TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM.
|
|
- Alexandra Sedláková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM. Graf je útvar, terý je možo zázorit obrázem v roviě pomocí bodů (uzly grafu) a spojic mezi body (hray grafu). Hray v grafu mohou být orietovaé ebo eorietovaé. Orietovaý graf obsahuje a rozdíl od eorietovaého grafu orietovaé hray. Cesta v grafu je posloupost orietovaých hra, při teré vždy ásledující hray začíají v uzlu, v ěmž očí předcházející hraa. Sled v grafu je posloupost vrcholů taová, že mezi aždými dvěma po sobě jdoucími je hraa. Cylus (uzavřeá cesta) je taová cesta, terá začíá a očí v témže uzlu. Souvislý graf je graf, u terého mezi všemi dvojicemi uzlů existuje alespoň jeda cesta. Nesouvislý graf je graf, u terého eexistuje alespoň jeda cesta mezi všemi dvojicemi uzlů. Úplý graf je taový graf, ve terém je aždá dvojice uzlů spojea hraou. Strom je taový graf, terý eobsahuje žádý cylus. Podgraf původího grafu je graf, terý vzie tím, že vyecháme z grafu ěteré uzly a příslušé hray těchto uzlů. Síť je graf, terý je oečý, souvislý, orietovaý, acylicý a ohodoceý, v ěmž existuje jede oečý a jede počátečí uzel. ZDROJ: WIKIPEDIA.ORG
2 HLEDÁNÍ MAXIMÁLNÍHO TOKU Máme graf s jedím počátečím uzlem (zdroj) a jedím ocovým uzlem (místo určeí). Záme apacitu hra ij mezi aždou dvojicí uzlů i, j. Naším cílem je maximalizovat celový to tímto grafem. Stačí tedy maximalizovat to, co celem vyteče z prvího uzlu, ebo to, co celem přiteče do posledího uzlu, protože to odpovídá celovému tou grafem. Zavedeme jedu proměou xij, terá ozačuje objem tou z uzlu i do uzlu j. z = j(1,j)εh x 1j = j(j,)εh x j max Sažíme se maximalizovat buď celový to z prvího uzlu, ebo celový to do posledího uzlu. Sčítáme přes všechy hray, teré vedou z prvího uzlu, resp. do posledího uzlu. j(i,j)εh x ij (,i)εh x i = 0 i 1, (1) Pro aždý uzel romě prvího a posledího musí platit, že to, co do i-tého uzlu celem vteče, se musí rovat tomu, co z ěj celem vyteče. Sčítáme přes všechy hray, teré vedou z daého uzlu a do ěj. 0 x ij ij (i,j) εh (2) Pro aždou hrau mezi dvojicí uzlů i, j musí platit, že jí eproteče více, ež oli je její apacita. Uvazujme orietovay graf s 6 uzly (a az f). V asledujici tabulce jsou uvedey apacity existujících hra. Jay je maximali to timto grafem? Spojeí Kapacita Spojeí Kapacita a,b 2 c,f 4 a,c 3 d,c 5 a,d 4 d,e 9 b,d 1 d,f 8 b,e 4 e,f 3 ; model: sets: uzel/a,b,c,d,e,f/; to(uzel,uzel)/a b,a c,a d,b d,b e,c f,d c,d e,d f,e f/: x,apacita; edsets! výčet hra; data: apacita = ; eddata max i#eq#1: x(i,j));!dybychom epoužili výčet hra, pa podmiu zapíšeme x(1,j), ale poud zadáváme hray výčtem, pa musíme v podmíách pracovat s tou možiou, pro iž je teto výčet x(i,j)) x<=apacita); ed Zadáí Řešeí Celovy to je 9.
