Aplikovaná numerická matematika
|
|
- Jaroslav Dvořák
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Aplikovaná numerická matematika 1. Úvod do ANM doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů Informatika pro novou fakultu ČVUT je spolufinancována Evropským sociálním fondem a rozpočtem Hlavního města Prahy v rámci Operačního programu Praha adaptabilita (OPPA) projektem CZ.2.17/3.1.00/31952 Příprava a zavedení nových studijních programů Informatika na ČVUT v Praze. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
2 Obsah přednášky Numerické výpočty, vznik chyb při zpracování dat Chyby a jejích odhad Chyby při výpočtu hodnot funkcí Obrácena úloha k výpočtu hodnot funkci Podmíněnost úloh Numerická stabilita metody - algoritmu Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou Zaokrouhlovací chyby v aritmetice s konečnou přesností R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
3 Numerické výpočty, vznik chyb při zpracování dat (1) Numerická matematika se zabývá postupy, pomocí kterých je možné řešit matematické problémy aritmetickými operacemi. Při fyzikálních problémech obyčejně vytvoříme vhodný matematický model, který se svými vlastnostmi podobá fyzikální realitě, ale nemusí opisovat skutečnost přesně. Častokrát se musí nahradit některé matematické operace nebo postupy přibližnými řešeními jako např.: hodnoty derivace nebo integrálu. Vhodně zvolenou numerickou metodou převedeme matematickou úlohu na numerickou úlohu. To znamená jednoznačný popis funkčního vztahu mezi konečným počtem vstupných a výstupních údaj. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
4 Numerické výpočty, vznik chyb při zpracování dat (2) Numerické řešní problémů je obyčejně zatíženo chybami: chyby způsobné aproximaci modelů, tkz. chyby matematického modelu numerickou metodou nahradíme všechny teoretický nekonečné procesy konečnými a tento typ chyb jsou chyby metody operace prováděné na počítači nejsou úplně přesné protože získané hodnoty jsou zaokrouhlované, potom se dopouštíme zaokrouhlovacích chyb Nesmíme ještě zapomenout na skutečnost, že fyzikální realitu nám popisují naměřená data, která jsou také zatížená chybami souvisejícími s procesem měření, tj. např. chyby metody měření, chyby měřících přístrojů, statistické fluktuace atd. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
5 Chyby a jejích odhad (1) Definice chyby Necht x je přesná hodnota a x je přibližná hodnota čísla. Potom pro chybu E přibližné hodnoty platí: x =? E = (? x) =? E = x x Definice absolutní chyby a jejího odhadu Pro absolutní chybu E přibližného čísla x platí: E = x x. Odhadem absolutní chyby je každé nezáporné číslo ε(x) x x Je zřejmé, že platí: x ε(x) x x + ε(x). Zapisujeme: x = x ± ε(x) R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
6 Chyby a jejích odhad (2) Definice relativní chyby a jejího teoretického odhadu Relativní chybou přibližného čísla x je nezáporné číslo R = E x Teoretický odhad relativní chyby přibližného čísla x je číslo δ(x), pro které platí: R δ(x), obvykle δ(x) = ε(x) x. Příklad: V případě úpravy přesného čísla x zaokrouhlováním na n desetinných míst je ε(x) = 0, 5.10 n. Když poznáme aproximaci x čísla x říkáme, že k -te desetinné místo aproximace x je platné pokud platí: x x 0, 5.10 k. Číslo a = 1, 4142 je aproximací 2 na 4 desetinné místa, protože: 2 1, 4142 = 1, , 4142 < 0, R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
7 Chyby při výpočtu hodnot funkcí (1) Chyba při výpočtu hodnot funkcí Jaký je odhad chyby, která vznikne při výpočtu funkční hodnoty funkce f, která je diferencovatelná v def. oblasti, X = (x i ), X = (x i ) a ε(x i ) x i x i jsou "dostatečně"malé, a kde i = 1, 2,..., n. Odhad absolutní chyby funkční hodnoty ε(u), kde u = f (X) pomocí Taylorova rozvoje při zanedbání druhých a vyšších členů můžeme vyjádřit: u u = f (X) f (X) n i=1 f (X) x i ε(x i) = ε(u) Pro odhad relativní chyby funkční hodnoty dostáváme: δ(u) = ε(u) = 1 n f (X) u u x i ε(x i) i=1 R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
