Karviá ovlivě především od 5. měsíce árůsem poču absolveů. Z důvodu srukury zaměsaosi v okrese se zde eprojevuje ypická variabilia způsobeá sezóími pracemi

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýz časových řad Doc.Ig. Jaa Hačlová, CSc. Kaedra maemaických meod v ekoomice Ig. Lubor Tvrdý Kaedra regioálí ekoomik Ekoomická fakula, VŠB-TU Osrava Osrava, 003 - - Úvod do aalýz časových řad

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p Analýza časových řad Informační a komunikační echnologie ve zdravonicví Definice Řada je posloupnos hodno Časová řada chronologicky uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele formálně je realizací

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt OBEKTOVÁ ALGEBRA Zdeěk Pezlar Úsav Iformaiky, Provozě-ekoomická fakula MZLU, Bro, ČR Absrak V objekovém modelu da defiujeme objekové schéma (řídu) jako čveřici skládající se ze jméa řídy, aribuů, domé

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

3. POJIŠTĚNÍ OSOB (ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ)

3. POJIŠTĚNÍ OSOB (ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ) 3. POJIŠTĚÍ OSOB (ŽIVOTÍ POJIŠTĚÍ) 3.. EMOELOVÝ PŘÍSTUP 3... ekremeí řád vymíráí populace Úmrosí abulky a) Smr je áhodým jevem, kerý se pojišťuje pro účely ŽP sačí pracova s průměrými hodoami záko velkých

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Ivesičí čios Exisují růzá pojeí ivesičí čiosi: Z pohledu ekoomické eorie Podikové pojeí ivesic Klasifikace ivesic v podiku 1) Hmoé (věcé, fyzické, kapiálové) ivesice 2) Nehmoé (emaeriálí) ivesice 3) Fiačí

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5 Fakula srojího ižeýrsví VUT v Brě Úsav kosruováí KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody Předáška 5 Čelí soukolí se šikmými zuby hp://www.audiforum.l/ Moderaio is bes, ad o avoid all exremes. PLUTARCHOS Čelí soukolí

Více

6 Algoritmy ořezávání a testování polohy

6 Algoritmy ořezávání a testování polohy 6 lgorim ořezáváí a esováí poloh Sudijí íl Teo blok je věová problemaie vzájemé poloh grafikýh primiiv, zejméa poloze bodu vzhledem k mohoúhelíku včeě jedolivýh speifikýh varia jako jsou čřúhelík, jehož

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu

Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu 4. eziárodí koferece Řízeí a odelováí fiačích rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekooická fakula, kaedra Fiací.-. září 8 Meody odhadu popávky a abídky v podíkách erovovážého odelu Pavla Vodová Absrak Cíle ohoo

Více

Evakuace osob v objektech zdravotnických zařízení

Evakuace osob v objektech zdravotnických zařízení Evakuace osob v objekech zdravoických zařízeí Ig. Libor Folwarczy, Ph.D., Ig. Jiří Pokorý, Ph.D. Hasičský záchraý sbor Moravskoslezského kraje, Výškovická 40, 700 0 Osrava-Zábřeh E-mail: libor.folwarczy@hzsmsk.cz,

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad VŠB TU OSTRAVA, FEI, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Úvod do lýz čsových řd [Zdeje podiul dokueu.] Mri Lischová Popis čsových řd Čsová řd je uerická proěá, jejíž hodo podsě závisí čse, v ěž bl získá (posloupos

Více

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN DIMNZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PRFN 1 Kulkova 10/4231, 615 00 Bro el.: 541 583 208, 297, fa.: 549 254 556 e-mail: kompozi@prefa.cz hp://www.prefa-kompozi.cz DIMNZOVÁNÍ PROFILŮ Maeriálová srukura, základí

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Analýza stavebního spoření, jako metody zhodnocení volných prostředků

Analýza stavebního spoření, jako metody zhodnocení volných prostředků Medelova zemědělsk{ a lesick{ uiverzia v Brě Provozě ekoomick{ fakula Úsav saisik a operačího výzkumu Aalýza savebího spořeí, jako meod zhodoceí volých prosředků Bakal{řsk{ pr{ce Vedoucí pr{ce Ig. V{clav

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Schéma modelu důchodového systému

Schéma modelu důchodového systému Schéma modelu důchodového sysému Cílem následujícího exu je názorně popsa srukuru modelu, kerý slouží pro kvanifikaci příjmové i výdajové srany důchodového sysému v ČR, a o jak ve varianách paramerických,

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-

Více

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Analýza volatility devizových kurzů vybraných ekonomik

