. viz věty 1.7 a 1.2 (čísla m a M lze vybrat tak, aby nerovnost platila v R n i R m ). Máme m f x h f x l h f x h f x l h M f x h f x l h

Transkript

1 MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zií seestr 999/. Derivace prvío řádu V této základí kapitole pojedáváe o dierecovatelosti zobrazeí : U R R (podožia U je vždy otevřeá). Zavádíe ěkolik základíc pojů derivace: Frécetovu, Gâteauovu, derivace podle vektoru a parciálí derivace. Ukazujee souvislost těcto pojů s poje derivace z prvío ročíku. Ukazujee pravidla pro derivováí základíc zobrazeí. Vysvítá, že pouze Frécetova derivace splňuje základí větu o derivaci složeéo zobrazeí: derivace kopozice dvou zobrazeí je rova kopozici jejic derivací. Slabší derivace podle vektoru a zejéa parciálí derivace se zase poěrě sado počítají. Ukazujee, že v případě spojitě dierecovatelýc zobrazeí lze výody všec pojů derivace spojit: spojitou dierecovatelost zobrazeí a otevřeé ožiě lze sado odalit poocí parciálíc derivací a přito se jedá o poje se stejě ezkýi (či dokoce, jak zjistíe později, ezčíi) vlastosti, jaké á Frécetova derivace. Většia výsledků této kapitoly je ezávislá a volbě ory a prostorec R a R. Na řídké výjiky vždy upozorňujee... Frécetova derivace. Zobrazeí : U R R se jeuje dierecovatelé v bodě U, eistuje-li lieárí zobrazeí l : R R takové, že li ( + ) ( ) l ( ). (..) V podíce (..) vystupují dvě ory, které jsou ozačey stejý sybole: jeda a R a druá a R. Buď. jiá ora (a R i R ), pro kterou platí.. M. viz věty.7 a. (čísla a M lze vybrat tak, aby erovost platila v R i R ). Máe l l M l ( + ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (..) M což zaeá, že podíka (..) je ekvivaletí podíce li ( + ) ( ) l ( ). (..3) Teto pozatek je užitečý při kokrétíc výpočtec: je při ic ožo používat libovolou oru. Podíka (..) je ekvivaletí podíce li ( + ) ( ) l ( ). (..4) Věta.. Lieárí zobrazeí l, splňující (..), eistuje ejvýše jedo. D ů k a z. Připusťe, že jsou taková zobrazeí dvě, l a l, a že eistuje vektor R takový, že l( ) l ( ). Platí a li ( + s ) ( ) l ( s ), + s s li ( + s ) ( ) l ( s ). + s s

2 MATEMATICKÁ ANALÝZA III Máe l ( ) l ( ) ls ls li ( ) ( ) + s s + s l s + s l s li ( ) ( ) ( ) + li ( ) ( ) ( ). + + s s s s Teto spor dokazuje větu. Lieárí zobrazeí l z předcozí deiice se ozačuje D ( ) a azývá (Frécetovou) derivací zobrazeí v bodě. Následující tvrzeí uvádějí základí vlastosti Frécetovy derivace. Věta. (o diereciálu). Zobrazeí : U R R je dierecovatelé v bodě, právě když eistuje lieárí zobrazeí l : R R, okolí V R, obsaující bod R, a zobrazeí ε : V R tak, že li ε( ) a pro každé R (..5) ( + ) ( ) l( ) +ε ( ). (..6) Platí l( ) D( )( ). D ů k a z. Podíka (..6) společě s (..5) je ekvivaletí podíce li ( + ) ( ) l ( ), (..7) což dokazuje tvrzeí. Polože a zvole libovolě lieárí zobrazeí l : R R, l ( ) k. Z podíky (..5) plye, že eistuje okolí uly W R takové, že pro každé W platí ε( ) < k. Pro taková ovše dostáváe ε( ) < l( ). (..8) Tato skutečost se obvykle opisuje slovy zobrazeí ( + ) ( ) D( )( ) koverguje k ule rycleji ež libovolá příka ebo D ( ) je lieárí část přírůstku ukce v bodě. K podobéu závěru lze dojít i při obecé a. Věta.3. Zobrazeí : U R R, dierecovatelé v bodě, je v toto bodě spojité. D ů k a z. Z (..6) plye li ( ( + ) ( )). Nyí dokážee základí větu o derivaci složeéo zobrazeí. Nejprve poocé lea: Lea.4. Necť zobrazeí : U R R je dierecovatelé v bodě U. Pak zobrazeí ( + ) ( ) je a ějaké okolí bodu R oraičeé. D ů k a z. Podle věty. je ( + ) ( ) D ( ) ( ). + ε (..9) Nora prvío sčítace a pravé straě je oraičea čísle D ( ), druý á v bodě

