Číselné posloupnosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Číselné posloupnosti"

Transkript

1 Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43

2 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a 3,... Zápis: {a n } + n=1 nebo jen {a n }; a n se nazývá n-tý člen posloupnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 2 / 43

3 Způsoby zadání posloupnosti několika prvními členy, n-tým členem, rekurentně. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 3 / 43

4 Zadání posloupnosti několika prvními členy Úloha 1 Je dána posloupnost 1 4, 3 4 7, , , Určete její n-tý člen. Řešení. a n = 2n 1 (3n 2) (3n+1) Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 4 / 43

5 Zadání posloupnosti n-tým členem { } n n+1, {( 1) n n}, { (1+ ) 1 n } n, { a q n 1 }, {a+(n 1)d}. Vypočtěte členy a 1, a 2, a 3, a 4. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 5 / 43

6 Zadání posloupnosti rekurentně Rekurentní definice obsahuje zpravidla 1. člen (nebo několik prvních členů) a pravidlo, jak vytvořit další člen ze členů předcházejících. Rekurentní definice aritmetické posloupnosti: a 1 = a, a n+1 = a n + d. Rekurentní definice geometrické posloupnosti: a 1 = a, a n+1 = a n q (q / {0, 1, 1}). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 6 / 43

7 Zadání posloupnosti rekurentně Úloha Posloupnost ( {a n } je zadána rekurentně takto: a 1 = 1, a n+1 = 1 2 a n + 10 a n ); je to posloupnost aproximací čísla 10. Vypočtěte první čtyři aproximace. Úloha Fibonacciova posloupnost {b n } je definována takto: b 1 = 1, b 2 = 1, b n+2 = b n+1 + b n. Vypočtěte prvních 10 členů této posloupnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 7 / 43

8 Množina (všech) členů posloupnosti {a n } množina (všech) jejích členů { } 1 n {1, 12, 13,..., 1n,... }, {( 1) n } { 1, 1}. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 8 / 43

9 Vybraná posloupnost Definice Posloupnost {b n } se nazývá vybraná z posloupnosti {a n } (nebo též podposloupnost) posloupnost přirozených čísel k 1 < k 2 < k 3 < tak, že n N je b n = a kn. Např. posloupnost všech prvočísel je vybraná z posloupnosti {n} všech čísel přirozených, ale není vybraná z posloupnosti {2n-1} všech čísel lichých. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 9 / 43

10 Základní vlastnosti číselných posloupností Definice Posloupnost se nazývá (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina všech jejích členů. Např. posloupnost {2n 1} je zdola omezená, není omezená shora, není omezená. Posloupnost {( 1) n } je omezená shora i zdola, je omezená. Stacionární posloupnost {c} je omezená. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 10 / 43

11 Definice Posloupnost a se nazývá rostoucí n N platí a n < a n+1, klesající n N platí a n > a n+1, nerostoucí n N platí a n a n+1, neklesající n N platí a n a n+1. Společný název pro všechny tyto druhy posloupností: posloupnosti monotonní a pro první dva druhy: posloupnosti ryze monotonní. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 11 / 43

12 Limita posloupnosti Definice Říkáme, že posloupnost {a n } má limitu a U(a) n 0 N tak, že n N: n n 0 a n U(a). Je-li a R, nazývá se a vlastní limita a posloupnost {a n } se nazývá konvergentní, pokud a=±, nazývá se a nevlastní limita. Neexistuje-li vlastní limita, nazývá se posloupnost {a n } divergentní. Zápisy: lim n + a n = a; lim a n = a; a n a pro n +. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 12 / 43

13 Limita posloupnosti Posloupnost tedy bud konverguje nebo diverguje (+, nebo osciluje). { } n je konvergentní, má limitu 1, n+1 stacionární posloupnost {c} je konvergentní a má limitu c, { n } posloupnost je divergentní, má nevlastní limitu +, 100 posloupnost {q n } je pro q 1 divergentní, nemá limitu (osciluje). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 13 / 43

14 Limita posloupnosti Definice Je-li V(n) nějaká výroková forma a platí-li, že výrok ( n 0 N tak, že n N:n n 0 V(n)) je pravdivý, pak říkáme, že V(n) platí pro skoro všechna n. Definice Říkáme, že posloupnost {a n } má limitu a v každém okolí U(a) leží skoro všechny členy této posloupnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 14 / 43