8 Obrácená úloha k výpočtu hodnot funkce (1) Obrácená úloha k výpočtu hodnot funkce Určete odhady absolutních chyb ε(x i ) přibližných hodnot x i tak aby absolutní chyba funkční hodnoty funkce n reálných proměnných nebyla větší než předem zadaná hodnota ε(u). 1. Předpoklad: všechny parciální diferenciály f (X) x i ε(x i), i = 1, 2,..., n mají stejný vliv na absolutní chybu ε(u) funkce u = f (X), tj. n f (X) ε(u) = x i ε(x f (X) i) = n x i ε(x i), i = 1, 2,..., n. i=1 R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
9 Obrácená úloha k výpočtu hodnot funkce (2) ε(u) Potom pro i = 1, 2,..., n dostáváme: ε(x i ) = f (X). n x i 2. Za předpokladu, že odhady absolutních chyb ε(x i ) jsou stejné, tj. ε(x 1 ) = ε(x 2 ) = = ε(x n ) = ε platí: ε = ε(u) n f (X). x i i=1 3. Za předpokladu, že všech relativních chyb vstupních proměnných jsou stejné ε(x 1 ) x 1 = ε(x 2) x 2 = = ε(x n) x n = k R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
10 Obrácená úloha k výpočtu hodnot funkce (3) Potom pro odhad ε(x i ) pro i = 1, 2,..., n dostáváme: ε(x i ) = k x i = x i ε(u) n x i f (X). x i Příklad: Necht poloměr kruhu r =. 25 cm. S jakou přesností musí být určen poloměr r a číslo x =. π, tak, aby plocha kruhu S = xr 2 byla určená s přesností ε( S) = 0, 1 cm 2? Předpokládejme, že odhady relativních chyb vstupních proměnných x a r jsou stejné. Potom pro odhad absolutních chyb ε( x) a ε( r) platí podle předchozího vztahu 3, 14 0, 1 ε( x) = 3, , = , ε( r) = i=1 25 0, 1 3, , = 4, R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
11 Podmíněnost úloh (1) Řešení numerických úloh - postup, který přiřazuje vstupným údajům výstupní Je důležité ptát se jakým způsobem ovlivňuji chyby vstupních hodnot přesnost výsledku. Definice podmíněnosti úloh Úloha je dobře podmíněná, pokud malé chyby vstupních údajů relativně málo změní výstupní údaje. V opačném případě budeme mluvit o špatně podmíněných úlohách. Jako míru podmíněnosti definuje číslo podmíněnosti úlohy C, které určuje velikost změn C = relativní chyba výstupních dat relativní chyba vstupních dat R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
12 Podmíněnost úloh (2) Poznámka Pro dobře podmíněné úlohy je C 1. Pro C 1 říkáme o špatně podmíněné úloze. Příklad: Špatně podmíněnou úlohu je tato soustava lineárních rovnic: 2x + 6y = 8 2x y = Řešení: x = 1 a y = 1. Pro malou relativní změnu u prvků a 22 a b 2 má soustava 2x + 6y = 8 2x y = řešení: x = 10 a y = 2. Prvky inverzní matice jsou řádu Malá změna vstupních dat způsobila velký rozdíl v řešení. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
13 Numerická stabilita metody - algoritmus Počítač má konečný počet stavů aritmetika s konečnou přesností zaokrouhlovací chyby. Numerický výpočet je ovlivněn zaokrouhlovacími chybami vznikající při numerických výpočtech prováděných na počítači v aritmetice s konečnou přesností. Zajímá nás, zda je algoritmus stabilní vůči zaokrouhlovacím chybám, tj. jestli výsledek výpočtu je dostatečně přesná aproximace řešení. Na to má vliv existence a šíření zaokrouhlovacích chyb při provádění elementárních aritmetických operací Bude záležet na algoritmu a na pořadí prováděných aritmetických operací v tomto algoritmu. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
14 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (1) Při zvoleném typu zobrazeni čísel a při předepsané délce pamět ového místa je možné v počítači zobrazit pouze konečný počet čísel - počítač má konečný počet stavů! Potom mluvíme o konečné aritmetice - aritmetice s konečnou přesností. Množina reálních čísel je v počítači reprezentovaná svojí konečnou podmnožinou F R, kterou nazýváme soustavou čísel s pohyblivou řádovou čárkou (floating point number systém). Její prvky lze zapsat ve tvaru y = ±m β e t, kde celé číslo β je základem (obvykle 2), celé číslo t určuje přesnost, celé číslo m je mantisa v rozsahu 0 m < β t 1 a celočíselné e je exponent. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