3 HLEDÁNÍ NEJLEVNĚJŠÍHO TOKU Máme graf s jedím počátečím uzlem (zdroj) a jedím ocovým uzlem (místo určeí). Záme apacitu hra ij mezi aždou dvojicí uzlů i, j. Zároveň záme álady cij spojeé s jedotou tou hraou i, j. Naším cílem je zajistit požadovaou hodotu celového tou T0 s co ejižšími álady. Zavedeme jedu proměou xij, terá ozačuje objem tou z uzlu i do uzlu j. z = i j(i,j)εh c ij x ij mi Sažíme se miimalizovat celové álady spojeé s toem. j(i,j)εh x ij (,i)εh x i = 0 i 1, (1) Pro aždý uzel romě prvího a posledího musí platit, že to, co do i-tého uzlu celem vteče, se musí rovat tomu, co z ěj celem vyteče. Sčítáme přes všechy hray, teré vedou z daého uzlu a do ěj. 0 x ij ij (i,j) εh (2) Pro aždou hrau mezi dvojicí uzlů i, j musí platit, že jí eproteče více, ež oli je její apacita. j(1,j)εh x 1j T 0 (3) To, co dohromady vyteče z prvího uzlu (tedy zároveň i celový průto grafem) musí být větší ebo rovo požadovaé hodotě celového tou, Uvazujme graf z předchozího priladu. Navíc zame pro azdou hrau alady a jedotu tou. Chceme, aby celovy to byl alespoň 9. Jae budou miimali alady? Spojeí Kapacita Nalady Spojeí Kapacita Nalady a,b 2 5 c,f 4 8 a,c 3 4 d,c 5 2 a,d 4 6 d,e 9 1 b,d 1 6 d,f 8 6 b,e 4 7 e,f 3 2 ; model: sets: uzel/a,b,c,d,e,f/; to(uzel,uzel)/a b,a c,a d,b d,b e,c f,d c,d e,d f,e f/: x,apacita,alady; edsets data: apacita = ; alady = ; T = 9; eddata mi i#eq#1: x(i,j)) x<=apacita); ed Zadáí Řešeí Miimali alady jsou 109.
4 MAXIMALIZACE TOKU PŘI ZADANÝCH NÁKLADECH Máme graf s jedím počátečím uzlem (zdroj) a jedím ocovým uzlem (místo určeí). Záme apacitu hra ij mezi aždou dvojicí uzlů i, j. Zároveň záme álady c ij spojeé s jedotou tou hraou i, j. Naším cílem je maximalizovat to grafem, ale epřeročit přitom povoleé álady C 0. Zavedeme jedu proměou x ij, terá ozačuje objem tou z uzlu i do uzlu j. z = j(1,j)εh max Sažíme se maximalizovat buď celový to z prvího uzlu x 1j j(i,j)εh x ij (,i)εh x i = 0 i 1, (1) Pro aždý uzel romě prvího a posledího musí platit, že to, co do i-tého uzlu celem vteče, se musí rovat tomu, co z ěj celem vyteče. Sčítáme přes všechy hray, teré vedou z daého uzlu a do ěj. 0 x ij ij (i,j) εh (2) Pro aždou hrau mezi dvojicí uzlů i, j musí platit, že jí eproteče více, ež oli je její apacita. i j(i,j)εh c ij x ij C 0 (3) Celové álady a to esmí přeročit povoleé álady. MAXIMALIZACE TOKU S FIXNÍMI NÁKLADY Máme graf s jedím počátečím uzlem (zdroj) a jedím ocovým uzlem (místo určeí). Záme apacitu hra ij mezi aždou dvojicí uzlů i, j. Zároveň záme fixí (apřílad ivestičí) álady cij a hrau mezi uzly i, j. To zameá, že poud tuto hrau použijeme, zaplatíme cij bez ohledu a objem tou touto hraou. Naším cílem je zajistit požadovaou hodotu celového tou T0 s co ejižšími álady. Zavedeme dvě proměé: - proměá xij, terá ozačuje objem tou z uzlu i do uzlu j. - biárí proměá yij, terá bude rova 1 v případě, že bude hraa mezi uzly i, j použita z = i j(i,j)εh c ij y ij mi Sažíme se miimalizovat celové álady spojeé s toem. j(i,j)εh x ij (,i)εh x i = 0 i 1, (1) Pro aždý uzel romě prvího a posledího musí platit, že to, co do i-tého uzlu celem vteče, se musí rovat tomu, co z ěj celem vyteče. Sčítáme přes všechy hray, teré vedou z daého uzlu a do ěj. 0 x ij ij y ij (i,j) εh (2) Pro aždou hrau mezi dvojicí uzlů i, j musí platit, že poud bude daá hraa použita, a tedy poud bude y ij rovo 1, eproteče jí více, ež oli je její apacita. V opačém případě jí eproteče ic, poěvadž pravá straa bude rova 0. j(1,j)εh x 1j T 0 (3) To, co dohromady vyteče z prvího uzlu (tedy zároveň i celový průto grafem) musí být větší ebo rovo požadovaé hodotě celového tou, y ij {0, 1} (i,j) εh (4) Bude hraa mezi uzly i,j použita? Poud by v předchozích modelech existovalo apacití omezeí uzlů (tz. může jimi protéct je určitý objem d j), pa přidáme podmíu: i(i,j)εh x ij d j j 1, Pro aždý z j uzlů romě prvího a posledího musí platit, že suma všeho, co do ěj přiteče, epřeročí jeho apacití omezeí.
