Analytická geometrie

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Analytická geometrie"

Transkript

1 ATEATICKÝ ÚSTAV Slezsá iverzi N Rybíč, v DENNÍ STUDIU Alyicá geomerie Tém : Afií rosor Defiice Bdiž dá erázdá moži A, veorový rosor V d omivím ělesem T chrerisiy l oečě zobrzeí - : A A V řiřzjící sořádé dvojici (X,Y) A A veor Y - X Nechť ro zobrzeí - lí: V ) A,B,C A : (B - A) + (C - B) = C - A, ) X A V! Y A, že Y - X = Usořádo rojici (A, V, - ) zveme rozměrým fiím rosorem d ělesem T oži A se zývá osiel fiího rosor (A, V, - ), číslo je jeho dimeze Nebde-li ebezečí ofze bdeme hovoři věšio je o fiím rosor (res A); míso o fiím rosor (A,, - ) V Defiice Je li = 0, A 0 je jedobodová moži Afií rosor A zýváme fií římo, fií rosor zýváme fií rovio A Defiice 3 Je li T = R (res C), rosor Vě 4 Poždve ) v defiici lze hrdi oždvem ') P A, že zobrzeí - : A Vě 5 zýváme reálý (res omleí) fií, X X - P je vzájemě jedozčé V X A V! Y A, že Y - X = Úmlv: Bod Y, ro erý lí Y - X = ozčíme Y = X + říáme, že bod Y je sočem bod X veor Dále v celém člá zmeá T ěleso slárů změřeí V fiího rosor A Vě 6 X,Y,Z,U A,, v V lí ) X - X = o, ) X - Y = - (Y - X), 3) (X + ) - Y = (X - Y) +, 4) X - (Y + ) = (X - Y) -, 5) (X + ) + v = X + ( + v),

2 6) (X - Y) + (Z - U) = (X - U) + (Z - Y) Pozám: Vzhledem oždv ) z def úmlvě z věo 5 lze defiov soče bod X oečého oč veorů rereě ásledjícím zůsobem ( X ) X + + = Defiice 7 Bdiž dá fií rosor d ělesem T Nechť P je libovolý bod rosor e, e e je báze změřeí V Usořádo ( + )-ici P, e, e e zýváme fií bází rosor, P zýváme očáe fií báze Defiice 8 V rávě jed sořádá -ice je dá báze P, e, e e Kždém bod X je řiřze (,,, ) T, že lí X = P + e + e + + e () Defiice 9 Složy sořádé ice (,,, ) bod X vzhledem fií bázi P, e, e e ] z věy 7se zývjí sořdice Plí li (), zisjeme o X = [, vzhledem P, e, e e Neí li ebezečí edorozměí, íšeme je X = [, ] Zobrzeí, eré ždém bod A řiřzje ici sořdic se zývá fií sosv sořdic Úmlv: Frází veor rosor A o změřeí sořdice (,,, ) V má vzhledem bázi e V má vzhledem fií bázi P, e, e, e, fiího bdeme rozmě sečos, že veor, e e veorového rosor V sořdice,,, ozčov o = (, ) Vě 0 Nechť vzhledem e zvoleé fií sosvě sořdic v fiím rosor (A, V, - ) lí A = [,,, ], B = B = [ b, b,, b ], = (,,, ) A + = [ + + ], B - A = ( b b ) Vě Nechť jso v P zvoley dvě fií sosvy sořdic o bázích P, e, e e, B' = P,e, e e Nechť sořdice P,e, e e vzhledem bázi B jso P' = [ b, b,, ], b e i = ( i, i,, i ),,, ] [,,, ] i =,, zčíme-li sořdice libovolého bod X v bázi B [ v bázi B' = = = řičemž de ( i ) lí Defiice Rovice () se zývjí rsformčí rovice ro řechod od báze B ( )