15 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (2) Množina F je plně určena parametry β, t a horní resp. dolní mezí celočíselného exponentu, e min e e max. Prvky y konečné množiny F můžeme názorněji zapsat ve tvaru: y = ±β e ( d 1 β + d 2 β d t β t ) = ±βe 0.d 1 d 2... d t, kde pro číslici d i platí: 0 d i β 1. Zápis 0.d 1 d 2... d t představuje číslo v číselné soustavě se základem β. Pokud m β t 1 pro y 0 pak d 1 0 a tento systém nazýváme normalizovaný R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
16 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (3) IEEE standardní aritmetiky IEEE - β = 2 a rozlišuje dva základní formáty čísel v pohyblivé řádové čárce: jednoduchá přesnost ± exponent mantisa s g 1... g 8 d 2... d 24 dvojitá přesnost ± exponent mantisa s g 1... g 11 d 2... d 53 V případě jednoduché přesnosti je na exponent vyhrazeno 8 bitů a je možné v nich representovat číslo 0 až 255. Číslo ( ) 2 = 0 a číslo ( ) 2 = 255 mají speciální význam. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
17 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (4) Potom pro exponent zbývají hodnoty 1 až 254, Hodnota exponentu je vyjádřená pomocí aditivního kódu, pro který platí (e + 126) < 1, 254 >, tj. hodnota exponentu e je v rozmezí e min = 125 e 128 = e max. Pro mantisu je vyhrazeno 23 bitů a vzhledem k normalizaci je cifra d 1 = 1 a nezapisuje se. Potom pro nenulové číslo uložené v pohyblivé řádové čárce a jednoduché přesnosti platí y = ±2 (g 1...g 8 ) (0.1d 2 d 3... d 24 ) 2 a potom y ( ) R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
18 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (5) Pro čísla v pohyblivé řádové čárce platí, že nejsou vzhledem k R rovnoměrně rozložena. Pro rozdíl po sobě jdoucí dvou čísel z množiny F, y 2 > y 1, mající stejný exponent e platí y 2 y 1 = 2 e Zavedení strojové přesnosti ε M - vzdálenost čísla 1.0 od nejbližšího vyššího čísla, charakterizujeme rozložení čísel v množině F. Potom platí ε M = = 2 23 a vzdálenost libovolného normalizovaného čísla x od svých sousedů je z intervalu < ε M x /2, ε M x >. V případě pouze normalizovaných čísel množiny F by nebylo možné zobrazit žádné z čísel z intervalu < 2 126, >. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
19 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (6) Proto IEEE aritmetika pro množinu F definuje tzv. subnormální čísla, tj. nenulová nenormalizovaná čísla s exponentem ( ) 2 = 0, definované vztahem a pro jednoduchou přesnost y = ±m β e min t, 0 < m < β t 1, y = ±m 2 149, 0 < m < Pokud mantisa i exponent jsou nulové, dostaneme reprezentaci ±0, kde norma zajišt uje: +0 = 0. Pro exponent rovný 255 = ( ) 2 a mantisa je nulová zajišt uje norma, že zobrazené číslo je definováno jako ±. Pokud je exponent rovný 255 = ( ) 2 a mantisa je nenulová pak je obsah interpretován jako NaN (Not a Number). R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
20 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (7) Tabulka pro jednoduchou přesnost. exponent numerická hodnota čísla ( ) 2 = (0) 10 ±(0.0d 2 d 3... d 24 ) ( ) 2 = (1) 10 ±(0.1d 2 d 3... d 24 ) ( ) 2 = (126) 10 ±(0.1d 2 d 3... d 24 ) ( ) 2 = (127) 10 ±(0.1d 2 d 3... d 24 ) ( ) 2 = (254) 10 ±(0.1d 2 d 3... d 24 ) ( ) 2 = (255) 10 ± pokud d 2 = d 3 =... d 24 = 0 NaN jinak R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
21 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (8) Pokud v v IEEE aritmetice nastane vyjímečný případ, je výsledek generován podle nasledující tabulky. typ vyjímky příklad výsledek nedefinovaná 0/0,0, NaN operace 1 přetečení ± dělení nenulového ± čísla nulou podtečení subnormální čísla Přetečení je případ, kdy je přesný výsledek operace v absolutní hodnotě větší, než největší číslo z F. Podtečení je případ, kdy je přesný výsledek operace v absolutní hodnotě menší, než nejmenší kladné normalizované číslo. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