5 VÍCEPRODUKTOVÉ TOKOVÉ ÚLOHY U víceprodutových úloh protéají grafem růzé produty 1,2 K, taže proměé mají tři idexy. Můžeme se apřílad sažit miimalizovat celové álady spojeé s toem všech produtů. Záme álady spojeé s jedotou tou produtu hraou ij: c ij. Taé záme požadovaý to produtu : T 0 Proměá x ij říá, jaý objem -tého produtu protéá hraou mezi uzly i, j. K z = c i j (i,j)εh =1 ij x ij mi Sažíme se miimalizovat celové álady spojeé s toem všech produtů. x j (i,j)εh ij x l (l,i)εh li = 0, i 1, (1) Pro aždý uzel romě prvího a posledího musí platit, že objem -tého produtu, terý do i-tého uzlu vteče, se musí rovat objemu -tého produtu, terý z ěj vyteče. Sčítáme přes všechy hray, teré vedou z daého uzlu a do ěj. Musí to platit pro aždý z produtů. K =1 x ij ij (i,j) εh (2) Pro aždou hrau mezi dvojicí uzlů i, j musí platit, že jí eproteče více, ež oli je její apacita. x 1j T 0 =1,2 K (3) Celový objem -tého produtu, terý dohromady vyteče j (1,j)εH x ij 0 = 1,2 K, (i,j) εh z prvího uzlu (tedy zároveň i celový průto -tého produtu grafem) musí být větší ebo rove požadovaé hodotě celového tou -tého produtu. (4) To bude ezáporý pro aždou hrau a produt. PŘEPRAVNÍ PROBLÉM (TRANSSHIPMENT PROBLEM) Uvažujme situaci, dy u aždého uzlu máme zadá parametr a i. Poud je ladý, je teto uzel dodavatelem (zdrojem), poud je záporý, je odběratelem (místem určeí), poud je rove 0, jde o průběžý uzel (přeladiště). Dále máme opět zadáu apacitu hray (i,j) ij a álady spojeé s jedotou tou c ij. Cílem je split požadavy odběratelů a epřeročit apacity dodavatelů při miimálích áladech spojeých s toem. Zavedeme jedu proměou xij, terá ozačuje objem tou mezi uzly i, j. z = i j(i,j)εh c ij x ij mi Sažíme se miimalizovat celové álady spojeé s toem. j(i,j)εh x ij (,i)εh x i = a i i (1) Pro aždý uzel musí platit, že to, co do i-tého uzlu vteče, míus to, co z ěj vyteče, se rová objemu zdrojů či požadavů daého uzlu. Sčítáme přes všechy hray, teré vedou z daého uzlu a do ěj. 0 x ij ij (i,j) εh (2) Pro aždou hrau mezi dvojicí uzlů i, j musí platit, že jí eproteče více, ež oli je její apacita.!miimalizujte celové álady spojeé s toem orietovaým grafem, terý má 6 uzlů ozačeých a, b, c, d, e, f. Spojeí mezi uzly, příslušé apacity hra a álady spojeé s jedotou tou raou jsou uvedeé v tabulce: Spojeí Kapacita Nálady Spojeí Kapacita Nálady a,b 10 5 c,e 7 6 a,c c,f 5 9 a,d d,c 3 12 b,e d,f 9 17 c,d 3 12 e,f 18 8
