6.3 Momenty setrvačnosti a deviační momenty rovinných obrazců. yda. 1) I y, I z > 0. 2) I y, I z závisí na vzdálenosti plochy od osy II I I I I

Transkript

1 6.3 Moment setrvačnosti a deviační moment rovinných obraců Statické moment rovinného obrace -k ose xiální moment setrvačnosti rovinného obrace -k ose -k ose Pon.: 1), > 0 S d d d. S d -k ose [m 3 ] [m 4 ] [m 4 ] d. ), ávisí na vdálenosti ploch od os , Petr Kabele. = konst. V. V

2 Polární moment setrvačnosti rovinného obrace -k počátku O O r d 0 r d d pon.: 0 [m 4 ] , Petr Kabele

3 Deviační moment rovinného obrace -k osám, Pon.: 1) D 0 d D D D D D D V 0 [m 4 ] ) smetrick umístěný obraec D 0 D 0 D.. 0. V. V D 0 3) nebo... osa smetrie , Petr Kabele - d d d => D = 0 (1) ( ) d d (1) () Osa smetrie = d d D (1) ( ) 0

4 Výpočet: 1. Přímou integrací. Skládáním ákladních geometrických útvarů , Petr Kabele

5 Příklad 1a: Odvoďte vorec pro moment setrvačnosti obdélníka k těžišťové ose h/ b h d d d b h d b/ b/ h/ b 3 h b 3 d h 3 1 b h b b 3 h 1 bh 1 1 b 3 d , Petr Kabele

6 Příklad 1b: Odvoďte vorec pro deviační moment pravoúhlého trojúhelníka k těžišťovým osám B =b/3 h1 ()= -h/3 ( ) h h h 3 b d b/3 b/3 =-b/3 h/3 h/3 B h ( ) D d d d h1 ( ) b h h b 3 3 b 3 h h 3 b h b h b b 3 b 3 d d d h h h 3 b 3 b h h bh 9b 8b b 7 3 d , Petr Kabele

7 Příklad : Vpočtěte moment setrvačnosti složeného obrace k ose a b a b h = + (1) = (1) + () d d d () (1) () (1) ( ) tabulek: (rodělení integrační oblasti) můžeme sčítat poue moment ke stejné ose!!! (1) ah , Petr Kabele () bh 3 3 ah bh

8 6.4 Poloměr setrvačnosti rovinného obrace = d = i Předpoklad: Platí: d i ( = konst. = i ) i , Petr Kabele

9 Definujeme poloměr setrvačnosti -k ose : i -k ose : i -k počátku 0 : i Pon.: , Petr Kabele i, i, i 0 i i i 0. [m]

10 6.5 Transformace momentů setrvačnosti a deviačních momentů Moment setrvačnosti k posunutým osám Známe moment setrvačnosti a deviační moment k osám, ; určit moment setrvačnosti a deviační moment k osám,. d r r r Transformace souřadnic: r r r , Petr Kabele ' ' d d d d d S Pon.: konst.

11 Podobně odvodíme: ' S S S 0' 0 ' ' D D S S Pon.: 0' ' ' , Petr Kabele

12 Zvolíme-li počátek souřadnic, v těžišti obrace, pak S = S = = C g,, D, 0. těžišťové (centrální) moment setrvačnosti, dev. moment c c S S 0 0 ' ' D D ' ' 0' 0 ( Steinerova věta ) , Petr Kabele

13 Ponámka: - ' ' '' ( '') ' '' ' ''. k těžišťové ose je moment setrvačnosti nejmenší , Petr Kabele

14 Moment setrvačnosti k pootočeným osám Známe moment setrvačnosti a deviační moment k osám, ; určit moment setrvačnosti a deviační moment k osám,. d 0 0' Transformace souřadnic: ' cos sin ' sin cos ' r T r , Petr Kabele ' ' d cos sin d cos d sin cos d sin d sin D sin cos sin D

15 Podobně odvodíme: D ' cos sin sin 1 D ' ' sin D cos Pon.: platí pro libovolné os, (nejen těžišťové) , Petr Kabele

16 , Petr Kabele

17 , Petr Kabele

18 Použití: výpočet momentů setrvačnosti složených obraců; např. (1) () = + - C g c1 c c3 (3) C g3 c1 C g1 c1 c c3 c c3 () = (1) + - d d d d (1) () (3) (1) () (3) (Pon. vše k ose!) (3) (1) (1) (1) c1 c1 () () () c c (3) (3) (3) c3 c , Petr Kabele Souřadnice počátku os, (vhledem k osám ci, ci ) Moment setrvačnosti k těžišti jednotlivých obraců (tj. centrální m. s.); např. tabulek

19 , Petr Kabele

20 , Petr Kabele

21 , Petr Kabele

22 , Petr Kabele

23 , Petr Kabele

24 , Petr Kabele

25 , Petr Kabele

26 , Petr Kabele

27 0, 0... os elips setrvačnosti , Petr Kabele

28 Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám předmětu Stavební mechanika pro student Stavební fakult ČVUT v Prae. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualiován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chb. Datum poslední revie: , Petr Kabele