22 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (9) Charakteristiky pro aritmetiku s dvojitou přesnosti je možné analogicky odvodit. Porovnání IEEE aritmetiky s s jednoduchou a dvojitou přesnosti uvadí nasledující tabulka. přesnost #bitů m e zaokrouh. rozsah jednotka u jednod (+1) ± dvojitá 64 52(+1) ± R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
23 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (10) Přesnost zobrazení reálného čísla v IEEE aritmetice Přesnost aproximace je charakterizována zaokrouhlovací jednotkou u = (1/2)β 1 t = (1/2)2 23 = Věta Necht x R leží mezi nejmenším a největším číslem množiny F. Označíme-li flp zobrazení z R do F, pak platí kde u je zaokrouhlovací jednotka. flp(x) = x(1 + δ), δ < u, Pro matematické operace (+,,, /) v IEEE aritmetice platí, že se vykonají jako kdyby byly nejprve provedeny přesně (s nekonečnou přesnosti) a pak je výsledek zaokrouhlen na nejbližší číslo F. V případě nerozhodnosti se zaokrouhluje dolů. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
24 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou (11) Jsou-li x, y, F, pak platí flp(x ± y) = (x ± y)(1 + δ 1 ) δ 1 u flp(x y) = (x y)(1 + δ 2 ) δ 2 u flp(x/y) = (x/y)(1 + δ 3 ) δ 3 u Zdá se, že zaokrouhlovací chyby jsou velmi malé (viz Věta), a tudíž dá se předpokládat, že vliv na provádění numerických výpočtů nebude velký, kromě velkého počtu operací s extrémně velikými čísly. Ale... R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
25 Zaokrouhlovací chyby v aritmetice s konečnou přesností (1) Problém krácení cancellation. Uvažujme funkci f (x) = (1 cos x)/x 2. Pro x = 1, je hodnota c = cos x zaokrouhlená na 10 desetinných míst rovna c = 0, S vyčíslením hodnoty f (1, ) (1 c)/x 2 = /(1, ) = 0, , a to je špatně, protože 0 f (x) 1/2 pro x 0. Přestože hodnota cos x byla aproximována s přesností na 10 desetinných míst, výsledek výpočtu neaproximuje správnou hodnotu ani s přesností na 1 desetinné místo. Výpočet (1 cos x) byl proveden přesně, ale hodnota c byla určená nepřesně vzhledem k operaci odečítání a následného dělení číslem x 2 = 1, R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
26 Zaokrouhlovací chyby v aritmetice s konečnou přesností (2) Díky krácení platných cifer stejného řádu u poslední operace dělení byl výpočet f (x) proveden nepřesně. Takto se významnost nepatrné chyby hodnoty c posunula o deset řádů a značně ovlivnila celý další výpočet, byt byl proveden přesně katastrofické krácení. Popišme si krácení pomocí vztahů uvedené věty a vztahů na slidu č. 24. Necht x a ỹ jsou zatížené jistou chybou, potom x = x(1 + x) a ỹ = y(1 + y). Necht chyby x resp. y jsou malé vzhledem k velikosti hodnot x resp. y a mohou být způsobené předcházejícím výpočtem a následným zaokrouhlením, pak platí x = flp(x), ỹ = flp(y) a x u, y u. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
27 Zaokrouhlovací chyby v aritmetice s konečnou přesností (3) Proved me přesný součet čísel s = x + ỹ s tím, že čísla x a ỹ mohou mít opačná znaménka, tj. součet představouje ve skutečnosti rozdíl: kde s = x + ỹ = x(1 + x) + y(1 + y) = x + y + x x + y y = (x + y)(1 + s), s = x x + y x + y x + y y. Malé hodnoty x a y nezaručují malou hodnotu s, protože pokud x (x + y) a zároveň x 0, nebo y (x + y) a zároveň y 0, bude chyba relativně velká. Je vidět, že krácení způsobuje "zesílení"předchozích chyb obsažených v datech. Pokud dojde ke krácení při odečtení dvou přesných hodnot nestává se samotné krácení nebezpečným. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