3 . DERIVACE PRVNÍHO ŘÁDU 3 R liitu rovu, je tedy a ějaké okolí tooto bodu rověž oraičeý. Věta.5 (o derivaci složeéo zobrazeí). Necť zobrazeí : U R R je 3 dierecovatelé v bodě U, zobrazeí : U R R je dierecovatelé v bodě ( ) U. Pak zobrazeí o je dierecovatelé v bodě a platí Máe D( o )( ) D ( ) od ( ). (..) D ů k a z. Ozače l D ( ), l D ( ). Pro R ozače ( + ) ( ). (..) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) l l( ) ( ( + ) ) ( ( ) ) l( ( + ) ( ) ) + l( ( + ) ( ) ) l( l( ) ) + ( + ) ( ) l( ) ( + ) ( ) l( ) + l ε( ) ( + ) ( ) l( ) + l, kde li ε ( ). Z věty.3 plye, že při je li. Navíc, podle leatu.4 je výraz a ějaké okolí uly oraičeý. Proto je liita výrazu a pravé straě rova ule a věta dokázáa. Věta.6. Každé kostatí zobrazeí : R R je dierecovatelé v každé bodě R. Platí D ( ). D ů k a z. Platí li ( + ) ( ) li ( ) ( ). Věta.7. Každé lieárí zobrazeí l : R R je dierecovatelé v každé bodě R. Platí Dl( ) l. D ů k a z. Máe l li ( + ) l ( ) l ( ) l li ( ) + l ( ) l ( ) l ( ). Věta.8. Zobrazeí : U R R je dierecovatelé v bodě U, právě když jsou v toto bodě dierecovatelé jeo složky,, K, : U R. Pro každé R platí D ( )( ) D ( )( ), D ( )( ), K, D ( )( ). (..) D ů k a z. Zřejý. Vzta (..) se dá apsat takto: ( ) D ( ) D ( ), D ( ), K, D ( ). (..3) ( )

4 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA III Následující věta ukazuje, jak souvisí právě deiovaý poje derivace s poje derivace z prvío ročíku. Věta.9. Fukce : U R R je dierecovatelá v bodě U, právě když ta á derivaci (ve syslu prvío ročíku). Pro každé R platí D ( )( ) ( ). (..4) D ů k a z. Předpokládeje, že eistuje ( ). Pak li ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) li + ( ). Naopak, je-li ukce v bodě dierecovatelá a D ( )( ) k, pak + + ( ) li ( ) ( ) li ( ) ( ) k + k ( + ) ( ) k li + k + k k. Další věta ukáže, jak sado se derivují zobrazeí z R do R. Věta.. Zobrazeí : U R R je dierecovatelé v bodě U právě když á v toto bodě každá jeo složka derivaci ve syslu prvío ročíku. Pro každé R platí D ( )( ) (( ) ( ),( ) ( ), K,( ) ( ) ). (..5) D ů k a z. Necáváe a čteáři. Věta.. Zobrazeí s : R R, s ( ) +, a p : R R, p ( ), jsou dierecovatelá v každé bodě R. Platí Takže Ds( )( ) +, (..6) Dp( )( ) +. D ů k a z. Tvrzeí pro zobrazeí s plye přío z věty.7. Pro zobrazeí p áe p ( + ) p ( ) ( + )( + ) a, { } a {, } a, p li ( + ) p ( ) a tvrzeí je dokázáo. { }. (..7) Věta.. Jsou-li, : U R R zobrazeí dierecovatelá v bodě U, pak pro libovolá čísla c, c R je zobrazeí c + c dierecovatelé v bodě a platí D( c + c )( ) cd ( ) + cd ( ). (..8) D ů k a z. Ozače l lieárí zobrazeí, přiřazující každéu vektoru (, ) R R vektor c + c a (, ) zobrazeí ( ( ), ( )). Máe

