Odraz a lom rovinné monochromatické vlny na rovinném rozhraní dvou izotropních prostředí

Transkript

1 Odraz a lom rovnné monochromatcké vlny na rovnném rozhraní dvou zotropních prostředí Doplňující předpoklady: prostředí č.1, ze kterého vlna dopadá na rozhraní neabsorbuje (má r r reálný ndex lomu), obě prostředí jsou nemagnetcká ( B = µ 0 H v obou prostředích). V každém bodě rozhraní a v každém čase musí být splněny hranční podmínky pro rozhraní bez volných nábojů a proudů: spojtost tečných složek ntenzty elektrckého a magnetckého pole a spojtost normálových složek elektrcké a magnetcké ndukce. Z těchto podmínek vyplývá požadavek navazování vlnoploch, což vede k zákonu lomu a zákonu odrazu: n1 sn Θ = n sn Θt, Θ r = Θ, vlnové vektory dopadající, procházející odražené vlny leží v rovně dopadu str Dalším důsledky podmínek spojtost jsou hodnoty koefcentů odrazvost na rozhraní a průchodu vlny rozhraním. Kolmý dopad, n 1, n reálné (obě prostředí neabsorbující) Rozhraní tvořeno rovnou z = 0, dopadající vlna E x = E 0 exp( k 1 z ω t), odražená vlna E rx = re0 exp( k1z ω t) a vlna procházející E tx = E 0 exp( k z ω t). Pro ntenztu elektrckého pole př kolmém dopadu vlny na rozhraní dostaneme n1 n pro odraženou vlnu koefcent r =, n + n pro vlnu procházející rozhraním koefcent 1 n1 t = = 1+ r, str n + n n Obdobné koefcenty pro ntenztu magnetckého pole jsou r M = r a t M = t. n1 Elektromagnetcké pole v prostoru před rozhraním je tvořeno částečně stojatou vlnou vytvořenou nterferencí dvou postupných vln: dopadající a odražené. V prostředí (za rozhraním) je pole tvořeno vlnou postupnou. Pro n 1 < n je r < 0 a elektrcké pole v prostředí 1 má na rozhraní uzel, zatímco pole magnetcké kmtnu, str Výkonové koefcenty defnované jako poměry vystředovaných velkostí Poyntngova vektoru odražené vlny ku vlně dopadající, tj. pro kolmý dopad r < Sr > < S rz > n1 n R = r = = = r S S z n1 n, < > < > + r < St > < Stz > 4n1n n T = r = = = t, < S > < S > n + n n z tedy R + T = 1, 1 ( ) 1 1

2 1 < ε a stejný tok je v prostředí, Tok výkonu v prostředí 1 je S ( ) z > + < Srz >= 0cn1 1 r E0 totž 1 ε < S tz >= 0cnt E0 str Kolmý dopad, n 1 reálné, N = n + κ V absorbujícím prostředí je magnetcké pole vůč elektrckému v rovnné vlně fázově posunuto. Pak podmínky spojtost na rozhraní vedou k fázovým posuvům př odrazu a průchodu rozhraním, což lze s výhodou zapsovat jako komplexní ampltudové koefcenty r = r R + r I = r exp ( Φ) n1 n = n + n 1 κ + κ n1 N = n + N n1 n1 t = t R + t I = = n1 + n + κ n1 + N = 1+ r str Blance toku výkonu přes rozhraní je vyrovnaná < S z > + < S rz >=< Stz >, do hloubky prostředí nastává exponencální útlum v důsledku absorpce str Vsuvka jdoucí za výchozí předpoklady pojednává o kolmém dopadu na rozhraní dvou materálů lšících se permtvtou ( ε 1 reálné, ε komplexní) permeabltou ( µ 1 µ, zde omezení na obě reálné). Ampltudové koefcenty lze zapsat pomocí komplexních mpedancí µ 1 µ 0µ 1 Z prostředí Z 1 = Z 0 = jako Z1 Z r = a t = 1+ r =, str.19. ε1 ε 0ε1 Z + Z1 Z + Z1 Dále návrat k obvyklému zjednodušení nemagnetckých prostředí. Jako ukázka jsou uvedeny spektrální závslost permtvty, ndexu lomu, reálné a magnární část ampltudového koefcentu reflexe a výkonového koefcentu reflexe pro zlato, stříbro a hlník, str. 8. Průběh elektrckých polí u rozhraní vakuum kov je znázorněn a) u rozhraní vakuum zlato pro nfračervenou oblast, kde se parametry zlata blíží dokonalému vodč ( n << κ ), reflexní koefcent se blíží -1, uzel vlny se nachází těsně u rozhraní; b) u rozhraní vakuum zlato v zelené oblast vdtelného spektra, kde reálná a magnární část ndexu lomu jsou srovnatelné. c) u rozhraní vakuum hlník v ultrafalové oblast, kdy kov odráží velm málo (výkonová odrazvost pouze 5,5%) a kmtna se nachází poměrně blízko rozhraní. str Škmý dopad, n 1, n reálné V případě prostorově omezeného svazku (rozpor s předpokladem dopadající jedné rovnné vlny, neboť ta je do stran nekonečná) lze prostor před rozhraním rozdělt na tu část, ve které dochází k nterferenc odražené a dopadající vlny, a na tu část prostoru, kde jsou tyto vlny odděleny, str. 34.