28 Zaokrouhlovací chyby v aritmetice s konečnou přesností (4) Problém špatné formulace úlohy. Pokusme se najít dobrou numerickou aproximaci hodnoty e s použitím vztahu e = lim n (1 + 1/n) n, kde limitu nahradíme prostým výpočtem hodnoty f (x) = (1 + 1/n) n pro dostatečně velké n. Použitím aritmetiky s jednoduchou přesností je pro n = 10 lepší aproximaci čísla e než pro n = Příčina: sčítání 1 + 1/n pro n 1, tj. sčítání relativně velkého čísla s malým. Hodnota druhého sčítance je řádově stejná jako hodnota zaokrouhlovací jednotky! další operace umocnění na n-tou spůsobuje velkou chybu. R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
29 Zaokrouhlovací chyby v aritmetice s konečnou přesností (5) Problém sčítání řad. Z teorie Fourierových řad platí k=1 k 2 = π2 6. Za předpokladu, že uvedenou identitu nepoznáme, pokusíme se najít součet řady numerickým sčítáním ( (( ) ) ) + ) + m 2 ), kde m je určené jako nejmenší celé číslo, jehož zahrnutí do výpočtu již nezmění vypočtený součet, tj. m 2 < (m 1 k=1 k 2) u, R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
30 Zaokrouhlovací chyby v aritmetice s konečnou přesností (6) kde u je zaokrouhlovací jednotka. Výsledek výpočtu bude nepřesný a to z důvodu pomalé konvergence řady, tj. zbytek řady k 2 > m 2. k=m Řešení uvedeného problému je v použití speciálních technik zvyšujících přesnost nebo použití vhodné identity a řady konvergující mnohem rychleji. Změna pořadí sčítanců není řešením! R. Lórencz (ČVUT FIT) Úvod do ANM PI-ANM, 2011, Předn / 30
Aplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceČísla v plovoucířádovéčárce. INP 2008 FIT VUT v Brně
Čísla v plovoucířádovéčárce INP 2008 FIT VUT v Brně Čísla v pevné vs plovoucí řádové čárce Pevnářádováčárka FX bez desetinné části (8 bitů) Přímý kód: 0 až 255 Doplňkový kód: -128 až 127 aj. s desetinnou
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceÚvod do problematiky numerických metod. Numerické metody. Ústav matematiky. 6. února 2006
Numerické metody Doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky Fakulta strojního inženýrství Vysoké učení technické v Brně 6. února 2006 Obsah Úvod do problematiky numerických
VíceData v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty
Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 38 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 2 3 4 5 6 2 / 38 2 / 38 čárkou Definition 1 Bud základ β N pevně dané číslo β 2, x bud reálné číslo s
VíceZákladní principy zobrazení čísla Celá čísla s pevnou řádovou čárkou Zobrazení reálných čísel Aritmetika s binárními čísly
Počítačové systémy Zobrazení čísel v počítači Miroslav Flídr Počítačové systémy LS 2007-1/21- Západočeská univerzita v Plzni Vážený poziční kód Obecný předpis čísla vyjádřeného v pozičním systému: C =
VíceNumerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_143_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceArchitektury počítačů
Architektury počítačů IEEE754 České vysoké učení technické, Fakulta elektrotechnická A0M36APO Architektury počítačů Ver.1.20 2014 1 Fractional Binary Numbers (zlomková binární čísla / čísla v pevné řádové
VíceExponent. Integer 4 bajty až Double Integer 8 bajtů až
1. Opakování teorie 1.1. Reprezentace čísel v počítači Celá čísla (přesné výpočty, velmi omezený rozsah): INTEGER => 2 byty = 16 bitů => 2 16 čísel LONGINT => 4 byty = 32 bitů => 2 32 čísel
VíceAlgoritmy I. Číselné soustavy přečíst!!! ALGI 2018/19
Algoritmy I Číselné soustavy přečíst!!! Číselné soustavy Každé číslo lze zapsat v poziční číselné soustavě ve tvaru: a n *z n +a n-1 *z n-1 +. +a 1 *z 1 +a 0 *z 0 +a -1 *z n-1 +a -2 *z -2 +.. V dekadické
VíceStruktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5 doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii
VíceČíselné soustavy v mikroprocesorové technice Mikroprocesorová technika a embedded systémy
Ústav radioelektroniky Vysoké učení technické v Brně Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Mikroprocesorová technika a embedded systémy Přednáška 8 doc. Ing. Tomáš Frýza, Ph.D. listopad 2012 Obsah