3 3 bázi B', de ( i ) zýváme deermi říslšé fií rsformce sořdic bod X Defiice 3 Nechť je dá fií rosor = (A, V, - ) d ělesem T Nechť W je odrosor V echť bod E Podmoži všech bodů X fiího rosor, imž eisje veor W, že lí X = E + se zývá odrosor fiího rosor, W se zývá změřeím odrosor Říáme, že odrosor je rče bodem E změřeím W íšeme = {E, W} Dimezí odrosor rozmíme dimezi změřeí W (edy dim = dim W) á-li změřeí W odrosor bázi ozčjeme odrosor = {E, W} éž zůsobem = { E; } Pozám: Bdiž odrosor dimeze fiího rosor (A, V, - ), W jeho změřeí Poom je (, W, - ) fií rosor dimeze Bází odrosor rozmíme jooli bázi fiího rosor (, W, - ) Je zřejmé, že od =, je = A Je-li odmoži A odrosorem fiího rosor A (řesěji odrosorem fiího rosor (A, V, - )), zíšeme o A Defiice 4 V sohlse s defiicí zýváme odrosory dimezí fiího rosor A jeho římmi, res rovimi, odrosory dimeze zýváme drovimi fiího rosor Vě 5 Podrosor je rče jedozčě změřeím W erýmoliv svým bodem zvým zoveím (j = {E; W}), je li A, = {A; W} Vě 6 Nechť E,,, je báze odrosor Bod X je bodem ehdy je ehdy, dyž eisjí, K, T, že lí X = E + (3) Čísl, K, jso bodem X bází rčeá jedozčě Defiice 7 Vzh (3) se zývá veorová rovice odrosor ; se zývjí rmery bod X vzhledem bázi E,,, ebo é viří fií sořdice bod X Vě 8 Nechť je v dá fií sosv sořdic omocí báze B = P, e, e e Bdiž = { E, e, e e odrosor Nechť vzhledem bázi B lí E = [, ], i = ( i, i,,i), i =,, P ro bod X = [, ] lí: X ehdy je ehdy, eisjí-li T, že = = = ) řičemž mice ( má hodos h = i } ( 4 )

4 4 Defiice 9 Rovice (4) se zývjí rmericé rovice odrosor v fií sosvě sořdic o bázi B = P, e, e e, v rosor Vě 0 Průi N odrosorů = {A; W}, N = {B; W'} fiího rosor je bď rázdá moži ebo odrosor fiího rosor V drhém řídě je jeho změřeí růiem změřeí odrosorů N lí dim( N) = dim(w W') Vě Nechť, N jso odrosory rosor Podrosor S fiího rosor zveme sojeím odrosorů, N ozčjeme S = + N, dyž lí ) S, N S, ) lí li ro libovolý dlší odrosor S', S' N S', lí éž S S' Vě Jso dáy odrosory = {A; W}, N = {B; W'} fiího rosor A P + N = {A; W + W' + [ B - A]}, de [ B - A] je odrosor V geerový veorem B - A Defiice 3 Jso dáy odrosory = {A; W}, N = {B; W'} fiího rosor Je li W W' říáme, že je rovoběžý s N íšeme N Vě 4 Je li N, dim dim N Vě 5 N, N Vě 6 Je li N, bď, N emjí solečé body ebo N Vě 7 Je dá odrosor = {B; W } fiího rosor Nechť A, je bod A obsže rávě v jedom odrosor N, ro erý lí dim N = N Vě 8 Jso dáy odrosory = {A; W}, N = {B; W'} N ehdy je ehdy, dyž W' W B - A W Vě 9 Nechť = {A; W}, N = {B; W'}, de báze změřeí W je voře veory báze změřeí W' je voře veory v v h Nechť dim(w + W') = s, dim( + N) = s' P ždá z ásledjících odmíe je odmío o osčjící roo, by růi N byl erázdý: ) s = s', ) B - A W + W', 3) B - A je lieárí ombicí veorů, v v Vě 30 Nechť odrosory, N z věy 8 mjí erázdý růi P lí dim + dim N = dim( N) + dim( + N) Vě 3 Nechť jso dáy odrosory, N fiího rosor A z věy 8 echť lí é sejé ozčeí P ždá z ásledjících odmíe je o osčjící roo, by N byl rávě jedobodový: ) s = s' = dim + dim N, ) B - A W + W', W W' = {o}, 3) B - A je lieárí ombicí veorů, v v h, řičemž veory h