6 Možství produtu, teré charaterizuje uzel je: a = 15, b = 0, c = 10, d = -5, e = 0, f = -20; model: sets: uzel/a,b,c,d,e,f/:produt; hraa(uzel,uzel)/a b,a c,a d,b e,c d,c e,c f,d c,d f,e f/: apacita,x,alady; edsets data: apacita= ; alady= 5, 10, 20, 11, 12, 6, 9, 12, 17, 8; produt= ; eddata mi @sum(hraa(i,j): x(i,j)) x(,i)) = produt(i));!odto míus příto odpovídá požadavům ebo apacitám uzlů; ed Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Disrétí modely Zadáí Řešeí
7 MINIMÁLNÍ KOSTRA (MINIMAL SPANNING TREE) Uvažujme graf s možiou uzlů V a možiou hra H. Cílem je ajít ostru tohoto grafu s miimálím ohodoceím hra, tz. G' = {V,H'}, H' ε H. Záme přitom álady spojeé s áladem a zřízeí (využití) jedotlivých hra. Úlohu převádíme a trasshipmet problem. Zavedeme dvě proměé: - biárí proměá x ij se rová 1 v případě, že je hraa (i,j) vybráa, jia 0 - proměá y ij je to hraou (i,j) Pricip řešeí si ejdříve uážeme a obrázu (model je íže vyřeše v Ligu). Uzel číslo 1 je uzlem, am vše poteče, ale z ěj ic evytéá. Je tedy odběratelem, odebere právě 1 hra, protože právě toli hra musí výsledý strom obsahovat, aby bylo všech uzlů propojeo. Každý ze zbylých uzlů je dodavatelem s apacitou 1, protože přidá do stromu jedu hrau. V ásledujícím stromu budou tedy proměé x 52, x 21, x 31, x 43 rovy 1, protože tyto hray budou využity. Zbylé proměé x budou rovy 0. Z proměých y ij budou eulové je y 52, y 21, y 31, y 43. Proměá y 43 se bude rovat jedé, protože do uzlu 4 ic evtelo, ale jeda hraa z ěj musí vytéct, jao oecoců z aždého uzlu romě prvího. Proměá y 31 se bude rovat dvěma, protože do uzlu přitel to o objemu jeda (1 hraa ze čtvrtého uzlu), což z ěj musí zase vytéct, ale zároveň se tomu musí přidat další hraa. Aalogicy se bude proměá y 52 rovat jedé a proměá y 21 dvěma. Celem do prvího uzlu přijde to o objemu 4, což odpovídá čtyřem hraám. z = i j(i,j)εh c ij x ij mi Sažíme se miimalizovat celové álady spojeé s toem. Nálady platíme pouze za hray (i,j), teré vybereme do stromu. j(i,j)εh y ij (,i)εh y i = 1 i V {1} (1) Pro aždý uzel musí platit, že počet hra, teré z ěj vytečou, míus počet hra, teré do ěj vtečou, se rová 1. Jia řečeo, aždý uzel přidá do stromu právě jedu hrau. Výjimou je prví uzel, am vše je vtéá, ale ic z ěj evytéá. 0 y ij ( 1)x ij (i,j) εh (2) Pro aždou hrau (i,j) musí platit, že poud bude vybráa, proteče jí ejvýše to o objemu 1, a poud vybráa ebude, eproteče jí ic. x 1j = 0 j V {1} (3) Z prvího uzlu žádá hraa evede. Je de facto ocovým uzlem, do ěhož hray směřují. j(i,j)εh x ij = 1 i V {1} (4) Z aždého uzlu romě prvího povede právě jeda hraa. x ij {0, 1} (i,j) εh (5) Bude hraa (i,j) použita?