Více1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači
1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači 2. Reprezentace čísel v Pascalu celá čísla Typ Rozsah Formát shortint 128..127
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.
Více2.1 Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou
Kapitola 2 Aritmetika počítače V této kapitole se budeme zabývat vlivem zaokrouhlovacích chyb, které vznikají při numerických výpočtech prováděných na počítači v aritmetice s konečnou přesností. Bude nás
VíceStruktura a architektura počítačů (BI-SAP) 6
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 6 doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Program semináře 1. Základní pojmy - metody měření, druhy chyb, počítání s neúplnými čísly, zaokrouhlování 2. Chyby přímých měření - aritmetický průměr a směrodatná odchylka,
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceJak v Javě primitivní datové typy a jejich reprezentace. BD6B36PJV 002 Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické
Jak v Javě primitivní datové typy a jejich reprezentace BD6B36PJV 002 Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické Obsah Celočíselný datový typ Reálný datový typ Logický datový typ, typ Boolean
VíceČísla a číselné soustavy.
Čísla a číselné soustavy. Polyadické soustavy. Převody mezi soustavami. Reprezentace čísel. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK.
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
Vícev aritmetické jednotce počíta
v aritmetické jednotce počíta tače (Opakování) Dvojková, osmičková a šestnáctková soustava () Osmičková nebo šestnáctková soustava se používá ke snadnému zápisu binárních čísel. 2 A 3 Doplněné nuly B Číslo
VíceC2115 Praktický úvod do superpočítání
C2115 Praktický úvod do superpočítání IX. lekce Petr Kulhánek, Tomáš Bouchal kulhanek@chemi.muni.cz Národní centrum pro výzkum biomolekul, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, CZ-61137
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceMichal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceEXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření. Jan Krystek
EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření Jan Krystek 9. května 2019 CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ Každé měření je zatíženo určitou nepřesností způsobenou nejrůznějšími negativními vlivy,
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VícePočítání s neúplnými čísly 1
Aproximace čísla A: Počítání s neúplnými čísly 1 A = a ± nebo A a, a + Aproximace čísla B: B = b ± β nebo B b β, b + β nebo a A a+ nebo b β B b + β Součet neúplných čísel odvození: a + b β A + B a+ + (b
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Více3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače... 3. 4 Problémy s matematickými operacemi 5
Obsah Obsah 1 Číselné soustavy 1 2 Paměť počítače 1 2.1 Měření objemu paměti počítače................... 1 3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače................. 3 4 Problémy
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceZdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného
Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceAlgoritmy a datové struktury
Algoritmy a datové struktury Data a datové typy 1 / 28 Obsah přednášky Základní datové typy Celá čísla Reálná čísla Znaky 2 / 28 Organizace dat Výběr vhodné datvé struktry různá paměťová náročnost různá
VícePohyblivářádováčárka
MI-AAK(Aritmetika a kódy) Pohyblivářádováčárka c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VícePrincipy počítačů I Reprezentace dat
Principy počítačů I Reprezentace dat snímek 1 Principy počítačů Část III Reprezentace dat VJJ 1 snímek 2 Symbolika musí být srozumitelná pro stroj, snadno reprezentovatelná pomocí fyzikálních veličin vhodně
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
VíceDatové typy a jejich reprezentace v počítači.