5 . DERIVACE PRVNÍHO ŘÁDU 5 D( c c)( ) D lo(, ) ( ) Dl( ( ), ( )) od(, )( ) l o ( D ( ), D ( ) ) cd ( ) + cd ( ) (Věta.5,.7 a.8). + ( ) Pokuste se podobě dokázat větu o derivaci součiu dvou ukcí (využijte přito derivaci zobrazeí p z věty.).. Derivace podle vektoru, Gâteauova derivace. Necť : U R R, U, R. Derivací zobrazeí podle vektoru v bodě rozuíe liitu Necť g s D ( ) li ( + ) ( ). s s : R R je zobrazeí, deiovaé předpise (..) g () s + s. (..) Přío z uvedeé deiice plye ásledující jedoducé tvrzeí. Lea.3. Zobrazeí : U R R á v bodě U derivaci podle vektoru R, právě když je zobrazeí o g dierecovatelé v ule. Platí D( ) D ( og)( )( ) ( og) ( ), K,( og) ( ). D ů k a z. Předpokládeje, že zobrazeí věty. je ve vztau ( ) ( og )( s) ( og )( ) D( og )( )( s) + sε( s) (..3) o g je dierecovatelé v ule. Pak podle li s ε ( s). Vzlede k tou, že ( o g )( s) ( + s), dostáváe současě eisteci uvažovaé derivace podle vektoru i prví rovost v (..3). Druá rovost plye z věty.. Obráceá iplikace plye ied z (..3). Derivace zobrazeí v bodě podle vektoru je tedy derivací zobrazeí s ( + s) v ule. To, společě s větou., uožňuje počítat derivace podle vektorů velice sado. Je-li zobrazeí D ( ) lieárí, azýváe je Gâteauovou derivací zobrazeí v bodě a začíe DG ( ). Je tedy DG ( ) L( R, R ). Lea.4. Je-li zobrazeí : U R R dierecovatelé v bodě U, á v toto bodě i Gâteauovu derivaci a platí D ( ) G D ( ). (..4) D ů k a z. Uvažuje zobrazeí g z (..). Toto zobrazeí je dierecovatelé a platí Dg ( )( s) s. Podle věty.5 áe D( og )( )( ) D ( ) odg ( ) ( ) D ( )( ) Tvrzeí tedy plye z leatu.3. ( ). Lea.5. Necť U R, : U R. Eistuje-li derivace D ( ), kde, pak je zobrazeí v bodě dierecovatelé. D ů k a z. Pro, R uvažuje zobrazeí g : R R z (..). Platí ( og ) og a tvrzeí plye z leatu.3 a věty.5. Uvaže ukci : R R, deiovaou předpise

6 6 MATEMATICKÁ ANALÝZA III, když, (, ) (..5) jidy. Vidíe, že derivace této ukce v ule podle libovoléo vektoru R eistuje. Platí D ( ) ( ). Jelikož ovše ukce eí lieárí, zaeá to, že DG ( ) eeistuje. Přesvědčte se, že podobou vlastost á ukce 3 ( ) 3 ( ), když (, ) (, ), (, ) ( ) + ( ) (..6), když (, ) (, ). která je dokoce spojitá. Gra této ukce vidíe a ásledující obrázku: y 3 ( ) 3 ( ), když (, ) (, ), (, ) ( ) + ( ), když (, ) (, ). Uvažuje yí ukci : R R, deiovaou předpise, když >, ( ), (, ) (..7) jidy. Sado zjistíe, že tato ukce á v ule Gâteauovu derivaci, ačkoli ta eí spojitá. Vidíe tedy, že pro Gâ-