3 V závslostech koefcentů reflexe a průchodu na úhlu dopadu je významný úhel Brewsterův n Θ BR = arctan (pro polarzac p, n 1 < n n 1 < n ) a úhel krtcký n 1 n Θ KR = arcsn (pro n obě polarzace a n 1 > n ), str. 35. Polarzace s : elektrcké pole vlny kmtá kolmo k rovně dopadu, magnetcké pole kmtá v rovně dopadu. Z podmínek na rozhraní dostaneme pro ampltudové koefcenty r t r s s n = n = 1+ r MAG s pro Θ 1 1 cos Θ cos Θ s = r, s 0 = n n + n 1 r s n cos Θ cos Θ cos Θ t 1 MAG s t t cos Θ + n t n = n n = n cos Θ 1 t 1 1 s cos Θ cos Θ t n n n n sn Θt cos Θ sn Θ cos Θt = sn Θ cos Θ + sn Θ cos Θ t sn sn Θ Θ sn = sn ( Θt Θ ) ( Θ + Θ ) t 1 str Př sestavení výkonové blance je nutno vzít v úvahu změnu průřezu trubce (svazku) př lomu. Výkonové koefcenty jsou vztaženy na výkon procházející celým průřezem trubce, v případě prostorově omezeného svazku celým svazkem, takže < S r > Ar Rs = r = rs < S > A r < St > At n cos Θt Ts = r = ts < S > A n cos Θ R s + T s = 1 1 str Polarzace p: elektrcké pole vlny kmtá v rovně dopadu, magnetcké pole kmtá kolmo k rovně dopadu. Z podmínek na rozhraní dostaneme

4 r t r r p p MAG p ( Θ ) p n = n = (1 + r BR pro Θ cos Θ cos Θ p = r, 1 1 p = 0 0 t t n + n cos Θ ) cos Θ r p t cos Θ cos Θ t = n MAG p 1 n = n t n = n t t p n n t n n sn sn n1 cos Θ, cos Θ + n cos Θ sn Θt cos Θt sn Θ cos Θ = sn Θ cos Θ + sn Θ cos Θ 1 1 Θ Θ n + n tan = tan cos Θ cos Θ ( Θt Θ ) ( Θ + Θ ) t n1 cos Θ = n1 cos Θ n cos Θ n + cos Θ t t Výkonová blance opět ve tvaru R T R p p p r < S > Ar = r = r < S > A r < St > At n = r = < S > A n + T p = 1 1 p cos Θ cos Θ t t p str str V lteratuře (včetně učebnc) lze najít různá znaménka pro ampltudové koefcenty odrazu. Je důležtá přtom defnce koefcentu odrazu. Ve výše uvedených výrazech je použto pro poměry elektrckých polí odražené a dopadající vlny použto znaménka pro průměty do rovny rozhraní (obr. na str. 36 a na str. 4) r r r ( Er ) y ( Er ) ( r ) x E z rs = r rp = r = r E E E ( ) y ( ) x ( ) z v pevném souřadném systému, kde osa z je normála k rovnnému rozhraní směřující do oblast o ndexu lomu n, v rovně dopadu leží osy x, z, tedy v rovně rozhraní leží osy x, y. Podobně pro magnetcká pole r r r MAG ( H r ) ( r ) x H H z MAG rs = r = r = rs rp = r H H H ( ) x ( ) z ( r ) y = rp ( ) y Motvac pro jnou volbu defnce ampltudových koefcentů lze spatřt ve vhodnost popsu polarzace Jonesovým vektory. Např. pravotočvě polarzované záření se př nevelkých úhlech dopadu ( Θ < Θ BR ) odráží jako levotočvě polarzované. Podrobněj str. 50/1 až 50/1,