Analýza volatility devizových kurzů vybraných ekonomik Aalýza volailiy devizových kurzů vybraých ekoomik Radek BEDNAŘÍK, VŠB TU Osrava i Absrac This paper is focused o he hisorical developme of seleced exchage raes' volailiy, ha is: AUD, CAD, DEM, DKK, EUR,

Více

Vybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data

Vybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 239 Vybrané meody saisické regulace procesu pro auokorelovaná daa NOSKIEVIČOVÁ, Darja Doc., Ing., CSc. Kaedra konroly a řízení jakosi,

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět:

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět: 5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ RAVDĚODOBNOSTI Čas e sudiu aioly: 0 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee umě: charaerizova hyergeomericé rozděleí charaerizova Beroulliho ousy a z ich odvozeé jedolivé yy disréích

Více

Matematika 2 (BMA2 + KMA2)

Matematika 2 (BMA2 + KMA2) FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Maemaika BMA KMA Auoři eu: Prof RNDr Fraišek Melkes, CSc Mgr Mari Řeáč FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ

Více

Klasifikace, identifikace a statistická analýza nestacionárních náhodných procesů

Klasifikace, identifikace a statistická analýza nestacionárních náhodných procesů Proceedings of Inernaional Scienific Conference of FME Session 4: Auomaion Conrol and Applied Informaics Paper 26 Klasifikace, idenifikace a saisická analýza nesacionárních náhodných procesů MORÁVKA, Jan

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

ANALÝZA VÝROBY ELEKTRICKÉ ENERGIE V ČR Bakalářská práce

ANALÝZA VÝROBY ELEKTRICKÉ ENERGIE V ČR Bakalářská práce MENDELOVA ZEMĚDĚLSKÁ A LESNICKÁ UNIVERZITA V BRNĚ PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA ÚSTAV STATISTIKY A OPERAČNÍHO VÝZKUMU ANALÝZA VÝROBY ELEKTRICKÉ ENERGIE V ČR Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce Mgr.

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák Zálad eore chb a zpracováí zálích měřeí Jří ová Teo e je zamýšle jao pomůca pro vpracováí laboraorích úloh z z Je urče pouze pro sudjí účel a jeho účelem je objas meod zpracováí měřeí Chb měřeí Druh chb

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Indexy základní, řeězové a empo přírůsku Aleš Drobník srana 1 7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU V kapiole Indexy při časovém srovnání jsme si řekli: Časové srovnání vzniká, srovnáme-li jednu

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Tomáš Hanzák

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Tomáš Hanzák Uiverzia Karlova v Praze Maemaico-fziálí faula DIPLOMOVÁ PRÁCE omáš Hazá Deompozičí meod pro časové řad s epravidelě pozorovaými hodoami Kaedra pravděpodoosi a maemaicé saisi Vedoucí diplomové práce :

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Strukturální model nekryté úrokové parity a jeho empirická verifikace 1

Strukturální model nekryté úrokové parity a jeho empirická verifikace 1 5. meziárodí koferece Fiačí řízeí podiku a fiačích isiucí Osrava VŠB-TU Osrava, Ekoomická fakula, kaedra Fiací 7.-8. září 2005 Srukurálí model ekryé úrokové pariy a jeho empirická verifikace 1 Jaroslava

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Semesrální práce z předměu KMA/MAB Téma: Schopnos úrokového rhu předvída sazby v době krize Daum: 7..009 Bc. Jan Hegeď, A08N095P Úvod Jako éma pro

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Cost benefit analýza projektu Sociální integrace vybraných skupin obyvatel v obci Ralsko, ARR Agentura regionálního rozvoje, spol. s r.o.

Cost benefit analýza projektu Sociální integrace vybraných skupin obyvatel v obci Ralsko, ARR Agentura regionálního rozvoje, spol. s r.o. Obsah Obsah...1 1. Úvod...2 Iformace o zpracovaeli, zadavaeli, realizáorovi...2 2. Podsaa projeku...3 3. Srukura beeficieů...6 3.1 Vymezeí zaieresovaých subjeků...6 4. Popis ivesičí a ulové variay...7

Více

ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION PARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM PRODUCT LIFE TESTS

ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION PARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM PRODUCT LIFE TESTS ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION ARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM RODUCT LIFE TESTS J.Tůa * Suary: The paper deals wih a saisial ehod for he evaluaio of life es resuls. I is supposed ha oly soe of he es

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Úloha V.E... Vypař se!