7 . DERIVACE PRVNÍHO ŘÁDU 7 teauovu derivaci eplatí věta.3. Poocí posledě uvedeé ukce lze sado dokázat, že pro Gâteauovu derivaci eplatí ai věta.5. Stačí deiovat ukci g : R R předpise gt () (, tt ) a uvažovat kopozici o g. (..8) Nyí uvedee pro zajíavost obdobu věty.5, která platí (z části) i pro Gâteauovu derivaci. Věta.6. Necť zobrazeí : U R R á Gâteauovu derivaci v bodě U, k zobrazeí : U R R je dierecovatelé v bodě ( ) U. Pak zobraueí o á v bodě Gâteauovu derivaci a platí D ( o )( ) D ( ) od ( ). (..9) G G D ů k a z. Necť g : R R je zobrazeí z (..). Podle leatu.3 je zobrazeí o g dierecovatelé v ule, je takové tedy i zobrazeí g o o (věta.5). Zobrazeí o tedy á derivaci podle vektoru (opět lea.3) a platí D ( o )( ) D( o og )( )( ) D ( )( D( og )( )( ) ) ( ) D ( ) D ( ). (..) Přiřazeí D ( o )( ) je tedy lieárí a vzta (..9) dokázá..3. Parciálí derivace.necť : U R R, U. Ozače e, e, K, e kaoickou bázi vektorovéo prostoru R (tedy e (,, K, ), e (,,, K, ),, e (, K,, )). Derivace zobrazeí v bodě podle e i se azývá parciálí derivací zobrazeí podle i-té proěé v bodě. Kladee D ( ) De ( ), D ( ) De ( ), M D( ) D ( ). e (.3.) Pro uvedeé zobrazeí, bod U a číslo i {, K,, } ozače U i, ožiu všec t R takovýc, že (,,, i i+ K, t,, K, ) U, i-té ísto a i, zobrazeí z U i, do R, deiovaé předpise (.3.) ( t ) ( i i i,,,,, t, + K, K, ). (.3.3) Toto zobrazeí se azývá i-té parciálí zobrazeí zobrazeí v bodě. Věta.7. Zobrazeí : U R R á v bodě U parciálí derivaci podle i-té proěé, právě když je v bodě i dierecovatelé parciálí zobrazeí i,. Pro každé j {, K,, } platí j j i D ( ) ( ) ( ). (.3.4) i i, D ů k a z. Necáváe a čteáři. Věta.7 ukazuje způsob, který se ve skutečosti parciálí derivace počítají.

8 8 MATEMATICKÁ ANALÝZA III Pro zobrazeí : U R R, které á v bodě U parciálí derivace podle všec proěýc, kladee D ( ) D ( ) L D ( ) ( ) D ( ) D ( ) L D ( ). M M O M D ( ) D ( ) L D ( ) Tato atice se jeuje atice parciálíc derivací zobrazeí v bodě. (.3.5) Předpokládeje, že zobrazeí : U R R á v bodě U Gâteauovu derivaci. Pak pro libovolý vektor R, e + e + + K e platí Vidíe tedy, že DG( )( ) DG( )( e + e + K+ e ) DG( )( e ) + DG( )( e ) + K+ ( )( e ) D ( ) + D ( ) + K+ D ( ) ( ). Věta.8. Pro zobrazeí : U R R, které á Gâteauovu derivaci v bodě U, je atice ( ) aticí lieárío zobrazeí D ( G ). Z uvedeéo a z věty.5 rověž okažitě vyplývá ásledující věta: Věta.9. Necť zobrazeí : U R R je dierecovatelé v bodě U, 3 zobrazeí : U R R je dierecovatelé v bodě ( ) U. Pak ( o ) ( ) ( ) ( ). (.3.6).4 Věty o středí odotě. Lagrageova věta o středí odotě (ebo o přírůstku ukce) patří k základí ástrojů ateatické aalýzy. Pro prvky, R kladee [, + ] g ([, ]) (.4.) (viz (..)). Je tedy [, + ] ožia všec bodů + t, kde t [,, ] čili úsečka, spojující body a +. Nyí ůžee přikročit k větě o středí odotě. Věta. (o středí odotě pro ukce). Necť ožia U R obsauje úsečku [, + ] a ukce : U R á v každé bodě této úsečky derivaci podle vektoru. Pak eistuje bod y [, + ] takový, že ( + ) ( ) D ( y). (.4.) D ů k a z. Necť t [, ]. Máe og () t ( + t+ ( t t) ) og+ t ( t t). (.4.3) Jelikož ukce o g + t a pravé straě je dierecovatelá v bodě t (to plye z předpokladu, že ukce á derivaci podle vektoru v bodě + t ), á zobrazeí o g :[, ] R derivaci v bodě t a tedy (vzlede k libovolosti bodu t ) v každé bodě itervalu [., ] Podle Lagrageovy věty tedy eistuje bod t (, ) takový, že og () og ( ) ( og )( t )( ). Levá straa této rovice je ovše rova ( + ) ( ) (jak plye (..)), kdežto pravá D ( + t ) (jak je vidět po zderivováí (.4.3) v t a pocopeí (..3)). Můžee tedy