15 Posloupnost aritmetická Aritmetická posloupnost je dána svým prvním členem a 1, konstantní diferencí d a rekurentním pravidlem n N:a n+1 = a n + d. Posloupnost, u níž rozdíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je konstantní. n-tý člen: a n = a 1 +(n 1)d. Vidíme, že aritmetická posloupnost má pro d > 0 limitu+, pro d < 0 limitu. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 15 / 43

16 Posloupnost aritmetická Úloha V posledních třech měsících činil celkový objem zakázek přibližně a 1 = 325 tisíc Kč, a 2 = 354 tisíc Kč a a 3 = 383 tisíc Kč. Jaký objem lze očekávat ve 4. měsíci? Řešení. Lze vyslovit hypotézu, že objem zakázek tvoří aritmetickou posloupnost, kde a 1 = 325, d= 29 (tisíc Kč). Pak a 4 = a 3 + d= 412 (tisíc Kč). Lze očekávat objem zakázek za 412 tisíc Kč. (Samozřejmě korektnost vyslovení takové hypotézy závisí na praktických okolnostech.) Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 16 / 43

17 Posloupnost aritmetická Součet s n prvních n členů Vyjádříme s n dvěma způsoby: s n s n = a 1 +(a 1 + d)+(a 1 + 2d)+ +(a 1 +(n 1)d), = a n +(a n d)+(a n 2d)+ +(a n (n 1)d). Po sečtení máme 2s n = n (a 1 + a n ), takže s n = n 2 (a 1+ a n ). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 17 / 43

18 Posloupnost aritmetická Úloha Na skládce jsou uloženy roury tak, že v dolní vrstvě jich je 26 a každá roura v každé vyšší vrstvě vždy zapadá mezi dvě roury ve vrstvě nižší; vrstev je celkem 12. Kolik je na skládce rour? Řešení. Položíme a 1 = 26; pak d= 1. V horní vrstvě je a 12 = ( 1)=15 rour a celkem s 12 = 6 (26+15)=246 rour. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 18 / 43

19 Posloupnost geometrická Geometrická posloupnost je dána svým 1. členem a 1, konstantním kvocientem q 0 a rekurentním pravidlem n N:a n+1 = a n q. Geometrickou posloupnost lze tedy rovněž definovat jako posloupnost, u níž podíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je konstantní. Z rekurentního pravidla dostaneme vzorec pro n-tý člen: a n = a 1 q n 1. (Dokazuje se jednoduše například matematickou indukcí). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 19 / 43

20 Posloupnost geometrická Úloha V prvním měsíci roku činil obrat Kč a v každém dalším měsíci byl o 5% větší než v měsíci předchozím. Určete předpokládaný listopadový obrat. Řešení. Jde o geometrickou posloupnost, kde a 1 = , q= 1, 05, n=11. Pak a 11 = , , 629= Kč. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 20 / 43

21 Posloupnost geometrická Limity GP Je-li a 1 > 0, pak geometrická posloupnost { a 1 q n 1} má limitu: 0 (pro q < 1) nebo a 1 (pro q= 1) nebo + (pro q > 1) a nebo nemá limitu (pro q < 1). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 21 / 43

22 Posloupnost geometrická Součet prvních n členů GP Vyjádříme s n a q s n : s n = a 1 + a 1 q+ a 1 q 2 + +a 1 q n 1, q s n = a 1 q+ a 1 q 2 + +a 1 q n 1 + a 1 q n. Po odečtení je s n (1 q)=a 1 (1 q n ), takže s n = a 1 1 q n 1 q tj. též s n = a 1 q n 1 q 1. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 22 / 43

23 Posloupnost geometrická Úloha Vynálezce šachové hry požadoval podle pověsti odměnu za každé ze 64 polí šachovnice takto: za 1. pole jedno obilní zrno, za 2. pole 2 zrna, za 3. pole 4 zrna, atd., za každé další vždy dvojnásobek. Kolik zrnek obilí měl dostat? Řešení. Jde o geometrickou posloupnost, kde a 1 = 1, q= 2, n=64. Proto s 64 = = , a to je více obilí, než se kdy na Zemi urodilo. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 23 / 43