5 kde je pops odražené vlny popsán ve třech různých souřadný systémech. Zatímco v MAG pevném souřadném systému společném pro dopadající odraženou vlnu jsou r s, r p, r s a MAG r p dány výše uvedeným vztahy, v často užívaných textech o optce lze často najít koefcenty n cosθ n cosθ n 1 t 1 t r " s = = rs r" p = = rp = n1 cosθ + n cosθt n cosθ + n1 cosθt Ty lze zavést jako r" = s n cosθ cosθ v pravotočvých souřadných soustavách (různých pro dopadající a odraženou vlnu), kde,0,,0, k. Osy y jsou stejné, vlnový vektor dopadající vlny je ( k ) ' ' ' a odražené vlny ( ) " " " r ( Er ) r ( E ) y" y' 0 x y z 0 x y z y = y' = y". Vlnový vektor dopadající vlny (osa z ) směřuje do prostředí, vlnový vektor odražené vlny (osa z ) do prostředí 1, vz obr. str. 50/1 a 50/14. r" p = r ( Er ) x" r ( E ) x ' r MAG p Odraz na optcky řdším prostředí (reálné n 1 > n ), Θ > Θ KR Pro úhly dopadu větší než úhel krtcký Θ KR nastává totální odraz v obou polarzacích. V tomto případě se v prostředí šíří evanescentní vlna, kterou lze popsat pomocí komplexního vlnového vektoru, jehož reálná část je rovnoběžná s rozhraním a leží v rovně dopadu, a magnární část je kolmá na rozhraní. Z podmínek spojtost na rozhraní ktx = k1 sn Θ a z požadavku na velkost vlnového vektoru v prostředí je ω ktz n1 n n Ct c sn ω = Θ =, c kde ryze magnární C t n1 = sn Θ 1 = cos Θ n t str Podmínky spojtost na rozhraní vyžadují fázové posuvy mez vlnam dopadající, odraženou a procházející, což lze nejpohodlněj popsat komplexním koefcenty r a t. Velkost koefcentů reflexe je 1, tedy pro polarzac s r = exp δ s tanδ = s ( s ) Im{ rs } n1n cosθct = Re{ r } n cos Θ n C s V lteratuře se častěj uvádí vztah pro polovční fázový posuv, který je pro mnohé výpočty výhodnější δ s tan = n 1 sn n 1 Θ 1 cos Θ n nct = n cos Θ 1 t str

6 Podobně pro polarzac p r p = exp tanδ p = ( δ p ) Im{ rp} n1n cos ΘCt = Re{ rp} n1 Ct n cos Θ. V lteratuře jsou uváděné vztahy pro polovční posun δ p n cos Θ n tan = = n1 n1 sn Θ 1 n případně " δ p tan n1 Ct = n cos Θ, cos Θ což odpovídá r p = r p ", tedy δ δ " p p = π v dříve zavedeném popsu v soustavách str Pomocí komplexních koefcentů lze zapsat rovnné vlny odražené a procházející pro Θ > ve zvolené souřadné soustavě Θ KR E E E ry rx rz = r E s = r = r p p E E 0s 0 p 0 p exp cos sn n C r r ( kr ωt) pro polarzac s r r Θ exp( kr ωt) r r Θ exp( k ωt) pro polarzac p r 1 t pro polarzac p E E E ty tx tz = t E s = t p n = n 0s E 1 0 p t exp p C t E ( k xsn Θ ωt) exp 0 p 1 ( k xsn Θ ωt) 1 sn Θ exp ω exp nct z pro polarzac s c ω exp nct z c ω t c pro polarzac p ( k xsn Θ ωt) exp n C z pro polarzac p 1 ω k1 = n1 c r r k = k x sn Θ C t = 1 n n 1 sn + k Θ 1 1 z cos Θ r r k = k r 1 xsn Θ k 1 z cos Θ str Závslost reálné a magnární část koefcentu ampltudové odrazvost na úhlu dopadu pro několk ndexů lomu je na str

