UMÍ POČÍTAČE POČÍTAT?

Transkript

1 UMÍ POČÍTAČE POČÍTAT? O ÚSKALÍCH POČÍTAČOVÉ ARITMETIKY RNDr. Iveta Hnětynková, PhD. Katedra numerické matematiky

2 VÝPOČTY A SIMULACE Aplikace: chemie, fyzika, lekařství, statistika, ekonomie, stojírenství,...

3 POČÍTAČE A VÝPOČTY 3

4 TOP0 POČÍTAČE PODLE VÝPOČETNÍHO VÝKONU 4

5 SUPERPOČÍTAČE VE SVĚTĚ (07) Výpočetní výkon: 5

6 SUPERPOČÍTAČE U NÁS - IT4Innovations Ostrava Superpočítač Anselm (03) jader 94 TFLOPS (tj. 0 operací/s) výpočetní výkon Superpočítač Salomon (05) 4. v TOP500 nejrychlejších (39. při zprovoznění) jader PFLOPS výpočetní výkon (0 5, jako zhruba notebooků) 6

7 OD REÁLNÉHO PROBLÉMU K ŘEŠENÍ MODEL, METODA, PŘIBLIŽNÝ VÝSLEDEK? Přibližné řešení CHYBY Reálný problém Výpočetní metoda CHYBY Matematický model CHYBY Model = často zjednodušený popis problému jazykem matematiky (rovnice, tabulky, ) Výpočetní metoda = postup vedoucí k získání (přibližného) řešení 7

8 VYUŽITÍ POČÍTAČE K ŘEŠENÍ ALGORITMUS, PROGRAM Program = popis postupu řešení v jazyce počítače = sekvence instrukcí k jednoduchým operacím Počítá počítač přesně? Můžeme výsledku věřit? Co máme udělat, abychom se na výsledek mohli spolehnout? 8

9 JE VÝPOČET VŽDY SPOLEHLIVÝ? n n Přesně: Matlab:,06 8 pro x,.0 Přesně: 0,5 Matlab: 0,77 cos( x) x 9

10 REPREZENTACE ČÍSEL V POČÍTAČI ARITMETIKA S POHYBLIVOU ČÁRKOU Číslo je uloženo v binární (dvojkové) reprezentaci v určitém počtu bajtů (4, 8, ). Jeden bajt má 8 bitů pro uložení 0 nebo. přesnost single.000 x 5 mantisa exponent max. 3 pozic mezi -6 a 7 0

11 PŘESNOST ČÍSEL V POČÍTAČI ZAOKROUHLOVÁNÍ Číslo 0, je binárně přibližně a tedy fl (0,) ~ 0, chyba Větší čísla jsou uložena s menší absolutní přesností

12 PŘESNOST ZÁKLADNÍCH OPERACÍ ZAOKROUHLOVÁNÍ Ztráta přesnosti při operacích (sčítání, násobení, ) fl (x * y) = (x * y) ( + d), d < e ~ 0-8 přesnost single ~ 0-6 přesnost double Neplatí základní vlastnosti z přesné aritmetiky (komutativita, ). = Single: fl (0, ) = 0 fl ( ,) = 0,

13 JE VÝPOČET SPOLEHLIVÝ? SČÍTÁNÍ ČÍSEL RŮZNÉHO ŘÁDU n n Počítač (přesnost single): 5,40 Počítač (přesnost double):,06 fl A B A 3

14 JE VÝPOČET SPOLEHLIVÝ? ODČÍTÁNÍ BLÍZKÝCH ČÍSEL cos( x) 8 Počítač (přesnost single): 0 0,5 pro x,.0 x Počítač (přesnost double): 0,77 Přesně: Double: cos( x) cos( x) cos( x) 0, , , cos( x), fl A B? 4

15 ZTRÁTA PŘESNOSTI OPERACÍ ČEMU SE VYHNOUT fl A B A ztráta přesnosti zaokrouhlováním fl A B? ztráta přesnoti rušením platých cifer a dalším obdobným situacím. 5