Úloha V.E... Vypař se! Úloha V.E... Vypař se! 8 bodů; průměr 4,86; řešilo 28 sudenů Určee, jak závisí rychlos vypařování vody na povrchu, kerý ao kapalina zaujímá. Experimen proveďe alespoň pro pě různých vhodných nádob. Zamyslee

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných

Více

Zhodnocení historie predikcí MF ČR

Zhodnocení historie predikcí MF ČR E Zhodnocení hisorie predikcí MF ČR První experimenální publikaci, kerá shrnovala minulý i očekávaný budoucí vývoj základních ekonomických indikáorů, vydalo MF ČR v lisopadu 1995. Tímo byl položen základ

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE VYTVÁŘENÍ TRŽNÍ ROVNOVÁHY VYBRANÝCH ZEMĚDĚLSKO-POTRAVINÁŘSKÝCH PRODUKTŮ Ing. Michal Malý Školiel: Prof. Ing. Jiří

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovin v ČR. Sklizeň z několika posledních le jsme vložili do abulky 7.1. a) Jaké plodiny paří mezi obiloviny?

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Analogový komparátor

Analogový komparátor Analogový komparáor 1. Zadání: A. Na předloženém inverujícím komparáoru s hyserezí změře: a) převodní saickou charakerisiku = f ( ) s diodovým omezovačem při zvyšování i snižování vsupního napěí b) zaěžovací

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA

MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA Přednáška 7 MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA A INTERAKCE S MĚNOVÝM KURZEM (navazující přednáška na přednášku na éma inflace, měnová eorie a měnová poliika) Měnová poliika

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Unverza Tomáše Ba ve Zlíně ABOATONÍ VIČENÍ EEKTOTEHNIKY A PŮMYSOVÉ EEKTONIKY Název úlohy: Zpracoval: Měření čnného výkonu sřídavého proudu v jednofázové sí wamerem Per uzar, Josef Skupna: IT II/ Moravčík,

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

T T. Think Together 2012. Martin Flégl, Andrea Hornická THINK TOGETHER

T T. Think Together 2012. Martin Flégl, Andrea Hornická THINK TOGETHER Česká zemědělská uiverzia v Praze Provozě ekoomická fakula Dokorská vědecká koferece 6. úora T T THINK TOGETHER Thik Togeher Vývo cerifikace ISO 9 a ISO 4 a eí vliv a pravděpodobosi savů okolosí rozhodovacího

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

V EKONOMETRICKÉM MODELU

V EKONOMETRICKÉM MODELU J. Arl, Š. Radkovský ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ V EKONOMETRICKÉM MODELU VP č. Praha Auoři: doc. Ing. Josef Arl, CSc. Ing. Šěpán Radkovský Názor a sanoviska v éo sudii jsou názor auorů a nemusí nuně odpovída názorům

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

10a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI

10a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI 0. Měření rozpylového magneického pole ransformáoru, měření ampliudové permeabiliy A3B38SME Úkol měření 0a. Měření rozpylového magneického pole ransformáoru s oroidním jádrem a jádrem EI. Změře indukci

Více

9 Viskoelastické modely

9 Viskoelastické modely 9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály

Více

Stochastické modelování úrokových sazeb

Stochastické modelování úrokových sazeb Sochasické modelování úrokových sazeb Michal Papež odbor řízení rizik 1 Sochasické modelování úrokových sazeb OBSAH PŘEDNÁŠKY Úvod do problemaiky sochasických procesů Brownův pohyb, Wienerův proces Ioovo

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

Rozhodovací stromy. Úloha klasifikace objektů do tříd. Top down induction of decision trees (TDIDT) - metoda divide and conquer (rozděl a panuj)

Rozhodovací stromy. Úloha klasifikace objektů do tříd. Top down induction of decision trees (TDIDT) - metoda divide and conquer (rozděl a panuj) Rozhodovací stromy Úloha klasifikace objektů do tříd. Top dow iductio of decisio trees (TDIDT) - metoda divide ad coquer (rozděl a pauj) metoda specializace v prostoru hypotéz stromů (postup shora dolů,

Více

2.2.2 Měrná tepelná kapacita

2.2.2 Měrná tepelná kapacita .. Měrná epelná kapacia Předpoklady: 0 Pedagogická poznámka: Pokud necháe sudeny počía příklady samosaně, nesihnee hodinu za 45 minu. Můžee využí oho, že následující hodina je aké objemnější a použí pro

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Studie proveditelnosti (Osnova)

Studie proveditelnosti (Osnova) Sudie provedielnosi (Osnova) 1 Idenifikační údaje žadaele o podporu 1.1 Obchodní jméno Sídlo IČ/DIČ 1.2 Konakní osoba 1.3 Definice a popis projeku (max. 100 slov) 1.4 Sručná charakerisika předkladaele

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU Obsah Co je o dnamika? 1 Základní veličin dnamik 1 Hmonos 1 Hbnos 1 Síla Newonov pohbové zákon První Newonův zákon - zákon servačnosi Druhý Newonův zákon - zákon síl Třeí

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více