1. Zjistěte, jestli následující formule jsou tautologie. V případě záporné odpovědi určete k dané formuli konjunktivní a disjunktivní normální formu.

Transkript

1 Výrokový počet. Zjistěte, jestli ásledující formule jsou tautologie. V případě záporé odpovědi určete k daé formuli kojuktiví a disjuktiví ormálí formu. i) A C) = B C) = A B) ) ii) A B) = A C C B ) iii) A B) = A B) iv) A B) = B = A) v) A B) A B) vi) A = B) A B) vii) A B) A B) A B) ) viii) A B) C A B C) ix) A A) x) A A) B A A xi) A A) B A xii) A B C) A B) A C) 2. Napište formuli, která obsahuje jeom výrokové proměé, logické spojky, a závorky a je ekvivaletí formuli: i) p = q ii) p q iii) p = q) = r iv) p = q = r) 3. Daé jsou pravdivostí hodoty formule F v závislosti a hodotách jejich proměých p, q ásledově: a) p q F 0 0, b) Najděte formuli F. p q F

2 4. V dílě jsou tři stroje, které pracují podle těchto podmíek: Když pracuje prví stroj, pracuje i druhý stroj. Když epracuje prví stroj, epracuje ai třetí stroj. Jaké jsou možosti pro práci této trojice strojů? 5. Před soudcem stáli tři obžalovaí. Vyšetřováím se zjistilo, že: a) Jestliže je A eviý ebo B viý, tak C je viý. b) Jestliže A je eviý, tak eviý je i C. Koho z ich má soudce odsoudit? 6. Detektiv Sherlock Holmes zjistil: a) Jestliže A je viý a B je eviý, tak C je viý. b) C ikdy eí v akci sám. c) A ikdy espolupracuje s C. d) Mimo A, B, C ejsou do případu zapleteí další osoby, takže aspoň jede z A, B, C je viý. Koho obviil Sherlock Holmes? Koho může s jistotou propustit? 7. Účast Ay, Barbory, Cyrila a Dušaa a kocertě byla podmíěá ásledujícími závazky: Na kocert půjde aspoň jede chlapec a ajvýše jedo děvče. Ze sourozeců Aa Cyril půjde právě jede. Barbora epůjde bez Dušaa, ale Aa epůjde v žádém případě spolu s Dušaem. Kdo z ich se kocertu určite zúčastí? 8. Nad možiou prvotích formulí {p, q, r} je dáa formule f = p q) r a možia T tří formulí T = { p q r) p q r)), p q) r p q) r), p q p) r}. Zjistěte a svoje odpovědi zdůvoděte: Je možia T splitelá? Je formule f tautologie? Je formule f kotradikce? Je formule f tautologickým důsledkem možiy T? 9. Pomocí metody Karaughovy mapy miimalizujte fukci: fx, x 2, x 3, x 4 ) = x x 3 x 4 + x x 2 x 3 x 4 + x x 2 x 3 x 4 + x x 2 x 3 x 4 0. Napište formuli, která obsahuje jeom výrokové proměé, logické spojky, a závorky a je ekvivaletí formuli: p q) r) p q r)) p q r)) 2

3 Matematická Idukce. Dokažte, že pro každé eulové přirozeé číslo platí: i) = 2 + ) ii) ) = 2 iii) = 6 + )2 + ) iv) = ) 2 v) = 30 + )2 + ) ) vi) ) 2 = 3 42 ) vii) ) 3 = ) viii) ) 3 = ) 2 ix) ) + 2 = 2 )+ + ) x) ) = 3 + ) + 2) xi) ) + 2) = 4 + ) + 2) + 3) xii) ) = 2 + ) xiii) ) 2 + ) = ) xiv) ) = + ) 2 xv) + ) + 2) + ) = ) xvi) ) = 6 + ) + 2) xvii) ) = ) xviii) ) 2 = 2 + ) + 2)3 + 5) xix) ) = + xx) )+4) = xxi) )4+) = 4+4) 4+ xxii) )2+) = +) 22+) xxiii) )+2) = 2 xxiv) xxv) 4) 9 2 )2+)2+3) = ) ) = +2 +) )+2) ) +) 22+)2+3) 3