5 5, v v h jso lieárě ezávislé Vě 3 Nechť v je zvole fií sosv sořdic Poom lí: I Ke ždé droviě ρ fiího rosor eisje sořádá ( + )-ice (,, b) ová, že ) (, ) (0,,0), ) ρ = {X, X = [, ]; + + = 0 } II Nechť (,,,, b) je ová sořádá ( + )-ice, že (, ) } je dro- (0,,0), oom moži {X, X = vi rosor [,,, ] ; + + = 0 Defiice 33 Plí li o droviě ρ fiího rosor (A, V, - ), že ρ = {X, X = [, ]; + + = 0 }, (, ) (0,,0) říáme, že ρ má v dé sosvě sořdic obeco rovici + + = 0 Vě 34 Ndrovi ρ = { E,,, v A, de vzhledem dé fií sosvě sořdic je A = [,,, ], libovolý bod, má obeco rovici } (, ), i =,, X = [, ] je její i = i i i = 0 Vě 35 V je dá fií sosv sořdic Aby veor =, řil do změřeí droviy ρ : + + = 0 je é sčí, by jeho sořdice slňovly rovici = ( ) 0 Zobecěím věy 3 je ásledjící vě: Vě 36 Nechť v je dá fií sosv sořdic Poom lí: I Ke ždém odrosor fiího rosor eisje mice ( 5 ) A = b b b (6) ová, že ) odmice

6 6 A = (7) má hodos h = ) = {X, X = [, ]; ( 8)} = 0 = 0 = 0 (8) II Pro ždo mici A' y (6) ovo, že mice A ze (7) má hodos h = je moži = {X, X = [, ]; ( 8)} odrosorem dimeze fiího rosor Defiice 37 Plí li o odrosor, že = {X, X = [, ]; (8)}, de mice A má hodos h =, sosv (8) zýváme sosvo obecých rovic odrosor Defiice 38 Nechť A, B jso dv růzé body fiího rosor Bod X echť je bod římy AB ový, že X B Dělicím oměrem bod X vzhledem sořádé dvojici (A, B) zveme rve T, ro erý lí X - A = (X - B) ozčjeme jej = (ABX) Body A, B zýváme záldími body dělicího oměr Vě 39 Dělicí oměr = (ABX) bodů A, B, X je ěmio body rče jedozčě Vě 40 Nechť A B jso dv body fiího rosor P zobrzeí ϕ, eré ždém bod X římy AB s výjimo bod B řiřzje dělicí oměr = (ABX), je bijeiví zobrzeí možiy bodů římy AB bez bod B moži T \ {} Je li X = A + (B - A) rmericé vyjádřeí římy AB, ϕ: AB \{ } T \ { } B je dáo vzhem = Defiice 4 Nechť jso dáy dv růzé body A, B Bod S = A + (B - A) se zývá sřed sořádé dvojice bodů (A,B) Vě 4 Sřed dvojice (A,B) je rove sřed dvojice (B,A) Defiice 43 Afií rosor d sořádým ělesem T se zývá orieovým, je li jeho změřeí V orieovým veorovým rosorem Afií bázi P, e, e e zveme ldo, je li ldá báze e, e e ve V Pozám: Vše, co je řečeo o orieci fiího rosor, lí i ro všechy jeho odrosory Defiice 44 Zvolme římce fií sosv sořdic o bázi P, Nechť