8 !Najděte miimálí ostru grafu s pěti uzly, de álady a zřízeí hra jsou: C = ; model: sets: uzel/1..5/; to(uzel,uzel): x,y,c;!x = bude hraa vybráa? y = oli poteče; edsets data: C = ; eddata mi x(i,j)) = 1);!z aždého romě 1.uzlu poteče právě 1 y(i,j)) y(,i)) = 1);!aždý uzel přidá do tou právě jedu x(i,j)) = 0); ed Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Disrétí modely
9 MINIMÁLNÍ STEINERŮV STROM Cílem je podobě jao u miimálí ostry ajít co ejlevější podgraf, abychom zajistili propojeí uzlů. Rozdíl spočívá v tom, že je zde ale možost zapojit tzv. průběžé uzly (přeladiště), poud bude díy im propojeí levější. Sažíme se tedy propojit všechy ocové uzly se zdrojem (přes průběžé uzly ebo přímo) ta, aby álady byly miimálí. Pracujeme se třemi typy uzlů: zdroj (to ozačíme jao uzel 1), ocové uzly (ty ozačíme jao uzel 2, 3, p) přeladiště (průběžé uzly, pomocé staice, ústředy, ozačíme jao uzly p+1,p+2 ). Přitom záme jeda álady c ij a hrau (i,j), jeda álady a zřízeí ústředy (d j). Zavedeme tři proměé: - biárí proměá x ij se rová 1 v případě, že je hraa (i,j) vybráa, jia 0 - biárí proměá f i se rová 1 v případě, že je uzel i zahrutý, jia 0; to zameá, že pro ocové uzly a zdroj ji musíme pevě astavit a 1, zatímco u průběžých uzlů může abývat hodot 0, 1; - proměá y ij je to hraou (i,j) z = i=1 j=1 c ij x ij + i=1 d i f i mi Sažíme se miimalizovat celové álady spojeé s toem. Nálady platíme pouze za hray (i,j), teré vybereme do stromu (x ij = 1). K tomu avíc platíme álady za aždé přeladiště teré chceme taé zahrout (f i = 1). j=1 y ij j=2 y ji = f i i = 2,3 (1) Pro aždý uzel musí platit, že počet hra, teré z ěj vytečou, míus počet hra, teré do ěj vtečou, se rová jedé, poud bude teto uzel zahrutý, a ule v opačém případě. Výjimou je prví uzel, am vše je vtéá, ale ic z ěj evytéá. 0 y ij ( 1)x ij i, j = 1,2 (2) Pro aždou hrau (i,j) musí platit, že poud bude vybráa, proteče jí ejvýše to o objemu 1, a poud vybráa ebude, eproteče jí ic. x 1j = 0 j = 2,3 (3) Z prvího uzlu žádá hraa evede. Je de facto ocovým uzlem, do ěhož hray směřují. j=1 x ij = f i i = 2,3 (4) Z aždého uzlu romě prvího povede právě jeda hraa, poud bude teto uzel zahrutý, a ula hra v opačém případě. x ij {0, 1} i, j = 1,2 (5) Bude hraa (i,j) použita? f i {0, 1} i, j = p+1, p+2 (6) Bude přeladiště zahruto? f i = 1 i, j = 1,2 p (7) Kocové zdroje a zdroj musí být zahruty.!optimalizujte projet abelových rozvodů mezi třemi uživateli této abelové sítě. Kromě uživatelů (teří tvoří jedu supiu uzlů) máme i dvě pomocé staice, teré vša eí uté zahrout do optimálího projetu a jeda ústředa. Nálady a zřízeí rozvodů jsou: 15, 3, 18, 4, 7, 9, 6, 7, 12 (2-1, 2-5, 3-1, 3-5, 3-6, 4-5, 4-6, 5-1, 6-1) a álady a zřízeí uzlu jsou: 0, 0, 0, 0, 30, 20. Miimalizujte celové álady. (poz.: f1,2,3,4 = 1); model: sets: uzel/1..6/:f,aladyuzel; to(uzel,uzel)/2 1,2 5,3 1,3 5,3 6,4 5,4 6,5 1,6 1/:x,y,aladyto; edsets data: aladyuzel= ;
10 aladyto= ; eddata mi x*aladyto) emusí být i#lt#5: f(i) = 1);!prví čtyři uzly jsou x(i,j)) = f(i));!suma cest odpovídá 1, je-li uzel zapoje, jia y(i,j)) j#gt#1: y(j,i)) = f(i));!suma výtou míus suma přítou odpovídá 1, je-li uzel zapoje, jia y<=5*x);!ic eteče, eí-li ed Zadáí Řešeí Zdroj: Ig. Ja Fábry, Ph.D.: 4EK314 Disrétí modely ZDROJE: Ig. J. Fábry, Ph.D.: předášy 4EK314 Disrétí modely, 2011., VŠB Dostupé z:
OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
VíceÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF
Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým
VíceTento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254
Evropský sociálí fod Praha & EU: Ivestujeme do vaší budoucosti Teto materiál vzikl díky Operačímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Maažerské kvatitativí metody II - předáška č.1 - Dyamické
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Více4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 2
4EK311 Operačí výzkum 4. Distribučí úlohy LP část 2 4.1 Dopraví problém obecý model miimalizovat za podmíek: m z = c ij x ij i=1 j=1 j=1 m i=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, x ij 0, i
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
Více2. Vícekriteriální a cílové programování
2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě
Více6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.
Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh
VíceSPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.
SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Úloha 3 - Fiacováí stavebích úprav Rozhodli jsme se pro stavebí úpravy v bytě. Po zhotoveí rozpočt a tyto úpravy jsme zjistili, že ám chybí ještě 30 000,-Kč. Máme možost si tto část
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceRegrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n
Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =
Více8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I
8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
VíceS k l á d á n í s i l
S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Více1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,
DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry
Více1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
Více4EK212 Kvantitativní management 4. Speciální úlohy lineárního programování
4EK212 Kvatitativí maagemet 4. Speciálí úlohy lieárího programováí 3. Typické úlohy LP Úlohy výrobího pláováí (alokace zdrojů) Úlohy fiačího pláováí (optimalizace portfolia) Směšovací problémy Nutričí
Více7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY
7 VYUŽITÍ METOD OERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DORAVY Operačí aalýza jao jeda z oblatí apliovaé matematiy achází vé široé uplatěí v průmylových a eoomicých apliacích. Jedím z oborů, ve teré hraje ezatupitelou
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
Více1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );
1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceDiskrétní matematika
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
Více3. část: Teorie hromadné obsluhy. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
3. část: Teorie hromadé obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d. Zálady teorie pravděpodobosti Náhodý pous je děj, jehož výslede eí ai při dodržeí všech předepsaých podmíe předem zám. Náhodý jev je výsledem áhodého
VíceNárodní informační středisko pro podporu kvality
Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VíceDISTRIBUČNÍ ÚLOHY. Cílem pokrývacího problému je vybrat firmy tak, aby byly co nejlevněji pokryty všechny úkoly.
Distribučí úlohy DISTRIBUČNÍ ÚLOHY KONTEJNEROVÝ DOPRAVNÍ PROBLÉM, ROZŠÍŘENÁ ÚLOHA BATOHU (BIN PACKING PROBLEM), ÚLOHA OPTIMÁLNÍHO ROZMÍSTĚNÍ ZAŘÍZENÍ, ÚLOHA O POKRYTÍ. POKRÝVACÍ A DĚLÍCÍ PROBLÉM (SET COVERING
Více66. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Liberec, března 2017
66. ročí matematicé olympiády III. olo ategorie A Liberec, 26. 29. březa 2017 MO 1. Na hromádce leží 100 očíslovaých diamatů, z ichž 50 je pravých a 50 falešých. Pozvali jsme svérázého zalce, terý jediý
VíceNázev školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace
Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceUžití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
VíceDURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ
DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ Ivestičí horizot IH: doba, po kterou má ivestor v daé ivestici vázáy své peíze. Při ivestici do dluhopisu jsme vystavei riziku změy výosů Uvažujme
Více8.2.6 Geometrická posloupnost
8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VíceHEURISTICKÉ ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ ÚLOH OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO
HEURISTICKÉ ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ ÚLOH OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Heuristické algoritmy jsou speciálními algoritmy, které byly vyvinuty pro obtížné úlohy, jejichž řešení je obtížné získat v rozumném čase. Mezi
VíceNáhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.
Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
VíceIdentifikátor materiálu: ICT 2 59
Idetifiátor materiálu: ICT 59 Registračí číslo projetu Název projetu Název příjemce podpory ázev materiálu (DUM) Aotace Autor Jazy Očeávaý výstup Klíčová slova Druh učebího materiálu Druh iterativity Cílová
VíceAplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu
Apliace margiálích áladů Oceňováí ztrát v distribučím rozvodu Učebí text předmětu MES Doc. Ig. J. Vastl, CSc. Celové ročí álady a ztráty N P ( T ) z z sj z wj Kč de N z celové ročí álady a ztráty *Kč+
Více9.1.12 Permutace s opakováním
9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.
VícePřednáška č. 2 náhodné veličiny
Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující
VíceVLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ
Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c
Více3. cvičení 4ST201 - řešení
cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
Vícef x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )
DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce
VíceLineární regrese ( ) 2
Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující
Více!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.
Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím
Více3.4.7 Můžeme ušetřit práci?
3.4.7 Můžeme ušetřit práci? Předpolady: 030404 Pomůcy: Pedaoicá pozáma: Hodia je oraizováa jao supiová práce. Třída je rozdělea a čtyřčleé supiy, aždý ze čleů má jedu možost ozultovat se mou ebo mě předat
Více2,3 ČTYŘI STANDARDNÍ METODY I, ČTYŘI STANDARDNÍ METODY II
2,3 ČTYŘI STADARDÍ METODY I, ČTYŘI STADARDÍ METODY II 1.1.1 Statické metody a) ARR - Average Rate of Retur průměrý ročí čistý zisk (po zdaěí) ARR *100 % ( 20 ) ivestic do projektu V čitateli výrazu ( 20
VíceVzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN
Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha
VíceVážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VícePředmět: SM 01 ROVINNÉ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE
Přdmět: SM 0 ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE doc. Ig. Michl POLÁK, CSc. Fkult stvbí, ČVUT v Prz ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE: KOSTRUKCE JE VYTVOŘEA Z PŘÍMÝCH PRUTŮ, PRUTY JSOU AVZÁJEM POSPOJOVÁY V BODECH STYČÍCÍCH,
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceNotice:Jagran Infotech Ltd. Printed by Fontographer 4.1 on 6/3/2003 at 7:12 PM
$ % $0 Undefined $1 Undefined $2 Undefined $3 Undefined $4 Undefined $5 Undefined $6 Undefined $7 Undefined $8 Undefined $9 Undefined $A Undefined $B Undefined $C Undefined $D Undefined $E Undefined $F
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
Více10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR
Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
Více1. Vztahy pro výpočet napěťových a zkratových
EE/E Eletráry ztahy pro výpočet apěťových a zratových poměrů. ztahy pro výpočet apěťových a zratových poměrů ýpočty lze provádět: ve fyziálích jedotách v poměrých jedotách v procetích jedotách Procetí
VíceZáklady Teorie Grafů. Pavel Strachota, FJFI ČVUT
Zálady Teorie Grafů (pozámy z předáše Pavel Strachota, FJFI ČVUT 30 srpa 006 Disclaimer Vzhledem bezplatému posytutí produtu se a produt evztahuje žádá zárua, a to v míře povoleé záoem Poud eí písemě staoveo
Více9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Hakimiho
Typicé přílady pro zápočtové písemy DiM 470-301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 018) 1 9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Haimiho 9.1. Doážete nareslit graf na 9 vrcholech, ve terém mají aždé dva
VíceKombinatorika a grafy I
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Kombiatoria a grafy I láta z II semestru iformatiy MFF UK podle předáše Odřeje
Více8. cvičení 4ST201-řešení
cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
VíceLineární programování
Lieárí programováí Adjugovaý problém lieárího programováí V případě řešeí problému lieárího programováí LP ma{ c T : A b 0} získáváme výchozí přípustou jedotkovou bázi u doplňkových proměých a za předpokladu
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
Více4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ
4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Více9.1.13 Permutace s opakováním
93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
Více23. Mechanické vlnění
3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze
Více