24 Věty o limitách Věta Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz (sporem). Kdyby existovaly dvě limity a, b, pak by existovala disjunktní okolí U(a), U(b) tak, že pro skoro všechna n by mělo platit současně a n U(a), a n U(b), což je spor. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 24 / 43

25 Věty o limitách Věta Má-li posloupnost {a n } limitu, pak každá posloupnost {b n } vybraná z posloupnosti {a n } má tutéž limitu. Důkaz. Označme tuto limitu a; pak U(a) n 0 N tak, že n N:n n 0 a n U(a); pro k n > n 0 je ovšem též b m = a kn U(a), takže b m U(a) pro skoro všechna m. Limita posloupnosti se tedy nezmění, vynecháme-li nebo pozměníme-li libovolný konečný počet členů posloupnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 25 / 43

26 Věty o limitách Při výpočtu limit využíváme také tohoto postupu: 1) zjistíme, že daná posloupnost je konvergentní a 2) najdeme limitu a nějaké vhodné vybrané posloupnosti. Pak toto a je i limitou dané posloupnosti. Když naopak zjistíme, že nějaká vybraná posloupnost je divergentní, znamená to podle předchozí věty, že je divergentní i daná posloupnost. Podobně zjistíme-li, že dvě vybrané posloupnosti mají různou limitu, je daná posloupnost divergentní. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 26 / 43

27 Věty o limitách Věta Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz. Označme limitu a; zvolme ε=1. Pak množina M těch členů posloupnosti, které neleží v okolí U(a, 1), je konečná. n N pak platí a min {min M, a 1}, a max {max M, a+1}. Tato věta ovšem neplatí obráceně, nebot např. posloupnost {( 1) n } je omezená, ale je divergentní. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 27 / 43

28 Věty o limitách Větší hloubku pohledu do vztahu mezi omezeností a konvergencí dává následující věta. Věta (Bolzano Weierstrassova) Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 28 / 43

29 Princip důkazu B W věty Bolzanova metoda půlení intervalů: Je dána posloupnost {a n }; ježto je omezená, K 1, L 1 tak, že n N je a n K 1, L 1. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 29 / 43

30 Princip důkazu B W věty Konstrukce vybrané posloupnosti: Za b 1 zvolíme libovolný člen dané posloupnosti {a n }, necht v ní má index k 1. Interval K 1, L 1 rozpůlíme a označíme K 2, L 2 tu část, do níž je zobrazeno nekonečně mnoho členů posloupnosti {a n }. V K 2, L 2 vybereme za b 2 libovolný takový člen posloupnosti {a n }, který má index k 2 > k 1. Interval K 2, L 2 rozpůlíme, atd. Označíme a (jediný) společný bod všech intervalů K n, L n (podle věty o vložených intervalech). Pak U(a) pro skoro všechna n platí K n, L n U(a), takže též b n U(a), tedy b n a. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 30 / 43

31 Věty o limitách Věta Každá neklesající shora omezená posloupnost je konvergentní. Princip důkazu. Mějme dánu posloupnost {a n }; z omezenosti množiny M= {a 1, a 1,... } plyne existence vlastního suprema a=sup M. Ze druhé vlastnosti suprema plyne, že v libovolném levém okolí U(a ) leží alespoň jedno a n, takže vzhledem k monotónnosti {a n } leží v U(a ) skoro všechny členy posloupnosti {a n }. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 31 / 43

32 Aritmetické operace s posloupnostmi Definice Operace s posloupnostmi jsou definovány takto: násobení reálným číslem c: c {a n }={c a n }; aritmetické operace (součet, rozdíl, součin, podíl): {a n }+{b n }={a n + b n }, {a n } {b n }={a n b n }, {a n } {b n }={a n b n }, {a n } / {b n }={a n /b n }, (pro b n 0); opačná posloupnost k {a n } je { a n }; reciproká posloupnost k {a n } je {1/a n } (pro a n 0). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 32 / 43

