7.2.3 Násobení vektoru číslem I

Transkript

1 7..3 Násobení ektor číslem I Předpoklad: 70 Př. : Zakresli do sosta sořadnic alespoň dě různá místění ektorů: = 3; = 3;0 = ; a) ( ) ( ) c) ( ) x - Pedagogická poznámka: Předchozí příklad není zbtečný. Je ntné stdentů nestále kontroloat, zda mají předsta ektor jako množin šipek s dano elikostí a směrem. Všechn orientoané úsečk, které jso místěním ektor, mají stejno elikost má smsl mlit o elikosti ektor. Zřejmě je elikost ektor (značíme ) rona délce liboolné orientoané úsečk, která je jeho místěním: =. Jestliže = říkáme, že ektor je jednotkoý. Pedagogická poznámka: Pokd zadáte žákům na tabli konkrétní ektor a necháte je rčit jeho elikost, skoro šichni spějí a pak ododí i obecný zorec. Jak spočítáme elikost ektor? Umíme spočítat zdálenost do bodů ezmeme krajní bod liboolného místění ; ; b ; b ; b a rčíme jejich zdálenost. ektor : [ a a a ], [ ] 3 3 Velikost orientoané úsečk : ( b a ) ( b a ) ( b a ) = + + =. 3 3

2 Rádi bchom počítali elikost ektor z jeho sořadnic, platí: b a =, b a =, b3 a = = b a + b a + b a = + +. = ( ) ( ) ( ) Pro každý ektor = ( ; ; ) platí 3 Pro každý ektor = ( ; ) platí Př. : Je dán ektor = ( ; 5). Urči. ( ) = + = + = = Př. 3: Je dán ektor = ( ; ;3). Urči. ( ) = + + = + + =. 3 3 = + +. = +. 3 Př. : Urči ektor jestliže platí: x = 3 a = 5. Msíme rčit drho sořadnici ektor = + = 5 x ( ) 3 + = 5 / ( ) 3 + = 5 = 6 6 = 0 ( )( ) + = 0 = = = ( 3;) nebo = ( 3; ) Násobení ektorů číslem začneme definicí.. Násobek nloého ektor číslem k je nloý ektor. Násobek nenloého ektor = číslem k je ektor C, přičemž C je bod, pro který platí: C = k, je-li k 0 leží bod C na polopřímce, je-li k < 0, leží bod C na polopřímce opačné k polopřímce. Vektor C označjeme smbolem k.

3 Dodatek: Definice násobení ektorů je elmi podobná definici stejnolehlosti bod C je H ; k. stejnolehlý s bodem e stejnolehlosti ( ) Př. 5: Je dán ektor = a) = C. Sestroj grafick ektor. = D a) = C C = D -0,5 D V pořádné matematické čebnici se ještě dokazje, že ýsledný ektor nezáisí na olbě místění ektor. Důkaz žíající posntí přeskočíme. Jaké bdo sořadnice ektor k? Pomocí stejnolehlosti se dají ododit ět: = ; roině a pro každé reálné číslo k platí: Pro každý ektor ( ) k = ( k; k ). Pro každý ektor = ( ; ; 3 ) k = ( k ; k ; k ). 3 Př. 6: Je dán ektor = ( ;; 3) prostor a pro každé reálné číslo k platí:. Urči sořadnice ektorů. a) 3 c) a) = ( ;; 3) = ( ; ; [ 3] ) = ( ;; 6) 3

4 3 = 3( ;; 3) = ( 3 ; 3 ; 3 [ 3] ) = ( 3; 6;9) c) ( ) [ ] ( ) ( ) = ; ; 3 = ; ; 3 = ; ; 3 Pedagogická poznámka: Stejně jako sčítání doporčji stdentům psát zkrácený zápis = ;; 3 = ;; 6. takto: ( ) ( ) Př. 7: Nakresli liboolný ektor a několik jeho co nejrůznějších násobků. Co mají šechn nakreslené ektor společného? Všechn ektor získané násobením ektor jso s ektorem ronoběžné (mají stejný nebo opačný směr). Da ektor jso ronoběžné (leží na stejné přímce), práě kdž je jeden násobkem drhého. Př. 8: Rozhodni ýpočtem (bez kreslení obrázků), které z následjících ektorů jso = 3;. ronoběžné s ektorem ( ) a) a = ( ; 3) b = ( 6; ) c) c = ( 6; ) d = 3 ; e) e = ( 6;9) d) ( ) a) = ( ; 3) k ( 3; ) = ( 6; ) k ( 3; ) c) = ( 6; ) = ( 3; ) a ektor a není ronoběžný s ektorem. b ektor b není ronoběžný s ektorem. c ektor c je ronoběžný s ektorem. d) = ( 3 ; ) = ( 3; ) d ektor d je ronoběžný s ektorem. e) = ( 6;9) = 3( ; 3) e ektor e není ronoběžný s ektorem. Pedagogická poznámka: Pokd má někdo s příkladem problém, samozřejmě obrázk kreslíme. Nakreslíme si ektor, jeho složk, které pak jednom případě násobíme stejnými čísl, drhém různými a opět složíme.

5 Př. 9: Doplň ět s praidl. Pro každé da ektor a a každá dě čísla k, l platí: a) 0 = = ( ) c) ( ) d) k ( + ) = e) ( k + l) = k l = a) 0 = o ( ) = c) k ( l) = ( kl) d) k ( + ) = k + k e) ( k + l) = k + l Platí praidla, která známe z násobení reálných čísel při násobení ektorů bdeme moci postpoat tak, jak jsme zklí. Př. 0: Jso dán ektor = ( ; 3;) a = ( ;; ) a) a) = 3 +, z = + 3. ( 7; 5;). Urči ektor: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = 3+ = 3 ; 3; + ;; = 3 + ; ; 3 + = = 3 ( ; 3;) 3( ;; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z = + = + = ( 3 ; 3 3 ; 3 ) ( ;; 5) = = Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je možné řešit i postpně rčením násobků a pak jejich sočt. Př. : Petákoá: strana 00/cičení 8 strana 00/cičení 9 Shrntí: Násobením ektor reálným číslem měníme jeho elikost ( záporných čísel i obracíme směr). 5