7 7 X = P +, Y = P + y jso libovolé body římy Zvedeme li biárí relci = odmío X = Y y, je o relce (úlé) sořádáí římy Bdeme je zýv sořádáí rčeé fií sosvo sořdic o bázi P,, že "X je řed bodem Y" ebo "bod Y je z bodem X", dyž X = Y X Y (zisjeme oze X Y) bdeme ří, že "X je rovo Y ebo je řed Y", řídě, že "X je rovo Y ebo Y je z X" v řídě, že X = Y Vě 45 Usořádáí římy rčeé dvěm fiími sosvmi sořdic o bázích P, Q,, T jso sejá rávě dyž > 0 očá rávě, dyž < 0 Vě 46 N římce eisjí rávě dvě sořádáí rčeá fiími sosvmi sořdic jso sobě očá Vě 47 Nechť A,B, A B P eisje rávě jedo sořádáí fií sosvo sořdic, ro eré A = B = římy rčeé Defiice 48 Nechť A, B sořádáí = ové, že A = B Řeeme, že bod C leží mezi body A, B, dyž A = C = B Vě 49 Nechť A,B,C, A B Bod C leží mezi body A, B rávě dyž (ABC) < 0 Defiice 50 Nechť A, B, A B evřeo úsečo AB s ocovými body A, B zveme moži bodů X římy AB, eré leží mezi body A, B Uzvřeo úsečo AB zveme moži AB = AB {A} {B} Je li A = B, ldeme AB = {A} Vě 5 Nechť A,B X = A + (B - A), de 0, A B P úseč AB je moži bodů X ových, že Defiice 5 ějme změřeí V fiího rosor d sořádým ělesem T Nechť W je odrosor V N možiě Z = V \ W zvedeme relci (mod W ) ásledjícím zůsobem: (9), y Z, y (mod W ) = + cy, de c > 0, W (zde míso (mod W ) y íšeme ( y (mod W )) Relci čeme: je sohlsý s y odle modl W Vě 53 Relce (9) je relcí evivlece možiě Z K í říslšý rozld možiy Z má rávě dvě řídy Defiice 54 V A d sořádým ělesem T je dá drovi = {A;W } veor V \ W = Z oži bodů X fiího rosor, imž eisje veor, že X = A +, (mod W ) zýváme oevřeý olorosor rčeý drovio veorem ; ozčjeme (, ) oži bodů

8 8 X = A +, - (mod W ) zýváme oevřeý olorosor očý ozčjeme (,-)Ndrovi zýváme hričí drovio olorosorů ožiy, res zýváme zvřeé olorosory Pro = olorosor zýváme olořímo, ro = olorovio Vě 55 Hričí drovio jso rčey rávě dv oevřeé (res zvřeé) olorosory v Vě 56 Nechť je oevřeý olorosor v X, Y P XY = Vě 57 Nechť je zvřeý olorosor v X, Y P ro oevřeo úseč lí XY - = s hričí drovio, hričí drovio Vě 58 Je li v báze P, e, e e - = P, e, e e, X = [,, ], Y = [ y,,y ] ří do éhož oevřeého olorosor s hričí drovio ehdy je ehdy, dyž y > 0 Vě 59 Nechť drovi v dé fií sosvě sořdic má rovici A A 0 = 0 Pro ždo (,, ) T oložme f(,, ) = A + A A 0 Poom je jede z zvřeých olorosorů rčeých drovio možio {X A, X = [,, ] f(,, ) 0}, zbývjící z ich možio {X A, X = [,, ] f(,, ) 0} Vě 60 Nechť R jso dvě růzé rovoběžé droviy fiího rosor Poom ždá z ich je obsže rávě v jedom oevřeém olorosor rčeém zbývjící z ich Defiice 6 Nerázdo moži bodů K zýváme oveí možio, lí li, je li X, Y K, úseč XY K Prázdo moži oládáme rověž z oveí Vě 6 Koveí možiy římce jso: celá řím, oevřeá ebo zvřeá olořím, oevřeá ebo zvřeá úseč, bod rázdá moži Vě 63 Průi libovolého oč oveích moži je oě oveí moži Vě 64 Podrosor fiího rosor je oveí moži Defiice 65 V fiím rosor jso dáy dvě růzé rovoběžé droviy R Nechť je olorosor rčeý drovio R obshjící drovi je olorosor rčeý drovio obshjící drovi R P moži zýváme vrsvo Nechť v jso dáy růzoběžé droviy R Nechť je libovolý olorosor rčeý drovio R je libovolý olorosor rčeý drovio P moži zýváme líem Je li = vrsv zýváme ásem, lí úhlem Defiice 66 Body A 0, A,, A - A 0, A - A 0,, A 0 lieárě ezávislé, zýváme geomericy ezávislé, jso li veory Pozám: Nechť A 0,, A r jso geomericy ezávislé body Poom fií odrosor r = {A 0 ; A - A 0,, A r - A 0 } je zřejmě jediým odrosorem dimeze r obshjící body