9 . DERIVACE PRVNÍHO ŘÁDU 9 položit y + t. Důsledek. Necť ožia U R obsauje úsečku [, + ] a ukce : U R á Gâteauovu derivaci v každé bodě této úsečky. Pak eistuje prvek y [, + ] takový, že ( + ) ( ) D ( y)( ). (.4.4) G D ů k a z. Plye z předcozí věty a deiice Gâteauovy derivace. Nyí uvedee obecější (a koplikovaější) variatu věty o středí odotě, která platí pro libovolá zobrazeí : U R R. Nejprve jedo poocé tvrzeí (jedá se o speciálí případ tzv. Haovy Baacovy věty z ukcioálí aalýzy): Lea.. K libovoléu prvku R eistuje lieárí zobrazeí l : R R takové, že l a l ( ). D ů k a z. Toto lea platí pro libovolou oru a R, y je však dokážee pouze pro oru.. Předpokládeje, že (pro ulu je důkaz sadý) a polože l ( ) (, ) (v čitateli přirozeý skalárí souči). Zobrazeí l je zjevě lieárí a platí l ( ). Podíveje se a jeo oru: l a l( ) a (, ). Podle Scwartzovy erovosti (, ), kterou záe z algebry, tedy platí l a. Navíc, pro vektor áe a Tvrzeí tedy platí. (, ) (, ). Věta. (o středí odotě pro zobrazeí). Necť ožia U R obsauje úsečku [, + ] a zobrazeí : U R á v každé bodě této úsečky derivaci podle vektoru. Pak platí ( + ) ( ) sup D ( y). y [, + ] (.4.5) D ů k a z. Podobě jako v důkazu věty. uvažuje zobrazeí o g. Toto zobrazeí je dierecovatelé v každé bodě itervalu [., ] Necť l : R R je lieárí zobrazeí takové, že l a l( ( + ) ( )) ( + ) ( ) (viz lea.). Zobrazeí lo og je tedy dierecovatelé a celé itervalu [, ] a ůžee a ě použít Lagrageovu větu o středí odotě: ( lo og )( ) ( lo og )( ) ( lo og ) ( t), kde t [, ]. Pro levou strau ovše platí ( lo og )( ) ( lo og )( ) l( ( + ) ( ) ) ( + ) ( )

10 MATEMATICKÁ ANALÝZA III a pro pravou ( lo og ) ( t) ( lo og+ t) ( ) D( lo og+ t)( )( ) l D( o g )( )( ) D ( + t ) sup D ( y). Tí je tvrzeí dokázáo. + t y [, + ] Důsledek. Necť ožia U R obsauje úsečku [, + ] a zobrazeí : U R á Gâteauovu derivaci v každé bodě této úsečky. Pak ( + ) ( ) sup D ( y). y [, + ] G D ů k a z. Plye z věty., deiice Gâteauovy derivace a věty.9. (.4.6) Vidíe, že věta o středí odotě pro zobrazeí je orulováa v poěkud slabší podobě ež věta o středí odotě pro ukce. Že bylo toto oslabeí uté, ukazuje ásledující příklad. Uvažuje zobrazeí : R R, deiovaé předpise ( t) (cos t,si t) (.4.7) a polože, π. Platí ( + ) ( ). Přito ale eeistuje bod y [ π, ], ve které by bylo Dy ( )..5. Spojitá dierecovatelost.předpokládeje, že zobrazeí : U R R á Gâteauovu derivaci v každé bodě ějakéo okolí V U. Dostáváe zobrazeí DG : V L( R, R ), přiřazující každéu bodu Gâteauovu derivaci zobrazeí v toto bodě. Zvole yí bod U. Řekee, že zobrazeí je v bodě spojitě dierecovatelé, je-li zobrazeí DG deiováo a ějaké jeo okolí a je-li v toto bodě spojité. Víe, že prostor L( R, R ) je izoorí s vektorový prostore atic typu. Podle věty.7 o spojitosti zobrazeí DG erozoduje, jakou oru a prostoru L ( R, R ) zvolíe. Můžee tedy usoudit, že zobrazeí DG je spojité, právě když je spojité zobrazeí. O spojitosti tooto zobrazeí se přito rozoduje poěrě sado. Věta.3. Zobrazeí spojitě dierecovatelé v bodě je v toto bodě dierecovatelé. D ů k a z. Necť : U R R je zobrazeí, spojitě dierecovatelé v bodě U. Zobrazeí DG je tedy deiováo v každé bodě ějakéo okolí bodu. Ozače D ( y) l. Platí G y li l+ l. (.5.) Aplikujee-li důsledek věty o středí odotě pro zobrazeí a zobrazeí l, dostaee ( + ) ( ) l ( ) sup l l y y [, + ]. (.5.) Máe tedy ( + ) ( ) l( ) sup l l, y y [, + ] (.5.3) přičež liita pravé stray pro je rova ule. 3 Věta.4. Necť zobrazeí : U R R a : U R U jsou spojitě dierecovatelá v každé bodě svýc deiičíc oborů. Pak zobrazeí o je spojitě dierecovatelé v každé bodě ožiy U. D ů k a z. Necáe čteáři.