16 JAK SNÍŽIT CHYBY? VHODNÁ VÝPOČETNÍ METODA Chceme nalézt metodu, která nebude citlivá na zaokrouhlovací chyby. Použijeme-li cos( x) sin x / vyhneme se odčítaní blízkých čísel cos( x) x sin x / / x / Počítač (přesnost single): 0,5 Počítač (přesnost double): 0,5 6

17 JAK SNÍŽIT CHYBY? VHODNÁ VÝPOČETNÍ METODA Výpočet kořenů x 56x 0 pomocí r, ( b b 4ac) /(a) Počítač (double): r 8 7,98 r je OK, ztráta přesnosti jen v r, Využijeme-li vztahy r r b /, a rr c /, r / 55,98 0, a 7

18 REÁLNÝ PROBLÉM SEKVENCE OPERACÍ CHYBY SE MOHOU KUMULOVAT Přesné řešení Spolehlivý postup: Matematika + Informatika Reálné výpočty = miliardy operací v aritmetice s konečnou přesností Nespolehlivý postup 8

19 REÁLNÝ PROBLÉM KUMULACE CHYB VÁLKA V PERSKÉM ZÁLIVU Americká raketa Patriot minula iráckou raketu Scud (5..99), která následně zasáhla americká kasárna (8 mrtvých). Příčinou byla kumulace zaokrouhlovacích chyb při výpočtu času. Systém: odpalovací zařízení + radar + řídící stanice Vlastní hodiny měřili čas jako celé číslo reprezentující desítky sekund od zapnutí systému. Pak dělili 0. 9

20 REÁLNÝ PROBLÉM KUMULACE CHYB VÁLKA V PERSKÉM ZÁLIVU Výpočet: 4 bitová (fixed point) reprezentace čísla 0, 0, ~ chyba ~ Po 00 hodinách provozu vracely hodiny již velká čísla chyba ~ 00*60*60*0* s ~ 0,34 s Za 0,34 s uletěla raketa Scud 570 metrů. 0

21 ZVYŠOVÁNÍ PŘESNOSTI ARITMETIKY NEMUSÍ ŘEŠIT PROBLÉM a 0, a, a 34 n an 3 a n rychle klesající posloupnost, a n n Nevýhody zvyšování přesnosti aritmetiky: zvyšuje paměťové náklady zpomaluje výpočet nemusí řešit problém

22 ZVYŠOVÁNÍ PŘESNOSTI ARITMETIKY NEMUSÍ ŘEŠIT PROBLÉM u( x, y) Výpočet pro 333,75y x 6 x (x y y 7767, y y 4 ) 5,5 y a různou přesnost: 8 x y Single,7603 Double, Quadruple, Přesně: -0,87396 Výsledek se zdánlivě zpřesňuje, ale je zcela chybný. Těžko identifikujeme chybu.

23 JAK SNÍŽIT CHYBY? VHODNÁ VÝPOČETNÍ METODA u( x, y) 333,75y 6 x (x y y 6 y 4 ) 5,5 y 8 x y odčítáme blízká velká čísla, dochází ke ztrátě platných cifer u( x, y) 333,75y 6 x (x y y 6 y 4 ) 5,5 y 8 x y OK 3

24 KONTROLA VÝSLEDKU A ODHADY CHYB a e, a ( n n a n ) klesající posloupnost, kde a n Výpočet a 5 pro různou decimální přesnost: , , , , ,7348 a a a fl fl fl n a ( a a n fl E ) n! E E a! E E chyba 4

25 REÁLNÝ PROBLÉM HLEDÁNÍ PŘIBLIŽNÉHO ŘEŠENÍ Základní suroviny: Vhodná výpočetní metoda Vhodná implementace na počítači stabilita výpočtu Zpětná kontrola spolehlivosti výsledku odhady chyb 5

26 DĚKUJI ZA POZORNOST 6