9 9 A 0,,A r Říáme, že r je rče geomericy ezávislými body A 0,,A r Defiice 67 Nechť K je odmoži v Průi všech oveích moži, eré obshjí moži K se zývá oveím oblem možiy K ozčje se K(K) Defiice 68 Koveí obl oečé možiy K bodů z zýváme oveím mohosěem v Body možiy K zýváme vrcholy mohosě ierr: Sei ol, Geomerie I, II, Sáí edgogicé ldelsví Prh 986, 988 B Bydžovsý, Úvod do lyicé geomerie, Prh 956 Bsem, Kelly: Projecive Geomery d Projecive erics Acdemic Press New Yor 953 Rsý řeld, osv 957 K Bri, Geomerie I, srim PF, srv 984 E Peschl, Alyicá geomerie lieárí lgebr, Prh 97 V Hvel, J Holed, ieárí lgebr, SNT/AFA, Prh 984 B Bdísý, Alyicá difereciálí geomerie, SNT, Prh 983 J Jyš, A Seiová, Alyicá eorie želoseče vdri, sri U, Bro 996 P Horá, J Jyš, Alyicá geomerie, sri U, Bro 997 E Čech, Záldy lyicé geomerie, Prh 95 J Jchová, rová, H Žáová, Cvičeí z geomerie I, srim UP, lomoc 99

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy: 3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků: ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě. Přednášky jsou každý pátek, cvičení tedy vždy předcházejí přednášky.

P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě. Přednášky jsou každý pátek, cvičení tedy vždy předcházejí přednášky. ýde ozám: Odpředášeá ém obrvuji žluě ředášy jsou ždý páe, cvičeí edy vždy předcházejí předášy ) ojmy: Difereciálí rovice, obyčejá dif rovice, řád rovice, řešeí rovice ( eprázdé možiě, iervlu), iegrálí

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

Geometrické modelování. Diferenciáln

Geometrické modelování. Diferenciáln Geomerické modelováí Difereciál lí geomerie křivekk Křivky v očía ačové grafice Geomerická ierreace Každý krok algorimu má svůj geomerický výzam Flexibilia korola ad růběhem křivky, možos iuiiví ediace

Více

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět:

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět: 5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ RAVDĚODOBNOSTI Čas e sudiu aioly: 0 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee umě: charaerizova hyergeomericé rozděleí charaerizova Beroulliho ousy a z ich odvozeé jedolivé yy disréích

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku Cvičeí z ieárí agebry 4 Vít Vodrák Cvičeí č Determiat a vastosti determiatů Výpočet determiat djgovaá a iverzí matice Cramerovo pravido Determiat Defiice: Nechť je reáá čtvercová matice řád Čtvercovo matici,

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

GEOMETRIE I. Pavel Burda

GEOMETRIE I. Pavel Burda GEOMETRIE I Pavel Burda Obsah Úvod... 4 1. Vektorové prostory... 5. Vektorové prostory se skalárím ásobeím... 9. Afií prostory... 19 4. Afií přímka ( A 1 )... 5 5. Afií rovia (A )... 6 6. Afií prostor

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzt N Rybíčku, 746 0 Opv DENNÍ STUDIUM Alytcká geoetre Té 5.: Shodá zobrzeí Defce 5.. Zobrzeí f eukldovského prostoru E do eukldovského prostoru E se zývá shodé (zoetrcké),

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim KAPITOLA 4: 4 Úvod Derivace fkce [MA-8:P4] Moivačí příklady: okamžiá ryclos, směrice ečy Defiice: Řekeme, že fkce f má v bodě derivaci [ derivaci zleva derivaci zprava ] rov čísl a, jesliže exisje [ x

Více

8. Laplaceova transformace

8. Laplaceova transformace 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce 8 Llceov rsformce Defiice 8 (Llceov rsformce) Nechť f je komlexí fukce jedé reálé roměé j f Zobrzeí L keré éo fukci řiřdí komlexí fukci komlexí roměé F j F vzhem L

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzta Na Rybíčku, 746 0 Opava DENNÍ STUDIUM Aalytcká geometre Téma 3.: Aí zobrazeí Dece 3.. Zobrazeí aího prostoru A do aího prostoru A se azývá aí zobrazeí, estlže má ásleduící