33 Věty o limitách Věta (o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu) Necht lim a n = a, lim b n = b. Pak platí, pokud výrazy na pravých stranách mají v R smysl: 1) lim(a n + b n )=a+b, lim(a n b n )=a b, 2) lim(a n b n )=a b, 3) pro b n 0, b 0 je lim(a n /b n )=a/b, 4) lim a n = a. Důkaz. Ukázka pro součet, kde a, b jsou vlastní limity: ε > 0 n 1, n 2 N tak, že : n n 1 a n U(a, ε/2), : n n 2 b n U(b, ε/2). Necht n 0 = max {n 1, n 2 } a n n 0. Pak a ε/2 < a n < a+ε/2, b ε/2 < b n < b+ ε/2. Po sečtení obou nerovností máme(a n + b n ) U(a+b, ε). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 33 / 43

34 Věty o limitách Úloha Dokažte větu pro součet, kde a je vlastní limita a b=+. Věta (limita nerovnosti) Necht lim a n = a, lim b n = b a pro nekonečně mnoho n platí a n b n. Pak a b. Důkaz sporem. Kdyby bylo a > b, existovala by disjunktní okolí U(a), U(b) tak, že x U(a) y U(b) by platilo x > y. Pro skoro všechna n je však a n U(a), b n U(b), tedy by platilo a n > b n, což dává spor s předpokladem věty. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 34 / 43

35 Věta o třech limitách Pro konvergentní posloupnosti {a n }, {b n } zřejmě platí, že když pro nekonečně mnoho členů je a n b n a pro nekonečně mnoho členů je a n > b n, pak a=b. Věta (věta o třech limitách) Necht lim a n = a, lim b n = a a necht pro skoro všechna n je a n c n b n. Pak lim c n = a. Princip důkazu. Podle definice limity patří do libovolného okolí U(a) skoro všechny členy posloupnosti {a n } a také skoro všechny členy posloupnosti {b n }. Proto do U(a) patří také skoro všechny členy posloupnosti {c n }. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 35 / 43

36 Věta o třech limitách Pro nevlastní limity má věta o třech limitách (zvaná též věta o třech posloupnostech) speciální tvar. Je-li totiž lim a n =+, lze brát za b n posloupnost {+ }, proto z nerovnosti a n c n plyne lim c n =+. Podobně lze větu o třech limitách upravit pro nevlastní limitu. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 36 / 43

37 Limes inferior a limes superior Uvažujme omezenou posloupnost {a n }. Pro n N definujeme posloupnosti {α n } a {β n }: α n = inf {a n, a n+1, a n+2,... }, β n = sup {a n, a n+1, a n+2,... }. Úloha Určete { tři } prní členy posloupností {α n } a {β n } pro posloupnost ( 1) n. n+1 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 37 / 43

38 Limes inferior a limes superior Úloha Určete { tři } prní členy posloupností {α n } a {β n } pro posloupnost ( 1) n. n+1 Řešení. α 1 α 2 α = inf {,, 14,, 16,, 18, } = 1 2, { 1 = inf 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, 1 } 9 = 1 4, = inf {,, 16,, 18, } = 1 4, Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 38 / 43

39 Limes inferior a limes superior Úloha Určete { tři } prní členy posloupností {α n } a {β n } pro posloupnost ( 1) n. n+1 Řešení. β 1 β 2 β = sup {,, 14,, 16,, 18, } = 1 3, { 1 = sup 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, 1 } 9 = 1 3, = sup {,, 16,, 18, } = 1 5. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 39 / 43

40 Limes inferior a limes superior Z definic {α n } a {β n } plyne: α n a n β n, {α n } je neklesající, {β n } je nerostoucí a z omezenosti {a n } plyne i omezenost {α n } a {β n }, a tedy jsou obě posloupnosti {α n } a {β n } konvergentní (mají vlastní limitu). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 40 / 43

41 Limes inferior a limes superior Definice Necht posloupnost {a n } je omezená, pak definujeme její dolní limitu (limes inferior) lim inf a n:= lim α n= lim inf {a n, a n+1, a n+2,... } n + n + n + a její horní limitu (limes superior) lim sup a n := lim β n= lim sup {a n, a n+1, a n+2,... }. n + n + n + Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 41 / 43

42 Úloha Určete dolní a horní limitu posloupnosti( 1) n 2n 1 n+1. Řešení. Zde si opět vypíšeme několik prvních členů studované posloupnosti: 1 2, 3 3, 5 4, 7 5, 9 6, 11 7, 13 8, 15 9, 17 10, 19 11,, , ,. Zřejmě lim a n =2, ale samotná lim a n n + n + neexistuje. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 42 / 43