4 xxvi) = ) xxvii) = xxviii) + 5) ) xxix)! + 2 2! + +! = + )! xxx) 2! + 2 3! + + +)! = +)! xxxi) ) 2 = Dokažte, že pro každé přirozeé číslo > platí: i) > ii) > 3 24 iii) > iv) 2 < < v) < 3+ vi) 4 + < 2)!!) 2 vii) < 4 3. Dokažte, že platí: i) 2 > 2, 5 ii) 2 +, 0 iii) ) 2, 4 iv) , 4 v) 2 +2 > 2 + 5, vi) 2)! < 2!, ) = 32+) Dokažte, že pro každé reálé číslo a a pro každé eulové přirozeé číslo platí: + a) + a 5. Dokažte, že pro růzá kladá reálá čísla a, b a pro přirozeé číslo > platí: 2 a + b ) > a + b) 4

5 6. Jestliže pro ezáporá reálá čísla x, x 2,, x platí x + x x 2, tak x ) x 2 ) x ) Dokažte Dokažte, že pro přirozeá čísla platí: Dokažte, že pro každé liché přirozeé číslo je součet dělitelý číslem 96. 5

6 Důkazy. Zjistěte, zda pro libovolé možiy A, B platí a) A A B) = A, b) A A B) = A, c) A B = A B) B, d) A A B) = A B, e) A A B) = B B A) = A B, f) A B A) = A B, g) A B) B A) =. 2. Zjistěte, zda pro libovolé možiy A, B, C, D platí a) A B) C = A C) B C) b) A B) C = A B C) = A C) B C) c) A B C) = A B) A C) = A B) C d) A B C) = A B) A C) e) A B) C = A C) B C) = A C) B f) A B C) = A B) A C) g) A B C) = A B) A C) h) A B C) = A B) A C) i) A B) C = A C) B C) j) A B C) = A B) A C) k) A B) C D) = A C) B D) l) A B) C D) = A C) B D) m) P A B) = P A) P B) ) P A B) = P A) P B) 3. Dokažte, že pro libovolé relace platí: a) R S S 2 ) = R S ) R S 2 ) b) R S) = S R c) R S) = R S d) R) = R, R ) = R e) * R i I S i) = i I R S i), i I R i) = i I R i 4. Dokažte, že pro libovolé relace platí: a) R S S 2 ) R S R S 2 6

7 b) S S 2 ) R S R S 2 R c) R S R S 2 R S S 2 ) Dokažte, rovostí. že v uvedeých vztazích eí možé ahradit ikluzi 5. Nechť f je zobrazeí A do B a A, A 2 A, B, B 2 B. Dokažte, že platí a) fa A 2 ) = fa ) fa 2 ) b) f B B 2 ) = f B ) f B 2 ) c) f B B 2 ) = f B ) f B 2 ) d) f B B 2 ) = f B ) f B 2 ) 6. Nechť f je zobrazeí A do B a A, A 2 A, B, B 2 B. Dokažte, že platí a) fa A 2 ) fa ) fa 2 ) b) fa ) fa 2 ) fa A 2 ) c) A f fa )) Dokažte, rovostí. že v uvedeých vztazích eí možé ahradit ikluzi 7. Relace je cyklická, ak arb a brc implikuje cra. Dokažte, že relace je reflexiví a cyklická je reflexiví, symetrická a trazitiví. 8. Nechť f : A B, g : B C. Dokažte, že: a) jestliže g f je ijekce, tak i f je ijekce, b) jestliže g f je surjekce a C, tak i g je surjekce a C, c) jestliže g, f jsou ijekce, tak i g f je ijekce, d) jestliže g, f jsou surjekce a B, resp. a C), tak i g f je surjekce a B, resp. a C). 7