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uiverzit Krlov v Prze Pedgogiká fklt SEMINÁRNÍ PRÁCE Z LGERY ELEMENTY LINEÁRNÍ LGERY 999/ CIFRIK PŘEHLED DEFINIC POJMŮ iárí rele R iárí rele R mezi možimi moži Pro dv prvky b (prvek) je v reli R s (prvkem)

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1

( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1 Úrvy lgebrických výrzů Mociy odmociy Pro kždé reálé r, s kždé > 0, b > 0 (res ro kždé celé r, s kždé 0, b 0 ltí: r 0 s rs, r r ( b b r r r r s r+ s b b r s rs b : b Dále ltí +, (, ( Je-li N, 0, eistuje

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

1. Přirozená topologie v R n

1. Přirozená topologie v R n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Pel Pech Česé Bdějoce 4 JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Pel Pech Česé

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

VÝPOČET INVERZNÍ TRANSFORMACE D POMOCÍ ALGORITMU ILT

VÝPOČET INVERZNÍ TRANSFORMACE D POMOCÍ ALGORITMU ILT VÝPOČE INVERZNÍ RANSFORMACE D POMOCÍ ALGORIMU IL Do. Ig. Dbor Boe CS. VA Bro er eeroehy eeroy 4 Ig. Ver Boová FEI VU Bro Úv roeeroy rfore D ( J. Her ÚRE ČAV Prh) řeváí ogový gá oouo že jou roí o ého vorováí

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

4. Analytická geometrie v prostoru

4. Analytická geometrie v prostoru . alcá geomee v oso V aalcé geome so geomecé obe chaaeová omocí číselých údaů. Vlasos geomecých obeů so sdová v edom e í osoů: ooměý eledovsý oso, o. E (oso), dvooměý eledovsý oso, o. E (ova), edooměý

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

Předmět: SM 01 Rovinné příhradové konstrukce

Předmět: SM 01 Rovinné příhradové konstrukce Přdmět: SM 0 Rovié říhrdové kostrukc rof. Ig. Michl POÁK, CSc. Fkult stvbí, ČVUT v Prz Rovié říhrdové kostrukc: Kostrukc j vytvoř z římých rutů, Pruty jsou vzájm osojováy v bodch styčících, Vzájmé sojí

Více

Ě Ý Í Č ě ř ŠÍ Á Ú Ř Ž ú Ž Ž Ú ž ě ů ž ý ř ď ř ů ů ž ý ě ř ř ě ě ý ú ď ž ý ě ě ř Í ž ý ý ě ý ú ď ž ý ý ů ě ý ž Ž Í ř ž ě ž ě ý ú ď ž é ř ý ž ď ž ř ů ý ř ý é ú ž ř é ž ů ř é é ů é ř ě é ž ě ý ř é é ř Ž

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

ů ů ď

ů ů ď ň ň ň ú ť É Ň ž ů ů ď ď ň ň ť ň ž Ě Í ň Ú ď ž ň ž ě ě Ú ž ž ž ď ž ž Ž ď ď ň ž É Ě ž ž Ž Š ď ď ž ě ž Ě ž ď ž ň ě ě ž Š ž ž ň Ě ž ž Ú Ú Š Ě ž ž ě Ž ě ě Í ě Ú ž ň ž ž Ť Ť ž ě ž Ž ě ě ď ž ě ě ě ď ž ž ž ž ě

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

ř ěž Ú Í ř Í Í Ž ř Ž Í Ž Ú ž ň ú ř Í Ú ž š ě ň ú Í Í Ó Č š

ř ěž Ú Í ř Í Í Ž ř Ž Í Ž Ú ž ň ú ř Í Ú ž š ě ň ú Í Í Ó Č š Ú ú Č ř ě ě Č ř ěž ú Í ř ě ě ž ň řž ú Ú ě ř Í ř ěž Ú Í ř Í Í Ž ř Ž Í Ž Ú ž ň ú ř Í Ú ž š ě ň ú Í Í Ó Č š ř Í ěž ú ř Š Š Í ř ř š ě Í Ž ň ř ě ň Í ř ě ř ř ě ě Í Í Í ě Í ř ě Í ř ěž Ú š Í ř ň ř ú ř Ž ú ř Ú