7 Je přrozené označt za směr šíření vlny v prostředí směr reálné část vlnového vektoru, který je v tomto případě rovnoběžný se směrem Poyntngova vektoru. Oba leží v rovně rozhraní a v rovně dopadu (v našem souřadném systému leží v ose x). Vlna polarzace s má elektrcké pole (osa y) kolmé na tento směr šíření, to ale neplatí pro její pole magnetcké. Vlna polarzace s je transverzálně elektrcká (TE). Naopak vlna polarzace p má magnetcké pole kolmé na směr šíření (transverzálně magnetcké TM), ale elektrcké pole má složku příčnou (E z ) podélnou (E x ), které jsou navzájem fázově posunuty o π. V oblast před rozhraním dochází k nterferenc mez vlnou dopadající a odraženou. Případ prostorově omezeného dopadajícího svazku je sce podstatně složtější než zde probíraná jedna dopadající rovnná vlna, ncméně zde odvozené koefcenty se běžně používají v tomto případě. V dostatečné vzdálenost od rozhraní jsou dopadající a odražený svazek prostorově odděleny a vlny lze charakterzovat jako postupné a příčné, str Př odrazu lneárně polarzované vlny čsté polarzace s nebo polarzace p se tato polarzace nemění (ve zde uvažovaném případě zotropních prostředí). Ale důsledkem fázových rozdílů mez polarzací s a p je změna polarzace v případě, že dopadající vlna obsahuje obě komponenty. Z lneárně polarzované vlny tak odrazem dostáváme vlnu elptcky polarzovanou. str Výrazy pro fázový posun mez polarzacem s a p závsí na zvolených souřadných soustavách, často v souvslost s expermentálním uspořádáním např. pro měření polarzace odražené vlny s obvyklou úmluvou, že pravotočvost (levotočvost) je defnována př pohledu prot směru vlnového vektoru. Např. př téměř kolmém odrazu (stejná znaménka r, r ) se levotočvě polarzovaná vlna odráží jako pravotočvá, což lze v souřadných systémech spojených s vlnou (dopadající x, y, z a odražená x, y, z ) vyjádřt zahrnutím dodatečného fázového posuvu π. Pro případ totálního odrazu Θ > Θ lze napsat KR n Ct cos Θ δ " = δ + = s π δ p arctan n1 sn Θ str. 84 a závslost na úhlu dopadu pro několk ndexů lomu jsou na str n n Maxmální rozdíl těchto fázových posunů δ MAX = arctan, n = n nastává pro n1 úhel dopadu n Θ MAX = arcsn, str n + 1 s p

8 S fázovým posuvem př totálním odrazu je spojen prostorový posun odraženého, prostorově omezeného svazku nazývaného Goosův Hänchenův posun. V modelu odrazu nterferenční struktury vznklé složením vln velm blízkého směru vlnových vektorů je odvozen výraz pro tento posun pro polarzac s a stejně pro polarzac p GHs GHp λvak 1 = π n1 cos Θ λvak 1 = π n1 cos Θ dδ dθ " s dδ " p dθ str. 93/1 až 93/5 Zpět k jedné dopadající vlně: koefcenty propustnost rozhraní v případě totálního odrazu t t s nct ϕ s = arctan n cos Θ p = n 1 n cos Θ n1 cos Θ = n C + n cos Θ 1 t 1 cos Θ + n ϕ p = arctan n 1 C n C 1 t t n1 cos Θ = n n cos Θ = n 1 1 n C t 1 cos Θ + n exp ( ϕ ) cos s Θ exp ( ϕ ) p jsou komplexní, str Ampltuda evanescentní vlny v prostředí exponencálně klesá s hloubkou; zeslabení v prostředí ampltudy na 1 defnuje hloubku vnku, která je stejná pro obě polarzace (bez e ohledu na různost koefcentů t, t, které charakterzují rozhraní) s p 1 λvak 1 d ampl = =, ω π n n1 sn n C Θ t c str (V lteratuře je někdy defnována přes zeslabení Poyntngova vektoru nebo hustoty energe, což dá hloubku vnku polovční!) Celkové pole v prostředí 1 a evanescentní vlna v prostředí splňují podmínky spojtost tečných složek elektrcké ntenzty a spojtost normálových složek elektrcké ndukce, str Závslost koefcentů propustnost a hloubek vnku na úhlu dopadu pro několk ndexů lomu je zakreslena na grafech na str