43 Úloha Určete dolní a horní limitu posloupnosti( 1) n 2n 1 n+1. Řešení. Odvodíme omezenost: 2n 1 ( 1)n n+1 = 2n 1 n+1 2n+2 n+1 = 2, a tak 2 ( 1) n 2n 1 n+1 2. Posloupnost je tedy omezená existence dolní a horní limity je tedy zajištěna. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 43 / 43

44 Úloha Určete dolní a horní limitu posloupnosti( 1) n 2n 1 n+1. Řešení. lim inf n + a n lim sup a n n + := lim α n= lim inf {a n, a n+1, a n+2,... } n + n + = lim 2= 2, n + := lim n + β n= lim n + sup {a n, a n+1, a n+2,... } = lim n + 2=2. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 44 / 43

45 Nulové posloupnosti Jsou to posloupnosti, kde lim a n = 0. Nulové posloupnosti fakticky nejsou jen zvláštním případem konvergentních posloupností, ale i naopak, konvergenci bychom mohli definovat užitím nulových posloupností podle věty: Věta a n a (a n a) 0. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 45 / 43

46 Věty o limitách nulových posloupností Věta Jestliže a n a, pak a n a. Tato věta neplatí pro a 0naopak, ale pro a = 0 ano. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 46 / 43

47 Věty o limitách nulových posloupností Věta Jestliže a n +, je 1 a n posloupnost nulová. Jestliže jmenovatel zlomku konverguje k nule, je situace složitější: Věta Je-li n N a n > 0, a n 0, pak 1/a n +, a n < 0, a n 0, pak 1/a n, a n 0, a n 0, pak 1/ a n. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 47 / 43

48 Věty o limitách nulových posloupností Nulových posloupností se s výhodou využívá při výpočtech limit. Vypočtěte Vypočtěte Vypočtěte Vypočtěte 6n 2 + n lim n + 4n lim n + lim n + lim n n n 4 2 2n+1 2 n n+150 n 2 0, 25. n 3 8n 9n Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 48 / 43

49 Posloupnosti v praxi Uspořádané n-tice používá název konečné posloupnosti, který zčásti navozuje použití posloupností v praxi. Známe několik prvních členů a 1, a 2, a 3,..., a n nějaké posloupnosti. Pomocí této znalosti chceme zjistit, zkonstruovat nebo předpovědět její další člen a n+1. Může jít o posloupnost peněžních částek, (časovou) posloupnost údajů o objemu výroby, posloupnost časových termínů nebo intervalů ad. Problémem je, jak určit další člen (nebo alespoň jeho přibližnou hodnotu) ze znalosti předchozích. Může jít o nalezení vzorce pro n-tý člen, rekurentního pravidla nebo i o jiný postup. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 49 / 43

50 Některé významné limity Věta a > 0: lim n + Princip důkazu. n a=1. Pro a > 1 položíme n a=1+u n, zřejmě u n > 0. Podle Bernoulliovy nerovnosti je a=(1+u n ) n > 1+n u n, odkud 0 < u n < a 1 n, podle V3L je u n 0. Pro a < 1 použijeme předchozí pro 1 a, pro a=1je výsledek zřejmý. Věta (Bernoulliova nerovnost) h R, h > 1, h 0, n N, n 2 platí V(n):(1+h) n > 1+nh. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 50 / 43

51 Některé významné limity Podobně lze užitím vhodných odhadů odvodit následující dvě limity: Věta lim n + n n=1. Věta a n a > 1, k > 0: lim n + n k=+. (Říkáme, že exponenciála a n roste k+ rychleji než mocnina n k.) Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 51 / 43

52 Úloha log Dokažte, že a > 1: lim a n = 0. n + n Řešení. Pro ε > 0 je a ε > 1, takže pro skoro všechna n platí 1 < n n < a ε. zlogaritmováním nerovnosti při základu a dostaneme: log a 1 < log n a n < log a a ε, log a 1 < log a n 1 n < loga a ε, 0 < 1 n log a n < ε log a a, 0 < log a n n < ε, Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 52 / 43