Datové typy a jejich reprezentace v počítači. Celá čísla. Reálná čísla. Semilogaritmický tvar. Komplexní čísla. Řetězce. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie,
VíceNástin formální stavby kvantové mechaniky
Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceE. Pohyblivářádováčárka
E. Pohyblivářádováčárka pevná a pohyblivá řádová čárka formát US Air Force MIL-STD-1750A základní operace normalizace přetečení a nenaplnění formátbflm 1 přímý kód sčítání a odčítání násobení, dělení a
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceUrčete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VícePJC Cvičení #2. Číselné soustavy a binární reprezentace proměnných
PJC Cvičení #2 Číselné soustavy a binární reprezentace proměnných Číselné soustavy Desítková (decimální) kdo nezná, tak...!!! Dvojková (binární) - nejjednodušší Šestnáctková (hexadecimální) - nejpoužívanější
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
Více2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VícePosloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VícePOČET PLATNÝCH ČÍSLIC PRAVIDLA PRO UVÁDĚNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ 2
PRAVIDLA PRO UVÁDĚNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ RNDr. Simona Klenovská ČMI Brno POČET PLATNÝCH ČÍSLIC PRAVIDLA PRO UVÁDĚNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ 2 Při stanovování počtu platných číslic použijeme následující metodu: u každého
VíceČíselné posloupnosti
Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a
Více1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
VíceÚloha - rozpoznávání číslic
Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání
VíceUMÍ POČÍTAČE POČÍTAT?
UMÍ POČÍTAČE POČÍTAT? O ÚSKALÍCH POČÍTAČOVÉ ARITMETIKY RNDr. Iveta Hnětynková, PhD. Katedra numerické matematiky VÝPOČTY A SIMULACE Aplikace: chemie, fyzika, lekařství, statistika, ekonomie, stojírenství,...
VíceY36SAP. Osnova. Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Y36SAP Poziční číselné soustavy a převody.
Y36SAP Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Tomáš Brabec, Miroslav Skrbek - X36SKD-cvičení. Úpravy pro SAP Hana Kubátová Osnova Poziční číselné soustavy a převody Dvojková soust., převod
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VícePosouzení přesnosti měření
Přesnost měření Posouzení přesnosti měření Hodnotu kvantitativně popsaného parametru jakéhokoliv objektu zjistíme jedině měřením. Reálné měření má vždy omezenou přesnost V minulosti sloužila k posouzení
VíceÚloha 1 Spojte binární obrazy na obrázku s hodnotami, které reprezentují.
7 Celá čísla Pro práci s celými čísly jsou v Javě typy byte, short, int a long. Všechny jsou znaménkové (připouštějí záporné hodnoty) a všechny používají doplňkový kód. Doplňkový kód definuje, jak jsou
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
VíceDosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
VíceIntervalová data a výpočet některých statistik
Intervalová data a výpočet některých statistik Milan Hladík 1 Michal Černý 2 1 Katedra aplikované matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova 2 Katedra ekonometrie Fakulta informatiky a
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
Více1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A
1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
Více7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Více