9 Časově vystředované velkost složek Poyntngových vektorů v těsné blízkost rozhraní jsou zejména př úhlu dopadu blízkém krtckému úhlu v prostředí značné. Pro Θ < Θ KR jsou spočteny na str , pro Θ > Θ KR na str a jejch hodnoty na rozhraní ( z = 0 ) jsou grafcky znázorněny pro obě polarzace a několk ndexů lomu na str Pro některé aplkace je potřeba znát hustotu elektrcké energe poblíž rozhraní. Stejně jako velkost Poyntngova vektoru hustota energe v případě totálního odrazu ubývá do hloubky exp z, v prostředí 1 v blízkost rozhraní pak v důsledku nterference prostředí jako ( ) d ampl dopadající a odražené vlny její prostorová závslost oscluje; výpočty pro Θ < Θ str , KR výpočty pro Θ > Θ KR str V přložených grafech je znázorněna závslost hustoty elektrcké energe těsně u rozhraní na úhlu dopadu pro několk hodnot ndexu lomu pro obě polarzace. Pro polarzac p jsou * znázorněny příspěvky od členů E E (pro * x x Θ > Θ KR podélná složka pole) a od E E z z (příčná složka pole) str Témata k pokračování: porušení totálního odrazu absorpcí v prostředí (spektroskopcká metoda tlumené totální reflexe ATR attenuated total reflecton ) nebo omezením tloušťky prostředí na rozměr srovnatelný s hloubkou vnku evanescentní vlny ( frustated total reflecton ), která je důležtá např. pro vazbu mez vlnovody, str Škmý dopad, n 1 reálné, N = n + κ Zákon lomu je v tomto případě poněkud komplkovanější ( když odchylky od jednoduchého n1 sn Θ = n sn Θt jsou významné pouze pro κ > n ). Z vlastností nehomogenní tlumené vlny vyplývajících z Maxwellových rovnc a podmínek na rozhraní lze odvodt efektvní reálnou a magnární část ndexu lomu závslého na úhlu dopadu Θ n κ Θ Θ 1 ( Θ ) = ( n κ n sn Θ ) 1 + 4n κ + n κ + n ( Θ ) = ( n κ n1 sn Θ ) + 4nκ n + κ n1 sn Θ 1 1 sn Θ a odpovídající zákon lomu pro směr reálné část vlnového vektoru, tj. kolmce na vlnoplochy sn Θ t = ( n κ n sn Θ ) + 4n κ + ( n κ + n sn Θ ) 1 n 1 sn Θ 1, str Ukázky závslost efektvního ndexu lomu a zákona lomu pro kolmce k plochám konstantní fáze pro velm dobrý vodč (Ag) a pro trochu horší vodč (Al)jsou na str

10 Z podmínek na rozhraní neabsorbujícího a absorbujícího prostředí lze odvodt koefcenty reflexe. Pro polarzac s ( ) ( ) ( ) komplexní, sn 1 sn 1 cos, jsou čísla kde, cos cos cos cos sn cos sn cos cos cos cos cos κ κ κ κ κ κ n n n N N n N n n n n n n n n n n n r t t t t t t s + Θ = Ξ = Ξ + = Ξ + Θ Ξ Θ = = Θ + + Θ Θ + Θ = + Θ + Θ Θ Θ = Θ Θ Θ Θ str , a pro polarzac p ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t p N n N n n N n N n n n n n n n n r Θ + Ξ Θ Ξ = Θ + Ξ Θ Ξ = = Θ + Θ + + Θ Θ + + = cos cos cos cos cos cos cos cos cos sn 1 cos sn κ κ κ κ str Dále jsou uvedeny dva příklady závslost koefcentů odrazvost na úhlu dopadu v obou polarzacích včetně fázových posuvů, jejch rozdílů a výkonové odrazvost. Hlavním úhlem je označován úhel dopadu, př kterém mez polarzacem p a s nastává fázový rozdíl π, Brewsterův úhel je úhel dopadu, př kterém je reflexní koefcent pro polarzac p mnmální, str Rozšíření koefcentů reflexe a propustnost rozhraní na další typy materálů je možno provést zápsem formulí např. pomocí mpedancí prostředí, str.153. Možná navazující témata: vlastnost dvou a více paralelních rozhraní, specálně optcké tenké vrstvy typu antreflexních vrstev, delektrckých zrcadel, dělčů svazků a mnohých dalších; elpsometrcké metody měření komplexního ndexu lomu; spektroskopcké metody typu ATR.

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22