53 Úloha Vypočtěte lim n + q n, kde q > 0. n! Říkáme, že faktoriál roste k+ rychleji než exponenciála q n. Řešení. Pro q 1 je tato limita rovna 0. ] Pro q > 1 jde o typ (nelze použít větu o limitě podílu). [ + + Označme a n = qn n! ; pak a n+1= q n+1 a n, pro skoro všechna n je posloupnost {a n } klesající a zdola omezená (nulou), takže má limitu; označme ji a. Přejdeme-li v rovnosti k limitě, máme a = 0. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 53 / 43

54 Úloha Ukažte, že každé iracionální číslo je limitou neklesající posloupnosti racionálních čísel; najděte tyto posloupnosti pro r= π, s= 2. Řešení. Lze uvažovat například posloupnost dolních desetinných aproximací. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 54 / 43

55 Další typy posloupností v MA Posloupnosti množin (např. intervalů), posloupnosti funkcí, ad. Definice těchto posloupností vytvoříme podle stejného schématu. Například posloupnost funkcí definujeme jako zobrazení množiny N do množiny všech funkcí. Pracujeme-li s jinými posloupnostmi než s posloupnostmi číselnými, je třeba dbát na korektnost definice posloupnosti, případně její limity. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 55 / 43

56 Eulerovo číslo e Funkce y= e x a funkce y= ln x (= log e x) patří k nejdůležitějším funkcím v matematické analýze; v obou případech je základem Eulerovo číslo e. ( e:= lim 1+ 1 ) n n + n Abychom tuto definici mohli považovat za korektní, je třeba dokázat, že uvedená posloupnost {a n } je konvergentní: 1 dokážeme, že tato posloupnost je rostoucí, 2 dokážeme, že je shora omezená. Existence konečné limity pak plyne z věty o limitě monotónní posloupnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 56 / 43

57 { (1+ ) 1 n } n je rostoucí Podle binomické věty je a n = ( 1+ 1 n) n = 1+ ( ) n 1 1 n + ( ) n 1 2 n2+ + ( ) n 1 n n n První dva členy součtu na pravé straně jsou rovny 1, pro každý další člen provedeme úpravu ( n k ) 1 n k = = n! k!(n k)! ( 1 1 n 1 n(n 1) (n k+ 1) nk= n k 1 ) ( 1 2 n ) ( 1 k 1 n ) 1 k!. k! = Pro posloupnost {a n } tak platí, že každý její( člen a n je součtem n+1 kladných výrazů, v nichž jsou činitelé tvaru 1 j ). n Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 57 / 43

58 a n = ( n+1 výrazů s činiteli tvaru 1 j ) n { ( ) }} ( ) { n 1 n n + + n n n ( ) ( ) n+1 1 n+1 a n+1 = 1+ 1 n n+1 (n+1) }{{ n+1 ( } n+2 výrazů s činiteli tvaru 1 j ) n+1 ( Jelikož 1 j ) > n+1 sčítanec víc, je a posloupnost {a n } je rostoucí. ( 1 j ) a navíc v a n+1 je o jeden kladný n a n+1 > a n Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 58 / 43

59 { (1+ ) 1 n } n je shora omezená ( Ve výrazu pro a n nahradíme všechny závorky 1 j ) číslem 1 n+1 ( ) ( n 1 k n k= 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 k 1 ) 1 n n n k! < 1 k!, takže platí a n < b n = ! + 1 3! n! < < 3. 2n 1 Závěr: Podle věty o limitě monotónní posloupnosti existuje limita posloupnosti {a n }; nazýváme ji Eulerovo číslo a označujeme ji e; z předchozího plyne, že 2 < e < 3. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 59 / 43

60 Výpočet čísla e Hodnotu čísla e lze vcelku snadno určit jako součet číselné řady. Vidíme, že pro konstantní k < n platí ( a n > ) ( 1 n 2! ) ( 1 2 ) ( 1 k 1 ) 1 n n n k!. Odsud pro n + máme e b k, takže platí a n < b n e; podle věty o třech limitách pak je lim n + b n = e. Přitom b n je podle své definice tzv. n-tým částečným součtem řady, takže ( e= lim 1+ 1 ) n = 1+ 1 n + n 1! =2, ! Tato řada dosti rychle konverguje a má jednoduchý algoritmus výpočtu členů, takže výpočet hodnoty čísla e na zadaný počet desetinných míst lze provést vcelku rychle. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 60 / 43