11 . DERIVACE PRVNÍHO ŘÁDU Lea.5. Předpokládeje, že zobrazeí : U R R á derivace podle vektorů, v každé bodě ožiy U a zobrazeí D : U R je spojité v bodě U. Pak pro každé c, c R eistuje derivace Dc+ c ( ) a platí D + ( ) cd ( ) + cd ( ). (.5.4) c c D ů k a z. Ccee dokázat, že li ( + tc ) ( ) + tc cd ( ) + cd ( ). (.5.5) t t Jelikož ( + tc + tc) ( ) (.5.6) ( + tc + tc ) ( + tc ) + ( + tc ) ( ) a tc cd ( ) Dc ( ) li ( + ) ( ), t t tc cd ( ) Dc ( ) li ( ) ( ) (.5.7) +, t t stačí dokázat, že li ( + tc ) ( ) li ( ) ( ) + tc + tc + tc. (.5.8) t t t t Ozače ( + tc ) ( ) g ( ). (.5.9) t Podle věty. platí Ale g ( + tc ) g ( ) sup Dtc gy ( ). (.5.) y [, + tc] Dtc g( y) c( D ( y+ tc) D ( y) ), (.5.) což podle předpokladu o spojitosti zobrazeí D zaeá, že liita levé stray (.5.) pro t je rova ule. Tí je lea dokázáo. Věta.6. Necť pro zobrazeí : U R R eistují všecy ukce D i j : U R, kde i {, K, }, j {, K, }, a jsou a ožiě U spojité. Pak zobrazeí je spojitě dierecovatelé v každé bodě ožiy U. D ů k a z. Podle předcozío leatu á zobrazeí Gâteauovu derivaci v každé bodě ožiy U (proč?). Tvrzeí tedy plye z předpokladu o spojitosti parciálíc derivací. ( ) Uvaže ukce : U R R, kde U (, ) R a (, ) ( ). K výpočtu parciálíc derivací této ukce á podle věty.7 stačí zalosti z prvío ročíku: ( ) D (, ) ( ), (.5.) ( ) D (, ) ( ) l. Vidíe, že ukce D a D jsou spojité. Podle věty.6 to zaeá, že ukce je spojitě dierecovatelá (a tedy dierecovatelá) v každé bodě ožiy U. Podíveje se yí a ukci :(, ) R, ( ). Z prvío ročíku víe, že derivaci této ukce lze

12 MATEMATICKÁ ANALÝZA III spočítat poocí triku e l, který vede k ( ) ( l l e ) e (l + ) (l + ). Zkuse yí spočítat derivaci ukce jiak. Platí o g, kde g : R R, g ( ) (, ). Zobrazeí g je dierecovatelé (třebas proto, že je lieárí). Podle věty.9 dostáváe ( ) ( o g) ( ) ( g( )) g ( ) (, ) g ( ) ( ) +, l l (l + ).