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Lineární zobrazení. 90 ve směru od z k x a symbolem h otočení kolem osy z o. 2 n

Lineární zobrazení. 90 ve směru od z k x a symbolem h otočení kolem osy z o. 2 n ieárí zbrzeí V prstru je dá krtézský systém suřdic Oyz Ozčme symblem f tčeí klem sy 9 ve směru d y k z symblem g tčeí klem sy y 9 ve směru d z k symblem h tčeí klem sy z ) Určete suřdice bdů f ( M ) (

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Přehled modelů viskoelastických těles a materiálů

Přehled modelů viskoelastických těles a materiálů Přehled modelů vskoelsckých ěles merálů Klscké reologcké modely Klscké reologcké modely vycházejí z předsvy, že chováí ěles lze hrd chováím sysému složeého z pruž písů, edy z ookeových ewoových ěles. ookeovo

Více

Odchylka přímek

Odchylka přímek 734 Odchylka římek Předoklady: 708, 7306 Pedagogická ozámka: Pokd chcete hladký růěh začátk hodiy, je leší dořed ozorit žáky, že do otřeoat zorec ro úhel do ektorů Př : Urči úhel, který sírají ektory (

Více

Content. 1. Úvodní opakování Mocnina a logaritmus. a R. n N n > 1

Content. 1. Úvodní opakování Mocnina a logaritmus. a R. n N n > 1 Cotet Úvodí opováí Moci logritmus Goiometricé fuce Zobrzeí jeho záldí vlstosti O možiě R 4 O možiě ompleích čísel 5 Oolí bodu (v R v C 6 Číselé poslouposti 6 Záldí vlstosti 6 Limit poslouposti 6 Aritmeti

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Č š ř ř ř ř š ř Č Ř ň ž ř ř ý ř ř ž š ž š ř ň ý ř ú ý ř š ř ů ý ú š ž ž ř ř ř ž Ž š ř š Ž ř ž š š

Č š ř ř ř ř š ř Č Ř ň ž ř ř ý ř ř ž š ž š ř ň ý ř ú ý ř š ř ů ý ú š ž ž ř ř ř ž Ž š ř š Ž ř ž š š ý š Ú ž š ž š ý ž ř Ť šť Č ý ň ř ž ú š ý ž ý ř ů ž ž ř ř ý ů š ň ý ú ř šť š ý ú ž ý ú ó ú š š ů ř Č š ř ř ř ř š ř Č Ř ň ž ř ř ý ř ř ž š ž š ř ň ý ř ú ý ř š ř ů ý ú š ž ž ř ř ř ž Ž š ř š Ž ř ž š š ř Ž ý

Více

ú í í ů í í ů í ů ě ě ú ú Ú Ú ž í š í ě í ú í Š Ú ě í í ů ů í ň ě í ě í í ň í í í

ú í í ů í í ů í ů ě ě ú ú Ú Ú ž í š í ě í ú í Š Ú ě í í ů ů í ň ě í ě í í ň í í í ú Č í ěž í ú í ú ů ě í Č í ú š ú í ě Č í ú í ť ť ť Ě Á ť ú í í ů í í ů í ů ě ě ú ú Ú Ú ž í š í ě í ú í Š Ú ě í í ů ů í ň ě í ě í í ň í í í í ěž í í í ů ú ž Ž í ů í í ž í í í ů ž ší ě ž ší ě í í í ě í ě

Více

ě ř é š ó ó š Š Í ř ř ř ý ř é ř ě ě Ú ř Ú ž ž ř š ě ř š Í

ě ř é š ó ó š Š Í ř ř ř ý ř é ř ě ě Ú ř Ú ž ž ř š ě ř š Í Í š ě ř é š ó ó š Š Í ř ř ř ý ř é ř ě ě Ú ř Ú ž ž ř š ě ř š Í Í Á Í Ó Ú é š ě ý ě é é Ť ú ř é ě Ť š é ěř ů ý Í Š ě ů ť ě ě ť ř ř ěš š ú š ě ŽČ Í é ě ž Š ě ů ě Š é ř ě ěš é ř ý Í ý ř ě ěž ř é Žů Ž ě ě ř

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více