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Číselné posloupnosti. H (å) a. a å

Číselné posloupnosti. H (å) a. a å Pokud napíšeme značku H a (ε), je třeba dát pozor, neboť značka je stejná u komplexního i u reálného okolí, ačkoliv jde o jinou množinu (reálné okolí je jen otevřený interval na reálné ose, komplexní zahrnuje

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina: KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Otázky z kapitoly Posloupnosti

Otázky z kapitoly Posloupnosti Otázky z kapitoly Posloupnosti 8. září 08 Obsah Aritmetická posloupnost (8 otázek). Obtížnost (0 otázek)........................................ Obtížnost (0 otázek).......................................

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

KMA/MA2AA. Matematika 2

KMA/MA2AA. Matematika 2 KMA/MA2AA Matematika 2 ZS 2015 Obsah 1 Číselné posloupnosti 4 1.1 Motivační příklady.......................... 4 1.2 Pojem posloupnosti.......................... 6 1.3 Základní vlastnosti číselných posloupností.............

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27 Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Posloupnosti a řady. a n+1 = a n + 4, a 1 = 5 a n+1 = a n + 5, a 1 = 5. a n+1 = a n+1 = n + 1 n a n, a 1 = 1 2

Posloupnosti a řady. a n+1 = a n + 4, a 1 = 5 a n+1 = a n + 5, a 1 = 5. a n+1 = a n+1 = n + 1 n a n, a 1 = 1 2 Vlastnosti posloupností 90000680 (level ): Je dána posloupnost (an + b), ve které platí, že a = a a 4 = 8. Potom: Posloupnosti a řady 900006807 (level ): Které z čísel 5, 5, 8, 47 není členem posloupnosti

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

POSLOUPNOSTI. 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2

POSLOUPNOSTI. 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2 POSLOUPNOSTI 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2 n+1n, d) a n = n! n n 2. 2. Najděte předpis pro n-tý člen

Více

Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání

Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání Vztah limity k a uspořádání Miroslav Hušek UJEP Prohlížení Celý text je nejlépe čitelný v celoobrazovkovém módu. Toho docílíte stiskem kláves CTRL L. Doprovodný text V textu se užívají definice dle obvyklých

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Posloupnosti 5. rˇı jna / 17

Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Posloupnosti 5. rˇı jna / 17 Posloupnosti Helena Říhová FBMI 5. října 2012 Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října 2012 1 / 17 Obsah 1 Posloupnosti Definice, vlastnosti Vybraná, stacionární, oscilující, ohraničená posloupnost Monotónní

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více

Relativní Eulerova funkce

Relativní Eulerova funkce MUNDUS SYMBOLICUS 25 (2017) Relativní Eulerova funkce J. Nečas Abstract. The article deals with the sequence of ratios between values of the Euler function of the natural number n and that number n. Klíčová

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Spojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení.

Spojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. funkce je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. Je důležité vědět, kdy se malá změna nějakého měření projeví málo na konečném výsledku. Zpřesňuje-li se měření, měl

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

1.1. Úvodní opakování. Definice racionální mocniny Mocnina a logaritmus

1.1. Úvodní opakování. Definice racionální mocniny Mocnina a logaritmus 1 Matematická analýza 1...1. Úvodní opakování...1.1. Mocnina a logaritmus...1.1.1. Goniometrické funkce...1.1.2. Zobrazení a jeho základní vlastnosti...1.2. O množině $\mathbb{r}$...1.3. O množině komplexních

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky Posloupnosti Motivace Víš, jaký bude následující člen v řadách 2, 4, 6, 8,? a 2, 4, 8, 16,?? Urči součet řady Jak převedeš číslo na zlomek? 1 Definice posloupnosti Posloupnost je funkce. Definiční obor

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

Matematika 2 Průběh funkce

Matematika 2 Průběh funkce Matematika 2 Průběh funkce Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 1 Základní věty diferenciálního počtu Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Kristýna Suchanová. Přírodovědná studia, obor Matematika

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Kristýna Suchanová. Přírodovědná studia, obor Matematika ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY POSLOUPNOSTI A ŘADY: ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI, LIMITY: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kristýna Suchanová Přírodovědná

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více